3. Ecuaciones Exponenciales

Hola amigos, este es la penúltima sección del capítulo de teoría de exponentes, en estas ocasiones desarrollaremos el tema de ecuaciones exponenciales, una sección que nos faltaba.

Es un tema muy corto en cuanto temas elementales se refiere, sobre todo la teoría, lo que abundará más son los ejercicios resueltos, desarrollados exclusivamente para estudiantes preuniversitarios de nivel básico.

¿Que es una ecuación exponencial?

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Se llama ecuación exponencial cuando se admiten incógnitas en los exponentes de una ecuación, de hecho, una ecuación exponencial no restringe el hecho de encontrar dichas incógnitas en las bases, como esta:

\[ x^{x} = 4 \]

Aunque generalmente un ejemplo típico de ecuación exponencial es de la forma:

\[ 3^{x+1} = 3^{5} \]

El punto aquí en esta ecuación es lograr despejar \( x \) que se encuentra al lado izquierdo del miembro derecho de la ecuación, noten que el exponente es \( x+1 \) y su base es \( 3 \), con los datos del miembro derecho, el punto aquí resolver el valor de \( x \).

Las ecuaciones exponenciales pueden ser tan variadas como las ecuaciones donde solo encontramos incógnitas en sus bases. Este tipo de ecuaciones puede tener exponentes del tipo polar, logarítmica, polinomio o cualquier otra expresión trascendental.

Sin embargo, en esta sección trabajaremos a lo mucho con exponentes del tipo trascendental donde solo se admitirán las 6 operaciones matemáticas principales, es decir, las 4 operaciones típicas junto con al potenciación y radicación.

Y hablando de logaritmos, un método de solución para las ecuaciones exponenciales de este tipo es usando justamente la teoría de logaritmos, ya que los logaritmos es la función inversa de una función exponencial, un metido que veremos en un curso de logaritmos muy aparte.

¿Como resolver ecuaciones exponenciales?

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Depende del tipo de ecuación exponencial ya que el nivel de resolución difiere del nivel de dificultad de la estructura de la ecuación en si, de hecho, pueden ser mucho mas complejas que simplemente reducir o simplificar una expresión con exponentes y radicales como también ecuaciones donde las incógnitas la encontremos únicamente en las bases.

Sin embargo, el punto aquí es lograr que las bases sean siempre las mismas para que estas sean eliminadas y queden solo los exponentes igualados para luego resolverlos.

Ejemplo ilustrativo

Un típico ejemplo de una ecuación exponencial es:

\[ 3^{ 2^{x-5} } = 3^{4} \]

Este ejercicio pudo haberse planteado así:

\[ 3^{ 2^{x-5} } = 81 \]

Nuestro objetivo es lograr que los dos miembros de la igualdad tengan visualmente la misma base, en este caso, debemos reemplazar el número \( 81 \) por su equivalente \( 3^{4} \), es decir, como originalmente estaba, luego, como las bases de los miembros son iguales, las eliminamos y nos quedaría:

\[ 2^{x-5} = 4 \].

Luego, el proceso se repite, en este caso, el número 4 se puede escribir como \( 2^{2} \), entonces:

\[ 2^{x-5} = 2^{2} \]

 Si eliminamos las bases por ser iguales, resulta:

\[ x-5 = 2 \]

y simplemente nos queda despejar el valor de \( x \) obteniendo finalmente:

\[ x = 7 \]

De esta manera el valor de \( x \) queda resuelto satisfactoriamente.

Propiedades principales de las leyes de los exponentes

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Los ejercicios que presentaremos en breve vendrán inevitablemente con las leyes de exponentes estudiadas en las secciones de radicación y potenciación que nos facilitará resolver las ecuaciones lo mas breve posible.

En esta sección nos dedicaremos única y exclusivamente para bases iguales, ya que aparte ser ecuaciones más fáciles de resolver, nos ayuda entender cómo se comportan este tipo de ecuaciones junto con sus leyes y así afrontarlo en ejercicios o problemas de esta índole. Aquí te presento las 8 principales leyes de los exponentes.

Producto de potencia de bases iguales \[ a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \]	Potencia de un producto \[ (ab)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \]
Potencia de potencia \[ ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \]	Cociente de potencia de bases iguales \[ \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \]
Potencia de un cociente \[ ( \frac{a}{b} )^{n} = \frac{ a^{n} }{ b^{n} } \]	Raíz de un producto \[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \]
Raíz de un cociente \[ \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \]	Raíz de raíz \[ \sqrt[m]{ \sqrt[n]{a} } = \sqrt[mn]{a} \]

Propiedades de las ecuaciones exponenciales

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Las ecuaciones exponenciales tiene algunas propiedades elementales que usaremos a lo largo de esta sección. Tenga en cuenta que en esta sección trabajaremos solo y exclusivamente sobre bases iguales por cuestiones practicas.

