Hola amigos, como siempre aquí con un nuevo contenido como de costumbre, en esta cuarta sección les traigo un titulo interesante, hoy desarrollaremos el tema de Productos Notables.

Esta sección es una extensión de la sección de multiplicación algebraica y demostraremos algunos de las formulas de los productos notables usando la ley distributiva para la multiplicación. Se llaman así porque encontramos algunos rasgos notables, por lo que estas igualdades merecen ser mencionadas en esta sección. Sin mas, comencemos con el curso.

Esta ley podría ser el primer producto notable, se le conoce como el axioma de la distribución y nos ayudará a demostrar el resto de las propiedades subsiguientes. Como entenderán, todo axioma se anuncia sin demostración por ser una teoría lógica como 1+1 = 2, aquí la formula:

a(b+c) = ab + ac

Este axioma puede transformarse en teorema si trabajamos con inducción matemática si por lo menos uno de los factores a o b+c son números enteros. Pero para los números reales resulta ser imposible, es por ello su aspecto axiomático. Geográficamente se puede representar así:

a(b+c) = ab+ac

Ojo, con esta axioma se puede demostrar por inducción la siguiente propiedad generalizada:

a(b_1+ b_2 + b_3 + … + b_n) = ab_1+ ab_2 + ab_3 + … + ab_n

Ejemplos de la ley distributiva

  • 3xy(x + y) = 3xy × x + 3xy × y
                         = 3x^2y + 3xy^2
  • x^2(x^3 + x^2 + x + 1) = x^2 × x^3 + x^2 × x^2 + x^2 × xx^2 ×1
                                        = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x
  • abc(a^2b + b^2c + c^2a) = abc × a^2babc × b^2cabc × c^2a
                                             = a^3b^2c + ab^3c + abc^3

Binomio al cuadrado

Un binomio es un polinomio de 2 términos no semejantes como a + b, al elevarlo al cuadrado, obtenemos un trinomio de la siguiente forma:

  • Suma al cuadrado:

⏟((a+b)^2 )┬█(Binomio@al cuadrado)=⏟(a^2+2ab+b^2 )┬█(Trinomio cuadrado@perfecto))

El trinomio de la forma a^2 + 2ab + b^2 se le conoce como trinomio cuadrado perfecto. Si encontramos expresiones notables que tienen la forma de del trinomio cuadrado perfecto significa que se puede expresar como el cuadrado de la suma de un binomio. Pero si le cambiamos el signo de b por - b, tenemos:

  • Resta al cuadrado:

⏟((a-b)^2 )┬█(Binomio@al cuadrado)=⏟(a^2-2ab+b^2 )┬█(Trinomio cuadrado@perfecto)

Nota: Como todo número al cuadrado es siempre positivo, tener en cuenta que (a-b)^2 = (b-a)^2.

Demostración del binomio al cuadrado

Su demostración es muy sencilla, veamos:

  • Expresarlo (a+b)^2 como un producto:

(a+b)^2 = (a + b)(a + b)

  • Por la ley distributiva m(n + p) =  mn + mp:

(a+b)^2 = a(a + b) + b(a + b)

  • De nuevo la ley distributiva:
  • Aplicando la ley conmutativa ab = ba:

(a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2

  • Reduciendo términos semejantes, finalmente obtenemos:

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

También podemos realizar una demostración geométrica, para nuestro caso, el área del cuadrado grande es la suma del área de sus partes como se muestra en la siguiente imagen:

trinomio cuadrado perfecto

Ejemplos del binomio al cuadrado

Veamos algunos ejemplos de la formula del bionomio al cuadrado:

  • (m+2)^2 = (m)^2 + 2(m)(n) + (2)^2
                       = m^2 + 2mn + 4
  • (2x+3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3y) + (3y)^2
                           = 4x^2 + 12xy + 9y^2
  • (x^n+y^n )^2 = (x^n )^2 + 2(x^n)(y^n) + (y^n )^2
                           = x^2n + 2x^ny^n + y^2n
  • (m-3)^2 = (m)^2 - 2(m)(3) + (3)^2
                       = m^2- 6m + 9
  • (x+1/x)^2=(x)^2+2(x)(1/x)+(1/x)^2
                       =x^2+2+1/x^2

