Hola queridos amigos, esta es mi última entrada del capitulo de lógica proposicional, y esta vez terminaremos con la última sección llamado circuitos lógicos.
Las representaciones gráficas en el área de matemática pura es un apoyo visual de la teoría formal que la representa, sin embargo, tomar como referencias los gráficos sin representación matemática por medio de caracteres simbólicos no resulta nada formal para las matemáticas ya que toda teoría debe escribirse bajo un lenguaje matemático bien formalizado.
Los circuitos lógicos en matemáticas no son usados de manera formal porque no están representados ni definidos por caracteres matemáticos muy bien ordenados ya que no se aceptan los supuestos intuitivos. Esta sección solo se centrará como una sección auxiliar del capítulo de lógica proposicional, dicho esto, comencemos.
¿Que es un circuito lógico?
Los circuitos lógicos por lo general sirven únicamente como una ayuda auxiliar necesaria para lograr un mejor entendimiento de los caracteres simbólicos no gráficos.
Este tipo de representaciones gráficas son usados en informática y son llamados generalmente como circuitos digitales, este nombre radica del concepto de dígito, en especial con dos dígitos, esto son, los valores de «0» y «1». Estos dos únicos valores se les conoce como forma binaria y significan:
- «0» voltaje bajo «low», que significa falso con simbolo \( F \).
- «1» voltaje alto «high», que significa verdadero \( V \).
Los valores de únicos 0 y 1 son los únicos dígitos binarios conocidos como bit, un bit es como una moneda con una cara y una cruz, verdadero o falso, arriba o abajo, etc.
Pero para nuestro caso, su representación gráfica de los valores de verdad de una proposición \( p \), sería:
| Circuito 1 | Circuito 2 |
|---|---|
| \[ p \] | \[ p \] |
| 
|
| Circuito Cerrado \[ \mathrm{V} (p) = V \] | Circuito Abierto \[ \mathrm{V} (p) = F \] |
Definición
En definitiva, los circuitos lógicos no son más que un arreglo de un conjunto de interruptores de compuertas abiertas y cerradas que tiene como finalidad transmitir información de manera conveniente, es decir, también se pueden negar el paso de la información restringiendo ciertas rutas dirigiendo la información bajo nuestro juicio.
Para el caso del circuito 1, le indica que la proposición es verdadera \( \mathrm{V} (p) = V \), en electrónica, significa que la corriente pasa con total normalidad y para el circuito 2, la proposición es falsa \( \mathrm{V} (p) = F \), en este caso, significa que la corriente no pasa
En los gráficos de los circuitos 1 y 2 representan los dos únicos valores de verdad de la proposición \( p \):
| \[ p \] | Circuitos |
|---|---|
| \[ V \] |
|
| \[ F \] |
|
Con estas representaciones logramos una correspondencia entre circuito y proposiciones, para ser más exactos, con los interruptores del circuito.
Gracias a estas representaciones, podemos diseñar una representación gráfica de las proposiciones moleculares con todos los conectivos lógicos que estudiamos en secciones anteriores. Para lograrlo, debemos de establecer dos tipos de conexiones, esto son, los circuitos en serie y en paralelo.
Circuitos en serie (la conjunción)
Un circuito en serie de dos proposiciones \( p \) y \( q \) se puede representar así:
\( p \) \( q \)
\[ \mathrm{V} ( p \wedge q ) = V \]
Esto es, un circuito en serie donde las proposiciones representan los interruptores, para ser más exactos, representan tan solo a los valores de verdad de las proposiciones \( p \) y \( q \).
Este este circuito significa que la información pasa por el circuito a través de los interruptores, en este caso, se dice que el los valores de verdad de \( p \) y \( q \) son verdaderas cuando la información pasa entre las dos.
Este es un circuito en serie donde la información está cruzando con normalidad cuando los interruptores están cerrados. Para el resto de las combinaciones, tenemos:
\( p \) \( q \)
\[ \mathrm{V} ( p \vee q ) = F \]
Si tenemos circuitos donde tanto uno o dos interruptores se encuentran abiertas, indica que la información no cruza de extremo a extremo, decimos entonces que es falso que la información pasa por cualquiera de la combinación de estos circuitos.