Para resolver ecuaciones exponenciales paso a paso tenga en cuenta las propiedades exponenciales que ya indicamos anteriormente y el ejemplo explicativo anterior que ilustramos. Sin embargo, sugerimos que logre un manejo de las reglas de los exponentes en la sección de ejercicios resueltos para una mejor destreza y no sufrir en el intento de resolver estos ejercicios.

Este tipo de ecuaciones requiere mas practica que resolver ejercicios de teoría de exponentes donde solo nos dedicamos a reducir a lo mas mínimo aquellos ejercicios de potenciación y radicación ya presentados en la sección anterior. Dicho todo esto, exponemos las siguientes propiedades de ecuaciones exponenciales.

Propiedad 1: Igualdad de bases iguales

• Si \( a^{x} = a^{b} \), entonces \( x=b \).

Prueba

1. La ecuación \( a^{x} = a^{b} \), se puede escribir así:
   \[ \frac{ a^{x} }{ a^{b} } = 1 \]
2. Por la propiedad de cociente de potencias de bases iguales, resulta:
   \[ a^{x-b} = 1 \]
3. Por definición de exponente cero \( a^{0} = 1 \), entonces:
   \[ x-b=0 \]
4. Por tanto:
   \[ x=b \]

Propiedad 2: Igualdad de bases diferentes

• Si \( a^{x} = b^{y} \), \( a \neq b \) y \( x \) es un factor de \( y \), entonces \( x=y=0 \).

Prueba

1. Como \( x \) es un factor de \( y \), entonces existe otro factor \( k \) tal que \( x=yk \), la ecuación quedaría así:
   \[ a^{yk} = b^{y} \\ \frac{ a^{yk} }{ b^{y} } = 1 \]
2. Por la propiedad de potencia de potencia \( a^{yk} = ( a^{k} )^{y} \), entonces:
   \[ \frac{ ( a^{k} )^{y} }{ b^{y} } = 1 \]
3. Por la propiedad de cociente de potencias de bases iguales y la definición de exponente cero, resulta:
   \[ ( \frac{ a^{k} }{b} )^{y} = 1 \rightarrow y=0 \]
4. Como \( x=ky=k \cdot 0 \), logramos demostrar que:
   \[ x=y=0 \]

Propiedad 3: Igualdad de exponente diferente

• Si \( a^{n} = b^{n} \) y \( n \) es impar, entonces \( a = b \).
• Si \( a^{n} = b^{n} \) y \( n \) es par, entonces \( a=b \) o \( a=-b \).

Esta propiedad es exclusivo de la sección de la radicación y sus propiedades porque como pueden ver, se busca la formulación de las bases y no de los exponentes.

Propiedad 4: Igualdad con la misma simetría

• \( x^{x} = a^{a} \), entonces \( x=a \).
• \( x^{ x^{x} } = a^{ a^{a} } \), entonces \( x = a \)
• \( x^{ x^{ x^{n} } } = a^{ a^{ a^{n} } } \), entonces \( x = a \)

La prueba de esta propiedad esta fuera del alcance de esta sección ya que para ciertos valores de \( a \), la ecuación \( x^{x} = a^{a} \) puede tener dos posibles soluciones para ciertos intervalos, o de manera mas general, la solución de la ecuación \( x^{x} =b \), para ciertos valores reales positivos de \( b \), el valor de \( x \) puede tener no solo 1 o 2 valores posibles, sino también puede tener soluciones con valores complejos.

Dicha ecuación se estudia con una nueva función llamada función de Lambert y gracias a esa teoría se puede demostrar dichas propiedades, por lo pronto lo dejaremos anunciado así y comencemos con los ejercicios.

24 Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

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Como se habrán dado cuenta, esta sección es sumamente corta, ahora presentaremos algunos ejercicios para que sepas cómo resolver ecuaciones exponenciales, en total son 24 ejercicios resueltos, la mayoría de ellos son básicos para su mayor comprensión.

