En una publicación anterior construimos los pares ordenados y el producto cartesiano — las herramientas que permiten combinar elementos de dos conjuntos respetando el orden. Ahora daremos el paso más importante: usar esos pares para describir conexiones entre elementos. Esa idea es precisamente lo que llamamos relaciones binarias.
Las relaciones binarias están en todas partes: «es menor que», «es hermano de», «divide a», «es paralela a», «pertenece a». Todas estas frases conectan dos objetos en un orden definido. En esta publicación formalizaremos ese concepto y exploraremos sus propiedades fundamentales.
Recordatorio: par ordenado y producto cartesiano
Antes de comenzar, recordemos brevemente los conceptos de la publicación anterior:
Par ordenado. Un par ordenado \( (a, b) \) es una agrupación de dos elementos donde se distingue cuál es el primero y cuál es el segundo. Dos pares son iguales si y solo si sus componentes correspondientes coinciden:
\[ (a, b) = (c, d) \iff a = c \wedge b = d \]
Producto cartesiano. Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), el producto cartesiano \( A \times B \) es el conjunto de todos los pares ordenados posibles:
\[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\} \]
El producto cartesiano nos da el «universo de combinaciones». Pero en la mayoría de las situaciones reales, no todos los pares son importantes — solo aquellos que satisfacen alguna condición o propiedad. Seleccionar esos pares es exactamente lo que hace una relación binaria.
Relación binaria
Definición
Una relación binaria \( R \) de un conjunto \( A \) en un conjunto \( B \) es un subconjunto del producto cartesiano \( A \times B \), formado por pares ordenados \( (a, b) \) que cumplen una regla o condición específica:
\[ R \subseteq A \times B \]
Es decir, del total de combinaciones posibles \( A \times B \), la relación \( R \) selecciona solo aquellos pares que satisfacen la condición que la define.
En palabras simples: El producto cartesiano contiene todas las combinaciones posibles. La relación filtra y se queda solo con las que cumplen cierta propiedad.
Notación
Si un par \( (a, b) \) pertenece a la relación \( R \), se escribe de dos formas equivalentes:
| Notación | Se lee |
|---|---|
| \( (a, b) \in R \) | «el par \( (a, b) \) pertenece a \( R \)» |
| \( aRb \) | «\( a \) está relacionado con \( b \) mediante \( R \)» |
Si el par no pertenece a la relación:
| Notación | Se lee |
|---|---|
| \( (a, b) \notin R \) | «el par \( (a, b) \) no pertenece a \( R \)» |
| \( a\not{R}b \) | «\( a \) no está relacionado con \( b \)» |
Conexión con la lógica: Para cada par \( (a, b) \in A \times B \), se cumple exactamente una de dos posibilidades: \( aRb \) o \( a\not{R}b \). No hay término medio — es una aplicación directa del principio del tercero excluido visto en proposiciones lógicas.
Ejemplo introductorio
Sean \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( B = \{x, y, z\} \). Definimos la relación:
\[ R = \{(1, y),\ (1, z),\ (3, y)\} \]
El producto cartesiano \( A \times B \) tiene \( 3 \times 3 = 9 \) pares posibles. La relación \( R \) selecciona solo 3 de ellos:
| \( A \times B \) | \( x \) | \( y \) | \( z \) |
|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ✓ | |
| 2 | |||
| 3 | ✓ |
Las celdas con ✓ indican los pares que pertenecen a \( R \). Las celdas vacías son pares que existen en \( A \times B \) pero no fueron seleccionados.
Como \( R \subseteq A \times B \), \( R \) es una relación de \( A \) en \( B \). Con respecto a esta relación:
- \( 1Ry \) ✓ — el 1 está relacionado con \( y \)
- \( 1Rz \) ✓ — el 1 está relacionado con \( z \)
- \( 3Ry \) ✓ — el 3 está relacionado con \( y \)
- \( 2\not{R}x \), \( 2\not{R}y \), \( 2\not{R}z \) — el 2 no está relacionado con ningún elemento de \( B \)
Más ejemplos de relaciones
Ejemplo 1. Sean \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( B = \{2, 4, 5, 6\} \). Consideremos las siguientes relaciones de \( A \) en \( B \):
\[ R_1 = \{(1, 4),\ (2, 5),\ (2, 6)\} \]
\[ \begin{align} R_2 & = \{(x, y) \in A \times B \mid x + y = 7\} \\ & = \{(1, 6),\ (2, 5),\ (3, 4)\} \end{align} \]
Observa que \( R_2 \) se define mediante una condición (que la suma sea 7), y luego se verifican cuáles pares de \( A \times B \) la satisfacen.
Ejemplo 2. Relaciones conocidas sobre conjuntos numéricos:
| Relación | Conjuntos | Ejemplo |
|---|---|---|
| «es menor que» (\( < \)) | \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) | \( 3 < 5 \) ✓, pero \( 5 < 3 \) ✗ |
| «divide a» (\( \mid \)) | \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) | \( 3 \mid 12 \) ✓, pero \( 5 \nmid 12 \) ✗ |
| «es igual a» (\( = \)) | Cualquier conjunto | \( 7 = 7 \) ✓ |
¿Qué significa «divide a»? Decimos que \( a \) divide a \( b \) (escrito \( a \mid b \)) cuando la división \( \frac{b}{a} \) da un número entero exacto, sin residuo. Por ejemplo: \( 3 \mid 12 \) porque \( \frac{12}{3} = 4 \in \mathbb{Z} \), pero \( 5 \nmid 12 \) porque \( \frac{12}{5} = 2.4 \notin \mathbb{Z} \).
Ejemplo 3. Relaciones geométricas:
| Relación | Conjunto | Propiedad |
|---|---|---|
| «es paralela a» (\( \parallel \)) | Rectas del plano | \( L_1 \parallel L_2 \) |
| «es perpendicular a» (\( \perp \)) | Rectas del plano | \( L_1 \perp L_2 \) |
| «es congruente con» (\( \cong \)) | Triángulos | \( \triangle_1 \cong \triangle_2 \) |
Ejemplo 4. Relaciones de la vida cotidiana:
- Si \( A = \{\text{Perú, Ecuador, Colombia}\} \) y \( B = \{\text{Lima, Quito, Bogotá}\} \), la relación «es capital de» da:
\[ R = \{(\text{Perú, Lima}),\ (\text{Ecuador, Quito}),\ (\text{Colombia, Bogotá})\} \]
Relación homogénea y heterogénea
Las relaciones se clasifican según los conjuntos involucrados:
Relación heterogénea. Cuando \( A \neq B \), la relación conecta elementos de dos conjuntos distintos:
\[ R \subseteq A \times B, \quad A \neq B \]
Todos los ejemplos anteriores con conjuntos diferentes son heterogéneos.
Relación homogénea (o relación sobre un conjunto). Cuando \( A = B \), la relación conecta elementos del mismo conjunto:
\[ R \subseteq A \times A = A^2 \]
En este caso decimos que \( R \) es una relación sobre \( A \) o relación en \( A \).
¿Por qué importa esta distinción? Las relaciones homogéneas permiten analizar la estructura interna de un conjunto: ¿hay simetrías? ¿hay un orden? ¿hay elementos equivalentes? Las propiedades que estudiaremos más adelante (reflexividad, simetría, transitividad) solo tienen sentido para relaciones homogéneas.
Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y la relación «\( x \) es menor que \( y \)»:
\[ \begin{align} R & = \{(x, y) \in A^2 \mid x < y\} \\ & = \{(1,2),\ (1,3),\ (1,4),\ (2,3),\ (2,4),\ (3,4)\} \end{align} \]
Esta es una relación homogénea (sobre \( A \)) porque tanto \( x \) como \( y \) provienen del mismo conjunto.
Relaciones especiales
Todo conjunto \( A \) tiene tres relaciones especiales que siempre están definidas:
| Relación | Definición | Descripción |
|---|---|---|
| Relación vacía | \( R = \emptyset \) | Ningún elemento está relacionado con ningún otro |
| Relación universal | \( R = A \times A \) | Todo elemento está relacionado con todos (incluido consigo mismo) |
| Relación identidad (diagonal) | \( \Delta_A = \{(a, a) \mid a \in A\} \) | Cada elemento solo está relacionado consigo mismo |
Ejemplo de la relación identidad. Si \( A = \{1, 2, 3\} \):
\[ \Delta_A = \{(1, 1),\ (2, 2),\ (3, 3)\} \]
Conexión. La relación identidad \( \Delta_A \) es exactamente la diagonal \( D(A) \) que estudiamos en la publicación anterior sobre producto cartesiano. Cada elemento se empareja consigo mismo.
¿Cuántas relaciones existen sobre un conjunto?
Como toda relación sobre \( A \) es un subconjunto de \( A^2 \), el número de relaciones posibles es el número de subconjuntos de \( A^2 \).
