Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Hola amigos, comenzamos con una nueva sección, pues, en esta nueva oportunidad y última entrada de este curso, desarrollaremos más de 100 ejercicios resueltos de potenciación y radicación del curso teoría de exponentes.

Se supone que ya estudiaron la teoría que abarca las propiedades de potenciación, radicación y ecuaciones exponenciales, si no lo han hecho, al lado izquierdo verán un grupo de secciones del curso si estás en escritorio o tablet o al final si estas en el móvil.

Para desarrollar correctamente los ejercicios, debes tener en cuenta todo el conjunto de las principales leyes de la teoría de exponente y saberlos usar con inteligencia, ante todo, vamos a resumir las leyes de la potenciación y radicación anteriormente estudiadas.

Resumen de las leyes de la potenciación y radicación


Para el desarrollo de los ejercicios que veremos en el siguiente apartado, vamos a resumir con abreviaturas tanto las definiciones y como las leyes de la teoría de exponentes como recordatorio para los ejercicios resueltos que mostraremos en breve.

Definiciones de la potenciación y radicación

  • D I: \( a^{0} = 1 \)
  • D II: \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \)
  • D III: \( \sqrt[n]{ x^{m} } = x^{ \frac{m}{n} } \) ó \( x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^{m} } \)

Leyes de potenciación

  • LP I: \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \) ó \( a^{ \color{red}{n+m} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } \)
  • LP II: \( (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \) ó \( a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } = (ab)^{ \color{red}{n} } \)
  • LP III: \( ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{nm} } \) ó \( a^{ \color{red}{nm} } = ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } \)
  • LP IV: \( \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \) ó \( a^{ \color{red}{n-m} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } \)
  • LP V: \( ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{n} } } \) ó \( \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{n} } } = ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } \)
  • Corolario: \( ( \frac{a}{b} )^{ -n } = ( \frac{b}{a} )^{n} \) ó \( ( \frac{a}{b} )^{n} = ( \frac{b}{a} )^{ -n } \)

Leyes de la radicación

  • LR I: \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ ab } = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} \) ó \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{a} \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ab} \)
  • LR II: \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } }{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} } \) ó \( \frac{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } }{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} } = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \frac{a}{b} } \)
  • LR III: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \sqrt[ \color{red}{p} ]{a} } } = \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{a} \) ó \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \sqrt[ \color{red}{p} ]{a} } } = \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{a} \)

Leyes auxiliares de la radicación

  • LAR I: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{ b \cdot \sqrt[ \color{red}{p} ]{c} } } = \sqrt[ \color{red}{m} ]{a} \cdot \sqrt[ \color{red}{mn} ]{b} \cdot \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{c} \)
  • LAR II: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a^{x} \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a^{y} \cdot \sqrt[ \color{red}{p} ]{ a^{z} \cdot \sqrt[ \color{red}{q} ]{ a^{r} } } } } = \sqrt[ \color{red}{mnpq} ]{ a^{ ( ( xn+y )p+z )q+r } } \)
  • LAR III: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a^{x} \div \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a^{y} \div \sqrt[ \color{red}{p} ]{ a^{z} \div \sqrt[ \color{red}{q} ]{ a^{r} } } } } = \sqrt[ \color{red}{mnpq} ]{ a^{ ( ( xn-y )p-z )q-r } } \)

101 Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Por fin comenzaremos con un mix de ejercicios resueltos de potenciación y radicación. Naturalmente todos los ejercicios se desarrollan desde las leyes anteriormente expuestas y muy pero muy rara vez usaremos la definición de potenciación pero si la definición de radicación. Los niveles presentados hasta ahora son:

Nivel elemental

Es el nivel mas elemental, sirve como explicativo de todos las teorías explicadas hasta el momento y no presenta ninguna tipo de dificultad, consta de un total de 30 ejercicios y es considerado tan solo para calentamiento.

Ejercicio 1

Simplificar


\[ \mathrm{A} =  \frac{ ( 2 \cdot 3 \cdot 5 )^{3} }{ 15^{2} \cdot 60 } \]

Solución:

  1. Para resolverlo, vamos a colocar en sus factores primos los números \( 15 \) y \( 60 \) así:
    \[ 15 = 3 \cdot 5 \ \text{y} \ 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \]
  2. Reemplazando en \( \mathrm{A} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ ( 2 \cdot 3 \cdot 5 )^{3} }{ ( 3 \cdot 5 )^2 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 } \]
  3. Por la propiedad \( (ab)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \), se cumple:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 } \]
  4. Ordenando factores en el numerador de tal manera que se puedan aplicar las leyes de los exponentes, tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 5 \cdot 2^{2} } \]
  5. Por la regla \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2+1} \cdot 5^{2+1} \cdot 2^{2} } \\ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 2^{2} \cdot } \]
  6. Aplicando las propiedades sobre fracciones \( \frac{ab}{cd} = \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} }{ 2^{2} } \cdot \frac{ 3^{3} }{ 3^{3} } \cdot \frac{ 5^{3} }{ 5^{3} } \]
  7. Por la regla \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), resulta:
    \[ \mathrm{A} = 2^{3-2} \cdot 3^{3-3} \cdot 5^{ 3-3 } \\ \mathrm{A} = 2^{1} \cdot 3^{0} \cdot 5^{0} \]
  8. Como \( a^{1} = a \) y \( a^{0} = 1 \), finalmente logramos el siguiente resultado:
    \[ \mathrm{A} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 2