Ejercicio 1

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ 3^{ 2^{x-5} } = 81 \]

Solución:

1. Escribiendo todo en base \( 3 \) donde \( 3^{4} = 81 \):
   \[ 3^{ 2^{x-5} } = 3^{4} \]
2. Como \( a^{n} = a^{m} \), entonces \( n=m \):
   \[ 2^{x-5} = 4 \]
3. Donde \( 4 = 2^{2} \):
   \[ 2^{x-5} = 2^{2} \]
4. Pero \( a^{n} = a^{m} \rightarrow n=m \):
   \[ x-5=2 \]
5. Finalmente:
   \[ x = 2+5 = \boxed{ \Large{7} } \]

Ejercicio 2

Resolver:

\[ x^{ x^{ x^{n} } } = n \]

Solución:

1. La única manera de resolver este ejercicio es buscando una simetría que tenga la forma como la propiedad \( 4 \), realizaremos la siguiente estrategia \( n = \sqrt[n]{ n }^{n} \):
   \[ x^{ x^{ x^{n} } } = \sqrt[n]{n}^{n} \]
2. Igualmente \( n = \sqrt[n]{n}^{n} \), tenemos:
   \[ x^{ x^{ x^{n} } } = \sqrt[n]{n}^{ \sqrt[n]{n}^{ n } } \]
3. De nuevo \( n = \sqrt[n]{n}^{n} \):
   \[ x^{ x^{ x^{n} } } = \sqrt[n]{n}^{ \sqrt[n]{n}^{ \sqrt[n]{n}^{n} } } \]
4. Ahora podemos usar la propiedad 4 de la igualdad por la misma simetría que nos dice \( x^{ x^{ x^{n} } } = a^{ a^{ a^{n} } } \), entonces \( x=a \), logramos:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[n]{n} } } \]

Ejercicio 3

Resolver:

\[ x^{ x^{x} } = 16 \]

Solución:

1. Este es un ejercicio sencillo y rápido, para resolverlo, hacemos \( 16  = 2^{4} = 2^{ 2^{2} } \), tenemos:
   \[ x^{ x^{x} } = 2^{ 2^{2} } \]
2. Por la propiedad de simetría \( x^{ x^{ x^{n} } } = a^{ a^{ a^{n} } } \) donde \( x = a \), logramos:
   \[ x = \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 4

Resolver este clásico:

\[ x^{ x^{3} } = 3 \]

Solución:

1. Podemos resolverlo de la misma manera como el ejercicio 2 pero usaremos otro método, elevando al cubo a los dos miembros de la igualdad:
   \[ ( x^{ x^{3} } )^{3} = 3^{3} \]
2. Recordar que \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \), escribimos nuestra igualdad así:
   \[ ( x^{3} )^{ x^{3} } = 3^{3} \]
3. Por la propiedad de la simetría \( x^{x} = a^{a} \), entonces \( x=a \), obtenemos:
   \[ x^{3} = 3 \]
4. Finalmente:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[3]{3} } } \]

Ejercicio 5

Cuál es el valor de \( x \) en la siguiente expresión:

\[ x^{ x^{ \frac{1}{4} } } = \frac{1}{2} \]

Solución:

1. Elevaremos a la \( \frac{1}{4} \) a cada miembro de la igualdad:
   \[ ( x^{ x^{ \frac{1}{4} } } )^{ \frac{1}{4} } = ( \frac{1}{2} )^{ \frac{1}{4} } \]
2. Recordando \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \), tenemos:
   \[ ( x^{ \frac{1}{4} } )^{ x^{ \frac{1}{4} } } = ( \frac{1}{2} )^{ \frac{1}{4} } \]
3. Realizaremos la siguiente estrategia para \( ( \frac{1}{2} )^{ \frac{1}{4} } \) de la siguiente manera:
   \[ \begin{align} ( \frac{1}{2} )^{ \frac{1}{4} } & = ( \frac{1}{2} )^{ \frac{4}{4} ( \frac{1}{4} ) } \\ & = ( \frac{1}{2} )^{ ( 4 \cdot \frac{1}{4} )( \frac{1}{4} ) } \\ & = ( \frac{1}{2} )^{ 4 ( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} ) } \\ & = [ ( \frac{1}{2} )^{4} ]^{ \frac{1}{16} } \\ ( \frac{1}{2} )^{ \frac{1}{4} } & = ( \frac{1}{16} )^{ \frac{1}{16} } \end{align} \]
4. Nuestra ecuación quedaría:
   \[ ( x^{ \frac{1}{4} } )^{ x^{ \frac{1}{4} } } = ( \frac{1}{16} )^{ \frac{1}{16} } \]
5. Por la propiedad de la igualdad de la simetría, obtenemos:
   \[ x^{ \frac{1}{4} } = \frac{1}{16} \]
6. Elevando a la cuarta:
   \[ ( x^{ \frac{1}{4} } )^{4} = ( \frac{1}{16} )^{4} \]
7. Recordando \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
   \[ x^{ 4 \cdot \frac{1}{4} } = ( \frac{1}{4} )^{4} \]
8. Finalmente obtenemos:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \frac{1}{ 65536 } } } \]

Ejercicio 6

Hallar el valor de \( x \) en:

\[ ( x-3 )^{x-3} = 4 \]

Solución:

1. Esta igualdad se puede escribir así:
   \[ (x-3)^{x-3} = 2^{2} \]
2. Por simetría \( x^{x} = a^{a} \), obtenemos:
   \[ x-3=2 \]
3. Por tanto:
   \[ x= \boxed{ \Large{5} } \]

Ejercicio 7

Calcular el valor de \( x \) en:

\[ x^{x+1} = 8 \]

Solución:

1. Escribiendo \( 8 = 2^{3} = 2^{2+1} \), tenemos:
   \[ x^{x+1} = 2^{2+1} \]
2. Esto también es simetría \( x^{x+1} = a^{a+1} \), por tanto:
   \[ x= \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 8

Averiguar el valor de \( x \) en:

\[ x^{x} = \sqrt[9]{ \frac{1}{3} } \]

Solución:

1. Recordando la definición de radicación \( \sqrt[n]{ x^{m} } = x^{ \frac{m}{n} } \):
   \[ x^{x} = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{9} } \]
2. Como en el caso del ejercicio 5, escribiremos el valor de \( ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{9} } \) así:
   \[ \begin{align} ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{9} } & = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{3}{3} ( \frac{1}{9} ) } \\ & = [ ( \frac{1}{3} )^{3} ]^{ \frac{1}{ 3 \cdot 9 } } \\ ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{9} } & = ( \frac{1}{27} )^{ \frac{1}{27} } \end{align} \]
3. Nuestra ecuación quedaría de la siguiente manera:
   \[ x^{x} = ( \frac{1}{27} )^{ \frac{1}{27} } \]
4. Por simetría, finalmente obtenemos:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \frac{1}{27} } } \]

Ejercicio 9

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ \sqrt[8]{ \frac{ 2^{17} + 2^{n} }{ 2^{n} + 2 } } = 2 \]

Solución:

1. Elevando a la \( 8 \) a cada miembro de la igualdad, tenemos:
   \[ \sqrt[8]{ \frac{ 2^{17} + 2^{n} }{ 2^{n} + 2 } }^{8} = 2^{8} \]
2. Resultando:
   \[ \frac{ 2^{17} + 2^{n} }{ 2^{n} + 2 } = 2^{8} \]
3. Realizando algunos cálculos:
   \[ 2^{17} + 2^{n} = 2^{8} ( 2^{n} + 2 ) \\ 2^{17} + 2^{n} = 2^{8} \cdot 2^{n} + 2^{8} \cdot 2 \\ 2^{17} + 2^{n} = 2^{8} \cdot 2^{n} + 2^{9} \]
4. Ahora juntaremos en un solo miembro aquellos términos que tengan la misma variable \( n \):
   \[ 2^{17} – 2^{9} = 2^{8} \cdot 2^{n} – 2^{n} \]
5. Haciendo \( 2^{17} = 2^{9+8} = 2^{9} \cdot 2^{8} \) y \( 2^{8+n} = 2^{8} \cdot 2^{n} \), quedando:
   \[ 2^{9} \cdot 2^{8} – 2^{9} = 2^{8} \cdot 2^{n} – 2^{n} \]
6. Factorizando \( 2^{9} \) en el miembro izquierdo y \( 2^{n} \) en el miembro derecho, resulta:
   \[ 2^{9} ( 2^{8} – 1 ) = 2^{n} ( 2^{8} – 1 ) \]
7. Simplificando \( 2^{8} – 1 \):
   \[ 2^{9} = 2^{n} \]
8. Finalmente hallamos \( n \):
   \[ n=  \boxed{ \Large{9} } \]

Ejercicio 10

Cuál es el valor de \( x \) en la siguiente ecuación exponencial:

\[ 2^{2x-1} = 32 \]

Solución:

1. Tener en cuenta que \( 32 = 2^{5} \):
   \[ 2^{2x-1} = 2^{5} \]
2. Haciendo \( 5 = 2(3) – 1 \), en el exponente del lado derecho:
   \[ 2^{2x-1} = 2^{ 2(3) -1 } \]
3. Como son simétricamente iguales, finalmente deducimos que:
   \[ x = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 11

Averiguar el valor de \( a \) en:

\[ (2a)^{ (2a)^{ 8a^{3} } } = 3 \]

Solución:

1. Hacemos \( 8a^{3} = 2^{3} a^{3} = (2a)^{3} \), tenemos:
   \[ (2a)^{ (2a)^{ (2a)^{3} } } = 3 \]
2. Recordar del ejercicio 2 donde \( x^{ x^{ x^{n} } } = n \), entonces logramos hallar \( x = \sqrt[n]{n} \), en este caso \( x = 2a \) y \( n=3 \), entonces:
   \[ 2a = \sqrt[3]{3} \]
3. Finalmente logramos obtener:
   \[ a = \boxed{ \Large{ \frac{ \sqrt[3]{3} }{2} } } \]