Recordatorio. Si un conjunto tiene \( m \) elementos, entonces tiene exactamente \( 2^m \) subconjuntos (Para mas detalles, ver el conjunto potencia en teoría de conjuntos). Como \( A^2 \) tiene \( n^2 \) elementos cuando \( n(A) = n \), aplicamos la fórmula con \( m = n^2 \):
Si \( n(A) = n \) entonces hay \( 2^{n^2} \) relaciones sobre \( A \).
Ejemplo. Si \( A = \{a, b\} \), entonces \( A^2 \) tiene \( 2^2 = 4 \) elementos, y existen \( 2^4 = 16 \) relaciones posibles sobre \( A \) — desde la relación vacía \( \emptyset \) hasta la relación universal \( A^2 \), pasando por todas las combinaciones intermedias.
Crecimiento explosivo. Para un conjunto con solo 3 elementos, hay \( 2^9 = 512 \) relaciones posibles. Con 4 elementos, ya son \( 2^{16} = 65,536 \). Esto muestra la enorme riqueza estructural que las relaciones aportan incluso a conjuntos pequeños.
Dominio y rango de una relación
Cuando definimos una relación \( R \) de \( A \) en \( B \), no todos los elementos de \( A \) necesariamente participan en la relación, ni todos los elementos de \( B \) son necesariamente alcanzados por algún elemento de \( A \). Para describir esta situación, definimos dos conjuntos fundamentales.
Conjunto de partida y conjunto de llegada
Dada una relación \( R: A \to B \) (es decir, \( R \subseteq A \times B \)):
- \( A \) se llama conjunto de partida (o conjunto inicial)
- \( B \) se llama conjunto de llegada (o conjunto final, o codominio)
Las primeras componentes de los pares \( (a, b) \in R \) provienen de \( A \), y las segundas provienen de \( B \).
Dominio
El dominio de una relación \( R \) de \( A \) en \( B \) es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a \( R \):
\[ \text{Dom}(R) = \{x \in A \mid \exists y \in B,\ (x, y) \in R\} \]
Es decir, \( x \in \text{Dom}(R) \) si y solo si existe al menos un \( y \in B \) tal que \( x \) está relacionado con \( y \).
En palabras simples: El dominio es el conjunto de elementos de \( A \) que participan en la relación, es decir, aquellos que aparecen como primera componente en al menos un par de \( R \).
Rango
El rango de una relación \( R \) de \( A \) en \( B \) es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a \( R \):
\[ \text{Ran}(R) = \{y \in B \mid \exists x \in A,\ (x, y) \in R\} \]
Es decir, \( y \in \text{Ran}(R) \) si y solo si existe al menos un \( x \in A \) que está relacionado con \( y \).
En palabras simples: El rango es el conjunto de elementos de \( B \) que son alcanzados por la relación, es decir, aquellos que aparecen como segunda componente en al menos un par de \( R \).
Nota importante. El dominio siempre es un subconjunto de \( A \) y el rango siempre es un subconjunto de \( B \), pero no necesariamente son iguales a \( A \) y \( B \):
\[ \text{Dom}(R) \subseteq A, \qquad \text{Ran}(R) \subseteq B \]
Ejemplo con conjuntos finitos
Sean \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( B = \{x, y, z\} \), con la relación:
\[ R = \{(1, y),\ (1, z),\ (3, y)\} \]
Del diagrama observamos que:
- \( \text{Dom}(R) = \{1, 3\} \) — los elementos de \( A \) que envían flechas
- \( \text{Ran}(R) = \{y, z\} \) — los elementos de \( B \) que reciben flechas
- El elemento \( 2 \in A \) no envía ninguna flecha: \( 2 \notin \text{Dom}(R) \)
- El elemento \( x \in B \) no recibe ninguna flecha: \( x \notin \text{Ran}(R) \)
Ejemplo con una condición algebraica
Sean \( A = \{1, 2, 5, 6\} \) y \( B = \{3, 5, 7, 9\} \). Definimos:
\[ R = \{(x, y) \in A \times B \mid x + y = 8\} \]
Para encontrar los pares, verificamos cuáles combinaciones suman 8:
| \( x \in A \) | \( y = 8 – x \) | \( y \in B \)? | Par |
|---|---|---|---|
| 1 | 7 | ✓ | (1, 7) |
| 2 | 6 | ✗ | — |
| 5 | 3 | ✓ | (5, 3) |
| 6 | 2 | ✗ | — |
\[ R = \{(1, 7),\ (5, 3)\} \]
- \( \text{Dom}(R) = \{1, 5\} \)
- \( \text{Ran}(R) = \{3, 7\} \)
Ejemplo con conjuntos infinitos
En el conjunto de los números naturales, definimos:
\[ R = \{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid 3x – 2y = 6\} \]
Despejando: \( y = \frac{3x – 6}{2} \). Para que \( y \in \mathbb{N} \), necesitamos que \( x \) sea par y \( x > 2 \). Así:
- \( x = 4 \implies y = 3 \)
- \( x = 6 \implies y = 6 \)
- \( x = 8 \implies y = 9 \)
- \( \ldots \)
- \( \text{Dom}(R) = \{4, 6, 8, 10, \ldots\} \)
- \( \text{Ran}(R) = \{3, 6, 9, 12, \ldots\} \)
Propiedades del dominio y rango
Sean \( R \) y \( S \) dos relaciones de \( A \) en \( B \). Se cumplen las siguientes propiedades:
| Propiedad | Dominio | Rango |
|---|---|---|
| Unión | \( \text{Dom}(R \cup S) = \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \) | \( \text{Ran}(R \cup S) = \text{Ran}(R) \cup \text{Ran}(S) \) |
| Intersección | \( \text{Dom}(R \cap S) \subseteq \text{Dom}(R) \cap \text{Dom}(S) \) | \( \text{Ran}(R \cap S) \subseteq \text{Ran}(R) \cap \text{Ran}(S) \) |
| Diferencia | \( \text{Dom}(R) – \text{Dom}(S) \subseteq \text{Dom}(R – S) \) | \( \text{Ran}(R) – \text{Ran}(S) \subseteq \text{Ran}(R – S) \) |
Observación. En la unión, las igualdades son exactas (\( = \)). Pero en la intersección y la diferencia, solo hay inclusión (\( \subseteq \)), no necesariamente igualdad. Esto se debe a que dos relaciones pueden compartir un dominio o rango sin compartir los mismos pares.
Demostración de la propiedad de unión del dominio
\( \text{Dom}(R \cup S) = \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \)
(a) \( \text{Dom}(R \cup S) \subseteq \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \):
- Sea \( x \in \text{Dom}(R \cup S) \) — hipótesis
- \( \implies \exists y \in B \) tal que \( (x, y) \in R \cup S \) — def. de dominio
- \( \implies [\exists y \in B,\ (x, y) \in R] \vee [\exists y \in B,\ (x, y) \in S] \) — def. de \( \cup \)
- \( \implies x \in \text{Dom}(R) \vee x \in \text{Dom}(S) \) — def. de dominio
- \( \implies x \in \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \) — def. de \( \cup \)
- \( \therefore \text{Dom}(R \cup S) \subseteq \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \) — de (1) y (5)
(b) \( \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \subseteq \text{Dom}(R \cup S) \):
- Sea \( x \in \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \) — hipótesis
- \( \implies x \in \text{Dom}(R) \vee x \in \text{Dom}(S) \) — def. de \( \cup \)
- \( \implies [\exists y \in B,\ (x, y) \in R] \vee [\exists y \in B,\ (x, y) \in S] \) — def. de dominio
- \( \implies \exists y \in B,\ (x, y) \in R \cup S \) — def. de \( \cup \)
- \( \implies x \in \text{Dom}(R \cup S) \) — def. de dominio
- \( \therefore \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \subseteq \text{Dom}(R \cup S) \) — de (1) y (5)
De (a) y (b): \( \text{Dom}(R \cup S) = \text{Dom}(R) \cup \text{Dom}(S) \). ∎
Demostración de la propiedad de intersección del dominio
\( \text{Dom}(R \cap S) \subseteq \text{Dom}(R) \cap \text{Dom}(S) \)
- Sea \( x \in \text{Dom}(R \cap S) \) — hipótesis
- \( \implies \exists y \in B \) tal que \( (x, y) \in R \cap S \) — def. de dominio
- \( \implies [\exists y \in B,\ (x, y) \in R] \wedge [\exists y \in B,\ (x, y) \in S] \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies x \in \text{Dom}(R) \wedge x \in \text{Dom}(S) \) — def. de dominio
- \( \implies x \in \text{Dom}(R) \cap \text{Dom}(S) \) — def. de \( \cap \)
- \( \therefore \text{Dom}(R \cap S) \subseteq \text{Dom}(R) \cap \text{Dom}(S) \) — de (1) y (5) ∎
¿Por qué solo \( \subseteq \) y no \( = \)? Porque dos relaciones pueden tener el mismo elemento \( x \) en sus dominios pero asociarlo con elementos \( y \) distintos, de modo que \( x \in \text{Dom}(R) \cap \text{Dom}(S) \) sin que \( x \in \text{Dom}(R \cap S) \). Por ejemplo: si \( R = \{(1, a)\} \) y \( S = \{(1, b)\} \), entonces \( \text{Dom}(R) \cap \text{Dom}(S) = \{1\} \), pero \( R \cap S = \emptyset \), así que \( \text{Dom}(R \cap S) = \emptyset \).