También se aplica el proceso inverso, esto solo es posible para aquellos casos donde el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto de la forma a^2 + 2ab + b^2, por ejemplo:

  • x^2 + 2x + 1 = (x)^2 + 2(x)(1) + (1)^2 = (x+1)^2
  • x^2 - 2x + 1 = (x)^2 - 2(x)(1) + (1)^2 = (x-1)^2
  • x^2 - 6x + 9 = (x)^2- 2(x)(3) + (3)^2 = (x-3)^2

Identidades de Legendre

Las siguientes identidades son consecuencia del binomio al cuadrado y son útiles si encontramos casos similares donde tengamos que aplicar estas identidades, veamos:

  1. (a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)
  2. (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab
  3. (a+b)^4 - (a-b)^4 = número 8ab(a^2 + b^2)

Demostración de las Identidades de Legendre

Cada una de estas demostraciones son sencillas de desarrollar, para este caso usaremos la identidad del binomio al cuadrado, veamos:

  1. (a+b)^2 + (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2abb^2
                                           = 2a^22b^2
                                           = 2(a^2 + b^2)
  2. (a+b)^2 - (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2abb^2)
                                            = a^2 + 2ab + b^2 -  a^2 + 2ab - b^2
                                            = 4ab
  3. La identidad 3 lo demostraremos por pasos mas detallados, veamos.
  • Aplicando la ley de potencias x^4 = (x^2 )^2:
    (a+b)^4 - (a-b)^4 = [(a+b)^2 ]^2 - [(a-b)^2 ]^2
    (a+b)^4 - (a-b)^4 = [a^2+2ab+b^2 ]^2 - [a^2-2ab+b^2 ]^2
  • Ordenando convenientemente y realizando un cambio de variable n = a^2 + b^2 y m = 2ab:
    (a+b)^4 - (a-b)^4 = [n+m]^2 - [n-m]^2
  • Aplicando la segunda identidad de Legendre:
    (a+b)^4 - (a-b)^4 = 4nm
  • Recordar que n = a^2 + b^2 y m = 2ab, tenemos:
    (a+b)^4 - (a-b)^4 = 4(a^2 + b^2)(2ab)
  • Finalmente se demuestra que:
    (a+b)^4 - (a-b)^4 = número 8ab(a^2 + b^2)

Diferencia de cuadrados

Es la segunda identidad mas conocida después del binomio al cuadrado llamado diferencia de cuadrados, también se le conoce como producto de un binomio por su conjugado y su formula es la siguiente:

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Tenga en cuenta que el conjugado de a + b es a - bEsta identidad nos ayuda a demostrar con mayor rapidez las identidades de Legendre, pero el desarrollo se lo dejamos como ejercicio para el lector, veamos su demostración rápida.

Demostración de la diferencia de cuadrados

Su demostración es muy sencilla, usando la identidad de la ley distributiva, veamos:

(a + b)(a - b) = (a + b)a - (a + b)b

Aplicando de nuevo la ley distributiva en (a + b)a y (a + b)b, tenemos:

(a + b)(a - b) = a × a + b × a - a × b - b × b

Aplicando la ley conmutativa b × a = a × b

(a + b)(a - b) = a^2 + ab - ab - b^2

Eliminando el termino ab, logramos obtener:

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

De esta manera queda demostrada la identidad, veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de la diferencia de cuadrados

Veamos algunos ejemplos de esta formula

También podemos realizar el proceso inverso, tan solo tomamos los términos de la diferencia y dividimos sus exponentes a la mitad, luego sumamos los nuevos términos y lo multiplicamos por su conjugado.