Si \( 2^{a} = 3^{b} \), calcular el valor de:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a+2} + 2^{a+3} }{ 3^{b+1} + 3^{b+2} } \]

Solución:

  1. Usando \( a^{n+m} = a^{n}\cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a} \cdot 2^{2} + 2^{a} \cdot 2^{3} }{ 3^{b} \cdot 3^{1} + 3^{b} \cdot 3^{2} } \]
  2. Factorizando \( 2^{a} \) en el numerador y \( 3^{b} \) en el denominador:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a} ( 2^{2} + 2^{3} ) }{ 3^{b} ( 3^{1} + 3^{2} ) } \]
  3. Reemplazando el valor de \[ 2^{a} = 3^{b} \] en el numerador:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{b} (4+8) }{ 3^{b} (3+9) } \]
  4. Simplificando el factor \( 3^{b} \) y desarrollando, finalmente tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ (4+8) }{3+9} = \frac{12}{12} = \boxed{ \Large{1} } \]

Ejercicio 3

Si \( 3^{a-1} = 5 \), cual es el valor de:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a+b} + 3^{a+c} }{ 3^{b+1} + 3^{c+1} } \]


Solución:

  1. Usando \( a^{ n+m } = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a} \cdot 3^{b} + 3^{a} \cdot 3^{c} }{ 3^{b} \cdot 3^{1} + 3^{c} \cdot 3^{1} } \]
  2. Factorizando \( 3^{a} \) y \( 3^{1} \) en el numerador y denominador respectivamente:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a}( 3^{b} + 3^{c} ) }{ 3^{1} (3^{b} + 3^{c} ) } \]
  3. Simplificando \( 3^{b} + 3^{c} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a} }{ 3^{1} } \]
  4. Usando \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \):
    \[ \mathrm{E} = 3^{a-1} \]
  5. Teniendo como dato \( 3^{a-1} = 5 \), resulta:
    \[ \mathrm{E}= \boxed{ \Large{5} } \]

Ejercicio 4

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 6 \cdot 2^{m-1} + 2^{m+3} }{ 2^{m+1} + 2^{m} } \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} =\frac{ 6 \cdot 2^{m} \cdot 2^{-1} + 2^{m} \cdot 2^{3} }{ 2^{m} \cdot 2^{1} + 2^{m} } \]
  2. Por la propiedad \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 6 \cdot 2^{m} ( \frac{1}{2} ) + 2^{m} \cdot 2^{3} }{ 2^{m} \cdot 2^{1} + 2^{m} } \]
  3. Factorizando \( 2^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{m} ( 6( \frac{1}{2} ) + 2^{3} ) }{ 2^{m} ( 2^{1} + 1 ) } \]
  4. Simplificando \( 2^{m} \) y resolviendo, resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ 6( \frac{1}{2} + 2^{3} ) }{ 2^{1} + 1 } \\ & = \frac{ \frac{6}{2} + 8 }{ 2+1 } \\ & = \boxed{ \Large{ \frac{11}{3} } } \end{align} \]

Ejercicio 5

Calcular la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = [ ( \frac{1}{3} )^{ -2 } + ( \frac{1}{4} )^{-2} ]^{ \frac{1}{2} } \]

Solución:


  1. Por el corolario \( ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{3}{1} )^{2} + ( \frac{4}{1} )^{2} )^{ \frac{1}{2} } \\ & = [ 3^{2} + 4^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \end{align} \]
  2. Por definición de radicación \( x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^{m} } \) donde \( x = 25 \) y \( \frac{m}{n} = \frac{1}{2} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = [ 3^{2} + 4^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \\ & = 25^{ \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{25} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 6

Resolver:

\[ \mathrm{E} = ( ab^{-1} + ba^{-1} )( a^{-2} + b^{-2} )^{-1} \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{-n} = \frac{ 1 }{ a^{n} } \):
    \[ \mathrm{E} = ( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} )( \frac{1}{ a^{2} } + \frac{1}{ b^{2} } )^{-1} \]
  2. Recordando que \( \frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + np}{nq} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{ a \cdot a + b \cdot b }{ba} )( \frac{ b^{2} + a^{2} }{ a^{2} b^{2} } )^{-1} \\ & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ba} )( \frac{ b^{2} + a^{2} }{ a^{2} b^{2} } )^{-1} \end{align} \]
  3. Por el corolario \( ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} \) y finalmente simplificando los factores \( a^{2} + b^{2} \) y \( ab \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ba} )( \frac{ a^{2} b^{2} }{ b^{2}  + a^{2} } ) \\ & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ab} )( \frac{ (ab)^{2} }{ a^{2} + b^{2} } ) \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{ab} } \end{align} \]

Ejercicio 7

Efectuar:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n+5} – 2^{n+4} }{ 2^{n+3} } \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n} \cdot 2^{5} – 2^{n} \cdot 2^{4} }{ 2^{n} \cdot 2^{3} } \]
  2. Factorizando \( 2^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n} ( 2^{5} – 2^{4} ) }{ 2^{n} \cdot 2^{3} } \]
  3. Simplificando \( 2^{n} \) y resolviendo, obtenemos finalmente:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{5} – 2^{4} }{ 2^{3} } = \frac{ 32 – 16 }{8} = \frac{16}{8} = \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 8

Calcular:


\[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \cdots \infty } } } } \]

Solución:

  1. Por su infinitud de la expresión, vamos a colorear de color azul el un parte de la expresión \( \mathrm{E} \), esto es, un radical:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \color{blue}{ \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \cdots \infty} } } } } \]
  2. Como el radical de color azul también es infinito, lo llamaremos también \( \mathrm{E} \), resultando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \mathrm{E} } \]
  3. Elevando al cuadrado cada miembro de la igualdad para eliminar la raíz, resulta:
    \[ \mathrm{E}^{2} = \sqrt{ 6 + \mathrm{E} }^{2} \]
  4. Recordar que \( \sqrt[x]{ a }^{x} = a \) y despejando términos tal que:
    \[ \mathrm{E}^{2} = 6+ \mathrm{E} \\ \mathrm{E}^{2} – 6 – \mathrm{E} = 0 \]
  5. Usaremos un método de factorización llamado aspa simple para la ecuación anterior, resulta:
    \[ ( \mathrm{E} – 3 )( \mathrm{E} + 2 ) = 0 \]
  6. Igualando a cada factor a cero:
    \[ \mathrm{E} – 3 = 0 \vee \mathrm{E} + 2 = 0 \\ \mathrm{E} = 3 \vee \mathrm{E} = -2 \]
  7. Como la raíz cuadrada de \( \mathrm{E} \) debe ser positiva, tomaremos el siguiente valor como solución de nuestro ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 9

Efectuar:

\[ \mathrm{E} = a^{2} b^{3} c^{4} a^{5} b^{6} c^{7} a^{8} b^{9} c^{10} \]

Solución:

  1. En esta multiplicación ordenaremos todos los términos juntando todos aquellos que tiene bases iguales:
    \[ \mathrm{E} = a^{2} a^{5} a^{8} b^{3} b^{6} b^{9} c^{4} c^{7} c^{10} \]
  2. Aplicando \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{ a^{n+m} } \):
    \[ \mathrm{E} = a^{2+5+8} b^{3+6+9} c^{4+7+10} \]
  3. Resultando finalmente:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{ a^{15} b^{18} c^{21} } } \]

Ejercicio 10

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \sqrt[3]{27} } } } } } \]


Solución:

  1. Note que \( \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), reemplazando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } } } } \]
  2. Pero aquí se repite la misma secuencia donde \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } } } \]
  3. De nuevo \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \color{red}{3} } } } \]
  4. Como la secuencia se repite continuamente, escribiremos el valor de \( \cdots \color{red}{3} \) por el valor de \( \color{red}{3} \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \color{red}{3} } } } \]
  5. Como este factor \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \color{red}{3} \) se repite continuamente, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } \\ & = \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } \\ & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 11

Resolver este clásico:

\[ \mathrm{E} = 16^{ 4^{ -2^{-1} } } \]

Solución:

  1. El valor \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \) lo reemplazamos en nuestra ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = 16^{ 4^{ – \color{red}{ 2^{-1} } } } = 16^{ 4^{ – \color{red}{ \frac{1}{2} } } } \]
  2. En el caso anterior usamos \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \), de la misma manera para \( 4^{ – \frac{1}{2} = \frac{1}{ 4^{ \frac{1}{2} } } } = \frac{1}{ \sqrt{4} } = \frac{1}{2} \), finalmente resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = 16^{ 4^{ – \frac{1}{2} } } \\ & = 16^{ \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{16} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{4} } \end{align} \]

Ejercicio 12

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n+3} – 5^{n+2} }{ 5^{n} } } \]

Solución:


  1. Aplicando \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n} \cdot 5^{3} – 5^{n} \cdot 5^{2} }{ 5^{n} } } \]
  2. Factorizando \( 5^{n} \) en el numerador:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n} ( 5^{3} – 5^{2} ) }{ 5^{n} } } \]
  3. Simplificando \( 5^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 5^{3} – 5^{2} } \]
  4. Resolviendo, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt{125-25} \\ & = \sqrt{100} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{10} } \end{align} \]

Ejercicio 13

Calcular:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \vdots } } } } } } \]

Solución:

  1. Este ejercicio es similar como el ejercicio 12, solo que en este caso se esta usando la división, aplicaremos el mismo método como en ese ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \color{red}{ \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \vdots } } } } } } } \]
  2. Resultando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \color{red}{ \mathrm{E} } } } \]
  3. Elevando al cuadrado y eliminando la raíz con la forma \( \sqrt[x]{a}^{x} = a \), tenemos:
    \[ \mathrm{E}^{2} = \sqrt{ \frac{125}{ \mathrm{E} } }^{2} = \frac{125}{ \mathrm{E} } \]
  4. Despejando \( 125 \) del lado derecho de la igualdad:
    \[ \mathrm{E}^{3} = 125 \]
  5. Extrayendo la raíz cúbica \( \sqrt[3]{ \mathrm{ E^{3} } } = \sqrt[3]{125} \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{125} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 14

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \sqrt{16} } + \sqrt[3]{ \sqrt[3]{ 27^{3} } } + \sqrt[3]{ \sqrt{64} } \]

Solución:

  1. Para este caso aplicaremos \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{ \sqrt[p]{ a } } } = \sqrt[mnp]{a} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[ 2 \cdot 2 ]{16} + \sqrt[ 3 \cdot 3 ]{ ( 3^{3} )^{3} } + \sqrt[ 3 \cdot 2 ]{64} \]
  2. Sabiendo que \( 16 = 2^{4} \) y \( 64 = 2^{6} \) y resolviendo los índices y los exponentes, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[4]{ 2^{4} } + \sqrt[9]{ 3^{9} } + \sqrt[6]{ 2^{6} } \\ & = 2+3+2 \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{7} } \end{align} \]

