Ya estamos a pocas entradas de terminar el curso de lógica proposicional y espero que les haya servido de ayuda con cualquiera de mis entradas, hoy les traigo el método abreviado, esta sirve para no desarrollar la tabla de verdad que muchas veces resulta ser un poco estresante y desarrollaremos todas las principales leyes lógicas pasando por las leyes de equivalencia y de la implicación lógicas y algunos añadidos más.

En esta entrada haremos mencion de la inferencia donde la condicional material tendrá que ajustarse a ella ya que las relacionamos intuitivamente, esta relación intuitiva no está formalizada y por lo general se deja en entre dicho.

Aunque el aspecto intuitivo se puede formalizar muy bien, mas no del todo, en un curso de lógica de predicados, ya lo veremos en su momento adecuado, vayamos con lo que acordamos.

El método abreviado

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El método abreviado por lo general se usa con la condicional material (simbólicamente hablando) operacionalmente y evita elaborar todo ese rollo de la tabla de verdad, consiste en suponer todas las premisas falsas y el consecuente verdadero donde resulta como única posibilidad para la condición de ser falsa.

Para lograrlo, el esquema debe tener una forma generalizada, para ello, debemos tener una serie de premisas de la forma \( \mathrm{V} (p_i) = V \) donde \( i \) representa el número de premisas y el consecuente falso \( \mathrm{V} (q) = F \), nuestro esquema sería:

\[ ( \underbrace{ p_{1} }_{V} \wedge \underbrace{ p _{2} }_{V} \wedge \underbrace{ p_{3} }_{V} \wedge \cdots \wedge \underbrace{ p_{n} }_{V} ) \rightarrow \underbrace{ q }_{F} \]

Si la condicional es falsa tal como se muestra en el esquema, entonces decimos que es una inferencia inválida y lo escribimos así:

\[ p_{1} \wedge p_{2} \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \nRightarrow q \]

Si la condicional es verdadera, entonces la implicación es valida y lo escribiremos así:

\[ p_{1} \wedge p_{2} \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \Rightarrow q \]

Otro punto que debemos de considerar intuitivamente es que si se trata de una implicación, tendremos que suponer que la condicional material debe tener una relación semántica entre premisas y la conclusión, esto solo es posible si usamos el símbolo de la implicación \( \Rightarrow \), pero si se pasa por alto la implicación, no lo podemos llamar inferencia lógica.

Por ejemplo, con la condicional se puede diseñar proposiciones de este tipo:

\[ 0 < 3^{3} \rightarrow 4^{2} \neq 5 \]

Tanto la proposición \( 0 < 3^{2} \) como \( 4^{2} = 5 \) son verdaderas, sin embargo, \( 4^{2} \neq 5 \) no se puede inferir de \( 0 < 3^{2} \), porque no hay relación directo o falta datos para determinar que la proposición condicional sea verdadera, literalmente lo es, pero la implicación requiere que la conclusión sea inferida de las premisas.

Por tanto, la inferencia es propio de la implicación y no de la condicional material. Si el método abreviado hacemos uso de la inferencia, estaremos obligados a usar la implicación, en caso contrario, puedes usarlo como una condicional material. Ojo, solo cuando usamos la palabra inferencia, que no se les olvide.

Dicho todo esto, usaremos dos ejemplos para usar correctamente el método abreviado.

Ejemplo 1

Averiguar si la siguiente inferencia es correcta.

\[ \begin{array}{ l l } & p \rightarrow q \\ & r \rightarrow q \\ \hline \therefore & p \rightarrow r  \end{array} \]

Solución:

El esquema anterior es lo mismo que escribirlo así:

\[ ( p \rightarrow q ) \wedge ( r \rightarrow q ) \Rightarrow p \rightarrow r \]

