Lógica proposicional

Curso completo de lógica proposicional donde detallamos cada uno de los conectivos lógicos y describimos todas las equivalencias e implicaciones notables.

Resumen teórico

Este es un capitulo donde tratamos los principales conceptos de lógica proposicional del curso completo de matemática básica.

En este curso desarrollaremos toda la temática desde el concepto de proposición (he eliminado esta publicación por algunos problemas internos del sitio web, pero lo publicaremos lo antes posible) hasta los circuitos lógicos.

Ten en cuenta que esto es un resumen, el curso completo lo encontrarás en la barra lateral izquierda si estas en PC o al final si estas en móvil. Espero le guste mi contenido, comencemos.

Conceptos básicos

Si queremos entender ¿Qué es la lógica proposicional?, ¿que persigue la lógica proposicional?, ¿cuales son los límites de la lógica proposicional?, primero hay que entender lo que persigue la lógica en  y cómo se va estructurando para luego desarrollar un conjunto de reglas y principios que nos ayudará a dar respuestas en otras materias.

Por lo general este capítulo básico sirve para esbozar una serie de reglas prácticas e inmutables (aunque esto lo veo imposible por el teorema de incompletitud de gödel) y tener una noción de lo que es la lógica y como deberíamos de “pensar” en cuanto al desarrollo de temas y cursos subsiguientes para su posterior desarrollo.

Esta sección se puede considerar como la primera parte de los conceptos básicos de lógica proposicional, la segunda parte lo podemos encontrar en la sección de proposiciones. Comencemos con el concepto de lógica.


¿Qué entendemos por lógica?

Todo tiene un orden cuando es pensado, excepto la mecanica cuántica, a menos que intentes demostrar lo contrario con la teoría del “orden implicado” de David Bohm.

Sin embargo, jamas pensastes que la tierra fuera redonda cuando eras muy pequeño a menos que hayas cambiado de opinión con las raras teorias de Oliver Ibañez.

Pero de cualquier manera, siempre existe un orden natural para las cosas y nosotros debemos comprender (realmente nadie nos exige, no existe un tal “debemos”) ese proceso natural y extrapolar una interpretación al modelo estudiado. Estos modelos son creados por nuestra psique por medio de un lenguaje simbólico y semántico.

Este lenguaje es extraído del razonamiento  humano que fue “pensado” y plasmado simbólicamente en un orden definido por una serie de protocolos el cual nosotros le llamamos lógica.

Estos protocolos son el concepto que le dimos a la lógica donde su objetivo es la conclusión o la consecuencia, siendo este, el punto central que persigue la lógica. Por tanto, un concepto aproximado de la lógica, sería:

Concepto de lógica

“La lógica es una metodología que estudia la estructura del razonamiento, donde su fin principal es obtener afirmaciones llamadas conclusiones a partir de otras afirmaciones llamadas premisas con la certeza de que si las afirmaciones son verdaderas entonces las conclusiones también deben de ser verdaderas”.

Hemos dicho que la lógica tiene como finalidad el estudio de las consecuencias o conclusiones y naturalmente también debemos saber cómo se originaron estas conclusiones, porque si no existiera las causas, tampoco las conclusiones, por tanto, la lógica estudia estudia tanto los resultados como las distintas condiciones que lograron estos resultados.

Si bien, la lógica es una rama de la filosofía, su relación íntima con las matemáticas a nivel simbólico y abstracto dio lugar a la lógica matemática.


¿Qué es la lógica proposicional?

La lógica de proposiciones o calculo proposicional, rama de la lógica matemática, también conocido como la lógica de orden cero, estudia las proposiciones de la manera más general posible, es decir, no se centra conceptualmente en la estructura de los argumentos ni su formalización como si lo hace la lógica de primer orden. El punto aquí es la relación básica de las proposiciones con otras proposiciones por medio de conectivas lógicas y la actividad o comportamiento de la validez de estas, en este caso de las proposiciones.

