Tabla de contenido
En una publicación anterior estudiamos los conjuntos: aprendimos a definirlos, relacionarlos mediante la inclusión y la igualdad, y a operar con ellos (unión, intersección, diferencia, complemento). Ahora, antes de poder abordar temas como las relaciones y las funciones en futuras publicaciones, necesitamos construir dos herramientas previas e indispensables: los pares ordenados y el producto cartesiano.
¿Por qué? Porque los conjuntos, por sí solos, no pueden manejar un concepto fundamental: el orden.
¿Por qué los conjuntos no son suficientes?
Recordemos que un conjunto está determinado únicamente por sus elementos, sin importar el orden en que se escriban ni cuántas veces se listen. Esta es una consecuencia directa del Axioma de Extensionalidad:
\[ \{3, 5\} = \{5, 3\} \]
Axioma de Extensionalidad. Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos. No importa el orden en que se escriban ni cuántas veces se repitan: \( \{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\} = \{1, 1, 2, 3\} \). Lo único que define a un conjunto es qué elementos contiene.
Esto es una fortaleza cuando solo nos interesa saber qué elementos hay, pero se convierte en una limitación seria cuando el orden importa.
Ejemplo. Considera estas situaciones cotidianas:
| Situación | Par 1 | Par 2 | ¿Son lo mismo? |
|---|---|---|---|
| Coordenadas en un mapa | (latitud, longitud) | (longitud, latitud) | ✗ — te llevan a lugares distintos |
| Temperatura (mín, máx) | (5°C, 30°C) = «de 5 a 30 grados» | (30°C, 5°C) = «de 30 a 5 grados» | ✗ — describe rangos distintos |
| Relación familiar | (Juan, María) = «Juan es hijo de María» | (María, Juan) = «María es hija de Juan» | ✗ — relaciones distintas |
En todos estos casos, intercambiar el orden cambia el significado. Pero si usamos conjuntos ordinarios:
\[ \{\text{Juan}, \text{María}\} = \{\text{María}, \text{Juan}\} \]
¡El conjunto no distingue quién va primero! Necesitamos una estructura matemática donde el orden sea parte esencial de la identidad del objeto. Esa estructura es el par ordenado.
Par ordenado
Concepto intuitivo
Un par ordenado es una agrupación de dos elementos donde se distingue cuál es el primero y cuál es el segundo. Se denota con paréntesis:
\[ (a, b) \]
donde:
- \( a \) es la primera componente (o primera coordenada)
- \( b \) es la segunda componente (o segunda coordenada)
Diferencia clave con los conjuntos:
Conjunto \( \{a, b\} \) Par ordenado \( (a, b) \) ¿Importa el orden? No: \( \{a, b\} = \{b, a\} \) Sí: \( (a, b) \neq (b, a) \) (si \( a \neq b \)) ¿Se repiten elementos? No: \( \{a, a\} = \{a\} \) Sí es válido: \( (a, a) \) tiene dos componentes Notación Llaves \( \{\ \} \) Paréntesis \( (\ ) \)
Ejemplos:
- \( (2, 5) \) — primera componente: 2, segunda componente: 5.
- \( (5, 2) \) — primera componente: 5, segunda componente: 2.
- \( (2, 5) \neq (5, 2) \) porque las componentes no coinciden en la misma posición.
- \( (3, 3) \) — ambas componentes son iguales, pero el par sigue teniendo dos «posiciones».
- \( ((1, 3), 4) \) — un par ordenado cuya primera componente es otro par ordenado \( (1, 3) \) y cuya segunda componente es \( 4 \).
Propiedad fundamental (igualdad de pares ordenados)
La característica que define al par ordenado es su criterio de igualdad:
Definición. Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales:
\[ (a, b) = (c, d) \iff a = c \wedge b = d \]
Es decir, para que dos pares sean iguales, ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente: la primera componente del uno debe ser igual a la primera del otro, y la segunda del uno debe ser igual a la segunda del otro.
Conexión con la lógica: Observa que la igualdad de pares usa una conjunción (\( \wedge \)): se necesitan las dos igualdades a la vez. Si falla cualquiera de ellas, los pares son distintos.
