Tabla de contenido
¿Cómo sabemos que un teorema matemático es verdadero? No basta con verificar algunos casos o tener intuición: necesitamos una demostración matemática. En esta guía aprenderás los principales métodos de demostración, desde la prueba directa hasta la inducción matemática.
¿Qué es una Demostración Matemática?
Una demostración matemática es un argumento lógico riguroso que establece la verdad de una proposición, partiendo de axiomas, definiciones y teoremas previamente demostrados.
Definición Formal
Una demostración es una secuencia finita de proposiciones donde cada una es:
- Un axioma (verdad aceptada sin prueba)
- Una definición (significado acordado de un término)
- Una hipótesis (supuesto inicial del teorema)
- Una proposición derivada de las anteriores usando reglas de inferencia
¿Por qué son importantes?
Las demostraciones son lo que distingue a las matemáticas de otras ciencias. Mientras que en física o biología aceptamos teorías porque funcionan en la práctica, en matemáticas exigimos certeza absoluta. No basta con verificar mil casos; si no hay una demostración, no hay teorema. Esta rigurosidad es lo que permite que los resultados matemáticos sean eternos: lo que Euclides demostró hace 2300 años sigue siendo tan válido hoy como entonces.
| Aspecto | Explicación |
|---|---|
| Certeza | Garantizan verdad absoluta, no probabilidad |
| Universalidad | Prueban para TODOS los casos, no solo algunos |
| Fundamento | Son la base de todo el conocimiento matemático |
| Comunicación | Permiten verificar y compartir resultados |
Estructura de un Teorema
Todo teorema tiene la forma: «Si P, entonces Q» (P → Q)
| Componente | Nombre | Rol |
|---|---|---|
| P | Hipótesis | Lo que asumimos como verdadero |
| Q | Tesis (o Conclusión) | Lo que queremos demostrar |
| P → Q | Teorema | La implicación completa |
Ejemplo:
- Teorema: Si n es un número par, entonces n² es par.
- Hipótesis (P): n es un número par
- Tesis (Q): n² es par
Nota importante: Aunque coloquialmente escribimos el teorema como «Si \( P \), entonces \( Q \)» usando el símbolo del condicional ( \(→ \) ), cuando demostramos que el teorema es verdadero, estamos probando que \( P → Q \) es una tautología. Por eso, un teorema demostrado es realmente una implicación \( P ⇒ Q \), es decir, un condicional que siempre es verdadero.
Métodos de Demostración
Existen varios métodos para demostrar teoremas. La elección depende de la naturaleza del problema.
| # | Método | Idea Central | Cuándo Usarlo |
|---|---|---|---|
| 1 | Directa | Asumir P, deducir Q | Caso general, primer intento |
| 2 | Contraposición | Demostrar ¬Q → ¬P | Cuando Q es más fácil de negar |
| 3 | Contradicción | Asumir ¬(P→Q), llegar a absurdo | Existencia, unicidad, irracionalidad |
| 4 | Inducción | Caso base + paso inductivo | Propiedades de números naturales |
| 5 | Por Casos | Dividir en subcasos | Cuando hay escenarios distintos |
| 6 | Contraejemplo | Un caso que refuta | Para demostrar falsedad |
1. Demostración Directa
La demostración directa es el método más natural y común. Consiste en partir de la hipótesis y, mediante pasos lógicos, llegar a la conclusión.
Estructura
1. Asumir que P es verdadera (hipótesis)
2. Aplicar definiciones, axiomas y teoremas conocidos
3. Mediante pasos lógicos, deducir que Q es verdadera
4. Concluir: P → Q está demostrado ✓
Esquema Lógico
La demostración directa aprovecha la definición del condicional:
Para demostrar P → Q, asumimos P y derivamos Q.
Si logramos derivar Q a partir de P, entonces P → Q es verdadero.
Ejemplo 1: Números Pares
Teorema: Si n es un número par, entonces n² es un número par.