Ejercicio 15

Si \( ab = b^b = 2 \), Simplificar este clásico.


\[ \mathrm{E} = ab^{ab^{ab}} \]

Solución:

  1. Este tipo de ejercicios de exponente de exponente se resuelve de arriba abajo como ya indicamos en entrada anterior, sabemos \( ab = 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = ab^{ab^{ab}} = ab^{ab^{2}} \]
  2. Haremos la siguiente estrategia para el exponente \( ab^{2} = abb = 2b \), recordar que \( ab = 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = ab^{ab^{2}} = ab^{2b} \]
  3. Aplicando \( a^{mn} = ( a^{n} )^{m} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = ab^{2b} = ab^{ b \cdot 2 } = a( b^{b} )^{2} \]
  4. Como \( b^{b} = 2 \), reemplazando, finalmente logramos:
    \[ \mathrm{E} = a( b^{b} )^{2} = a(2)^{2} = \boxed{ \Large{4a} } \]

Este es el límite del resultado de \( \mathrm{E} \), sin embargo, es posible resolver el valor de \( a \), primero debemos resolver el valor de \( b \) en la ecuación \( b^b=2 \) que dicho sea de paso, el valor de \( b \) es irracional y su solución por métodos avanzados es muy compleja, una forma matemática para solucionar este ejercicio es:

\[ b = e^{ \mathrm{W}( \ln{2} ) } \]

Donde \( \ln{} \) es el logaritmo natural y \( \mathrm{W} \) es la función de Lambert, de aquí \( b \) aproximadamente resulta ser:

\[ b = 1.55961… \]

Este es un valor irracional, ahora de \( ab = 2 \), despejando \( a \), su valor resulta ser:


\[ a = 1.28237…. \]

Aquí, tanto los valores de \( a \) y \( b \), son irracionales.

Ejercicio 16

Si \( x^{x} = 3 \), resolver:

\[ \mathrm{E} = x^{ x^{x+1} } \]

Solución:

  1. Como en el caso del ejercicio anterior, este tipo de problemas se resuelven de arriba a abajo, aplicaremos \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{x+1} } = x^{ x^{x} \cdot x^{1} } \]
  2. Intercambiando los factores del producto \( x^{x} \cdot x^{1} = x^{1} \cdot x^{x} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{x} \cdot x^{1} } = x^{ x^{1} \cdot x^{x} } \]
  3. Por la propiedad \( a^{nm} = ( a^{n} )^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{1} \cdot x^{x} } = ( x^{x^{1}} )^{ x^{x} } = ( x^{x} )^{x^{x}} \]
  4. Como \( x^{x} = 3 \), finalmente hallamos:
    \[ \mathrm{E} = ( x^{x} )^{ x^{x} } = 3^{3} = \boxed{ \Large{27} } \]

Ejercicio 17

Reducir la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a+3} + 2^{a} }{ 3^{a+2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]


Solución:

  1. Aplicando la propiedad \( x^{m+n} = x^{m} \cdot x^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a} \cdot 2^{3} + 2^{a} }{ 3^{a} \cdot 3^{2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  2. Factorizando \( 2^{a} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a} ( 2^{3} + 1 ) }{ 3^{a} \cdot 3^{2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  3. Donde \( 2^{3} + 1 = 3^{2} = 9 \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a}(9) }{ 3^{a} \cdot 9 } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  4. Simplificando y reduciendo:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = [ \frac{ 2^{a} }{ 3^{a} } ]^{ \frac{1}{a} } \\ & = [ ( \frac{2}{3} )^{a} ]^{ \frac{1}{a} } \\ & = ( \frac{2}{3} )^{ a \cdot \frac{1}{a} } \end{align} \]
  5. Finalmente obtenemos:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{ \frac{2}{3} } } \]

Ejercicio 18

Este ejercicio pertenece a la sección de ecuaciones exponenciales, pero igual te la pongo aquí:

Si \( \sqrt[6]{8} = \sqrt[n]{2n} \) donde  \( n \in \mathbb{N} \), hallar \( n \):

Solución:

  1. Haciendo \( 8=2^{3} \), entonces:
    \[ \sqrt[6]{ 2^{3} } = \sqrt[n]{2n} \]
  2. Donde \( \sqrt[6]{ 2^{3} } = \sqrt[ \color{red}{3} \cdot 2 ]{ 2^{ \color{red}{3} } } = \sqrt{2} \), entonces:
    \[ \sqrt[2]{2} = \sqrt[n]{2n} \]
  3. Haciendo \( \sqrt[2]{2} = \sqrt[ 2 \cdot 4 ]{ 2^{4} } = \sqrt[8]{16} \):
    \[ \sqrt[8]{16} = \sqrt[n]{2n} \]
  4. Dando forma:
    \[ \sqrt[8]{ 2 \cdot 8 } = \sqrt[n]{2n} \]
  5. Por simetría (ver ecuaciones exponenciales) finalmente resulta:
    \[ n = \boxed{ \Large{8} } \]

Ejercicio 19

Si \( a^{a} = 2 \), calcular:
\[ \mathrm{E} = a^{2a} + a^{ a^{a+1} } \]

Solución:

  1. Hacemos \( 2a = 2 \cdot a \) y \( a^{a+1} = a^{a} \cdot a \):
    \[ \mathrm{E} = a^{ 2 \cdot a } + a^{ a^{a} \cdot a^{1} } \]
  2. Aplicando la propiedad \( x^{nm} = ( x^{n} )^{m} \), donde \( a^{a} \cdot a = a \cdot a^{a} \):
    \[ \mathrm{E} = ( a^{a} )^{2} + ( a^{a} )^{  a^{a} } \]
  3. Aplicando el dato del problema \( a^{a} = 2 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( 2 )^{2} + (2)^{2} \\ & = 4 + 4 \\ \mathrm{E} & = 8 \end{align} \]