Ejemplo 1. Determinar los valores de \( x \) e \( y \) tales que:
\[ (x + 1,\ y – 2) = (3,\ 7) \]
Por la propiedad fundamental:
\[ (x + 1,\ y – 2) = (3,\ 7) \iff \begin{cases} x + 1 = 3 \\ y – 2 = 7 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 \\ y = 9 \end{cases} \]
Ejemplo 2. Determinar \( x \) e \( y \) tales que:
\[ (x^2,\ 9y – 1) = (6y – x,\ x^3) \]
Aplicando la propiedad fundamental:
\[ x^2 = 6y – x \implies x^2 + x = 6y \implies x(x + 1) = 6y \quad \text{…(1)} \]
\[ 9y – 1 = x^3 \implies x^3 + 1 = 9y \implies (x+1)(x^2 – x + 1) = 9y \quad \text{…(2)} \]
Dividiendo (1) entre (2): \( \dfrac{x}{x^2 – x + 1} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \)
\[ 3x = 2(x^2 – x + 1) \implies 2x^2 – 5x + 2 = 0 \implies x_1 = 2 \text{ o } x_2 = \tfrac{1}{2} \]
Sustituyendo en (1): \( y_1 = 1 \) o \( y_2 = \tfrac{1}{8} \)
\[ \therefore S = \{(2, 1),\ (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{8})\} \]
Definición formal: la construcción de Kuratowski
Hasta aquí hemos usado el par ordenado de manera intuitiva. Pero en la teoría axiomática de conjuntos (ZFC), los únicos objetos que existen son los conjuntos. La pregunta es: ¿Cómo construir algo donde «el orden importa» usando solo conjuntos, donde el orden es irrelevante?
Nota. ZFC (Zermelo-Fraenkel con Axioma de Elección) es la teoría formal de conjuntos que, mediante sus 9 axiomas, corrige las paradojas de la teoría de conjuntos elemental (como la paradoja de Russell) que solo mencionamos sin desarrollar, junto con sus 9 axiomas en la publicación de origen de la teoría de conjuntos. Dentro de ZFC, todo concepto matemático — incluido el par ordenado — debe construirse exclusivamente a partir de conjuntos y la relación de pertenencia (\( \in \)).
En 1921, el matemático polaco Kazimierz Kuratowski propuso una solución elegante:
Definición de Kuratowski. El par ordenado \( (a, b) \) se define como:
\[ (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} \]
A primera vista parece artificial, pero la idea es ingeniosa: el elemento \( a \) aparece en ambos subconjuntos (en \( \{a\} \) y en \( \{a, b\} \)), mientras que \( b \) solo aparece en el subconjunto de mayor cardinalidad (\( \{a, b\} \), cuando \( a \neq b \)). Esta asimetría interna codifica el orden.
Ejemplo. Si \( a = 1 \) y \( b = 2 \):
\[ (1, 2) = \{\{1\}, \{1, 2\}\} \] \[ (2, 1) = \{\{2\}, \{2, 1\}\} = \{\{2\}, \{1, 2\}\} \]
Claramente \( \{\{1\}, \{1, 2\}\} \neq \{\{2\}, \{1, 2\}\} \) porque \( \{1\} \neq \{2\} \). ✓
Nota histórica. Antes de Kuratowski, otros matemáticos propusieron definiciones alternativas:
Autor Año Definición Observación Norbert Wiener 1914 \( (a,b) = \{\{\{a\}, \emptyset\}, \{\{b\}\}\} \) Correcta pero compleja Felix Hausdorff 1914 \( (a,b) = \{\{a, 1\}, \{b, 2\}\} \) Requiere definir 1 y 2 antes — riesgo de circularidad Kuratowski 1921 \( (a,b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} \) Estándar actual — elegante y mínima La de Kuratowski se impuso por su simplicidad: solo usa el Axioma del Par y no necesita conceptos previos como números naturales.
Existencia del par ordenado en ZFC
¿Por qué podemos estar seguros de que \( \{\{a\}, \{a, b\}\} \) es un conjunto legítimo? Porque su existencia se deduce directamente de los axiomas de ZFC:
- Axioma del Par (primer uso): Este axioma dice que dados dos objetos cualesquiera, existe el conjunto que los contiene a ambos. Aplicándolo a \( a \) y \( a \), obtenemos \( \{a, a\} = \{a\} \) (un conjunto unitario, con un solo elemento). Aplicándolo a \( a \) y \( b \), obtenemos \( \{a, b\} \) (el par no ordenado).
- Axioma del Par (segundo uso): Ahora aplicamos el mismo axioma a los conjuntos que acabamos de crear: tomamos \( \{a\} \) y \( \{a, b\} \) como los dos objetos, y el axioma garantiza que existe \( \{\{a\}, \{a, b\}\} \) — que es precisamente el par ordenado de Kuratowski.
Además, podemos ubicar el par ordenado dentro de la jerarquía de conjuntos. La idea es la siguiente:
- Como \( a \in A \) y \( b \in B \), ambos pertenecen a \( A \cup B \).
- Entonces los conjuntos \( \{a\} \) y \( \{a, b\} \) son subconjuntos de \( A \cup B \).
- Si son subconjuntos de \( A \cup B \), son elementos de su conjunto potencia: \( \{a\} \in \mathcal{P}(A \cup B) \) y \( \{a, b\} \in \mathcal{P}(A \cup B) \).
- Por tanto, el par \( (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\} \), que es un conjunto cuyos elementos viven en \( \mathcal{P}(A \cup B) \), es a su vez un subconjunto de \( \mathcal{P}(A \cup B) \), y por tanto un elemento de \( \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) \).