Para averiguar si es correcta o no, haremos uso del método abreviado, aquí es donde usamos la condicional en vez de la implicación solo por cuestiones operacionales, nuestro esquema sería:

\[ [ ( \underbrace{ p \rightarrow q }_{V} ) \wedge ( \underbrace{ r \rightarrow q }_{V} ) ] \rightarrow ( \underbrace{ p \rightarrow r }_{F} ) \]

Esta condicional se supone que es falsa, pero vamos a averiguarlo si lo es, según el esquema, debe cumplirse que:

\[ \mathrm{V} ( p \rightarrow q ) = V \cdots ( \mathrm{I} ) \]

\[ \mathrm{V} ( r \rightarrow q ) = V \cdots ( \mathrm{II} ) \]

\[ \mathrm{V} ( p \rightarrow r ) = F \cdots ( \mathrm{III} ) \]

La expresión \( ( \mathrm{III} ) \) es más fácil de resolver, deducimos que \( \mathrm{V} (p) = V \) y \( \mathrm{V}(r) = F \), si reemplazamos el valor de verdad de \( p \) en \( ( \mathrm{I} ) \), encontramos que \( \mathrm{V} (q) = V \) y si el valor de verdad de \( r \) y \( q \) lo reemplazamos en \( ( \mathrm{II} ) \), entonces \( ( \mathrm{II} ) \) sigue siendo verdadera.

Esto indica que la condicional material es falsa porque no encontramos contradicciones con\( ( \mathrm{I} ) \), \( ( \mathrm{II} ) \) y (III), por tanto, no se puede inferir \( p \rightarrow r \) de \( p \rightarrow q \) y \( r \rightarrow q \), lo escribimos simplemente así:

\[ ( p \rightarrow q ) \wedge ( r \rightarrow q ) \nRightarrow p \rightarrow r \]

Entonces decimos que la inferencia es incorrecta.

Ejemplo 2

Indicar si la siguiente inferencia es válida.

\[ \begin{array}{ l l } & p \rightarrow q \\ \sim & p \bigtriangleup \sim r \\ & r \leftrightarrow q \\ \hline \therefore & r  \end{array} \]

Solución:

Por el método abreviado, tenemos:

\[ [ ( \underbrace{ p \rightarrow q }_{V} ) \wedge ( \underbrace{ \sim p \bigtriangleup \sim r }_{V} ) \wedge ( \underbrace{ r \leftrightarrow q }_{V} ) ] \rightarrow ( \underbrace{ p \rightarrow r }_{F} ) \]

Recuerde que estamos suponiendo que este esquema condicional es falsa, sigamos, este método abreviado nos sugiere que:

\[ \mathrm{V} ( p \rightarrow q ) = V \cdots ( \mathrm{I} ) \]

\[ \mathrm{V} ( \sim p \bigtriangleup \sim r ) = V \cdots ( \mathrm{II} ) \]

\[ \mathrm{V} ( r \leftrightarrow q ) = V \cdots ( \mathrm{III} ) \]

\[ \mathrm{V} ( p \rightarrow r ) = F \cdots ( \mathrm{IV} ) \]

De \( (\mathrm{IV} ) \) deducimos que:

\( \mathrm{V} (p) = V \) y \( \mathrm{V} (r) = F \)

Reemplazando el valor de verdad de \( p \) en \( ( \mathrm{I} ) \) y el valor de verdad de \( r \) en \( ( \mathrm{III} ) \), encontramos que:

\( \mathrm{V} (q) = V \) y \( \mathrm{V} (q) = F \) simultaneamente.

Esto indica que el esquema molecular no puede ser falsa, por tanto la inferencia es válida, esquemáticamente se expresa:

\[ ( p \rightarrow q ) \wedge ( \sim p \bigtriangleup \sim r ) \wedge ( r \leftrightarrow q ) \Rightarrow ( p \rightarrow r ) \]

De esta manera queda demostrada la inferencia.

Como se habrán dado cuenta, el método abreviado es muy sencillo y con ello podemos evitar la tabla de verdad para este tipo de esquemas que ya mencionamos, finalizando este tema, vayamos al siguiente apartado donde presentaremos una serie de leyes de equivalencia e implicación que nos servirá de utilidad en los ejercicios resueltos.

