Hola amigos, en esta nueva seccion nos toca realizar algunos ejercicios resueltos de lógica proposicional, Estos ejercicios estaban divididos en 3 secciones diferentes con palabras clave de búsqueda similares para que puedas encontrar mi contenido de ciencias, pero esto tiene grabes problemas en el posicionamiento web de google. es por ello que decidí colocar las 3 secciones en una sola.

Actualmente he colocado algunos ejercicios de relacionada a las proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, aun nos falta ejercicios resueltos del resto del capitulo, tengan paciencia, ya subiremos mas contenido interesante.

Ahora mismo desarrollamos un total de 12 ejercicios resueltos como a modo de ejemplo de las primeras teorías que ya hemos estado desarrollando hasta ahora, la siguiente sección tratará con el siguiente capítulo de teoría de conjuntos, esto es, el concepto de conjunto. Sin mas, comencemos.

Ejercicios sobre proposiciones

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Ejercicio 1:

Averigüe qué proposiciones son verdaderas o falsas:

1. La luna es cuadrada y mi perro tiene cuatro patas.
2. Si \( 1 + 1 = 2 \), entonces \( 10 <15 \).
3. O la derivada de \( x^{2} \) es \( 2x \) o la integral indefinida \( 2x \) es \( x^{2} \).
4. Todos los humanos nacieron en Ganímedes o en la Tierra.
5. En Photoshop se edita documentos texto o en Office Word se edita imagen.

Solución:

Proposición 1:

Naturalmente nos referimos a la Luna que orbita la tierra, esta Luna, es redonda y no cuadrada, en cuanto al perro, en efecto, tiene cuatro patas, tenemos:

• \( \underbrace{ \text{ La luna es cuadrada } }_{ \text{Falso} } \)
• \( \underbrace{ \text{Mi perro tiene cuatro patas} }_{ \text{Verdadero} } \)

y como son unidas por un conectivo conjuntivo, la proposición es:

\[ \overbrace{ \underbrace{ \text{La luna es cuadrada} }_{F} \ \text{y} \ \underbrace{ \text{mi perro tiene cuatro patas} }_{ V } }^{ F } \]

naturalmente falsa. Sigamos con las siguientes proposiciones.

Proposición 2:

\[ \overbrace{ \text{Si} \ \underbrace{ 1+1=2 }_{V}, \text{entonces} \ \underbrace{ 10>15 }_{F} }^{F} \]

La proposición es falsa.

Proposición 3:

\[ \overbrace{ \text{ O } \ \underbrace{ \text{ la derivada de } \ x^{2} \ \text{es} \ 2x }_{V} \ \text{o} \ \underbrace{ \text{ la integral definida de } \ 2x \ \text{es} \ x^{2} }_{V} }^{ F } \]

Esta proposición es falsa porque se trata de una disyunción fuerte o exclusiva a pesar de que no existe contradicción en cada uno de los argumentos por separado. Sería verdadera su fuese una disyunción inclusiva.

Proposición 4:

\[ \overbrace{ \text{Todos los humanos} \ \underbrace{ \text{nacieron en Ganimedes} }_{F} \ \text{o} \ \underbrace{ \text{en la Tierra} }_{V} }^{V} \]

Esta es una disyunción débil o inclusiva, es verdadera ya que elegimos la proposición simple verdadera, esto es «todos los humanos nacieron en la tierra«.

Proposición 5:

\[ \overbrace{ \underbrace{ \text{En photoshop se editan documentos de texto} }_{F} \ \text{o} \ \underbrace{ \text{en Word se editan imágenes} }_{F} }^{ F } \]

Y por ultimo, tenemos otra disyunción inclusiva, en este caso, la proposición es falsa.

Ejercicio 2:

Diga cuales de las siguientes proposiciones o enunciados abiertos son atómicas y moleculares, expréselo simbólicamente luego de identificarlos correctamente:

1. La gallina pone huevos porque es hembra.
2. El pavo será para mañana antes de las 12 de la noche.
3. O Luis es buen jugador o es afortunado.
4. Hoy esta lloviendo.
5. Mi perro es bonito pero huele feo.
6. Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil y Brasil se encuentra en américa.
7. Mi gato no quiere comer.
8. Escribo con un lapicero si y sólo si tiene tinta.
9. Los tiburones les gusta la carne.
10. Puedes usar una dona de plata o una esfera de plata en tu pulsera de piedras.

Solución:

1. La proposición «La gallina pone huevos porque es hembra» se puede desdoblar así:

• \( p \) :La gallina pone huevos.
• \( q \): La gallina es hembra.

¿Cual es la razón de que la gallina ponga huevos?, Que sea hembra, podemos escribir este enunciado así:

• Si la gallina es hembra, entonces pondrá huevos.

Por tanto, la simbolización esta proposición condicional es \( q \rightarrow p \). Aunque la manera correcta de escribirlo es así:

• La gallina es hembra, por tanto, pone huevos.

Este es una implicación lógica simbolizado así \( q \Rightarrow p \).

2. Se puede separar en dos proposiciones diferentes:

• \( p \) :El pavo será para mañana.
• \( q \): El pavo es antes de las 12 de la noche.

Se podía haber escrito «El pavo será para mañana y antes de las 12 de la noche«. Para este caso, su esquema molecular es \( p \wedge q \).

3. igualmente:

• \( p \) :Luis es buen jugador.
• \( q \): Luis es afortunado.

Por tanto, estamos tratando con una proposición conjuntiva por el conectivo «y» como en el caso anterior Por tanto, su esquema molecular es \( p \wedge q \).

4. La proposición «hoy está lloviendo» indica que un juicio a un suceso, aquellas proposiciones de un solo juicio son proposiciones simples sin conectivos lógicos.

• \( p \): hoy está lloviendo.

5. Aquí «Mi perro es bonito pero huele feo.«

• \( p \): Mi perro es bonito.
• \( q \): Mi perro huele feo.

El conectivo «pero» representa al conectivo conjuntivo «y«, su esquema molecular es \( p \wedge q \).

6. «Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil y Brasil se encuentra en américa«, se puede separar así:

• \( p \): Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil.
• \( q \): Brasil se encuentra en américa.

Estas proposiciones están unidas por el conectivo «y«, por tanto, su esquema molecular es \( p \wedge q \).