En resumen:
\[ (a, b) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) \]
Ejemplo concreto. Si \( A = \{1\} \) y \( B = \{2\} \):
- \( A \cup B = \{1, 2\} \)
- \( \mathcal{P}(A \cup B) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} \)
- Observa que \( \{1\} \) y \( \{1, 2\} \) están ahí dentro ✓
- \( (1, 2) = \{\{1\}, \{1, 2\}\} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) \) ✓
Esto confirma que el par ordenado es un conjunto legítimo dentro de la jerarquía de ZFC.
Recordatorio. \( \mathcal{P}(X) \) es el conjunto potencia de \( X \): el conjunto de todos los subconjuntos de \( X \). Si necesitas repasar este concepto, consulta la publicación sobre familias de conjuntos.
Demostración de la propiedad fundamental usando Kuratowski
La verdadera prueba de que la definición de Kuratowski funciona es que permite demostrar la propiedad fundamental \( (a, b) = (c, d) \iff a = c \wedge b = d \). La dirección más importante — y la que justifica toda la construcción — es demostrar que si dos pares de Kuratowski son iguales, entonces sus componentes coinciden.
Dirección \( (\Rightarrow) \): Supongamos que \( (a, b) = (c, d) \). Esto significa, por la definición de Kuratowski:
\[ \{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\} \]
Debemos demostrar que \( a = c \) y \( b = d \). Analizamos dos casos posibles:
Caso 1: \( a = b \). Entonces \( \{a, b\} = \{a, a\} = \{a\} \), así que el lado izquierdo se simplifica:
\[ \{\{a\}, \{a\}\} = \{\{a\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\} \]
Para que un conjunto con un solo elemento sea igual a otro, el otro también debe tener exactamente un elemento. Esto fuerza que \( \{c\} = \{c, d\} \), lo cual solo ocurre si \( c = d \). Además, como \( \{a\} = \{c\} \), concluimos \( a = c \). Y por transitividad: \( b = a = c = d \). ✓
Caso 2: \( a \neq b \). Entonces \( \{a\} \) tiene un elemento y \( \{a, b\} \) tiene dos, por lo que \( \{a\} \neq \{a, b\} \). El lado izquierdo tiene dos elementos distintos. Razonamos así:
- \( \{a\} \) es elemento de \( \{\{c\}, \{c, d\}\} \), así que \( \{a\} = \{c\} \) o \( \{a\} = \{c, d\} \).
- Si \( \{a\} = \{c, d\} \), entonces \( c = d = a \), y el lado derecho se reduce a \( \{\{a\}\} \) (un solo elemento), pero el lado izquierdo tiene dos elementos distintos — contradicción.
- Por tanto, debe ser \( \{a\} = \{c\} \), lo que da \( a = c \).
- Queda \( \{a, b\} = \{c, d\} = \{a, d\} \). Como \( b \neq a \), el elemento distinto de \( a \) en ambos conjuntos debe coincidir: \( b = d \). ✓
En ambos casos concluimos: \( a = c \wedge b = d \). ∎
Dirección \( (\Leftarrow) \): Esta dirección es inmediata. Si \( a = c \) y \( b = d \), basta sustituir para ver que \( \{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\} \), es decir, \( (a, b) = (c, d) \). ✓
Reflexión. En la práctica matemática cotidiana, nadie piensa en un par ordenado como \( \{\{a\}, \{a, b\}\} \). Usamos \( (a, b) \) de manera intuitiva. La definición de Kuratowski es un fundamento técnico que garantiza que el concepto es consistente dentro de ZFC — un «truco de construcción» que, una vez verificado, podemos olvidar y trabajar directamente con la propiedad fundamental.
Producto cartesiano
Los pares ordenados tienen muchas utilidades y una de ellas es representar todo tipo de gráficos en planos cartesianos. Ahora estamos listos para construir un concepto muy importante: el producto cartesiano. Esta operación toma dos conjuntos y genera un nuevo conjunto formado por todas las combinaciones posibles de pares ordenados entre ellos.
Definición
Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), el producto cartesiano de \( A \) por \( B \) es el conjunto de todos los pares ordenados \( (a, b) \) tales que \( a \in A \) y \( b \in B \):
\[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\} \]
Se lee «\( A \) cruz \( B \)» o «\( A \) por \( B \)».
Es decir \( (a, b) \in A \times B \) si y solo si \( a \in A \) y \(b \in B \)
En caso contrario \( (a, b) \notin A \times B \) si y solo si \( a \notin A \) o \(b \notin B \)
Conexión con la lógica: Observa que la pertenencia al producto cartesiano usa una conjunción «y»: ambas coordenadas deben cumplir su condición. Por el contrario, la negación, se convierte en una disyunción «o»: basta que una coordenada falle.
