Productos Notables

4. Productos Notables


Hola amigos, como siempre aquí con un nuevo contenido como de costumbre, en esta cuarta sección les traigo un titulo interesante, hoy desarrollaremos el tema de Productos Notables.

Esta sección es una extensión de la sección de multiplicación algebraica y demostraremos algunos de las formulas de los productos notables usando la ley distributiva para la multiplicación. Se llaman así porque encontramos algunos rasgos notables, por lo que estas igualdades merecen ser mencionadas en esta sección. Sin mas, comencemos con el curso.

Ley distributiva para la multiplicación


Esta ley podría ser el primer producto notable, se le conoce como el axioma de la distribución y nos ayudará a demostrar el resto de las propiedades subsiguientes. Como entenderán, todo axioma se anuncia sin demostración por ser una teoría lógica como 1+1 = 2, aquí la formula:

\[ a(b+c) = ab+ac \]

Este axioma puede transformarse en teorema si trabajamos con inducción matemática si por lo menos uno de los factores \( a \) o \( b+c \) son números enteros. Pero para los números reales resulta ser imposible, es por ello su aspecto axiomático. Geográficamente se puede representar así:


a(b+c) = ab+ac

Ojo, con esta axioma se puede demostrar por inducción la siguiente propiedad generalizada:

\[ a( b_{1} + b_{2} + b_{3} + \cdots + b_{n} ) = ab_{1} + ab_{2} + ab_{3} + \cdots + ab_{n} \]

Ejemplos

  • Multiplicar \( 3xy \) y \( x+y \).
    Solución:
    \[ \begin{align} 3xy(x+y) & = 3xy \cdot x + 3xy \cdot y \\ & = 3x^{2} y + 3xy^{2} \end{align} \]
  • Multiplicar \( x^{2} \) y \( x^{3} + x^{2} + x + 1 \).
    Solución:
    \[ \begin{align} x^{2}( x^{3} + x^{2} + x + 1 ) & = x^{2} \cdot x^{3} + x^{2} \cdot x^{2} + x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot 1 \\ & = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x \end{align} \]
  • Multiplicar \( abc \) y \( a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a \):
    Solución:
    \[ \begin{align} abc( a^{2}b + b^{2}c + c^{2} a ) & = abc \cdot a^{2} b + abc \cdot b^{2} c + abc \cdot c^{2} a \\ & = a^{3} b^{2} c + ab^{3} c + abc^{3} \end{align} \]

Binomio al cuadrado


Un binomio es un polinomio de 2 términos no semejantes como \( a + b \), al elevarlo al cuadrado produce un polinomio de 3 términos:

\[ \underbrace{ (a+b)^{2} }_{ \text{binomio} \\ \text{al cuadrado} } = \underbrace{ a^{2} + 2ab + b^{2} }_{ \text{trinomio cuadrado} \\ \text{perfecto} } \]

El trinomio de la forma \( a^{2} +2ab + b^{2} \) se le conoce como trinomio cuadrado perfecto. Si encontramos expresiones notables que tienen la forma de del trinomio cuadrado perfecto significa que se puede expresar como la suma de dos términos al cuadrado o simplemente binomio al cuadrado.


Pero si le cambiamos el signo de \( b \) por \( -b \), nos encontramos con una diferencia de dos términos al cuadrado, que también es un binomio al cuadrado y toma la siguiente forma:

\[ \underbrace{ (a-b)^{2} }_{ \text{binomio} \\ \text{al cuadrado} } = \underbrace{ a^{2} – 2ab + b^{2} }_{ \text{trinomio cuadrado} \\ \text{perfecto} } \]

Nota: Como todo número al cuadrado es siempre positivo, tener en cuenta que:

\[ (a-b)^{2} = (b-a)^{2} \]

Demostración

Su demostración es muy sencilla, veamos:


  1. Expresando \( (a+b)^{2} \) como un producto:
    \[ (a+b)^{2} = ( \color{red}{a} + \color{blue}{b} )(a+b) \]
  2. Por la ley distributiva \( m(n+p) = mn + mp \):
    \[ (a+b)^{2} = \color{red}{a} (a+b) + \color{blue}{b} (a+b) \]
  3. De nuevo la ley distributiva:
    \[ \color{red}{a} \cdot a + \color{red}{a} \cdot b + \color{blue}{b} \cdot a + \color{blue}{b} \cdot b \]
  4. Por la ley conmutativa \( xy=yx \):
    \[ (a+b)^{2} = a^{2} + ab + ab + b^{2} \]
  5. Reduciendo términos semejantes, finalmente obtenemos:
    \[ (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \]

También podemos realizar una demostración geométrica, para nuestro caso, el área del cuadrado grande es la suma del área de sus partes como se muestra en la siguiente imagen:

trinomio cuadrado perfecto

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de la formula del binomio al cuadrado:

  • Resolver \( (m+2)^{2} \).
    Solución:
    \( \begin{align} (m+2)^{2} & = m^{2} + 2mn + 2^{2} \\ & = m^{2} + 2mn + 4 \end{align} \)
  • Resolver \( (2x + 3y)^{2} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( 2x + 3y )^{2} & = (2x)^{2} + 2(2x)(3y) + (3y)^{2} \\ & = 4x^{2} + 12xy + 9y^{2} \end{align} \)
  • Resolver \( ( x^{n} + y^{n} )^{2} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( x^{n} + y^{n} )^{2} & = ( x^{n} )^{2} + 2( x^{n} ) ( y^{n} ) + ( y^{n} )^{2} \\ & = x^{2n} + 2x^{n} y^{n} + y^{2n} \end{align} \)
  • Resolver \( (m-3)^{2} \).
    Solución
    \( \begin{align} ( m-3 )^{2} & = m^{2} – 2(m)(3) + 3^{2} \\ & = m^{2} – 6m + 9 \end{align} \)
  • Resolver \( ( x + \frac{1}{x} )^{2} \)
    \( \require{cancel} \begin{align} ( x + \frac{1}{x} )^{2} & = x^{2} + 2( \cancel{x} )( \frac{1}{ \cancel{x} } ) + ( \frac{1}{x} )^{2} \\ & = x^{2} + 2 + \frac{1}{ x^{2} } \end{align} \)