7. «Mi gato no quiere comer», esta proposición es compuesta pero no un es un conectivo lógico, de aquí podemos extraer el siguiente enunciado:

• \( p \): Mi gato quiere comer (Afirmación).

Como existe una negación «no» de simbolizado por «\( \sim \)», la proposiciones debe escribirse así \( \sim p \).

8. «Escribiré con un lapicero si y sólo si tiene tinta«, esta proposición se puede separar así:

• \( p \): Escribiré con un lapicero.
• \( q \): El lapicero tiene tinta.

La conectiva «si y sólo si» es una bicondicional, por tanto, la proposición debe escribirse así \( p \leftrightarrow q \).

Los ejercicios 9 y 10 se los dejo a su criterio.

Ejercicio 3:

Simbolizar el siguiente argumento detectando sus conectivas lógicas escritos literalmente.

• Si los cerdos vuelan y me hablan, creerían que estoy loco y me meterían en el manicomio.

Solución:

Para identificar cada una de los conectivos lógicos, vamos a colorearlo con color rojo y azul.

• Si los cerdos vuelan y me hablan, creerían que estoy loco y me meterían en el manicomio.

En este argumento, vemos una proposición del tipo condicional de la forma «Si … , entonces …«, en este caso, el «entonces» se sobreentiende, significa que la proposición es una condicional con símbolo «\( \rightarrow \)» esto indica que es una es una conectiva de mayor jerarquía, lo podemos escribir así:

• Los cerdos vuelan y me hablan \( \rightarrow \) creerían que estoy loco y me meterían en el manicomio.

El conectivo «y» de color azul es una conjunción lógica simbolizado por «\( \wedge \)», nuestro argumento se puede escribir así (sin olvidar la jerarquía de la condicional):

• (Los cerdos vuelan \( \wedge \) me hablan) \( \rightarrow \) (creerían que estoy loco \( \wedge \) me meterían en el manicomio).

De aquí podemos identificar las siguientes proposiciones simples dentro de este argumento y son:

• \( p \): Los cerdos vuelan.
• \( q \): los cerdos me hablan.
• \( r \): Creerían que estoy loco.
• \( s \): Me meterían preso.

Finalmente, nuestro argumento queda formalmente simbolizado de la siguiente manera:

\[ ( p \wedge q )\rightarrow ( r \wedge q ) \]

Ejercicio 4:

De los siguientes enunciados:

1. Descansa en paz.
2. \( \int x^{3} = \frac{ x^{4} }{4} \)
3. Él está cojo.
4. Que alegría.
5. \( 3 – 5>3 \)

Cual de las alternativas siguientes son correctas:

1. 2 de ellas son proposiciones.
2. 3 son enunciados abiertos.
3. 3 son enunciados declarativos.
4. 1 de ellas no son proposiciones ni enunciados abiertos.

Solución:

Describamos rápidamente cada uno de los enunciados.

1. Descansa en paz: es un mandato, por tanto, no es un enunciado declarativo.
2. \( \int x^{3} = \frac{ x^{4} }{4} \) es una proposición ya que la integral definida de \( \int x^{n}  \) es \( \frac{ x^{n+1} }{n+1} \).
3. Él está cojo, es un enunciado abierto, ya que no se sabe a quien se esta refiriendo.
4. Que alegria, es una expresión emocional y no es un enunciado declarativo.
5. \( 3 – 5 > 3 \) es \( -2>3 \), es imposible que \( -2 \) sea mayor que \( 3 \), por lo que, estamos tratando con una proposición falsa.

De aquí, contabilizamos los tipos de enunciados que podamos encontrarnos:

• Hay 3 enunciados declarativos, esta son la 2, 3 y 5.
• Hay 2 proposiciones y son la 2 y la 5.
• También encontramos 2 enunciados no declarativos, nos referimos a la 1 y la 4, es decir, no son proposiciones ni enunciados abiertos.
• Encontramos también un único enunciado abierto, el enunciado número 3.

por tanto, sólo las alternativas a. y c. son correctas.

Ejercicio 5:

Describir formalmente la siguiente proposición gramatical:

Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más, por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagaran menos o mas.

Si no entendiste lo que quise decir, mejor te lo digo de esta manera «transforma el enunciado anterior en términos \( p \), \( q \), \( r \) junto con símbolos conectivos de la siguiente proposición»:

Solución:

Vamos a trazar con color amarillo tanto enunciados abiertos simples como proposiciones simples de la proposición original que estamos planteando.

• Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más. Por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagarán menos o más.

De aquí, podemos simbolizar con letras minúsculas a las proposiciones simples como enunciados abiertos simples tenga la proposición matriz.

• \( p \) = Renato va a trabajar tarde.
• \( q \) = le pagarán menos.
• \( r \) = le pagarán más.

Pero también encontramos otras premisas tiene relación a las premisas \( p \), \( q \) y \( r \):

• no va a trabajar tarde, es lo mismo que Renato no va a trabajar tarde (\( \sim p \)).
• va a trabajar tarde es lo mismo que Renato va a trabajar tarde \( p \).
• no es lo mismo que Renato no va a trabajar tarde (\( \sim p \))
• más es lo mismo que le pagaran más ( \( r \) )

Como se habrán dado cuenta, tan solo son variantes de \( p \) y \( r \), pero ninguna en \( q \). La proposición inicial se puede separar en dos partes, lo podemos hacer desde el punto aparte,quedando así:

1. Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más
2. Por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagarán menos o más.

en el primer fragmento de la proposición hemos marcado el conjuntivo «y» de color rosa como mayor jerarquía porque une dos proposiciones condicionales. Lo podemos escribir así:

1. Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos \( \wedge \) si no va a trabajar tarde, le pagarán más

donde simbólicamente encontramos que:

• Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos = \( p \rightarrow q \).
• Si no va a trabajar tarde, le pagarán más = \( \sim p \rightarrow r \).

el primer fragmento quedaría así:

\[ ( p \rightarrow q ) \wedge ( \sim p \rightarrow r ) \]

En el segundo fragmento, encontramos una coma lo cual para este caso está representado por la letra «y», lo podemos escribir de la siguiente manera:

2. Por tanto, si va a trabajar tarde o no \( \wedge \) le pagarán menos o más.

donde simbólicamente también encontramos que:

• si va a trabajar tarde o no = \( p \vee \sim p \).
• le pagarán menos o más = \(  q \vee r \).

nuestro segundo fragmento quedaría así:

Por tanto \( ( p \vee \sim p ) \wedge ( q \vee r ) \)

Luego, vemos que en el segundo fragmento encontramos un «Por tanto«. En la entrada de la condicional explicamos que la implicación «Por tanto» es diferente a la condicional «Si … entonces..». Para diferenciarlo simbólicamente, debemos de representarlo así «\( \Rightarrow \)»

El «por tanto» significa que el primer fragmento \( ( p \rightarrow q ) \wedge ( \sim p \rightarrow r ) \) es el antecedente del segundo fragmento \( ( p \vee \sim p ) \wedge ( q \vee r ) \) que es el consecuente pero sin el «por tanto«

Finalmente, nuestra proposición original quedaría así:

\[ [ ( p \rightarrow q ) \wedge ( \sim p \rightarrow r ) ] \Rightarrow [ ( p \vee \sim p ) \wedge ( q \vee r ) ] \]

Ejercicio 6:

Formalizar simbólicamente el siguiente argumento.

• Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. Luego, si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm.

Solución:

Si leemos detenidamente este argumento, resulta ser una implicacion lógica, vea por usted mismo.

• Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. Luego, si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm.

En este caso, la palabra «luego» es lo mismo que «por tanto» y se encuentra simbolizado por una flecha de este tipo «\( \rightarrow \)», en la sección la condicional material puedes encontrar la diferencia con la implicación lógica. Nuestro argumento lo podemos escribir así:

• Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm  si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm.

Note también que encontramos un total de 3 condicionales lógicas en este argumento y son:

• Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm. \( ( p \rightarrow q ) \)
• Si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. \( ( r \rightarrow q ) \)
• Si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. \( ( ( p \vee r ) \rightarrow q ) \)

El punto y coma «;» que se encuentra entre las esquemas \( ( p \rightarrow q ) \) y \( ( r \rightarrow q ) \), representa en este caso a una conjunción lógica. Por tanto, nuestro argumento queda representado así:

\[ ( p \rightarrow ) \wedge ( r \rightarrow q ) \Rightarrow ( p \vee r ) \rightarrow q \]

Ejercicios de valores de verdad

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Antes de comenzar con los ejercicios, comenzaré a definir unas anotaciones que debí resaltarlo en entradas anteriores y es el definir los valores de verdad de las proposiciones, esta son:

1. \( \mathrm{V} (p) = V \), indica que la proposición \( p \) es verdadera.
2. \( \mathrm{V} (p) = F \), indica que la proposición \( p \) es falsa.
3. \( \mathrm{V} (p) = \left \{ V, F \right \} \) indica que la proposición puede ser tanto verdadera o como también falsa pero no ambas a la vez.
4. \( \mathrm{V} (p \neq q ) = \left \{ V, F \right \} \) indica que las proposiciones \( p \) y \( q \) pueden ser cada una de ellas o verdaderas o falsas donde \( \mathrm{V} (p) \neq \mathrm{V} (q) \).
5. \( \mathrm{V} ( p = q ) = \left \{ V, F \right \} \) indica que las proposiciones \( p \) y \( q \)puede ser verdaderas o falsas tal que \( \mathrm{V} ( p ) \neq \mathrm{V} (q) \).

Con la nueva notación, comencemos con los ejercicios resueltos (conste que el siguiente problema será un poco largo e interesante).

Ejercicio 7:

Tenemos 3 variables proposicionales \( p \), \( q \) y \( r \) donde \( \mathrm{V} (p) = V \), \( \mathrm{V} ( q) = F \), \( \mathrm{V} (r) = V \). Determine el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares:

1. \( r \rightarrow ( q \vee p ) \)
2. \( \sim ( p \wedge r ) \bigtriangleup ( q \rightarrow \sim p ) \)
3. \( \sim q \rightarrow ( \sim p \vee r ) \)
4. \( \sim ( p \wedge \sim q ) \rightarrow ( \sim r \wedge p ) \)

Solución:

Esquema 1:

\[ \mathrm{V} \left \{ r \rightarrow ( q \vee p ) \right \} = \mathrm{V} (r) \rightarrow \mathrm{V} ( q \vee p ) = \mathrm{V} (r) \rightarrow [ \mathrm{V} (q) \vee \mathrm{V} (p) ] \]

Reemplazando los valores de verdad de \( p \), \( q \) y \( r \) dados, tenemos:

\[ \mathrm{V} \left \{ r \rightarrow ( q \vee p ) \right \} = V \rightarrow [ F \vee V ] = V \]

Realizando lo mismo con el resto de los esquemas:

Esquema 2:

\[ \begin{align} \mathrm{V} \left \{ \sim ( p \wedge r ) \bigtriangleup ( q \rightarrow \sim p ) \right \} & = \mathrm{V} \left \{ \sim ( p \wedge r ) \right \} \bigtriangleup \mathrm{V} ( q \rightarrow \sim p ) \\ & = \sim [ \mathrm{V} ( p \wedge r ) ] \bigtriangleup \mathrm{V} ( q \rightarrow \sim p ) \\ & = \sim [ \mathrm{V} (p) \wedge \mathrm{V} (r) ] \bigtriangleup [ \mathrm{V} (q) \rightarrow \sim \mathrm{V} (p) ] \end{align} \]

Reemplazando valores:

\[ \begin{align} \mathrm{V} \left \{ \sim ( p \wedge r ) \bigtriangleup ( q \rightarrow \sim p ) \right \} & = \sim [ V \wedge V ] \bigtriangleup [ F \rightarrow \sim V ] \\ & = \sim V \bigtriangleup [ F \rightarrow F ] \\ & = F \bigtriangleup V \\ & = V \end{align} \]

Esquema 3:

\[ \begin{align} \mathrm{V} \left \{ \sim q \rightarrow ( \sim p \vee r ) \right \} & = \sim \mathrm{V} (q) \rightarrow \mathrm{V} ( \sim p \vee r ) \\ & = \sim \mathrm{V} (q) \rightarrow [ \sim \mathrm{V} (p) \vee \mathrm{V} (r) ] \end{align} \]

