Relaciones matemáticas

Este es un curso básico e introductorio de los primeros capítulos de matemática discreta, donde explicamos temas como par ordenado, producto cartesiano, relaciones binarias, correspondencia matemática y relaciones de equivalencia, es decir, un estudio básico de las relaciones entre los números.

Resumen teórico

Una de las cosas mas importantes de manejar temas binarios como el par ordenado donde a su vez se deriva el producto cartesiano y las relaciones binarias es que nos ayuda a comprender mejor el comportamiento de las ecuaciones en diferentes campos (conjuntos) donde estas se interrelacionan bajo una serie de propiedades muy bien definidas.

Esta información nos ayudará a comprender temas posteriores como el comportamiento de las funciones, aplicaciones importantes en el estudio del calculo (aunque es un tema no discreto, es decir continuo) y otros temas relacionados.

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¿Que es una relación en matemáticas?

Una relación propiamente dicha es un vinculo entre dos objetos, este concepto también es usado en matemáticas para buscar una relación entre los elementos de dos conjuntos distintos o sobre el mismo conjunto.

La sección de relaciones cataloga dos tipos según las propiedades que cada una las diferencia, en este caso, las propiedades de relación de un conjunto sobre si mismo, es decir, de la relación entre los elementos del conjunto consigo mismo se estudia en la sección de relaciones binarias y para el estudio de las propiedades dos conjuntos distintos se estudia en la sección de correspondencia.

En otras palabras, algunos elementos de un conjunto dado le corresponde al menos cualquier elemento de un segundo conjunto o del mismo conjunto inicial.


El primer conjunto se le llama conjunto de partida o inicial y el segundo conjunto se le llama conjunto de llegada o final. Algunos elementos del conjunto inicial que estén en correspondencia con los elementos del conjunto final se les llama dominio u origen, y algunos elementos del conjunto final que tenga relación con el conjunto inicial se llama rango o imagen.

El tema principal de la sección es estudiar las reglas o propiedades que determina estas relaciones que vincula a los elementos de dos conjuntos dados o entre si mismos, por ello, lo diferenciamos entre relaciones binarais y correspondencia, veamos cada una de ellas en el siguiente apartado, esto incluye a los pares ordenados y producto cartesiano.

¿Que es un par ordenado?

Un par ordenado es esta expresión que ves aquí:

\[ (a, b) \]

Definimos un par ordenado como un conjunto ordenado tal \( a \) es la primera componente y \( b \) es la segunda componente y cumple la siguiente restricción:

\[ (a,b) \]

Si y sólo si \( a \neq b \). Esta restricción obliga que para dos pares ordenados \( (a, b) \) y \( (c, d) \) se cumpla:


\( (a,b) = (c,d) \)

Siempre y cuando \( a = c \) y \( b = d \).

Para que estos pares ordenados existan, cada componente debe estar definido sobre un conjunto, puede que cada componente tenga su propio conjunto definido completamente diferentes o las dos componentes estén definidos sobre un mismo conjunto. Esto significa que también podemos crear parejas de pares ordenados con el resto de los elementos de estos conjuntos y tiene un nombre especial, y lo veremos en breve:

¿Producto cartesiano?

También llamado conjunto producto, y comprende todo el conjunto de pares ordenados formado por los vínculos aleatorios (es decir, todas las combinaciones posibles) de dos conjuntos distintos o de un mismo conjunto.