También se aplica el proceso inverso, esto solo es posible para aquellos casos donde el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto de la forma \( a^{2} + 2ab + b^{2} \), por ejemplo:

  • \( x^{2} + 2x + 1 = x^{2} + 2(x)(1) + 1^{2} = (x+1)^{2} \)
  • \( x^{2} – 2x + 1 = x^{2} – 2(x)(1) + 1^{2} = (x-1)^{2} \)
  • \( x^{2} – 6x + 9 = x^{2} – 2(x)(3) + 3^{2} = (x-3)^{2} \)

Identidades de Legendre


Las siguientes identidades son consecuencia del binomio al cuadrado y son útiles si encontramos casos similares donde tengamos que aplicar estas identidades, veamos:

  1. \( (a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2( a^{2} + b^{2} ) \)
  2. \( (a+b)^{2} – (a-b)^{2} = 4ab \)
  3. \( (a+b)^{4} – (a-b)^{4} = 8ab( a^{2} + b^{2} ) \)

Demostración

Cada una de estas demostraciones son sencillas de desarrollar, para este caso usaremos la identidad del binomio al cuadrado, veamos:


  1. Probando \( (a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2( a^{2} + b^{2} ) \), tenemos:
    \[ \begin{align} (a+b)^{2} + (a-b)^{2} & = ( a^{2} + \cancel{2ab} + b^{2} )+( a^{2} – \cancel{2ab} + b^{2} ) \\ & = 2a^{2} + 2b^{2} \\ & = 2( a^{2} + b^{2} ) \end{align} \]
  2. Probando \( (a+b)^{2} – (a-b)^{2} = 4ab \), tenemos:
    \( \begin{align} (a+b)^{2} – (a-b)^{2} & = ( a^{2} + 2ab + b^{2} )-( a^{2} – 2ab + b^{2} ) \\ & = \cancel{ a^{2} } + 2ab + \cancel{ b^{2} } – \cancel{ a^{2} } + 2ab – \cancel{ b^{2} } \\ & = 4ab \end{align} \)
  3. La identidad 3 se puede reducir rápidamente con el producto notable “diferencia de cuadrados”, pero como aun no lo anunciamos, lo haremos por el binomio al cuadrado. Por la ley de potencias \( x^{4} = ( x^{2} )^{2} \), tenemos:
    \[ \begin{align} (a+b)^{4} – (a-b)^{4} & = [ (a+b)^{2} ]^{2} – [ (a-b)^{2} ]^{2} \\ & = [ a^{2} + 2ab + b^{2} ]^{2} – [ a^{2} + 2ab + b^{2} ]^{2} \end{align} \]
    Ordenando convenientemente y realizando un cambio de variable donde \( n = a^{2} + b^{2} \) y \( m = 2ab \), obtenemos:
    \[ (a+b)^{4} – (a-b)^{4} = [n+m]^{2} – [n-m]^{2} \]
    Por la segunda identidad de Legendre, se cumple:
    \[ (a+b)^{4} – (a-b)^{4} = 4nm \]
    Recordar que \( n = a^{2} + b^{2} \) y \( m = 2ab \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} (a+b)^{4} – (a-b)^{4} & = 4( a^{2} + b^{2} )(2ab) \\ & = 8ab( a^{2} + b^{2} ) \end{align} \]

Diferencia de cuadrados


Es la segunda identidad mas conocida después del binomio al cuadrado llamado diferencia de cuadrados, también se le conoce como producto de un binomio por su conjugado y su formula es la siguiente:

\[ (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} \]

Tenga en cuenta que el conjugado de \( a+b \) es \( a-b \). Esta identidad nos ayuda a demostrar con mayor rapidez las identidades de Legendre, pero el desarrollo se lo dejamos como ejercicio para el lector, veamos su demostración rápida.

Demostración

  1. Su demostración es muy sencilla, usando la identidad de la ley distributiva, tenemos:
    \[ ( \color{red}{a} + \color{red}{b} )( a-b ) = ( \color{re}{a} + \color{red}{b} )a – ( \color{red}{a} + \color{red}{b} )b \]
  2. Aplicando de nuevo la ley distributiva en \( ( \color{red}{a} + \color{red}{b} )a \) y \( ( \color{red}{a} + \color{red}{b} )b \), tenemos:
    \[ ( \color{red}{a} + \color{red}{b} )(a-b) = a \cdot a + b \cdot a – a \cdot b – b \cdot b  \]
  3. Aplicando la ley conmutativa \( b \cdot a = a \cdot b \) y eliminando términos, finalmente logramos:
    \[ \begin{align} ( \color{red}{a} + \color{red}{b} )(a-b) & = a^{2} + \cancel{ab} – \cancel{ab} – b^{2} \\ & = a^{2} – b^{2} \end{align} \]

De esta manera queda demostrada la identidad, veamos algunos ejemplos:

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de esta formula:


  • \( (m+n)(m-n) = m^{2} – n^{2} \)
  • \( (x+a)(x-a) = x^{2} – a^{2} \)
  • \( (x-1)(x+1) = x^{2} – 1^{2} = x^{2} – 1 \)
  • \( (x-2)(x+2) = x^{2} – 2^{2} = x^{2} – 4 \)
  • \( ( n^{2} + m^{2} )( n^{2} – m^{2} ) = ( n^{2} )^{2} – ( m^{2} )^{2} = n^{4} – m^{4} \)
  • \( ( m^{20} + n^{40} )( m^{20} – n^{40} ) = ( m^{20} )^{2} – ( n^{40} )^{2} = m^{40} – n^{80} \)
  • \( ( 2x + 3y )( 2x – 3y ) = ( 2x )^{2} – (3y)^{2} = 4x^{2} – 9y^{2} \)
  • \( ( 5x – 7y )( 5x + 7y ) = (5x)^{2} – (7y)^{2} = 25x^{2} – 49y^{2} \)
  • \( ( a^{n} + b^{n} )( a^{n} – b^{n} ) = ( a^{n} )^{2} – ( b^{n} )^{2} = a^{2n} – b^{2n} \)
  • \( ( \sqrt{x}  + \sqrt{y} )( \sqrt{x}  – \sqrt{y} ) = ( \sqrt{x} )^{2} – ( \sqrt{y} )^{2} = x-y \)
  • \( ( a^{m+1} + b^{n+3} )( a^{m+1} – b^{n+3} ) = ( a^{m+1} )^{2} – ( b^{n+3} )^{2} = a^{ 2(m+1) } – b^{ 2(n+3) } \)

También podemos realizar el proceso inverso, tan solo tomamos los términos de la diferencia y dividimos sus exponentes a la mitad, luego sumamos los nuevos términos y lo multiplicamos por su conjugado.

