Este documento presenta una colección de ejercicios de Cuantificadores Lógicos con soluciones practicas y pedagógicas diseñados para reforzar y consolidar las habilidades teóricas adquiridas durante el estudio de esta rama fundamental de las matemáticas y la filosofía.
Los ejercicios aquí desarrollados complementan el contenido teórico estudiado en el siguiente documento de referencia:
Cuantificadores Lógicos: Guía Completa — Funciones proposicionales, cuantificador universal (∀), cuantificador existencial (∃), cuantificador de unicidad (∃!), negación de cuantificadores y múltiples cuantificadores.
Objetivo
El objetivo de esta colección es proporcionar práctica sistemática en:
- Evaluación del valor de verdad de proposiciones cuantificadas
- Identificación de contraejemplos para refutar proposiciones universales
- Formalización de enunciados verbales a expresiones con cuantificadores y predicados
- Negación correcta de proposiciones cuantificadas simples y compuestas
- Distinción entre enunciados proposicionales y funciones proposicionales
- Análisis de proposiciones con múltiples cuantificadores y el efecto del orden
- Integración de todos los conceptos en ejercicios de mayor complejidad
Estructura del documento
Los ejercicios están organizados en varias secciones y con una dificultad mayor a medida que el usuario avance en la lectura de cada ejercicio, cada uno dividido en secciones temáticas. El documento incluye un resumen teórico de referencia al inicio que condensa los conceptos clave necesarios para resolver los ejercicios.
Resumen teórico
Los cuantificadores extienden la lógica proposicional para analizar argumentos que involucran «todos» o «algunos» — situaciones que las variables proposicionales simples (\( p \), \( q \), \( r \)) no pueden capturar.
Función proposicional (enunciado abierto)
Una función proposicional es una expresión con una o más variables que se convierte en proposición (verdadera o falsa) al sustituir las variables por valores concretos de un dominio.
Ejemplo: \( P(x) \): «\( x + 5 < 11 \)» con \( x \in \mathbb{Z} \)
- Si \( x = 3 \): \( P(3) \): «\( 8 < 11 \)» → Verdadero ✓
- Si \( x = 7 \): \( P(7) \): «\( 12 < 11 \)» → Falso ✗
Cuantificador universal (∀)
Afirma que todos los elementos del dominio cumplen una propiedad.
\[ \forall x \in A: P(x) \]
Se lee: «Para todo \( x \) perteneciente a \( A \), se cumple \( P(x) \)».
Clave: Basta encontrar un solo elemento que no cumpla la propiedad para que sea falsa.
Cuantificador existencial (∃)
Afirma que existe al menos un elemento que cumple la propiedad.
\[ \exists x \in A: P(x) \]
Se lee: «Existe al menos un \( x \) en \( A \) tal que se cumple \( P(x) \)».
Clave: Basta encontrar un solo elemento que cumpla la propiedad para que sea verdadera.
Cuantificador de unicidad (∃!)
Afirma que existe exactamente un elemento que cumple la propiedad.
\[ \exists! x \in A: P(x) \]
Ejemplo: \( \exists! x \in \mathbb{Z}: 2 < x < 4 \) → Solo \( x = 3 \) cumple la condición. Verdadero ✓
Relación entre ∀ y ∃
| Si… | Entonces… |
|---|---|
| \( \forall x: P(x) \) es verdadera | \( \exists x: P(x) \) también es verdadera |
| \( \exists x: P(x) \) es falsa | \( \forall x: P(x) \) también es falsa |
💡 Si todos cumplen la propiedad, entonces al menos uno la cumple. Y si ninguno la cumple, entonces no todos la cumplen. (Lo contrario no siempre se cumple.)
Negación de cuantificadores
| Original | Negación |
|---|---|
| \( \forall x: P(x) \) | \( \exists x: \neg P(x) \) |
| \( \exists x: P(x) \) | \( \forall x: \neg P(x) \) |
En palabras:
- «No es cierto que todos cumplan \( P \)» ≡ «Existe al menos uno que no cumple \( P \)»
- «No es cierto que exista alguno que cumpla \( P \)» ≡ «Todos no cumplen \( P \)»
Negación con conectivos: Al negar proposiciones cuantificadas que contienen conectivos, se siguen dos pasos en orden:
- Primero se cambia cada cuantificador (\( \forall \leftrightarrow \exists \))
- Luego se niega la propiedad del final, aplicando las leyes conocidas:
- \( \neg(p \rightarrow q) \equiv p \land \neg q \)
- \( \neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q \) (De Morgan)
- \( \neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q \) (De Morgan)
Múltiples cuantificadores
Cuando una función proposicional tiene dos o más variables, se aplica un cuantificador a cada una:
\[ \forall x, \exists y: P(x, y) \]
Regla fundamental — El orden importa:
| Combinación | ¿El orden importa? |
|---|---|
| \( \forall x, \forall y \) = \( \forall y, \forall x \) | No |
| \( \exists x, \exists y \) = \( \exists y, \exists x \) | No |
| \( \forall x, \exists y \) ≠ \( \exists y, \forall x \) | Sí ⚠️ (al mezclar \( \forall \) con \( \exists \)) |
Negación con múltiples cuantificadores: Se cambia cada cuantificador (\( \forall \leftrightarrow \exists \)) de izquierda a derecha y se niega la propiedad al final:
\[ \neg[\forall x, \exists y: P(x, y)] \equiv \exists x, \forall y: \neg P(x, y) \]
Sección 1: Valor de verdad con ∀ y ∃
Ejercicio 1.
Si \( p(x) \) denota el enunciado «\( x + 2 > 5 \)», establecer si \( p(x) \) es o no una función lógica sobre cada uno de los siguientes conjuntos:
(1) \( \mathbb{N} \), el conjunto de los números naturales
(2) \( M = {-1, -2, -3, \ldots} \)
(3) \( \mathbb{C} \), el conjunto de los números complejos
Solución:
💡 Recordemos: Una expresión es función lógica sobre un conjunto si, al sustituir la variable por cualquier elemento del conjunto, se obtiene una proposición (verdadera o falsa). Si la sustitución no produce ni V ni F, no es función lógica sobre ese conjunto.
(1) Sí. Al sustituir cualquier \( x \in \mathbb{N} \), obtenemos una proposición:
- \( x = 1 \): \( 1 + 2 > 5 \) → \( 3 > 5 \) es Falso ✗
- \( x = 4 \): \( 4 + 2 > 5 \) → \( 6 > 5 \) es Verdadero ✓
Siempre se obtiene V o F → es función lógica sobre \( \mathbb{N} \).
(2) Sí. Aunque \( p(x) \) resulta falso para todo elemento de \( M \) (por ejemplo: \( x = -1 \): \( -1 + 2 = 1 \not> 5 \)), esto no importa. Lo relevante es que cada sustitución sí produce un valor de verdad (Falso). Una función lógica puede ser siempre falsa y seguir siendo función lógica.
(3) No. Si \( x = 2i \), la expresión \( 2i + 2 > 5 \) no tiene sentido porque la desigualdad \( > \) no está definida entre números complejos. La sustitución no produce ni V ni F → no es función lógica sobre \( \mathbb{C} \).
Ejercicio 2.
Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados donde \( x \in \mathbb{R} \)
(1) \( \forall x, |x| = x \)
(2) \( \exists x, x^2 = x \)
(3) \( \forall x, x + 1 > x \)
(4) \( \exists x, x + 2 = x \)
(5) \( \exists x, |x| = 0 \)
Solución:
💡 Estrategia: Para refutar un \( \forall \), basta un contraejemplo. Para confirmar un \( \exists \), basta un testigo (un valor que funcione).
(1) Falso. Contraejemplo: \( x = -3 \) → \( |-3| = 3 \neq -3 \). Con un solo valor negativo, el enunciado \( \forall \) ya es falso.
(2) Verdadero. Testigo: \( x = 1 \) → \( 1^2 = 1 \) ✓. También funciona \( x = 0 \): \( 0^2 = 0 \). Basta encontrar uno.
(3) Verdadero. Simplificando: \( x + 1 > x \iff 1 > 0 \), lo cual es siempre verdadero, sin importar el valor de \( x \).
(4) Falso. La ecuación \( x + 2 = x \) equivale a \( 2 = 0 \), que es una contradicción. No existe ningún \( x \) real que la satisfaga.
(5) Verdadero. Testigo: \( x = 0 \) → \( |0| = 0 \) ✓. Además, es el único valor que lo cumple (\( \exists! \)).
Ejercicio 3.
Dado \( A = {1, 2, 3, 4, 5} \), hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados.
(1) \( (\exists x \in A)(x + 3 = 10) \)
(2) \( (\forall x \in A)(x + 3 < 10) \)
(3) \( (\exists x \in A)(x + 3 < 5) \)
(4) \( (\forall x \in A)(x + 3 = 7) \)
Solución:
💡 Como \( A \) es finito, podemos verificar cada elemento. Para \( \exists \) basta que uno funcione; para \( \forall \) deben funcionar todos.
(1) Falso. Se necesita \( x + 3 = 10 \), es decir \( x = 7 \). Pero \( 7 \notin A \) → ningún elemento de \( A \) satisface la ecuación.
(2) Verdadero. Verificamos: \( 1+3=4 \), \( 2+3=5 \), \( 3+3=6 \), \( 4+3=7 \), \( 5+3=8 \). Todos son \( < 10 \) ✓
(3) Verdadero. Se necesita \( x + 3 < 5 \), es decir \( x < 2 \). Con \( x = 1 \): \( 1 + 3 = 4 < 5 \) ✓. Basta un testigo.
(4) Falso. Se necesita \( x + 3 = 7 \) para todo \( x \), es decir \( x = 4 \) para todos. Contraejemplo: \( x = 5 \) → \( 5 + 3 = 8 \neq 7 \).
Ejercicio 4.
Determinar el valor de verdad donde \( x \in \mathbb{R} \)
(1) \( \forall x, x^2 = x \)
(2) \( \exists x, 2x = x \)
(3) \( \exists x, x^3 + 3x – 2 = 0 \)
(4) \( \forall x, x – 3 < x \)
(5) \( \exists x, x^2 + 2x + 3 = 0 \)
(6) \( \forall x, 2x + 3x = 5x \)
Solución:
(1) Falso. Contraejemplo: si \( x = 2 \), entonces \( 2^2 = 4 \neq 2 \).