Nota. Las propiedades del rango se demuestran de manera análoga, intercambiando «primera componente» por «segunda componente».
Representaciones gráficas de una relación
Las relaciones binarias pueden visualizarse de varias formas. Cada representación resalta un aspecto diferente y resulta útil en distintos contextos.
Diagrama sagital (de flechas)
Se dibujan dos óvalos: uno para el conjunto \( A \) (partida) y otro para \( B \) (llegada). Luego se trazan flechas desde \( a \) hacia \( b \) para cada par \( (a, b) \in R \).
Ejemplo. Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{a, b, c\} \) y la relación:
\[ R = \{(1, a),\ (1, c),\ (2, b),\ (3, a),\ (3, b)\} \]
Observa que:
- El elemento \( 4 \in A \) no envía ninguna flecha — no participa en la relación.
- El elemento \( c \in B \) solo recibe una flecha (desde 1).
- Un mismo elemento puede enviar varias flechas (como el 1 y el 3).
Ventaja del diagrama sagital: Permite ver de inmediato el dominio (quiénes envían), el rango (quiénes reciben) y la «estructura» de las conexiones.
Matriz de la relación
Se construye una tabla rectangular donde las filas representan los elementos de \( A \) y las columnas los de \( B \). En cada celda se coloca un 1 si el par pertenece a la relación, o un 0 si no:
Usando la misma relación del ejemplo anterior:
| \( R \) | a | b | c |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 0 |
La fila del 1 tiene valores 1, 0, 1 — lo que indica que \( (1, a) \in R \) y \( (1, c) \in R \), pero \( (1, b) \notin R \).
Ventaja de la matriz: Es compacta y exhaustiva — muestra todas las combinaciones posibles a la vez. Además, prepara al estudiante para conceptos de álgebra lineal (matrices, operaciones matriciales).
Lectura rápida: El dominio corresponde a las filas que tienen al menos un 1. El rango corresponde a las columnas que tienen al menos un 1.
Grafo dirigido (relaciones homogéneas)
Cuando la relación es homogénea (\( R \subseteq A \times A \)), se usa una representación especial: un grafo dirigido. Se dibujan los elementos como puntos (nodos) y se traza una flecha de \( x \) a \( y \) si \( (x, y) \in R \).
Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y la relación:
\[ R = \{(1, 2),\ (2, 2),\ (2, 4),\ (3, 2),\ (3, 4),\ (4, 1),\ (4, 3)\} \]
Observa la flecha que va del 2 a sí mismo (el bucle) — esto indica que \( (2, 2) \in R \), es decir, el 2 está relacionado consigo mismo. Estos bucles serán importantes cuando estudiemos la propiedad reflexiva.
Ventaja del grafo dirigido: Permite visualizar las propiedades estructurales de la relación: ciclos, caminos, bucles. Es la representación estándar en teoría de grafos.
Representación en el plano cartesiano
Cuando \( A \) y \( B \) son subconjuntos de los números reales, los pares \( (a, b) \in R \) se representan como puntos en el plano cartesiano. Para conjuntos finitos se dibujan puntos aislados; para relaciones definidas por ecuaciones o inecuaciones, se grafican las regiones correspondientes.
Ejemplo con conjunto finito. La relación \( R = \{(1, 2),\ (2, 2),\ (2, 4),\ (3, 2),\ (3, 4),\ (4, 1),\ (4, 3)\} \) sobre \( A = \{1, 2, 3, 4\} \):
Cada punto naranja representa un par \( (x, y) \in R \). La línea punteada diagonal \( y = x \) sirve como referencia: los puntos sobre ella corresponderían a pares \( (a, a) \) — es decir, la relación identidad. En este caso, solo \( (2, 2) \) está sobre la diagonal.
Ventaja del plano cartesiano: Ideal para relaciones numéricas, especialmente las definidas por ecuaciones o inecuaciones (como \( y \leq 2x + 1 \)). Conecta directamente con la graficación de funciones que estudiaremos en próximas publicaciones.
Resumen de representaciones
| Representación | Mejor para… | Prepara para… |
|---|---|---|
| Diagrama sagital | Relaciones heterogéneas; visualizar dominio e imagen | Funciones, dominio/codominio |
| Matriz de la relación | Verificar exhaustividad; conjuntos finitos | Álgebra lineal, matrices |
| Grafo dirigido | Relaciones homogéneas; ver ciclos y bucles | Teoría de grafos, redes |
| Plano cartesiano | Relaciones numéricas; ecuaciones/inecuaciones | Graficación, cálculo |
Relación inversa
Definición
Dada una relación \( R \) de \( A \) en \( B \), la relación inversa (o recíproca) de \( R \), denotada \( R^{-1} \), es la relación de \( B \) en \( A \) que se obtiene al invertir el orden de cada par:
\[ R^{-1} = \{(y, x) \in B \times A \mid (x, y) \in R\} \]
Es decir:
\[ (y, x) \in R^{-1} \iff (x, y) \in R \]
En palabras simples: Si en la relación original \( R \) hay una flecha de \( x \) a \( y \), en la inversa \( R^{-1} \) hay una flecha de \( y \) a \( x \). Se «dan vuelta» todas las flechas.
Ejemplo
Sean \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{x, y, z\} \) y la relación:
\[ R = \{(1, y),\ (1, z),\ (3, y)\} \]
Invirtiendo cada par:
\[ R^{-1} = \{(y, 1),\ (z, 1),\ (y, 3)\} \]
Observa que \( R \) es una relación de \( A \) en \( B \), mientras que \( R^{-1} \) es una relación de \( B \) en \( A \) — los conjuntos de partida y llegada se intercambian.
Diagrama de la relación original \( R: A \to B \):
Diagrama de la relación inversa \( R^{-1}: B \to A \):
Dominio y rango de la inversa
Al invertir los pares, las primeras componentes pasan a ser segundas y viceversa. Por tanto:
\[ \text{Dom}(R^{-1}) = \text{Ran}(R) \] \[ \text{Ran}(R^{-1}) = \text{Dom}(R) \]
En el ejemplo anterior: \( \text{Dom}(R) = \{1, 3\} \) y \( \text{Ran}(R) = \{y, z\} \). Al invertir: \( \text{Dom}(R^{-1}) = \{y, z\} \) y \( \text{Ran}(R^{-1}) = \{1, 3\} \). ✓
La inversa de la inversa
Invertir dos veces devuelve la relación original:
\[ (R^{-1})^{-1} = R \]
¿Por qué? Si \( (x, y) \in R \), entonces \( (y, x) \in R^{-1} \), y al invertir de nuevo \( (x, y) \in (R^{-1})^{-1} \). Los pares vuelven a su estado original.
Simetría gráfica
Si \( R \) es una relación en \( \mathbb{R} \) (es decir, \( R \subseteq \mathbb{R}^2 \)), la gráfica de \( R^{-1} \) en el plano cartesiano es la reflexión de la gráfica de \( R \) respecto a la recta \( y = x \).
Esto ocurre porque si el punto \( (a, b) \) pertenece a \( R \), el punto \( (b, a) \) pertenece a \( R^{-1} \) — y el punto \( (b, a) \) es exactamente el reflejo de \( (a, b) \) respecto a la diagonal.
Ejemplo. Si \( R = \{(x, y) \mid y = 3x + 2\} \), entonces:
\[ R^{-1} = \{(x, y) \mid x = 3y + 2\} = \left\{(x, y) \mid y = \frac{x – 2}{3}\right\} \]
Algunos pares: \( (0, 2) \in R \iff (2, 0) \in R^{-1} \), \( (1, 5) \in R \iff (5, 1) \in R^{-1} \).
Gráficamente, ambas rectas son simétricas respecto a la recta \( y = x \):
Propiedades de la relación inversa
Sean \( R \subseteq A \times B \) y \( S \subseteq A \times B \) dos relaciones. Se cumplen:
| Propiedad | Enunciado |
|---|---|
| Unión | \( (R \cup S)^{-1} = R^{-1} \cup S^{-1} \) |
| Intersección | \( (R \cap S)^{-1} = R^{-1} \cap S^{-1} \) |
| Diferencia | \( (R – S)^{-1} = R^{-1} – S^{-1} \) |
Patrón: La operación de inversión «se distribuye» sobre las operaciones de conjuntos. Esto es posible porque invertir pares es una operación que actúa elemento a elemento.