Ejercicio 12

Calcular la siguiente ecuación:

\[ x^{ x^{49} } = 7^{ 7^{6} } \]

Solución:

1. Vamos a elevar a cada miembro de la igualdad por \( 49 \):
   \[ ( x^{ x^{49} } )^{49} = ( 7^{ 7^{6} } )^{49} \]
2. Por la ley de la multiplicación de exponentes, nuestra ecuación lo podemos escribir así:
   \[ ( x^{49} )^{ x^{49} } = ( 7^{ 7^{6} } )^{49} \]
3. Haciendo \( 49 = 7 \cdot 7 \) solo para el lado derecho de la igualdad, y realizando algunas operaciones:
   \[ ( 7^{ 7^{6} } )^{49} = ( 7^{ 7^{6} } )^{ 7 \cdot 7 } = 7^{ 7^{6} \cdot 7 \cdot 7 } = ( 7^{7} )^{ 7^{7} } \]
4. Volviendo a nuestra ecuación:
   \[ ( x^{49} )^{ x^{49} } = ( 7^{7} )^{ 7^{7} } \]
5. Por la propiedad de igualdad de la simetría, obtenemos:
   \[ x^{49} = 7^{7} \]
6. Elevando a \[ \frac{1}{49} \] para despejar el valor de \( x \), resulta:
   \[ ( x^{49} )^{ \frac{1}{49} } = ( 7^{7} )^{ \frac{1}{49} } \]
7. Finalmente logramos:
   \[ \begin{align} x & = ( 7^{7} )^{ \frac{1}{49} } \\ & = 7^{ 7 \cdot \frac{1}{49} } \\ & = 7^{ \frac{1}{7} } \\ x & = \boxed{ \Large{ \sqrt[7]{7} } } \end{align} \]

Ejercicio 13

Resolver el valor de \( x \):

\[ x^{ x^{ a^{a+1} } } = \sqrt[ a^{a} ]{a} \]

Solución:

1. Como siempre, para lograr la igualdad de simetría, vamos a elevar a cada miembro en \( a^{a+1} \):
   \[ ( x^{ x^{ a^{a+1} } } )^{ a^{a+1} } = \sqrt[ a^{a} ]{a}^{ a^{a+1} } \]
2. Por la propiedad de potencia de potencia en el miembro izquierdo y haciendo \( a^{a+1} = a^{a} \cdot a \) para el miembro derecho con algunas operaciones, tenemos:
   \[ ( x^{ a^{a+1} } )^{ x^{ a^{a+1} } } = \sqrt[ a^{a} ]{a}^{ a^{a} \cdot a } = ( \sqrt[ a^{a} ]{a}^{ a^{a} } )^{a} = a^{a} \]
3. Resumiendo:
   \[ ( x^{ a^{a+1} } )^{ x^{ a^{a+1} } } = a^{a} \]
4. Extrayendo la raíz de \( a^{a+1} \) a cada miembro para eliminar el mismo en el miembro izquierdo:
   \[ \sqrt[ a^{a+1} ]{ x^{ a^{a+1} } } = \sqrt[ a^{a+1} ]{a} \]
5. Finalmente obtenemos:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[ a^{a+1} ]{a} } } \]

Ejercicio 14

Si \( a^{ a^{a} } = a^{2} \), calcular el valor numérico de \( a^{3a} \):

Solución:

1. Identificando bases iguales en la condición dada:
   \[ a^{ a^{a} } = a^{2} \]
2. Por la propiedad de bases iguales, concluimos:
   \[ a^{a} = 2 \]
3. Lo que nos piden, finalmente logramos:
   \[ \begin{align} a^{3a} & = ( a^{a} )^{3} \\ & = 2^{3} \\ a^{3a} & = \boxed{ \Large{8} } \end{align} \]

Ejercicio 15

Resolver:

\[ \sqrt[x]{ x^{2} } = \sqrt[4]{4} \]

Solución:

1. Recordando una propiedad de radicación \( \sqrt[n]{ x^{m} } = \sqrt[nk]{ x^{mk} } \), en este caso \( k=4 \), pero para el miembro derecho de la igualdad:
   \[ \sqrt[x]{ x^{2} } = \sqrt[ 4 \cdot 4 ]{ 4^{4} } \]
2. Realizando algunas operaciones convenientes en el miembro derecho:
   \[ \sqrt[ 16 ]{ 4^{ 2 \cdot 2 } } = \sqrt[ 16 ]{ ( 4^{2} )^{2} } = \sqrt[16]{ 16^{2} } \]
3. Nuestra igualdad quedaría así:
   \[ \sqrt[x]{ x^{2} } = \sqrt[16]{ 16^{2} } \]
4. Como son simétricamente iguales, el valor de \( x \) es:
   \[ x = \boxed{ \Large{16} } \]