Todas estas posibles combinaciones circuitos cerrados y abiertos en serie representan a la tabla de verdad de la conjunción, aquí un recuadro donde vemos todas sus combinaciones:
| \[ p \] | \[ q \] | \[ p \wedge q \] | Circuitos |
|---|---|---|---|
| \[ V \] | \[ V \] | \[ V \] |
|
| \[ V \] | \[ F \] | \[ F \] |
|
| \[ F \] | \[ V \] | \[ F \] |
|
| \[ F \] | \[ F \] | \[ F \] |
|
Por tanto, un circuito lógico en serie de dos interruptores es la representación gráfica de una conjunción de dos proposiciones, cada proposición le corresponde un interruptor.
Circuitos en Paralelo (la disyunción)
Un circuito en paralelo de dos proposiciones \( p \) y \( q \) se puede representar así:
\[ p \]
\[ q \]
\[ \mathrm{V} ( p \vee q ) = V \]
Esto es un circuito en paralelo donde las proposiciones \( p \) y \( q \) se encuentran e paralelo, en este caso, la información puede pasar por el interruptor \( p \) o por el interruptor \( q \).
Esto indica que es suficiente que uno de estos interruptores esté cerrado para confirmar que la información pase de extremo a extremo.
Estos circuitos con interruptores en paralelo indica significa que estamos tratando con una proposición disyuntiva inclusiva para las proposiciones \( p \) y \( q\). Para el resto de las combinaciones posibles de la disyunción inclusiva, tenemos:
\[ p \]
\[ q \]
\[ \mathrm{V} ( p \vee q ) = V \]
\[ p \]
\[ q \]
\[ \mathrm{V} ( p \vee q ) = V \]
\[ p \]
\[ q \]
\[ \mathrm{V} ( p \vee q ) = F \]
Por tanto, un circuito en paralelo de dos interruptores representa gráficamente a dos proposiciones donde cada proposición le corresponde un interruptor.
La tabla de verdad de todas estas posibilidades de la disyunción inclusiva es la siguiente.
| \[ p \] | \[ q \] | \[ p \vee q \] | Circuitos |
|---|---|---|---|
| \[ V \] | \[ V \] | \[ V \] |
|
| \[ V \] | \[ F \] | \[ V \] |
|
| \[ F \] | \[ V \] | \[ V \] |
|
| \[ F \] | \[ F \] | \[ F \] |
|
Tenga en cuenta que un circuito lógico con interruptores solo muestra una de las posibles combinaciones de la tabla de verdad de un esquema molecular.
Para el caso de la negación, donde suponemos que la proposición \( p \) es verdadera, sería:
\[ \mathrm{V} ( \sim p ) = F \]
Si la proposición \( p \) es falsa, su negacion sería.
\[ \mathrm{V} ( \sim p ) = V \]
Representación general de las proposiciones con circuitos lógicos
Pero existe una forma de representar un esquema molecular por circuitos eléctricos omitiendo los valores de verdad de estas. En esta tabla mostramos la representación gráfica de la proposición \( p \).
| \[ p \] | 
|
| \[ V \] |
|
| \[ F \] |
|
Un circuito lógico sin interruptores representa a una proposición cualquiera, en este caso, la proposición \( p \), estos circuitos puede representar cualquier esquema molecular donde podemos reducirlo en una combinación de esquemas moleculares de proposiciones disyuntivas y/o conjuntivas.
Su representación gráfica de estas ultimas es:
Para el caso de una proposición conjuntiva \( p \wedge q \):
| \[ p \] | \[ q \] | \[ p \wedge q \] | 
|
|---|---|---|---|
| \[ V \] | \[ V \] | \[ V \] |
|
| \[ V \] | \[ F \] | \[ F \] |
|
| \[ F \] | \[ V \] | \[ F \] |
|
| \[ F \] | \[ F \] | \[ F \] |
|
Para el caso de una proposición disyuntiva \( p \vee q \):
| \[ p \] | \[ q \] | \[ p \wedge q \] | 
|
|---|---|---|---|
| \[ V \] | \[ V \] | \[ V \] |
|
| \[ V \] | \[ F \] | \[ V \] |
|
| \[ F \] | \[ V \] | \[ V \] |
|
| \[ F \] | \[ F \] | \[ F \] |
|
Para el caso de la negación, simplemente lo representamos así:
| \[ p \] |
| 
|
| \[ V \] |
|
|
| \[ F \] |
|
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Los circuitos lógicos de la conjunción, disyunción y negación son suficiente para representar a la condicional material y bicondicional material y cualquier esquema molecular que intentemos desarrollar.