Demostración de la propiedad de intersección
\( (R \cap S)^{-1} = R^{-1} \cap S^{-1} \)
(a) \( (R \cap S)^{-1} \subseteq R^{-1} \cap S^{-1} \):
- Sea \( (x, y) \in (R \cap S)^{-1} \) — hipótesis
- \( \implies (y, x) \in R \cap S \) — def. de relación inversa
- \( \implies (y, x) \in R \wedge (y, x) \in S \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies (x, y) \in R^{-1} \wedge (x, y) \in S^{-1} \) — def. de relación inversa
- \( \implies (x, y) \in R^{-1} \cap S^{-1} \) — def. de \( \cap \)
- \( \therefore (R \cap S)^{-1} \subseteq R^{-1} \cap S^{-1} \) — de (1) y (5)
(b) \( R^{-1} \cap S^{-1} \subseteq (R \cap S)^{-1} \):
- Sea \( (y, x) \in R^{-1} \cap S^{-1} \) — hipótesis
- \( \implies (y, x) \in R^{-1} \wedge (y, x) \in S^{-1} \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies (x, y) \in R \wedge (x, y) \in S \) — def. de relación inversa
- \( \implies (x, y) \in R \cap S \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies (y, x) \in (R \cap S)^{-1} \) — def. de relación inversa
- \( \therefore R^{-1} \cap S^{-1} \subseteq (R \cap S)^{-1} \) — de (1) y (5)
De (a) y (b): \( (R \cap S)^{-1} = R^{-1} \cap S^{-1} \). ∎
Nota. Las demostraciones de las propiedades de unión y diferencia siguen exactamente el mismo patrón: se aplica la definición de inversa (invertir pares), luego la definición de la operación de conjuntos, y se reconstruye.
Composición de relaciones
Cuando tenemos dos relaciones que se «encadenan» — la primera conecta \( A \) con \( B \) y la segunda conecta \( B \) con \( C \) — podemos combinarlas para obtener una relación directa de \( A \) a \( C \). Esta operación se llama composición.
Definición
Sean \( R \) una relación de \( A \) en \( B \) y \( S \) una relación de \( B \) en \( C \). La composición de \( R \) y \( S \), denotada \( S \circ R \), es la relación de \( A \) en \( C \) definida por:
\[ S \circ R = \{(x, z) \in A \times C \mid \exists y \in B,\ (x, y) \in R \wedge (y, z) \in S\} \]
Es decir:
\[ (x, z) \in S \circ R \iff \exists y \in B \text{ tal que } (x, y) \in R \text{ y } (y, z) \in S \]
En palabras simples: Un elemento \( x \in A \) está relacionado con \( z \in C \) mediante \( S \circ R \) si existe un «intermediario» \( y \in B \) que sirve de puente: \( x \) se conecta con \( y \) por \( R \), y \( y \) se conecta con \( z \) por \( S \).
Nota sobre la notación. \( S \circ R \) se lee «\( S \) compuesta con \( R \)» o «\( S \) tras \( R \)». Se aplica primero \( R \) y luego \( S \), aunque en la notación \( S \) aparece a la izquierda — es el mismo convenio que se usa en la composición de funciones.
Diagrama de la composición
La composición \( S \circ R \) «salta» directamente de \( A \) a \( C \), usando a \( B \) como intermediario.
Condición de existencia. La composición \( S \circ R \) es no vacía si y solo si \( \text{Ran}(R) \cap \text{Dom}(S) \neq \emptyset \). Es decir, debe haber al menos un elemento intermedio \( y \) que sea «alcanzado» por \( R \) y «usado» por \( S \).
Ejemplo
Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{a, b, c, d\} \), \( C = \{x, y, z\} \) y las relaciones:
\[ R = \{(1, a),\ (2, d),\ (3, a),\ (3, b),\ (3, d)\} \] \[ S = \{(b, x),\ (b, z),\ (c, y),\ (d, z)\} \]
Para encontrar \( S \circ R \), buscamos los «puentes» de \( B \) relacionados con \( A \) y \( C \):
| Par en \( R \) | Elementos de \( B \) | Pares en \( S \) con elementos de \( B \) | Par en \( S \circ R \) |
|---|---|---|---|
| \( (1, a) \) | \( a \) | Ninguno | — |
| \( (2, d) \) | \( d \) | \( (d, z) \) | \( (2, z) \) |
| \( (3, a) \) | \( a \) | Ninguno | — |
| \( (3, b) \) | \( b \) | \( (b, x),\ (b, z) \) | \( (3, x),\ (3, z) \) |
| \( (3, d) \) | \( d \) | \( (d, z) \) | \( (3, z) \) |
\[ S \circ R = \{(2, z),\ (3, x),\ (3, z)\} \]
Observa que \( (3, z) \) aparece por dos caminos en las dos últimas filas, pero como es un conjunto, solo se cuenta una vez.
No conmutatividad
La composición de relaciones no es conmutativa en general:
\[ S \circ R \neq R \circ S \]
De hecho, \( R \circ S \) puede ni siquiera estar definida si los conjuntos no encajan (\( R \) necesita que su entrada provenga del rango de \( S \)). Y cuando ambas composiciones existen, usualmente producen resultados diferentes.
Composición consigo misma
Si \( R \) es una relación homogénea (\( R \subseteq A \times A \)), la composición de \( R \) consigo misma siempre está definida. Se usa la notación:
- \( R^2 = R \circ R \)
- \( R^3 = R^2 \circ R = R \circ R \circ R \)
- \( \ldots \)
En general, \( R^n = R^{n-1} \circ R \) para todo \( n \geq 1 \).
Interpretación. \( (x, z) \in R^2 \) significa que existe un camino de longitud 2 de \( x \) a \( z \) — es decir, hay un intermediario \( y \) tal que \( xRy \) y \( yRz \). De manera general, \( (x, z) \in R^n \) significa que hay un camino de longitud \( n \) de \( x \) a \( z \).
Propiedades de la composición
| Propiedad | Enunciado |
|---|---|
| Asociatividad | \( (T \circ S) \circ R = T \circ (S \circ R) \) |
| No conmutatividad | \( S \circ R \neq R \circ S \) en general |
| Inversa de la composición | \( (S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1} \) |
Nota. La propiedad de la inversa de la composición invierte el orden — al igual que cuando nos quitamos zapatos y medias: primero nos pusimos las medias y luego los zapatos, pero para quitarlos, primero quitamos los zapatos y luego las medias.
Demostración de la asociatividad
\( (T \circ S) \circ R = T \circ (S \circ R) \)
Sean \( R \subseteq A \times B \), \( S \subseteq B \times C \) y \( T \subseteq C \times D \).
\( (x, u) \in (T \circ S) \circ R \)
\( \iff \exists y \in B \) tal que \( (x, y) \in R \wedge (y, u) \in T \circ S \)
\( \iff \exists y \in B \) tal que \( (x, y) \in R \wedge [\exists z \in C,\ (y, z) \in S \wedge (z, u) \in T] \)
\( \iff \exists y \in B,\ \exists z \in C \) tal que \( (x, y) \in R \wedge (y, z) \in S \wedge (z, u) \in T \)
\( \iff \exists z \in C \) tal que \( [\exists y \in B,\ (x, y) \in R \wedge (y, z) \in S] \wedge (z, u) \in T \)
\( \iff \exists z \in C \) tal que \( (x, z) \in S \circ R \wedge (z, u) \in T \)
\( \iff (x, u) \in T \circ (S \circ R) \)
Como cada paso es un bicondicional, la igualdad queda demostrada. ∎
Propiedades de las relaciones homogéneas
Las propiedades que estudiaremos a continuación solo aplican a relaciones homogéneas — es decir, relaciones \( R \subseteq A \times A \), donde un mismo conjunto actúa como partida y llegada. Estas propiedades describen la estructura interna de la relación y permiten clasificarla.
Propiedad reflexiva
Una relación \( R \) sobre \( A \) es reflexiva si todo elemento de \( A \) está relacionado consigo mismo:
\[ \forall a \in A: (a, a) \in R \]
Equivalentemente, \( R \) es reflexiva si y solo si la diagonal \( \Delta_A \) (ver en la sección de relaciones especiales más arriba) está contenida en \( R \):
\[ R \text{ es reflexiva} \iff \Delta_A \subseteq R \]
Visualmente: En la matriz de la relación, \( R \) es reflexiva cuando toda la diagonal principal tiene valores 1.
Ejemplo (reflexiva). Sea \( A = \{2, 3, 4\} \) y \( R = \{(2,2),\ (2,3),\ (3,3),\ (4,4)\} \).
Verificamos: \( (2,2) \in R \) ✓, \( (3,3) \in R \) ✓, \( (4,4) \in R \) ✓. Como todos los pares \( (a,a) \) están presentes, \( R \) es reflexiva.
Su matriz de relación:
| 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 1 |
La diagonal principal (en negrita) es toda de 1s — confirmando que \( R \) es reflexiva.
Ejemplo (no reflexiva). Sea \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( R = \{(1,1),\ (1,2),\ (2,3)\} \).
Verificamos la diagonal: \( (1,1) \in R \) ✓, pero \( (2,2) \notin R \) ✗. Ya con un solo par \( (a,a) \) faltante, \( R \) no es reflexiva.
Cuidado: «No reflexiva» no es lo mismo que «irreflexiva» que luego explicaremos en breve.