Demostración:
| Paso | Afirmación | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | Sea n un número par | Hipótesis |
| 2 | n = 2k, para algún entero k | Definición de número par |
| 3 | n² = (2k)² | Elevamos al cuadrado |
| 4 | n² = 4k² | Desarrollamos |
| 5 | n² = 2(2k²) | Factorizamos el 2 |
| 6 | Sea m = 2k², donde m es entero | k es entero, entonces 2k² es entero |
| 7 | n² = 2m | Sustitución |
| 8 | n² es un número par | Por definición de número par ∎ |
Nota: El símbolo ∎ (o las letras Q.E.D.) se escribe al final de una demostración para indicar que ha sido completada. Q.E.D. viene del latín «Quod Erat Demonstrandum», que significa «lo que se quería demostrar».
Ejemplo 2: Números Impares
Teorema: Si n es un número impar, entonces n² es un número impar.
Demostración:
| Paso | Afirmación | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | Sea n un número impar | Hipótesis |
| 2 | n = 2k + 1, para algún entero k | Definición de número impar |
| 3 | n² = (2k + 1)² | Elevamos al cuadrado |
| 4 | n² = 4k² + 4k + 1 | Desarrollamos el binomio |
| 5 | n² = 2(2k² + 2k) + 1 | Factorizamos |
| 6 | Sea m = 2k² + 2k, donde m es entero | Operaciones con enteros |
| 7 | n² = 2m + 1 | Sustitución |
| 8 | n² es un número impar | Por definición de número impar ∎ |
Ejemplo 3: Suma de Pares
Teorema: La suma de dos números pares es un número par.
Demostración:
| Paso | Afirmación | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | Sean a y b números pares | Hipótesis |
| 2 | a = 2k₁ y b = 2k₂ | Definición de número par |
| 3 | a + b = 2k₁ + 2k₂ | Suma |
| 4 | a + b = 2(k₁ + k₂) | Factor común |
| 5 | Sea m = k₁ + k₂ | m es entero |
| 6 | a + b = 2m | Sustitución |
| 7 | a + b es par | Por definición ∎ |
Curiosidad: Esta demostración prueba que el conjunto de los números pares es cerrado bajo la operación de suma. En álgebra, esto se conoce como el axioma de cerradura (o clausura): si aplicas una operación a elementos de un conjunto y el resultado siempre pertenece al mismo conjunto, ese conjunto es cerrado bajo esa operación.
2. Demostración por Contraposición
La demostración por contraposición aprovecha la equivalencia lógica:
P → Q ≡ ¬Q → ¬P
En vez de demostrar «Si P, entonces Q», demostramos su contrarecíproco: «Si no Q, entonces no P».
¿Cuándo usarla?
- Cuando es difícil trabajar directamente con P
- Cuando ¬Q proporciona información más útil
- Cuando la estructura de Q permite negar más fácilmente
Estructura
1. Queremos demostrar: P → Q
2. En su lugar, demostramos: ¬Q → ¬P
3. Asumimos ¬Q (la negación de la conclusión)
4. Mediante pasos lógicos, deducimos ¬P
5. Como ¬Q → ¬P es verdadero, P → Q también lo es ✓
Ejemplo 1: Cuadrados Pares
Teorema: Si n² es par, entonces n es par.
Análisis:
- P: n² es par
- Q: n es par
- Contraposición: Si n NO es par, entonces n² NO es par
- Es decir: Si n es impar, entonces n² es impar
Demostración (por contraposición):
| Paso | Afirmación | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | Supongamos que n es impar | Asumimos ¬Q |
| 2 | n = 2k + 1 | Definición de impar |
| 3 | n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 | Desarrollo |
| 4 | n² = 2(2k² + 2k) + 1 | Factorización |
| 5 | n² es impar | Tiene la forma 2m + 1 |
| 6 | Por contraposición, si n² es par, n es par | ∎ |
Ejemplo 2: Divisibilidad
Teorema: Si n² no es divisible por 3, entonces n no es divisible por 3.
Contraposición: Si n ES divisible por 3, entonces n² ES divisible por 3.
Demostración:
| Paso | Afirmación | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | Supongamos que n es divisible por 3 | Hipótesis (¬Q) |
| 2 | n = 3k para algún entero k | Definición de divisibilidad |
| 3 | n² = (3k)² = 9k² | Elevamos al cuadrado |
| 4 | n² = 3(3k²) | Factorizamos |
| 5 | n² es divisible por 3 | Concluimos ¬P |
| 6 | Por contraposición, el teorema original es verdadero | ∎ |
3. Demostración por Contradicción (Reducción al Absurdo)
La demostración por contradicción es uno de los métodos más poderosos. Se basa en el principio:
Si asumir que algo es falso conduce a una contradicción, entonces debe ser verdadero.