Si tenemos el conjunto \( \mathrm{A} = \left \{ a,b,c \right \} \) y el conjunto \( \mathrm{B} = \left \{ 2,4,6 \right \} \), simbolizamos el producto cartesiano por \( \mathrm{ A \times B } \) tal que forma el siguiente conjunto por extensión de pares ordenados:

\[ \mathrm{ A \times B } = \left \{ \begin{array} \\ (a,2) & (a,4) & (a,6) \\ (b,2) & (b,4) & (b,6) \\ (c,2) & (c,4) & (c,6) \end{array} \right \} \]

De aquí, podemos extraer muchos subconjuntos de \( \mathrm{ A \times B } \), como por ejemplo:


  • \( \mathrm{R}_{1} = \left \{ (a,2), (b,4), (c,6) \right \} \)
  • \( \mathrm{R}_{2} = \left \{ (a,4), (b,6), (c,4), (b,2) \right \} \)
  • \( \mathrm{R}_{3} = \left \{ (a,6), (b,4), (c,2) \right \} \)

Donde estos conjuntos de pares ordenados son subconjuntos de \( \mathrm{ A \times B } \), estos subconjuntos tiene un nombre, se llamas relaciones binarias, este concepto queda para el siguiente apartado.

¿Que estudia las relaciones binarias?

Generalmente las relaciones binarias estudia las comparaciones que pueden existir entre los elementos de un conjunto consigo mismos y entre sus propiedades encontramos varios tipos de relaciones binarias interesantes que pueden ser útiles en otros campos de la matemática como las leyes de composición interna, por poner un ejemplo.

Existen múltiples formas definidas y estudiadas de relaciones binarais, pero entre las mas importantes tenemos las relaciones independientes:

  • Propiedad reflexiva
  •          ”       simétrica.
  •          ”       transitiva.
  •          ”       antireflexiva.
  •          ”       antisimetrica.
  •          ”       de orden parcial.
  •          ”       de orden total.
  •          ”       de orden conexa.

Y las dependientes de las propiedades anteriores:

  • Relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva)
  •        ”       de orden (reflexiva, antisimetrica y transitiva)
  •        ”       de orden parcial (reflexiva, antisimetrica, transitiva y orden parcial)
  •        ”       de orden total (reflexiva, antisimetrica, transitiva y orden total)
  •        ”       cuasi-ordenado o preorden. (reflexiva y transitiva)

Generalmente el estudio de las relaciones binarias queda implícito las típicas relaciones como la igualdad o desigualdad, u operadores monádicos, es decir, operadores que solo afecta un valor y obtenemos otro valor. Las propiedades indicadas en las viñetas están sujetas únicamente de un conjunto consigo mismo, para dos conjuntos diferentes, el estudio esta destinado al concepto correspondencia y es lo que veremos brevemente a continuación.

¿Que estudia la correspondencia?

Las correspondencia estudia las relaciones binarias entre dos conjuntos diferentes, pero con una propiedad que quedó implícito en las relaciones binarias y que en esta ocasiona sera totalmente explicito bajo una propiedad (función proposicional) que defina la existencia de la relación binaria de estos conjuntos.

Existen 2 tipos de correspondencias, esta son, las unívocas o las biunívocas, de estas, la negación de una unívoca se llama multivoca. Una función aplicación es un tipo de correspondencia unívoca con la condición de que el origen sea igual al conjunto inicial.


En otras palabras, una función es una correspondencia donde cada elemento del conjunto inicial (que solo para este caso es igual al conjunto inicial, si no lo es, resulta ser una unívoca) le corresponde un único elemento del conjunto imagen. Hay ciertos tipos de aplicaciones y son:

  • Aplicación inyectiva
  • Aplicación sobreyectiva
  • Aplicación biyectiva (es inyectiva y sobreyectiva a la vez)

¿Que estudia la correspondencia?

Es un tipo de relación binaria y debe ser reflexivasimétrica y transitiva, las relaciones de equivalencia tienen la propiedad de clasificar los elementos de un conjunto muy estrictamente hablando, puede encontrarse subconjuntos de un conjunto que define una relación de equivalencia y ser disjuntos con otro subconjunto del mismo conjunto, este tipo de subconjuntos se les llama clase de equivalencia.

Por ejemplo, los números racionales e irracionales son clases de equivalencia de un conjunto mayor llamado números reales y la relación de equivalencia para un caso particular es la igualdad “\( = \)“, pero no la única.

Por último, actualizaremos mas adelante para una sección llamada, relación de orden, espero te guste estos cursos, hasta pronto.