Ejemplos clásicos de relaciones reflexivas:
| Relación | Conjunto | ¿Reflexiva? | Justificación |
|---|---|---|---|
| \( \leq \) | \( \mathbb{Z} \) | ✓ | \( a \leq a \) para todo \( a \) |
| \( \subseteq \) | Conjuntos | ✓ | \( A \subseteq A \) para todo \( A \) |
| \( \mid \) (divide a) | \( \mathbb{N} \) | ✓ | \( n \mid n \) para todo \( n \) |
| \( = \) (igualdad) | Cualquiera | ✓ | \( a = a \) para todo \( a \) |
Propiedad irreflexiva
Una relación \( R \) sobre \( A \) es irreflexiva si ningún elemento de \( A \) está relacionado consigo mismo:
\[ \forall a \in A: (a, a) \notin R \]
Equivalentemente:
\[ R \text{ es irreflexiva} \iff R \cap \Delta_A = \emptyset \]
Visualmente: En la matriz de la relación, \( R \) es irreflexiva cuando toda la diagonal principal tiene valores 0.
Ejemplo. Sea \( A = \{a, b, c, d\} \) y \( R = \{(a, b),\ (b, c),\ (d, b)\} \).
Ningún par de la forma \( (x, x) \) pertenece a \( R \): \( (a,a) \notin R \), \( (b,b) \notin R \), \( (c,c) \notin R \), \( (d,d) \notin R \). Luego, \( R \) es irreflexiva.
Su matriz de relación:
| a | b | c | d | |
|---|---|---|---|---|
| a | 0 | 1 | 0 | 0 |
| b | 0 | 0 | 1 | 0 |
| c | 0 | 0 | 0 | 0 |
| d | 0 | 1 | 0 | 0 |
La diagonal principal (en negrita) es toda de 0s — confirmando que \( R \) es irreflexiva.
Ejemplos clásicos:
| Relación | Conjunto | ¿Irreflexiva? | Justificación |
|---|---|---|---|
| \( < \) (menor estricto) | \( \mathbb{Z} \) | ✓ | \( a \not< a \) |
| \( \perp \) (perpendicular) | Rectas | ✓ | Ninguna recta es perpendicular a sí misma |
| \( \neq \) (desigualdad) | Cualquiera | ✓ | \( a \neq a \) es falso |
Reflexiva, no reflexiva e irreflexiva
Es fundamental distinguir estos tres conceptos:
| Concepto | Condición sobre los pares \( (a,a) \) | Definición |
|---|---|---|
| Reflexiva | Todos \( (a,a) \in R \) | \( \forall a \in A: (a,a) \in R \) |
| No reflexiva | Al menos uno \( (a,a) \notin R \) | \( \exists a \in A: (a,a) \notin R \) |
| Irreflexiva | Ningún \( (a,a) \in R \) | \( \forall a \in A: (a,a) \notin R \) |
La clave: «No reflexiva» es simplemente la negación de reflexiva — basta con que falte un solo par \( (a,a) \). «Irreflexiva» es una condición más fuerte: exige que no haya ningún par \( (a,a) \) en \( R \). Toda relación irreflexiva es no reflexiva, pero no toda relación no reflexiva es irreflexiva.
Ejemplo comparativo. Sea \( A = \{1, 2, 3\} \):
| Relación | \( (1,1) \) | \( (2,2) \) | \( (3,3) \) | Clasificación |
|---|---|---|---|---|
| \( R_1 = \{(1,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (1,2)\} \) | ✓ | ✓ | ✓ | Reflexiva |
| \( R_2 = \{(1,1),\ (1,2),\ (2,3)\} \) | ✓ | ✗ | ✗ | No reflexiva (pero no irreflexiva) |
| \( R_3 = \{(1,2),\ (2,3),\ (3,1)\} \) | ✗ | ✗ | ✗ | Irreflexiva (y también no reflexiva) |
Propiedad simétrica
Una relación \( R \) sobre \( A \) es simétrica si cada vez que \( a \) está relacionado con \( b \), también \( b \) está relacionado con \( a \):
\[ \forall a, b \in A: (a, b) \in R \implies (b, a) \in R \]
Equivalentemente:
\[ R \text{ es simétrica} \iff R = R^{-1} \]
Visualmente: En la matriz de la relación, \( R \) es simétrica cuando la matriz es simétrica respecto a la diagonal — es decir, \( M_{ij} = M_{ji} \) para todo \( i, j \). (Notación: \( M_{ij} \) indica el valor en la fila \( i \) y la columna \( j \) de la matriz.)
Ejemplo (simétrica). Sea \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) y \( R = \{(1,1),\ (1,2),\ (2,1),\ (3,4),\ (4,3)\} \).
Verificamos: \( (1,2) \in R \) y \( (2,1) \in R \) ✓; \( (3,4) \in R \) y \( (4,3) \in R \) ✓; \( (1,1) \in R \) es su propio simétrico ✓. \( R \) es simétrica.
Su matriz de relación:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Observa que la matriz es un «espejo» respecto a la diagonal: cada 1 fuera de la diagonal tiene su 1 reflejado.
Ejemplo (no simétrica). Sea \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( R = \{(1,2),\ (3,2),\ (2,3)\} \).
Verificamos: \( (3,2) \in R \) y \( (2,3) \in R \) ✓, pero \( (1,2) \in R \) y \( (2,1) \notin R \) ✗. Basta con un solo par sin su «espejo» para que \( R \) no sea simétrica.
Ejemplos clásicos:
| Relación | ¿Simétrica? | Justificación |
|---|---|---|
| «es hermano de» | ✓ | Si \( x \) es hermano de \( y \), entonces \( y \) es hermano de \( x \) |
| \( \perp \) (perpendicular) | ✓ | Si \( L_1 \perp L_2 \), entonces \( L_2 \perp L_1 \) |
| \( = \) (igualdad) | ✓ | Si \( a = b \), entonces \( b = a \) |
| \( \leq \) | ✗ | \( 3 \leq 5 \), pero \( 5 \not\leq 3 \) |
Propiedad antisimétrica
Una relación \( R \) sobre \( A \) es antisimétrica si cada vez que \( a \) está relacionado con \( b \) y \( b \) está relacionado con \( a \), entonces \( a \) y \( b \) son el mismo elemento:
\[ \forall a, b \in A: [(a, b) \in R \wedge (b, a) \in R] \implies a = b \]
Dicho de otra forma: si \( a \neq b \) y \( (a, b) \in R \), entonces \( (b, a) \notin R \). No puede haber flechas «de ida y vuelta» entre elementos distintos.
Equivalentemente, usando la relación inversa:
\[ R \text{ es antisimétrica} \iff R \cap R^{-1} \subseteq \Delta_A \]
Visualmente: En la matriz de la relación, si hay un 1 en la posición \( (i, j) \) con \( i \neq j \), entonces la posición \( (j, i) \) tiene un 0. Los únicos 1 que pueden coincidir en posiciones «espejo» están en la diagonal.
Ejemplo. Sea \( A = \{a, b, c\} \) y \( R = \{(a,a),\ (a,b),\ (b,c),\ (b,b)\} \).
Calculamos: \( R^{-1} = \{(a,a),\ (b,a),\ (c,b),\ (b,b)\} \). \( R \cap R^{-1} = \{(a,a),\ (b,b)\} \subseteq \Delta_A \). Luego, \( R \) es antisimétrica. ✓
Su matriz de relación:
| a | b | c | |
|---|---|---|---|
| a | 1 | 1 | 0 |
| b | 0 | 1 | 1 |
| c | 0 | 0 | 0 |
Observa: donde hay un 1 fuera de la diagonal (posición \( (a,b) \) y \( (b,c) \)), sus posiciones espejo \( (b,a) \) y \( (c,b) \) son 0. ✓
Ejemplos clásicos:
| Relación | ¿Antisimétrica? | Justificación |
|---|---|---|
| \( \leq \) | ✓ | Si \( a \leq b \) y \( b \leq a \), entonces \( a = b \) |
| \( \subseteq \) | ✓ | Si \( A \subseteq B \) y \( B \subseteq A \), entonces \( A = B \) |
| \( \mid \) (divide a) en \( \mathbb{N} \) | ✓ | Si \( m \mid n \) y \( n \mid m \), entonces \( m = n \) |
| \( < \) | ✓ | Nunca se tiene \( a < b \) y \( b < a \) a la vez |
Simétrica, no simétrica y antisimétrica
Así como «no reflexiva» es la negación de «reflexiva» (y no debe confundirse con «irreflexiva»), aquí ocurre algo similar:
| Concepto | Condición | Definición |
|---|---|---|
| Simétrica | Si \( (a,b) \in R \), siempre \( (b,a) \in R \) | \( R = R^{-1} \) |
| No simétrica | Existe al menos un par donde \( (a,b) \in R \) pero \( (b,a) \notin R \) | \( R \neq R^{-1} \) |
| Antisimétrica | Si \( (a,b) \in R \) y \( (b,a) \in R \), entonces \( a = b \) | \( R \cap R^{-1} \subseteq \Delta_A \) |
La clave: «No simétrica» es la negación de simétrica — basta un par sin espejo. «Antisimétrica» es un concepto independiente: exige que los únicos pares con espejo sean los de la diagonal. Una relación puede ser simétrica y antisimétrica a la vez (si solo tiene pares diagonales), o no ser ninguna de las dos.