Remplazando, tenemos:

\[ \begin{align} \mathrm{V} \left \{ \sim q \rightarrow ( \sim p \vee r ) \right \} & = \sim F \rightarrow [ \sim V \vee V ] \\ & = V \rightarrow [ F \vee V ] \\ & = V  \end{align} \]

Esquema 4:

\[ \begin{align} \mathrm{V} \left \{ \sim ( p \wedge \sim q ) \rightarrow ( \sim r \wedge p ) \right \} & = \sim \mathrm{V} ( p \wedge \sim q ) \rightarrow \mathrm{V} ( \sim r \wedge p ) \\ & = \sim [ \mathrm{p} \wedge \sim \mathrm{V} (q) ] \rightarrow [ \sim \mathrm{V} (r) \wedge \mathrm{V} (p) ] \end{align} \]

Como en los casos anteriores, reemplazando valores, tenemos:

\[ \begin{align} \mathrm{V} \left \{ \sim ( p \wedge q ) \rightarrow ( \sim r \wedge p ) \right \} & = \sim [ V \wedge \sim F ] \rightarrow [ \sim V \wedge V ] \\ & = \sim [ V \wedge V ] \rightarrow [ F \wedge V ] = \sim V \rightarrow F \\ & = V \end{align} \].

Ejercicio 8:

Si la siguiente proposición es Falsa:

\[ \left \{ [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] \leftrightarrow [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q )  ] \right \} \rightarrow [ ( r \vee q ) \leftrightarrow ( r \wedge q ) ] \]

determinar el valor de verdad de \( p \), \( q \) y \( r \).

Solución:

Tomando el único dato que tenemos y resaltando en color rojo el conectivo de mayor jerarquía, tenemos:

\[ \left \{ [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] \leftrightarrow [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q )  ] \right \} \color{red}{ \rightarrow } [ ( r \vee q ) \leftrightarrow ( r \wedge q ) ] \]

Por la propiedad de la condicional:

• \( \mathrm{V} \left \{ [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] \leftrightarrow [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] \right \} = V \)
• \( \mathrm{V} [ ( r \vee q ) \leftrightarrow ( r \wedge q ) ] = F \)

si una bicondicional es verdadera, por ejemplo \( \mathrm{V} ( m \leftrightarrow n ) = V \) entonces deducimos que \( \mathrm{V} ( m = n ) = \left \{ V, F \right \} \), en caso contrario si \( \mathrm{V} ( m \leftrightarrow n ) = F \), entonces se cumple que \( \mathrm{V} ( m \neq n ) = \left \{ V, F \right \} \). Con estas nuevas notaciones explicadas al inicio de la de publicación, podemos escribir las proposiciones anteriores de la siguiente maner:

Usando la notación 5 para la bicondicional y nombrando estas ultimas proposiciones, tenemos.

\[ \mathrm{V} \left \{ [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] = [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ]  \right \} = \left \{ V, F \right \} \cdots ( \mathrm{I} ) \]

\[ \mathrm{V} [ ( r \vee q ) \neq ( r \wedge q ) ] = \left \{ V, F \right \} \cdots ( \mathrm{II} ) \]

comencemos con la proposición (I), Por ser una bicondicional, los fragmentos proposicionales entre corchetes \( [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] \) y \( [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] \) o son verdaderas o son falsas. Lo dividiremos en dos casos:

Remplazando valores:

Caso 1, cuando:

\[ \mathrm{V} [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] = \mathrm{V} [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] \cdots ( \mathrm{III} ) \]

Tomando el lado izquierdo de la igualdad:

\[ \mathrm{V} [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] = V \cdots ( \mathrm{IV} ) \]

de aquí, encontramos tres posibles combinaciones de valores de verdad que cumple (IV), consideremos que \( \mathrm{V} ( q \wedge p ) = V \) , de la proposición (IV).

\[ \mathrm{V} [ ( \underbrace{ \sim p \vee q }_{ V \ \text{ó} \ F } ) \rightarrow ( \overbrace{ \underset{ \begin{array}{ l r } \downarrow & \downarrow \\ V & V \end{array} }{ q \wedge p } }^{ V } ) ] = V \]

encontramos que \( p \) y \( q \) son verdaderas, de esta misma proposición notamos una disyunción inclusiva resaltando sus 2 posibles valores de verdad y es \( \mathrm{V} ( \sim p \vee q ) = \left \{ V, F \right \} \), aquí no hay mucho que investigar ya que no importa que valor de verdad tenga este fragmento proposicional, aunque resulta ser verdadera por los valores de \( p \) y \( q \)  como primera combinación, se descarta la segunda combinación, esto es, cuando es falsa ya que no existe valores para ella. Esto indica que nos falta una tercera y última combinación, pero esto lo veremos luego.

Como ya sabemos que \( \mathrm{V} (p) = V \) y \( \mathrm{V} (q) = V \), para calcular el valor de \( r \), analicemos el lado derecho de la igualdad de la proposición (III), esto es:

\[ \mathrm{V} [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] = V \cdots ( \mathrm{V} ) \]

si reemplazamos los valores de verdad de \( p \) y \( q \) en (V), encontramos una contradicción, veámoslo en el siguiente esquema:

\[ \underbrace{ \overbrace{ ( \underbrace{ r \rightarrow \underbrace{ p }_{V} }_{V} ) \leftrightarrow ( \underbrace{ \underbrace{ p }_{V} \bigtriangleup \underbrace{ q }_{V} }_{F} ) }^{V} }_{F} \]

lo cual resulta ser contradictorio, este fragmento de proposición no puede ser verdadero o falso simultáneamente. Esta opción queda descartada, volvamos a escribir la ecuación numero (IV):

\[ \mathrm{V} [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] = V \cdots ( \mathrm{IV} ) \]

nos falta la tercera posibilidad, la proposición (IV) también es valida cuando:

\[ \mathrm{V} ( \sim p \vee q ) = F \cdots ( \mathrm{VI} ) \]

\[ \mathrm{V} ( q \wedge p ) = F \cdots ( \mathrm{VII} ) \]

de (VI) y (VII) deducimos que \( \mathrm{V} (q) = F \) y \( \mathrm{V} (p) = V \), reemplazando en la proposición (V) para calcular \( r \)tenemos:

\[ \mathrm{V} (r) = \left \{ V, F \right \} \]

por lo visto, no encontramos el valor de \( r \), pero tenemos la proposición (II), lo escribiremos de nuevo aquí.