Fundamento Lógico
Se basa en dos principios:
- Principio de no contradicción: Una proposición no puede ser V y F a la vez
- Principio del tercero excluido: Una proposición es V o F, no hay término medio
Estructura
1. Queremos demostrar: P
2. Asumimos lo contrario: ¬P (suposición por contradicción)
3. Derivamos consecuencias lógicas de ¬P
4. Llegamos a una CONTRADICCIÓN (algo imposible)
5. Concluimos: ¬P es falso, por lo tanto P es verdadero ✓
Ejemplo Clásico: \( \sqrt{2} \) es Irracional
Teorema: \( \sqrt{2} \) es un número irracional.
Este es uno de los teoremas más famosos, atribuido a los pitagóricos.
Demostración (por contradicción):
| Paso | Afirmación | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | Supongamos que \( \sqrt{2} \) es racional | Suposición (¬P) |
| 2 | Entonces \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \), donde a,b son enteros sin factores comunes | Definición de racional, forma irreducible |
| 3 | 2 = a²/b² | Elevamos al cuadrado |
| 4 | 2b² = a² | Multiplicamos por b² |
| 5 | a² es par | Es el doble de algo |
| 6 | a es par | Si a² es par, a es par (demostrado antes) |
| 7 | a = 2c para algún entero c | Definición de par |
| 8 | 2b² = (2c)² = 4c² | Sustituimos |
| 9 | b² = 2c² | Dividimos por 2 |
| 10 | b² es par, entonces b es par | Mismo argumento que a |
| 11 | a y b son ambos pares | De los pasos 6 y 10 |
| 12 | CONTRADICCIÓN | Dijimos que a/b no tiene factores comunes, pero ambos son divisibles por 2 |
| 13 | La suposición es falsa, \( \sqrt{2} \) es irracional | ∎ |
Ejemplo 2: Infinitud de los Primos
Teorema: Existen infinitos números primos. (Euclides, ~300 a.C.)
Demostración (por contradicción):
| Paso | Afirmación | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | Supongamos que hay un número finito de primos | Suposición |
| 2 | Sea la lista completa: p₁, p₂, p₃, …, pₙ | Todos los primos |
| 3 | Construyamos N = (p₁ × p₂ × … × pₙ) + 1 | Producto de todos los primos más 1 |
| 4 | N > 1 y N no es divisible por ningún pᵢ | Al dividir N por cualquier pᵢ, el residuo es 1 |
| 5 | N es primo, o N tiene un divisor primo no en la lista | Por el teorema fundamental de la aritmética |
| 6 | En cualquier caso, existe un primo no en la lista | |
| 7 | CONTRADICCIÓN | Dijimos que la lista era completa |
| 8 | Hay infinitos números primos | ∎ |
Nota: El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo entero mayor que 1 puede expresarse como un producto de números primos de manera única (salvo el orden de los factores). Por ejemplo: 60 = 2² × 3 × 5. En el paso 5, usamos este teorema para afirmar que N, al ser mayor que 1, debe tener al menos un divisor primo.
4. Demostración por Inducción Matemática
La inducción matemática es el método para demostrar propiedades que aplican a todos los números naturales (o a partir de cierto valor).