Esta rama se centra solo en la estructura que rodea de las proposiciones sean simples o compuestas, pero no en la estructura de los argumentos que las proposiciones lleva, los toma de manera muy general, las únicas variables semánticas formalizadas son solo el de ser verdadero o falso y la semántica de los argumentos se toma de manera intuitiva y sin ninguna formalización.

El objetivo de esta rama es presentar es presentar los principios básico del razonamiento, para ser más exactos, tan solo muestra una nocion de como uno tiene que razonar, pero no analizar la estructura de los argumentos de las proposiciones, digamos que la lógica proposicional es un “demo” de la lógica matemática para luego entrar a la lógica de primer orden donde se hace hincapié en la estructura de los argumentos con mayor énfasis y formalización.

Alfabeto de la lógica proposicional

Por lo general, en un curso básico de lógica proposicional, los argumentos son representados muy informalmente por letras minúsculas, la única formalidad semántica de las proposiciones es de ser verdadero o falso, aquí presentamos un ejemplo de conjunto de proposiciones:

\[ \mathrm{P} = \left \{ p, q, r, \cdots p_{1}, q_{2}, r_{3}, \cdots p_{n}, q_{n}, r_{n} \right \} \]

Cada uno de estas proposiciones debe estar conectado por un solo conectivo lógico entre proposición y proposición junto con la negación, estos conectivos son:

\[ \mathrm{C} = \left \{ \wedge, \vee, \bigtriangleup, \rightarrow, \leftrightarrow, \sim \right \} \]


Otro punto importante es la utilización de los signos de agrupación para no caer en ambigüedades lógicas cuando queremos diseñar un esquema molecular, los signos de agrupación más usados son “( .. )”, “[ … ]”, “{ … }”. Un ejemplo de proposición formada por otras proposiciones es:

\[ \sim ( p \leftrightarrow \sim q ) \bigtriangleup ( r \wedge p ) \]

Para lograr superar este tipo de ambigüedades, las matemáticas han definido lo que llama “fórmulas bien formadas” que ya en su momento hablaremos de ello, por lo pronto, téngase en cuenta esta manera intuitiva de construir esquemas moleculares como el ejemplo anterior.

¿Por que la lógica proposicional adopta este nombre?

La lógica proposicional adopta este nombre porque trabaja indirectamente con argumentos que pueden ser verdaderas o falsas, este tipo de argumentos de manera generalista se les llama variables proposicionales, estas variables tienen como único valor semántico el de ser verdadero o falso.

El estudio de la estructura de los argumentos son omitidos en la lógica proposicional, ya que solo son tomados de manera generalizada, esto trae una serie de consecuencias que lo veremos en el siguiente subtitulo.

También adopta otros nombres como lógica de enunciados o lógica de orden cero, este último lo aclararemos en su respectivo momento.

El lenguaje de la lógica proposicional

En toda gramática, siempre  las afirmaciones se les asigna un significado, en lógica proposicional precisamente las proposiciones adoptan un significado llamada semántica y por lo general tiene que estar representado o sustituido por un valor diferente a su representación simbólica. 


Sin embargo, en el transcurso del curso de lógica proposicional, solo nos centraremos en dos únicos valores semánticos sin importar el argumento del enunciado y estos valores son el de “Verdadero” o “Falso” como ya mencione anteriormente.

En una lógica más estricta, se intenta formalizar el aspecto simbólico de las proposiciones, teniendo muy en cuenta la estructura de los argumentos, de esto se encarga la lógica matemática, para ser mas preciso, la lógica de primer orden.

Pero también existen una serie de reglas para definir el aspecto semántico muy estrictamente hablando, donde existe un conjunto definido de signos y una estructura gramatical simbólica como soporte de un universo de discurso donde este cumple una serie de propiedades para que un enunciado tenga las condiciones suficiente y necesarias para que sea lógicamente entendible en las matemáticas.