¿Es legítimo \( A \times B \) como conjunto en ZFC? Sí. La idea es que ya demostramos que cada par \( (a, b) \) vive dentro de \( \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) \). Entonces, \( A \times B \) se obtiene filtrando de ese gran conjunto solo los elementos que realmente son pares ordenados con \( a \in A \) y \( b \in B \). Este «filtrado» es exactamente lo que permite el Axioma de Separación (o Axioma de Comprensión Restringida):
Nota. El Axioma de Separación dice que, dado un conjunto \( C \) ya existente y una propiedad \( P(x) \), podemos formar el subconjunto de los elementos de \( C \) que cumplen \( P \). A diferencia de la comprensión ingenua (que causó la paradoja de Russell), aquí siempre partimos de un conjunto preexistente — nunca «del universo entero».
Aplicando este axioma con \( C = \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) \) y la propiedad «ser un par \( (a, b) \) con \( a \in A \) y \( b \in B \)»:
\[ A \times B = \{x \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A \cup B)) \mid \exists, a \in A,\ \exists, b \in B : x = (a, b)\} \]
Es decir, \( A \times B \) no se crea «de la nada» — se extrae como subconjunto de un conjunto que ya sabemos que existe.
Cuando \( A = B \), el producto \( A \times A \) se abrevia como \( A^2 \).
Ejemplos
Ejemplo 1. Sean \( A = \{1, 2\} \) y \( B = \{a, b, c\} \). Hallar \( A \times B \) y \( B \times A \).
\[ A \times B = \{(1, a),\ (1, b),\ (1, c),\ (2, a),\ (2, b),\ (2, c)\} \] \[ B \times A = \{(a, 1),\ (a, 2),\ (b, 1),\ (b, 2),\ (c, 1),\ (c, 2)\} \]
Observa que \( A \times B \neq B \times A \): los pares \( (1, a) \) y \( (a, 1) \) son objetos distintos.
Ejemplo 2. Sean \( A = \{-1, 0, 1\} \) y \( B = \{1, 2\} \). Hallar \( (A – B) \times (A \cap B) \).
Primero calculamos: \( A – B = \{-1, 0\} \) y \( A \cap B = \{1\} \).
\[ (A – B) \times (A \cap B) = \{-1, 0\} \times \{1\} = \{(-1, 1),\ (0, 1)\} \]
Cardinalidad del producto cartesiano
Para conjuntos finitos, el número de elementos del producto cartesiano es simplemente el producto de los números de elementos de cada conjunto:
\[ n(A \times B) = n(A) \cdot n(B) \]
¿Por qué? Para cada uno de los \( n(A) \) elementos posibles de la primera componente, hay \( n(B) \) opciones para la segunda. Por el principio multiplicativo de la combinatoria, el total es \( n(A) \cdot n(B) \).
Ejemplo. Si \( A = \{1, 2\} \) y \( B = \{a, b, c\} \):
\[ n(A \times B) = 2 \cdot 3 = 6 \quad \checkmark \]
Nota sobre conjuntos infinitos. La cardinalidad del producto de conjuntos infinitos tiene comportamientos sorprendentes. Por ejemplo, \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) tiene la misma cardinalidad que \( \mathbb{N} \) (ambos son numerables: \( \aleph_0 \)), y \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) tiene la misma cardinalidad que \( \mathbb{R} \). ¡El «plano» tiene la misma cantidad de puntos que la «recta»!
Representaciones graficas del producto cartesiano
Existen cuatro formas principales de visualizar un producto cartesiano. Cada una resalta un aspecto diferente.
Diagrama de árbol
El diagrama de árbol muestra el producto cartesiano como un proceso de ramificación: desde cada elemento del primer conjunto, se trazan ramas hacia todos los elementos del segundo.
Ejemplo. \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{a, b, c\} \):
Ventaja pedagógica: El diagrama de árbol hace evidente por qué \( n(A \times B) = n(A) \cdot n(B) \): cada rama del primer nivel genera tantas sub-ramas como elementos tiene \( B \).
Tabla de doble entrada
Organizamos los elementos de \( A \) en las filas y los de \( B \) en las columnas. Cada celda contiene el par ordenado correspondiente:
| \( A \times B \) | a | b | c |
|---|---|---|---|
| 1 | \( (1, a) \) | \( (1, b) \) | \( (1, c) \) |
| 2 | \( (2, a) \) | \( (2, b) \) | \( (2, c) \) |
Ventaja pedagógica: La tabla es exhaustiva — no permite olvidar ningún par. Además, prepara al estudiante para el concepto de matriz, fundamental en el álgebra lineal.
Diagrama sagital (de flechas)
Se dibujan dos óvalos (como en un diagrama de Venn): uno para \( A \) y otro para \( B \). Luego se trazan flechas desde cada elemento de \( A \) hacia cada elemento de \( B \):
En el producto cartesiano completo, cada elemento de \( A \) envía una flecha a todos los elementos de \( B \). Cuando estudiemos las relaciones binarias, veremos que una relación es un subconjunto de estas flechas — no necesariamente todas.
Ventaja pedagógica: El diagrama sagital prepara directamente para entender las funciones y las relaciones: los conceptos de dominio, codominio e imagen se visualizan de forma natural.