Ejercicio 16

Resolver el valor de \( x \):

\[ x^{ x^{ x^{n} } } = x^{ x^{n} } \]

Solución:

1. Como tiene bases iguales, entonces los exponentes son iguales:
   \[ x^{ x^{ x^{n} } } = x^{ x^{n} } \rightarrow x^{ x^{n} } = x^{n} \]
2. Como \( x^{ x^{n} } = x^{n} \) tiene la misma base, entonces los exponentes deben ser iguales, tenemos:
   \[ x^{n} = n \]
3. Por la definición de radicación \( x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^{m} } \), finalmente logramos:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[n]{n} } } \]

Ejercicio 17

Hallar el valor de \( x \):

\[ x^{ 3x^{ x^{ x^{ x^{ .^{ .^{ .^{ x^{2} } } } } } } } } = 8 \]

Solución:

1. Trabajaremos con el número \( 8 \) del lado derecho de la igualdad, lo escribiremos así:
   \[ 8=2^{3} \]
2. Como \( 2 = \sqrt{2}^{2} \), entonces:
   \[ 8 = ( \sqrt{2}^{2} )^{3} \]
3. Realizando algunas operaciones convenientes:
   \[ 8 = ( \sqrt{2}^{2} )^{3} = \sqrt{2}^{ 2 \cdot 3 } = \sqrt{2}^{ 3 \cdot 2 } \]
4. Como \( 2 = \sqrt{2}^{2} \), entonces:
   \[ 8 = \sqrt{2}^{ 3 \cdot \sqrt{2}^{2} } \]
5. De nuevo \( 2 = \sqrt{2}^{2} \):
   \[ 8 = \sqrt{2}^{ 3 \cdot \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{2} } } \]
6. Por lo que lo podemos extender hasta el infinito:
   \[ 8 = \sqrt{2}^{ 3 \cdot \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{ .^{ .^{ .^{ \sqrt{2}^{2} } } } } } } } } \]
7. Remplazando en nuestra ecuación original, resulta una nueva igualdad:
   \[ x^{ 3x^{ x^{ x^{ x^{ .^{ .^{ .^{ x^{2} } } } } } } } } = \sqrt{2}^{ 3 \cdot \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{ .^{ .^{ .^{ \sqrt{2}^{2} } } } } } } } } \]
8. Como son igualmente simétricos, finalmente obtenemos:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt{2} } } \]

Ejercicio 18

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ 2^{4x-12} = 3^{x-3} \]

Solución:

Método 1

1. Pararemos a dividir el valor de \( 3^{x-3} \), en el otro miembro:
   \[ \frac{ 2^{4x – 12} }{ 3^{x-3} } = 1 \]
2. El numerador lo podemos escribir así \( 2^{4x – 12} = 2^{ 4(x-3) } \), tenemos:
   \[ \frac{ 2^{ 4(x-3) } }{ 3^{x-3} } = 1 \]
3. Aplicando la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ b^{n} } = ( \frac{a}{b} )^{n} \):
   \[ ( \frac{ 2^{4} }{3} )^{x-3} = 1 \]
4. Esta ecuación solo es posible cuando \( a^{0} = 1 \), entonces:
   \[ x-3=0 \]
5. De esta manera, logramos obtener el valor de \( x \):
   \[ x=3 \]

Método 2

Este método solo sirve si consideramos trabajar solo con bases iguales por lo que la siguiente propiedad ya anteriormente anunciado al inicio de esta sección es:

\[ a^{n} = b^{m} \]

Solo es posible cuando \( n=m=0 \), este resultado es inevitable para que se cumpla esta relación:

\[ a^{0} = b^{0} = 1 \]

Téngase en cuenta que en muchos casos no siempre se cumple que \( n=m \), sin embargo, en este ejercicio si es posible encontrar esta relación, veamos como se resuelve por este método.

1. Para nuestra ecuación:
   \[ 2^{4x-13} = 3^{ x-3 } \]
2. Se cumple que:
   \[ 4x-12 = 0 \ \text{y} \ x-3=0 \]
3. Resolviendo cualquiera de estos resultados equivalentes, finalmente encontramos un único valor existente y es:
   \[ x= \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 19

Este ejercicio que presentaremos a continuación se resuelve con una propiedad de productos notables ya publicado en un curso de operaciones algebraicas, aquí el ejercicio.

