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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Hola amigos, comenzamos con una nueva sección, pues, en esta nueva oportunidad y última entrada de este curso, desarrollaremos más de 100 ejercicios resueltos de potenciación y radicación del curso teoría de exponentes.

Se supone que ya estudiaron la teoría que abarca las propiedades de potenciación, radicación y ecuaciones exponenciales, si no lo han hecho, al lado izquierdo verán un grupo de secciones del curso si estás en escritorio o tablet o al final si estas en el móvil.

Para desarrollar correctamente los ejercicios, debes tener en cuenta una serie de proposiciones ya demostradas en secciones anteriores, es decir, todo el conjunto de las principales leyes de la teoría de exponente y saberlos usar con inteligencia, ante todo, vamos a resumir las leyes de la potenciación y radicación anteriormente estudiadas.

Resumen de las leyes de la potenciación y radicación


Para el desarrollo de los ejercicios que veremos en el siguiente apartado, vamos a resumir con abreviaturas tanto las definiciones y como las leyes de la teoría de exponentes como un recordatorio para los ejercicios resueltos que mostraremos en breve.

Definiciones de la potenciación y radicación

  • D I: \( a^{0} = 1 \)
  • D II: \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \)
  • D III: \( \sqrt[n]{ x^{m} } = x^{ \frac{m}{n} } \) ó \( x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^{m} } \)

Leyes de potenciación

  • LP I: \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \) ó \( a^{ \color{red}{n+m} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } \)
  • LP II: \( (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \) ó \( a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } = (ab)^{ \color{red}{n} } \)
  • LP III: \( ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{nm} } \) ó \( a^{ \color{red}{nm} } = ( a^{ \color{red}{n} } )^{ \color{red}{m} } \)
  • LP IV: \( \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \) ó \( a^{ \color{red}{n-m} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } \)
  • LP V: \( ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{n} } } \) ó \( \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{n} } } = ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } \)
  • Corolario: \( ( \frac{a}{b} )^{ -n } = ( \frac{b}{a} )^{n} \) ó \( ( \frac{a}{b} )^{n} = ( \frac{b}{a} )^{ -n } \)

Leyes de la radicación

  • LR I: \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ ab } = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} \) ó \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{a} \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ab} \)
  • LR II: \( \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } }{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} } \) ó \( \frac{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a } }{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{b} } = \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \frac{a}{b} } \)
  • LR III: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \sqrt[ \color{red}{p} ]{a} } } = \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{a} \) ó \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ \sqrt[ \color{red}{n} ]{ \sqrt[ \color{red}{p} ]{a} } } = \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{a} \)

Leyes auxiliares de la radicación

  • LAR I: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{ b \cdot \sqrt[ \color{red}{p} ]{c} } } = \sqrt[ \color{red}{m} ]{a} \cdot \sqrt[ \color{red}{mn} ]{b} \cdot \sqrt[ \color{red}{mnp} ]{c} \)
  • LAR II: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a^{x} \cdot \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a^{y} \cdot \sqrt[ \color{red}{p} ]{ a^{z} \cdot \sqrt[ \color{red}{q} ]{ a^{r} } } } } = \sqrt[ \color{red}{mnpq} ]{ a^{ ( ( xn+y )p+z )q+r } } \)
  • LAR III: \( \sqrt[ \color{red}{m} ]{ a^{x} \div \sqrt[ \color{red}{n} ]{ a^{y} \div \sqrt[ \color{red}{p} ]{ a^{z} \div \sqrt[ \color{red}{q} ]{ a^{r} } } } } = \sqrt[ \color{red}{mnpq} ]{ a^{ ( ( xn-y )p-z )q-r } } \)

101 Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Por fin comenzaremos con un mix de ejercicios resueltos de potenciación y radicación. Naturalmente todos los ejercicios se desarrollan desde las leyes anteriormente expuestas y muy pero muy rara vez usaremos la definición de potenciación pero si la definición de radicación. Los niveles presentados hasta ahora son:

Nivel elemental

Es el nivel mas elemental, sirve como explicativo de todos las teorías explicadas hasta el momento y no presenta ninguna tipo de dificultad, consta de un total de 30 ejercicios y es considerado tan solo para calentamiento.

Ejercicio 1

Simplificar


\[ \mathrm{A} =  \frac{ ( 2 \cdot 3 \cdot 5 )^{3} }{ 15^{2} \cdot 60 } \]

Solución:

  1. Para resolverlo, vamos a colocar en sus factores primos los números \( 15 \) y \( 60 \) así:
    \[ 15 = 3 \cdot 5 \ \text{y} \ 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \]
  2. Reemplazando en \( \mathrm{A} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ ( 2 \cdot 3 \cdot 5 )^{3} }{ ( 3 \cdot 5 )^2 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5 } \]
  3. Por la propiedad \( (ab)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \), se cumple:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 } \]
  4. Ordenando factores en el numerador de tal manera que se puedan aplicar las leyes de los exponentes, tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 5 \cdot 2^{2} } \]
  5. Por la regla \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{2+1} \cdot 5^{2+1} \cdot 2^{2} } \\ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} }{ 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 2^{2} \cdot } \]
  6. Aplicando las propiedades sobre fracciones \( \frac{ab}{cd} = \frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 2^{3} }{ 2^{2} } \cdot \frac{ 3^{3} }{ 3^{3} } \cdot \frac{ 5^{3} }{ 5^{3} } \]
  7. Por la regla \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), resulta:
    \[ \mathrm{A} = 2^{3-2} \cdot 3^{3-3} \cdot 5^{ 3-3 } \\ \mathrm{A} = 2^{1} \cdot 3^{0} \cdot 5^{0} \]
  8. Como \( a^{1} = a \) y \( a^{0} = 1 \), finalmente logramos el siguiente resultado:
    \[ \mathrm{A} = 2 \cdot 1 \cdot 1 = \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 2

Si \( 2^{a} = 3^{b} \), calcular el valor de:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a+2} + 2^{a+3} }{ 3^{b+1} + 3^{b+2} } \]

Solución:

  1. Usando \( a^{n+m} = a^{n}\cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a} \cdot 2^{2} + 2^{a} \cdot 2^{3} }{ 3^{b} \cdot 3^{1} + 3^{b} \cdot 3^{2} } \]
  2. Factorizando \( 2^{a} \) en el numerador y \( 3^{b} \) en el denominador:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{a} ( 2^{2} + 2^{3} ) }{ 3^{b} ( 3^{1} + 3^{2} ) } \]
  3. Reemplazando el valor de \[ 2^{a} = 3^{b} \] en el numerador:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{b} (4+8) }{ 3^{b} (3+9) } \]
  4. Simplificando el factor \( 3^{b} \) y desarrollando, finalmente tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ (4+8) }{3+9} = \frac{12}{12} = \boxed{ \Large{1} } \]

Ejercicio 3

Si \( 3^{a-1} = 5 \), cual es el valor de:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a+b} + 3^{a+c} }{ 3^{b+1} + 3^{c+1} } \]


Solución:

  1. Usando \( a^{ n+m } = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a} \cdot 3^{b} + 3^{a} \cdot 3^{c} }{ 3^{b} \cdot 3^{1} + 3^{c} \cdot 3^{1} } \]
  2. Factorizando \( 3^{a} \) y \( 3^{1} \) en el numerador y denominador respectivamente:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a}( 3^{b} + 3^{c} ) }{ 3^{1} (3^{b} + 3^{c} ) } \]
  3. Simplificando \( 3^{b} + 3^{c} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 3^{a} }{ 3^{1} } \]
  4. Usando \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \):
    \[ \mathrm{E} = 3^{a-1} \]
  5. Teniendo como dato \( 3^{a-1} = 5 \), resulta:
    \[ \mathrm{E}= \boxed{ \Large{5} } \]