Idea Intuitiva
Es como una fila infinita de dominós:
- Si el primer dominó cae (caso base)
- Y cada dominó al caer tumba al siguiente (paso inductivo)
- Entonces TODOS los dominós caerán
Estructura Formal
Para demostrar que P(n) es verdadera para todo n ≥ n₀:
Paso 1: CASO BASE
Demostrar que P(n₀) es verdadera
Paso 2: HIPÓTESIS INDUCTIVA
Asumir que P(k) es verdadera para algún k ≥ n₀
Paso 3: PASO INDUCTIVO
Demostrar que P(k) → P(k+1)
Es decir, si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) también
CONCLUSIÓN: P(n) es verdadera para todo n ≥ n₀
Ejemplo 1: Suma de Naturales (Fórmula de Gauss)
Teorema: Para todo \( n \geq 1 \): \( 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2} \)
Demostración por inducción:
Caso Base (n = 1):
| Lado Izquierdo (LI) | Lado derecho (LD) | ¿Iguales? |
|---|---|---|
| 1 | 1(1+1)/2 = 1 | ✓ |
Hipótesis Inductiva:
Asumimos que para algún k ≥ 1:
Paso Inductivo (demostrar para k+1):
Debemos demostrar: \( 1 + 2 + … + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \)
| Paso | Expresión | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | 1 + 2 + … + k + (k+1) | Queremos simplificar |
| 2 | = [k(k+1)/2] + (k+1) | Por hipótesis inductiva |
| 3 | = k(k+1)/2 + 2(k+1)/2 | Denominador común |
| 4 | = [k(k+1) + 2(k+1)]/2 | Sumamos fracciones |
| 5 | = [(k+1)(k + 2)]/2 | Factorizamos (k+1) |
| 6 | = (k+1)(k+2)/2 | Esto es exactamente P(k+1) ✓ |
Conclusión: El teorema es verdadero para todo n ≥ 1 ∎
Ejemplo 2: Suma de Cuadrados
Teorema: Para todo \( n \geq 1 \): \( 1^2 + 2^2 + … + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
Similar al caso anterior.
Caso Base (n = 1):
- Lado izquierdo: 1² = 1
- Lado derecho: 1(2)(3)/6 = 6/6 = 1 ✓
Hipótesis Inductiva: Asumimos 1² + 2² + … + k² = k(k+1)(2k+1)/6
Paso Inductivo:
\( \begin{align} 1² + 2² + … + k² + ( \underline{k+1} )² & = \frac{ k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)² \\ & = (k+1)[ \frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)] \\ & = (k+1)[ \frac{k(2k+1) + 6(k+1)}{6} ] \\ & = (k+1)[ \frac{2k² + k + 6k + 6}{6} ] \\ & = (k+1)[ \frac{2k² + 7k + 6}{6} ] \\ & = \frac{ (k+1)(k+2)(2k+3) }{6} \\ & = \frac{ ( \underline{k+1} )(( \underline{k+1} )+1)(2( \underline{k+1} )+1) }{6} ✓ \end{align} \)
Conclusión: El teorema es verdadero para todo n ≥ 1 ∎
Ejemplo 3: Desigualdad
Teorema: Para todo \( n \geq 1 \): \( 2^n > n \)
Caso Base (n = 1): 2¹ = 2 > 1 ✓
Hipótesis Inductiva: Asumimos 2ᵏ > k para algún k ≥ 1
Paso Inductivo:
| Paso | Expresión | Justificación |
|---|---|---|
| 1 | 2ᵏ⁺¹ = 2 · 2ᵏ | Propiedad de exponentes |
| 2 | > 2 · k | Por hipótesis inductiva (2ᵏ > k) |
| 3 | = k + k | |
| 4 | ≥ k + 1 | Porque k ≥ 1 |
Por lo tanto, 2ᵏ⁺¹ > k + 1 ✓
Conclusión: 2ⁿ > n para todo n ≥ 1 ∎
5. Demostración por Casos
La demostración por casos divide el problema en subcasos que cubren todas las posibilidades.
Estructura
1. Identificar todos los casos posibles (exhaustivos)
2. Demostrar la conclusión para cada caso
3. Concluir que el teorema es verdadero en todos los casos
Ejemplo 1: Paridad del Producto
Teorema: Para cualquier entero n, n(n+1) es par.