Binomio al cubo

El binomio al cubo o cubo de un binomio expresados en sumandos resulta ser igual al cubo del primero mas el triple del cuadrado del primero por el segundo mas el triple del primero por el cuadrado del segundo mas el cubo del tercero. Matemáticamente se expresa para la suma y resta así:

  • (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
  • (a-b)^3a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Donde a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 se le lama cuatrinomio cubo perfecto, siendo esta la forma extendida, pero también se puede escribirse en una forma mas agradable, se le conoce como identidades de Cauchy:

  • (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)
  • (a-b)^3a^3 - b^3 - 3ab(a - b)

En próximas secciones realizaremos una generalidad del binomio de Newton donde desarrollaremos la formula genera de el binomio a un exponente entero de la forma (a+b)^n.

Demostración del binomio al cubo

Descomponiendo en factores de la siguiente manera:

  • (a+b)^3 = (a+b)^2(a + b)

Aplicando el binomio al cuadrado (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

  • (a+b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b)

Por la ley distributiva:

  • (a+b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)a + (a^2 + 2ab + b^2)b

De nuevo la ley distributiva:

Multiplicando:

  • (a+b)^3 = a^3 + 2a^2b + b^2a + a^2b + 2ab^2 + b^3

Aplicando la propiedad conmutativa mnnm y reduciendo términos:

  • (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

La identidad de Cauchy no es mas que una simple factorización entre 3a^2b y 3ab^2 donde 3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b). La demostración para (a-b)^3 es análoga como en el caso anterior.

Ejemplo de binomio al cubo

Ejemplos con la forma extendida (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3:

  • (2x+3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3
                           = 4x^3 + 3(4x^2)(3y) + 3(2x)(9y^2) + número 8y^3
                           = 4x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + número 8y^3
  • (x+2y)^3 = (x)^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2 + (2y)^3
                        = x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + número 8y^3
  • (x+1/x)^3=(x)^3+3(x)^2 (1/x)+3(x) (1/x)^2+(1/x)^3
                       =x^3+3x^2∙1/x+3x∙1/x^2 +1/x^3
                       =x^3+3x+3 1/x+1/x^3
  • (2n-3m)^3 = (2n)^3 - 3(2n)^2(3m) + 3(2n)(3m)^2 - (3m)^3
                            = número 8n^3 - 3(4n^2)(3m) + 3(2n)(9m^2) - 9m^3
                            = número 8n^3 - 36n^2m54nm^2 - 9m^3

Ejemplos con la identidad de Cauchy:

  • (x+1/x)^3=(x)^3+(1/x)^3+3(x)(1/x)(x+1/x)
                       =x^3+1/x^3 +3(x+1/x)
  • (2x+1)^3 = (2x)^3(1)^3 + 3(2x)(1)(2x + 1)
                        = número 8x^3 + 1 + 6x(2x + 1)
  • (m-n)^3 = m^3 - n^3 - 3mn(m -  n)
  • (2x-3)^3 = (2x)^3 - (3)^3 - 3(2x)(3)(2x -  3)
                        = número 8x^3 - 2siete - 1número 8(2x -  3)

Suma y diferencia de cubos

Estas identidades también son frecuentes en muchos cálculos matemáticos, la suma o diferencia de dos términos elevados al cubo pueden expresarse como un producto de dos factores:

  • a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -  ab + b^2)
  • a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Esta identidad se puede demostrar por cambio de variable, sin embargo, esta demostración no lo haremos aquí, existe un método de demostración mas sencilla, tan solo escribiendo las identidades al revés, así:

  • (a + b)(a^2 -  ab + b^2) = a^3 + b^3
  • (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3

Estas identidades son mas sencilla de demostrar, tan solo aplicaremos la ley distributiva para la multiplicación.