Ejercicio 4

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 6 \cdot 2^{m-1} + 2^{m+3} }{ 2^{m+1} + 2^{m} } \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} =\frac{ 6 \cdot 2^{m} \cdot 2^{-1} + 2^{m} \cdot 2^{3} }{ 2^{m} \cdot 2^{1} + 2^{m} } \]
  2. Por la propiedad \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 6 \cdot 2^{m} ( \frac{1}{2} ) + 2^{m} \cdot 2^{3} }{ 2^{m} \cdot 2^{1} + 2^{m} } \]
  3. Factorizando \( 2^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{m} ( 6( \frac{1}{2} ) + 2^{3} ) }{ 2^{m} ( 2^{1} + 1 ) } \]
  4. Simplificando \( 2^{m} \) y resolviendo, resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ 6( \frac{1}{2} + 2^{3} ) }{ 2^{1} + 1 } \\ & = \frac{ \frac{6}{2} + 8 }{ 2+1 } \\ & = \boxed{ \Large{ \frac{11}{3} } } \end{align} \]

Ejercicio 5

Calcular la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = [ ( \frac{1}{3} )^{ -2 } + ( \frac{1}{4} )^{-2} ]^{ \frac{1}{2} } \]

Solución:


  1. Por el corolario \( ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{3}{1} )^{2} + ( \frac{4}{1} )^{2} )^{ \frac{1}{2} } \\ & = [ 3^{2} + 4^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \end{align} \]
  2. Por definición de radicación \( x^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ x^{m} } \) donde \( x = 25 \) y \( \frac{m}{n} = \frac{1}{2} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = [ 3^{2} + 4^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \\ & = 25^{ \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{25} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 6

Resolver:

\[ \mathrm{E} = ( ab^{-1} + ba^{-1} )( a^{-2} + b^{-2} )^{-1} \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{-n} = \frac{ 1 }{ a^{n} } \):
    \[ \mathrm{E} = ( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} )( \frac{1}{ a^{2} } + \frac{1}{ b^{2} } )^{-1} \]
  2. Recordando que \( \frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + np}{nq} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{ a \cdot a + b \cdot b }{ba} )( \frac{ b^{2} + a^{2} }{ a^{2} b^{2} } )^{-1} \\ & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ba} )( \frac{ b^{2} + a^{2} }{ a^{2} b^{2} } )^{-1} \end{align} \]
  3. Por el corolario \( ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} \) y finalmente simplificando los factores \( a^{2} + b^{2} \) y \( ab \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ba} )( \frac{ a^{2} b^{2} }{ b^{2}  + a^{2} } ) \\ & = ( \frac{ a^{2} + b^{2} }{ab} )( \frac{ (ab)^{2} }{ a^{2} + b^{2} } ) \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{ab} } \end{align} \]

Ejercicio 7

Efectuar:

\[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n+5} – 2^{n+4} }{ 2^{n+3} } \]

Solución:

  1. Aplicando \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n} \cdot 2^{5} – 2^{n} \cdot 2^{4} }{ 2^{n} \cdot 2^{3} } \]
  2. Factorizando \( 2^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{n} ( 2^{5} – 2^{4} ) }{ 2^{n} \cdot 2^{3} } \]
  3. Simplificando \( 2^{n} \) y resolviendo, obtenemos finalmente:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ 2^{5} – 2^{4} }{ 2^{3} } = \frac{ 32 – 16 }{8} = \frac{16}{8} = \boxed{ \Large{2} } \]

Ejercicio 8

Calcular:


\[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \cdots \infty } } } } \]

Solución:

  1. Por su infinitud de la expresión, vamos a colorear de color azul el un parte de la expresión \( \mathrm{E} \), esto es, un radical:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \color{blue}{ \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \sqrt{ 6 + \cdots \infty} } } } } \]
  2. Como el radical de color azul también es infinito, lo llamaremos también \( \mathrm{E} \), resultando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 6 + \mathrm{E} } \]
  3. Elevando al cuadrado cada miembro de la igualdad para eliminar la raíz, resulta:
    \[ \mathrm{E}^{2} = \sqrt{ 6 + \mathrm{E} }^{2} \]
  4. Recordar que \( \sqrt[x]{ a }^{x} = a \) y despejando términos tal que:
    \[ \mathrm{E}^{2} = 6+ \mathrm{E} \\ \mathrm{E}^{2} – 6 – \mathrm{E} = 0 \]
  5. Usaremos un método de factorización llamado aspa simple para la ecuación anterior, resulta:
    \[ ( \mathrm{E} – 3 )( \mathrm{E} + 2 ) = 0 \]
  6. Igualando a cada factor a cero:
    \[ \mathrm{E} – 3 = 0 \vee \mathrm{E} + 2 = 0 \\ \mathrm{E} = 3 \vee \mathrm{E} = -2 \]
  7. Como la raíz cuadrada de \( \mathrm{E} \) debe ser positiva, tomaremos el siguiente valor como solución de nuestro ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 9

Efectuar:

\[ \mathrm{E} = a^{2} b^{3} c^{4} a^{5} b^{6} c^{7} a^{8} b^{9} c^{10} \]

Solución:

  1. En esta multiplicación ordenaremos todos los términos juntando todos aquellos que tiene bases iguales:
    \[ \mathrm{E} = a^{2} a^{5} a^{8} b^{3} b^{6} b^{9} c^{4} c^{7} c^{10} \]
  2. Aplicando \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{ a^{n+m} } \):
    \[ \mathrm{E} = a^{2+5+8} b^{3+6+9} c^{4+7+10} \]
  3. Resultando finalmente:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{ a^{15} b^{18} c^{21} } } \]

Ejercicio 10

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \sqrt[3]{27} } } } } } \]


Solución:

  1. Note que \( \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), reemplazando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } } } } \]
  2. Pero aquí se repite la misma secuencia donde \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } } } \]
  3. De nuevo \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \sqrt[3]{27} = \color{red}{3} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \color{red}{3} } } } \]
  4. Como la secuencia se repite continuamente, escribiremos el valor de \( \cdots \color{red}{3} \) por el valor de \( \color{red}{3} \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdots \color{red}{3} } } } \]
  5. Como este factor \( \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } = \color{red}{3} \) se repite continuamente, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{ 9 \cdot \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } } \\ & = \sqrt[3]{ 9 \cdot \color{red}{3} } \\ & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 11

Resolver este clásico:

\[ \mathrm{E} = 16^{ 4^{ -2^{-1} } } \]

Solución:

  1. El valor \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \) lo reemplazamos en nuestra ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = 16^{ 4^{ – \color{red}{ 2^{-1} } } } = 16^{ 4^{ – \color{red}{ \frac{1}{2} } } } \]
  2. En el caso anterior usamos \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \), de la misma manera para \( 4^{ – \frac{1}{2} = \frac{1}{ 4^{ \frac{1}{2} } } } = \frac{1}{ \sqrt{4} } = \frac{1}{2} \), finalmente resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = 16^{ 4^{ – \frac{1}{2} } } \\ & = 16^{ \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{16} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{4} } \end{align} \]

Ejercicio 12

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n+3} – 5^{n+2} }{ 5^{n} } } \]

Solución:


  1. Aplicando \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n} \cdot 5^{3} – 5^{n} \cdot 5^{2} }{ 5^{n} } } \]
  2. Factorizando \( 5^{n} \) en el numerador:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{ 5^{n} ( 5^{3} – 5^{2} ) }{ 5^{n} } } \]
  3. Simplificando \( 5^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ 5^{3} – 5^{2} } \]
  4. Resolviendo, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt{125-25} \\ & = \sqrt{100} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{10} } \end{align} \]

Ejercicio 13

Calcular:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \vdots } } } } } } \]

Solución:

  1. Este ejercicio es similar como el ejercicio 12, solo que en este caso se esta usando la división, aplicaremos el mismo método como en ese ejercicio:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \color{red}{ \sqrt{ \frac{125}{ \sqrt{ \frac{125}{ \vdots } } } } } } } \]
  2. Resultando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt{ \frac{125}{ \color{red}{ \mathrm{E} } } } \]
  3. Elevando al cuadrado y eliminando la raíz con la forma \( \sqrt[x]{a}^{x} = a \), tenemos:
    \[ \mathrm{E}^{2} = \sqrt{ \frac{125}{ \mathrm{E} } }^{2} = \frac{125}{ \mathrm{E} } \]
  4. Despejando \( 125 \) del lado derecho de la igualdad:
    \[ \mathrm{E}^{3} = 125 \]
  5. Extrayendo la raíz cúbica \( \sqrt[3]{ \mathrm{ E^{3} } } = \sqrt[3]{125} \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{125} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 14