Los 3 principios lógicos

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Estos principios sólo es posible si una proposición interactúa consigo mismas bajo las siguientes leyes simbólicamente expresivas expresadas a continuación.

Ley de identidad

Una proposición sólo es idéntica a si misma, se representa así:

\[ p \rightarrow p \]

\[ p \leftrightarrow p \]

Ley de no contradicción

Una proposición sólo puede ser verdadera o falsa a la vez. Se denota:

\[ \sim ( p \wedge \sim p ) \]

Ley del tercio excluido

Una proposición o es verdadera o es falsa, no existe una tercera posibilidad.

\[ p \wedge \sim p \]

Ahora mismo vamos a presentar una serie de leyes tautológicas como son las equivalencias notables e implicaciones notables. Téngalo muy presente que lo usaremos en un sin fin de problemas resueltos de lógica proposicional.

Equivalencias notables

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En esta oportunidad presentaré una serie de identidades lógicas que servirán en al resolución y simplificación de esquemas moleculares más complejas. Este tipo de esquemas también nos ayudan a evitar las aburridas tablas de verdad, pues, comencemos.

Ley de involución

Doble negación de una proposición es una afirmación.

\[ \sim ( \sim p ) \equiv p \]

Leyes de idempotencia

Una cadena de conjunciones o disyunciones de una misma proposición resulta ser tal proposición.

\[ p \wedge p \equiv p \]

\[ p \vee p \equiv p \]

Leyes conmutativas

Los componentes de las proposiciones conjuntivas, disyuntivas (inclusiva o exclusiva) y bicondicionales son conmutables.

\[ p \wedge q \equiv q \wedge p \]

\[ p \vee q \equiv q \vee p \]

\[ p \bigtriangleup q \equiv q \bigtriangleup p \]

\[ p \leftrightarrow q \equiv q \leftrightarrow p \]

Leyes asociativas

Esta ley establece la posibilidad de poder agrupar como quieras una proposición formada por una serie de conjuntivos, disyuntivos o bicondicionales por signos de agrupación como veras a continuación:

\[ ( p \wedge ) \wedge r \equiv p \wedge ( q \wedge r ) \]

\[ ( p \vee q ) \vee r \equiv p \vee ( q \vee r ) \]

\[ ( p \bigtriangleup q ) \bigtriangleup r \equiv p \bigtriangleup ( q \bigtriangleup r ) \]

\[ ( p \leftrightarrow q ) \leftrightarrow r \equiv p \leftrightarrow ( q \leftrightarrow r ) \]

Leyes distributivas

Las propiedades de distribución de los conectivos lógicos son como sigue (no lo puedo expresar en palabras porque no se me ocurre como):

\[ p \wedge ( q \vee r ) \equiv ( p \wedge q ) \vee ( p \wedge  r ) \]

\[ p \vee ( q \wedge r ) \equiv ( p \vee q ) \wedge ( p \vee r ) \]

\[ p \rightarrow ( q \wedge r ) \equiv ( p \rightarrow q ) \wedge ( p \rightarrow r ) \]

\[ p \rightarrow ( q \vee r ) \equiv ( p \rightarrow q ) \vee ( p \rightarrow r ) \]

Leyes de Morgan

La negación de un conjuntivo o disyuntivo inclusivo de dos proposiciones \( p \) y \( q \) es igual a un disyuntivo inclusivo o conjuntivo de \( \sim p \) y \( \sim q \) respectivamente.

\[ \sim ( p \wedge q ) \equiv \sim p \vee \sim q \]

\[ \sim ( p \vee q ) \equiv \sim p \wedge \sim q \]

Leyes condicionales

\[ p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q \]

\[ \sim ( p \rightarrow q ) \equiv p \wedge \sim q \]

Leyes bicondicionales

\[ p \leftrightarrow q \equiv ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \]

\[ p \leftrightarrow q \equiv ( p \wedge q ) \vee ( \sim p \wedge \sim q ) \]