(2) Verdadero. Si \( x = 0 \), entonces \( 2(0) = 0 \) ✓
(3) Verdadero. Evaluemos \( f(x) = x^3 + 3x – 2 \): \( f(0) = -2 < 0 \) y \( f(1) = 1 + 3 – 2 = 2 > 0 \). Como \( f \) es continua y cambia de signo, por el teorema del valor intermedio existe al menos un \( x \in (0, 1) \) tal que \( f(x) = 0 \).
📘 Nota – Teorema del valor intermedio: Si una función matemática que es un «trazo continuo» pasa de tener un valor negativo a uno positivo, obligatoriamente su gráfica tiene que cruzar el cero en algún punto en el medio. Piensa que no puedes ir desde abajo hacia arriba sin atravesar el suelo.
(4) Verdadero. Simplificando: \( x – 3 < x \iff -3 < 0 \), lo cual siempre es verdadero para todo \( x \in \mathbb{R} \).
(5) Falso. Completando el cuadrado: \( x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2 \). Como \( (x+1)^2 \geq 0 \), entonces \( (x+1)^2 + 2 \geq 2 > 0 \) para todo \( x \in \mathbb{R} \). La ecuación nunca se satisface.
(6) Verdadero. Por propiedad distributiva: \( 2x + 3x = (2+3)x = 5x \) para todo \( x \in \mathbb{R} \).
Ejercicio 5.
Sea \( {1, 2, 3, 4} \) el conjunto universal. Determinar el valor de verdad:
(1) \( \forall x, x + 3 < 6 \)
(2) \( \exists x, x + 3 < 6 \)
(3) \( \forall x, x^4 – 10 = 8 \)
(4) \( \exists x, 2x^4 + x = 15 \)
Solución:
(1) Falso. Probemos con cada \( x \):
- \( x = 1 \): \( 4 < 6 \) ✓
- \( x = 2 \): \( 5 < 6 \) ✓
- \( x = 3 \): \( 6 < 6 \) ✗ — falla aquí
(2) Verdadero. Con \( x = 1 \): \( 1 + 3 = 4 < 6 \) ✓. Basta un ejemplo.
(3) Falso. Se necesita \( x^4 = 18 \) para todo \( x \):
- \( x = 1 \): \( 1^4 – 10 = -9 \neq 8 \) ✗ — ya falla
(4) Falso. Probemos cada \( x \):
- \( x = 1 \): \( 2(1) + 1 = 3 \neq 15 \)
- \( x = 2 \): \( 2(16) + 2 = 34 \neq 15 \)
- \( x = 3 \): \( 2(81) + 3 = 165 \neq 15 \)
- \( x = 4 \): \( 2(256) + 4 = 516 \neq 15 \)
Ningún \( x \) satisface la ecuación.
Sección 2: Contraejemplos
Ejercicio 6.
Averiguar un contraejemplo para cada uno de los enunciados siguientes. Aquí \( B = {2, 3, \ldots, 8, 9} \).
(1) \( \forall x \in B, x + 5 < 12 \)
(2) \( \forall x \in B, x \) es primo
(3) \( \forall x \in B, x^2 > 1 \)
(4) \( \forall x \in B, x \) es par
Solución:
Un contraejemplo es un valor que demuestra que un enunciado \( \forall \) es falso. Basta encontrar uno solo que no cumpla la propiedad:
(1) Si \( x_0 = 7 \), 8 ó 9, entonces \( x_0 + 5 < 12 \) no es verdadero; y cualquiera de los 7, 8 ó 9 es un contraejemplo.
(2) Como 4 no es primo, 4 es un contraejemplo.
(3) El enunciado es verdadero; así que no hay contraejemplo.
(4) Siendo 3 impar, 3 es un contraejemplo.
Ejercicio 7.
Dar un contraejemplo para cada enunciado falso. Aquí \( {3, 5, 7, 9} \) es el conjunto universal.
(1) \( \forall x, x + 3 \geq 7 \)
(2) \( \forall x, x \) es impar
(3) \( \forall x, x \) es primo
(4) \( \forall x, |x| = x \)
Solución:
(1) Falso. Contraejemplo: \( x = 3 \) → \( 3 + 3 = 6 \not\geq 7 \)
(2) Verdadero. Todos los elementos de \( {3, 5, 7, 9} \) son impares. No hay contraejemplo.
(3) Falso. Contraejemplo: \( x = 9 \) → \( 9 = 3 \times 3 \), no es primo.
(4) Verdadero. Todos los elementos son positivos, así que \( |x| = x \) para todo \( x \in {3, 5, 7, 9} \). No hay contraejemplo.
Sección 3: Formalización con predicados y cuantificadores
Ejercicio 8.
Representar en cálculo de predicados: «Algunos son amigos de Luis»
Solución:
Paso 1 — Identificar el cuantificador: La palabra clave es «algunos», que indica que al menos uno cumple la propiedad. Esto corresponde al cuantificador existencial \( \exists \).
Paso 2 — Definir predicados y constantes:
- \( l \): Luis (constante, un individuo específico)
- \( A(x, y) \): «\( x \) es amigo de \( y \)»
Paso 3 — Construir la fórmula:
\( \exists x , A(x, l) \)
Verificación (lectura inversa): «Existe al menos un \( x \) tal que \( x \) es amigo de Luis» ✓ — coincide con el enunciado original.
Ejercicio 9.
Representar en cálculo de predicados: «Todos son hermanos»
Solución:
Paso 1 — Identificar el cuantificador: La palabra clave es «todos», que indica que la propiedad se cumple para cada uno. Esto corresponde al cuantificador universal \( \forall \).
Paso 2 — Analizar la relación: «Todos son hermanos» implica que cada individuo es hermano de cada otro individuo. Como la relación involucra dos participantes (\( x \) es hermano de \( y \)), necesitamos dos cuantificadores universales.
Paso 3 — Definir predicados:
- \( H(x, y) \): «\( x \) es hermano de \( y \)»
Paso 4 — Construir la fórmula:
\( \forall x , \forall y , H(x, y) \)
Verificación (lectura inversa): «Para todo \( x \) y para todo \( y \), \( x \) es hermano de \( y \)» ✓
💡 Nota: Esta fórmula incluye el caso \( x = y \), lo que significaría «\( x \) es hermano de sí mismo». Si se quisiera excluir ese caso, se escribiría: \( \forall x , \forall y , (x \neq y \rightarrow H(x, y)) \)
Ejercicio 10.
Representar en cálculo de predicados:
a) «Algunos peces son amarillos»
b) «Todos los peces son amarillos»
Solución:
Predicados:
- \( P(x) \): «\( x \) es pez»
- \( A(x) \): «\( x \) es amarillo»
a) «Algunos peces son amarillos» → Buscamos individuos que sean peces y además amarillos a la vez.
Fórmula: \( \exists x (P(x) \land A(x)) \)
b) «Todos los peces son amarillos» → Si un individuo es pez, entonces es amarillo.
Fórmula: \( \forall x (P(x) \rightarrow A(x)) \)
⚠️ Error común: Un estudiante podría escribir \( \forall x (P(x) \land A(x)) \), pero esto diría «todo individuo del universo es pez y amarillo» — incluyendo personas, objetos, etc. Lo correcto es usar el condicional (→) porque solo nos interesa lo que pasa con los individuos que ya son peces.
💡 Regla práctica:
- Con ∃ (existencial) → se usa ∧ (conjunción): «existe algo que es A y B»
- Con ∀ (universal) → se usa → (condicional): «para todo x, si es A entonces es B»
Ejercicio 11.
Representar en cálculo de predicados: «Algunos marineros sólo son novios de las chicas que son fans de Julio Iglesias»
Solución:
Paso 1 — Identificar la estructura: La frase tiene dos partes:
- «Algunos marineros…» → \( \exists x \) con propiedad de ser marinero
- «…sólo son novios de las chicas fans de Julio Iglesias» → restricción sobre todas sus novias
Paso 2 — Interpretar «sólo»: La palabra «sólo» indica una restricción exclusiva. Si un marinero \( x \) es novio de alguien \( y \), entonces \( y \) necesariamente es fan de Julio Iglesias. Esto se traduce como un condicional: \( N(x, y) \rightarrow JI(y) \)
Paso 3 — Definir predicados:
- \( M(x) \): «\( x \) es marinero»
- \( N(x, y) \): «\( x \) es novio de \( y \)»
- \( JI(y) \): «\( y \) es fan de Julio Iglesias»
Paso 4 — Construir la fórmula:
\( \exists x [M(x) \land \forall y (N(x, y) \rightarrow JI(y))] \)
Verificación (lectura inversa): «Existe al menos un \( x \) que es marinero y para toda persona \( y \), si \( x \) es novio de \( y \), entonces \( y \) es fan de Julio Iglesias» ✓
Ejercicio 12.
Representar en cálculo de predicados: «Sólo los españoles se dejan conquistar por las chicas de Informática»
Solución:
Paso 1 — Interpretar «sólo»: La palabra «sólo» restringe quiénes pueden hacer algo. «Sólo los españoles…» significa: si alguien se deja conquistar, entonces necesariamente es español. El condicional va en esta dirección:
\( \text{se deja conquistar} \rightarrow \text{es español} \)
⚠️ Cuidado: Un error frecuente es escribir \( E(x) \rightarrow C(x, y) \) («si es español, entonces se deja conquistar»), pero eso diría que todos los españoles se dejan conquistar, lo cual no es lo que dice el enunciado.
Paso 2 — Identificar los cuantificadores: La frase habla de todo individuo \( x \) y toda chica \( y \), así que usamos \( \forall x , \forall y \).
Paso 3 — Definir predicados:
- \( E(x) \): «\( x \) es español»
- \( C(x, y) \): «\( x \) se deja conquistar por \( y \)»
- \( I(y) \): «\( y \) es chica de Informática»
Paso 4 — Construir la fórmula:
\( \forall x , \forall y (C(x, y) \land I(y) \rightarrow E(x)) \)
Verificación (lectura inversa): «Para todo \( x \) y todo \( y \), si \( x \) se deja conquistar por \( y \) y \( y \) es chica de Informática, entonces \( x \) es español» ✓
Sección 4: Negación de cuantificadores
Ejercicio 13.