\[ \mathrm{V} [ ( r \vee q ) \neq ( r \wedge q ) ] = \left \{ V, F \right \} \cdots ( \mathrm{II} ) \]

aquí solo podemos remplazar el valor de verdad de \( q \), de esta manera encontramos el valor de \( r \) y es \( \mathrm{V} (r) = V \). Por lo tanto, los valores de \( p \), \( q \) y \( r \) son:

\( \mathrm{V} (p) = V \), \( \mathrm{V} (q) = F \) y \( \mathrm{V} (r) = V \)

Caso 2, cuando:

\[ \mathrm{V} [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] = \mathrm{V}[ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] = F \cdots ( \mathrm{IV} ) \]

vamos a separarlo en dos partes, tenemos:

\( \mathrm{V} [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] = F \) y \( \mathrm{V} [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] = F \)

por la propiedad de la condicional del lado izquierdo del esquema molecular y enumerando las proposiciones, resulta:

\[ \mathrm{V} ( \sim p \vee q ) = V \cdots ( \mathrm{VIII} ) \]

\[ \mathrm{V} ( q \wedge p ) = F \cdots ( \mathrm{IX} ) \]

\[ \mathrm{V} [ ( r \rightarrow p ) \neq ( p \bigtriangleup q ) ] = \left \{ V, F \right \} \cdots ( \mathrm{X} ) \]

Fíjense del esquema \( \mathrm{V} [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] = F \) es lo mismo que este otro esquema \( \mathrm{V} [ ( r \rightarrow p ) \neq ( p \bigtriangleup q ) ] = \left \{ V, F \right \} \). Volviendo al asunto, de las proposiciones (VIII) y (IX) encontramos dos posibilidades y esta son:

• Posibilidad 1: si \( \mathrm{V} (p) = F \) entonces \( \mathrm{V} (q) = V \).
• Posibilidad 2: si \( \mathrm{V} (p) = F \) entonces \( \mathrm{V} (q) = F \).

si reemplazamos los valores de la posibilidad 1 en la proposición (X), se logra hallar el valor de \( r \), su valor es:

\[ \mathrm{V} (r) = V \]

a primera vista, parece ser que no encontramos contradicción alguna, pero los valores de \( p \), \( q \) y \( r \)contradicen a la proposición (II), lo escribiremos de nuevo:

\[ \mathrm{V} [ ( r \vee q ) \neq ( r \wedge q ) ] = \left \{ V, F \right \} \cdots ( \mathrm{II} ) \]

lo escribiremos de nuevo como una bicondicional:

\[ \mathrm{V} [ ( r \vee q ) \leftrightarrow ( r \wedge q ) ] = F \cdots ( \mathrm{XI} ) \]

si reemplazamos estos nuevos valores, resulta que la proposición (XI) es verdadera. Por tanto, la posibilidad 1 queda descartada. Vayamos con la posibilidad 2 donde asumiremos que:

\( \mathrm{V} (p) = F \) y \( \mathrm{V} (q) = F \)

reemplazando en la proposición (X) para hallar el valor de \( r \) resulta que:

\[ \mathrm{V} (r) = F \]

pero de nuevo encontramos contradicción al reemplazar los nuevos valores de en la proposición (XI), ya que volvemos a encontrar que dicha proposición es verdadera contradiciendo a (XI).

Por lo visto, ya no nos queda más posibilidades, finalmente, los valores que cumplen la proposición original:

\[ \left \{ [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \vee p ) ] \leftrightarrow [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q ) ] \right \} [ ( r \vee q ) \leftrightarrow ( r \wedge q ) ] \]

son los valores del caso (I) de la tercera posibilidad, esto es:

• \( \mathrm{V} (p) = F \)
• \( \mathrm{V} (q) = F \)
• \( \mathrm{V} (r) = F \)

Problema resuelto.

Ejercicio 9:

Si el siguiente esquema molecular es falso:

\[ [ ( p \leftrightarrow r ) \wedge ( m \vee n ) ] \rightarrow ( \sim p \bigtriangleup s ) \]

Resolver el valor de verdad de la siguiente proposición:

\[ \left \{ ( r \vee s ) \leftrightarrow [ m \vee ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) ] \right \} \wedge ( p \bigtriangleup r ) \]

Solución:

Tenemos como dato:

\[ [ ( p \leftrightarrow r ) \wedge ( m \vee n ) ] \rightarrow ( \sim p \bigtriangleup s ) = F \]

donde:

\[ \mathrm{V} [ ( p \leftrightarrow r ) \wedge ( m \vee n ) ] = V \cdots ( \mathrm{I} ) \]

\[ \mathrm{V} ( \sim p \bigtriangleup s ) = F \cdots ( \mathrm{II} ) \]

de (I), podemos deducir que:

\[ \mathrm{V} ( p \leftrightarrow r ) = V \cdots ( III ) \]

\[ \mathrm{V} ( m \vee n ) = V \cdots (IV) \]

y aquí viene lo bueno, analizaremos tanto la proposición (III) como la proposición (II) simultáneamente, encontramos los siguientes resultados:

Caso 1: si \( \mathrm{V} (p) = V \) entonces \( \mathrm{V} (r) = V \) y \( \mathrm{V} (s) = V \).

Caso 2: si \( \mathrm{V} (p) = F \) entonces \( \mathrm{V} (r) = F \) y \( \mathrm{V} (s) = V \).

notamos que \( p \) y \( r \) tiene valores de verdad iguales, pero estas dos son contrarias a \( s \), es decir:

\[ \mathrm{V} (p) = \mathrm{r} \neq \mathrm{V} (s)  \cdots ( \mathrm{V} ) \]

Ahora, resolveremos la proposición planteada del ejercicio, escribamos de nuevo el esquema denotado con la letra \( t \), así:

\[ t = \left \{ ( r \vee s ) \leftrightarrow [ m \vee ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) \vee n ] \right \} \wedge ( p \bigtriangleup r ) \]

donde:

\[ \mathrm{V}(t) = \mathrm{V} \left \{ \left \{ ( r \vee s ) \leftrightarrow [ m \vee n \vee ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) ] \right \} \wedge ( p \bigtriangleup r ) \right \} \]

si se han dado cuenta, he cambiado el orden de algunas proposiciones de \( m \vee ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) \vee n \) en \( m \vee n \vee ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) \) esto lo expliqué en la última parte de la entrada llamada signos de agrupación en lógica proposicional, le sugiero la lectura de estos últimos párrafos para su mejor comprensión.