  • \( m^{2} – n^{2} = (m+n)(m-n) \)
  • \( m^{4} – n^{2} = ( m^{2} + n )( m^{2} – n ) \)
  • \( m^{8} – n^{6} = ( m^{4} + n^{3} )( m^{4} – n^{3} ) \)
  • \( m^{40k} – n^{10k} = ( m^{ 20k } + n^{5k} )( m^{20k} – n^{5k} ) \)
  • \( 4x^{2} – 9y^{2} = ( 2x+3y )( 2x – 3y ) \)

Binomio al cuadrado


El binomio al cubo o cubo de un binomio expresados en sumandos resulta ser igual al cubo del primero mas el triple del cuadrado del primero por el segundo mas el triple del primero por el cuadrado del segundo mas el cubo del tercero. Matemáticamente se expresa para la suma y resta así:

  • \( (a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + 3b^{3} \)
  • Propiedad 2:
    \( (a-b)^{3} = a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – 3b^{3} \)

Donde \( a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \) es un polinomio cubo perfecto de 4 términos, siendo esta la forma extendida, pero también se puede escribirse en una forma mas agradable, se le conoce como identidades de Cauchy:

  • \( (a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b) \)
  • \( (a-b)^{3} = a^{3} – b^{3} – 3ab(a-b) \)

En próximas secciones realizaremos una generalidad del binomio de Newton donde desarrollaremos la formula genera de el binomio a un exponente entero de la forma \( (a+b)^{n} \).

Demostración

  1. Descomponiendo en factores de la siguiente manera:
    \[ (a+b)^{3} = (a+b)^{2}(a+b) \]
  2. Por el binomio al cuadrado \( (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \):
    \[ (a+b)^{3} = ( a^{2} + 2ab + b^{2} )(a+b) \]
  3. Por la ley distributiva:
    \[ (a+b)^{3} = ( a^{2} + 2ab + b^{2} )a + ( a^{2} + 2ab + b^{2} )b \]
  4. De nuevo la ley distributiva:
    \[ (a+b)^{3} = a^{2} \cdot a + 2ab \cdot a + b^{2} \cdot a + a^{2} \cdot b + 2ab \cdot b + b^{2} \cdot b \]
  5. Multiplicando:
    \[ (a+b)^{3} = a^{3} + 2a^{2}b + b^{2}a + a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3} \]
  6. Aplicando la propiedad conmutativa \( mn = nm \) y reduciendo términos:
    \( (a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \)

La identidad de Cauchy no es mas que una simple factorización entre \( 3a^{2}b \) y \( 3ab^{2} \) donde \( 3a^{2}b + 3ab^{2} = 3ab(a+b) \). La demostración para \( (a-b)^{3} \) es análoga como en el caso anterior.


Ejemplos

Con la forma extendida:

  • Resolver \( ( 2x + 3y )^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( 2x+3y )^{3} & = (2x)^{3} + 3(2x)^{2}(3y) + 3(2x)(3y)^{2} + (2x)^{3} \\ & = 4x^{3} + 3( 4x^{2} )(3y) + 3(2x)( 9y^{2} ) + 8y^{3} \\ & = 4x^{3} + 36x^{2}y + 54xy^{2} + 8y^{3} \end{align} \)
  • Resolver \( (x+2y)^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( x + 2y )^{3} & = x^{3} + 3(x)^{2}(2y) + 3(x)(2y)^{2} + (2y)^{3} \\ & = x^{3} + 6x^{2}y + 12xy^{2} + 8y^{3} \end{align} \)
  • Resolver \( ( x + \frac{1}{x} )^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( x + \frac{1}{x} )^{3} & = x^{3} + 3(x)^{2} ( \frac{1}{x} ) + 3x( \frac{1}{x} )^{2} + ( \frac{1}{x} )^{3} \\ & = x^{3} + 3x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3x \cdot \frac{1}{ x^{2} } + \frac{1}{ x^{3} } \\ & = x^{3} + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{ x^{3} } \end{align} \)
  • Resolver \( (2n-3m)^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} (2n – 3m)^{3} & = (2n)^{3} – 3(2n)^{2} (2m) + 3(2n)(2m)^{2} – (2m)^{3} \\ & = 8n^{3} – 3( 4n^{2} )(3m) + 3(2n)(9m^{2}) – 9m^{3} \\ & = 8n^{3} – 36n^{2}m + 54nm^{2} – 9m^{3} \end{align} \)

Con la identidad de Cauchy:

  • Resolver \( ( x + \frac{1}{x} )^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( x + \frac{1}{x} )^{3} & = x^{3} + ( \frac{1}{x} )^{3} + 3x( \frac{1}{x} )( x + \frac{1}{x} ) \\ & = x^{3} + \frac{1}{ x^{3} } + 3( x + \frac{1}{x} ) \end{align} \)
  • Resolver \( (2x+1)^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} (2x+1)^{2} & = (2x)^{3} + 1^{3} + 3(2x)(1)( 2x + 1 ) \\ & = 8x^{3} + 1 + 6x(2x + 1) \end{align} \)
  • Resolver \( (m-n)^{3} \).
    Solución:
    \( (m-n)^{3} = m^{3} – n^{3} – 3mn(m-n) \)
  • Resolver \( (2x-3)^{3} \).
    Solución:
    \( \begin{align} (2x-3)^{3} & = (2x)^{3} – 3^{3} – 3(2x)(3)(2x-3) \\ & = 8x^{3} – 27 – 18(2x-3) \end{align} \)

Suma y diferencia de cubos


Estas identidades también son frecuentes en muchos cálculos matemáticos, la suma o diferencia de dos términos elevados al cubo pueden expresarse como un producto de dos factores:

  • \( a^{3} + b^{3} = ( a + b )( a^{2} – ab + b^{2} ) \)
  • \( a^{3} – b^{3} = (a-b)( a^{2} + ab + b^{2} ) \)

Esta identidad se puede demostrar por cambio de variable, sin embargo, esta demostración no lo haremos aquí, existe un método de demostración mas sencilla, tan solo escribiendo las identidades al revés, así:

  • \( (a+b)( a^{2} – ab + b^{2} ) = a^{3} + b^{3} \)
  • \( (a-b)( a^{2} + ab + b^{2} ) = a^{3} – b^{3} \)

Estas identidades son mas sencilla de demostrar, tan solo aplicaremos la ley distributiva para la multiplicación.