Negar los siguientes enunciados.
(1) \( \forall x, |x| = x \)
(2) \( \exists x, x^2 = x \)
(3) \( \forall x, x + 1 > x \)
(4) \( \exists x, x + 2 = x \)
(5) \( \exists x, |x| = 0 \)
Solución:
Recordemos la regla: \( \sim\forall \equiv \exists\sim \) y \( \sim\exists \equiv \forall\sim \). Se cambia el cuantificador y se niega el predicado:
(1) \( \sim\forall x, |x| = x \equiv \exists x \sim(|x| = x) \equiv \exists x, |x| \neq x \)
(2) \( \sim\exists x, x^2 = x \equiv \forall x \sim(x^2 = x) \equiv \forall x, x^2 \neq x \)
(3) \( \sim\forall x, x + 1 > x \equiv \exists x \sim(x + 1 > x) \equiv \exists x, x + 1 \leq x \)
(4) \( \sim\exists x, x + 2 = x \equiv \forall x \sim(x + 2 = x) \equiv \forall x, x + 2 \neq x \)
(5) \( \sim\exists x, |x| = 0 \equiv \forall x \sim(|x| = 0) \equiv \forall x, |x| \neq 0 \)
Ejercicio 14.
Negar los siguientes enunciados.
(1) \( (\exists x \in A)(x + 3 = 10) \)
(2) \( (\forall x \in A)(x + 3 < 10) \)
(3) \( (\exists x \in A)(x + 3 < 5) \)
(4) \( (\forall x \in A)(x + 3 = 7) \)
Solución:
Misma regla que el ejercicio anterior, pero conservando el dominio \( A \) en cada cuantificador:
(1) \( \sim(\exists x \in A)(x + 3 = 10) \equiv (\forall x \in A) \sim(x + 3 = 10) \equiv (\forall x \in A)(x + 3 \neq 10) \)
(2) \( \sim(\forall x \in A)(x + 3 < 10) \equiv (\exists x \in A) \sim(x + 3 < 10) \equiv (\exists x \in A)(x + 3 \geq 10) \)
(3) \( \sim(\exists x \in A)(x + 3 < 5) \equiv (\forall x \in A) \sim(x + 3 < 5) \equiv (\forall x \in A)(x + 3 \geq 5) \)
(4) \( \sim(\forall x \in A)(x + 3 = 7) \equiv (\exists x \in A) \sim(x + 3 = 7) \equiv (\exists x \in A)(x + 3 > 7) \)
Ejercicio 15.
Negar los enunciados del ejercicio 4.
Solución:
Se cambia el cuantificador y se niega el predicado:
(1) \( \sim(\forall x, x^2 = x) \equiv \exists x, x^2 \neq x \)
(2) \( \sim(\exists x, 2x = x) \equiv \forall x, 2x \neq x \)
(3) \( \sim(\exists x, x^3 + 3x – 2 = 0) \equiv \forall x, x^3 + 3x – 2 \neq 0 \)
(4) \( \sim(\forall x, x – 3 < x) \equiv \exists x, x – 3 \geq x \)
(5) \( \sim(\exists x, x^2 + 2x + 3 = 0) \equiv \forall x, x^2 + 2x + 3 \neq 0 \)
(6) \( \sim(\forall x, 2x + 3x = 5x) \equiv \exists x, 2x + 3x \neq 5x \)
Ejercicio 16.
Negar los enunciados:
(1) \( \forall x , p(x) \land \exists y , q(y) \)
(2) \( \exists x , p(x) \lor \forall y , q(y) \)
Solución:
💡 Proceso en dos pasos: (1) Se aplica De Morgan al conectivo principal (∧ o ∨), (2) se niega cada cuantificador por separado.
(1) El conectivo principal es \( \land \). Aplicamos \( \sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q \); luego negamos cada cuantificador:
\( \sim(\forall x , p(x) \land \exists y , q(y)) \equiv \sim\forall x , p(x) \lor \sim\exists y , q(y) \equiv \exists x \sim p(x) \lor \forall y \sim q(y) \)
(2) El conectivo principal es \( \lor \). Aplicamos \( \sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q \); luego negamos cada cuantificador:
\( \sim(\exists x , p(x) \lor \forall y , q(y)) \equiv \sim\exists x , p(x) \land \sim\forall y , q(y) \equiv \forall x \sim p(x) \land \exists y \sim q(y) \)
Sección 5: Negación oracional
Ejercicio 17.
Negar los siguientes enunciados.
(1) Si hay un motín, alguien está muerto.
(2) Es de día y todo el mundo se ha levantado.
Solución:
💡 Estrategia — Negación oracional: Estos enunciados mezclan conectivos lógicos (→, ∧) con palabras que esconden cuantificadores («alguien» = ∃, «todo el mundo» = ∀). Para negarlos correctamente, hay que hacer dos cosas: (1) aplicar la ley de negación del conectivo principal y (2) negar los cuantificadores ocultos en el lenguaje natural.
(1) «Si hay un motín, alguien está muerto.»
Paso 1 — Identificar la estructura:
- \( p \): «Hay un motín» (proposición simple)
- \( q \): «Alguien está muerto» (esconde un \( \exists x: \text{Muerto}(x) \))
- Conectivo principal: condicional → Estructura: \( p \rightarrow q \)
Paso 2 — Negar el conectivo principal:
\( \sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q \)
Paso 3 — Negar el cuantificador oculto en \( q \):
\( \sim q \) = «No es cierto que alguien está muerto» = «Todos están vivos» (El \( \exists \) se convierte en \( \forall \) y «muerto» se niega a «vivo»)
Negación: «Hay un motín y todos están vivos»
⚠️ Error común: Un estudiante podría negar así: «Si no hay un motín, nadie está muerto». Esto es incorrecto porque negar un condicional no es negar cada parte por separado — la negación de \( p \rightarrow q \) es \( p \land \sim q \), no \( \sim p \rightarrow \sim q \).
(2) «Es de día y todo el mundo se ha levantado.»
Paso 1 — Identificar la estructura:
- \( p \): «Es de día» (proposición simple)
- \( q \): «Todo el mundo se ha levantado» (esconde un \( \forall x: \text{Levantado}(x) \))
- Conectivo principal: conjunción → Estructura: \( p \land q \)
Paso 2 — Negar el conectivo principal (De Morgan):
\( \sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q \)
Paso 3 — Negar cada parte:
- \( \sim p \) = «No es de día» = «Es de noche»
- \( \sim q \) = «No es cierto que todo el mundo se ha levantado» = «Alguien no se ha levantado» (El \( \forall \) se convierte en \( \exists \) al negar)
Negación: «Es de noche o alguien no se ha levantado»
Verificación rápida: ¿La negación tiene sentido? El enunciado original afirma dos cosas a la vez (de día + todos levantados). Su negación debe ser verdadera cuando al menos una de esas cosas falle — y eso es exactamente lo que dice la negación con «o». ✓
Ejercicio 18.
Negar los siguientes enunciados:
(1) Si el maestro está ausente, algunos estudiantes no terminan su tarea.
(2) Todos los estudiantes terminaron su tarea y el maestro está presente.
(3) Algunos estudiantes no terminaron su tarea o el maestro está ausente.
Solución:
💡 Observación: Los tres incisos usan las mismas proposiciones pero con conectivos distintos (→, ∧, ∨). Esto los hace ideales para comparar cómo cambia la negación según el conectivo principal. Usaremos las mismas variables en los tres:
- \( p \): «El maestro está ausente»
- \( T(x) \): «El estudiante \( x \) terminó su tarea»
(1) «Si el maestro está ausente, algunos estudiantes no terminan su tarea.»
Paso 1 — Identificar la estructura:
- Conectivo principal: condicional (→)
- \( q \): «Algunos estudiantes no terminan su tarea» = \( \exists x: \sim T(x) \)
- Estructura: \( p \rightarrow q \)
Paso 2 — Negar: \( \sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q \)
Paso 3 — Interpretar \( \sim q \): \( \sim q \) = «No es cierto que algunos no terminan» = «Todos terminan su tarea» (\( \sim\exists x: \sim T(x) \equiv \forall x: T(x) \) — doble negación: el ∃ cambia a ∀ y el ¬T se deshace)
Negación: «El maestro está ausente y todos los estudiantes terminan su tarea»
(2) «Todos los estudiantes terminaron su tarea y el maestro está presente.»
Paso 1 — Identificar la estructura:
- Conectivo principal: conjunción (∧)
- \( r \): «Todos los estudiantes terminaron su tarea» = \( \forall x: T(x) \)
- \( \sim p \): «El maestro está presente» (lo opuesto de «ausente»)
- Estructura: \( r \land \sim p \)
Paso 2 — Negar (De Morgan): \( \sim(r \land \sim p) \equiv \sim r \lor p \)
Paso 3 — Interpretar:
- \( \sim r \) = «Algunos estudiantes no terminaron su tarea» (\( \forall \to \exists \) al negar)
- \( p \) = «El maestro está ausente»
Negación: «Algunos estudiantes no terminaron su tarea o el maestro está ausente»
(3) «Algunos estudiantes no terminaron su tarea o el maestro está ausente.»
Paso 1 — Identificar la estructura:
- Conectivo principal: disyunción (∨)
- \( s \): «Algunos estudiantes no terminaron su tarea» = \( \exists x: \sim T(x) \)
- Estructura: \( s \lor p \)
Paso 2 — Negar (De Morgan): \( \sim(s \lor p) \equiv \sim s \land \sim p \)
Paso 3 — Interpretar:
- \( \sim s \) = «Todos los estudiantes terminaron su tarea» (\( \exists \to \forall \) al negar)
- \( \sim p \) = «El maestro está presente»
Negación: «Todos los estudiantes terminaron su tarea y el maestro está presente»
💡 ¿Notaste algo? La negación de (2) es exactamente el enunciado (3), y la negación de (3) es exactamente el enunciado (2). ¡Son negaciones mutuas! Esto tiene sentido: De Morgan nos dice que \( \sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q \), así que negar dos veces nos devuelve al original.