Esto se verá en un curso avanzado de lógica matemática en su momento.

Validez lógica y el valor semántico

Dicen que la lógica tiene como fin particular distinguir un argumento correcto del incorrecto. Quiero aclarar un punto, uno de los problemas que se ha metido la lógica matemática al analizar los argumentos correctamente planteados es distinguir entre su símbolo y su signo. 

Por ejemplo, te hago la siguiente pregunta ¿que te viene a la mente cuando menciono “mesa“?, pensarán en aquel mueble con cuatro patas donde por lo general se almuerza con toda la familia, amigos o familiares, donde haces tus tareas o cualquier otro deber en particular. Esta relación con la palabra mesa se le llama signo o más precisamente semántica y el símbolo sería la palabra mesa, aquella palabra que solo esta formado por las letras “m, e, s, a”, a esto lo llamamos sintáctica.

Y hago mencion de ello porque un esquema molecular, por ejemplo \( p \rightarrow ( q \wedge r ) \), puede ser correctamente valida a nivel sintáctico, pero no a nivel semántico, me explico, un esquema molecular bien escrita no indica que el argumento de tal fórmula tenga un sentido lógico.


Pueda que el argumento del esquema \( p \rightarrow ( q \wedge r ) \) tengan como significados finales como ejemplo ” si 1+1 = 2, entonces la luna es cuadrada y yo soy superman”, esto a nivel semántico es un argumento incorrecto, sin ningún sentido lógico y fuera de lugar.

Cuando la lógica proposicional trabaja solo con proposiciones simbólicas como \( p \), \( q \) o \( r \); no toma muy en cuenta los argumentos de las proposiciones por lo que cualquier argumento ilógico a nivel semántico resulta ser correcto a nivel sintáctico, esto es, que las esquemas molecular en la lógica proposicional solo toma en cuenta el aspecto simbólico de las proposiciones.

La lógica proposicional solo se limita a tomar como únicos valores semánticos los valores de verdad de las proposiciones como verdadera o falsa y las combinaciones de ellas sin importar el sentido semántico de las proposiciones, es decir, de su argumento.

Es por ello que se quiera o no, es necesario siempre comenzar por cuestiones inicialmente intuitivas, en matemáticas, el intuicionismo es la base clásica principal para iniciar, refutar, añadir un argumento en una teoría matemática, si bien al inicio puede traer contradicciones, esto se soluciona cuando se busca la formalización de la teoría.

La lógica matemática se da cuenta de esto punto, y toma muy en cuenta la semántica de las proposiciones, el aspecto intuitivo (semántico) y lo formaliza, por ejemplo, dado el símbolo proposicional \( p \), , por sí solo no nos dice nada, las únicas propiedades que puede tener este símbolo proposicional es de verdadero o falso, si queremos darle un valor semántico cualquiera, en lógica matemática se le puede simbolizar así \( \overline{p} \) luego, analizar los argumentos y construir cuáles son las estructuras de los argumentos, esto se llama lógica de primer orden, esto lo veremos a continuación.

Recorrido del capitulo

El capítulo comprende un total de 15 secciones que puedes visualizar al inicio de la pagina piloto. Comencemos por esbozar el concepto de proposición, un tipo de enunciado aseverativo muy usado en todas las áreas de la matemática, y más que eso, es el medio principal donde las matemática comunica todo el estudio de las entidades abstractas gracias a las relaciones, propiedades, axiomas, teoremas que conocemos hoy en día.

Concepto de proposición

Las proposiciones son enunciados aseverativos, es decir, afirman o niegan algo, pero con una característica más, se pueden catalogar como verdaderas o falsas, las proposiciones en lógica se simbolizan generalmente con letras minúsculas comenzando por las letras \( p \), \( q \), \( r \), etc.