Demostración

  1. La demostración que verán ahora será para la identidad \( (a+b)( a^{2} – ab + b^{2} ) = a^{3} + b^{3} \), por la ley distributiva:
    \[ (a+b)( a^{2} – ab + b^{2} ) = a( a^{2} – ab + b^{2} ) + b( a^{2} – ab + b^{2} ) \]
  2. Aplicando de nuevo la ley distributiva:
    \[ (a+b)( a^{2} – ab + b^{2} ) = a \cdot a^{2} – a \cdot ab + a \cdot b^{2} + b \cdot a^{2} – b \cdot ab + b \cdot b^{2} \]
  3. Por la ley conmutativa para la multiplicación \( mn=nm \):
    \[ (a+b)( a{2} – ab + b^{2} ) = a^{3} – a^{2} b + ab^{2} + a^{2}b – ab^{2} + b^{3} \]
  4. Simplificando, finalmente logramos:
    \[ (a+b)( a^{2} – ab + b^{2} ) = a^{3} + b^{3} \]

En esta ocasión pasaremos de los ejemplos para esta identidad y continuamos con el resto de las identidades:

Multiplicación de binomios con termino en común


Para dos binomios con término en común: el producto de dos binomios con termino común es igual al cuadrado del termino común, mas el termino común por la suma de los términos no comunes, mas el producto de los términos no comunes, matemáticamente se expresa así:

\[ (x+a)(x+b) = x^{2} + x(a+b) + ab \]

Para tres binomios con término en común: este producto notable es mas extenso, se trata de la multiplicación de 3 binomios con termino en común, aquí la expresión matemática:

\[ (x+a)(x+b)(x + c) = x^{3} + x^{2} (a+b+c) + x( ab + bc + ac ) + abc \]


Demostración

  1. La demostración de \( (x+a)(x+b) = x^{2} + x(a+b) + ab \) es sencilla, aplicaremos la ley distributiva par la multiplicación, veamos:
    \[ (x+a)(x+b) = x(x+b) + a(x+b) \]
  2. Aplicando de nuevo la ley distributiva:
    \[ (x+a)(x+b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b \]
  3. Operando:
    \[ (x+a)(x+b) = x^{2} + xb +ax + ab \]
  4. Factorizando \( x \), logramos:
    \[ (x+a)(x+b) = x^{2} + x(a+b) + ab \]

La demostración para la multiplicación de 3 binomios con termino en común es análoga a esta demostración.

Ejemplos

  • Multiplicar \( x-5 \) y \( x+7 \).
    Solución:
    \( \begin{align} (x-5)(x+7) & = x^{2} + x( -5 + 7 ) + (-5)(7) \\ & = x^{2} + 2x – 35 \end{align} \)
  • Multiplicación \( x-2 \) y \( x-3 \).
    Solución:
    \( \begin{align} (x-2)(x-3) & = x^{2} + x( -2-3 ) + (-2)(-3) \\ & = x^{2} – 5x + 6 \end{align} \)
  • Multiplicación \( a+2 \) y \( a+10 \).
    Solución:
    \( \begin{align} (a+2)(a+10) & = a^{2} + a(2+10) + 2 \cdot 10 \\ & = a^{2} + 12a + 20 \end{align} \)
  • Multiplicar \( m-5 \) y \( m-6 \).
    Solución:
    \( \begin{align} (m-5)(m-6) & = m^{2} + m( -5 -6 ) + (-5)(-6) \\ & = m^{2} – 11m + 30 \end{align} \)
  • Multiplicar \( a^{2} + 2 \) y \( a^{2} + 10 \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( a^{2} + 2 )( a^{2} + 10 ) & = ( a^{2} )^{2} + a^{2} ( 2+ 10 ) + (2)(10) \\ & = a^{4} + 12a^{2} + 20 \end{align} \)

Trinomio al cuadrado


El trinomio al cuadrado es la suma de los 3 termino elevados al cuadrado mas el doble de la suma de la multiplicación en pares de los 3 términos, esto es:

  • \( (a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2( ab + bc + ac ) \)
  • \( (a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2ab + 2bc + 2ac \)

Demostración:

  1. Su prueba es muy sencilla, simplemente aplicaremos la ley distributiva, veamos:
    \[ \begin{align} (a+b+c)^{2} & = (a+b+c)(a+b+c) \\ & = (a+b+c)a + (a+b+c)b + (a+b+c)c \end{align} \]
  2. De nuevo aplicando la ley distributiva y ley conmutativa:
    \[ \begin{align} (a+b+c)^{2} & = a \cdot a + b \cdot a + c \cdot a + a \cdot b + b \cdot b + c \cdot b + a \cdot a + b \cdot c + c \cdot c \\ & = a^{2} + ab + ac + ab + b^{2} + bc + ac + bc + c^{2} \end{align} \]
  3. Reduciendo términos:
    \[ (a+b+c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} +2ab + 2bc + 2ac \]

Así es como queda demostrada la identidad.