Sección 6: Enunciado vs función lógica
Ejercicio 19.
Sea \( A = {1, 2, \ldots, 9, 10} \). Considerando los siguientes enunciados formales, decir si es enunciado o función lógica; si es enunciado, indicar si es verdadero o falso; si es función lógica, determinar el conjunto de validez.
(1) \( (\forall x \in A)(\exists y \in A)(x + y < 14) \)
(2) \( (\forall y \in A)(x + y < 14) \)
(3) \( (\forall x \in A)(\forall y \in A)(x + y < 14) \)
(4) \( (\exists y \in A)(x + y < 14) \)
Solución:
💡 Regla clave: Si todas las variables tienen cuantificador → es un enunciado (verdadero o falso). Si alguna variable queda libre (sin cuantificador) → es una función lógica y se busca su conjunto de validez (CV).
Clasifiquemos primero antes de resolver:
| Inciso | \( x \) | \( y \) | ¿Tipo? |
|---|---|---|---|
| (1) | ∀ (ligada) | ∃ (ligada) | Enunciado |
| (2) | libre | ∀ (ligada) | Función lógica en \( x \) |
| (3) | ∀ (ligada) | ∀ (ligada) | Enunciado |
| (4) | libre | ∃ (ligada) | Función lógica en \( x \) |
(1) \( (\forall x \in A)(\exists y \in A)(x + y < 14) \) → Enunciado.
Es verdadero: para cada \( x \in A \), basta elegir \( y = 1 \) y se cumple \( x + 1 \leq 11 < 14 \) para todo \( x \leq 10 \). ✓
(2) \( (\forall y \in A)(x + y < 14) \) → Función lógica en \( x \).
Para que \( x_0 + y < 14 \) sea verdadero para todo \( y \in A \), el caso más exigente es el mayor \( y \): necesitamos \( x_0 + 10 < 14 \), es decir \( x_0 < 4 \).
- \( x = 1 \): \( 1 + 10 = 11 < 14 \) ✓
- \( x = 3 \): \( 3 + 10 = 13 < 14 \) ✓
- \( x = 4 \): \( 4 + 10 = 14 \not< 14 \) ✗ — falla aquí
CV = \( {1, 2, 3} \)
(3) \( (\forall x \in A)(\forall y \in A)(x + y < 14) \) → Enunciado.
Es falso. Contraejemplo: \( x = 8, y = 9 \) → \( 17 \not< 14 \). ✗
(4) \( (\exists y \in A)(x + y < 14) \) → Función lógica en \( x \).
Para cada \( x_0 \), basta encontrar un solo \( y \) que funcione. Usando \( y = 1 \):
- \( x_0 + 1 \leq 11 < 14 \) para todo \( x_0 \in A \) ✓
CV = \( A \) (el conjunto completo)
💡 Comparación: Observa cómo (1) y (4) usan ∃ para \( y \) — y ambos «pasan fácil» porque basta elegir \( y = 1 \). En cambio (2) y (3) usan ∀ para \( y \) — y el caso extremo \( y = 10 \) los hace restrictivos. El cuantificador ∀ es siempre más exigente que ∃.
Ejercicio 20.
Sea \( {1, 2, 3, 4, 5} \) el conjunto universal. Hallar el conjunto de validez:
(1) \( \exists x, 2x + y < 7 \)
(2) \( \exists y, 2x + y < 7 \)
(3) \( \forall x, 2x + y < 10 \)
(4) \( \forall y, 2x + y < 10 \)
Solución:
💡 Solo la variable cuantificada está «atada»; la otra queda libre, por lo que cada expresión es una función lógica y buscamos su conjunto de validez (CV). La estrategia depende del cuantificador:
- ∃ (existencial): basta que funcione con el mejor candidato (el valor más pequeño, que minimiza la expresión)
- ∀ (universal): debe funcionar incluso con el peor caso (el valor más grande, que maximiza la expresión)
(1) \( \exists x, 2x + y < 7 \) — variable libre: \( y \).
Para cada \( y \), basta encontrar un \( x \) que funcione. El mejor candidato es \( x = 1 \) (minimiza \( 2x \)):
\( 2(1) + y < 7 \implies y < 5 \)
- \( y = 1 \): \( 2+1=3 < 7 \) ✓
- \( y = 4 \): \( 2+4=6 < 7 \) ✓
- \( y = 5 \): \( 2+5=7 \not< 7 \) ✗ (y con \( x = 2, 3, \ldots \) es peor)
CV = \( {1, 2, 3, 4} \)
(2) \( \exists y, 2x + y < 7 \) — variable libre: \( x \).
Para cada \( x \), basta encontrar un \( y \) que funcione. El mejor candidato es \( y = 1 \) (minimiza \( y \)):
\( 2x + 1 < 7 \implies x < 3 \)
- \( x = 1 \): \( 2+1=3 < 7 \) ✓
- \( x = 2 \): \( 4+1=5 < 7 \) ✓
- \( x = 3 \): \( 6+1=7 \not< 7 \) ✗ (y con \( y = 2, 3, \ldots \) es peor)
CV = \( {1, 2} \)
(3) \( \forall x, 2x + y < 10 \) — variable libre: \( y \).
Debe cumplirse para todo \( x \). El peor caso es \( x = 5 \) (maximiza \( 2x \)):
\( 2(5) + y < 10 \implies y < 0 \)
Ningún \( y \in {1, 2, 3, 4, 5} \) satisface \( y < 0 \).
CV = \( \varnothing \) (vacío)
(4) \( \forall y, 2x + y < 10 \) — variable libre: \( x \).
Debe cumplirse para todo \( y \). El peor caso es \( y = 5 \) (maximiza \( y \)):
\( 2x + 5 < 10 \implies x < 2.5 \)
- \( x = 1 \): \( 2+5=7 < 10 \) ✓
- \( x = 2 \): \( 4+5=9 < 10 \) ✓
- \( x = 3 \): \( 6+5=11 \not< 10 \) ✗
CV = \( {1, 2} \)
💡 Resumen comparativo:
Inciso Cuantificador Estrategia CV (1) ∃ sobre \( x \) Mejor candidato: \( x=1 \) \( {1,2,3,4} \) (2) ∃ sobre \( y \) Mejor candidato: \( y=1 \) \( {1,2} \) (3) ∀ sobre \( x \) Peor caso: \( x=5 \) \( \varnothing \) (4) ∀ sobre \( y \) Peor caso: \( y=5 \) \( {1,2} \) Nota cómo ∀ produce CVs más pequeños (o vacíos) que ∃, porque es más exigente.
Sección 7: Múltiples cuantificadores
Ejercicio 21.
Sea \( {1, 2, 3} \) el conjunto universal. Averiguar el valor de verdad de los enunciados siguientes.
(1) \( \exists x , \forall y, x^2 < y + 1 \)
(2) \( \forall x , \exists y, x^2 + y^2 < 12 \)
(3) \( \forall x , \forall y, x^2 + y^2 < 12 \)
(4) \( \exists x , \forall y , \exists z, x^2 + y^2 < 2z^2 \)
(5) \( \exists x , \exists y , \forall z, x^2 + y^2 < 2z^2 \)
Solución:
💡 Estrategia — Múltiples cuantificadores: Se leen de izquierda a derecha. Cada cuantificador impone una tarea:
- ∃: «busca un valor que funcione» (fijas ese valor y sigues)
- ∀: «verifica que funcione para todos los valores»
La clave es que un ∃ puede depender de los cuantificadores que están a su izquierda, pero un ∀ debe funcionar sin importar qué.
(1) \( \exists x , \forall y, x^2 < y + 1 \)
Lectura: «¿Existe algún \( x \) tal que, para todo \( y \), se cumple \( x^2 < y + 1 \)?»
Verdadero. Probemos \( x = 1 \): necesitamos \( 1 < y + 1 \), es decir \( 0 < y \), para todo \( y \):
- \( y = 1 \): \( 0 < 1 \) ✓
- \( y = 2 \): \( 0 < 2 \) ✓
- \( y = 3 \): \( 0 < 3 \) ✓
Basta con que un \( x \) funcione para todos los \( y \). ✓
(2) \( \forall x , \exists y, x^2 + y^2 < 12 \)
Lectura: «¿Para todo \( x \), existe algún \( y \) tal que \( x^2 + y^2 < 12 \)?»
Verdadero. Para cada \( x \), buscamos al menos un \( y \) (el mejor candidato es \( y = 1 \)):
- \( x = 1 \): \( 1 + 1 = 2 < 12 \) ✓
- \( x = 2 \): \( 4 + 1 = 5 < 12 \) ✓
- \( x = 3 \): \( 9 + 1 = 10 < 12 \) ✓
(3) \( \forall x , \forall y, x^2 + y^2 < 12 \)
Lectura: «¿Para todo \( x \) y todo \( y \), se cumple \( x^2 + y^2 < 12 \)?»
Falso. Contraejemplo: \( x = 2, y = 3 \) → \( 4 + 9 = 13 \not< 12 \) ✗
💡 Compara (2) y (3): la misma expresión \( x^2 + y^2 < 12 \) pasa de verdadera a falsa solo por cambiar ∃y a ∀y. En (2) podemos elegir un \( y \) favorable; en (3) debe funcionar para todos.
(4) \( \exists x , \forall y , \exists z, x^2 + y^2 < 2z^2 \)
Lectura: «¿Existe un \( x \) tal que, para todo \( y \), exista un \( z \) que cumpla \( x^2 + y^2 < 2z^2 \)?»
Verdadero. Fijemos \( x = 1 \): para cada \( y \), buscamos un \( z \) tal que \( 1 + y^2 < 2z^2 \):
- \( y = 1 \): \( 1 + 1 = 2 \). Con \( z = 2 \): \( 2 < 8 \) ✓
- \( y = 2 \): \( 1 + 4 = 5 \). Con \( z = 2 \): \( 5 < 8 \) ✓
- \( y = 3 \): \( 1 + 9 = 10 \). Con \( z = 3 \): \( 10 < 18 \) ✓
Nota: el \( z \) elegido puede cambiar en cada \( y \) (porque ∃z está a la derecha de ∀y).