Las proposiciones simples son aquellas donde se realiza un juicio de valor a un sujeto, objeto o un suceso y las proposiciones compuestas son aquellas donde existen 2 o mas juicios de valor.

La simbolización de las proposiciones tiene un límite, la lógica proposicional no realiza ninguna diferencia si la proposiciones simbolizados por las letras \( p \), \( q \), \( r \) u otros indican si son o no proposiciones simples o compuestas.

El otro límite de la lógica proposicional es que toma en cuenta mucho la intuición, no toma en cuenta la formalización del contenido de los argumentos, y solo se basa exclusivamente si el argumento puede ser verdadero o falso. Por ejemplo, podemos unir múltiples proposiciones simples o compuestas de diferentes contextos que incluso no tengan nada que ver las proposiciones entre si para crear un argumento lo cual puede llevar a un sinsentido.

Principales conectivos lógicos

Cuando una proposición tiene mas de un juicio de valor, deben estar conectados por conectivos significativos para darle un sentido mas amplio al argumento, estos adoptan el nombre de conectivos lógicos, también son llamados conectiva lógica o simplemente conectiva (o conectivo), por lo general, trabajamos con 6 tipos de conectivos y cada uno de sus símbolos en lógica son la negación «\( \sim \)» o «\( \neg \)», la conjunción «\( \wedge \)», la disyunción inclusiva «\( \vee \)», la disyunción exclusiva «\( \bigtriangleup \)», la condicional «\( \rightarrow \)» y la bicondicional «\( \leftrightarrow \)». Examinemos cada una de ellas.

Negación lógica

La negación o negador no es propiamente dicho un conectivo lógico, opera a una única proposición (sea simple o molecular) cambiando el valor de verdad de la misma, en este caso, si la proposición es verdadera, la transforma en falsa y viceversa. Su símbolo o notación característica es \( \sim \), para una proposición \( p \) se lee «no \( p \)», su tabla de verdad es:

\( p \)\( \sim p \)
\( V \)\( F \)
\( F \)\( V \)

Conjunción lógica

Es un conectivo lógico que conecta dos variables proposicionales y se encuentra generalmente simbolizado por \( \wedge \), las condiciones de una proposición conjuntiva sucede cuando sus variables proposicionales que la conecta es es verdadera si cada de ellas es verdadera, en caso contrario, son falsas. Su tabla de verdad es: 


\( p \)\( q \)\( p \wedge q \)
\( V \)\( V \)\( V \)
\( V \)\( F \)\( F \)
\( F \)\( V \)\( F \)
\( F \)\( F \)\( F \)

Disyunción inclusiva

La disyunción lógica es un conectivo que tiene como propiedad tomar como verdadera una proposición si por lo menos una variable proposicional es verdadera, si las dos son falsas, entonces la proposición inclusiva es falsa. Se encuentra simbolizado por \( \vee \) y su tabla de verdad para dos proposiciones es \( p \) y \( q \) es:

\( p \)\( q \)\( p \vee q \)
\( V \)\( V \)\( V \)
\( V \)\( F \)\( V \)
\( F \)\( V \)\( V \)
\( F \)\( F \)\( F \)

Este conectivo nos dice que un argumento \( p \) y \( q \) es verdadero si \( p \) es verdadera o \( q \) es verdadera o ambos. Como vemos, hay mayor libertad de elección que la conjunción lógica.

Disyunción exclusiva

Esta es opuesta a la bicondicional lógica, y nos dice que una proposición \( p \) y \( q \) es verdadera si y sólo si uno de sus variables proposicionales es verdadera, es simbolizado por \( \bigtriangleup \) o también por \( \nleftrightarrow \) por ser opuesta a la bicondicional lógica, su tabla de verdad es:

\( p \)\( q \)\( p \bigtriangleup q \)
\( V \)\( V \)\( F \)
\( V \)\( F \)\( V \)
\( F \)\( V \)\( V \)
\( F \)\( F \)\( F \)

Para una proposición \( p \) y \( q \), la disyunción exclusiva nos dice que o \( p \) es verdadera o \( q \) es verdadera pero no ambas. Ejemplos: “o hace frío o hace calor”.