Ejemplos:

  • Resolver \( ( a+a^{2} + a^{3} )^{2} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( a + a^{2} + a^{3} )^{2} & = (a)^{2} + ( a^{2} )^{2} + ( a^{3} )^{2} + 2( a \cdot a^{2} + a^{2} \cdot a^{3} + a \cdot a^{3} ) \\ & = a^{2} + a^{4} + a^{6} + 2( a^{3} + a^{5} + a^{4} ) \end{align} \)
  • Resolver \( ( 1 + x + \frac{1}{x} )^{2} \).
    Solución:
    \( \begin{align} ( 1 + x + \frac{1}{x} )^{2} & = 1^{2} + x^{2} + ( \frac{1}{x} )^{2} + 2( 1 \cdot x + x \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot \frac{1}{x} ) \\ & = 1 + x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } + 2( x + 1 + \frac{1}{x} ) \\ & = 1 + x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } + 2x + 2 + \frac{2}{x} \\ & = 3 + 2x + \frac{2}{x} + x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } \end{align} \)

Trinomio al cubo


Simbólicamente se expresa así junto con sus equivalentes:

  1. Formula 1:
    \( \begin{eqnarray} (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3a^{2}b + 3a^{2}c + 3b^{2}a \nonumber \\ + 3b^{2}c + 3c^{2}a + 3c^{2}b + 6abc \end{eqnarray} \)
  2. Formula 2:
    \( (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} +3(a+b+c)( ab+bc+ac ) – 3abc \)
  3. Formula 3:
    \( (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3(a+b)(b+c)(a+c) \)

DEMOSTRACIÓN

  1. Prueba de la Formula 1.
    * Separando en factores:
    \[ (a+b+c)^{3} = (a+b+c)^{2} (a+b+c) \]
    Por el trinomio al cuadrado:
    \[ (a+b+c)^{3} = ( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab +2bc + 2ac )(a+b+c) \]
    * Por la ley distributiva:
    \[ \begin{eqnarray} (a+b+c)^{3} = a^{2} (a+b+c) + b^{2} (a+b+c) + c^{2} (a+b+c) \nonumber \\ + 2ab(a+b+c) + 2bc(a+b+c) + 2ac(a+b+c) \end{eqnarray} \]
    * De nuevo la ley distributiva:
    \[ \begin{eqnarray} (a+b+c)^{3} = a^{3} + a^{2}b + a^{2} c + ab^{2} + b^{3} + b^{2}c + ac^{2} + bc^{2} + c^{3} \nonumber \\ + 2a^{2}b + 2abc + 2abc + 2b^{2}c + 2bc^{2} + 2a^{2}c + 2abc + 2ac^{2} \end{eqnarray} \]
    * Reduciendo términos semejantes, demostramos que:
    \[ (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3a^{2}b + 3a^{2}c + 3b^{2}a + 3b^{2}c + 3c^{2}a + 3c^{2}b + 6abc \]
  2. Prueba de la formula 2.
    * Para demostrarlo, comencemos por la segunda linea de de la prueba anterior, es decir, desde:
    \[ (a+b+c)^{3} = ( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab +2bc + 2ac )(a+b+c) \]
    * Haciendo \( 2ab + 2bc + 2ac = 3ab + 3bc + 3ac – (ab + bc + ac) \), tenemos:
    \[ (a+b+c)^{3} = ( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3ab + 3bc + 3ac – (ab + bc + ac) )(a+b+c) \]
    * Por la ley distributiva convenientemente:
    \[ \begin{eqnarray} (a+b+c)^{3} = ( a^{2} + b^{2} + c^{2} )(a+b+c) + ( 3ab + 3bc + 3ac )(a+b+c) \nonumber \\ – (ab+bc+ac)(a+b+c) \end{eqnarray} \]
    * Factorizamos el numero 3 y aplicamos la ley distributiva en \( ( a^{2} + b^{2} + c^{2} )(a+b+c) \) y \( (ab+bc+ac)(a+b+c) \), obtenemos:
    \[ \begin{eqnarray} (a+b+c)^{3} = a^{3} + a^{2}b + a^{2}c + ab^{2} + b^{3} + b^{2}c + 3(a+b+c)(ab + bc + ac) \nonumber \\ – a^{2}b – ab^{2} – abc – abc – b^{2}c – b^{2}c – a^{2}c – abc – a^{2} \end{eqnarray} \]
    * Reduciendo términos, finalmente logramos:
    \[ (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3(a+b+c)( ab + bc + ac ) – 3abc \]
  3. Prueba de la formula 3.
    * Para demostrar esta identidad, agruparemos convenientemente los términos \( a+b+c \) para aplicar la identidad de Cauchy del binomio al cubo, veamos:
    \[ (a+b+c)^{3} = [ (a+b)+c ]^{3} = (a+b)^{3} + c^{3} + 3(a+b)c(a+b+c) \]
    * Volviendo aplicar la identidad de Cauchy en \( (a+v)^{3} \), tenemos:
    \[ (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b) + c^{3} + 3(a+b)c(a+b+c) \]
    * Ordenando y factorizando \( 3(a+b) \), tenemos:
    \[ (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3(a+b)[ ab + c(a+b+c) ] \]
    * Donde \( ab + c(a+b+c) = ab + ac + bc + c^{2} = c^{2} + c(a+b)  + ab \), esta es la identidad del binomio con termino en común y se puede escribir así \( c^{2} + c(a+b) + ab = (c+a)(c+b) \), remplazando en \( (a+b+c)^{3} \), tenemos:
    \[ (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3(a+b)(c+a)(c+b) \]

De esta manera queda demostrada las identidades.