(5) \( \exists x , \exists y , \forall z, x^2 + y^2 < 2z^2 \)
Lectura: «¿Existen \( x \) e \( y \) fijos tales que, para todo \( z \), se cumpla \( x^2 + y^2 < 2z^2 \)?»
Falso. El par que minimiza \( x^2 + y^2 \) es \( (1, 1) \) → \( 2 \). Pero con \( z = 1 \): \( 2 < 2(1) = 2 \) es falso (no es estrictamente menor). No hay ningún par \( (x, y) \) que sobreviva al peor caso \( z = 1 \).
⚠️ Compara (4) y (5): Ambos tienen los mismos cuantificadores (∃x, ∃/∀y, ∃/∀z) y la misma expresión, pero intercambian los cuantificadores de \( y \) y \( z \). En (4), \( z \) se elige después de conocer \( y \) (puede adaptarse). En (5), \( x \) e \( y \) se fijan antes de enfrentarse a todos los \( z \) (no pueden adaptarse). Resultado: (4) es V y (5) es F.
Ejercicio 22.
Sea \( {1, 2, 3} \) el conjunto universal. Determinar el valor de verdad:
(1) \( \forall x , \forall y, x^2 + 2y < 10 \)
(2) \( \exists x , \forall y, x^2 + 2y < 10 \)
(3) \( \forall x , \exists y, x^2 + 2y < 10 \)
(4) \( \exists x , \exists y, x^2 + 2y < 10 \)
Solución:
💡 Truco — Usar una tabla: Con conjuntos finitos pequeños, podemos calcular todos los valores posibles y luego «leer» los cuantificadores directamente de la tabla:
- ∀x ∀y → ¿Toda la tabla cumple?
- ∃x ∀y → ¿Existe alguna fila completa que cumpla?
- ∀x ∃y → ¿Cada fila tiene al menos una celda que cumpla?
- ∃x ∃y → ¿Existe al menos una celda que cumpla?
Calculemos \( x^2 + 2y \) para todas las combinaciones:
| \( y=1 \) | \( y=2 \) | \( y=3 \) | ¿Fila completa < 10? | |
|---|---|---|---|---|
| \( x=1 \) | 3 ✓ | 5 ✓ | 7 ✓ | ✅ Sí |
| \( x=2 \) | 8 ✓ | 8 ✓ | 10 ✗ | ❌ No |
| \( x=3 \) | 11 ✗ | 13 ✗ | 15 ✗ | ❌ No |
(1) ∀x ∀y → Falso. Se necesita que toda la tabla sea < 10. La celda \( (2, 3) = 10 \not< 10 \) ya falla. ✗
(2) ∃x ∀y → Verdadero. Se necesita una fila completa < 10. Con \( x = 1 \): la fila es 3, 5, 7 — todos < 10. ✓
(3) ∀x ∃y → Falso. Se necesita que cada fila tenga al menos un valor < 10. Con \( x = 3 \): la fila es 11, 13, 15 — ninguno < 10. ✗
(4) ∃x ∃y → Verdadero. Se necesita al menos una celda < 10. Con \( x = 1, y = 1 \): 3 < 10. ✓
💡 Jerarquía de exigencia: De más restrictivo a menos:
\( \forall\forall \) (toda la tabla) > \( \exists\forall \) (fila completa) > \( \forall\exists \) (uno por fila) > \( \exists\exists \) (una celda)
En este ejemplo: ∀∀ = F, ∃∀ = V, ∀∃ = F, ∃∃ = V. Nota que ∃∀ → V implica que ∃∃ también es V (si una fila entera cumple, al menos una celda cumple).
Ejercicio 23.
Determinar el valor de verdad de:
\( p : \forall x \in \mathbb{Q}, \exists y \in \mathbb{Q}, x + y = 0 \) \( q : \exists y \in \mathbb{Q}, \forall x \in \mathbb{Q}, x + y = 0 \)
Solución:
💡 Estas dos proposiciones tienen la misma expresión (\( x + y = 0 \)) y los mismos cuantificadores (∀ y ∃), pero en orden diferente. Este es el ejercicio clásico para demostrar que el orden importa.
Proposición \( p \): \( \forall x \in \mathbb{Q}, \exists y \in \mathbb{Q}, x + y = 0 \)
Lectura: «Para todo racional \( x \), ¿existe algún racional \( y \) tal que \( x + y = 0 \)?»
La clave es que \( y \) puede depender de \( x \) (porque ∃y está a la derecha de ∀x). Para cada \( x \), simplemente elegimos \( y = -x \):
- \( x = 2 \) → \( y = -2 \): \( 2 + (-2) = 0 \) ✓
- \( x = -\frac{3}{5} \) → \( y = \frac{3}{5} \): \( -\frac{3}{5} + \frac{3}{5} = 0 \) ✓
- Para cualquier \( x \in \mathbb{Q} \), su opuesto \( -x \) también es racional ✓
\( p \) es Verdadera. ✓
Proposición \( q \): \( \exists y \in \mathbb{Q}, \forall x \in \mathbb{Q}, x + y = 0 \)
Lectura: «¿Existe algún racional \( y \) fijo que funcione para todos los \( x \) a la vez?»
Aquí \( y \) se elige primero (antes de conocer \( x \)), así que debe ser un valor fijo. Pero cualquier \( y \) fijo solo anula a \( x = -y \):
- Si \( y = \frac{1}{2} \): funciona con \( x = -\frac{1}{2} \), pero falla con \( x = 3 \): \( 3 + \frac{1}{2} \neq 0 \) ✗
- Si \( y = -5 \): funciona con \( x = 5 \), pero falla con \( x = 1 \): \( 1 + (-5) \neq 0 \) ✗
No existe ningún \( y \) fijo que satisfaga a todos los \( x \) simultáneamente.
\( q \) es Falsa. ✗
💡 La diferencia esencial: En \( p \), el \( y \) se elige después de conocer \( x \), así que puede adaptarse (\( y = -x \)). En \( q \), el \( y \) se fija antes, así que debe funcionar para todos los \( x \) a la vez — imposible. Este es el ejemplo más limpio de por qué \( \forall x , \exists y \neq \exists y , \forall x \).
Ejercicio 24.
Dados los conjuntos: \( A = {x \in \mathbb{N} / 2x \leq 13} \) \( B = {x \in A / (x^2 – 2x) \notin A} \)
Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: \( p : \forall x \in (A-B), \exists y \in B / x^2 – 2x \geq y – 3 \)
\( q : \exists x \in B, \exists y \in (A-B), \forall z \in B : (x + y^2 + z) \in A \)
\( r : \forall x \in (A-B) : x^2 \notin A \)
Solución:
💡 Primer paso obligatorio: Antes de evaluar las proposiciones, hay que construir los conjuntos \( A \), \( B \) y \( A – B \). Sin esto, no podemos hacer nada.
Paso 1 — Construir \( A \):
\( A = {x \in \mathbb{N} / 2x \leq 13} \) → \( x \leq 6.5 \), y como \( x \in \mathbb{N} \): \( A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} \)
Paso 2 — Construir \( B \): Para cada \( x \in A \), calculamos \( x^2 – 2x \) y verificamos si no pertenece a \( A \):
| \( x \) | \( x^2 – 2x \) | \( \in A \)? | \( \in B \)? |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | Sí | No |
| 1 | -1 | No | Sí |
| 2 | 0 | Sí | No |
| 3 | 3 | Sí | No |
| 4 | 8 | No | Sí |
| 5 | 15 | No | Sí |
| 6 | 24 | No | Sí |
\( B = {1, 4, 5, 6} \) y \( A – B = {0, 2, 3} \)
Paso 3 — Evaluar \( p \): \( \forall x \in (A-B), \exists y \in B / x^2 – 2x \geq y – 3 \)
Para cada \( x \in {0, 2, 3} \), ¿existe al menos un \( y \in B \) que cumpla?
| \( x \) | \( x^2 – 2x \) | Necesitamos \( \exists y \in B \) con \( y – 3 \leq … \) | ¿Se cumple? |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | \( 0 \geq y – 3 \) → \( y \leq 3 \). Con \( y = 1 \): ✓ | ✓ |
| 2 | 0 | \( 0 \geq y – 3 \) → \( y \leq 3 \). Con \( y = 1 \): ✓ | ✓ |
| 3 | 3 | \( 3 \geq y – 3 \) → \( y \leq 6 \). Con \( y = 4 \): ✓ | ✓ |
Todos los \( x \) encuentran testigo → \( p \) es Verdadera. ✓
Paso 4 — Evaluar \( q \): \( \exists x \in B, \exists y \in (A-B), \forall z \in B : (x + y^2 + z) \in A \)
Necesitamos un par \( (x, y) \) tal que \( x + y^2 + z \in A = {0, …, 6} \) para todo \( z \in B \).
El peor caso es \( z = 6 \) (el mayor de \( B \)):
\( x + y^2 + 6 \leq 6 \implies x + y^2 \leq 0 \)
Pero \( x \in B \implies x \geq 1 \) y \( y^2 \geq 0 \), así que \( x + y^2 \geq 1 > 0 \). Ningún par \( (x, y) \) puede satisfacer la condición.
\( q \) es Falsa. ✗
Paso 5 — Evaluar \( r \): \( \forall x \in (A-B) : x^2 \notin A \)
| \( x \) | \( x^2 \) | \( \notin A \)? |
|---|---|---|
| 0 | 0 | Falso (\( 0 \in A \)) ✗ |
| 2 | 4 | Falso (\( 4 \in A \)) ✗ |
| 3 | 9 | Verdadero (\( 9 \notin A \)) ✓ |
Con que un solo \( x \) falle, el ∀ es falso. Ya falla en \( x = 0 \).
\( r \) es Falsa. ✗
Ejercicio 25.
Si \( A={1, 2, 3, 4, 5} \) y \( B={-2, -1, 0, 5, 6} \), establecer el valor de verdad de cada proposición.