Demostración por casos:
Caso 1: n es par
- n = 2k para algún entero k
- n(n+1) = 2k(n+1) = 2[k(n+1)]
- Es el doble de un entero, por lo tanto es par ✓
Caso 2: n es impar
- n+1 es par (el siguiente de un impar es par)
- n+1 = 2m para algún entero m
- n(n+1) = n(2m) = 2(nm)
- Es el doble de un entero, por lo tanto es par ✓
Conclusión: En ambos casos, n(n+1) es par ∎
Ejemplo 2: Valor Absoluto
Teorema: Para todo número real x: |x| ≥ 0
Demostración por casos:
Caso 1: x ≥ 0
- Por definición, |x| = x
- Como x ≥ 0, entonces |x| ≥ 0 ✓
Caso 2: x < 0
- Por definición, |x| = -x
- Como x < 0, entonces -x > 0
- Por lo tanto |x| > 0 ≥ 0 ✓
Conclusión: En todos los casos, |x| ≥ 0 ∎
6. Demostración por Contraejemplo
El contraejemplo no demuestra que algo es verdadero, sino que demuestra que una afirmación universal es falsa.
Idea
Para refutar «Para todo x, P(x)», basta encontrar un solo x donde P(x) sea falso.
Ejemplos
Afirmación falsa 1: «Todos los números primos son impares»
- Contraejemplo: 2 es primo y es par ✗
Afirmación falsa 2: «n² > n para todo entero positivo n»
- Contraejemplo: Para n = 1: 1² = 1, no es mayor que 1 ✗
Afirmación falsa 3: «Si n es impar, entonces n+2 es par»
- Contraejemplo: n = 3 es impar, pero 3+2 = 5 es impar ✗
Afirmación falsa 4: «La suma de dos irracionales es irracional»
- Contraejemplo: √2 + (-√2) = 0, que es racional ✗
Errores Comunes en Demostraciones
1. Asumir lo que se quiere demostrar (Petición de principio)
Incorrecto:
"Demostrar que a = b"
Paso 1: Supongamos que a = b
Paso 2: Entonces a - b = 0
Conclusión: a = b ✘
2. Demostrar solo casos particulares
Incorrecto:
"Demostrar que n² ≥ n para todo n ≥ 1"
Para n = 2: 4 ≥ 2 ✓
Para n = 5: 25 ≥ 5 ✓
Conclusión: Es verdadero para todo n ✘
Verificar ejemplos particulares NO es una demostración.
3. Olvidar el caso base en inducción
Sin el caso base, la inducción prueba:
"Si P(k) entonces P(k+1)"
Pero nunca establece que P es verdadera para algún valor inicial.
4. Dividir por cero o cantidades indefinidas
Incorrecto:
Sea a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a+b)(a-b) = b(a-b)
a + b = b ← ¡ se concluye porque dividimos por (a-b), pero a-b = 0! ✗
Conexión con la Lógica Proposicional
Los métodos de demostración se basan en las leyes lógicas:
| Método | Base Lógica |
|---|---|
| Directa | P → Q (afirmar antecedente, derivar consecuente) |
| Contraposición | P → Q ≡ ¬Q → ¬P |
| Contradicción | ¬P → Contradicción, por lo tanto P |
| Por casos | (P₁ → Q) ∧ (P₂ → Q) ∧ … ⊢ Q, si P₁ ∨ P₂ ∨ … es exhaustivo |
Las reglas de inferencia estudiadas anteriormente son las herramientas que usamos en cada paso de la demostración:
- Modus Ponens: Para aplicar teoremas conocidos
- Silogismo Hipotético: Para encadenar implicaciones
- Simplificación/Conjunción: Para manejar proposiciones compuestas
Tabla Resumen de Métodos
| Método | Estructura | Mejor para |
|---|---|---|
| Directa | Asumir P, derivar Q | Primer intento, casos claros |
| Contraposición | Asumir ¬Q, derivar ¬P | Cuando ¬Q da más información |
| Contradicción | Asumir ¬P, llegar a absurdo | Existencia, irracionalidad |
| Inducción | Base + Paso inductivo | Propiedades de ℕ |
| Por Casos | Dividir y conquistar | Variables discretas |
| Contraejemplo | Un caso que refuta | Demostrar falsedad |
Limitaciones de los Métodos de Demostración
Aunque los métodos de demostración son herramientas poderosas, tienen algunas limitaciones inherentes que es importante conocer.
1. Teoremas de Incompletitud de Gödel
En 1931, Kurt Gödel demostró que en cualquier sistema formal suficientemente potente (como la aritmética):
- Incompletitud: Existen proposiciones verdaderas que no pueden ser demostradas dentro del sistema
- Consistencia: El sistema no puede demostrar su propia consistencia
Implicación: No importa qué método uses, habrá verdades matemáticas que simplemente no podrás demostrar.
