Teoría elemental de conjuntos

Curso completo de lógica proposicional donde detallamos cada uno de los conectivos lógicos y describimos todas las equivalencias e implicaciones notables.

Resumen teórico

Este es un curso dedicado al estudio de la teoría elemental de conjuntos y sus propiedades. Elemental porque la teoría de conjuntos es estudio formal y la teoría elemental de conjuntos es una teoría informal, basado en la intuición.

Lo que quiero decir es que la teoría formal de conjuntos en curso avanzado de matemática resulta ser de grueso calibre por lo complejo de su abstracción lógica, es por ello que comenzaremos básicamente con una teoría elemental y fácil de entender.

Ten en cuenta que que este es un resumen, el curso completo lo puedes encontrar en el lado izquierdo si estas en PC o al final del resumen si estas en móvil.

Teoría informal de conjuntos

Esta teoría completamente intuitiva no hace uso de palabras tecnicas muy habitual de la lógica matemática a pesar que la teoría formal de conjuntos es una rama de la lógica matemática. Por lo general, la teoría elemental de conjuntos se estudia básicamente con ayuda de la teoría informal de la lógica proposicional y tener una idea de lo que es un conjunto y la relación de conjuntos como también el contenido de las mismas.

La teoría informal de conjuntos se apoya con ejemplos de la vida real para lograr una mejor comprensión de lo que se intenta entender por conjuntos, por ejemplo, puede tomar objetos de la vida real como una colección de animales de la vida silvestre, conjunto de aves, conjuntos de tipos de aves de un continente específico, colección de los estadios de fútbol.

Los objetos que acabamos de mencionar de la vida real mas los objetos abstractos como números, símbolos matemáticos, etc, se les llama elementos de un conjunto dado.


También existen relaciones entre conjuntos, a nivel símbolo matemático estos se representan por una serie de operaciones matemáticas, por ejemplos, tenemos los aves de Europa y las aves de América como dos conjuntos distintos, y queremos solamente seleccionar aquellas aves que se toman como mascotas entre los dos continentes, en ese caso estaríamos hablando de una operación de intersección, ya que las aves de estos don continentes comparten aquellas aves que son tomadas como mascotas, de ahí se puede definir otro nuevo conjunto.

¿Operaciones basicas de la teoría de conjuntos

La teoría elemental de conjuntos construye toda su teoría sobre una serie de operaciones básicas entre conjuntos, estos dependen de la características de los elementos que tengan, veamos cada una de estas operaciones. Sean los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), se definen las siguientes operaciones de conjuntos:

Unión de un conjunto

La unión de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) se define como el conjunto \( \mathrm{ A \cup B } \) y toma todo el conjunto de los elementos de \( \mathrm{A} \) y los elementos de \( \mathrm{B} \).

Intersección de un conjunto

La intersección de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) se define como el conjunto \( \mathrm{ A \cap B } \), que significa que existe un conjunto de elementos que por lo menos existe en algunos de ellos.

Diferencia de conjuntos

La diferencia de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) se define como el conjunto \( \mathrm{A – B} \) y son aquellos conjuntos de \( \mathrm{A} \) que no pertenecen a \( \mathrm{B} \).

Complemento de conjuntos

El complemento del conjunto \( \mathrm{A} \) simbolizado por el conjunto \( \mathrm{ A^{C} } \) contiene todos los elementos que no pertenecen a \( \mathrm{A} \), por lo general, se dice que existe el conjunto universal \( \mathrm{U} \) que contiene a todos los conjuntos dados incluido \( \mathrm{A} \) donde el complemento de \( \mathrm{A} \) serie \( \mathrm{ A^{C} = U – A } \).

Diferencia simetrica de conjuntos

La diferencia simétrica de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) se define como el conjunto \( \mathrm{ A \bigtriangleup B } \) que solo pertenecen o bien al conjunto \( \mathrm{A} \) o bien al conjunto \( \mathrm{B} \) pero no a ambas.


Producto cartesiano de conjuntos

El producto cartesiano de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) se define como el conjunto \( \mathrm{ A \times B } \) y contiene todos los pares ordenados \( (a,b) \), donde el primer elemento \( a \) le pertenece al conjunto \( \mathrm{A} \) y el segundo elemento \( b \) le pertenece al conjunto \( \mathrm{B} \).