Circuito lógico de la condicional
Para representar el circuito lógico de la condicional, basta con usar una ley lógica:
\[ p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q \]
Este sería un circuito en paralelo con la proposición \( p \) negada:
También sabemos que se puede escribir así:
\[ p \rightarrow q \equiv p \wedge \sim q \]
Esto nos ayudará a representar el siguiente conectivo lógico como la bicondicional.
Circuito lógico de la bicondicional
El circuito lógico de la bicondicional con ayuda del la siguiente ley lógica:
\[ p \leftrightarrow q \equiv ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \]
Este circuito es igual a la conjunción y se puede representar así:
Pero como \( ( p \rightarrow q ) \) y \( q \rightarrow p \) se pueden representar de la siguiente manera:
\[ p \rightarrow q \]
\[ q \rightarrow p \]
Por tanto, nuestro circuito lógico de la bicondicional sería:
Circuito lógico de la disyunción exclusiva
En la sección de leyes lógicas no hemos mencionado ninguna ley específica para la disyunción exclusiva porque usualmente es la que menos se toma en cuenta y la que menos se usa tanto en la teoría como en los ejercicios de lógica.
Pero también se puede representar con circuitos lógicos, para lograrlo, tenemos que reducirlo bajo la posibles combinaciones de la disyunción inclusiva, la conjunción y la negación.
Comencemos haciendo la siguiente comparación:
Tabla de verdad de la disyunción exclusiva.
\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \bigtriangleup q \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \end{array} \]
Tabla de verdad de la bicondicional lógica.
\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \leftrightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \end{array} \]
Como se habrán dado cuenta, la disyunción exclusiva y la bicondicional son proposiciones opuestas, por tanto, podemos escribir esta disyunción así:
\[ p \bigtriangleup q \equiv \sim ( p \leftrightarrow q ) \]
Donde \( p \leftrightarrow q \equiv ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \), tenemos:
\[ p \bigtriangleup q \equiv \sim [ ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) ] \equiv \sim ( p \rightarrow q ) \vee \sim ( q \rightarrow p ) \]
Pero: \( p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q \) y \( q \rightarrow p \equiv \sim q \vee p \), reemplazando:
\[ p \bigtriangleup q \equiv \sim ( \sim p \vee q ) \vee \sim ( \sim q \vee p ) \]
\[ p \bigtriangleup q \equiv ( p \wedge \sim q ) \vee ( q ) \]
Con esta identidad lógica podemos realizar nuestro circuito lógico, como podemos ver, la disyunción exclusiva se puede expresar como una disyunción inclusiva. Nuestro circuito sería:
Pero los esquemas \( p \wedge \sim q \) y \( q \wedge \sim p \) representan a circuitos en serie, por tanto, la forma final del circuito de la disyunción exclusiva es:
Y este sería la representación final del circuito lógico de la disyunción exclusiva.
Pero quiero aclarar un punto interesante cuando expresamos los esquemas moleculares en esta forma gráfica, existen otras maneras de representar a las proposiciones, hemos visto dos de ellas, una es la habitual, con variables proposicionales y con los diferentes símbolos de los conectivos lógicos, la otra forma sería por medio de las llamados circuitos lógicos.
El Álgebra de Boole es la manera adecuada de formalizar las funciones booleanas dándole un significado a estas gráficas usando caracteres simbólicos adecuados. Solo quería aclarar este punto, en otra oportunidad en secciones auxiliares desarrollaremos un capitulo entero del Álgebra de Boole.
Fin de la sección actual
Por fin terminamos la teoría del capítulo de lógica proposicional, la siguiente sección nos dedicaremos a ejercicios resueltos donde actualizaremos agregando más problemas para resolver de todas las secciones incluido algunos ejercicios resueltos de circuitos lógicos.
Como se habrán dado cuenta los circuitos lógicos con interruptores representa a la tabla de verdad de los conectivos lógicos y sin ellas, los esquemas moleculares. También hemos visto que cualquier esquema molecular se puede reducir a circuitos lógicos en serie y en paralelo.
Los circuitos lógicos en el campo de las matemáticas no es una sección muy usada que digamos, solo es un esbozo de la representación gráfica de los esquemas moleculares que se presentan en este capítulo.
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