Teoría De Exponentes 2018-05-19T01:13:32+00:00

Teoría De Exponentes

Aspecto historico

La potenciaci√≥n tal como lo conocemos hoy no es m√°s que una abreviatura de la multiplicaci√≥n de m√ļltiples factores iguales, muy usada por los babilonios, siendo una de las civilizaciones hist√≥ricas m√°s investigadas en los √ļltimos tiempos con grandes dotes matem√°ticos, pero al parecer ya lidiaban con el concepto de exponente en entre sus m√ļltiples y amplias tablillas que al d√≠a de hoy se conservan en buen estado.

Entre las 500 tablillas, 300 de ellas estaban destinadas a las matematicas y el resto en otras materias no relacionadas donde podiamos encontrar las tipicas operaciones matemáticas incluso operaciones con potencias numéricas.

En sus tablas de escritura sumeria sorprendemente podr√≠amos encontrar la famosa teoria de pitagoras mil a√Īos antes de la existencia de pit√°goras. Tambi√©n podiamos encontrar ecuaciones de segundo, tercer, cuarto grado e incluso sistema de ecuaciones lineales.

Obvia y naturalmente podemos encontrar operaciones inversas a la potenciaci√≥n, si, me refiero a la radicacion, estas operaciones eran obligatorias por cuestiones l√≥gicas y la respuesta era muy simple: ten√≠a que encontrar las ra√≠ces de las diferentes ecuaciones de algunos √≥rdenes de potencias, incluso y para la sorpresa de muchos, parecia que tenian nocion de la existencia de los n√ļmeros irracionales.

secciones del capitulo de teoria de conjuntos

En estas secciones explico detalladamente el origen de las definiciones y propiedades previas muy ordenada en cada secci√≥n, en la secci√≥n 5 est√° dedicado a ejercicios resueltos de teoria de exponentes y la secci√≥n 6 y √ļltima dedicada a las ecuaciones exponenciales junto con m√ļltiples ejercicios resueltos.

La sección 1 y 2 esta dedicada al concepto de potenciacion y radicacion junto con sus principales leyes con sus respectivas demostraciones, excepto la sección 2 donde las demostraciones se han trasladado a la sección siguiente, esto es, la sección 3 y esta destinada a los ejercicios resueltos del curso actual, por ultimo la cuarta y ultima sección esta destinada a la teoria de las ecuaciones exponenciales junto con sus respectivos ejercicios resueltos, esto ayudará a lograr una destreza a la hora de realizar operaciones con exponentes.

Todos estos secciones de las teoria y leyes o reglas de los exponentes junto con ejercicios resueltos conforman el primer capítulo de álgebra elemental del curso de matemática elemental. Espero que lo disfruten, nos veremos para el próximo capítulo de operaciones algebraicas.

Ecuaciones Exponenciales
Matem√°tica Elemental

4. Ecuaciones Exponenciales

Las ecuaciones exponenciales consiste cuando las variables se encuentra en los exponentes de las bases de la ecuaciones que debemos de resolver. Existe algunas propiedades que nos ayudará a despejar estas variables y hallar su valor. Esta sección tambien viene con un algunos ejercicios resueltos que nos ayudará para resolver todo tipo de problemas del tema.

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Orígenes del concepto de exponente

Es cierto que la palabra exponente tiene diferentes significados en diferentes conceptos, pero el primero que definió el concepto de exponente en el contexto matemático se le atribuye a un matemático ingles Michael Stifel en su libro Integra Arithmetica escrito en 1544, aunque de manera un poco imprecisa como lo indica esta nota histórica sobre la historia de la potenciación.

EL significado etimol√≥gico de exponente se puede dividir en “expo” que significa “fuera” y “ponere” que significa “lugar, ubicar, poner”, parece ser que hace referencia de poner encima o sobre algo, de esta manera, se desarrolla esta hermosa teor√≠a b√°sica y infinitamente usada por todas las materias matem√°ticas y tambien no matem√°ticas del mundo por ser una operaci√≥n base como las 4 operaciones matem√°ticas.

El concepto de potencia (exponente entero)

El concepto de potencia es análogo al concepto de multiplicación, para resumir la suma sucesiva de una variable letra a minuscula cursiva unas letra n en cursiva veces, lo abreviamos así:

\( an = \underbrace{ a+a+a+…+a }_{ \text{ n veces } } \)

De la misma manera y para ahorrar escritura, la potenciación se define de la siguiente manera:

\( a^n = \underbrace{ a¬† \cdot a \cdot a … a }_{ \text{ n veces } } \)

Gracias al concepto de potencia, se desprender 5 leyes o teoremas principales, veamos este asunto en el siguiente apartado.