Representación en el plano cartesiano
Cuando \( A \) y \( B \) son subconjuntos de los números reales, el producto cartesiano se puede representar como puntos en un plano. Los elementos de \( A \) se ubican en el eje horizontal (abscisas) y los de \( B \) en el eje vertical (ordenadas).
Ejemplo. Si \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{1, 2\} \), entonces \( A \times B \) genera 8 puntos en el plano, ya que \( n(A \times B) = 4 \times 2 = 8 \).
El plano cartesiano \( \mathbb{R}^2 \). Cuando \( A = B = \mathbb{R} \) (los números reales), el producto \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \) produce el plano cartesiano completo — el espacio bidimensional donde se grafican funciones, ecuaciones y figuras geométricas. René Descartes (siglo XVII) fue quien unificó la geometría con el álgebra usando esta representación, y por eso el producto lleva su nombre: cartesiano.
Resumen de representaciones
| Representación | Mejor para… | Prepara para… |
|---|---|---|
| Diagrama de árbol | Ver la lógica combinatoria (ramificaciones) | Principio multiplicativo, probabilidad |
| Tabla de doble entrada | Asegurar exhaustividad (no olvidar pares) | Matrices, álgebra lineal |
| Diagrama sagital | Visualizar conexiones entre conjuntos | Relaciones, funciones, dominio/imagen |
| Plano cartesiano | Conjuntos numéricos, geometría | Graficación de funciones, cálculo |
Diagonal de un conjunto
Dado un conjunto \( A \), la diagonal de \( A \times A \) es el subconjunto formado por los pares cuyas dos componentes son iguales:
\[ D(A) = \{(a, b) \in A \times A \mid a = b\} = \{(a, a) \mid a \in A\} \]
Ejemplo. Si \( A = \{1, 2, 3\} \):
\[ A^2 = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\} \] \[ D(A) = \{(1,1), (2,2), (3,3)\} \]
Se le llama «diagonal» porque, al representar estos pares en el plano cartesiano, los puntos de \( D(A) \) forman una línea oblicua a 45 grados que cruza el plano de esquina a esquina — como la diagonal de un cuadrado.
Propiedades del producto cartesiano
El producto cartesiano comparte el símbolo «\( \times \)» con la multiplicación de números, pero su comportamiento algebraico es muy distinto. En esta sección estudiaremos las propiedades que cumple — y las que no cumple.
No conmutatividad
A diferencia de la multiplicación de números (\( 3 \times 5 = 5 \times 3 \)), el producto cartesiano no es conmutativo:
\[ A \neq B \implies A \times B \neq B \times A \]
¿Por qué? Porque los pares ordenados de \( A \times B \) tienen la forma \( (a, b) \), mientras que los de \( B \times A \) tienen la forma \( (b, a) \). Como \( (a, b) \neq (b, a) \) cuando \( a \neq b \), los conjuntos son distintos.
Excepciones. La igualdad \( A \times B = B \times A \) solo se cumple en dos casos:
- \( A = B \) (trivialmente, es el mismo producto)
- \( A = \emptyset \) o \( B = \emptyset \) (ambos lados dan \( \emptyset \))
El conjunto vacío como elemento absorbente
El conjunto vacío «absorbe» cualquier producto cartesiano:
\[ A \times \emptyset = \emptyset \times A = \emptyset \]
Demostración. Para que exista un par \( (a, b) \in A \times \emptyset \), necesitamos que se cumplan ambas condiciones: \( a \in A \) y \( b \in \emptyset \). Pero el conjunto vacío no tiene elementos, así que tal \( b \) no existe. Sin importar que \( a \in A \), no hay ningún \( b \) disponible para formar el par. Luego el producto es vacío. ∎
Analogía. Si tienes un guardarropa con 5 camisas pero 0 pantalones, puedes armar \( 5 \times 0 = 0 \) combinaciones de atuendo. No importa cuántas camisas tengas: sin pantalones, no hay combinación posible.
Propiedades distributivas
El producto cartesiano se distribuye sobre la unión, la intersección y la diferencia. Estas propiedades son herramientas fundamentales para manipular expresiones con productos cartesianos.
| Operación | Propiedad distributiva |
|---|---|
| Unión | \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \) |
| Intersección | \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \) |
| Diferencia | \( A \times (B – C) = (A \times B) – (A \times C) \) |
Estas propiedades también se cumplen distribuyendo por la izquierda:
\[ (A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C) \] \[ (A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C) \] \[ (A – B) \times C = (A \times C) – (B \times C) \]
En las siguientes demostraciones de estas propiedades, haremos uso de las propiedades de la lógica proposicional ya estudiadas en una publicación anterior.
Demostración de la distributividad sobre la unión
\( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \)
Como toda igualdad de conjuntos, se demuestra por doble inclusión.