Resolver:

\[ \mathrm{E} = \sqrt{ \sqrt{16} } + \sqrt[3]{ \sqrt[3]{ 27^{3} } } + \sqrt[3]{ \sqrt{64} } \]

Solución:

  1. Para este caso aplicaremos \( \sqrt[m]{ \sqrt[n]{ \sqrt[p]{ a } } } = \sqrt[mnp]{a} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[ 2 \cdot 2 ]{16} + \sqrt[ 3 \cdot 3 ]{ ( 3^{3} )^{3} } + \sqrt[ 3 \cdot 2 ]{64} \]
  2. Sabiendo que \( 16 = 2^{4} \) y \( 64 = 2^{6} \) y resolviendo los índices y los exponentes, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[4]{ 2^{4} } + \sqrt[9]{ 3^{9} } + \sqrt[6]{ 2^{6} } \\ & = 2+3+2 \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{7} } \end{align} \]

Ejercicio 15

Si \( ab = b^b = 2 \), Simplificar este clásico.


\[ \mathrm{E} = ab^{ab^{ab}} \]

Solución:

  1. Este tipo de ejercicios de exponente de exponente se resuelve de arriba abajo como ya indicamos en entrada anterior, sabemos \( ab = 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = ab^{ab^{ab}} = ab^{ab^{2}} \]
  2. Haremos la siguiente estrategia para el exponente \( ab^{2} = abb = 2b \), recordar que \( ab = 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = ab^{ab^{2}} = ab^{2b} \]
  3. Aplicando \( a^{mn} = ( a^{n} )^{m} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = ab^{2b} = ab^{ b \cdot 2 } = a( b^{b} )^{2} \]
  4. Como \( b^{b} = 2 \), reemplazando, finalmente logramos:
    \[ \mathrm{E} = a( b^{b} )^{2} = a(2)^{2} = \boxed{ \Large{4a} } \]

Este es el límite del resultado de \( \mathrm{E} \), sin embargo, es posible resolver el valor de \( a \), primero debemos resolver el valor de \( b \) en la ecuación \( b^b=2 \) que dicho sea de paso, el valor de \( b \) es irracional y su solución por métodos avanzados es muy compleja, una forma matemática para solucionar este ejercicio es:

\[ b = e^{ \mathrm{W}( \ln{2} ) } \]

Donde \( \ln{} \) es el logaritmo natural y \( \mathrm{W} \) es la función de Lambert, de aquí \( b \) aproximadamente resulta ser:

\[ b = 1.55961… \]

Este es un valor irracional, ahora de \( ab = 2 \), despejando \( a \), su valor resulta ser:


\[ a = 1.28237…. \]

Aquí, tanto los valores de \( a \) y \( b \), son irracionales.

Ejercicio 16

Si \( x^{x} = 3 \), resolver:

\[ \mathrm{E} = x^{ x^{x+1} } \]

Solución:

  1. Como en el caso del ejercicio anterior, este tipo de problemas se resuelven de arriba a abajo, aplicaremos \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{x+1} } = x^{ x^{x} \cdot x^{1} } \]
  2. Intercambiando los factores del producto \( x^{x} \cdot x^{1} = x^{1} \cdot x^{x} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{x} \cdot x^{1} } = x^{ x^{1} \cdot x^{x} } \]
  3. Por la propiedad \( a^{nm} = ( a^{n} )^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = x^{ x^{1} \cdot x^{x} } = ( x^{x^{1}} )^{ x^{x} } = ( x^{x} )^{x^{x}} \]
  4. Como \( x^{x} = 3 \), finalmente hallamos:
    \[ \mathrm{E} = ( x^{x} )^{ x^{x} } = 3^{3} = \boxed{ \Large{27} } \]

Ejercicio 17

Reducir la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a+3} + 2^{a} }{ 3^{a+2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]


Solución:

  1. Aplicando la propiedad \( x^{m+n} = x^{m} \cdot x^{n} \):
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a} \cdot 2^{3} + 2^{a} }{ 3^{a} \cdot 3^{2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  2. Factorizando \( 2^{a} \), resulta:
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a} ( 2^{3} + 1 ) }{ 3^{a} \cdot 3^{2} } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  3. Donde \( 2^{3} + 1 = 3^{2} = 9 \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = [ \frac{ 2^{a}(9) }{ 3^{a} \cdot 9 } ]^{ \frac{1}{a} } \]
  4. Simplificando y reduciendo:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = [ \frac{ 2^{a} }{ 3^{a} } ]^{ \frac{1}{a} } \\ & = [ ( \frac{2}{3} )^{a} ]^{ \frac{1}{a} } \\ & = ( \frac{2}{3} )^{ a \cdot \frac{1}{a} } \end{align} \]
  5. Finalmente obtenemos:
    \[ \mathrm{E} = \boxed{ \Large{ \frac{2}{3} } } \]

Ejercicio 18

Este ejercicio pertenece a la sección de ecuaciones exponenciales, pero igual te la pongo aquí:

Si \( \sqrt[6]{8} = \sqrt[n]{2n} \) donde  \( n \in \mathbb{N} \), hallar \( n \):

Solución:

  1. Haciendo \( 8=2^{3} \), entonces:
    \[ \sqrt[6]{ 2^{3} } = \sqrt[n]{2n} \]
  2. Donde \( \sqrt[6]{ 2^{3} } = \sqrt[ \color{red}{3} \cdot 2 ]{ 2^{ \color{red}{3} } } = \sqrt{2} \), entonces:
    \[ \sqrt[2]{2} = \sqrt[n]{2n} \]
  3. Haciendo \( \sqrt[2]{2} = \sqrt[ 2 \cdot 4 ]{ 2^{4} } = \sqrt[8]{16} \):
    \[ \sqrt[8]{16} = \sqrt[n]{2n} \]
  4. Dando forma:
    \[ \sqrt[8]{ 2 \cdot 8 } = \sqrt[n]{2n} \]
  5. Por simetría (ver ecuaciones exponenciales) finalmente resulta:
    \[ n = \boxed{ \Large{8} } \]

Ejercicio 19

Si \( a^{a} = 2 \), calcular:
\[ \mathrm{E} = a^{2a} + a^{ a^{a+1} } \]

Solución:

  1. Hacemos \( 2a = 2 \cdot a \) y \( a^{a+1} = a^{a} \cdot a \):
    \[ \mathrm{E} = a^{ 2 \cdot a } + a^{ a^{a} \cdot a^{1} } \]
  2. Aplicando la propiedad \( x^{nm} = ( x^{n} )^{m} \), donde \( a^{a} \cdot a = a \cdot a^{a} \):
    \[ \mathrm{E} = ( a^{a} )^{2} + ( a^{a} )^{  a^{a} } \]
  3. Aplicando el dato del problema \( a^{a} = 2 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = ( 2 )^{2} + (2)^{2} \\ & = 4 + 4 \\ \mathrm{E} & = 8 \end{align} \]

Ejercicio 20

Calcular \( \mathrm{M}^{3} \) si se cumple la siguiente condición:


\[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{3 \cdots \infty } } } } \]

Solución:

  1. Coloreando el fragmento repetido:
    \[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{3 \cdots \infty } } } } } \]
  2. Como es una serie repetitiva, el color rojo también es \( \mathrm{M} \), lo escribimos así:
    \[ \mathrm{M} = \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } } \]
  3. Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz:
    \[ ( \mathrm{M} )^{2} = ( \sqrt{ 2 \cdot \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } } )^{2} \\ \mathrm{M}^{2} = 2 \sqrt{ 3 \cdot \color{red}{ \mathrm{M} } } \]
  4. Elevamos al cuadrado otra vez para eliminar la raíz:
    \[ ( \mathrm{M}^{2} )^{2} = ( 2 \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} }  } )^{2} \]
  5. Resolviendo:
    \[ \mathrm{M}^{4} = ( 2 \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} } } )^{2} = 2^{2} ( \sqrt{ 3 \color{red}{ \mathrm{M} } } )^{2} = 4 \cdot 3 \mathrm{M} \]
  6. Simplificamos \( \mathrm{M} \) finalmente logramos resolver \( \mathrm{M}^{3} \):
    \[ \mathrm{M}^{3} = \boxed{ \Large{12} } \]

