Teoría de exponentes

La teoría mas completa sobre potenciación y radicación con ecuaciones exponenciales y una gran variedad de ejercicios resueltos.

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Resumen teórico

En esta oportunidad te presentamos el resumen teórico de las leyes de potenciación, radicación y las propiedades de las ecuaciones exponenciales, espero te guste.

¿Que es la potenciación?


Se define potenciación a la operación matemática que consiste en multiplicar un número denominado base tantas veces como lo indica otro número llamado exponente obteniéndose como resultado otro número llamado potencia.

Sea \( a \) la base y \( n \) el exponente y \( a^{n} \) la potencia, se cumple entonces que:
\[ a^{n} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ n \ \text{factores} } \]

Donde \( a \) es un número real cualquiera y \( n \) es un entero positivo mayor e igual que \( 1 \).

Ejemplo

Si queremos saber el valor de \( 3^{4} \) por definición sería:

\[ 3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \]

Definición de exponente cero

Sea \( a \) cualquier número real, si \( n = 0 \), la potencia con exponente cero es 1, es decir, se cumple que:

\[ a^{0} = 1 \]

En otras palabras, cualquier número elevado a cero es la unidad.

Ejemplo

No importa que número real o expresión algebraica sea, cualquier valor elevado al exponente cero siempre será \( 1 \), como este ejemplo:

\[ [ 3^{2} + ( 2x^{3} + z )^{3y} ]^{0} = 1 \]

Definición de exponente negativo

Si tenemos un número real \( a \neq 0 \) y un entero positivo \( n \), la potencia \( a^{-n} \) resulta ser el inverso multiplicativo de \( a^{n} \), en otras palabras, se cumple que:

\[ a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \]

Es decir, \( a^{-n} \) tiene una inversa \( \frac{1}{ a^{n} } \) que al ser multiplicados, resulta la unidad.

Ejemplo

\[ 2^{-3} = \frac{1}{ 2^{3} } = \frac{1}{8} = 0,125 \]

Propiedades de la potenciación

Las propiedades referentes al exponente entero son en total 5 reglas y son:

Multiplicación de potencias de bases iguales

Sea \( a \) una base real y dos exponentes enteros \( n \) y \( m \), se cumple que:

\[ a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \]

Este propiedad nos dice que el producto de dos potencias con la misma base \( a \) resulta ser otra potencia también con base \( a \) pero con los exponentes \( n \) y \( m \) sumados.

Ejemplo

\[ 3^{2} \cdot 3^{3} = 3^{2+5} = 3^{5} \]

Potencia de un producto

Sean \( a \) y \( b \) dos números reales y un entero \( n \), se cumple que:

\[ (ab)^{n} = a^{n} b^{n} \]

Esta propiedad nos dice que la potencia de bases distintas \( a \) y \( b \) pero con igual exponente \( n \) es igual a una potencia con las bases multiplicadas \( ab \) con el mismo exponente \( n \).

Ejemplo

\[ ( 4 \cdot 5 )^{3} = 4^{3} \cdot 5^{3} \]

Potencia de potencia

Sea \( a \) un número real y dos números enteros \( n \) y \( m \), se cumple entonces que:

\[ ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \]

Esta propiedad nos dice que la potencia de con exponente \( m \) de base \( a^{n} \) es igual a la potencia \( a^{nm} \), es decir, con los exponentes multiplicados.

Ejemplo

\[ ( 2^{2} )^{3} = 2^{ 2 \cdot 3 } = 2^{6} \]

Potencia de un cociente

Sean dos números reales \( a \) y \( b \) y un entero positivo \( n \), se cumple la siguiente propiedad:

\[ ( \frac{a}{b} )^{n} = \frac{ a^{n} }{ b^{n} } \]

Donde \( b \neq 0 \).

Esta propiedad nos dice que la potencia de un cociente \( \frac{a}{b} \) con exponente \( n \) es igual al cociente de las potencias de \( a^{n} \) y \( b^{n} \).