Condicional material o lógica

Es uno de los conectivos lógicos mas difíciles de explicar porque se confunde mucho con la implicación lógica, pero esas diferencias lo puedes ver en nuestra sección 4 de la condicional material.

La condicional lógica es un conectivo que une dos variables proposicionales por medio del símbolo \( \rightarrow \) que básicamente es una flecha y se escribe \( p \rightarrow q \) donde \( p \) es el antecedente \( q \) el consecuente, la restriccion de la condicional dice que es falsa únicamente cuando su antecedente es verdadero u su consecuente es falso, para el resto de las combinaciones, es verdadera. Su tabla de verdad de la condicional es:

\( p \)\( q \)\( p \rightarrow q \)
\( V \)\( V \)\( V \)
\( V \)\( F \)\( F \)
\( F \)\( V \)\( V \)
\( F \)\( F \)\( V \)

Hay 3 tipos de condicionales, de las cuales, solo una de ella es equivalente a la proposición condicional \( p \rightarrow q \), esto son:

  • Proposición recíproca \( q \rightarrow p \)
  • Proposición inversa \( \sim p \rightarrow \sim q \)
  • Proposición contrarrecíproca \( \sim q \rightarrow \sim p \)

No siempre una proposición condicional tiene una proposición recíproca o inversa, pero siempre tiene una proposición contrarrecíproca, de hecho, son equivalentes y simplemente se escribe \( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \).

Bicondicional lógica

La bicondicional lógica es un conectivo lógico que también uno dos variables proposicionales, pero con la propiedad de que si las dos son verdaderas o falsas a la vez, entonces la proposición bicondicional es verdadera, si las variables proposicionales tienen valores de verdad opuestos, entonces la bicondicional es falsa.

Por lo general se encuentra simbolizado por dos flechas unidas por un guión así \( \leftrightarrow \) una proposición bicondicional de dos variables \( p \) y \( q \) se representa así \( p \leftrightarrow q \) y su tabla de verdad de la bicondicional es:


\( p \)\( q \)\( p \rightarrow q \)
\( V \)\( V \)\( F \)
\( V \)\( F \)\( V \)
\( F \)\( V \)\( V \)
\( F \)\( F \)\( F \)

Una propiedad de la bicondicional en relación a la condicional es con la siguiente equivalencia lógica:

\[ p \leftrightarrow q = ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \]

Otra es con la disyunción y conjunción lógica y la negación.

\[ p \leftrightarrow q \equiv ( p \wedge q ) \vee ( \sim p \wedge \sim q ) \]

Hasta aquí hemos nombrado los 6 conectivos lógicos mas usado en lógica proposicional, ahora veremos dos tipos de inferencias lógicas y la inferencia en sí de manera muy breve.

Implicación lógica

La implicación lógica trabaja con mayor énfasis con la semántica de los argumentos. Una debe deducirse de la otra por lo que no existe una proposición verdadera si el antecedente es falso y el consecuente verdadero, es decir, no puede deducir lo verdadero de algo falso.


Su símbolo es similar como la condicional pero con dos palitos así \( \rightarrow \) y su tabla de verdad es:

\( p \)\( q \)\( p \Rightarrow q \)
\( V \)\( V \)\( V \)
\( V \)\( F \)\( V \)

En la sección de la condicional material y en la sección de la implicación lógica explico las diferencia entre ellas dos.

Equivalencia lógica

La equivalencia lógica tiene el mismo proposición que el signo igual ya que estas dos no son operadores lógicos, solo nos indica que son iguales o equivalentes, por tanto, la igualdad por la implicación lógica de dos proposiciones (esquemas moleculares) no es otra proposición, la bicondicional es operador lógico, si bien se asemeja mucho con la equivalencia, esta ultima no es un operador, es un comparador de igualdad de dos proposiciones y nada mas.