Ejercicio 21

Si \( m = 81n \), calcular:

\[ \mathrm{P} = \frac{ \sqrt{ n \sqrt{m} } \cdot \sqrt{m} }{ \sqrt{ m \sqrt{n} } \cdots \sqrt{n} } \]

Solución:

  1. Propiedad \( \sqrt[a]{ x \cdot \sqrt[b]{ y } } = \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{ \sqrt[b]{y} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{P} = \frac{ \color{red}{ \sqrt{n} } \cdot \sqrt{ \sqrt{m} } \cdot \color{green}{ \sqrt{m} } }{ \color{green}{ \sqrt{m} } \cdot \sqrt{ \sqrt{n} } \color{red}{ \sqrt{n} } } \]
  2. Simplificando \( \color{red}{ \sqrt{n} } \), \( \color{blue}{ \sqrt{m} } \) y operando:
    \[ \mathrm{P} = \frac{ \sqrt{ \sqrt{m} } }{ \sqrt{ \sqrt{n} } } = \frac{ \sqrt[4]{m} }{ \sqrt[4]{n} } = \sqrt[4]{ \frac{m}{n} } \]
  3. Aplicando dato del problema \( m = 81n \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = \sqrt[4]{ \frac{ 81n }{n} } \\ & = \sqrt[4]{81} \\ & = \sqrt[4]{ 3^{4} } \\ \mathrm{P} & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 22

Si \( x^{n} y^{m} = 10^{n} \), \( x^{m} y^{n} = 10^{m} \), calcular el valor de \( \mathrm{E} = xy \).

Solución:


Para obtener el producto \( xy \), debemos lograr que los exponentes del producto de los datos en términos de \( x \) e \( y \) tengan el mismo exponente, realizando la siguiente estrategia:

  1. Multiplicando miembro a miembro los datos del problema:
    \[ ( x^{n} y^{m} )( x^{m} y^{n} ) = 10^{n} \cdot 10^{m} \]
  2. Ordenando para aplicar \( a^{p} \cdot a^{q} = a^{p+q} \), resulta:
    \[ x^{m} x^{n} y^{m} y^{n} = 10^{m} \cdot 10^{n} \\ x^{m+n} y^{m+n} = 10^{m+n} \\ (xy)^{m+n} = 10^{m+n} \]
  3. Extrayendo la raíz \( \color{red}{m+n} \) a ambos miembros:
    \[ \sqrt[ \color{red}{m+n} ]{ (xy)^{ \color{red}{m+n} } } = \sqrt[ \color{red}{m+n} ]{ 10^{ \color{red}{m+n} } } \]
  4. Obtenemos finalmente:
    \[  xy = \boxed{ \Large{10} } \]

Ejercicio 23

Si \( a^{a}  = a+1\), reducir la siguiente expresión:
\[ \sqrt[ a^{ a^{a} } ]{ (a+1)^{a+1} } \]

Solución:

Sea la igualdad \( x^{ y^{z} } = x^{ y^{z} } \), el exponente de \( x \) es todo lo que está arriba de \( x \), en este caso, el exponente \( y^{z} \), comenzaremos por ahí.

  1. En base a esto, modificamos índice \( \color{red}{a^{ a^{a} } } \) donde \( a^{a} = a+1 \), tenemos:
    \[ \begin{align} a^{ a^{a} } & = a^{ (a^{a} ) } \\ & = a^{a+1} \\ & = a^{a} \cdot a^{1} \\  a^{ a^{a} } & = a^{a} \cdot a \end{align} \]
  2. Reemplazando en nuestra expresión \( \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ (a+1)^{a+1} } \), donde \( a+1 = a^{a} \), resulta:
    \[ \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ ( a^{a} )^{ a^{a} } } = \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } \]
  3. Como \( a^{a} \cdot a = a \cdot a^{a} \), resulta:
    \[ \sqrt[ a^{a} \cdot a ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } = \sqrt[ a \cdot a^{a} ]{ a^{ a \cdot a^{a} } } = \boxed{ \Large{a} } \]

Ejercicio 24

Si \( x^{n} y^{m} = 7^{n} \) y \( x^{m} y^{n} = 7{n} \), calcular \( \mathrm{E} = \frac{y}{x} \).

Solución:

  1. Las condiciones del ejercicio lo dividiremos miembro a miembro:
    \[ \frac{ x^{n} y^{m} }{ x^{m} y^{n} } = \frac{ 7^{n} }{ 7^{m} } \]
  2. Sabemos que \( \frac{a}{b} = ( \frac{b}{a} )^{-1} = ( a^{-1} b )^{-1} = \frac{1}{ a^{-1} b } \), entonces:
    \[ \frac{ y^{m} y^{-n} }{ x^{m} \cdot x^{-n} } = \frac{ 7^{n} }{ 7^{m} } = \frac{1}{ 7^{m} \cdot 7^{-n} } = \frac{1}{ 7^{m-n} } \]
  3. Como \( y^{m} y^{-n} = y^{m-n} \), \( x^{m} x^{-n} = x^{m-n} \) y \( \frac{1}{ 7^{m-n} } = ( \frac{1}{7} )^{m-n} \), entonces:
    \[ ( \frac{y}{x} )^{m-n} = ( \frac{1}{7} )^{m-n} \]
  4. Extrayendo raíz \( m-n \):
    \[ \sqrt[m-n]{ ( \frac{y}{x} )^{m-n} } = \sqrt[m-n]{ ( \frac{1}{7} )^{m-n} } \]
  5. Simplificando, obtenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{y}{x} = \boxed{ \Large{ \frac{1}{7} } } \]

Ejercicio 25

Reducir:


\[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot 16^{x+4} }{ 8^{x+3} \cdot 4^{x+2} } \]

Solución:

  1. Tener en cuenta que \( 8 = 2^{3} \) y \( 4 = 2^{2} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot ( 2^{4} )^{x+4} }{ ( 2^{3} )^{x+3} \cdot ( 2^{2} )^{x+2} } \]
  2. Propiedad \( ( a^{b} )^{c} = a^{bc} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5} \cdot 2^{ 4x + 16 } }{ 2^{ 3x+9 } \cdot 2^{ 2x+4 } } \]
  3. Por el teorema \( a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2^{x+5+4x+16} }{ 2^{ 3x+9+2x+4 } } = \frac{ 2^{ 5x +21 } }{ 2^{ 5x + 13 } } \]
  4. Ahora por la propiedad \( \frac{ a^{b} }{ a^{c} } = a^{b-c} \), finalmente logramos:
    \[ \mathrm{M} = 2^{ 5x + 21 – ( 5x +13 ) } = 2^{8} = 256 \]

Ejercicio 26

Calcular la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a+1} }{ 2^{ 2a+4 } + 2^{ 2a+2 } } } \]

Solución:

  1. Propiedad \( x^{n+m} = x^{n} \cdot x^{m} \):
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20^{1} }{ 2^{ 2a } \cdot 2^{4} + 2^{2a} \cdot 2^{2} } } \]
  2. Factorizamos \( 2^{2a} \) en el denominador del radicando:
    \[ \mathrm{E} = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20 }{ 2^{2a} ( 2^{4} + 2^{2} ) } } = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} \cdot 20 }{ 2^{2a} (20) } } \]
  3. Simplificando el entero \( 20 \) y operando, finalmente logramos el siguiente resultado:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ 2^{2a} } } \\ & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ ( 2^{2} )^{a} } } \\ & = \sqrt[a]{ \frac{ 20^{a} }{ 4^{a} } } \\ & = \sqrt[a]{ ( \frac{20}{4} )^{a} } \\ & = \frac{ 20 }{4} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{5} } \end{align} \]