Sea \( 2^{2x} + 2^{2y} = 4 \) y \( 2^{x+y} = 6 \), resolver el siguiente resultado:

\[ \mathrm{E} = 2^{x} + 2^{y} \]

Solución:

1. Las condiciones dadas lo escribiremos de la siguiente manera:
   \[ 2^{2x} + 2^{2y} = ( 2^{x} )^{2} + ( 2^{y} )^{2} = 4 \cdots ( \mathrm{I} ) \\ 2^{x+y} = 2^{x} \cdot 2^{y} = 6 \rightarrow 2( 2^{x} \cdot 2^{y} ) = 2 \cdot 6 \cdots ( \mathrm{II} ) \]
2. Ahora sumando mutuamente las ecuaciones (I) y (II), resulta:
   \[ ( \underbrace{ 2^{x} }_{a} )^{2} + 2( \underbrace{ 2^{x} }_{a} )( \underbrace{ 2^{y} }_{b} ) + ( \underbrace{ 2^{y} }_{b} )^{2} = 4 + 2 \cdot 6 = 16 \]
3. Usaremos una propiedad de productos notables que dice que \( a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2} \), entonces:
   \[ ( 2^{x} + 2^{y} )^{2} = 16 \]
4. Extrayendo la raíz cuadrada:
   \[ \sqrt{ ( 2^{x} + 2^{y} )^{2} } = \sqrt{16} \]
5. Finalmente logramos:
   \[ \mathrm{E} = 2^{x} + 2^{y} = \boxed{ \Large{4} } \]

Ejercicio 20

Resolver el valor de \( x \) en:

\[ \sqrt{ \frac{64}{ \sqrt{ \frac{64}{ \sqrt{ \frac{65}{ \vdots } } } } } } = x^{4-x} \]

Solución:

1. Vayamos en orden, comenzaremos por resolver el lado numérico, es decir, el miembro izquierdo de la igualdad llamándolo \( \mathrm{E} \), vemos que tiene una secuencia que se repite que tambien se puede llamar \( \mathrm{E} \) así:
   \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{64}{ \underbrace{ \sqrt{ \frac{64}{ \sqrt{ \frac{65}{ \vdots } } } } }_{ \mathrm{E} } } } \]
2. Como es una división, la expresión sombreado con rojo también es \( \mathrm{E} \), entonces:
   \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{64}{ \mathrm{E} } } \]
3. Elevando al cuadrado:
   \[ \mathrm{E}^{2} = \sqrt{ \frac{64}{ \mathrm{E} } }^{2} \]
4. Resulta:
   \[ \mathrm{E}^{2} = \frac{64}{ \mathrm{E} } \\ \mathrm{E}^{3} = 64 \\ \mathrm{E} = 4 \]
5. Reemplazando este valor en nuestra ecuación original:
   \[ 4 = x^{4-x} \]
6. Haciendo \( 4 = 2^{2} = 2^{4-2} \), tenemos:
   \[ 2^{4-2} = x^{4-x} \]
7. Como son simétricamente iguales, finalmente obtenemos:
   \[ x= \boxed{ \Large{4} } \]

Ejercicio 21

Calcular la siguiente ecuación exponencial:

\[ x^{ x^{ \sqrt[n]{ n^{ n^{n+1} } } } } = \sqrt[ { \sqrt[n]{n} } ]{n} \]

Solución:

1. Aplicando la propiedad \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \), resulta:
   \[ x^{ x^{ \sqrt[n]{ n^{n+1} } } } = x^{ x^{ \sqrt[n]{ n^{n} \cdot n^{1} } } } = \sqrt[ { \sqrt[n]{n} } ]{n} \]
2. Usando esta propiedad \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \):
   \[ x^{ x^{ \sqrt[n]{ n^{n} \cdot n^{1} } } } = x^{ x^{ \sqrt[n]{ n^{n} } \cdot \sqrt[n]{n} } } = \sqrt[ { \sqrt[n]{n} } ]{n} \]
3. Donde \( \sqrt[n]{ n^{n} } = n \):
   \[ x^{ x^{ n \sqrt[n]{n} } } = \sqrt[ { \sqrt[n]{n} } ]{n} \]
4. Ordenando nuestros resultados con la propiedad de potencia de potencia y sabiendo que \( \sqrt[ { \sqrt[n]{n} } ]{n}^{ \sqrt[n]{n} } = n \), resulta:
   \[ ( x^{ n \cdot \sqrt[n]{n} } )^{ x^{n \sqrt[n]{n} } } = ( \sqrt[ { \sqrt[n]{n} } ]{n}^{ \sqrt[n]{n} } )^{n} \\ ( x^{ n \cdot \sqrt[n]{n} } )^{ x^{ n \cdot \sqrt[n]{n} } } = n^{n} \]
5. Aplicando la propiedad de simetría que dice \[ x^{x} = a^{a} \] donde \( x=a \), resultando:
   \[ x^{ n \cdot \sqrt[n]{n} } = n \]
6. Por definición de radicación, finalmente obtenemos:
   \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[ n { \sqrt[n]{n} } ]{n} } } \]