Otras identidades notables


Aquí enunciamos algunas identidades mas:

Identidad del trinomio (Argand)

  • \( ( x^{2} + x + 1 )( x^{2} – x + 1 ) = x^{4} + x^{2} + 1 \)
  • \( ( x^{2} + xy + y^{2} )( x^{2} – xy + y^{2} ) = x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} \)

Identidad de Gauss

  1. \( a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3abc =(a+b+c)( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ac ) \)
    La demostración de esta identidad se desprende al factorizar \( a+b+c \) de la segunda identidad del trinomio al cubo.
  2. \( (a+b)(b+c)(a+c) + 3abc = (a+b+c)(ab+bc +ac) \)
    Para demostrarlo, suficiente con restar las identidades 2 y 3 del trinomio al cubo.
  3. \( a^{3} + b^{3} + c^{3} – 3abc = \frac{1}{2} (a+b+c)[ (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2} ] \)
    Su demostración es sencilla, tomando el factor \( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ac \) de la identidad 1 de Gauss, podemos transformarlo de la siguiente manera, multiplicamos por \( \frac{2}{2} \) tal que:
    \( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ac = \frac{1}{2} ( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} – 2ab – 2bc – 2ac ) \)
    Ordenando de tal manera para encontrar trinomios cuadrados perfectos, tenemos:
    \( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ac = \frac{1}{2} ( \underbrace{ a^{2} – 2ab + b^{2} }_{ \text{TNP} } + \underbrace{ b^{2} – 2bc + c^{2} }_{ \text{TNP} } + \underbrace{ a^{2} – 2ac + c^{2} }_{ \text{TNP} } ) \)
    Donde TNP significa trinomio cuadrado perfecto, entonces:
    \( a^{2} + b^{2} + c^{2} – ab – bc – ac = \frac{1}{2} [ (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (a-c)^{2} ] \)
    Remplazando esta expresión en la identidad 1 de Gauss, obtenemos la identidad 3 de Gauss.

Identidad de Lagrange

Aquí enunciamos algunas identidades mas:

  • \( ( a^{2} + b^{2} )( x^{2} + y^{2} ) = (ax+by)^{2} + (ay-bx)^{2} \)
  • \( \begin{eqnarray} ( a^{2} + b^{2} + c^{2} )( x^{2} + y^{2} + x^{2} ) = (ax+by+cz)^{2} + (ax-by)^{2} \nonumber \\ + (az-cx)^{2} + (bz-cy)^{2} \end{eqnarray} \)

Identidades condicionales

Son aquellas identidades que cumplen un requisito, generalmente en productos notables el requisito mas usado es \( a+b+c = 0 \) cumple las siguientes relaciones.

  • \( a^{2} + b^{2} + c^{2} = -2( ab + bc + ac ) \)
  • \( a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc \)
  • \( (ab+bc+ac)^{2} = (ab)^{2} + (bc)^{2} + (ac)^{2} \) 
  • \( ( \frac{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2} )( \frac{ a^{3} + b^{3} + c^{3} }{3} )=( \frac{ a^{5} + b^{5} + c^{3} }{5} ) \)
  • \( ( \frac{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }{2} )( \frac{ a^{5} + b^{5} + c^{5} }{5} ) = ( \frac{ a^{7} + b^{7} + c^{7} }{7} ) \)

Ejercicios resueltos


Ejercicio 1

Si \( a+b = \sqrt{5} \) y \( ab = 3 \), calcular \( (a-b)^{2} \).

Solución:


  1. Por la identidad de Legendre:
    \[ (a+b)^{2} – (a-b)^{2} = 4ab \]
  2. Remplazando los datos \( a+b = \sqrt{5} \) y \( ab = 3 \), tenemos:
    \[ ( \sqrt{5} )^{2} – (a-b)^{2} = 4(3) \]
  3. Resolviendo:
    \[ \begin{align} 5 – (a-b)^{2} & = 12 \\ & = -(a-b)^{2} = 12 – 5 \\  -(a-b)^{2} & = 7 \\ (a-b)^{2} & = \boxed{ -7 } \end{align} \]

Ejercicio 2

Sabiendo que \( a+b = 11 \) y \( ab = 20 \), calcular \( \mathrm{E} = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } \).

Solución:

  1. Elevando al cuadrado la expresión \( a+b = 11 \):
    \[ (a+b)^{2} = 11^{2} \]
  2. Por el binomio al cuadrado \( (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \), tenemos:
    \[ a^{2} + b^{2} + 2ab =121 \]
  3. Remplazando el dato \( ab = 20 \) y resolviendo:
    \[ \begin{align} a^{2} + b^{2} + 2(20) & = 121 \\ a^{2} + b^{2} + 40 & = 121 \\ a^{2} + b^{2} & = 121 – 40 \\ a^{2} + b^{2} & = 80 \end{align} \]
  4. Al extraer la raíz cuadrada de esta ultima expresión, obtenemos \( \mathrm{E} \), finalmente:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ a^{2} + b^{2} } = \sqrt{81} = \boxed{9} \]

Ejercicio 3

Si \( x + \frac{1}{x} = 2 \), hallar \( \mathrm{E} = x^{40} + \frac{1}{ x^{40} } \).

Solución:

  1. La condición la podemos escribir de la siguiente manera:
    \[ x + \frac{1}{x} = 2 \rightarrow \frac{ x^{2} + 1 }{x} = 2 \]
  2. Resolviendo, encontramos un trinomio cuadrado perfecto:
    \[ \begin{align} x^{2} + 1 & = 2x \\ \underbrace{ x^{2} – 2x + 1 }_{ \text{Trinomio} \\ \text{Cuadrado} \\ \text{Perfecto} } & = 0 \\ (x-1)^{2} & = 0 \\ x-1 & =0 \\ x & = 1  \end{align} \]
  3. Remplazando este valor de nuestro ejercicio, el valor de \( \mathrm{E} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = (1)^{40} + \frac{1}{ (1)^{40} } \\ & = 1 + \frac{1}{1} \\ & = 1 + 1 \\ & = \boxed{2} \end{align} \]

Ejercicio 4

Si \( (x+y)^{2} = 2( x^{2} + y^{2} ) \), hallar \( \mathrm{E} = \frac{3x+2y}{5x} \).


Solución:

  1. Del dato, aplicando la identidad del binomio al cuadrado \( (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \):
    \[ x^{2} + 2xy + y^{2} = 2x^{2} + 2y^{2} \]
  2. Reduciendo términos semejantes:
    \[ \begin{align} 2xy & = 2x^{2} + 2y^{2} – x^{2} – y^{2} \\ & = x^{2} + y^{2} \end{align} \]
  3. Ordenando, encontramos un trinomio cuadrado perfecto:
    \[ \begin{align} 0 & = x^{2} + y^{2} – 2xy \\ 0 & = (x-y)^{2} \end{align} \]
  4. Resolviendo encontramos lo siguiente:
    \[ \begin{align} x-y & = 0 \\ x & = y \end{align} \]
  5. Remplazando este valor en nuestro ejercicio, logramos obtener:
    \[ \mathrm{E} = \frac{3x + 2y}{5x} = \frac{3x + 2x}{5x} = \frac{5x}{5x} = \boxed{1} \]

Ejercicio 5

Si \( a+b=5 \) y \( a^{2} + b^{2} =21 \), hallar \( a^{3} + b^{3} \).