2. Demostración por Contradicción: Naturaleza No Constructiva
La demostración por contradicción tiene una limitación práctica importante:
- Prueba existencia sin construir: Puede demostrar que algo EXISTE sin mostrar CÓMO encontrarlo o construirlo
- No proporciona algoritmo: No te da un método para obtener el objeto cuya existencia probaste
Ejemplo: Podemos probar que existen infinitos primos, pero la demostración no nos da un algoritmo para encontrar el siguiente primo.
Filosofía: Los matemáticos intuicionistas (como Brouwer) rechazan este tipo de demostraciones precisamente por ser no constructivas.
3. Inducción Matemática: No Descubre, Solo Verifica
La inducción tiene una limitación metodológica:
- Requiere conjetura previa: Necesitas primero sospechar o intuir el patrón antes de poder probarlo
- No sirve para descubrir: La inducción verifica hipótesis, no las genera
Ejemplo: Para probar que 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2, primero alguien tuvo que descubrir esa fórmula por otros medios (observación, experimentación, intuición).
Resumen de Limitaciones
| Método | Limitación Real |
|---|---|
| Todos (Gödel) | Existen verdades indemostrables |
| Contradicción | No constructiva: no muestra cómo construir |
| Inducción | No descubre, solo verifica patrones conocidos |
| Directa/Contraposición | Sin limitaciones inherentes |
Ejercicios Prácticos
Ejercicio 1: Demostración Directa
Demuestra: La suma de tres números pares consecutivos es divisible por 6.
Pista: Sean los números 2k, 2k+2, 2k+4
Ejercicio 2: Contraposición
Demuestra: Si n³ es impar, entonces n es impar.
Pista: Demuestra la contraposición: Si n es par, entonces n³ es par
Ejercicio 3: Contradicción
Demuestra: √3 es irracional.
Pista: Sigue el mismo esquema de √2
Ejercicio 4: Inducción
Demuestra: Para todo n ≥ 1, 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²
Ejercicio 5: Por Casos
Demuestra: Para todo entero n, n³ – n es divisible por 3.
Pista: Considera los casos n ≡ 0, 1, 2
Respuestas
Respuesta Ejercicio 1
Teorema: La suma de tres pares consecutivos es divisible por 6.
Sean 2k, 2k+2, 2k+4 tres pares consecutivos.
Suma = 2k + (2k+2) + (2k+4) = 6k + 6 = 6(k+1)
Como la suma es 6 veces un entero, es divisible por 6 ∎
Respuesta Ejercicio 2
Contraposición: Si n es par, entonces n³ es par.
Sea n = 2k. Entonces n³ = (2k)³ = 8k³ = 2(4k³).
n³ es el doble de un entero, por lo tanto es par.
Por contraposición, si n³ es impar, n es impar ∎
Respuesta Ejercicio 3
Supongamos que √3 = x/y con x,y sin factores comunes.
3 = x²/y², entonces 3y² = x², por lo que x² es divisible por 3, y x también.
Sea x = 3z. Entonces 3y² = 9z², y² = 3x², y es divisible por 3.
Contradicción: a y b son ambos divisibles por 3, pero dijimos que no tenían factores comunes.
Por lo tanto, √3 es irracional ∎
Respuesta Ejercicio 4
Caso base (n=1): 1 = 1² ✓
Hipótesis: \( \color{red}{1 + 3 + … + (2k-1) = k²} \)
Paso inductivo:
\( \color{red}{1 + 3 + … + (2k-1)} + (2(k+1)-1) = \color{red}{k²} + (2k+1) = k² + 2k + 1 = (k+1)² ∎ \)
Respuesta Ejercicio 5
n³ – n = n(n² – 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)
Este es el producto de tres enteros consecutivos.
Para cualquier valor de «n» en cualquier grupo de tres consecutivos, al menos uno es divisible por 3.
Por lo tanto, el producto es divisible por 3 ∎
¿Que viene?
El próximo contenido estudiaremos los circuitos lógicos y una publicación de múltiples ejercicios de lógica proposicional
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