Demostración de la suma de cubos

La demostración que verán ahora será para la identidad (a + b)(a^2 -  ab + b^2) = a^3 + b^3, por la ley distributiva:

Aplicando de nuevo la ley distributiva:

Por la ley conmutativa para la multiplicación mnnm:

Simplificando, finalmente logramos:

  • (a + b)(a^2 -  ab + b^2) = a^3 + b^3

En esta ocasión pasaremos de los ejemplos para esta identidad y continuamos con el resto de las identidades:

Multiplicación de binomios con un termino en común

Para dos binomios con término en común: el producto de dos binomios con termino común es igual al cuadrado del termino común, mas el termino común por la suma de los términos no comunes, mas el producto de los términos no comunes, matemáticamente se expresa así:

  • (x + a)(x + b) = x^2 + x(a + b) + ab

Para tres binomios con término en común: este producto notable es mas extenso, se trata de la multiplicación de 3 binomios con termino en común, aquí la expresión matemática:

  • (x + a)(x + b)(x + c) = x^3 + x^2(a + b + c) + x(ab + bc + ac) + abc

Demostración de la multiplicación de dos binomios con termino en común

La demostración de (x + a)(x + b) = x^2 + x(a + b) + ab es sencilla, aplicaremos la ley distributiva par ala multiplicación, veamos:

  • (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)

Aplicando de nuevo la ley distributiva:

  • (x + a)(x + b) = x × x + x × b + a × x + a × b

Operando:

  • (x + a)(x + b) = x^2 + xb + ax + ab
Factorizando x, logramos:
  • (x + a)(x + b) = x^2 + x(a + b) + ab
La demostración para la multiplicación de 3 binomios con termino en común es análoga a esta demostración.

Ejemplos de la multiplicación de binomios con termino en común

  • (x - 5)(x + 7) = x^2 + x( - 5 + 7) + (- 5)(7)
                              = x^2 + 2x - 35
  • (x - 2)(x - 3) = x^2 + x(- 2 - 3) + (- 2)(- 3)
                               = x^2 - 5x + 6
  • (a + 2)(a + 10) = a^2 + a(2 + 10) + 2 × 10
                                = a^2 + 12a + 20
  • (m - 5)(m - 6) = m^2 + m( - 5 - 6) + (- 5)(- 6)
                                  = m^2 - 11 + 30
  • (a^2 + 2)(a^2 + 10) = (a^2 )^2 + a^2(2 +  10) + (2)(10)
                                    = a^4 + 12a^2 + 20

Trinomio al cuadrado

El trinomio al cuadrado es la suma de los 3 termino elevados al cuadrado mas el doble de la suma de la multiplicación en pares de los 3 términos, esto es:

  • (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)
  • (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac

demostración del trinomio al cuadrado

Su prueba es muy sencilla, simplemente aplicaremos la ley distributiva, veamos:

  • (a+b+c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)
                              = (a + b + c)a + (a + b + c)b + (a + b + c)c

De nuevo aplicando la ley distributiva y ley conmutativa:

  • (a+b+c)^2 = a × ab × a + c × a + a × bb × b + c × b + a × cb × c + c × c
                              = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2

Reduciendo términos:

  • (a+b+c)^2a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac

Así es como queda demostrada la identidad.

Trinomio al cubo

Simbólicamente se expresa así junto con sus equivalentes:

  1. (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b + 6abc
  2. (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - 3abc
  3. (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)