\( p : \forall x \in A, \exists y \in B : x + y < 3 \)
\( q : \exists! y \in B, \forall x \in A : x – y > 1 \)
\( r : \forall x \in B, \forall y \in A : x < y \Rightarrow x^2 < y^2 \)
\( s : \exists x \in A, \exists y \in B : (x – y) \in A \)
Solución:
💡 Este ejercicio combina varios tipos de cuantificadores vistos hasta ahora: ∀∃, ∃!, ∀∀ con condicional, y ∃∃. Cada uno requiere una estrategia distinta.
Proposición \( p \): \( \forall x \in A, \exists y \in B : x + y < 3 \)
Lectura: «Para todo \( x \in A \), ¿existe algún \( y \in B \) tal que \( x + y < 3 \)?»
Para cada \( x \), despejamos: \( y < 3 – x \). El mejor candidato en \( B \) es \( y = -2 \):
| \( x \) | Se necesita \( y < … \) | ¿\( y = -2 \) funciona? |
|---|---|---|
| 1 | \( y < 2 \) | \( -2 < 2 \) ✓ |
| 2 | \( y < 1 \) | \( -2 < 1 \) ✓ |
| 3 | \( y < 0 \) | \( -2 < 0 \) ✓ |
| 4 | \( y < -1 \) | \( -2 < -1 \) ✓ |
| 5 | \( y < -2 \) | \( -2 \not< -2 \) ✗ |
Falla en \( x = 5 \): no hay ningún \( y \in B \) con \( y < -2 \).
\( p \) es Falsa. ✗
Proposición \( q \): \( \exists! y \in B, \forall x \in A : x – y > 1 \)
Lectura: «¿Existe exactamente un \( y \in B \) tal que \( x – y > 1 \) para todo \( x \in A \)?»
Primero busquemos qué valores de \( y \) funcionan para todos los \( x \). El caso más exigente es \( x = 1 \) (el menor de \( A \)): \( 1 – y > 1 \implies y < 0 \).
Los \( y \in B \) con \( y < 0 \) son: \( y = -2 \) y \( y = -1 \). Verifiquemos ambos:
- \( y = -2 \): \( x – (-2) = x + 2 > 1 \) → siempre V (pues \( x \geq 1 \)) ✓
- \( y = -1 \): \( x – (-1) = x + 1 > 1 \) → siempre V (pues \( x \geq 1 \)) ✓
Ambos funcionan, pero ∃! exige que sea exactamente uno. Como hay dos valores que cumplen, la unicidad falla.
\( q \) es Falsa. ✗
Proposición \( r \): \( \forall x \in B, \forall y \in A : x < y \Rightarrow x^2 < y^2 \)
Lectura: «Para todo \( x \in B \) y todo \( y \in A \), ¿si \( x < y \) entonces \( x^2 < y^2 \)?»
Basta encontrar un contraejemplo donde \( x < y \) sea V pero \( x^2 < y^2 \) sea F:
Con \( x = -2 \in B \) y \( y = 1 \in A \):
- \( x < y \): \( -2 < 1 \) → V ✓
- \( x^2 < y^2 \): \( 4 < 1 \) → F ✗
- El condicional \( V \rightarrow F = F \)
💡 Esto pasa porque los negativos al elevarse al cuadrado se vuelven positivos grandes. La implicación \( x < y \Rightarrow x^2 < y^2 \) solo es válida cuando ambos valores son no negativos.
\( r \) es Falsa. ✗
Proposición \( s \): \( \exists x \in A, \exists y \in B : (x – y) \in A \)
Lectura: «¿Existen \( x \in A \) e \( y \in B \) tales que \( x – y \in A \)?»
Basta encontrar un par que funcione:
Con \( x = 1 \) e \( y = -2 \): \( 1 – (-2) = 3 \). ¿\( 3 \in A \)? Sí ✓
\( s \) es Verdadera. ✓
Ejercicio 26.
Dado \( U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} \). Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
\( p : \forall x \in U : \exists y \in U \land \exists z \in U \text{ tales que } 2x – y + z < 10 \)
\( q : \exists x \in U \text{ tal que: } \forall z \in U, \exists y \in U \text{ tal que } 2x – y + z < 10 \)
Solución:
💡 Ambas proposiciones usan la misma expresión \( 2x – y + z < 10 \), pero con estructura de cuantificadores diferente:
- En \( p \): ∀x → ∃y, ∃z (para todo \( x \), se buscan \( y \) y \( z \))
- En \( q \): ∃x → ∀z → ∃y (se fija un \( x \), luego para todo \( z \), se busca \( y \))
Proposición \( p \): \( \forall x \in U, \exists y \in U, \exists z \in U : 2x – y + z < 10 \)
Lectura: «Para todo \( x \in U \), ¿existen \( y \) y \( z \) en \( U \) tales que \( 2x – y + z < 10 \)?»
Como es ∀x, debemos verificar que funcione incluso con el peor caso \( x = 10 \):
\( 2(10) – y + z < 10 \implies z – y < -10 \implies z < y – 10 \)
Como \( y \leq 10 \), entonces \( y – 10 \leq 0 \), y como \( z \geq 0 \), no hay forma de que \( z < y – 10 \leq 0 \).
- \( x = 0 \): \( -y + z < 10 \). Con \( y = 0, z = 0 \): \( 0 < 10 \) ✓
- \( x = 10 \): \( 20 – y + z < 10 \). Necesita \( z < y – 10 \). Imposible ✗
\( p \) es Falsa. ✗
Proposición \( q \): \( \exists x \in U, \forall z \in U, \exists y \in U : 2x – y + z < 10 \)
Lectura: «¿Existe algún \( x \in U \) tal que, para todo \( z \), exista un \( y \) que cumpla \( 2x – y + z < 10 \)?»
Probemos \( x = 0 \): la expresión se simplifica a \( -y + z < 10 \), es decir \( y > z – 10 \).
Para cada \( z \), ¿existe \( y \in U \) con \( y > z – 10 \)?
- \( z = 0 \): \( y > -10 \) → cualquier \( y \in U \) sirve ✓
- \( z = 5 \): \( y > -5 \) → cualquier \( y \in U \) sirve ✓
- \( z = 10 \): \( y > 0 \) → con \( y = 1 \): ✓
Para todo \( z \in U \), la condición \( y > z – 10 \) se satisface fácilmente (incluso \( y = 10 \) siempre funciona).
\( q \) es Verdadera. ✓
💡 Compara \( p \) y \( q \): En \( p \), el ∀x nos obliga a verificar \( x = 10 \), donde \( 2x = 20 \) ya es tan grande que \( y \) y \( z \) no pueden compensar. En \( q \), el ∃x nos permite elegir \( x = 0 \), minimizando el término \( 2x \), y luego el ∃y puede adaptarse a cada \( z \).
Ejercicio 27.
Sean las proposiciones \( p \), \( q \) y \( r \), dadas por:
\( p : \forall y \in \mathbb{N}, \exists x \in \mathbb{N} : x > y \land x \text{ es par} \)
\( q : \exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : y < x \)
\( r : \forall x \in \mathbb{N}, \forall y \in \mathbb{N} : x + y > x \)
Deducir y fundamentar el valor de verdad de cada proposición.
Solución:
💡 Este ejercicio trabaja con \( \mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, \ldots} \), un conjunto infinito. No podemos verificar todos los valores, así que hay que argumentar con propiedades generales o encontrar contraejemplos.
Proposición \( p \): \( \forall y \in \mathbb{N}, \exists x \in \mathbb{N} : x > y \land x \text{ es par} \)
Lectura: «Para todo natural \( y \), ¿existe algún natural par \( x \) tal que \( x > y \)?»
Para cualquier \( y \), basta elegir \( x = 2\lceil\frac{y+1}{2}\rceil \) (el menor par mayor que \( y \)):
- \( y = 0 \): \( x = 2 > 0 \) y 2 es par ✓
- \( y = 1 \): \( x = 2 > 1 \) y 2 es par ✓
- \( y = 2 \): \( x = 4 > 2 \) y 4 es par ✓
- \( y = 100 \): \( x = 102 > 100 \) y 102 es par ✓
Como hay infinitos números pares, dado cualquier \( y \) siempre existirá un par mayor que él.
\( p \) es Verdadera. ✓
Proposición \( q \): \( \exists x \in \mathbb{N} : \forall y \in \mathbb{N} : y < x \)
Lectura: «¿Existe algún natural \( x \) que sea mayor que todos los demás naturales?»
Esto pide un «número natural máximo». Pero \( \mathbb{N} \) no tiene elemento máximo: para cualquier \( x \) que elijamos, el contraejemplo \( y = x + 1 \) cumple \( y \not< x \).
- Si \( x = 100 \): \( y = 101 \) → \( 101 < 100 \) es F ✗
- Si \( x = 10^6 \): \( y = 10^6 + 1 \) → F ✗
\( q \) es Falsa. ✗
💡 Compara \( p \) y \( q \): en \( p \), \( x \) se elige después de conocer \( y \) (puede adaptarse). En \( q \), \( x \) se fija antes (debe ser mayor que todos). Es el mismo principio del ejercicio 23.
Proposición \( r \): \( \forall x \in \mathbb{N}, \forall y \in \mathbb{N} : x + y > x \)
Lectura: «Para todo \( x \) y todo \( y \) naturales, ¿es \( x + y > x \)?»
Simplificando: \( x + y > x \iff y > 0 \). Esto debería cumplirse para todo \( y \in \mathbb{N} \), pero \( 0 \in \mathbb{N} \):
Contraejemplo: \( y = 0 \) → \( 0 > 0 \) es falso ✗ (con cualquier \( x \))
\( r \) es Falsa. ✗
💡 Si el dominio fuera \( \mathbb{N}^* = {1, 2, 3, \ldots} \) (sin el cero), la proposición \( r \) sería verdadera. El valor de verdad puede depender de cómo se defina el dominio.
Sección 8: Negación con conectivos y cuantificadores múltiples
Ejercicio 28.
Negar los siguientes enunciados.