Ejemplo

\[ ( \frac{2}{3} )^{6} = \frac{ 2^{6} }{ 3^{6} } \]

División de potencias de bases iguales

Sea un numero real \( a \) y dos números enteros \( n \) y \( m \), se cumple que:

\[ \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \]

Esta propiedad nos dice que el cociente de dos potencias de bases iguales \( a \) y exponentes \( n \) y \( m \) es igual a la potencia de con la misma base y exponente \( n-m \). en este caso, los exponentes se restan, donde la potencia \( a^{n} \) y \( a^{m} \) es el numerador y denominador.

Ejemplo

\[ \frac{ 4^{3} }{ 4^{5} } = 4^{3-5} = 4^{-2} = \frac{1}{ 16 } \]

Propiedades adicionales

Muchas veces se comenten errores cuando no se toman en cuenta ciertos punto cuando tratamos con exponentes pares, esto son algunas propiedades que debe tomarse en cuenta:

Propiedad de la potencia de un negativo

Sea \( a \) un número real cualquiera, se cumple que:

\[ (-a)^{2} = a^{2} \]

En otras palabras, todo número elevado al cuadrado siempre es positivo.

Propiedad de la potencia de dos números iguales y opuestos

Sea dos números \( a \) y \( b \) tal que \( a = -b \), se cumple que:

\[ a^{2} = b^{2} \]

Si dos números opuestos son iguales, sus cuadrados son iguales.

Propiedad de dos potencias cuadradas iguales

Sea \( a^{2} = b^{2} \), entonces se cumple que:

\[ a=b \ \text{ó} \ a=-b \]

Si dos números elevados al cuadrado son iguales, entonces dichos números son iguales u opuestos.

¿Que es la radicación?


La radicación es una operación inversa a la potenciación y viene de resolver la ecuación \( x^{n} = b \) y se define como:

\[ \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n} } \]

Siempre y cuando \( n \neq 0 \)

Donde \( a \) llama radicando y \( n \) se llama indice del radical.

Este concepto se puede extender en para fracciones mas generales así:

\[ \sqrt[n]{ a^{m} } = a^{ \frac{m}{n} } \]

Ejemplo

Si \( 3^{4} = 81 \), entonces \( \sqrt[4]{81} = 3 \), como pueden ver, la potenciación y la radicación son operaciones inversas.

Propiedades de la radicación

Generalmente son 3 propiedades sobre radicales y sencillas de comprender, veamos cada una de ellas.

Raíz de un producto

Sea dos números \( a \) y \( b \) y un entero ( n ), se cumple:

\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \]

Significa que la raíz de un producto es igual al producto de sus raíces.

Ejemplo

\[ \begin{align} \sqrt[4]{ 16 \cdot 81 } & = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{81} \\ & = \sqrt[4]{ 2^{4} } \cdot \sqrt[4]{ 3^{4} } \\ & = 2 \cdot 3 \\ \sqrt[4]{ 16 \cdot 81 } & = 6 \end{align} \]

Raíz de un cociente

Sea dos números \( a \) y \( b \) y un entero \( n \), entonces se cumple que:

\[ \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \]

Donde \( b \neq 0 \)

En otras palabras, la raíz de un cociente es igual al cociente de sus raíces.

Ejemplo

\[ \sqrt[3]{ 8 \cdot 27 } = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 \]

Raíz de raíz

Sea dos enteros \( n \) y \( m \) y un número real \( a \), se prueba que:

\[ \sqrt[n]{ \sqrt[m]{a} } = \sqrt[nm]{a} \]

Esta regla nos dice que la raíz de indice \( n \) de la raíz de indice \( m \) resulta otra raíz de indice \( nm \), es decir, los indices se multiplican.

Ejemplo

\[ \begin{align} \sqrt{ \sqrt[3]{32} } & = \sqrt[ 2 \cdot 3 ]{32} \\ & = \sqrt[5]{32} \\ & = \sqrt[5]{ 2^{5} } \\ \sqrt{ \sqrt[3]{32} } & = 2 \end{align} \]

Tenga en cuenta que la raíz cuadrada como por ejemplo \( \sqrt[2]{a} \) se puede escribir como \( \sqrt{a} \), es decir, se omite el indice \( 2 \).