Ejercicio 27

Calcular:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[3]{ 25 + \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } } } \]


Solución:

  1. Llamaremos \( \mathrm{A} \) a un fragmento de la expresión infinita y coloreando una parte de este mismo fragmento de color rojo, tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } } \]
  2. Como el color rojo de \( \mathrm{A} \) es repetitivo (en matemática puras se le llama sucesión recurrente), también la llamaremos \( \mathrm{A} \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \underbrace{ \sqrt{ 6 – \sqrt{ 6 \cdots \infty } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  3. Logrando haciendo más sencillo la ecuación:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 6 – \mathrm{A} } \]
  4. Realizando algunas operaciones:
    \[ ( \mathrm{A} )^{2} = ( \sqrt{ 6 – \mathrm{A} } )^{2} \\ \mathrm{A} = 6 – \mathrm{A} \\ \mathrm{A}^{2} + \mathrm{A} = 6 \]
  5. Factorizando \( \mathrm{A} \) y comparando por colores:
    \[ \mathrm{A} ( \mathrm{A} + 1 ) = 2 \cdot 3 \]
  6. Logramos deducir que:
    \[ \mathrm{A} = 2 \]
  7. Reemplazando en \( \mathrm{E} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[3]{ 25 + 2 } \\ & = \sqrt[3]{27} \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{3} } \end{align} \]

Ejercicio 28

Sea la expresión:

\[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 \cdots \infty } } } \]

Calcular \( \mathrm{A}^{2} – \mathrm{A} \).

Solución:

  1. La misma estrategia, de la expresión en \( \mathrm{A} \), llamaremos también \( \mathrm{A} \) a la expresión repetida por ser una expresión infinita:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \underbrace{ \sqrt{ 3 + \sqrt{ 3 \cdots \infty } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  2. Tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt{ 3 + \mathrm{A} } \]
  3. Elevando al cuadrado:
    \[ ( \mathrm{A} )^{2} = ( \sqrt{ 3+ \mathrm{A} } )^{2} \]
  4. Resulta:
    \[ \mathrm{A}^{2} = 3 + \mathrm{A} \]
  5. Despejando el entero \( 3 \), finalmente hallamos:
    \[ \mathrm{A}^{2} – \mathrm{A} = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 29

Calcular:

\[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \vdots } } } } } } \]

Solución:

  1. Como en los casos anteriores, llamaremos \( \mathrm{A} \) la expresión repetida:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \underbrace{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \sqrt[3]{ \frac{16}{ \vdots } } } } } }_{ \mathrm{A} } } \]
  2. Resulta:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[3]{ \frac{16}{ \mathrm{A} } } \]
  3. Elevamos al cubo cada miembro del resultado:
    \[ ( \mathrm{A} )^{3} = ( \sqrt[3]{ \frac{16}{ \mathrm{A} } } )^{3} = \frac{16}{ \mathrm{A} } \]
  4. Despejando \( \mathrm{A} \), obtenemos:
    \[ ( \mathrm{A} )^{3} = \frac{16}{ \mathrm{A} } \\ \mathrm{A}^{4} = 16 \]
  5. Extraemos la raíz cuarta a cada miembro de la ecuación, finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \sqrt[4]{ \mathrm{A}^{4} } & = \sqrt[4]{16} \\ & = \sqrt[4]{ 2^{4} } \\ \mathrm{A} & = \boxed{ \Large{2} } \end{align} \]

Ejercicio 30

Simplificar:

\[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{3n+1} + 3^{n+2} }{ 3 + 9^{n} } \]

Solución:

  1. Como \( 3n+1 = 3n + n + 1 \) y \( n+2 = +1+1 \),entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{2n + n + 1} + 3^{n + 1 +1} }{ 3 + 9^{n} } \]
  2. Como \( a^{x+y} = a^{x} \cdot a^{y} \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{2n} \cdot 3^{n+1} + 3^{n+1} \cdot 3^{1} }{ 3 + 9^{n} } \]
  3. Extraemos el factor común \( 3^{n+1} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{n+1} ( 3^{2n} + 3^{1} ) }{ 3 + 9^{n} } \]
  4. Como \( 3 + (9)^{n} = 3 + ( 3^{2} )^{n} = 3^{2n} + 3 \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ 3^{n+1} ( 3^{2n} + 3 ) }{ 3 + ( 3^{2} )^{n} } \]
  5. Simplificando, finalmente obtenemos:
    \[ \mathrm{A} = \boxed{ \Large{ 3^{n+1} } } \]

De esta manera finalizamos con el nivel elemental, un nivel que solo sirve de calentamiento. Si quieres subir ligeramente el nivel, te presento el nivel básico compuesto de 18 ejercicios más, si bien no tendrás dificultad, te será interesante, y divertido.

Pero si quieres darle divertirte con una dificultad mayor, aquí te dejo el nivel intermedio que son un total de 25 ejercicios que te va a encantar, al final del nivel intermedio encontrarás el nivel avanzado con un total de 28 ejercicios, así te sentirás todo un pro en este curso.

Detalles Del Capitulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Nombre Del Articulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Descripción
Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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Ciencias Básicas
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55 comentarios en “4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación”

  1. Hola, tengo una duda en el ejercicio 51, en la segunda ecuación base 3, al simplificar se agrega Y en los dos lados de la ecuación, en el caso de X la Y elimina al denominador Y, pero en el otro lado Y denominador no se puede eliminar sin embargo pasa el texto como si le haya hecho.

    1. Sergio Cohaguila

      Hola Livic, te explico, lo que pasa es que debes tener en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación \( c(a+b) = ca + cb \), en este caso para la ecuación “II” \( c = y \), \( a = 1 \) y \( b = \frac{2 – 2y}{y} \), resultando lo siguiente: \( y \cdot 1 + y \cdot \frac{2 – 2y}{y} \). Si te fijas bien, aquí ya se puede cancelar el valor de \( y \) en el expresión \( y( \frac{2 – 2y}{y} ) = 2- 2y \), finalmente se realiza las operaciones de suma y resta y la ecuación queda completamente resuelta. Espero haber logrado despejar tus dudas. Gracias por tus comentarios, saludos.

  2. Gracias Profesor, si tengo mas preguntas,en el ejercicio 84 nivel avanzado,en 7. binomio 3+2. raiz 2 se eleva al 2. un cuarto y desarrolla el binomio de la forma a cuadrado + 2 ab+ b cuadrado pero me parece que al desarrollar (3+2.raiz 2)al cuadrado deberia ser 3“2 + 2( 3. 2. raiz 2) +( 2. raiz2)al cuadrado en su respuesta sale 9+ 6. raiz de 2+ 8 = 17+6. raiz2, pero deberia ser 17+ 12. raiz de 2, porque 2ab en este caso es 2. 3. 2 raiz 2 y es igual a 12 raiz de 2 no entiendo porque el 6raiz de 2?

    1. Sergio Cohaguila

      Livic, tienes razón, voy a corregir todo ese fragmento, dame tiempo primero para responderte el resto de los mensajes que aun no te respondo, gracias por la observación….en ese caso tendría que corregir todo el ejercicio…., bueno, una parte para que se acomode a los resultados. Que te valla bien y cualquier observación hazme saber, gracias.
      PD: Pronto responder; el resto de tus comentarios.

  3. Profesor otra pregunta que tengo dudas, ejercicio 55, sumas sucesivas, estoy familiarizada con la suma de Gauss y demas N,pares, impares, etc pero este ejercicio de suma sucesivas en radizacion no lo comprendo del todo, supongo es diferente formula a la de numero naturales.
    m=1 y de alli m=2 hasta llegar a n^m entonces vemos una secuencia de 1/n que se incrementa pero al momento de sumar y resolver la formula

    Sm= ( 1/n +1/n^2 + 1/n^3…..1/n^m) se factoriza 1/n y esto deja con un termino menos y por eso queda 1/n^m-1 pero porque luego agrega ese termino (+1/n – 1/n)ambos se eliminan para no afectar la ecuacion pero es decir volvemos a introducir el termino 1/n que hemos factorizado y ahora tenemos ademas el – 1/n .
    Sm=1/n(1 +Sm – 1/n) del Sm
    Gauss= 1 + 2 +3…+n = n(n+1)/2 entiendo esta suma de primeros numeros naturales porque para obtener el resultado de todas las sumas, se duplica el numero de numeros sucesivos y se divide por 2 porque es como multiplicar base por altura en un rectangulo, pero no entiendo como seria una suma sucesiva en radicacion.