Su símbolo lógico es «\( \equiv \)», es decir, 3 simples rayas horizontales. Un ejemplo de la equivalencia lógica es:

\[ ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s \equiv ( \sim s ) \rightarrow \sim ( p \wedge q \wedge r ) \]

Si desarrollamos el valor de verdad de \( ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s \) y \( ( \sim s ) \rightarrow \sim ( p \wedge q \wedge r ) \) tienen el mismo valor de verdad.


Signos de agrupación en lógica

La equivalencia lógica tiene el mismo proposición que el signo igual ya que estas dos no son operadores lógicos, solo nos indica que son iguales o equivalentes, por tanto, la igualdad por la implicación lógica de dos proposiciones (esquemas moleculares) no es otra proposición, la bicondicional es operador lógico, si bien se asemeja mucho con la equivalencia, esta última no es un operador, es un comparador de igualdad de dos proposiciones y nada mas.

Los signos de agrupación más usado son los parientes «( )», los corchetes «[ ]» y las llaves «{ }». Si queremos resolver la tabla de verdad del esquema molecular de \( \sim ( p \wedge \wedge q ) \rightarrow [ q \vee ( r \leftrightarrow p ) ] \), primero debemos calcular lo que se encuentran en paréntesis, luego en corchetes, y luego el conectivo lógico de mayor jerarquía, en este caso, al condicional material \( \rightarrow \).

Número de variables proposicionales

Otro punto importante son el número de variables proposicionales en un esquema molecular, si por ejemplo, nuestro esquema tiene \( 2 \) variables proposicionales, el número de combinaciones posibles son \( 2^2 = 4 \), la tabla de las combinaciones posibles sería la siguiente:

\( p \)\( q \)
\( V \)\( V \)
\( V \)\( F \)
\( F \)\( V \)
\( F \)\( F \)

Para 3 variables proposicionales sería \( 2^3 = 8 \) y su tabla respectiva es:

\( p \)\( q \)\( r \)
\( V \)\( V \)\( V \)
\( V \)\( V \)\( F \)
\( V \)\( F \)\( V \)
\( V \)\( F \)\( F \)
\( F \)\( V \)\( V \)
\( F \)\( V \)\( F \)
\( F \)\( F \)\( V \)
\( F \)\( F \)\( F \)

Natural para \( n \) variables proposicionales realizamos \( 2^n \) combinaciones posibles. Si tenemos un esquema molecular de \( m \) conectivos lógicos, debemos de resolver \( 2^m \cdot m \) valores de verdad en una tabla de verdad de cada uno de los conectivos lógicos. Un ejemplo:


\( p \)\( q \)\( ( q \wedge p ) \rightarrow p \)
\( V \)\( V \)\( \color{blue}{V} \hspace{0,7cm} \color{red}{V} \)
\( V \)\( V \)\( \color{blue}{F} \hspace{0,7cm} \color{red}{V} \)
\( F \)\( F \)\( \color{blue}{F} \hspace{0,7cm} \color{red}{V} \)
\( F \)\( F \)\( \color{blue}{F} \hspace{0,7cm} \color{red}{V} \)
\( \color{blue}{1} \hspace{0,7cm} \color{red}{2} \)

Hay dos conectivos lógicos \( m = 2 \) y \( 2 \) variables proposicionales \( 2^{n} = 2^{2} = 4 \), el número de valores hallados sería \( 2^{n} \cdot m = 4 \cdot 2 = 8 \). Si contamos el número de valores de verdad de cada conectivo del esquema molecular, es decir, de la columna \( \color{blue}{1} \) y \( \color{red}{2} \), nos damos cuenta que son \( 8 \) valores de verdad calculados, naturalmente la columna de color rojo es la que cuenta al final por ser de mayor jerarquía.