Solución:

  1. Del binomio al cuadrado \( (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \) donde \( a+b = 5 \) y \( a^{2} + b^{2} = 21 \), tenemos:
    \[ 5^{2} = 21 + 2ab \]
  2. Reduciendo términos semejantes:
    \[ \begin{align} 25 & = 21 + 2ab \\ 25 – 21 & = 2ab \\ 4 & = 2ab \\ 2 = ab \end{align} \]
  3. Por la identidad del binomio al cubo de Cauchy \( (a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b) \), remplazamos los datos como los valores calculados:
    \[ 5^{3} = a^{3} + b^{3} + 3(2)(5) \]
  4. Resolviendo, finalmente obtenemos:
    \[ a^{3} + b^{3} = \boxed{95} \]

Ejercicio 6

Si \( \frac{ a^{2} }{ b } – \frac{ b^{2} }{a} = 3(a-b) \), resolver \( \mathrm{E} = \frac{ 3( a^{4} + b^{4} ) }{ a^{2} b^{2} } \).

Solución:


  1. Del dato, lo podemos escribir así:
    \[ \begin{align} \frac{ a^{2} }{b} – \frac{ b^{2} }{a} & = 3(a-b) \\ \frac{ a^{3} – b^{3} }{ab} & = 3(a-b) \end{align} \]
  2. Realizando las operaciones respectivas, encontramos la identidad de Cauchy:
    \[ \begin{align} a^{3} – b^{3} & = 3ab(a-b) \\ a^{3} – b^{3} – 3ab(a-b) & = 0 \\ (a-b)^{3} & = 0 \end{align} \]
  3. Resolviendo:
    \[ \begin{align} a-b & = 0 \\ a & = b \end{align} \]
  4. Remplazando en nuestro ejercicio, finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ 3( a^{4} + b^{4} ) }{ a^{2} b^{2} } \\ & = \frac{ 3( b^{4} + b^{4} ) }{ b^{2} b^{2} } \\ & = \frac{ 3( 2b^{4} ) }{ b^{4} } \\ & = \frac{ 6b^{4} }{ b^{4} } \\ & = \boxed{6} \end{align} \]

Ejercicio 7

Efectuar:

\[ \mathrm{P} = (n-3)(n+1) – (n+3)(n-5) \]

Solución:

  1. Por la identidad de la multiplicación de un binomio por su conjugado \( (x+a)(x+b) = x^{2} + x(a+b) + ab \), tenemos:
    \[ \mathrm{P} = n^{2} + n( -3 + 1 ) + (-3)(1) – [ n^{2} + n(3-5) + (3)(-5) ] \]
  2. Resolviendo:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = n^{2} – 2n – 3 – ( n^{2} – 2n – 15 ) \\ & = n^{2} – 2n – 3 – n^{2} + 2n + 15 \\ & = \boxed{12} \end{align} \]

Ejercicio 8

Si \( x^{2} + 5x + 3 = 0 \), hallar \( \mathrm{k} = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 6 \).

Solución:


  1. Ordenando los factores de \( \mathrm{K} \) convenientemente:
    \[ \mathrm{K} = \color{red}{ (x+1)(x+4) } \color{green}{ (x+2)(x+3) } = 6 \]
  2. Por la identidad del binomio por su conjugado \( (x+a)(x+b) = x^{2} + x(a+b) + ab \):
    \[ \mathrm{K} = ( x^{2} + 5x + 4 )( x^{2} + 5x + 6 ) + 6 \]
  3. Pero \( x^{2} + 5x + 3 = 0 \), entonces \( x^{2} + 5x = -3 \), remplazando en \( \mathrm{K} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = (-3+4)(-3+6) + 6 \\ & = (1)(3) + 6 \\ & = \boxed{9} \end{align} \]

Ejercicio 9

Si \( x + \frac{1}{x} = 3 \), hallar: \( x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } \).

Solución:

  1. Elevando al cuadrado a cada miembro del dato:
    \[ (x + \frac{1}{x})^{2} = 3^{2} \]
  2. Por la identidad del binomio al cuadrado \( (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \):
    \[ x^{2} + 2x( \frac{1}{x} ) + ( \frac{1}{x} )^{2} = 9 \]
  3. Resolviendo, logramos:
    \[ \begin{align} x^{2} + 2 + \frac{1}{ x^{2} } & = 9 \\ x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } & = 9-2 \\ & = \boxed{7} \end{align} \]

Ejercicio 10

Si \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} \), hallar: \( x^{4} + \frac{1}{ x^{4} } \).

Solución:

  1. Elevando al cuadrado a cada miembro del dato:
    \[ ( x + \frac{1}{x} )^{2} = ( \sqrt{5} )^{2} \]
  2. Por la identidad del binomio al cuadrado \( (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \):
    \[ x^{2} + 2x( \frac{1}{x} ) + ( \frac{1}{x} )^{2} = 5 \]
  3. Despejando \( x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } \):
    \[ \begin{align} x^{2} + 2 + \frac{1}{ x^{2} } & = 5 \\ x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } & = 5-2 \\ & = 7 \end{align} \]
  4. Volviendo elevar al cuadrado y aplicar el binomio al cuadrado:
    \[ \begin{align} ( x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } )^{2} & = 7^{2} \\ ( x^{2} )^{2} + 2( x^{2} )( \frac{1}{ x^{2} } ) + ( \frac{1}{ x^{2} } )^{2} & = 49 \\ x^{4} + 2 + \frac{1}{ x^{4} } & = 49 \\ x^{4} + \frac{1}{ x^{4} } & = 49 – 2 \\ & = 49-2 \\ & = \boxed{47} \end{align} \]

Ejercicio 11

Reducir:


\[ \mathrm{K} = (m+4)^{3} – (m+3)(m+4)(m+5) \]

Solución:

  1. Podríamos haber aplicado la identidad del binomio al cubo y la ley distributiva, pero fíjense que encontramos un termino común \( a = m+4 \), realizando este cambio de variable, el resto de los binomios puede escribirse así \( a-1 = m+3 \) y \( a+1 = m+5 \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{K} & = { \underbrace{ (m+4) }_{a} }^{3} – \underbrace{ (m+3) }_{a-1} \underbrace{ (m+4) }_{a} \underbrace{ (m+5) }_{a+1} \\ & = a^{3} – (a-1)a(a+1) \end{align} \]
  2. Ordenando convenientemente y aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados \( (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{K} & = a^{3} – \underbrace{ (a-1)(a+1) }_{ a^{2}-1 } a \\ & = a^{3} – (a^{2} – 1)a \\ & = a^{3} – a^{3} + a \\ & = a \end{align} \]
  3. Como \( a = m+4 \), finalmente hallamos:
    \[ \mathrm{K} = \boxed{m+4} \]

Ejercicio 12

Reducir:

\[ \mathrm{E} = (a-b)(a+b)(a^{2} + b^{2})+ b^{4} + a^{a} \]

Solución:

  1. Aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados:
    \[ \mathrm{E} = ( a^{2} – b^{2} )( a^{2} + b^{2} )  + b^{4} + a^{4} \]
  2. De nuevo la diferencia de cuadrados:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = a^{4} – b^{4} + b^{4} + a^{4} \\ & = \boxed{ 2a^{4} } \end{align} \]

Ejercicio 13

Si \( x + \frac{1}{x} = 3 \), efectuar: \( x^{3} + x^{2} + \frac{1}{ x^{3} } + \frac{1}{ x^{2} } \).

Solución:

  1. Ordenando convenientemente lo que vamos a resolver:
    \[ \mathrm{E} = x^{3} + \frac{1}{ x^{3} } + x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } \]
  2. En base a este resultado, hallaremos tanto el cuadrado como el cubo de \( x + \frac{1}{x} = 3 \), veamos:
    * Para \( ( x + \frac{1}{x} )^{2} \), tenemos:
    \[ \begin{align} ( x + \frac{1}{x} )^{2} & = 3^{2} \\ x^{2} + 2x( \frac{1}{x} ) + ( \frac{1}{x} )^{2} & = 9 \\ x^{2} + 2 + \frac{1}{ x^{2} } & = 9 \\ x^{2} + \frac{1}{ x^{2} } & = 9-2 \\ & = 7 \end{align} \]
    * Para \( ( x + \frac{1}{x} )^{3} \), resulta:
    \[ ( x + \frac{1}{x} )^{3} = 3^{3} \\ x^{3} + ( \frac{1}{x} )^{3} + 3x( x + \frac{1}{x} )( x + \frac{1}{x} ) = 27 \\ x^{3} + \frac{1}{ x^{3} } + 3(3) = 27 \\ x^{3} + \frac{1}{ x^{3} } = 27-9 \\ =18 \]
  3. Remplazando estos valores en \( \mathrm{E} \), logramos:
    \[ \mathrm{E} = 18 + 7 = \boxed{25} \]

Ejercicio 14

Si \( x^{2} + y^{2} = 8 \) y \( x+y=4 \), calcular \( \mathrm{P} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \).

Solución:

  1. Dando forma convenientemente el valor de \( \mathrm{P} \):
    \[ \mathrm{P} = \frac{ x^{2} + y^{2} }{xy} \]
  2. Tenemos como dato a \( x^{2} + y^{2} \), nos falta calcular el valor de \( xy \), para resolverlo, elevamos al cuadrado al dato \( x+y = 4 \):
    \[ (x+y)^{2} = 4^{2} \]
  3. Por la identidad del binomio al cuadrado \( x^{2} + 2xy + y^{2} = 16 \):
    \[ x^{2} + y^{2} + 2xy = 16 \]
  4. Como \( x^{2} + y^{2} = 8 \):
    \[ 8 + 2xy = 16 \]
  5. Resolviendo:
    \[ xy = 4 \]
  6. Por tanto, este dato junto con \( x^{2} + y^{2} = 8 \), logramos calcular el valor de \( \mathrm{P} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = \frac{ x^{2} + y^{2} }{xy} \\ & = \frac{8}{4} = \boxed{2} \end{align} \]

Ejercicio 15

Calcular :

\[ \mathrm{M} = \frac{ (a+b)(a^{3}-b^{3}) }{a^{2}+ab+b^{2}} + b^{2} \]

Solución:

  1. Por la identidad de diferencia de cubos \( a^{3} – b^{3} = (a-b)( a^{2} + ab + b^{2} ) \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ (a+b)(a-b)( a^{2} + ab + b^{2} ) }{ a^{2} +ab + b^{2} } + b^{2} \]
  2. Simplificando el factor \( a^{2} + ab + b^{2} \):
    \[ \mathrm{M} = (a+b)(a-b)+b^{2} \] 
  3. Por la diferencia de cuadrados finalmente logramos:
    \[ \mathrm{M} = a^{2} – b^{2} + b^{2} = \boxed{ a^{2} } \]

Fin

Y así es como acaba la sección actual con algunos ejercicios resueltos de productos notables, es cierto que tales ejercicios son sencillos, pero actualizaremos la pagina para colocar ejercicios de mayor nivel.

En próximas secciones desarrollamos la división polinomica, esta sección nos ayudara mucho para finalizar con otras dos sección, nos referimos a la sección del teorema del resto y cocientes notables. cada uno con sus respectivos ejercicios.

Otro punto a considerar es que no existe una lista que indique que productos notables deban y no deban considerarse, es decir, no existe un entandar ni categorías para indicar tipos de productos notables. Y esto sería todo amigos, nos vemos, hasta pronto, y gracias por llegar hasta aquí.

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Productos notables
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Productos notables
Descripción
Los productos notables son un conjunto de identidades o formulaciones algebraicas donde encontramos rasgos notables bajo una serie de reglas establecidas donde son aplicadas por simple inspección sin demostraciones previas. También se ha publicado una serie de ejercicios resueltos para el dominio de esta sección
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Ciencias Básicas
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