      1. Sergio Cohaguila

        Lo puedes encontrar en un libro de matemática básica de Figueroa, en tema de “sumatorias” o “inducción matemática”, pero tiene que ver con suma de series o algo por el estilo, no recuerdo bien el titulo, pero la propiedad está ahí con una serie de ejercicios. Tambien lo puedes encontrar en un libro llamado Análisis Matemático de Haaser, creo que el primer volumen en inducción matemática. Ahí puedes encontrar dicha propiedad con sus propiedades.

    1. Sergio Cohaguila

      Hay varias ecuaciones en series de potencias negativas que se pruebas así, le agregas un termino (el mismo ultimo termino antes de factorizar) y le restas el mismo termino, osea el objetivo es buscar siempre una serie igual a la serie iniciar que quieres simplificar. La formula de las primeras sumas de los números naturales naturalmente es sencillo porque puedes tomar: \( \mathrm{S} = 1 + 2 + 3 \cdots +n \) con \( n \) y está colocado de menor a mayor y le vuelves a sumar la misma suma pero de mayor a menor \( \mathrm{S} = {n + n-1 + n-2 + \cdots + 1 \) con \( n \) términos porque es la misma suma. El resultado que obtienes es \(
      2 \mathrm{S} = (1 + n) + (2 + n – 1) + (3 + n-2) + \cdots + (n+1) \), resultando \( 2 \mathrm{S} = (1+n) + (1+n) + (1+n) + \cdots (1+n) \) y también con \( n \) agrupaciones y finalmente obtienes \( 2 \mathrm{S} = n(n+1) \) y bueno, ya sabes cual es el resultado final. En el fondo es suma bases con potencias negativas.

    2. Sergio Cohaguila

      Si existe una manera, la propiedad telescopio en una de sus formas dice \[ \sum_{i=k}^{q} [ f(i) – f(i+1) ] = f(k) – f(q+1) \]. En este caso tenemos \( \mathrm{T}_{i} = \frac{1}{ n^{i} } \) donde quieres calcular la suma \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \) que representa esa serie de potencias negativas. Por la propiedad telescopio, haces lo siguiente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} = \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), si resuelves o reduces \( \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), sale \( \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), entonces \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} – \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \). Aquí viene la magia, mira lo que voy hacer, usando las propiedades elementales de sumatorias, \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m+1} } \), como el termino con su signo negativo a continuación del miembro izquierdo se puede escribir de la siguiente manera: \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i+1}} ] = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \). En la ecuación anterior queda \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{ n^{m} -1 }{ n^{m+1} } \). Factorizando la sumatoria, resulta: \( ( 1 – \frac{1}{n} ) \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), resolviendo \( \frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m} – 1}{n^{m+1}} \), finalmente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). Recuerda que la serie que querías calcular es \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). De esta manera te demuestro que el resultado es lo mismo con la serie telescópica.

      1. Gracias profesor he estado leyendo mas sobre Sumatorias, y una duda que casi nadie menciona, por ejemplo en la suma Sigma de los primeros números naturales para sacar la formula se pone un binomio al cuadrado, por que? de una suma 1+2+3+…+n hay que poner un binomio (n+1)al cuadrado _ n al cuadrado , etc es como si se tuviera que extender otra dimension a la suma que se busca la formula.

        1. Sergio Cohaguila

          La cosa es que se intenta buscar \( f(i+1) – f(i) = i \), si usas potencias cubicas o cuartas o potencias negativas, es mas complejo que solo usar potencias cuadradas, si usas potencias igual a la unidad quedaría así \( i+1 – i = 1 \neq i \) y no tiene sentido….. porque estas asumiendo \( i \) es variable y cambia con valores enteros de \( 1 \) a \( n \) donde \( n, i \in \mathbb{Z}^+ \), es decir que pertenece a los enteros positivos. En otras palabras, la telescopio funciona cuando por descarte.

          1. Gracias profesor, por ahora entiendo y he realizado las potencias al cubo, a la cuarta, impares, pares, con la propiedad telescópica, espero usted haga un curso sobre este tema también.

            Saludos

          2. Sergio Cohaguila

            Si, tengo que hacerlo, solo que estoy en trabajos de diseño web, pero bueno, el tema de la telescopio lo haré cuando me centre en la teoría elemental de sucesiones y series. Todo lo relacionado a series es un tema relativamente extenso. De hecho, si hablamos por ejemplo sobre teoría de exponentes, es un tema exageradamente extenso, solo mira el resumen de Wikipedia sobre “Exponenciacion” (no confundir con potenciación) tal cual, es exageradamente extenso porque ya entra temas mas complejos y muy abstractos de la matemática, solo leyendo su definición en wiki ya es para romperse la cabeza jaja. Cuando llegue a ese tema de sumatorias, probaré todas las propiedades incluida las dos versiones de la telescopio, lo estaré desarrollando bien bonito, y nada más, que te valla todo bien y gracias por tus mensajes, saludos.

    3. Sergio Cohaguila

      Por ultimo, ten en cuenta que cuando incrementa \( m \) para un valor numérico de \( n \) mayor a 1, \( n^{m} \) incrementa, pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) se hace mas pequeño, si \( n \) disminuye en valor diferente de los negativos, el valor de \( n^{m} \) decrece pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) incrementa.

        1. Sergio Cohaguila

          Gracias Livic, aun mi sitio presenta fallas por ejemplo tengo que corregir unas teorías en una de las secciones de expresiones matemáticas, desde hace más de un año que no he tocado el sitio web, pero hace días si quiera estoy escribiendo (realmente corrigiendo un grave problema que tuve con la primera sección de “proposiciones” de un tema de lógica elemental) un tema y para comenzar luego otros, por el momento tengo que terminar todo lo relacionado expresiones matemáticas y previamente corregir algunos anteriores…. Espero terminar todo lo que es álgebra elemental, luego pasaré a otros cursos avanzados de álgebra. Que tengas un buen día, bye.

  4. Saludos Profesor, tengo una duda porque para encontrar la formula de la Suma de los primeros n términos de una serie Geométrica se realiza restando la primera Sm – Sm multiplicada por razón,(Sm – Sm.r) y porque en la serie Aritmética es lo contrario se suman ambas para encontrar la formula (Sm + Sm)? hasta ahora he leído varios libros y ninguno explica el porque.

    1. Sergio Cohaguila

      Cuando demuestras una propiedad, tiene una forma definida, no es que inventes la formula y por eso tienen esa forma… no se si habas visto la prueba de los n primeros términos geométricos y aritméticos, es decir, la formula que me has presentado. es sencilla de probar.

  5. Sm – Sm.r = a. ( 1- r^n) En la progresión serie geométrica finita, mi duda es
    (1 – r) bajo que razón se resta y no suma para llegar a esta
    formula.
    Sm= a.r^o + a.r^1 + a.r^2……..a.r^n-1
    Sm.r= a.r^1 + a.r^2 + a.r^3……..a.r^n
    Cuando vi este proceso mi primera impresión era la de sumar ambos para llegar a la formula, supongo pensé era lo mismo que la serie Aritméticas.

    1. Sergio Cohaguila

      De hecho, si se puede sumar, sumemos \( S_{m} + S_{m} r = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} + ar^{n} \) … (X), el punto es que si vez una serie nueva, debes buscar una variable que sea igual a \( S_{m} \), multiplica esta serie por 2, resulta: \( 2S_{m} = 2ar^{0} + \cdots + 2ar^{n-1} \), pero también se puede escribir así \( 2S_{m} – ar^{0} = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} \), esta serie no se parece una fragmento de la formula (X)?, osea reemplazando, obtienes \( S_{m} – S_{m} r = 2S_{m} – ar^{0} + ar^{n} \), operando llegas a un mismo resultado.