Leyes de absorción

\[ p \wedge ( p \vee q ) \equiv p \]

\[ p \wedge ( \sim p \vee q ) \equiv p \wedge q \]

\[ p \vee ( p \wedge q ) \equiv p \]

\[ p \vee ( \sim p \wedge q ) \]

Leyes de transposición

\[ p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \]

\[ p \leftrightarrow q \equiv \sim p \leftrightarrow \sim q \]

Leyes de exportación

\[ ( p \wedge q ) \rightarrow r \equiv p \rightarrow ( q \rightarrow r ) \]

\[ (p_{1} \wedge p_{2} \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} ) \rightarrow r \equiv ( p_{1} \wedge p_{2} \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n-1} ) \rightarrow ( p_{n} \rightarrow r ) \]

Leyes tautológicas y contradictorias

Tener en cuenta que \( \textbf{T} = \text{ tautología } \), \( \textbf{F} = \text{contradictoria} \) y \( \textbf{P} = \text{ cualquier esquema molecular } \). Se cumple las siguientes leyes:

Para la conjunción

\[ \textbf{T} \wedge \textbf{T} \equiv \textbf{T} \]

\[ \textbf{T} \wedge \textbf{P} \equiv \textbf{P} \]

\[ \textbf{F} \wedge \textbf{P} \equiv \textbf{F} \]

Para la disyunción inclusiva

\[ \textbf{F} \vee \textbf{F} \equiv \textbf{F} \]

\[ \textbf{F} \vee \textbf{P} \equiv \textbf{P} \]

\[ \textbf{T} \vee \textbf{P} \equiv \textbf{T} \]

Propiedad de los elementos neutros para la tautológica y contradictoria

\[ p \wedge \textbf{F} \equiv \textbf{F} \]

\[ \textbf{F} \vee \textbf{T} \equiv \textbf{T} \]

\[ p \vee \textbf{T} \equiv \textbf{T} \]

Implicaciones notables

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También existen una serie de leyes para las implicaciones notables y tiene una representación esquemática vertical, todos y cada una de ellas tiene la siguiente forma general:

\[ p_{1} \wedge p_{2} \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \Rightarrow q \]

También se puede representar así omitiendo los conectores conjuntivos así:

\[ \begin{array}{ l l } & p_{1} \\ & p_{2} \\ & p_{3} \\ & \vdots \\ & p_{n} \\ \hline  \therefore & q  \end{array}  \]

En cualquiera de los dos casos \( q \) es consecuencia directa de \( p_{1} \wedge p_{2} \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \). Según estos puntos, anunciamos las siguientes implicaciones notables.

Ley de modus ponens

Esta es la clásica representación matemática en las demostraciones matemáticas, se escribe de la siguiente manera:

\[ ( p \rightarrow q ) \wedge p \Rightarrow q \]

Esquemáticamente es representado así:

\[ \begin{array}{ l l } & p \rightarrow q \\ & p \\ \hline \therefore & q \end{array} \]

Esta ley nos dice que si se prueba el antecedente, también se prueba el consecuente de la inferencia. Un ejemplo sería si:

\[ \begin{array}{ l l } \text{Si hoy llueve, entonces el piso se moja} \\ \text{Hoy llueve} \\ \hline \text{Por tanto, el piso se moja} \end{array} \]

Ley de modus tollens

Esta ley se escribe así:

\[ ( p \rightarrow q ) \wedge \sim q \Rightarrow \sim p \]

Y se representa:

\[ \begin{array}{ l l } & p \rightarrow q \\ \sim & q \\ \hline \therefore \sim & p \end{array} \]

Esta ley nos dice que si negamos el consecuente se prueba la negación del antecedente de la inferencia. A modo de ejemplo:

\[ \begin{array}{ l l } \text{Si} \ a=3, \text{entonces} \ a^{3} = 27 \\ a^{3} \neq 27 \\ \hline \text{por tanto}, a \neq 3 \end{array} \]