Ejercicio 20

Calcular \( \mathrm{M}^{3} \) si se cumple la siguiente condición:


\[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{3 \cdots \infty } } } } \]

Solución:

  1. Coloreando el fragmento repetido:
    \[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{3 \cdots \infty } } } } } \]
  2. Como es una serie repetitiva, el color rojo también es \( \mathrm{M} \), lo escribimos así:
    \[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } } \]
  3. Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz:
    \[ ( \mathrm{M} )^{2} = ( \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } } )^{2} \\ \mathrm{M}^{2} = 2 \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } \]
  4. Elevamos al cuadrado otra vez para eliminar la raíz:
    \[ ( \mathrm{M}^{2} )^{2} = ( 2 \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} }  } )^{2} \]
  5. Resolviendo:
    \[ \mathrm{M}^{4} = ( 2 \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} } } )^{2} = 2^{2} ( \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} } } )^{2} = 4 \cdot 3 \mathrm{M} \]
  6. Simplificamos \( \mathrm{M} \) finalmente logramos resolver \( \mathrm{M}^{3} \):
    \[ \mathrm{M}^{3} = \boxed{ \Large{12} } \]

Ejercicio 21

Si \( m = 81n \), calcular:

\[ \mathrm{P} = \frac{ \sqrt{ n \sqrt{m} } \cdot \sqrt{m} }{ \sqrt{ m \sqrt{n} } \cdots \sqrt{n} } \]

Solución:

  1. Propiedad \( \sqrt[a]{ x \cdot \sqrt[b]{ y } } = \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{ \sqrt[b]{y} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{P} = \frac{ \color{red}{ \sqrt{n} } \cdot \sqrt{ \sqrt{m} } \cdot \color{green}{ \sqrt{m} } }{ \color{green}{ \sqrt{m} } \cdot \sqrt{ \sqrt{n} } \color{red}{ \sqrt{n} } } \]
  2. Simplificando \( \color{red}{ \sqrt{n} } \), \( \color{blue}{ \sqrt{m} } \) y operando:
    \[ \mathrm{P} = \frac{ \sqrt{ \sqrt{m} } }{ \sqrt{ \sqrt{n} } } = \frac{ \sqrt[4]{m} }{ \sqrt[4]{n} } = \sqrt[4]{ \frac{m}{n} } \]
  3. Aplicando dato del problema \( m = 81n \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = \sqrt[4]{ \frac{ 81n }{n} } \\ & = \sqrt[4]{81} \\ & = \sqrt[4]{ 3^{4} } \\ \mathrm{P} & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 22

Si \( x^{n} y^{m} = 10^{n} \), \( x^{m} y^{n} = 10^{m} \), calcular el valor de \( \mathrm{E} = xy \).

Solución:


Para obtener el producto \( xy \), debemos lograr que los exponentes del producto de los datos en términos de \( x \) e \( y \) tengan el mismo exponente, realizando la siguiente estrategia:

  1. Multiplicando miembro a miembro los datos del problema:
    \[ ( x^{n} y^{m} )( x^{m} y^{n} ) = 10^{n} \cdot 10^{m} \]
  2. Ordenando para aplicar \( a^{p} \cdot a^{q} = a^{p+q} \), resulta:
    \[ x^{m} x^{n} y^{m} y^{n} = 10^{m} \cdot 10^{n} \\ x^{m+n} y^{m+n} = 10^{m+n} \\ (xy)^{m+n} = 10^{m+n} \]
  3. Extrayendo la raíz \( \color{red}{m+n} \) a ambos miembros:
    \[ \sqrt[ \color{red}{m+n} ]{ (xy)^{ \color{red}{m+n} } } = \sqrt[ \color{red}{m+n} ]{ 10^{ \color{red}{m+n} } } \]
  4. Obtenemos finalmente:
    \[  xy = \boxed{ \Large{10} } \]

Ejercicio 23

Si \( a^{a}  = a+1\), reducir la siguiente expresión:
\[ \sqrt[ a^{ a^{a} } ]{ (a+1)^{a+1} } \]

Solución:

Sea la igualdad \( x^{ y^{z} } = x^{ y^{z} } \), el exponente de \( x \) es todo lo que está arriba de \( x \), en este caso, el exponente \( y^{z} \), comenzaremos por ahí.

  1. En base a esto, modificamos índice \( \color{red}{a^{ a^{a} } } \) donde \( a^{a} = a+1 \), tenemos:
    \[ \begin{align} a^{ a^{a} } & = a^{ (a^{a} ) } \\ & = a^{a+1} \\ & = a^{a} \cdot a^{1} \\  a^{ a^{a} } & = a^{a} \cdot a \end{align} \]
  2. Reemplazando en nuestra expresión \( \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ (a+1)^{a+1} } \), donde \( a+1 = a^{a} \), resulta:
    \[ \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ ( a^{a} )^{ a^{a} } } = \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } \]
  3. Como \( a^{a} \cdot a = a \cdot a^{a} \), resulta:
    \[ \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } = \sqrt[ a \cdot a^{a} ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } = \boxed{ \Large{a} } \]

Ejercicio 24

Si \( x^{n} y^{m} = 7^{n} \) y \( x^{m} y^{n} = 7{n} \), calcular \( \mathrm{E} = \frac{y}{x} \).