De la proposición \( t \), lo separaremos en diferentes valores de verdad como sigue:

\[ \mathrm{V} = \left \{ \mathrm{V} ( r \vee s ) \leftrightarrow \mathrm{V} [ m \vee n \vee ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) ] \right \} \wedge \mathrm{V} ( p \bigtriangleup r ) \]

\[ \mathrm{V} = \left \{ \mathrm{V} ( r \vee s ) \leftrightarrow [ \color{purple}{ \mathrm{V} ( m \vee n ) } \vee \mathrm{V} ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) ] \right \} \wedge \mathrm{V} ( p \bigtriangleup r ) \]

EL pequeño fragmento de color púrpura es igual al esquema de la proposición (IV), es decir, una proposición verdadera, remplazando este valor y coloreando convenientemente de color marrón, tenemos:

\[ \mathrm{V} = \left \{ \mathrm{V} ( r \vee s ) \leftrightarrow [ \color{maroon}{ V \vee \mathrm{V} ( \sim r \leftrightarrow \sim n ) } ] \right \} \wedge \mathrm{V} ( p \bigtriangleup r ) \]

el fragmento sombreado en color marrón, es para resaltar el disyuntivo inclusivo, donde si por lo menos una de sus proposiciones es verdadera, entonces la disyunción inclusiva es verdadera, nos quedaría:

\[ \mathrm{V} (t) = \left \{ \color{green}{ \mathrm{V} ( r \vee s ) } \right \} \vee \color{blue}{ \mathrm{V} ( p \bigtriangleup r ) } \]

cada vez nuestra ejercicio se va acortando, volvamos a escribir la igualdad (V):

\[ \mathrm{V} (p) = \mathrm{V} (r) \neq \mathrm{V} (s) \cdots ( \mathrm{V} ) \]

examinando la proposición \( t \)con la condición (V), podemos deducir sin necesidad de saber los valores de \( p \), \( r \) y \( s \), veamos:

\[ \mathrm{V} ( r \vee s ) = V \ \text{porque} \ \mathrm{V} (r) \neq \mathrm{V} (s) \cdots ( \mathrm{VI} ) \]

no importa que valor de verdad exacto tengan \( r \) y \( s \), siempre existirá entre ellos dos una verdad, es por eso que la proposición de color verde siempre sera verdadera por ser una disyunción inclusiva.

Regresando a la forma final de la proposición \( t \), examinaremos el fragmento proposicional de color azul, podemos deducir fácilmente que:

\[ \color{blue}{ \mathrm{V} ( p \bigtriangleup r ) } = F \ \text{porque} \ \mathrm{V} (p) = \mathrm{V} (r) \cdots ( \mathrm{VII} ) \] 

si dos proposiciones son son o verdaderas o falsas, entonces la disyunción exclusiva que las une siempre sera falsa. Volviendo a escribir la proposición \( t \):

\[ \mathrm{V} (t) = \left \{ \color{green}{ \mathrm{V} ( r \vee s ) } \leftrightarrow V \right \} \wedge \color{blue}{ \mathrm{V} ( p \bigtriangleup r ) } \]

de aquí, reemplazamos los valores de verdad de (VI) y (VII), tenemos:

\[ \mathrm{V} (t) = \left \{ V \leftrightarrow V \right \} \wedge F \]

finalmente, el valor de \( t \) es:

\[ \mathrm{V} (t) = F \]

Problema resuelto.

Ejercicio 10:

Si el siguiente esquema molecular:

\[ [ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q ] \bigtriangleup ( r \wedge q) \]

es falsa, calcular el valor de verdad de la siguiente proposición:

\[ [ \sim q \leftrightarrow ( r \bigtriangleup p ) ] \rightarrow \sim [ ( p \vee \sim q ) \bigtriangleup ( \sim r \wedge q ) ] \]

Solución:

Este ejercicio es sencillo, quise bajar el nivel porque tuve problemas editando el problema número 4, bueno, tenemos como dato que:

\[ \mathrm{V} \left \{ [ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q ] \bigtriangleup ( r \wedge q ) \right \} = F \]

Una disyunción exclusiva es falsa cuando las proposiciones que la une o son falsas o son verdaderas, usando la notación que explicamos al inicio de esta publicación, podemos escribirlo así:

\[ \mathrm{V} \left \{ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q = r \wedge q \right \} = \left \{ V, F \right \} \]

de aquí, podemos encontrar dos posibles casos, y esta son:

\[ \mathrm{V} \left \{ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q = r \wedge q \right \} = V \cdots ( \mathrm{I} ) \]

\[ \mathrm{V} \left \{ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q = r \wedge q \right \} = F \cdots ( \mathrm{II} ) \]

CASO I:

Del esquema molecular (I), deducimos que:

\[ \mathrm{V} [ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q ] = V \cdots ( \mathrm{III} ) \]

\[ \mathrm{V} ( r \wedge q ) = V \cdots ( \mathrm{IV} ) \]

de (IV) por ser una conjunción, inferimos que:

\[ \mathrm{V} (r) = V \]

\[ \mathrm{V} (q) = V \]

si reemplazamos estos valores en (III), no encontramos contradicción y también deducimos el valor de \( p \) y es:

\[ \mathrm{V} (p) = V \]

Vayamos al caso 2 por si encontramos otros posibles valores.