Ley del silogismo disyuntivo

A estas alturas, no comprender esta ley, me dejaría mucho que desear de ti querido amigo lector, es tan sólo sentido común, está representado de la siguiente manera:

\[ ( p \vee q ) \wedge \sim p \Rightarrow q \ \text{ó} \ ( p \vee q ) \wedge \sim q \Rightarrow p \]

Míralo bien y te darás cuenta del sentido lógico en la forma vertical de esta ley en sus dos versiones:

\[ \begin{array}{ l l } & p \vee q \\ \sim & p \\ \hline \therefore & q \end{array} \]

\[ \begin{array}{ l l } & p \vee q \\ \sim & q \\ \hline \therefore & p \end{array} \]

En una disyunción inclusiva, si negamos una de las dos posibilidades, entonces se afirma la otra posibilidad que nos queda. Por ejemplo:

\[ \begin{array}{ l } \text{ Soy niño o niña} \\ \text{ No soy niño} \\ \hline \text{ Por tanto, soy niña}  \end{array} \]

Ley de la inferencia equivalente

Esta ley también es muy usada en las demostraciones matemáticas, y por lo general requiere de una doble demostración, es decir, el consecuente hace de antecedente y el antecedente hace de consecuente, naturalmente una se deduce de la otra, totalmente alejado del concepto de la condicional como ya se explicó. Su representación simbólica es:

\[ ( p \leftrightarrow q ) \vee p \Rightarrow q \]

Su representación esquemática resalta el sentido común de esta ley, míralo bien y te darás cuenta de su sencillez:

\[ \begin{array}{ l l } & p \leftrightarrow q \\ & p \\ \hline \therefore & q \end{array} \]

Si se afirma la verdad un miembro de una proposición bicondicional, entonces también se afirma la verdad del otro miembro. Lo veremos mejor con un lindo ejemplo:

\[ \begin{array}{ l } \text{Si} \ x=2, \text{entonces} \ x^{3} = 8 \\ x=2 \\ \hline \text{Por tanto}, x^{3} = 8 \end{array} \]

\[ \begin{array}{ l } \text{Si } \ x=2, \text{entonces} \ x^{3} = 8 \\ x^{3} = 8 \\ \hline \text{Por tanto}, x=2 \end{array} \]

Ley del silogismo hipotético

Este lay también es reconocida por nuestro sentido común, es una serie de implicaciones sucesivas, aunque en su estructura representativa usemos la condicional material, realmente se trata de una inferencia lógica, simbólicamente se representa así:

\[ ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow r ) \Rightarrow p \rightarrow r \]

Verticalmente se puede representar así:

\[ \begin{array}{ l l } & p \rightarrow q \\ & q \rightarrow r \\ \hline \therefore & p \rightarrow r \end{array} \]

Lo que nos indica esta ley es que si una proposición implica una segunda proposición y la segunda proposición implica una tercera proposición, entonces la primera proposición implica la tercera proposición, aquí un ejemplo:

\[ \begin{array}{ l } \text{Si mi madre sale de compras, entonces la acompañó} \\ \text{Si acompaño a mi madre, entonces mi hija se irá al campo con sus amigos} \\ \hline \text{Luego, si mi madre sale de compras, entonces mi hija se irá al campo con sus amigos} \end{array} \]

Ley de transitividad simétrica

Esta ley es similar como la anterior, solo que para este caso, se usan bicondicionales, su representación simbólica es como sigue:

\[ ( p \leftrightarrow q ) \wedge ( q \leftrightarrow r ) \Rightarrow p \leftrightarrow r \]

Bajo el esquema vertical, es mas detectable la lógica de este ley:

\[ \begin{array}{ l l  } & p \leftrightarrow q \\ & q \leftrightarrow r \\ \hline \therefore & p \leftrightarrow r \end{array} \]

Como que me es dificil explicarlo literalmente, más fácil con un lindo ejemplo:

\[ \begin{array}{ l } \text{ Yo nací si y solo si mis padres estuvieron cupados en cama } \\ \text{ Mis padres estuvieron ocupados en cama si y solo si ellos se les subieron la bilirrubina } \\ \hline \text{ Luego, yo nací si y solo si mis padres se les subieron la bilirrubina } \end{array} \]

Ley de la simplificación

Recordar que una equivalencia o una implicación siempre es una afirmación, menciono esto para no tener problemas con este ley y las dos subsiguientes que presentaré en breve.