Propiedades adicionales

Muchas veces existe mucha confusión cuando se intenta sacar la raíz cuadrada de un número. Por esta razón indico estas propiedades para no entrar en confusión.

Raíz cuadrada de un número al cuadrado

Sea \( x \) cualquier número real, se cumple entonces que

\[ \sqrt{ x^{2} } = |x| \]

Es decir, la raíz cuadrada de número real al cuadrado es igual al valor absoluto de dicho número.

Por ejemplo, sabemos que \( (-3)^{2} = 3^{2} \), si extraemos la raíz cuadrada a este resultado, resulta:

\[ \begin{align} \sqrt{ (-3)^{2} } & = \sqrt{ 3^{2} } \\ -3 & = 3 ( \text{absurdo} ) \end{align} \]

Por esta razón, el valor absoluto es importante para solucionar este inconveniente. Se sabe que el valor absoluto de número sea negativo o positivo siempre es positivo, por tal razón, al al definir como \( \sqrt{ x^{2} } = |x| \) soluciona este problema, el ejemplo anterior quedaría así:

\[ \sqrt{ (-3)^{2} } \sqrt{ 3^{2} } \ |-3| = |3| \\ 3 = 3 \]

Propiedad del factor en radicales

Sea \( k \) un factor numérico, el indice \( n \), el exponente \( m \) y un número real cualquiera \( a \), se cumple que:

1. Si \( k \) es impar, entonces

\[ \sqrt[nk]{ a^{mk} } = \sqrt[n]{ a^{m} } \]

2. Si \( k \) es par, entonces:

\[ \sqrt[nk]{ a^{mk} } = \sqrt[n]{ |a|^{m} } \]

Solución de una ecuación cuadrática

Si \( x^{2}=a \), para un número real positivo \( a \), entonces las soluciones de la ecuación es:

\[ x = \sqrt{a} \vee x= – \sqrt{a} \]

¿Que es una ecuación exponencial?


Una ecuación exponencial es aquella ecuación donde la incógnita se encuentra en el exponente.

Si \( a \) y \( b \) son dos números reales y \( x \) es la incógnita a calcular, la ecuación exponencial toma su forma general así:
\[ a^{x} = b \]

Ejemplo

\[ 2^{x} = 3 \]

Solución de una ecuación exponencial con bases iguales

Para resolverlos, Generalmente se necesitan 3 propiedades básicas y son:

  1. Si \( a^{x} = a^{y} \), entonces \( x=y \).
  2. Si \( x^{x} = a^{a} \), entonces \( x=a \).
  3. Si \( a^{x} = b^{y} \) y \( a \) es un factor algebraico de \( b \), entonces \( x=y=0 \).

Con estas propiedades podemos despejar al exponente que queremos hallar, en dicho link podrás encontrar la demostración de la 1 y 3, a propiedad 2 no se puede demostrar con métodos convencionales, incluso para ciertos valores positivos de \( a^{a} \), el valor de \( x \) puede ser un número complejo o tener dos soluciones en ciertos intervalos de \( a \) y no lo haremos aquí porque aquel tema esta fuera del alcance de esta del curso.

Ejemplo 1

Si queremos resolver la ecuación \( 2^{x} = 16 \), debemos usar la propiedad 1, primero, buscaremos una potencia con exponente \( 4 \) en el miembro derecho de la ecuación quedando:

\[ 2^{x} = 2^{4} \]

Por la propiedad 1, entonces \( x = 4 \).