Ejemplo comparativo. Sea \( A = \{1, 2, 3\} \):
| Relación | Clasificación |
|---|---|
| \( R_1 = \{(1,2),\ (2,1),\ (2,3),\ (3,2)\} \) | Simétrica (todo par tiene espejo) |
| \( R_2 = \{(1,2),\ (2,3)\} \) | No simétrica y antisimétrica |
| \( R_3 = \{(1,1),\ (2,2)\} \) | Simétrica y antisimétrica (solo diagonal) |
| \( R_4 = \{(1,2),\ (2,1),\ (2,3)\} \) | No simétrica y no antisimétrica |
Propiedad transitiva
Una relación \( R \) sobre \( A \) es transitiva si cada vez que \( a \) está relacionado con \( b \) y \( b \) está relacionado con \( c \), entonces \( a \) está relacionado con \( c \):
\[ \forall a, b, c \in A: [(a, b) \in R \wedge (b, c) \in R] \implies (a, c) \in R \]
Equivalentemente, en términos de composición:
\[ R \text{ es transitiva} \iff R \circ R \subseteq R \]
Visualmente: En la matriz de la relación, \( R \) es transitiva cuando para cada par de 1s en posiciones \( (i, j) \) y \( (j, k) \), también hay un 1 en la posición \( (i, k) \). Es decir, \( R \circ R \) no introduce nuevos pares que no estén ya en \( R \).
Ejemplo (transitiva). Sea \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( R = \{(1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (2,2),\ (2,3),\ (3,3)\} \).
Verificamos las cadenas:
- \( (1,1) \wedge (1,2) \implies (1,2) \) ✓
- \( (1,2) \wedge (2,3) \implies (1,3) \) ✓
- \( (2,2) \wedge (2,3) \implies (2,3) \) ✓
- Todas las demás combinaciones también se cumplen.
\( R \) es transitiva. ✓
Su matriz de relación:
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 1 |
Observa: esta es la relación \( \leq \) sobre \( \{1,2,3\} \). La forma «triangular superior» (todos 1s sobre y en la diagonal, todos 0s debajo) es típica de relaciones de orden transitivas.
Ejemplo (no transitiva). Sea \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y:
\[ R = \{(1,1),\ (1,2),\ (2,2),\ (3,1),\ (4,1),\ (4,2),\ (4,3)\} \]
Verificamos las cadenas:
- \( (1,1) \wedge (1,2) \implies (1,2) \) ✓ (ya está en \( R \))
- \( (1,2) \wedge (2,2) \implies (1,2) \) ✓
- \( (3,1) \wedge (1,1) \implies (3,1) \) ✓
- \( (3,1) \wedge (1,2) \implies (3,2) \) ✗ — \( (3,2) \notin R \)
Como \( (3,2) \notin R \), la relación no es transitiva.
Ejemplos clásicos:
| Relación | ¿Transitiva? | Justificación |
|---|---|---|
| \( \leq \) | ✓ | \( a \leq b \wedge b \leq c \implies a \leq c \) |
| \( \subseteq \) | ✓ | \( A \subseteq B \wedge B \subseteq C \implies A \subseteq C \) |
| \( \mid \) (divide a) | ✓ | \( m \mid n \wedge n \mid k \implies m \mid k \) |
| \( \perp \) | ✗ | \( a \perp b \wedge b \perp c \) no implica \( a \perp c \) |
| \( \parallel \) | ✗ | \( a \parallel b \wedge b \parallel c \) no implica \( a \parallel c \) (pueden ser la misma recta) |
Propiedad intransitiva
Una relación \( R \) sobre \( A \) es intransitiva si nunca se cumple la cadena transitiva — es decir, cada vez que \( a \) está relacionado con \( b \) y \( b \) está relacionado con \( c \), entonces \( a \) no está relacionado con \( c \):
\[ \forall a, b, c \in A: [(a, b) \in R \wedge (b, c) \in R] \implies (a, c) \notin R \]
Equivalentemente:
\[ R \text{ es intransitiva} \iff R \circ R \cap R = \emptyset \]
Visualmente: En la matriz de la relación, \( R \) es intransitiva cuando para cada par de 1s en posiciones \( (i, j) \) y \( (j, k) \), la posición \( (i, k) \) siempre tiene un 0.
Ejemplo (intransitiva). Sea \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( R = \{(1, 2),\ (2, 3),\ (3, 1)\} \).
Verificamos todas las cadenas:
- \( (1,2) \wedge (2,3) \implies (1,3) \notin R \) ✓
- \( (2,3) \wedge (3,1) \implies (2,1) \notin R \) ✓
- \( (3,1) \wedge (1,2) \implies (3,2) \notin R \) ✓
Ninguna cadena produce un par que esté en \( R \). Luego, \( R \) es intransitiva. ✓
Su matriz de relación:
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 0 |
Observa: es una relación «cíclica» (1→2→3→1) donde cada cadena de longitud 2 lleva a una posición que tiene 0.
Ejemplos clásicos:
| Relación | ¿Intransitiva? | Justificación |
|---|---|---|
| «es padre de» | ✓ | Si \( a \) es padre de \( b \) y \( b \) es padre de \( c \), entonces \( a \) no es padre de \( c \) (es abuelo) |
| «derrota a» (en partidas) | ✓ | Si \( A \) derrota a \( B \) y \( B \) derrota a \( C \), \( A \) no necesariamente derrota a \( C \) (en un enfrentamiento directo) |
Transitiva, no transitiva e intransitiva
Siguiendo el mismo patrón que con las propiedades anteriores:
| Concepto | Condición sobre las cadenas \( aRb \wedge bRc \) | Definición |
|---|---|---|
| Transitiva | Siempre implica \( (a,c) \in R \) | \( R \circ R \subseteq R \) |
| No transitiva | Al menos una cadena donde \( (a,c) \notin R \) | \( R \circ R \not\subseteq R \) |
| Intransitiva | Siempre implica \( (a,c) \notin R \) | \( R \circ R \cap R = \emptyset \) |
La clave: «No transitiva» es la negación de transitiva — basta una sola cadena sin atajo. «Intransitiva» es una condición más fuerte: exige que ninguna cadena tenga atajo. Toda relación intransitiva es no transitiva, pero no toda relación no transitiva es intransitiva.
Ejemplo comparativo. Sea \( A = \{1, 2, 3\} \):
| Relación | Clasificación |
|---|---|
| \( R_1 = \{(1,2),\ (2,3),\ (1,3)\} \) | Transitiva (la cadena 1→2→3 tiene su atajo 1→3) |
| \( R_2 = \{(1,2),\ (2,3),\ (3,1)\} \) | Intransitiva (ninguna cadena tiene atajo) |
| \( R_3 = \{(1,2),\ (2,3),\ (1,3),\ (3,1)\} \) | No transitiva (la cadena 3→1→2 necesita (3,2) pero falta), y tampoco intransitiva (la cadena 1→2→3 sí tiene atajo 1→3) |
Propiedad conexa (o total)
Una relación \( R \) sobre \( A \) es conexa (o total) si para cualesquiera dos elementos de \( A \), al menos uno está relacionado con el otro:
\[ \forall a, b \in A: (a, b) \in R \vee (b, a) \in R \]
En palabras simples: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto, siempre puedes compararlos — nunca te quedarás sin saber cuál se relaciona con cuál. Es como una competencia donde todos los participantes se han enfrentado al menos una vez.
Ejemplo (conexa). La relación \( \leq \) sobre los números enteros es conexa: si tomas dos números cualesquiera, digamos 3 y 7, siempre puedes decir que \( 3 \leq 7 \). No existen dos números que no puedas comparar con \( \leq \).
Ejemplo (no conexa). Sea \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( R = \{(1,1),\ (1,2),\ (2,2),\ (3,3)\} \). ¿Qué pasa con los elementos 2 y 3? Ni \( (2,3) \in R \) ni \( (3,2) \in R \) — no son comparables. Luego, \( R \) no es conexa.