Junto con la lógica proposicional y los cuantificadores existenciales se construye otras definiciones, propiedades (leyes), reacciones de conjuntos (diferentes a las operaciones), y algunos conceptos básicos mas como el numero de elementos de un conjunto y todo ello sería la teoría elemental de conjuntos tal como lo conocemos.

Un poco de historia

Si bien la teoría de conjuntos se le atribuye a Georg Cantor, vamos a retroceder hasta Zenón de Elea (490-430 a. C.), un filósofo griego nacido en Elea. Zenón menciona una serie de paradojas relacionadas al continuo con respecto al espacio, tiempo y movimiento, si bien no indica ni menciona una colección de objetos, en sus paradojas hace referencias sobre el infinito y lo finito. Aunque algunas de ellas han sido un poco criticadas, por lo menos se le da algo de crédito en la idea indirecta de un conjunto.

Otros matemáticos defendían el concepto del conjunto infinito en una epoca donde no eran aceptados logicamente, hablamos a mediados de 1850. Se intentaba lograr probar que los conjuntos tenían una correspondencia uno a uno con otros conjuntos como si fueran conjuntos finitos, cosa que se creía algo muy descabellado.

Pero en aquellas epocas Georg Cantor publicó una serie de artículos donde algunos de ellos dio nacimiento a la teoría de conjuntos, en sus teorías comenzo a trabajar con los infinitos donde por lo menos consideraba dos tipos de números infinitos (referente a los números irracionales algebraicos y trascendentes cuando estudiaba las raíces polinomiales en sus trabajos).

A lo largo de su tiempo, Cantor publicó una serie de artículos de teoría de conjuntos donde fue criticado por su oposición era Kronecker, donde el no creía en los conjuntos infinitos, era una época donde este matemático gozaba de gran influencia y autoridad en las matemáticas.

Kronecker, no creía en los números irracionales, solo se limitaba en los números enteros y racionales, incluso cuando se demostró que el número \( \pi \) era un número trascendental por parte de Lindemann, dijo:


¿De qué sirve tu hermosa investigación de \( \pi \) ? ¿Por qué estudiar este tipo de problemas cuando no existen los números irracionales?

Cantor a pesar de la criticas, tranquilamente seguia con sus trabajos y el apoyo que muchos de esa época lo reciben, publico una serie de trabajos y dijo que las matemáticas es totalmente libre como para implementar cualquier concepto siempre y cuando las teorias están libres de contradicciones y con buen sentido de la lógica citando a muchos autores que hacen referencia del infinito como Aristóteles, Descartes, Berkeley, Leibniz y Bolzano.

Pero Cantor comenzo a tener una serie de problemas a lo largo de su viaje, no se sintió satisfecho con algunos trabajos de otros autores y no pudo realizar un viaje a Berlín. Medida que fue bloqueada por Schwarz y sorprendentemente por Kronecker. A lo largo de su vida, hubo muchas disputas personales de larga distancia entre ellos dos donde escribía cartas a Mittag-Leffler, declarando contra Kronecker que casi le cuesta una crisis mental que le duro un tiempo.

Pero como todo buena historia, se recuperó y siguió con sus trabajos de teoría de conjuntos después de superar la crisis donde en una época solo se dedicaba a la filosofía perdiendo el interés de las matemáticas. Sus trabajos eran estudiados por otros matemáticos mientras desarrollaba y perfeccionaba su teoría hasta que comenzaron aparecer algunas paradojas en la teoría de conjuntos por parte de otros autores.

Las paradojas de Georg cantor comenzaron aparecer poco a poco cuando el mismo definió la teoría y las propiedades de los números cardinales, a pesar de todo ello, su teoria comenzaba a florecer y la teoría de conjuntos era cada vez más estudiado gracias a un congreso internacional de matemáticas en Zurich, graciasa a ello, fue reconocido y elogiado por otros matematicas de la épica.

De ahí comienza otra aventura que no va del tema actualmente a tratar, lo nuevo tiene que ver al intentar de resolver las paradojas de la teoría elemental de conjuntos y de ahí nace la teoría axiomática de conjuntos, una teoria que tal vez no querrás verlo por momento siendo una teoría pesada, abstracta y bien formalizada de grueso calibre. Hasta aquí comenzamos con las secciones del curso de teoría elemental de conjuntos.

Historia resumida y extraído del articulo de Carlos Ponce llamada una historia de la teoría de conjuntos.