Leyes de los exponentes

Por lo general, las leyes de los exponentes que principalmente se manejan a menudo entre las teor√≠as de potenciacion y radicacion son en total 8 y son “multiplicaci√≥n de potencia de potencia”, “potencia de un producto”, “de potencia de potencia”, “divisi√≥n de potencia de bases iguales”, “potencia de un cociente”, “ra√≠z de un producto”, “ra√≠z de un cociente” y “ra√≠z de ra√≠z”, veamos brevemente cada una de ellas.

Leyes de potenciación

Esta primera definición intuitiva de apartados anteriores trajo consigo las primeras siguientes 3 leyes exponenciales:

Multiplicación de potencia de potencia

\( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \)

potencia de un producto

\( (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } b^{ \color{red}{n} } \)

Potencia de potencia

\( ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{nm} } \)

Donde los exponentes \( m \) y \( n \) eran n√ļmeros enteros que indican cu√°ntas veces deb√≠a de multiplicarse la base \( a \). Pero este limite no duraria mucho y se ten√≠a que definir este concepto hasta los exponentes negativos, por ello se definieron otros dos conceptos mas bajo una serie de explicaciones que damos en el secci√≥n 2, las siguientes definiciones necesarias para extender los exponentes hacia los n√ļmeros enteros (inclu√≠a a los numeros negativos):

Exponente cero

\( a^0 = 1 \)

Exponente negativo

\( a^{-n} = \frac{1}{ a^n } \)

Para el caso del exponente negativo, debía cumplirse que \( a \neq 0 \).  Esto trajo consigo otras 2 leyes exponenciales mas.

División de potencias de bases iguales

\( \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{reed}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \)

potencia de un cociente

\( ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \)

También para estas propiedades debian cumplirse que \( a \neq 0 \) y \( b \neq 0 \) para no caer en absurdos, pero estas reglas de potenciación no quedarian allí, se quiso extender hasta exponentes fraccionarios y este es asunto del siguiente apartado.

El concepto de radicación (exponente fraccionario)

Si bien la inversa de la suma y multiplicación es la resta y la división, la potenciación también tiene su inversa, a este se le llamó radicacion, aunque tal vez nace al intentar resolver las raices de las ecuaciones de grados superiores a la unidad. La radiación puede obtenerse de la definición de potencia \( y^n = z \), donde \( \sqrt[n]{z} = y \). De este concepto se logró probar que

\( \sqrt[n]{ x^m } = x^{ \frac{m}{n} } \)

Pero debia de considerarse una definicion fundamentada ya que a√ļn no exist√≠a un exponente fraccionario y para que el exponente tenga sentido, deb√≠a de cumplirse que \( n \neq 0 \).

Leyes de radicación

Del concepto del apartado anterior nacieron otras 3 leyes b√°sicas de los radicales y son:

Raíz de un producto

\( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ab} = \sqrt[ \color{red}{n} ]{a} \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} \)

raíz de un cociente

\( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } }{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ b } } \)

Raíz de raíz

\( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \sqrt[ \color{red}{p} ]{ a } } } = \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{a} \)

Para el caso de raíz de un cociente deba tenerse en cuenta que \( b \neq 0 \) para no caer en absurdos operacionales. Esto era la primera teoría básica de exponentes, las teorías aquí expuestas solo se limitan como máximo a las exponentes racionales. Con esto finalizamos las 8 principales teoremas de la teoria de exponentes.

Para una teor√≠a completa de exponente irracional, necesitar√≠a otros nuevos conceptos que supera el l√≠mite de este curso b√°sico, pero esto lo iremos viendo en un curso de n√ļmeros reales exclusivo para un curso general de matematica basica.

Las propiedades de los exponentes¬† para n√ļmeros reales solo se reducir√≠a para las 3 primeras leyes expuestas al inicio, el resto de las leyes ya estar√≠an incluidas en las 3 primeras ya que los n√ļmeros reales incluye a los enteros y n√ļmeros racionales.

Continuacion del curso algebra elemental: operaciones algebraicas

Te presentamos la continuacion del curso basico de algebra elemental, aquí desarrollamos las cuatro operaciones fundamentales aplicadas al algebra junto con las secciones de productos y cocientes notables.