Resumen de propiedades
| Propiedad | Definición formal | Interpretación (en la matriz) |
|---|---|---|
| Reflexiva | \( \forall a: (a,a) \in R \) | Toda la diagonal principal es 1 |
| No reflexiva | \( \exists a: (a,a) \notin R \) | Al menos un 0 en la diagonal |
| Irreflexiva | \( \forall a: (a,a) \notin R \) | Toda la diagonal principal es 0 |
| Simétrica | \( (a,b) \in R \implies (b,a) \in R \) | \( M_{ij} = M_{ji} \) (matriz espejo) |
| No simétrica | \( \exists (a,b) \in R: (b,a) \notin R \) | Al menos un par sin espejo |
| Antisimétrica | \( (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \implies a = b \) | Fuera de la diagonal, no hay 1s en espejo |
| Transitiva | \( (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \implies (a,c) \in R \) | Si \( M_{ij}=1 \) y \( M_{jk}=1 \), entonces \( M_{ik}=1 \) |
| No transitiva | \( \exists \) cadena sin atajo | Al menos una cadena donde \( M_{ik}=0 \) |
| Intransitiva | \( (a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \implies (a,c) \notin R \) | Si \( M_{ij}=1 \) y \( M_{jk}=1 \), entonces \( M_{ik}=0 \) |
| Conexa | \( \forall a,b: (a,b) \in R \vee (b,a) \in R \) | Todo par de elementos es comparable |
Clases de relaciones
Combinando las propiedades estudiadas, surgen tipos especiales de relaciones que aparecen constantemente en matemáticas. Cada clase se define por la combinación específica de propiedades que satisface.
Visión general
| Clase | Reflexiva | Simétrica | Antisimétrica | Transitiva | Conexa |
|---|---|---|---|---|---|
| Relación reflexiva | ✓ | ||||
| Relación simétrica | ✓ | ||||
| Relación transitiva | ✓ | ||||
| Dependencia | ✓ | ✓ | |||
| Preorden | ✓ | ✓ | |||
| Equivalencia | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| Orden parcial | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| Orden total | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
Relación reflexiva
Una relación \( R \) sobre \( A \) es una relación reflexiva si cumple únicamente la propiedad reflexiva:
\[ \forall a \in A: (a,a) \in R \]
Es la clase más elemental — solo exige que cada elemento esté relacionado consigo mismo. No impone restricciones sobre cómo se relacionan elementos distintos entre sí.
Ejemplo. Sea \( A = \{a, b, c, d\} \) y la relación:
\[ R = \{(a,a),\ (a,b),\ (b,b),\ (b,c),\ (c,c),\ (d,b),\ (d,d)\} \]
Los pares \( (a,a),\ (b,b),\ (c,c),\ (d,d) \) están todos en \( R \), por lo tanto \( R \) es reflexiva. Los pares adicionales \( (a,b),\ (b,c),\ (d,b) \) no afectan la reflexividad — pueden existir o no.
¿Por qué es importante? La relación reflexiva es el punto de partida para todas las clases más elaboradas. Observa que en la tabla anterior, las clases de preorden, equivalencia y orden exigen reflexividad. A partir de una relación reflexiva, se agregan propiedades adicionales para obtener esas clases.
Relación simétrica
Una relación \( R \) sobre \( A \) es una relación simétrica si cumple únicamente la propiedad simétrica:
\[ \forall a, b \in A: (a,b) \in R \implies (b,a) \in R \]
Equivalentemente: \( R = R^{-1} \). Si un par está en la relación, su «espejo» también lo está.
Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3\} \) y la relación:
\[ R = \{(1,2),\ (2,1),\ (2,3),\ (3,2)\} \]
Cada par tiene su espejo: \( (1,2) \leftrightarrow (2,1) \) y \( (2,3) \leftrightarrow (3,2) \). Luego, \( R \) es simétrica.
Nota. Una relación simétrica por sí sola no exige reflexividad ni transitividad. Cuando una relación simétrica es además reflexiva y transitiva, se convierte en una relación de equivalencia.
Relación transitiva
Una relación \( R \) sobre \( A \) es una relación transitiva si cumple únicamente la propiedad transitiva:
\[ \forall a, b, c \in A: [(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R] \implies (a,c) \in R \]
Equivalentemente: \( R \circ R \subseteq R \). Toda cadena de dos pasos tiene su «atajo» directo.
Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3\} \) y la relación:
\[ R = \{(1,2),\ (2,3),\ (1,3)\} \]
La única cadena es \( (1,2) \wedge (2,3) \), y el atajo \( (1,3) \) está presente. Luego, \( R \) es transitiva.
Nota. Una relación transitiva por sí sola no exige reflexividad ni simetría. Cuando una relación transitiva es además reflexiva, se convierte en un preorden.
Relación de dependencia
Una relación \( R \) sobre \( A \) es una relación de dependencia (también llamada relación de tolerancia) si es reflexiva y simétrica:
\[ \begin{cases} \forall a \in A: & (a,a) \in R \\\ \forall a,b \in A: & (a,b) \in R \implies (b,a) \in R \end{cases} \]
Cada elemento se relaciona consigo mismo, y si \( a \) depende de \( b \), entonces \( b \) depende de \( a \). No exige transitividad.
Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y la relación:
\[ R = \{(1,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (4,4),\ (1,2),\ (2,1),\ (2,3),\ (3,2)\} \]
Verificamos:
- Reflexiva: \( (1,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (4,4) \in R \) ✓
- Simétrica: \( (1,2) \leftrightarrow (2,1) \) ✓ y \( (2,3) \leftrightarrow (3,2) \) ✓
- ¿Transitiva? \( (1,2) \wedge (2,3) \implies (1,3) \), pero \( (1,3) \notin R \) ✗
Luego, \( R \) es de dependencia (reflexiva y simétrica), pero no es de equivalencia porque le falta transitividad.
Conexión. Si a una relación de dependencia le agregamos la propiedad transitiva, se convierte en una relación de equivalencia.
Preorden
Una relación \( R \) sobre \( A \) es un preorden si es reflexiva y transitiva:
\[ \begin{cases} \forall a \in A: & (a,a) \in R \\\ \forall a,b,c \in A: & [(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R] \implies (a,c) \in R \end{cases} \]
El preorden es la clase más general de las que estudiaremos — solo exige que cada elemento se relacione consigo mismo y que la relación sea «encadenable».
Ejemplo. Sea \( \mathbb{Z} \) el conjunto de los enteros y la relación \( R \) definida por «\( x \) divide a \( y \)» (donde \( x \neq 0 \)). Esta relación es reflexiva (\( n \mid n \)) y transitiva (\( m \mid n \wedge n \mid k \implies m \mid k \)), así que es un preorden.
Nota. Todo preorden que además sea simétrico es una relación de equivalencia, y todo preorden que además sea antisimétrico es un orden parcial.
Relación de equivalencia
Una relación \( R \) sobre \( A \) es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:
\[ \begin{cases} \text{Reflexiva:} & \forall a \in A:\ (a,a) \in R \\\ \text{Simétrica:} & \forall a,b \in A:\ (a,b) \in R \implies (b,a) \in R \\\ \text{Transitiva:} & \forall a,b,c \in A:\ [(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R] \implies (a,c) \in R \end{cases} \]
Intuición. Una relación de equivalencia agrupa los elementos de \( A \) en «familias» de elementos que se consideran «iguales» bajo cierto criterio. Dentro de cada familia, todos están relacionados entre sí.
Ejemplo 1. Sea \( A = \{1, 3, 5\} \) y \( R = \{(1,1),\ (3,3),\ (5,5),\ (1,3),\ (3,1)\} \).
- Reflexiva: \( (1,1),\ (3,3),\ (5,5) \in R \) ✓
- Simétrica: \( (1,3) \in R \) y \( (3,1) \in R \) ✓
- Transitiva: \( (1,3) \wedge (3,1) \implies (1,1) \) ✓; \( (3,1) \wedge (1,3) \implies (3,3) \) ✓
\( R \) es una relación de equivalencia. ✓
Ejemplo 2. La igualdad \( = \) es la relación de equivalencia más básica:
- \( a = a \) ✓ (reflexiva)
- \( a = b \implies b = a \) ✓ (simétrica)
- \( a = b \wedge b = c \implies a = c \) ✓ (transitiva)
Ejemplo 3. Congruencia modular. En los enteros, la relación «\( a \) es congruente con \( b \) módulo \( n \)» (es decir, \( n \mid (a – b) \)) es una relación de equivalencia:
\[ a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a – b) \]
- Reflexiva: \( a – a = 0 \) y \( n \mid 0 \) ✓
- Simétrica: si \( n \mid (a-b) \), entonces \( n \mid (b-a) \) ✓
- Transitiva: si \( n \mid (a-b) \) y \( n \mid (b-c) \), sumando: \( n \mid (a-c) \) ✓
Ejemplo 4. Otras relaciones de equivalencia conocidas:
| Relación | Conjunto | Criterio de «igualdad» |
|---|---|---|
| Paralelismo (\( \parallel \)) | Rectas del plano | Misma dirección |
| Congruencia (\( \cong \)) | Figuras geométricas | Misma forma y tamaño |
| Igualdad de conjuntos | Conjuntos | Mismos elementos |
| Paridad | \( \mathbb{Z} \) | Mismo resto al dividir por 2 |
Adelanto. Las relaciones de equivalencia tienen consecuencias profundas: dividen al conjunto \( A \) en subconjuntos disjuntos llamados clases de equivalencia, que a su vez forman una partición de \( A \). Estos conceptos los desarrollaremos en detalle en la próxima publicación.