CASO II: 

Lo volvemos a escribir de nuevo:

\[ \mathrm{V} \left \{ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q = r \wedge q \right \} = F \cdots ( \mathrm{II} ) \]

lo escribiremos de la siguiente manera:

\[ \mathrm{V} [ ( r \rightarrow \sim p ) \vee \sim q ] = F \cdots (V) \]

\[ \mathrm{V} ( r \wedge q ) = F \cdots ( \mathrm{VI} ) \]

en la proposición (V), una disyunción es falsa cuando sus proposiciones que las componen son también falsas, de (V) tenemos:

\[ \mathrm{V} ( r \rightarrow \sim p ) = F \]

\[ \mathrm{V} ( \sim q ) = F \]

de aquí deducimos los valores de \( p \), \( q \) y \( r \) y son:

\[ \mathrm{V} (p) = V \]

\[ \mathrm{V} (q) = V \]

\[ \mathrm{V} (r) = V \]

sin embargo, estos valores contradicen a la proposición (VI), por lo visto, el CASO II queda descartado. Tomando los valores de verdad del CASO I, lo volvemos a escribir:

\[ \mathrm{V} (p) = F \]

\[ \mathrm{V} (q) = V \]

\[ \mathrm{V} (r) = V \]

estos valores de verdad lo reemplazamos en nuestra proposición que queremos resolver, resultando finalmente:

\[ [ \sim q \leftrightarrow ( r \bigtriangleup p ) ] \rightarrow \sim [ ( p \vee \sim q ) \bigtriangleup ( \sim r \wedge q ) ] = F \]

Problema resuelto.

Ejercicio 11:

Presentamos el siguiente esquema molecular:

\[ v = ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow \left \{ u \rightarrow [ p \vee ( t \rightarrow \sim q ) \vee ( r \bigtriangleup \sim s ) \vee \sim p ] \right \} \]

Resolver el valor de verdad de:

\[ v \vee w \]

Solución:

Calculemos \( v \):

\[ \mathrm{V} (v) = \mathrm{V} \left \{ ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow \left \{ u \rightarrow [ p \vee ( t \rightarrow \sim q ) \vee ( r \bigtriangleup \sim s ) \vee \sim p ] \right \} \right \} \]

donde:

\[ \mathrm{V} (v) = \mathrm{V} ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow \mathrm{V} \left \{ u \rightarrow [ p \vee ( t \rightarrow \sim q ) \vee ( r \bigtriangleup \sim s ) \vee \sim p ] \right \} \]

\[ \mathrm{V} (v) = \mathrm{V} ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow \left \{ \mathrm{V}(u) \rightarrow \mathrm{V} [ p \vee ( t \rightarrow \sim q ) \vee ( r \bigtriangleup \sim s ) \vee \sim p ] \right \} \]

aquí podemos hacer algo interesante, primero sombrearé de color verde para indicar mi intención:

\[ \mathrm{V} (v) = \mathrm{V} ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow \left \{ \mathrm{V}(u) \rightarrow \mathrm{V} [ \color{green}{ p \vee ( t \rightarrow \sim q ) \vee ( r \bigtriangleup \sim s ) \vee \sim p } ] \right \} \]

en este fragmento coloreado de color verde, podemos ver 3 proposiciones unidas por disyuntivos inclusivos. Como ya explique al final de esta entrada donde el orden de las proposiciones que la componen de ciertos conectivos lógicos, no altera el valor de verdad de la proposición matriz, podemos ordenarlo de la siguiente manera:

\[ \mathrm{V} (v) = \mathrm{V} ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow \left \{ \mathrm{V}(u) \rightarrow \mathrm{V} [ \color{green}{ p \vee \sim p \vee ( t \rightarrow \sim q ) \vee ( r \bigtriangleup \sim s ) } ] \right \} \]

pero como una disyunción siempre es verdadera si por lo menos unos de sus proposiciones componentes es verdadera, como aquí:

\[ \mathrm{V} ( \underset{ \downarrow \\ V \\ F }{p} \vee \sim \underset{ \downarrow \\ F \\ V }{p} ) = V \]

entonces, el fragmento de color verde del esquema molecular de la proposición \( v \) es verdadera, quedando:

\[ \mathrm{V} (v) = \mathrm{V} ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow \left \{ \mathrm{V} (u) \rightarrow \color{green}{V} \right \} \]

la condicional \( \mathrm{V} (u) \rightarrow V \) que es un fragmento del esquema de \( v \) es siempre verdadera si el consecuente es verdadera, el esquema de \( v \) quedaría de la siguiente manera:

\[ \mathrm{V} (v) = \mathrm{V} ( m \leftrightarrow t ) \rightarrow V \]

esto también es una condicional con consecuente verdadero, por fin, tenemos:

\[ \mathrm{V} (v) = V \]

Nos piden \( v \vee w \), como es una disyunción inclusiva donde \( v \) es verdadera, finalmente el valor de verdad es:

\[ \mathrm{V} ( v \vee w ) = V \]

por tanto, el valor de verdad de \( v \vee w \) es verdadera.

Ejercicios de tablas de verdad

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Ejercicio 12:

Calcular la tabla de verdad de la proposición del ejercicio anterior, es decir, del ejercicio 8.

Solución:

Volvamos a escribir la proposición del ejercicio 8:

\[ \left \{ [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] \leftrightarrow [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q )  ] \right \} \rightarrow [ ( r \vee q ) \leftrightarrow ( r \wedge q ) ] \]

De aquí, tenemos que sacar todos los valores de verdad en una tabla de verdad, veamos:

\[ \begin{array}{ c | c | c | r } p & q & r &
\left \{ [ ( \sim p \vee q ) \rightarrow ( q \wedge p ) ] \leftrightarrow [ ( r \rightarrow p ) \leftrightarrow ( p \bigtriangleup q )  ] \right \} \rightarrow [ ( r \vee q ) \leftrightarrow ( r \wedge q ) ] \\ \hline V & V & V & F \hspace{0.5cm} V \hspace{0.7cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{1.1cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{1.3cm} V \hspace{1cm} V \hspace{0.8cm} V \hspace{0.8cm} V \hspace{0.7cm} \\ V & V & F & F \hspace{0.5cm} V \hspace{0.7cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{1.1cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{1.3cm} V \hspace{1cm} V \hspace{0.8cm} F \hspace{0.8cm} F \hspace{0.7cm} \\ V & F & V & F \hspace{0.5cm} F \hspace{0.7cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{1.1cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{1.3cm} F \hspace{1cm} V \hspace{0.8cm} F \hspace{0.8cm} F \hspace{0.7cm} \\ V & F & F & F \hspace{0.5cm} F \hspace{0.7cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{1.1cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{1.3cm} V \hspace{1cm} F \hspace{0.8cm} V \hspace{0.8cm} F \hspace{0.7cm} \\ F & V & V & V \hspace{0.5cm} V \hspace{0.7cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{1.1cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{1.3cm} V \hspace{1cm} V \hspace{0.8cm} V \hspace{0.8cm} V \hspace{0.7cm} \\ F & V & F & V \hspace{0.5cm} V \hspace{0.7cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{1.1cm} V \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{1.3cm} V \hspace{1cm} V \hspace{0.8cm} F \hspace{0.8cm} F \hspace{0.7cm} \\ F & F & V & V \hspace{0.5cm} V \hspace{0.7cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{1.1cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{1.3cm} V \hspace{1cm} V \hspace{0.8cm} F \hspace{0.8cm} F \hspace{0.7cm} \\ F & F & F & V \hspace{0.5cm} V \hspace{0.7cm} F \hspace{0.9cm} F \hspace{0.9cm} V \hspace{1.1cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{0.9cm} V \hspace{1.3cm} V \hspace{1cm} F \hspace{0.8cm} V \hspace{0.8cm} F \hspace{0.7cm} \\ & & & 1 \hspace{0.6cm} 2 \hspace{0.9cm} 3 \hspace{1.1cm} 1 \hspace{0.9cm} 4 \hspace{1.3cm} 1 \hspace{1.1cm} 2 \hspace{1cm} 1 \hspace{1.5cm} 5 \hspace{1.1cm} 1 \hspace{1cm} 2 \hspace{0.9cm} 1 \hspace{0.8cm} \end{array} \]

Esta sería la tabla de verdad de la proposición del ejercicio anterior, los números indican que conectivo lógico se resuelve primero, por ejemplo, el número 1 indica que son los primeros conectivos lógicos a resolverse, el 2 indica que son los siguientes a resolverse, así sigue la secuencia hasta llegar a la quinta columna.

La quinta columna representa al conectivo de mayor jerarquía, si notamos detenidamente su valores de verdad, vemos que existe un único valor falso para el esquema molecular del ejercicio anterior, este resultado depende de los valores de verdad de \( p \), \( q \) y \( r \)y resulta ser lo mismos resultados de la respuesta del ejercicio anterior confirmando nuestros resultados.

Problema resuelto.

Ejercicio 13:

Definamos un nuevo conectivo lógico \( \mp \) de dos proposiciones \( p \) y \( q \), tal que:

\[ \begin{array}{ c | c | c }  p & q & p \mp q \\ \hline V & V & F \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V  \end{array} \]

Cuales son todas las posibilidades del valor de verdad de la siguiente proposición:

\[ p \mp \left \{ q \mp [ [ r \bigtriangleup \sim ( q \rightarrow s ) ] \vee ( \sim s \leftrightarrow \sim t ) ] \right \} \]

Solución:

Por lo visto, tenemos a \( p \), \( q \), \( r \), \( s \) y \( t \); con estas \( 5 \) proposiciones, tendríamos una combinación de \( 2^{5} = 32 \) posibles combinaciones en cuando la validez de nuestra proposición que a primera vista parece descomunal si intentamos realizar una tabla de verdad.

Sin embargo, es más fácil de lo que crees, para que lo veas mucho mejor, haremos la siguiente tabla de verdad con el siguiente esquema molecular:

\[ p \mp ( \color{red}{ q \rightarrow r } ) \cdots ( \mathrm{I} ) \]

y es:

\[ \begin{array}{ c | c | c | c } p & q & r & p \mp ( \color{red}{ q \rightarrow r } ) \\ \hline V & V & F \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \end{array} \]

si tomamos el fragmento de color rojo del esquema molecular de (I), me refiero a este «\( \color{red}{ q \rightarrow r } \)» y lo reemplazamos por ejemplo por «\( q \bigtriangleup r \)», el resultado es lo mismo. Desde la tabla podemos darnos cuenta que se cumple lo siguiente:

\[ p \mp ( \color{red}{ q \rightarrow } ) = \sim p \]

y no importa si puede tomar otras formas como:

\[ p \mp ( \color{red}{ q \bigtriangleup r } ) = \sim p \]

\[ p \mp [ ( \color{red}{ q \rightarrow r } ) \vee q ] = \sim p \]

\[ p \mp [ ( \color{red}{ q \rightarrow r } ) \vee ( s \leftrightarrow t ) ] = \sim p \]

el resultado siempre sera el mismo y sin importar cuantas proposiciones componentes tenga nuestro esquema molecular, porque de la tabla de verdad del conectivo \( \mp \), deducimos que:

Dos proposiciones \( p \) y \( q \) unidas por el conectivo \( \mp \) resultando \( p \mp q \), es verdadera si los valores de verdad de \( p \) es falsa y falsa si \( p \) es verdadera. Entonces:

\[ p \mp q = \sim p \]

Por tanto, la proposición que queremos resolver resulta ser opuesta a \( p \), es decir:

\[ p \mp \left \{ q \mp [ [ r \bigtriangleup \sim ( q \rightarrow s ) ] \vee ( \sim s \leftrightarrow \sim t ) ] \right \} = \sim p \]

Problema resuelto

Esta sección se actualizará constantemente, si apenas ves pocos problemas y a medio terminar es porque es un apartado reciente de los ejercicios anteriores, y será categorizado de manera ordenada según el orden de las secciones del capítulo.

Agregaré algunos cuantos ejercicios de lógica proposicional con tablas de verdad, también algunos ejercicios con las principales leyes lógicas que aun no he desarrollado, estos últimos por lo general son ejercicios para simplificar o reducir los esquemas moleculares complejas a otras más sencillas y menos complejos y otras variedades mas.

Fin del curso de lógica

Y bueno gente, esta es mi última entrada de lógica proposicional, ten en cuenta que esta sección de ejercicios se actualizará constantemente porque es lo que se busca más después de estudiar una teoría,

En total, hemos desarrollado 14 secciones del capítulo de lógica proposicional, el próximo capítulo que sigue del curso de matemática básica es el de teoría de conjuntos y también será dividido en diferentes secciones y apartados.

Bueno, eso seria todo amigos, que tengan un buen día, nos vemos en el siguiente curso de matemática básica, bye.