(a) \( A \times (B \cup C) \subseteq (A \times B) \cup (A \times C) \):
- Sea \( (x, y) \in A \times (B \cup C) \) — hipótesis
- \( \implies x \in A \wedge y \in (B \cup C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \implies x \in A \wedge (y \in B \vee y \in C) \) — def. de \( \cup \)
- \( \implies (x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in A \wedge y \in C) \) — distributividad de \( \wedge \) sobre \( \vee \)
- \( \implies (x, y) \in (A \times B) \vee (x, y) \in (A \times C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \implies (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times C) \) — def. de \( \cup \)
- \( \therefore A \times (B \cup C) \subseteq (A \times B) \cup (A \times C) \) — de (1) y (6)
(b) \( (A \times B) \cup (A \times C) \subseteq A \times (B \cup C) \):
- Sea \( (x, y) \in (A \times B) \cup (A \times C) \) — hipótesis
- \( \implies (x, y) \in (A \times B) \vee (x, y) \in (A \times C) \) — def. de \( \cup \)
- \( \implies (x \in A \wedge y \in B) \vee (x \in A \wedge y \in C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \implies x \in A \wedge (y \in B \vee y \in C) \) — factorización de \( \wedge \) sobre \( \vee \)
- \( \implies x \in A \wedge y \in (B \cup C) \) — def. de \( \cup \)
- \( \implies (x, y) \in A \times (B \cup C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \therefore (A \times B) \cup (A \times C) \subseteq A \times (B \cup C) \) — de (1) y (6)
De (a) y (b): \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \). ∎
Demostración de la distributividad sobre la intersección
\( (A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C) \)
(a) \( (A \cap B) \times C \subseteq (A \times C) \cap (B \times C) \):
- Sea \( (x, y) \in (A \cap B) \times C \) — hipótesis
- \( \implies x \in (A \cap B) \wedge y \in C \) — def. de producto cartesiano
- \( \implies (x \in A \wedge x \in B) \wedge y \in C \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies (x \in A \wedge y \in C) \wedge (x \in B \wedge y \in C) \) — reagrupando (\( \wedge \) es asociativa y conmutativa)
- \( \implies (x, y) \in (A \times C) \wedge (x, y) \in (B \times C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \implies (x, y) \in (A \times C) \cap (B \times C) \) — def. de \( \cap \)
- \( \therefore (A \cap B) \times C \subseteq (A \times C) \cap (B \times C) \) — de (1) y (6)
(b) \( (A \times C) \cap (B \times C) \subseteq (A \cap B) \times C \):
- Sea \( (x, y) \in (A \times C) \cap (B \times C) \) — hipótesis
- \( \implies (x, y) \in (A \times C) \wedge (x, y) \in (B \times C) \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies (x \in A \wedge y \in C) \wedge (x \in B \wedge y \in C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \implies (x \in A \wedge x \in B) \wedge y \in C \) — reagrupando
- \( \implies x \in (A \cap B) \wedge y \in C \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies (x, y) \in (A \cap B) \times C \) — def. de producto cartesiano
- \( \therefore (A \times C) \cap (B \times C) \subseteq (A \cap B) \times C \) — de (1) y (6)
De (a) y (b): \( (A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C) \). ∎
Demostración de la distributividad sobre la diferencia
\( A \times (B – C) = (A \times B) – (A \times C) \)
- \( (x, y) \in A \times (B – C) \)
- \( \iff x \in A \wedge y \in (B – C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \iff x \in A \wedge (y \in B \wedge y \notin C) \) — def. de diferencia
- \( \iff (x \in A \wedge y \in B) \wedge (y \notin C) \) — reagrupando
- \( \iff (x \in A \wedge y \in B) \wedge \neg(x \in A \wedge y \in C) \) — pues \( x \in A \) ya se cumple; \( y \notin C \) niega la segunda condición
- \( \iff (x, y) \in (A \times B) \wedge (x, y) \notin (A \times C) \) — def. de producto cartesiano
- \( \iff (x, y) \in (A \times B) – (A \times C) \) — def. de diferencia
Cada paso es un bicondicional (\( \iff \)), por lo que la igualdad queda demostrada. ∎
Observación. Las demostraciones de las propiedades distributivas siguen siempre el mismo patrón:
- Expandir la definición de producto cartesiano
- Aplicar la definición de la operación de conjuntos (\( \cup \), \( \cap \), \( – \))
- Usar las leyes lógicas (distributividad, De Morgan, etc.)
- Reconstruir la definición de producto cartesiano
No asociatividad
El producto cartesiano no es asociativo en sentido estricto:
\[ (A \times B) \times C \neq A \times (B \times C) \]
¿Por qué? Porque los elementos de cada lado tienen estructura diferente:
| Producto | Forma de los elementos | Ejemplo con \( a \in A, b \in B, c \in C \) |
|---|---|---|
| \( (A \times B) \times C \) | \( ((a, b), c) \) | \( ((1, 2), 3) \) |
| \( A \times (B \times C) \) | \( (a, (b, c)) \) | \( (1, (2, 3)) \) |
El par \( ((1, 2), 3) \) es un par cuya primera componente es otro par, mientras que \( (1, (2, 3)) \) tiene como segunda componente un par. Son objetos distintos.