Tipos de tabla de verdad

Cuando realizamos una tabla de verdad de diferentes esquemas moleculares, podemos darnos cuenta que existen 3 tipos de esquemas moleculares según el tipo de tabla de verdad que clasifiquemos. En base a estos cálculos, encontramos 3 tipos de esquemas moleculares y son:

Tautología

Se dice que un esquema molecular es una tautología si todos los valores de verdad en una tabla de verdad son verdadera

Contradictoria

Se dice que un esquema molecular es contradictoria si todos los valores de verdad en una tabla de verdad son falsos.

Contingencia

Se dice que un esquema molecular es contingente si todos los valores de verdad en una tabla de verdad son tanto falsos como verdaderos.

Inferencia lógica

La inferencia significa extraer o deducir una cosa de otra por medio de la implicación lógica, es extraer una idea de otra idea, y una implica a la otra, si esa otra (conclusión) implica  a la primera (antecedente o grupo de premisas), entonces es una equivalencia lógica.


Muchas veces para inferir una conclusión mas precisa, es necesario tener muchas premisas como datos para sacar una buena conclusión, si, de esta manera la conclusión es verdadera gracias a cada una de sus premisas, si por lo menos una premisa es falsa, entonces el resto de las premisas verdaderas solo serían condiciones necesarias pero no suficientes para determinar la conclusión, si logran ser conclusion suficiente, entonces la conclusión es verdadera.

Sin embargo, la conclusión muchas veces es condición necesaria para las premisas a pesar que las premisas son conclusion suficiente para la conclusión, si sucede el caso de que la conclusion tambien es condición suficiente para las premisas, decimos entonces que nuestro argumento es condición necesaria y suficiente y tanto el consecuente como el antecedente son equivalencias lógicas.

Método abreviado

Y hablando de inferencia, una forma simbólica de representar una inferencia lógica es con un conjunto de premisas (variables proposicionales) donde es importante tomar en cuenta todos sus valores de verdad (es decir, todos deben estar conectados por una conjunción lógica para tomar en cuenta todas las variables) y extraer una conclusión (es decir, inferir), simbólicamente se expresa así:

\[ p_{1}, p_{2}, p_{3} \cdots p_{n} \Rightarrow q \]

Existe un método rápido para no realizar la abrumadora tabla de verdad para tantas variables proposicionales, es suponer todas las premisas verdadera y la conclusión falsa, con esta suposición, si encontramos que no existe contradicción cuando operamos su valores de verdad de las premisas y la conclusión, entonces la inferencia es falsa y se escribe así:

\[ p_{1}, p_{2}, p_{3} \cdots p_{n} \nRightarrow q \]

En este caso, decimos que las premisas no implican a la conclusión. En caso de que exista una contradicción, donde entonces resulta que la inferencia es verdadera y por tanto la conclusión se deduce de las premisas dadas.

Algunas leyes lógicas

Las leyes que podemos encontrar en la lógica de las proposiciones, simbólicamente lo podemos dividir en dos partes, unas son las equivalencias notables y las otras son las implicaciones notables.

Leyes de equivalencia

  • Ley involución: \[ \sim ( \sim p ) \equiv p \]
  • Leyes de idempotencia: \[ p \wedge p \equiv p \] \[ p \vee p \equiv p \]
  • Leyes de morgan: \[ \sim
    ( p \wedge q ) \equiv \sim p \vee \sim q \] \[ \sim ( p \vee q ) \equiv \sim p \wedge \sim q \]
  • Leyes de absorción: \[ p \wedge ( p \vee q ) \equiv p \] \[ p \wedge ( \sim p \vee q ) \equiv p \wedge q \] \[ p \vee ( p \wedge q ) \equiv p \] \[ p \vee ( \sim p \wedge q ) \equiv p \vee q \]
  • Entre otros.