demostración del trinomio al cubo

  1. Separando en factores:
    (a+b+c)^3 = (a+b+c)^2(a + b + c)
    Por el trinomio al cuadrado:
    (a+b+c)^3 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)(a + b + c)
    Por la ley distributiva:
    (a+b+c)^3 = a^2(a + b + c) + b^2(a + b + c) + c^2(a + b + c) + 2ab(a + b + c) + 2bc(a + b + c) + 2ac(a + b + c)
    De nuevo la ley distributiva:
    (a+b+c)^3 = a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + b^3 + b^2c + ac^2 + bc^2 + c^3 + 2a^2b + 2ab^2 + 2abc + 2abc + 2b^2c + 2bc^2 + 2a^2c + 2abc + 2ac^2
    Reduciendo términos, demostramos que:
    (a+b+c)^3
    = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3b^2a + 3b^2c + 3c^2a + 3c^2b + 6abc
  2. Para demostrarlo, comencemos por la segunda linea de de la prueba anterior, es decir, desde:
    (a+b+c)^3 = (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)(a + b + c)
    Haciendo 2ab + 2bc + 2ac = 3ab + 3bc + 3ac - (ab + bc + ac), tenemos:
    (a+b+c)^3 = (a^2 + b^2 + c^2 + 3ab + 3bc + 3ac - (ab + bc + ac))(a + b + c)
    Aplicando la ley distributiva convenientemente:
    (a+b+c)^3 = (a^2 + b^2 + c^2)(a + b + c) + (3ab + 3bc + 3ac)(a + b + c) - (ab + bc + ac)(a + b + c)
    Factorizamos el numero 3 y aplicamos la ley distributiva en (a^2 + b^2 + c^2)(a + b + c) y  (ab + bc + ac)(a + b + c), obtenemos:
    (a+b+c)^3 = a^3 + a^2b + a^2c + ab^2 + b^3 + b^2c + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - a^2b - ab^2 - abc - abc - b^2c - b^2c - a^2c - abc - a^2
    Reduciendo términos, finalmente logramos:
    (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - 3abc
  3. Para demostrar esta identidad, agruparemos convenientemente los términos a + b + c para aplicar la identidad de Cauchy del binomio al cubo, veamos:
    (a+b+c)^3 = [(a+b)+c]^3 = (a+b)^3 + c^3 + 3(a + b)c(a + b + c)
    Volviendo aplicar la identidad de Cauchy en (a+b)^3, tenemos:
    (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) + c^3 + 3(a + b)c(a + b + c)
    Ordenando y factorizando 3(a + b), tenemos:
    (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)[ab + c(a + b + c)]
    Donde ab + c(a + b + c) = ab + ac + bc + c^2 = c^2 + c(a + b) +ab, esta es la identidad del binomio con termino en común y se puede escribir así c^2 + c(a + b) +ab = (c + a)(c + b), remplazando en  (a+b+c)^3, tenemos:
    (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(c + a)(c + b)
    De esta manera queda demostrada la identidad.

Otras identidades

Aquí enunciamos algunas identidades mas:

Identidad trinomio (Argand)

  • (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) = x^4 + x^2 + 1
  • (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = x^4 + x^2y^2 + y^4

Identidad de gauss

  1. a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)
    La demostración de esta identidad se desprende al factorizar a + b + c de la segunda identidad del trinomio al cubo.
  2. (a + b)(b + c)(a + c) + 3abc = (a + b + c)(ab + bc + ac)
    Para demostrarlo, suficiente con restar las identidades 2 y 3 del trinomio al cubo.
  3. a^3+b^3+c^3-3abc=1/2 (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ]
    Su demostración es sencilla, tomando el factor a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac de la identidad 1 de Gauss, podemos transformarlo de la siguiente manera, multiplicamos por 2/2 tal que:
    a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=1/2(2a^2+2b^2+〖2c〗^2-2ab-2bc-2ac)
    Ordenando de tal manera para encontrar trinomios cuadrados perfectos, tenemos:
    a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=1/2(⏟(a^2-2ab+b^2 )┬TNP+⏟(b^2-2bc+c^2 )┬TNP+⏟(a^2-2ac+c^2 )┬TNP)
    Donde TNP significa trinomio cuadrado perfecto, entonces:
    a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=1/2 [(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 ]
    Remplazando esta expresión en la identidad 1 de Gauss, obtenemos la identidad 3 de Gauss.

Identidad de lagrange

Aquí enunciamos algunas identidades mas:

  • (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2
  • (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2) = (ax+by+cz)^2 + (ax-by)^2 + (az-cx)^2 +