En la práctica. Aunque formalmente \( (A \times B) \times C \neq A \times (B \times C) \), existe una correspondencia natural (biyección) entre ambos conjuntos:
\[ ((a, b), c) \longleftrightarrow (a, (b, c)) \longleftrightarrow (a, b, c) \]
Por eso, en la práctica, omitimos los paréntesis internos y escribimos simplemente \( A \times B \times C \) con elementos \( (a, b, c) \), llamados ternas ordenadas.
Monotonía (preservación de la inclusión)
Si un conjunto está contenido en otro, el producto cartesiano preserva esa relación:
\[ A \subseteq B \implies A \times C \subseteq B \times C \]
Demostración.
- Supongamos que \( A \subseteq B \), es decir: \( \forall x [x \in A \implies x \in B] \) — hipótesis
- Sea \( (x, y) \in A \times C \) — hip. auxiliar
- \( \implies x \in A \wedge y \in C \) — def. de producto cartesiano
- \( \implies x \in B \wedge y \in C \) — de (1) y (3), pues \( x \in A \implies x \in B \)
- \( \implies (x, y) \in B \times C \) — def. de producto cartesiano
- \( \therefore A \times C \subseteq B \times C \) — de (2) y (5) ∎
Generalización. Si \( A \subseteq C \) y \( B \subseteq D \), entonces \( A \times B \subseteq C \times D \).
Otras propiedades notables
| Propiedad | Enunciado |
|---|---|
| Cancelación | \( A \times C = B \times C \) y \( C \neq \emptyset \implies A = B \) |
| Intersección cruzada | \( (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) \) |
| Unión cruzada (inclusión) | \( (A \times B) \cup (C \times D) \subseteq (A \cup C) \times (B \cup D) \) |
| Complemento (inclusión) | \( A’ \times B’ \subseteq (A \times B)’ \) |
Nota. En la unión cruzada, la inclusión es estricta (\( \subseteq \), no \( = \)). El lado derecho contiene pares «mixtos» como \( (a, d) \) con \( a \in A \) y \( d \in D \), que no necesariamente pertenecen a \( A \times B \) ni a \( C \times D \).
Resumen de propiedades
| Propiedad | ¿Se cumple en el producto cartesiano? |
|---|---|
| Conmutatividad | ✗ (salvo \( A = B \) o vacío) |
| Asociatividad | ✗ (salvo isomorfismo) |
| Elemento absorbente (\( \emptyset \)) | ✓ |
| Distributividad sobre \( \cup \) | ✓ |
| Distributividad sobre \( \cap \) | ✓ |
| Distributividad sobre \( – \) | ✓ |
| Monotonía (\( \subseteq \)) | ✓ |
Generalización: n-tuplas y productos n-arios
El par ordenado captura la idea de «dos elementos en un orden definido». Pero muchas situaciones requieren secuencias de tres, cuatro o más elementos con orden:
- Un punto en el espacio: \( (x, y, z) \) — terna ordenada
- Un registro en una base de datos: (nombre, edad, ciudad, email) — 4-tupla
- Un vector en \( n \) dimensiones: \( (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) — n-tupla
La n-tupla ordenada
Una n-tupla \( (x_1, x_2, \ldots, x_n) \) es una secuencia finita de \( n \) elementos donde:
- El orden es esencial: \( (1, 2, 3) \neq (3, 2, 1) \)
- Se permiten repeticiones: \( (1, 1, 1) \) es una 3-tupla válida
- La longitud \( n \) es parte de la identidad: \( (1, 2) \neq (1, 2, 0) \)
Igualdad de n-tuplas. Dos n-tuplas son iguales si y solo si tienen la misma longitud y coinciden componente a componente:
\[ (x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n) \iff x_1 = y_1 \wedge x_2 = y_2 \wedge \cdots \wedge x_n = y_n \]
| Nombre | Notación | Longitud | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Par ordenado | \( (a, b) \) | 2 | \( (3, 7) \) |
| Terna ordenada | \( (a, b, c) \) | 3 | \( (1, 0, -2) \) |
| Cuádrupla | \( (a, b, c, d) \) | 4 | \( (N, S, E, O) \) |
| n-tupla | \( (x_1, \ldots, x_n) \) | \( n \) | \( (x_1, x_2, \ldots, x_{100}) \) |
Dos formas de definir la n-tupla
Existen dos enfoques para formalizar la n-tupla dentro de la teoría de conjuntos:
Definición recursiva (anidamiento de pares)
Se reutiliza el par ordenado de Kuratowski, encadenando pares uno dentro de otro:
\[ (a, b, c) = ((a, b), c) \] \[ (a, b, c, d) = (((a, b), c), d) \] \[ (x_1, x_2, \ldots, x_n) = ((x_1, \ldots, x_{n-1}), x_n) \]
Cada n-tupla se construye como un par ordenado cuya primera componente es la (n-1)-tupla anterior. Es como un juego de muñecas rusas (matrioshkas): cada nivel contiene al anterior.