  6. Probar no es problema, sino el razonamiento para llegar a esa formula, la suma indicada representa la suma de todos los términos menos el primero: a.r^2 + a.r^3……..a.r^n-1. la suma de todos los términos de la progresión menos el primero a1.
    y por el otro lado de la igualdad es la suma de todos los términos menos el último an.
    por lo que Sm- a1 = r factor común(Sm – an) , entonces Sm-a1= rSm- ran
    Sm-rSm= a1- an.r
    Sm(r-1)= a1- an.r
    Sm= a1- an.r/ (r-1) entonces la resta viene de que ambas sumas de la igualdad geométrica carecen de un termino entonces el numero 1 es el termino menos de cada suma y la resta viene de que ambas carecen de un termino, es muy diferente a la suma aritmética.

    1. Sergio Cohaguila

      En la multiplicación alteras los términos, en la suma los términos siguen siendo los mismos, el punto es buscar los términos semejantes, al sumar varios términos, no alteas los términos semejantes, pero al multiplicar términos, alteas los términos semejantes, el punto es que cuando trabajas con series, alterar con la multiplicación una igualdad haces que falte y por otro lado sobre un termino, el punto es eliminar esos términos. Por otro lado \( 1-r \) es un factor común de \( a – ar^{n-1} \). Ademas, en la progresión geométrica tiene exponentes números naturales “lineales”, es decir, sus exponentes son de la forma \( n = pm+q \), donde \( p \), \( m \) y \( q \) naturales, si fueran cuadráticas, la multiplicación con un factor de la forma \( r^{x} \) ya no tendría sentido, no funciona la misma estrategia \( S_{n} – S_{n} r \), ya no funcionaría.

  7. Gracias por la paciencia profe, ya casi comprendo del todo, entonces al multiplicar la razón a la suma geométrica aumenta el termino primero a1 y el ultimo an, lo que trato de entender es en forma visual, tengo muy claro en el caso de las progresiones aritméticas de los primeros N= n veces por n+1 y dividido entre dos, porque Gauss sumo dos veces la suma y obtuvo el resultado n +1 un por n veces y dividió entre dos porque son los pares para sacar el resultado de la formula, así mismo en forma gráfica es un cuadrado de base n x (n+1), lo que no comprendo del todo en las series geométricas es que no puedes hacer lo mismo, toca multiplicar por r es decir alteras la suma y de allí obtener los términos, restarlos y dividirlo entre 1- razón, trato de visualizar en figuras esta formula general.

    1. Sergio Cohaguila

      En la gráfica de una serie geométrica es una curva y la curva depende de dos puntos, el exponente y la base, pero mas de la base ya que asumimos que los exponentes incrementan en progresión aritmética de 1 en 1 comenzando de 0 (termino independiente), osea exponentes lineales, pero si la base se encuentra entre 0 (sin incluirlo) y 1 ó entre 1 para arriba, la gráfica de una serie geométrica cambia drasticamente, en el primero, la gráfica de la progresión es una curva de base de 0 a 1 disminuye hasta que en el infinito es una constante (mas bien crece pero el crecimiento se va desacelerando hasta que ya deja de crecer), pero si la base es de 1 para arriba, la progresión es una curva que se va hasta el infinito, busca en Google “gráfica de una ecuación geométrica” y verás. En resumen, una aritmética es fácil, su gráfica es lineal, pero una progresión aritmética es una curva y depende de su base, y eso que no hablamos de base negativa……

  8. Claro que las progresiones aritméticas es la suma a1 + la diferencia, en la geométricas es la multiplicación de a1 x la razón tal vez por ese lado debes alterar multiplicando por r las sumas geométricas.

    1. Sergio Cohaguila

      No alteras el orden, alteras los termino del orden, en la aritmética no se altera nada, si le sumas o le quietas un termino, el resto de los términos siguen siendo los mismos en las mismas posiciones.

  9. Series convergentes y divergentes, después de esta formula finita voy a estudiar esas.
    SG
    a2 = a1.r
    a3 = a2.r
    an = an-1.r
    ————————————————–
    a2+a3+a4+……an= a1.r + a2.r +a3.r…..an-1.r
    Sm- a1 = r( a1 + a2. +a3…..an-1.)
    Sm- a1 = r( Sm- an)
    Sm- a1 = Smr- anr Sm-Sm.r= a1- an.r a1 – a1.rn\ 1 -r
    La razón es el factor común de la suma y ambos lados de la igualdad carece de un termino a1= an

    1. Sergio Cohaguila

      Me has hecho acordar a las sucesiones recurrentes como la que mencionas \( a_{n}=ra_{n-1} \), sabes, algo curioso? existe algunos casos donde una sucesiones recurrentes convergentes como este ejemplo \( f(n) = ( 1 + \frac{1}{n} )^n \), para \( n \) entero positivo ocurre que \( f(n) \) es obviamente un racional (que se puede escribir como la division de dos enteros, pero cuando \( n \) es infinito, resulta que \( f(n) \) es un numero irracional, es decir, simplemente no existe una division entre dos enteros que represente a \(
      f(n) \). Se dice que los irracionales se pueden definir de los racionales.
      Con este modelo se puede demostrar por ejemplo los casos \( a^{n+m} = a^n+a^m \), cuando \( n \) y \( m \) son irracionales ya que la definicion de \( a^n = a•a•a \cdots a \) solo aplica para \( n \) naturales. Intentalo, veras que no encontraras forma.

  10. Ese proceso lo encontré en una pagina web, lo que me confundió es que an = an-1.r, porque no puso an= a1.r.n-1 aunque es lo mismo, esta formula series geométricas me molesta no poder entenderla 100% es que no me cuadra que a1 termino primero menos! termino ultimo a1 por r^n dividido entre 1 menos r, en primer lugar la razón e n no es n-1 como debería ser el termino enésimo, si lo que hace es restar el primer termino con el enésimo y porque restar y no sumar acaso no es una Suma de progresiones, no es como la formula de series aritmética que una formula con armonía tiene sentido en cada parte Sa= a1 + d(n-1)n dividido entre 2, cada una de las formula de la series aritméticas la entiendo pero esta serie geométrica me molesta.

  11. Hasta donde se no podria no se puede dividir mas ya que es el resultado de la resta de x^3| x-y menos y^3| x-y , si fuera multiplicacion x^3.y^3| xy alli si se podria dividir y saldria x^2.y^2. 🙁

    1. Sergio Cohaguila

      jeje, si se puede, sale \( x^{2} + xy + y^{2} \), no te has dado cuenta que en las progresiones geométricas son también divisiones del tipo \( \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \), su resultado es de la forma \( x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1} \), la progresión geométrica que tratamos es solo cuando \( y=1 \), te das cuenta?, el tema de la división de la forma \( \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \) lo estudio en el capitulo de cocientes notables: https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/cocientes-notables/
      En el fondo son progresiones geométricas, aunque en ese capitulo no lo indico, pero son formas de progresión geométrica.

  12. Gracias Profe ese capitulo es desconocido para mi creo que lo vi muy poco tengo que estudiarlo, analizando las series geométricas creo que ya la entendí, imaginando en
    una suma de solo tres términos base 2 y razón 2, yo sumando el termino 1 y el termino n, no me dan la suma total de la series de tres términos, pero cuando resto termino 1 menos termino n+1 es decir el cuarto termino de la suma de tres términos es decir es 2 – 2. 2^3 me sale 28 y como esta dividió entre 2 menos 1 es 1 entonces el resultado queda 28 es decir la suma de esos tres términos, ahora entiendo porque tuvieron que aumentar el termino n+1 de la series y restarlo al primer termino, pero esto se pone difícil cuando la razón es 1, estuve haciendo lo mismo y con la razón 1 esta formula no me da el resultado, esta sumando una series de base 2 por razón 1 y es de tres términos mire 2.1+2.1+2.1= 8 si usamos esta formula a1-a1.r^n|1-r sale 2 y no 8 entonces, de allí que hay reglas si la razón es igual o menos a 1, etc.