(1) \( \exists x , \forall y, p(x, y) \)
(2) \( \forall x , \forall y, p(x, y) \)
(3) \( \exists y , \exists x , \forall z, p(x, y, z) \)
(4) \( \forall x , \exists y , (p(x) \lor q(y)) \)
(5) \( \exists x , \forall y , (p(x, y) \rightarrow q(x, y)) \)
(6) \( \exists y , \exists x , (p(x) \land \sim q(y)) \)
Solución:
💡 Receta en dos pasos:
- Cambiar cada cuantificador (\( \forall \leftrightarrow \exists \)) de izquierda a derecha
- Negar el predicado al final, aplicando si es necesario: \( \sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q \), \( \sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q \), \( \sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q \)
Los incisos (1)-(3) solo necesitan el paso 1. Los incisos (4)-(6) necesitan ambos pasos.
(1) \( \sim(\exists x , \forall y, p(x, y)) \)
Cambiar cuantificadores: \( \forall x , \exists y \). Negar predicado: \( \sim p(x, y) \).
\( \equiv \forall x , \exists y , \sim p(x, y) \)
(2) \( \sim(\forall x , \forall y, p(x, y)) \)
\( \equiv \exists x , \exists y , \sim p(x, y) \)
(3) \( \sim(\exists y , \exists x , \forall z, p(x, y, z)) \)
\( \equiv \forall y , \forall x , \exists z , \sim p(x, y, z) \)
(4) \( \sim[\forall x , \exists y , (p(x) \lor q(y))] \)
Paso 1 — Cuantificadores: \( \exists x , \forall y \) Paso 2 — Negar \( p(x) \lor q(y) \) con De Morgan:
\( \equiv \exists x , \forall y , (\sim p(x) \land \sim q(y)) \)
(5) \( \sim[\exists x , \forall y , (p(x, y) \rightarrow q(x, y))] \)
Paso 1 — Cuantificadores: \( \forall x , \exists y \) Paso 2 — Negar el condicional: \( \sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q \)
\( \equiv \forall x , \exists y , (p(x, y) \land \sim q(x, y)) \)
(6) \( \sim[\exists y , \exists x , (p(x) \land \sim q(y))] \)
Paso 1 — Cuantificadores: \( \forall y , \forall x \) Paso 2 — Negar \( p(x) \land \sim q(y) \) con De Morgan: \( \sim p(x) \lor \sim(\sim q(y)) = \sim p(x) \lor q(y) \)
\( \equiv \forall y , \forall x , (\sim p(x) \lor q(y)) \)
💡 Nota: En (6) aparece una doble negación: \( \sim(\sim q(y)) = q(y) \). Siempre que niegues algo que ya está negado, se cancela.
Ejercicio 29.
Dado el enunciado siguiente, que es la definición de que la sucesión \( a_1, a_2, \ldots \) tiene por límite cero:
\( \forall \varepsilon > 0 , \exists n_0 , \forall n , (n > n_0 \rightarrow |a_n| < \varepsilon) \)
Negar dicho enunciado.
💡 ¿Por qué es útil negar un límite? En matemáticas, para demostrar que una sucesión no converge a cero, necesitamos saber exactamente qué significa «no tener límite cero». Eso es precisamente la negación de esta definición.
Solución:
La definición original dice: «Para todo margen de error \( \varepsilon \), existe un punto \( n_0 \) a partir del cual todos los términos están dentro del margen.»
Negamos paso a paso:
| Posición | Original | Negación |
|---|---|---|
| 1° cuantificador | \( \forall \varepsilon > 0 \) | \( \exists \varepsilon > 0 \) |
| 2° cuantificador | \( \exists n_0 \) | \( \forall n_0 \) |
| 3° cuantificador | \( \forall n \) | \( \exists n \) |
| Predicado | \( n > n_0 \rightarrow |a_n| < \varepsilon \) | \( a_n \) |
Paso 1 — Cambiamos los cuantificadores:
\( \exists \varepsilon > 0 , \forall n_0 , \exists n \sim(n > n_0 \rightarrow |a_n| < \varepsilon) \)
Paso 2 — Negamos el condicional: \( \sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q \):
\( \equiv \exists \varepsilon > 0 , \forall n_0 , \exists n , (n > n_0 \land |a_n| \geq \varepsilon) \)
En palabras: «Existe un margen de error \( \varepsilon \) tal que, sin importar qué tan lejos avancemos en la sucesión (\( \forall n_0 \)), siempre encontraremos algún término (\( \exists n \)) que se aleja del cero al menos \( \varepsilon \).»
💡 Analogía: Imagina que intentas atrapar una mosca (la sucesión) en una caja de tamaño \( \varepsilon \) centrada en el cero. La definición original dice que para cualquier tamaño de caja, eventualmente la mosca se queda adentro. La negación dice que hay un tamaño de caja tal que la mosca siempre escapa, por mucho que esperes.
Ejercicio 30.
Hallar los valores de verdad de las negaciones de las proposiciones siguientes:
\( p = (\exists x \in \mathbb{N} \mid x + 2 = 5) \land (\forall x \in \mathbb{N} \mid x^2 > x) \)
\( q = (\forall x \in \mathbb{Z} \mid -x < 0) \lor (\exists x \in \mathbb{Z} \mid -x = x) \)
\( r = \exists x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{-x} \in \mathbb{R} \)
Solución:
💡 Estrategia en dos fases: (1) Negar simbólicamente usando De Morgan y las reglas de cuantificadores, (2) evaluar el valor de verdad de la negación obtenida.
Negación de \( p \):
Paso 1 — Negar (De Morgan sobre ∧):
\( \sim p = \sim(\exists x \in \mathbb{N} \mid x + 2 = 5) \lor \sim(\forall x \in \mathbb{N} \mid x^2 > x) \)
\( = [\forall x \in \mathbb{N} \mid x + 2 \neq 5] \lor [\exists x \in \mathbb{N} \mid x^2 \leq x] \)
Paso 2 — Evaluar cada parte:
- \( \forall x \in \mathbb{N}: x + 2 \neq 5 \) → F (porque \( x = 3 \) cumple \( 3 + 2 = 5 \))
- \( \exists x \in \mathbb{N}: x^2 \leq x \) → V (con \( x = 0 \): \( 0 \leq 0 \), o \( x = 1 \): \( 1 \leq 1 \))
\( V(\sim p) = V(F \lor V) = V \) ✓
Negación de \( q \):
Paso 1 — Negar (De Morgan sobre ∨):
\( \sim q = [\sim(\forall x \in \mathbb{Z} \mid -x < 0)] \land [\sim(\exists x \in \mathbb{Z} \mid -x = x)] \)
\( = (\exists x \in \mathbb{Z} \mid -x \geq 0) \land (\forall x \in \mathbb{Z} \mid -x \neq x) \)
Paso 2 — Evaluar cada parte:
- \( \exists x \in \mathbb{Z}: -x \geq 0 \) → V (con \( x = -2 \): \( -(-2) = 2 \geq 0 \))
- \( \forall x \in \mathbb{Z}: -x \neq x \) → F (contraejemplo: \( x = 0 \) → \( -0 = 0 \), así que \( -x = x \))
\( V(\sim q) = V(V \land F) = F \) ✗
Negación de \( r \):
Paso 1 — Negar:
\( \sim r = \forall x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{-x} \notin \mathbb{R} \)
Paso 2 — Evaluar: ¿es cierto que ningún \( x \) real tiene \( \sqrt{-x} \in \mathbb{R} \)?
Contraejemplo: \( x = -1 \) → \( \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1 \in \mathbb{R} \) ✗
\( V(\sim r) = F \) ✗
💡 Resumen:
Proposición \( V(\text{original}) \) \( V(\text{negación}) \) \( p \) F V \( q \) V F \( r \) V F Como era de esperar, la negación siempre invierte el valor de verdad.
Ejercicio 31.
Negar la proposición: «Para todo número racional \( r \) existe un número entero \( n \) tal que \( n \leq r < n+1 \)»
Solución:
Paso 1 — Simbolizar:
\( p = \forall r \in \mathbb{Q}, \exists n \in \mathbb{Z} \mid n \leq r < n+1 \)
💡 La desigualdad compuesta \( n \leq r < n+1 \) es una conjunción disfrazada: \( n \leq r \land r < n+1 \). Al negarla, hay que aplicar De Morgan.
Paso 2 — Negar cuantificadores:
\( \sim p = \exists r \in \mathbb{Q}, \forall n \in \mathbb{Z} \mid \sim(n \leq r \land r < n+1) \)
Paso 3 — Negar la conjunción (De Morgan):
\( = \exists r \in \mathbb{Q}, \forall n \in \mathbb{Z} \mid (n > r) \lor (n+1 \leq r) \)
En palabras: «Existe un racional \( r \) tal que ningún entero \( n \) logra ‘atraparlo’ en el intervalo \( [n, n+1) \).»
💡 ¿Es verdadera la negación? No. La proposición original es verdadera (es la propiedad del piso o parte entera: todo racional cae en algún intervalo \( [n, n+1) \)). Por tanto, su negación es falsa.
Ejercicio 32.
Negar oracionalmente el enunciado: «Para todo número real \( x \), existe un número entero \( M \) tal que \( x^2 < M+1 \) siempre que \( x < M \)»
Solución:
💡 La frase «\( x^2 < M+1 \) siempre que \( x < M \)» es un condicional: \( x < M \rightarrow x^2 < M+1 \).
Paso 1 — Simbolizar:
\( p = \forall x \in \mathbb{R}, \exists M \in \mathbb{Z} \mid x < M \rightarrow x^2 < M+1 \)
Paso 2 — Negar cuantificadores:
\( \sim p = \exists x \in \mathbb{R}, \forall M \in \mathbb{Z} \mid \sim(x < M \rightarrow x^2 < M+1) \)
Paso 3 — Negar el condicional: \( \sim(p \rightarrow q) \equiv p \land \sim q \)
\( = \exists x \in \mathbb{R}, \forall M \in \mathbb{Z} \mid x < M \land x^2 \geq M+1 \)
En palabras: «Existe un número real \( x \) tal que, para todo entero \( M \), se cumple simultáneamente que \( x < M \) y \( x^2 \geq M+1 \).»
Ejercicio 33.