Solución:

  1. Las condiciones del ejercicio lo dividiremos miembro a miembro:
    \[ \frac{ x^{n} y^{m} }{ x^{m} y^{n} } = \frac{ 7^{n} }{ 7^{m} } \]
  2. Sabemos que \( \frac{a}{b} = ( \frac{b}{a} )^{-1} = ( a^{-1} b )^{-1} = \frac{1}{ a^{-1} b } \), entonces:
    \[ \frac{ y^{m} y^{-n} }{ x^{m} \cdot x^{-n} } = \frac{ 7^{n} }{ 7^{m} } = \frac{1}{ 7^{m} \cdot 7^{-n} } = \frac{1}{ 7^{m-n} } \]
  3. Como \( y^{m} y^{-n} = y^{m-n} \), \( x^{m} x^{-n} = x^{m-n} \) y \( \frac{1}{ 7^{m-n} } = ( \frac{1}{7} )^{m-n} \), entonces:
    \[ ( \frac{y}{x} )^{m-n} = ( \frac{1}{7} )^{m-n} \]
  4. Extrayendo raíz \( m-n \):
    \[ \sqrt[m-n]{ ( \frac{y}{x} )^{m-n} } = \sqrt[m-n]{ ( \frac{1}{7} )^{m-n} } \]
  5. Simplificando, obtenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{y}{x} = \boxed{ \Large{ \frac{1}{7} } } \]

Ejercicio 25

Reducir:


\[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot 16^{x+4} }{ 8^{x+3} \cdot 4^{x+2} } \]

Solución:

  1. Tener en cuenta que \( 8 = 2^{3} \) y \( 4 = 2^{2} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot ( 2^{4} )^{x+4} }{ ( 2^{3} )^{x+3} \cdot ( 2^{2} )^{x+2} } \]
  2. Propiedad \( ( a^{b} )^{c} = a^{bc} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot 2^{ 4x + 16 } }{ 2^{ 3x+9 } \cdot 2^{ 2x+4 } } \]
  3. Por el teorema \( a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5+4x+16} }{ 2^{ 3x+9+2x+4 } } = \frac{ 2^{ 5x +21 } }{ 2^{ 5x + 13 } } \]
  4. Ahora por la propiedad \( \frac{ a^{b} }{ a^{c} } = a^{b-c} \), finalmente logramos:
    \[ \mathrm{M} = 2^{ 5x + 21 – ( 5x +13 ) } = 2^{8} = 256 \]

Ejercicio 26

Calcular la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a+1} }{ 2^{ 2a+4 } + 2^{ 2a+2 } } } \]

Solución:

  1. Propiedad \( x^{n+m} = x^{n} \cdot x^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20^{1} }{ 2^{ 2a } \cdot 2^{4} + 2^{2a} \cdot 2^{2} } } \]
  2. Factorizamos \( 2^{2a} \) en el denominador del radicando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20 }{ 2^{2a} ( 2^{4} + 2^{2} ) } } = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20 }{ 2^{2a} (20) } } \]
  3. Simplificando el entero \( 20 \) y operando, finalmente logramos el siguiente resultado:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ 2^{2a} } } \\ & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ ( 2^{2} )^{a} } } \\ & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ 4^{a} } } \\ & = \sqrt[a]{ ( \frac{20}{4} )^{a} } \\ & = \frac{ 20 }{4} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 27

Calcular:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 25 + \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } } } \]


Solución:

  1. Llamaremos \( \mathrm{A} \) a un fragmento de la expresión infinita y coloreando una parte de este mismo fragmento de color rojo, tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } } \]
  2. Como el color rojo de \( \mathrm{A} \) es repetitivo (en matemática puras se le llama sucesión recurrente), también la llamaremos \( \mathrm{A} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \underbrace{ \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  3. Logrando haciendo más sencillo la ecuación:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \mathrm{A} } \]
  4. Realizando algunas operaciones:
    \[ ( \mathrm{A} )^{2} = ( \sqrt{ 6 – \mathrm{A} } )^{2} \\ \mathrm{A} = 6 – \mathrm{A} \\ \mathrm{A}^{2} + \mathrm{A} = 6 \]
  5. Factorizando \( \mathrm{A} \) y comparando por colores:
    \[ \mathrm{A} ( \mathrm{A} + 1 ) = 2 \cdot 3 \]
  6. Logramos deducir que:
    \[ \mathrm{A} = 2 \]
  7. Reemplazando en \( \mathrm{E} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{ 25 + 2 } \\ & = \sqrt[3]{27} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 28

Sea la expresión:

\[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 \cdots \infty } } } \]

Calcular \( \mathrm{A}^{2} – \mathrm{A} \).