Esta ley solo funciona con una proposición conjuntiva, es una inferencia inmediata válida donde donde solo se aplica el sentido común. Su representación lógica inmediata es:

\( p \wedge q \Rightarrow p \) ó \( p \wedge q \Rightarrow q \)

Si \( p \wedge q \) es verdadera, entonces \( p \) es verdadera (o bien \(q \) también es verdadera como nueva conclusión), veámoslo de manera vertical en sus dos versiones:

\[ \begin{array}{ l l } & p \wedge q \\ \hline \therefore & p \end{array} \]

\[ \begin{array}{ l l } & p \wedge q \\ \hline \therefore & q \end{array} \]

Veamos un ejemplo:

\[ \begin{array}{ l } \text{Yo soy feliz y mi amigo es carismático} \\ \hline \text{Por tanto, yo soy feliz} \end{array} \]

O bien, como nueva conclusión:

\[ \begin{array}{ l } \text{Yo soy feliz y mi amigo es carismático} \\ \hline \text{Por tanto, mi amigo es carismatico} \end{array} \]

Ley de la adición

Esta ley es sencilla de comprender, en esta ley podemos agregar sin problema alguno una proposición adicional a la conclusión sin afectar el valor de verdad de la inferencia en general, se representa así:

\[ p \Rightarrow p \vee q \ \text{ó} \ q \Rightarrow p \vee q \]

Su forma vertical en los dos casos sería:

\[ \begin{array}{ l c } & p \\ \hline \therefore & p \vee q  \end{array} \]

\[ \begin{array}{ l c } & q \\ \hline \therefore & p \vee q \end{array} \]

Ejemplo:

\[ \begin{array}{ l } \text{Yo soy superman} \\ \hline \text{Por tanto, yo soy Superman o Batman} \end{array} \]

Ley de la contradicción

Si tengo una premisa donde deduzco una conclusión donde encuentro argumentos contradictorios, entonces la premisa es negada, simbólicamente se escribe:

\[ p \rightarrow ( q \wedge \sim q ) \Rightarrow \sim p \ \text{ó} \ \sim p \rightarrow ( q \wedge \sim q ) \Rightarrow p \]

Aquí un esquema para que lo puedas ver un poquito mejor:

\[ \begin{array}{ l l } & p \rightarrow ( q \wedge \sim q ) \\ \hline \therefore & \sim p \end{array} \]

\[ \begin{array}{ l l } & \sim p \rightarrow ( q \wedge \sim q ) \\ \hline \therefore & p \end{array} \]

Lo repito de otra manera y breve para que lo entiendas mucho mejor, si una conclusión es contradictoria, entonces la premisa es negada.

Y aquí terminamos con todos las leyes lógicas, para que no te pierdas en esta larga entrada, mostraré ahora mismo un resumen de todos las leyes lógicas del curso de lógica proposicional.

Por ultimo

Por fin hemos finalizado con todas las principales leyes lógicas del curso de lógica proposicional, estoy cerca de terminar este curso con dos entradas mas de todo el capitulo del curso.

Las dos últimas entradas se centrará en los distintos métodos de demostración matemática, no confundir con la teoría de la demostración matemática que es un tema diferente, pero bajo el mismo título de las demostraciones lógicas y la última entrada solo sera una serie de problemas resueltos.

Esto sería todo amigos, que tengan un buen día, nos vemos en la próxima entrada, bye.