Leyes de implicación

  • Ley de Modus Ponens: \[ ( p \rightarrow q ) \vee p \Rightarrow q \]
  • Ley de Modus Tollens: \[ ( p \rightarrow q ) \wedge \sim q \rightarrow \sim p \]
  • Ley del Silogismo Hipotético: \[ ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow r ) \Rightarrow p \rightarrow r \]
  • Ley de la Simplificación: \[ p \wedge q \Rightarrow p \] \[ p \wedge q \Rightarrow q \]
  • Ley de la Contradicción: \[ p \rightarrow ( q \wedge \sim q ) \Rightarrow \sim p \] \[ \sim p \rightarrow ( q \wedge \sim q ) \Rightarrow p \]
  • Entre otros.

Estas leyes o reglas lógicas lo puedes encontrar en sección de las principales leyes lógicas.

Sobre la lógica de primer orden o lógica de orden cero

Por ello y en vista de este problema, aparece una nueva teoría lógica matemática, lógica de primer orden, este tiene como finalidad de indicar qué oraciones son válidas y cuáles no, un propósito muy superior que no tiene la lógica proposicional. (en construcción)

En lingüística por ejemplo, si tomamos la siguiente la oración “Júpiter es más grande que Marte“, el predicado sería “es más grande que Marte” que conecta a Júpiter, pero para la lógica de primer orden, el predicado sería “es más grande que” donde conecta dos elementos que es Marte y Júpiter.

El único interés de la lógica de primer orden o lógica de predicados es la manera correcta de escribir una oración con el razonamiento correcto independientemente de si realmente Júpiter es mas grande que Marte, esto es irrelevante para la lógica de predicados.

El otro punto importante de la lógica de predicados es la importancia de los valores que le asignemos, porque cada valor que nos genera es causa de un valor que le hemos dado.

Por ejemplo, la expresión matemática \( f(x) = x+1 \), si le asignamos el valor de \( x \) el valor de \( 1 \), nos dará el valor de \( 2 \), si le damos \( 9 \), el valor de \( f(x) \) sería 10. Aquí, la lógica de primer orden toma los predicados como funciones de valor.

No me quiero extender en este tema, tan solo es un pequeño esbozo para tener una noción de las teorías lógicas matemáticas. La lógica matemática es muy extensa como la lógica de segundo orden y estos van más allá que la lógica que estudiaremos en estas entradas.

La lógica menos expresiva, lo que comúnmente conocemos como lógica proposicional, también es llamada lógica de orden cero, porque no esta interesada en los argumentos como lo hace la lógica de primer orden.

Resumen de la lógica de primer orden

La lógica tiene como finalidad estudiar el proceso de las consecuencias como también el desarrollo y origen de tales consecuencias de las que solo pueden ser verdaderas o falsas y no ambas a la vez, por tanto, la lógica proposicional estudia a la lógica desde una perspectiva más operacional omitiendo los argumentos pero formalizando solamente los conectivos lógicos para crear proposiciones mas complejas.

La lógica de primer orden va mas allá, describe formalmente la estructura de los argumentos de las proposiciones siguiendo una gramática formal que describa correctamente los argumentos tanto simbólicamente como sintácticamente.

Una gramática formal indica que se tiene una estructura matemática y una serie de reglas por un grupo ordenado de cadenas de caracteres (es decir, una serie de caracteres como puede ser, símbolos, números, letras).

Una cadena de caracteres muy bien establecidas por las reglas gramaticales se les llama fórmulas bien formadas, todo ello lo hablaremos en un curso avanzado de teoría de lenguaje formal en lógica matemática.

Tan solo nos limitaremos en un curso básico de lógica proposicional, pasando por alto los argumentos bien formalizados porque es un tema muy pero muy extenso que lo trataremos en otra oportunidad. Si gustas puedes pasar por cada una de nuestra 15 secciones de lógica proposicional, espero que les sea de su agrado.