Ejercicio 22

Resolver el valor de \( n \) en:

\[ \sqrt[n]{ \frac{ x^{n} + 5^{n} }{ 80^{n} + x^{n} } } = \frac{1}{4} \]

Solución:

1. Elevando a la \( n \):
   \[ ( \sqrt[n]{ \frac{ x^{n} + 5^{n} }{ 80^{n} + x^{n} } } )^{n} = ( \frac{1}{4} )^{n} \]
2. Resulta:
   \[  \frac{ x^{n} + 5^{n} }{ 80^{n} + x^{n} }  = \frac{1}{ 4^{n} } \]
3. Pasando los denominadores multiplicando a los otros miembros respectivos:
   \[ 4^{n} ( x^{n} + 5^{n} ) = 1( 80^{n} + x^{n} ) \]
4. Realizando algunas operaciones, finalmente logramos:
   \[ 4^{n} \cdot x^{n} + 4^{n} \cdot 5^{n} = 80^{n} + x^{n} \\ 4^{n} \cdot x^{n} – x^{n} = 80^{n} – 4^{n} \cdot 5^{n} \\ x^{n} ( 4^{n}-1 ) = ( 20 \cdot 4 )^{n} – 4^{n} 5^{n} \\ x^{n} ( 4^{n}-1 ) = 20^{n} \cdot 4^{n} – ( 4 \cdot 5 )^{n} \\ x^{n} ( 4^{n} -1 ) = 20^{n} \cdot 4^{n} – 20^{n} \\ x^{n} ( 4^{n}-1 ) = 20^{n} ( 4^{n} – 1 ) \\ x^{n} = 20^{n} \\ x= \boxed{ \Large{20} } \]

Ejercicio 23

Resolver el valor de \( x \) en:

\[ x^{n} = [ x[ x[ x[ x \cdots \infty ]^{ x^{n} } ]^{ x^{n} } ]^{ x^{n} } ]^{ x^{n} } \]

Solución:

1. Sombreando de color rojo un trozo del miembro derecho y notando que también resulta ser el valor de \( x^{n} \), esto es, la secuencia se repite, entonces:
   \[ x^{n} = [ x \underbrace{ \color{red}{ [ x[ x[ x \cdots \infty ]^{ x^{n} } ]^{ x^{n} } ]^{ x^{n} } } }_{ x^{n} } ]^{ x^{n} } \]
2. Por lo que:
   \[ x^{n} = [ x \cdot x^{n} ]^{ x^{n} } \]
3. Resolviendo:
   \[ x^{n} = [ x^{n+1} ]^{ x^{n} } \\ x^{n} = x^{ (n+1)x^{n} } \]
4. Por tener la misma base, resulta que los exponentes son iguales:
   \[ n = (n+1)x^{n} \ \text{ó} (n+1)x^{n} = n \]
5. Despejando \( x \), finalmente logramos:
   \[ x^{n} = \frac{n}{n+1} \\ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[n]{ \frac{n}{n+1} } } } \]

Ejercicio 24

Hallar el valor de \( x \) bajo las siguientes condiciones:

1. \( y = x^{ x^{n} } \)
2. \( y^{ y^{n} } = x^{ x^{m} } \)

En términos de \( n \) y \( m \).

Solución:

1. Vamos a reemplazar el valor de \( y \) de la condición 1 a la condición 2, tenemos:
   \[ ( x^{ x^{n} } )^{ ( x^{ x^{n} } )^{n} } = x^{ x^{m} } \]
2. Realizando una operación conveniente en el lado izquierdo de la igualdad:
   \[ x^{ x^{n} ( x^{ x^{n} } )^{n} } = x^{ x^{m} } \]
3. Como tiene la bases iguales, los exponentes son también iguales:
   \[ x^{n} \cdot ( x^{ x^{n} } )^{n} = x^{m} \]
4. Colocando en una sola base el miembro izquierdo:
   \[ x^{n} \cdot x^{ x^{n} \cdot n } = x^{m} \\ x^{ n + x^{n} \cdot n } = x^{m} \]
5. Por tener bases iguales, los exponentes también son iguales:
   \[ n+x^{n} \cdot n = m \]
6. Resolviendo para despejar \( x \), finalmente obtenemos:
   \[ x^{n} \cdot n = m-n \\ x^{n} = \frac{ m-n }{n} \\ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[n]{ \frac{m-n}{n} } } } \]

La siguiente sección esta repleto de ejercicios resueltos, y es una combinación de todo lo estudiado desde los temas de potenciación, radicación y ecuaciones exponenciales hasta ahora, espero que se diviertan con dichos ejercicios.

Y eso sería todo amigos, nos veremos en el siguiente capítulo, que tengan buen día, bye.