Ventaja: Simple y directa — solo necesita la definición de par ordenado. Desventaja: Para acceder al primer elemento de una 100-tupla, hay que «desempacar» 99 niveles de anidamiento.
Definición uno a uno
Una n-tupla se define como una correspondencia uno a uno entre el conjunto de índices \( \{1, 2, \ldots, n\} \) y los elementos de la tupla: a cada índice \( i \) le corresponde exactamente un valor \( x_i \):
\[ 1 \mapsto x_1, \quad 2 \mapsto x_2, \quad \ldots, \quad n \mapsto x_n \]
Es decir, la tupla \( (x_1, x_2, x_3) \) es la correspondencia que asigna \( 1 \mapsto x_1 \), \( 2 \mapsto x_2 \), \( 3 \mapsto x_3 \). Cada posición tiene un valor único asignado.
Ventaja: Acceso directo a cualquier componente (sin desempacar). Se generaliza naturalmente a familias infinitas. Desventaja: Esta correspondencia es, en rigor, lo que más adelante definiremos formalmente como una función — concepto que aún no hemos desarrollado.
En la práctica, ambas definiciones producen el mismo comportamiento y se usan indistintamente.
Producto cartesiano n-ario
El producto cartesiano se extiende naturalmente a más de dos conjuntos:
\[ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1, a_2, \ldots, a_n) \mid a_1 \in A_1 \wedge a_2 \in A_2 \wedge \cdots \wedge a_n \in A_n\} \]
También se puede escribir con la notación de productoria:
\[ \prod_{i=1}^{n} A_i = A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \]
Cuando todos los conjuntos son iguales (\( A_1 = A_2 = \cdots = A_n = A \)), se escribe:
\[ A^n = \underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{n \text{ veces}} \]
La cardinalidad se extiende directamente:
\[ n(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n) = n(A_1) \cdot n(A_2) \cdots n(A_n) \]
Espacios \( \mathbb{R}^n \): del plano al hiperespacio
El caso más importante del producto cartesiano n-ario surge cuando \( A = \mathbb{R} \) (los números reales):
| Espacio | Definición | Interpretación geométrica |
|---|---|---|
| \( \mathbb{R}^1 = \mathbb{R} \) | La recta numérica | Línea (1 dimensión) |
| \( \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) | Pares \( (x, y) \) | Plano cartesiano (2 dimensiones) |
| \( \mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) | Ternas \( (x, y, z) \) | Espacio tridimensional (3 dimensiones) |
| \( \mathbb{R}^n \) | n-tuplas \( (x_1, \ldots, x_n) \) | Espacio n-dimensional |
Ejemplo. El espacio \( \mathbb{R}^3 \) es donde vivimos: cada punto se identifica con una terna \( (x, y, z) \) que indica largo, ancho y alto. Newton formuló sus leyes de la mecánica en este espacio, y Einstein lo extendió a \( \mathbb{R}^4 \) al incorporar el tiempo como cuarta coordenada.
Más allá de la geometría. Aunque no podemos «visualizar» \( \mathbb{R}^{100} \), el concepto es perfectamente riguroso y tiene aplicaciones concretas: en ciencias de datos, cada registro de una base de datos con 100 campos numéricos es un punto en \( \mathbb{R}^{100} \). Los algoritmos de inteligencia artificial operan rutinariamente en espacios de miles de dimensiones.
Resumen del capítulo. Partimos de una limitación fundamental de los conjuntos — su incapacidad para representar el orden — y construimos paso a paso las herramientas que la resuelven:
- El par ordenado \( (a, b) \): dos elementos con posición definida
- La definición de Kuratowski \( \{\{a\}, \{a, b\}\} \): fundamentación formal en ZFC
- El producto cartesiano \( A \times B \): el espacio de todas las combinaciones
- Las propiedades algebraicas: distributividad, monotonía, no conmutatividad
- La n-tupla y \( \mathbb{R}^n \): generalización a múltiples dimensiones
Con estas herramientas, estamos listos para definir las relaciones binarias y, a partir de ellas, las funciones — el concepto más importante de toda la matemática moderna.
¿Qué viene próximamente?
Con los pares ordenados y el producto cartesiano en nuestras manos, tenemos las herramientas necesarias para abordar los siguientes temas en la próxima publicación:
- Relaciones binarias — subconjuntos del producto cartesiano que conectan elementos de un conjunto con otro.
- Propiedades de las relaciones — reflexividad, simetría, transitividad, entre otras.
- Relaciones de equivalencia — relaciones que agrupan elementos «similares» en clases.
- Relaciones de orden — relaciones que organizan elementos en jerarquías.
- Funciones — un tipo especial de relación donde cada elemento tiene exactamente una imagen.
¡Nos vemos en la siguiente publicación!