Ejemplo 2

Resolvamos \( x^{x} = 256 \), para lograrlo, buscaremos una simetría para que el miembro derecho se parezca al miembro izquierdo, como \( 256 = 4^{4} \), entonces:

\[ x^{x} = 4^{4} \]

Por la propiedad 2, se cumple que \( x=4 \)

Ejemplo 3

Queremos resolver \( 2^{3x+2} = 5^{6x+4} \), como \( 3x+2 \) es un factor de \( 6x+4 \), es decir, resulta que \( \frac{6x+4}{3x+2} = 2 \) por lo que \( 2(3x+2) = 6x+4 \), en base a esto, por la propiedad 3 se cumple que:

\[ 3x+2=6x+4=0 \]

Resolviendo, obtenemos:

\[ x= – \frac{2}{3} \]

Solución de una ecuación exponencial con bases diferentes

Este tipo de ecuaciones se resuelven usando logaritmo y el logaritmo es la inversa de un exponencial, así como la radiación es la inversa de la potenciación. Sea la siguiente ecuación:

\[ a^{x} = b \]

Al despejarlo, se usa el concepto de logaritmo de la siguiente manera:

\[ x = \log_{a} b \]

Los logaritmos es un despeje simbólico y no siempre muestra un resultado numérico habitual. Por ejemplo, si sabemos que \( 4^{2} = 16 \), y su logaritmo sería \( 2 = \log_{4} 16 \), si se tiene esto en mente en una tabla de memoria de logaritmos como la tabla de multiplicación y queremos resolver \( 4^{x} = 16 \), entonces:

\[ x = \log_{4} 16 \]

Como se sabe que \( \log_{4} 16 = 2 \), finalmente:

\[ x = 2 \]

Pero que hacemos para aquellos casos como:

\[ 4^{x} = 17 \]

Su solución simbólica sería así:

\[ x = \log_{4} 17 \]

¿Pero que hay de la solución numérica?. el valor de \( \log_{4} 17 \) es un número irracional como \( \sqrt{2} \) y no se puede obtener con métodos convencionales de álgebra elemental, y su calculo viene dado con métodos aproximados como la serie de Taylor, un tema que se estudia en análisis matemático y su valor aproximado es:

\[ x=2.0437314206251697… \]

Origen de la potenciación


La potenciación tal como lo conocemos hoy no es más que una abreviatura de la multiplicación de múltiples factores iguales, muy usada por los babilonios, siendo una de las civilizaciones históricas más investigadas en los últimos tiempos con grandes dotes matemáticos, pero al parecer ya lidiaban con el concepto de exponente en entre sus múltiples y amplias tablillas que al día de hoy se conservan en buen estado.

Entre las 500 tablillas, 300 de ellas estaban destinadas a las matemáticas y el resto en otras materias no relacionadas donde podíamos encontrar las típicas operaciones matemáticas incluso operaciones con potencias numéricas.

En sus tablas de escritura sumeria sorprendemente podríamos encontrar la famosa teoría de pitágoras mil años antes de la existencia de pitágoras. También podíamos encontrar ecuaciones de segundo, tercer, cuarto grado e incluso sistema de ecuaciones lineales.

Obvia y naturalmente podemos encontrar operaciones inversas a la potenciación, si!!, me refiero a la radicación, estas operaciones eran obligatorias por cuestiones lógicas y la respuesta era muy simple: tenía que encontrar las raíces de las diferentes ecuaciones de algunos órdenes de potencias, incluso y para la sorpresa de muchos, parecía que tenían noción de la existencia de los números irracionales.

Referencia: Babilonia, una gran potencia matemática.

Origen del concepto de exponente

Es cierto que la palabra exponente tiene diferentes significados en diferentes conceptos, pero el primero que definió el concepto de exponente en el contexto matemático se le atribuye a un matemático ingles Michael Stifel en su libro Integra Arithmetica escrito en 1544, aunque de manera un poco imprecisa como lo indica esta nota histórica sobre la historia de la potenciación.

EL significado etimológico de exponente se puede dividir en “expo” que significa “fuera” y “ponere” que significa “lugar, ubicar, poner”, parece ser que hace referencia de poner encima o sobre algo, de esta manera, se desarrolla esta hermosa teoría básica y infinitamente usada por todas las materias matemáticas y también no matemáticas del mundo por ser una operación base como las 4 operaciones matemáticas.

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