Solución:

  1. La misma estrategia, de la expresión en \( \mathrm{A} \), llamaremos también \( \mathrm{A} \) a la expresión repetida por ser una expresión infinita:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \underbrace{ \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 \cdots \infty } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  2. Tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \mathrm{A} } \]
  3. Elevando al cuadrado:
    \[ ( \mathrm{A} )^{2} = ( \sqrt{ 3+ \mathrm{A} } )^{2} \]
  4. Resulta:
    \[ \mathrm{A}^{2} = 3 + \mathrm{A} \]
  5. Despejando el entero \( 3 \), finalmente hallamos:
    \[ \mathrm{A}^{2} – \mathrm{A} = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 29

Calcular:

\[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \vdots } } } } } } \]

Solución:

  1. Como en los casos anteriores, llamaremos \( \mathrm{A} \) la expresión repetida:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \underbrace{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \vdots } } } } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  2. Resulta:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \frac{16}{ \mathrm{A} } } \]
  3. Elevamos al cubo cada miembro del resultado:
    \[ ( \mathrm{A} )^{3} = ( \sqrt[3]{ \frac{16}{ \mathrm{A} } } )^{3} = \frac{16}{ \mathrm{A} } \]
  4. Despejando \( \mathrm{A} \), obtenemos:
    \[ ( \mathrm{A} )^{3} = \frac{16}{ \mathrm{A} } \\ \mathrm{A}^{4} = 16 \]
  5. Extraemos la raíz cuarta a cada miembro de la ecuación, finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \sqrt[4]{ \mathrm{A}^{4} } & = \sqrt[4]{16} \\ & = \sqrt[4]{ 2^{4} } \\ \mathrm{A} & = \boxed{ \Large{2} } \end{align} \]

Ejercicio 30

Simplificar:

\[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{3n+1} + 3^{n+2} }{ 3 + 9^{n} } \]

Solución:

  1. Como \( 3n+1 = 3n + n + 1 \) y \( n+2 = +1+1 \),entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{2n + n + 1} + 3^{n + 1 +1} }{ 3 + 9^{n} } \]
  2. Como \( a^{x+y} = a^{x} \cdot a^{y} \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{2n} \cdot 3^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 3^{1} }{ 3 + 9^{n} } \]
  3. Extraemos el factor común \( 3^{n+1} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{n+1} ( 3^{2n} + 3^{1} ) }{ 3 + 9^{n} } \]
  4. Como \( 3 + (9)^{n} = 3 + ( 3^{2} )^{n} = 3^{2n} + 3 \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{n+1} ( 3^{2n} + 3 ) }{ 3 + ( 3^{2} )^{n} } \]
  5. Simplificando, finalmente obtenemos:
    \[ \mathrm{A} = \boxed{ \Large{ 3^{n+1} } } \]

De esta manera finalizamos con el nivel elemental, un nivel que solo sirve de calentamiento. Si quieres subir ligeramente el nivel, te presento el nivel básico compuesto de 18 ejercicios más, si bien no tendrás dificultad, te será interesante, y divertido.

Pero si quieres darle divertirte con una dificultad mayor, aquí te dejo el nivel intermedio que son un total de 25 ejercicios que te va a encantar, al final del nivel intermedio encontrarás el nivel avanzado con un total de 28 ejercicios, así te sentirás todo un pro en este curso.

Detalles Del Capitulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Nombre Del Articulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Descripción
Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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Ciencias Básicas
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17 comentarios en “4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación”

  1. Hola, tengo una duda en el ejercicio 51, en la segunda ecuación base 3, al simplificar se agrega Y en los dos lados de la ecuación, en el caso de X la Y elimina al denominador Y, pero en el otro lado Y denominador no se puede eliminar sin embargo pasa el texto como si le haya hecho.

    1. Sergio Cohaguila

      Hola Livic, te explico, lo que pasa es que debes tener en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación \( c(a+b) = ca + cb \), en este caso para la ecuación «II» \( c = y \), \( a = 1 \) y \( b = \frac{2 – 2y}{y} \), resultando lo siguiente: \( y \cdot 1 + y \cdot \frac{2 – 2y}{y} \). Si te fijas bien, aquí ya se puede cancelar el valor de \( y \) en el expresión \( y( \frac{2 – 2y}{y} ) = 2- 2y \), finalmente se realiza las operaciones de suma y resta y la ecuación queda completamente resuelta. Espero haber logrado despejar tus dudas. Gracias por tus comentarios, saludos.

  2. Gracias Profesor, si tengo mas preguntas,en el ejercicio 84 nivel avanzado,en 7. binomio 3+2. raiz 2 se eleva al 2. un cuarto y desarrolla el binomio de la forma a cuadrado + 2 ab+ b cuadrado pero me parece que al desarrollar (3+2.raiz 2)al cuadrado deberia ser 3“2 + 2( 3. 2. raiz 2) +( 2. raiz2)al cuadrado en su respuesta sale 9+ 6. raiz de 2+ 8 = 17+6. raiz2, pero deberia ser 17+ 12. raiz de 2, porque 2ab en este caso es 2. 3. 2 raiz 2 y es igual a 12 raiz de 2 no entiendo porque el 6raiz de 2?

    1. Sergio Cohaguila

      Livic, tienes razón, voy a corregir todo ese fragmento, dame tiempo primero para responderte el resto de los mensajes que aun no te respondo, gracias por la observación….en ese caso tendría que corregir todo el ejercicio…., bueno, una parte para que se acomode a los resultados. Que te valla bien y cualquier observación hazme saber, gracias.
      PD: Pronto responder; el resto de tus comentarios.