Simbolizar usando cuantificadores y negar la proposición cuantificada: «Para todo número \( x \) perteneciente al conjunto de los números reales, existe un único número \( y \) perteneciente a los números reales, tal que la diferencia de \( x \) menos \( y \) es positiva»
Solución:
💡 Este ejercicio es especial porque involucra \( \exists! \) (unicidad). Para negarlo, primero hay que expandir la definición de ∃! y luego negar normalmente.
Paso 1 — Simbolizar:
\( \forall x \in \mathbb{R}, \exists! y \in \mathbb{R} \mid x – y > 0 \)
Paso 2 — Expandir \( \exists! \): Decir «existe un único \( y \)» equivale a dos cosas simultáneas:
- Existe al menos un \( y \) que cumple la propiedad
- Si hay otro valor \( z \) que también la cumple, entonces \( y = z \) (son el mismo)
Formalmente: \( \exists! y: P(y) \equiv \exists y: P(y) \land [\forall z: P(z) \rightarrow z = y] \)
Aplicado a nuestro caso: \( \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}: (x – y > 0) \land [\forall z \in \mathbb{R}: (x – z > 0) \rightarrow z = y] \)
Paso 3 — Negar: Cambiamos cuantificadores y negamos el predicado:
\( \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: \sim{(x – y > 0) \land [\forall z: (x – z > 0) \rightarrow z = y]} \)
Aplicando De Morgan: \( \equiv \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}: (x – y \leq 0) \lor [\exists z \in \mathbb{R}: (x – z > 0) \land z \neq y] \)
En palabras: «Existe un real \( x \) tal que, para cualquier \( y \), o bien \( x – y \) no es positiva, o bien hay otro \( z \neq y \) para el cual \( x – z \) también es positiva» — es decir, la unicidad falla.
💡 ¿Es verdadera la negación? Sí. La proposición original es falsa: para \( x = 5 \), tanto \( y = 1 \) como \( y = 2 \) cumplen \( x – y > 0 \) (\( 4 > 0 \) y \( 3 > 0 \)). No hay unicidad. Por tanto, la negación es verdadera.
Sección 9: Ejercicios integradores
Ejercicio 34.
Sea el conjunto \( A={1,2,3,4,5} \) y las proposiciones:
\( p = \exists x \in A \mid (x+2=6) \rightarrow (x-5=8) \)
\( q = \forall x \in A \mid (x+2>2) \lor (x+2<2) \)
\( r = \forall x \in A, \exists y \in A \mid x+y>2 \)
Hallar el valor de verdad de: \( s = \sim[(p \rightarrow q) \land (q \lor \sim r)] \)
Solución:
💡 Estrategia: Primero evaluamos cada proposición cuantificada (\( p \), \( q \), \( r \)) por separado, y luego sustituimos en la fórmula de \( s \).
Evaluación de \( p \): \( \exists x \in A \mid (x+2=6) \rightarrow (x-5=8) \)
⚠️ Cuidado: \( p \) es un ∃ con un condicional. Basta que un \( x \) haga verdadero el condicional. Recordemos que \( F \rightarrow \text{cualquier cosa} = V \).
- Con \( x = 1 \): \( (3 = 6) \rightarrow (-4 = 8) \) = \( F \rightarrow F = V \) ✓
Ya basta con \( x = 1 \) → \( V(p) = V \)
💡 Sin embargo, notemos que con \( x = 4 \): \( (6 = 6) \rightarrow (-1 = 8) \) = \( V \rightarrow F = F \). Pero como \( p \) es ∃, un solo caso verdadero es suficiente.
Evaluación de \( q \): \( \forall x \in A \mid (x+2>2) \lor (x+2<2) \)
Simplificando: \( (x > 0) \lor (x < 0) \). Todo \( x \in A \) satisface \( x > 0 \):
- \( x = 1 \): \( V \lor F = V \) ✓
- \( x = 5 \): \( V \lor F = V \) ✓
Todos cumplen → \( V(q) = V \)
Evaluación de \( r \): \( \forall x \in A, \exists y \in A \mid x+y>2 \)
Para cada \( x \), basta elegir \( y = 2 \): \( x + 2 \geq 3 > 2 \) ✓ para todo \( x \in A \).
\( V(r) = V \)
Cálculo de \( s \):
\( s = \sim[(p \rightarrow q) \land (q \lor \sim r)] \)
Sustituyendo:
\( = \sim[(V \rightarrow V) \land (V \lor \sim V)] = \sim[(V) \land (V \lor F)] = \sim[V \land V] = \sim V = F \)
\( V(s) = F \)
Ejercicio 35.
Sean \( A={x \in \mathbb{N} \mid 0 < x < 8} \), \( B={y \in \mathbb{N} \mid 0 \leq y \leq 7} \). Hallar los valores de verdad de:
a) \( p = \exists x \in A \mid \forall y \in B, x+y \neq 8 \)
b) \( q = \forall x \in A, \exists y \in B \mid x+y = 5 \)
c) \( r = \exists x \in A \mid \forall y \in B, x+y > 6 \)
d) \( s = \forall x \in A, \exists y \in B \mid xy \neq 0 \)
Solución:
💡 Primero definimos los conjuntos por extensión:
- \( A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \)
- \( B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \)
a) \( p = \exists x \in A \mid \forall y \in B, x+y \neq 8 \)
Lectura: «¿Existe algún \( x \in A \) tal que ningún \( y \in B \) sume 8 con él?»
Para cualquier \( x \in A \), el valor \( y = 8 – x \) pertenece a \( B \) (ya que \( 1 \leq 8 – x \leq 7 \)), y con ese \( y \) se cumple \( x + y = 8 \). Ningún \( x \) puede evitarlo.
\( V(p) = F \) ✗
b) \( q = \forall x \in A, \exists y \in B \mid x+y = 5 \)
Se necesita \( y = 5 – x \) para cada \( x \). ¿Ese \( y \) está en \( B \)?
- \( x = 1 \): \( y = 4 \in B \) ✓
- \( x = 5 \): \( y = 0 \in B \) ✓
- \( x = 6 \): \( y = -1 \notin B \) ✗ — falla
\( V(q) = F \) ✗
c) \( r = \exists x \in A \mid \forall y \in B, x+y > 6 \)
Necesitamos un \( x \) que funcione con el peor caso \( y = 0 \):
Con \( x = 7 \): \( 7 + 0 = 7 > 6 \) ✓ (y con cualquier otro \( y \geq 0 \) es aún mejor)
\( V(r) = V \) ✓
d) \( s = \forall x \in A, \exists y \in B \mid xy \neq 0 \)
Para cada \( x \in A \) (donde \( x \geq 1 \)), basta elegir \( y = 1 \): \( x \cdot 1 = x \geq 1 \neq 0 \) ✓
\( V(s) = V \) ✓
Ejercicio 36.
Sea \( A = {x \in \mathbb{N} / x \leq 50} \) el conjunto universal y sean \( p \), \( q \) y \( r \) las proposiciones cuantificadas siguientes:
\( p : \forall x \in A, \exists y \in A / x + 2y > x^2 \)
\( q : \forall x \in A, \exists y \in A, \forall z \in A : x + y – z \leq x + y \)
\( r : \exists x \in A, \exists y \in A, \forall z \in A : x – 2y \geq x + y – z \)
Hallar el valor de verdad de: \( [(p \rightarrow q) \Delta (q \rightarrow r)] \leftrightarrow [q \lor \sim r] \)
Solución:
💡 Estrategia: Evaluar \( p \), \( q \) y \( r \) por separado (simplificando algebraicamente cuando sea posible), y luego sustituir en la fórmula compuesta.
Evaluación de \( p \): \( \forall x \in A, \exists y \in A / x + 2y > x^2 \)
Despejando: \( 2y > x^2 – x \implies y > \frac{x(x-1)}{2} \)
Peor caso \( x = 50 \): se necesita \( y > \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225 \). Pero \( y \leq 50 \), así que no existe tal \( y \). ✗
\( p \) es Falsa.
Evaluación de \( q \): \( \forall x \in A, \exists y \in A, \forall z \in A : x + y – z \leq x + y \)
Simplificando: \( x + y – z \leq x + y \iff -z \leq 0 \iff z \geq 0 \)
Como todo \( z \in A \) satisface \( z \geq 0 \), la condición siempre se cumple (sin importar \( x \) ni \( y \)).
\( q \) es Verdadera.
Evaluación de \( r \): \( \exists x \in A, \exists y \in A, \forall z \in A : x – 2y \geq x + y – z \)
Simplificando: \( -2y \geq y – z \iff z \geq 3y \)
Se reduce a: «¿\( \exists y \in A, \forall z \in A : z \geq 3y \)?»
Con \( y = 0 \): \( z \geq 0 \) para todo \( z \in A \) ✓
\( r \) es Verdadera.
Cálculo final:
| Componente | Valor |
|---|---|
| \( p \) | F |
| \( q \) | V |
| \( r \) | V |
| \( p \rightarrow q \) | \( F \rightarrow V = V \) |
| \( q \rightarrow r \) | \( V \rightarrow V = V \) |
| \( (p \rightarrow q) \Delta (q \rightarrow r) \) | \( V \Delta V = F \) |
| \( q \lor \sim r \) | \( V \lor F = V \) |
| \( F \leftrightarrow V \) | F |
Resultado: \( [(p \rightarrow q) \Delta (q \rightarrow r)] \leftrightarrow [q \lor \sim r] = F \)
¿Qué sigue?
Con los cuantificadores lógicos dominados, estamos listos para el siguiente capítulo: la Teoría de Conjuntos, donde exploraremos:
- ✅ Definición formal de conjunto, tipos de conjuntos y notación matemática
- ✅ Relaciones entre conjuntos: subconjunto, igualdad e inclusión
- ✅ Operaciones: unión, intersección, diferencia y complemento
- ✅ Propiedades de las operaciones con conjuntos
- ✅ Demostraciones formales usando cuantificadores y conectivos lógicos
Los cuantificadores que practicaste en estos ejercicios serán una herramienta esencial: expresiones como \( \forall x \in A \) o \( \exists x \in A \) aparecerán constantemente al demostrar propiedades e igualdades entre conjuntos. Sin ese lenguaje, muchas demostraciones simplemente no podrían formularse con rigor.