    1. Sergio Cohaguila

      La formula es \( \mathrm{S} = a_{1} ( \frac{ 1 – r^{n} }{1-r} ) \) solo aplica cuando \( r \neq 1 \), ya que te vas encontrate con esto \(
      \frac{ 1^{r} }{ 1 – 1 } = \frac{1}{0} \), no está definido, no existe números que al ser divididos por cero te den un valor determinado, a nivel de teoría de limite si es posible, y se define como infinito, pero eso es un tema avanzado calculo o análisis matemático sobre los valores super pequeños o super grandes. La formula de progresión geométrica que conoces solo aplica para razones distinto de 1, por otro lado \( 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1^{1} + 2 \) resulta 6 y no 8. Si es con base 2 y razón 2 no hay problema con la formula.

  13. Si me equivoque es 6 luego quise corregir ese error pero no pude editarlo 🙁 bueno gracias profesor creo que es todo por series geométricas ya la “entendí” de la manera que quería, ahora estoy estudiando el método de capas de la propiedad telescópica de los primero naturales.
    Sigma = Ai+1 − Ai = An+1 − A1, (n+1 )^2− 1 = (i+1 )^2− i, voy “bien”.
    Me toma tiempo cada formula porque no quiero memorizarlas sino entenderlas.
    La series aritméticas las he podido entender mejor cuando por visualización geométricas de allí que para la suma de los primeros números naturales cuando unes las suma y otra igual formas un cuadrado n y n+1.

    1. Sergio Cohaguila

      jaja, para editar una entrada, se debe tener una cuenta, pero como no vendo nada, ni contenido privado de de matemática, no le veo sentido colocar una cuenta de acceso porque solo tengo publicaciones y nada más jeje. Bueno, ya haré un curso de sucesiones y series, pero tengo que terminar unos trabajos fuera del área de matemática, luego finalizar temas de matemática que tengo pendiente, de hecho, pienso pasarlo al ingles lo que ya tengo porque necesito ampliar mi audiencia jeje, luego podré escribir más cursos de matemática. Gracias por tu apreciación Livic. Solo ten cuidado cuando intentes probar la suma de los primeros números elevados a la quinta para arriba, vas a sufrir jeje.

  14. La suma de los primeros números elevados a la quinta para arriba, solo llegue a la cuarta, incluso en forma de visual, tengo 5 meses estudiando Matemáticas desde 0 , lento pero seguro 🙂

    Buena suerte con el Ingles, yo hablo Ingles pero prefiero estudiar en español ya tengo suficiente con las matemáticas en si para empezar a traducir cada concepto en Ingles jeje.
    Su cursos son buenos pero el problema es cuando lo estudiaba tenia que ir a otras partes libros o internet a completar esos conceptos por ejemplo ecuaciones exponenciales(series) hay cosas que no me quedaban claras y tenia que buscar mas respuestas.
    Gracias y Saludos.

    1. Sergio Cohaguila

      Yo también tengo algunas cosas en matemática que no me quedan claras, pero son temas mas abstractos, o problemas donde por ejemplo quería demostrar una simple propiedad de potencias como \( a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y} \) para cualquier valor real de \( a \), el punto es que debes hacerlo si asumes \( x \) e \( y \) reales y no simplemente números naturales. Por ejemplo, intenta demostrarlo tan solo cuando \( x \) e \( y \) son irracionales, si lo logras podrás demostrar para cuando estos mismos son reales. Cualquiera puede demostrarlo cuando son naturales, espero te des cuenta su casi imposibilidad. Felizmente conozco la demostración jeje. Gracias Saludos.

  15. Para ampliar su audiencia estos tiempos seria mejor videos en Youtube, allí es donde va la mayoría:( yo estudio por mi cuenta así algunos profesores en Youtube son de gran ayuda.

    1. Sergio Cohaguila

      Lo sé, pero tengo trafico, mi sitio web registra de 30 a 70 mil visitas al mes solo con 40 publicaciones de matemática hasta ahora, es poco, pero eso se logra con el llamado posicionamiento SEO, es decir, lograr que por lo menos tus publicaciones estén como mínimo en la primera pagina de Google, sin embargo, tenia mas trafico antes, he descuidado mi SEO por falta de tiempo y se que puedo levantar mas trafico incluso con la misma cantidad de publicaciones. Este trafico es nada, yo deberia estar desde hace mucho por lo menos desde el millón de visitas jaja. Que tengas buen día, surte.

  16. https://www.lawebdefisica.com/files/arts/Suma%20de%20Potencias.pdf
    Mire Profe he tenido que estudiar esta pagina y otras para tratar de entender sus ultimas ecuaciones.

    Lo que le decía antes en esta pagina:

    (n+1)^2 – 1 = Sigma (i+1)^2 – i que es la igualdad para llegar a la formula de los n primeros números naturales n(n+1) sobre 2, como le dije antes estaba bien hasta la parte que
    Aq= q^2 es decir porque elevado a la potencia 2, esta pagina se refiere al metodo de capas, lo que yo entiendo es tiene que ser al cuadrado porque en una demostración visual vi que tiene que la suma formar un cuadrado juntando las dos sumas y el resultado es una base n+1 x n altura, y por eso es una cuadrado, si hacemos la misma forma visual en el caso de los n primeros números a la potencia dos tendríamos que unir tres sumas, por eso la potencia seria al cubo y así sucesivamente. Y eso que aun no termino con el Binomio de Newton.

    1. Sergio Cohaguila

      Primera vez que veo es demostración visual, es nueva para mi, sin embargo, la demostración de la telescopio en esa forma es incompleta, acaso puedes hacer lo mismo con la sucesión de la forma \( \frac{1}{n(n+1)} \)? esa si no la puedes poner en forma cuadrada, pero se puede demostrar con telescopica, pero se ve igual de interesante.

      1. No se profe yo recién voy aprendiendo el metodo capas Aq+1= Aq+Cq (propiedad Telescopica) 🙁 de ese sitio web.

        Lo demostración visual la vi en Geogebra, creo ponen mas énfasis en la geometria que en el algebra, Pitagóricos. 🙁

        1. Sergio Cohaguila

          Si, pero usar gráficos es un método informal jaja, la manera correcta formal es no usar gráficos, sino, conceptos bien definidos, bien ordenados, con los axiomas, definiciones o teoremas bien probados donde demuestres una propiedad jeje, por eso digo. Por ejemplo vi una geométrica super abstracta donde demostraban con propiedades y teoremas sin usar geometría las propiedades mismas de geometría jeje, era interesando, era un libro de geometría de Carlos Ivorra, pero no te lo recomiendo, sus libros son demasiados abstractos.

          El método de capas se ve interesante, pero se puede generalizar, ya que solo se usó potencias, pero la serie telescopica no solo usa potencias con términos con exponente entero, usa incluso con exponentes negativos o en algunos casos con radicales, por eso que no siempre se puede aplicar el método con dibujos en forma de cuadrados.

  17. Felicidades. La pagina muy útil, gracias por el contenido
    El Ej. 40 tiene solución múltiple
    6^2+8^2+25^2=(2*3)^2+(2*4)^2+25^2=2^2*(25)+25^2=(2*5)^2+25^2
    a^2+b^2=10^2+25^2
    a=10
    b=25

    1. Sergio Cohaguila

      Gracias Abdictus. Si, tienes razón, lo que pasa es que me guié solo de los números pitagoricos y no se me ocurrió usar todo únicamente por factorización, te pondré créditos en la actualización de ese ejercicios. Gracias de nuevo y que tengas un buen día.

  18. Saludos: Valoro el esfuerzo que dedicaste en realizar la página, y nuevamente gracias por todo el contenido. Por favor revisa la solución del Ejerc. #59. En el penúltimo paso la simplificación no es lógica (para mi). El Numerador y el denominador no tienen semejanza. De antemano gracias por contestar

    1. Sergio Cohaguila

      y este también, gracias Abdictus por tus observaciones, me ayudas mucho de verdad. Si tienes alguna observación más, indicalos y con gusto lo corregiré, muchas gracias por tu ayuda, que tengas buen día, saludos.

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