  3. Profesor otra pregunta que tengo dudas, ejercicio 55, sumas sucesivas, estoy familiarizada con la suma de Gauss y demas N,pares, impares, etc pero este ejercicio de suma sucesivas en radizacion no lo comprendo del todo, supongo es diferente formula a la de numero naturales.
    m=1 y de alli m=2 hasta llegar a n^m entonces vemos una secuencia de 1/n que se incrementa pero al momento de sumar y resolver la formula

    Sm= ( 1/n +1/n^2 + 1/n^3…..1/n^m) se factoriza 1/n y esto deja con un termino menos y por eso queda 1/n^m-1 pero porque luego agrega ese termino (+1/n – 1/n)ambos se eliminan para no afectar la ecuacion pero es decir volvemos a introducir el termino 1/n que hemos factorizado y ahora tenemos ademas el – 1/n .
    Sm=1/n(1 +Sm – 1/n) del Sm
    Gauss= 1 + 2 +3…+n = n(n+1)/2 entiendo esta suma de primeros numeros naturales porque para obtener el resultado de todas las sumas, se duplica el numero de numeros sucesivos y se divide por 2 porque es como multiplicar base por altura en un rectangulo, pero no entiendo como seria una suma sucesiva en radicacion.

      1. Sergio Cohaguila

        Lo puedes encontrar en un libro de matemática básica de Figueroa, en tema de «sumatorias» o «inducción matemática», pero tiene que ver con suma de series o algo por el estilo, no recuerdo bien el titulo, pero la propiedad está ahí con una serie de ejercicios. Tambien lo puedes encontrar en un libro llamado Análisis Matemático de Haaser, creo que el primer volumen en inducción matemática. Ahí puedes encontrar dicha propiedad con sus propiedades.

    1. Sergio Cohaguila

      Hay varias ecuaciones en series de potencias negativas que se pruebas así, le agregas un termino (el mismo ultimo termino antes de factorizar) y le restas el mismo termino, osea el objetivo es buscar siempre una serie igual a la serie iniciar que quieres simplificar. La formula de las primeras sumas de los números naturales naturalmente es sencillo porque puedes tomar: \( \mathrm{S} = 1 + 2 + 3 \cdots +n \) con \( n \) y está colocado de menor a mayor y le vuelves a sumar la misma suma pero de mayor a menor \( \mathrm{S} = {n + n-1 + n-2 + \cdots + 1 \) con \( n \) términos porque es la misma suma. El resultado que obtienes es \(
      2 \mathrm{S} = (1 + n) + (2 + n – 1) + (3 + n-2) + \cdots + (n+1) \), resultando \( 2 \mathrm{S} = (1+n) + (1+n) + (1+n) + \cdots (1+n) \) y también con \( n \) agrupaciones y finalmente obtienes \( 2 \mathrm{S} = n(n+1) \) y bueno, ya sabes cual es el resultado final. En el fondo es suma bases con potencias negativas.

    2. Sergio Cohaguila

      Si existe una manera, la propiedad telescopio en una de sus formas dice \[ \sum_{i=k}^{q} [ f(i) – f(i+1) ] = f(k) – f(q+1) \]. En este caso tenemos \( \mathrm{T}_{i} = \frac{1}{ n^{i} } \) donde quieres calcular la suma \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \) que representa esa serie de potencias negativas. Por la propiedad telescopio, haces lo siguiente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} = \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), si resuelves o reduces \( \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), sale \( \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), entonces \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} – \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \). Aquí viene la magia, mira lo que voy hacer, usando las propiedades elementales de sumatorias, \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m+1} } \), como el termino con su signo negativo a continuación del miembro izquierdo se puede escribir de la siguiente manera: \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i+1}} ] = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \). En la ecuación anterior queda \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{ n^{m} -1 }{ n^{m+1} } \). Factorizando la sumatoria, resulta: \( ( 1 – \frac{1}{n} ) \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), resolviendo \( \frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m} – 1}{n^{m+1}} \), finalmente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). Recuerda que la serie que querías calcular es \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). De esta manera te demuestro que el resultado es lo mismo con la serie telescópica.

      1. Gracias profesor he estado leyendo mas sobre Sumatorias, y una duda que casi nadie menciona, por ejemplo en la suma Sigma de los primeros números naturales para sacar la formula se pone un binomio al cuadrado, por que? de una suma 1+2+3+…+n hay que poner un binomio (n+1)al cuadrado _ n al cuadrado , etc es como si se tuviera que extender otra dimension a la suma que se busca la formula.

        1. Sergio Cohaguila

          La cosa es que se intenta buscar \( f(i+1) – f(i) = i \), si usas potencias cubicas o cuartas o potencias negativas, es mas complejo que solo usar potencias cuadradas, si usas potencias igual a la unidad quedaría así \( i+1 – i = 1 \neq i \) y no tiene sentido….. porque estas asumiendo \( i \) es variable y cambia con valores enteros de \( 1 \) a \( n \) donde \( n, i \in \mathbb{Z}^+ \), es decir que pertenece a los enteros positivos. En otras palabras, la telescopio funciona cuando por descarte.

    3. Sergio Cohaguila

      Por ultimo, ten en cuenta que cuando incrementa \( m \) para un valor numérico de \( n \) mayor a 1, \( n^{m} \) incrementa, pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) se hace mas pequeño, si \( n \) disminuye en valor diferente de los negativos, el valor de \( n^{m} \) decrece pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) incrementa.

        1. Sergio Cohaguila

          Gracias Livic, aun mi sitio presenta fallas por ejemplo tengo que corregir unas teorías en una de las secciones de expresiones matemáticas, desde hace más de un año que no he tocado el sitio web, pero hace días si quiera estoy escribiendo (realmente corrigiendo un grave problema que tuve con la primera sección de «proposiciones» de un tema de lógica elemental) un tema y para comenzar luego otros, por el momento tengo que terminar todo lo relacionado expresiones matemáticas y previamente corregir algunos anteriores…. Espero terminar todo lo que es álgebra elemental, luego pasaré a otros cursos avanzados de álgebra. Que tengas un buen día, bye.

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