Relación de orden parcial
Una relación \( R \) sobre \( A \) es una relación de orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva:
\[ \begin{cases} \text{Reflexiva:} & \forall a \in A:\ (a,a) \in R \\\ \text{Antisimétrica:} & \forall a,b \in A:\ [(a,b) \in R \wedge (b,a) \in R] \implies a = b \\\ \text{Transitiva:} & \forall a,b,c \in A:\ [(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R] \implies (a,c) \in R \end{cases} \]
El par \( (A, R) \) se denomina conjunto parcialmente ordenado (o poset, del inglés partially ordered set).
Se llama «parcial» porque no todos los elementos son necesariamente comparables entre sí — pueden existir pares \( a, b \) donde ni \( aRb \) ni \( bRa \).
Diferencia clave con equivalencia: La equivalencia agrupa elementos «iguales» (simétrica). El orden los jerarquiza (antisimétrica). Ambas requieren reflexividad y transitividad, pero difieren en la tercera propiedad.
Ejemplo 1. La relación \( \leq \) sobre \( \mathbb{Z} \):
- Reflexiva: \( a \leq a \) ✓
- Antisimétrica: \( a \leq b \wedge b \leq a \implies a = b \) ✓
- Transitiva: \( a \leq b \wedge b \leq c \implies a \leq c \) ✓
\( (\mathbb{Z}, \leq) \) es un conjunto parcialmente ordenado.
Ejemplo 2. La relación \( \subseteq \) sobre el conjunto potencia \( \mathcal{P}(A) \):
- Reflexiva: \( X \subseteq X \) ✓
- Antisimétrica: \( X \subseteq Y \wedge Y \subseteq X \implies X = Y \) ✓
- Transitiva: \( X \subseteq Y \wedge Y \subseteq Z \implies X \subseteq Z \) ✓
\( (\mathcal{P}(A), \subseteq) \) es un poset. Pero no es un orden total, porque hay conjuntos no comparables: \( \{a\} \not\subseteq \{b\} \) y \( \{b\} \not\subseteq \{a\} \).
Relación de orden total
Una relación \( R \) sobre \( A \) es una relación de orden total si es un orden parcial que además es conexo:
\[ \text{Orden total} = \text{Orden parcial} + \text{Conexidad} \]
Es decir, es reflexiva, antisimétrica, transitiva y, además, cualesquiera dos elementos son comparables:
\[ \forall a, b \in A: (a, b) \in R \vee (b, a) \in R \]
El par \( (A, R) \) se llama conjunto totalmente ordenado (o cadena).
Ejemplo. \( (\mathbb{Z}, \leq) \) es un orden total: dados dos enteros cualesquiera, siempre podemos compararlos con \( \leq \).
Contraejemplo. \( (\mathcal{P}(A), \subseteq) \) es un orden parcial pero no total: existen conjuntos no comparables.
Nota. Un orden total es simplemente un orden parcial «sin huecos»: no hay elementos que se escapen de la comparación. Todos los números reales con \( \leq \) forman un orden total, pero los conjuntos con \( \subseteq \) solo forman un orden parcial.
Resumen comparativo
| Clase | Propiedades | Ejemplo clásico | Efecto sobre \( A \) |
|---|---|---|---|
| Relación reflexiva | Reflexiva | Igualdad (\( = \)) | Cada elemento se relaciona consigo mismo |
| Relación simétrica | Simétrica | «es hermano de» | Los pares siempre vienen en espejo |
| Relación transitiva | Transitiva | \( \leq \) | Las cadenas tienen atajos |
| Dependencia | Reflexiva + Simétrica | «es vecino de» | Relación mutua sin encadenamiento |
| Preorden | Reflexiva + Transitiva | Divisibilidad en \( \mathbb{Z} \) | Relación de «precedencia» |
| Equivalencia | Reflexiva + Simétrica + Transitiva | Congruencia módulo \( n \) | Agrupa en clases |
| Orden parcial | Reflexiva + Antisimétrica + Transitiva | \( \subseteq \) en \( \mathcal{P}(A) \) | Jerarquiza (parcialmente) |
| Orden total | Orden parcial + Conexa | \( \leq \) en \( \mathbb{R} \) | Jerarquiza (completamente) |
Correspondencias: el puente hacia las funciones
Hasta ahora hemos estudiado las relaciones homogéneas (sobre un mismo conjunto) y sus propiedades. Pero las relaciones heterogéneas — es decir, relaciones \( R \subseteq A \times B \) con \( A \neq B \) — también tienen una clasificación propia, basada en cómo se distribuyen las flechas entre los dos conjuntos.
Las cuatro condiciones
Dada una relación \( R: A \to B \), se analizan cuatro condiciones independientes:
| Condición | Nombre | Descripción |
|---|---|---|
| e.i. | Existencia de imagen | Todo elemento de \( A \) tiene al menos una imagen en \( B \) |
| u.i. | Unicidad de imagen | Todo elemento de \( A \) tiene a lo sumo una imagen en \( B \) |
| e.o. | Existencia de origen | Todo elemento de \( B \) tiene al menos un origen en \( A \) |
| u.o. | Unicidad de origen | Todo elemento de \( B \) tiene a lo sumo un origen en \( A \) |
Formalmente:
\[ \text{e.i.} \quad \forall a \in A,\ \exists b \in B: (a, b) \in R \] \[ \text{u.i.} \quad \forall a \in A: [(a, b_1) \in R \wedge (a, b_2) \in R] \implies b_1 = b_2 \] \[ \text{e.o.} \quad \forall b \in B,\ \exists a \in A: (a, b) \in R \] \[ \text{u.o.} \quad \forall b \in B: [(a_1, b) \in R \wedge (a_2, b) \in R] \implies a_1 = a_2 \]
Aclaración de terminología. En un par \( (a, b) \in R \), el origen es la componente inicial \( a \) y la imagen es la componente final \( b \). Es análogo al dominio y rango de las relaciones homogéneas: las condiciones de imagen (e.i. y u.i.) verifican el conjunto de partida \( A \), y las de origen (e.o. y u.o.) verifican el conjunto de llegada \( B \).
Tipos de correspondencia
La combinación de estas condiciones define distintos tipos:
| Tipo | e.i. | u.i. | e.o. | u.o. | Descripción |
|---|---|---|---|---|---|
| Correspondencia | Cualquier relación heterogénea | ||||
| Aplicación (función) | ✓ | ✓ | Cada elemento de \( A \) tiene exactamente una imagen | ||
| Inyectiva | ✓ | ✓ | ✓ | Función donde distintos orígenes dan distintas imágenes | |
| Sobreyectiva | ✓ | ✓ | ✓ | Función donde todo \( B \) es alcanzado | |
| Biyectiva | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | Función inyectiva y sobreyectiva |
Nota importante. El tipo más relevante para el curso es la función (o aplicación), que combina existencia y unicidad de imagen: a cada \( a \in A \) le corresponde exactamente un \( b \in B \). Las funciones son, posiblemente, el concepto más importante de toda la matemática moderna.
Adelanto. No desarrollaremos las correspondencias ni las funciones aquí. Estas merecen su propia publicación dedicada, donde las estudiaremos con la profundidad que requieren: definición formal, clasificación completa (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva), composición de funciones, funciones inversas, y mucho más.
Resumen del capítulo
Partimos del producto cartesiano — el universo de todas las combinaciones — y definimos las relaciones binarias como subconjuntos que «filtran» las conexiones interesantes. A lo largo de esta publicación:
- Definimos la relación binaria y su notación (\( aRb \), \( (a,b) \in R \))
- Establecimos el dominio y rango como los conjuntos «activos» de la relación
- Visualizamos relaciones con diagramas sagitales, matrices, grafos dirigidos y el plano cartesiano
- Construimos la relación inversa \( R^{-1} \) y la composición \( S \circ R \)
- Analizamos las propiedades fundamentales: reflexiva, irreflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, intransitiva y conexa — distinguiendo en cada caso la propiedad, su negación y su versión estricta
- Clasificamos las relaciones en 8 clases: reflexiva, simétrica, transitiva, dependencia, preorden, equivalencia, orden parcial y orden total
- Introdujimos las correspondencias como puente hacia las funciones
Con estas herramientas, tenemos la base completa para estudiar en profundidad las relaciones de equivalencia y, posteriormente, las funciones.
¿Qué viene próximamente?
Con las relaciones binarias dominadas, estamos listos para abordar los siguientes temas en las próximas publicaciones:
- Relaciones de equivalencia y particiones — Profundizaremos en cómo las relaciones de equivalencia dividen un conjunto en clases disjuntas, el teorema fundamental que conecta equivalencias con particiones, y ejemplos detallados como la aritmética modular y el conjunto cociente.
- Correspondencia matemática — Desarrollaremos en detalle las cuatro condiciones (existencia/unicidad de imagen y origen) que aquí solo introdujimos, con ejemplos completos y diagramas sagitales para cada tipo de correspondencia.
- Funciones — Estudiaremos la función como un tipo especial de correspondencia, con su clasificación completa (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva), composición, inversas y sus aplicaciones.
¡Nos vemos en la siguiente publicación!