Negación lógica

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Hoy dedicaremos esta sección a la negación lógica denotado con el símbolo ∼ o ¬ 👈 del capítulo de lógica proposicional, este operador tiene la propiedad de cambiar el valor de verdad de las proposiciones o variables proposicionales, aunque también es usado en enunciados abiertos, también llamados funciones proposicionales.

En la sección de cuantificadores del capitulo de teoria de conjuntos la negación es capaz de cambiar del cuantificador existencial al universal o viceversa, también es usado como complemento de un conjunto.

La sección actual es corta y no muestra muchos detalles con este operador monádico. Sin mas que decir, comencemos.

¿Que es la negación lógica?


Si bien es cierto que la negación de una proposición no realiza ninguna conexión lógica, es decir, no es un conectivo lógico propiamente dicho, no deja de ser una proposición compuesta luego de negar una proposición simple.

Una proposición simple tiene como finalidad realizar un juicio pero de manera afirmativa, si este juicio es una negación, entonces sería una proposición compuesta. Aclarando este punto, veamos el concepto de negación lógica:

Definición de negación lógica

En matemáticas, la negación lógica denotado con el símbolo \( \sim \) es un operador lógico que tiene la propiedad de cambiar la validez de una proposición \( p \), esto es, cambia de verdadero a falso y viceversa, la negación de una proposición se escribe como \( \sim p \).

Aquí \( p \) no hace ninguna referencia a una proposición simple o compuesta, su única función es simplemente negar emitiendo un valor de verdad opuesto a la validez de \( p \). Veamos como la negación trabaja sobre una proposición simple.

Ejemplo

Sea las proposiciones:

  1. Los perros tienen 4 patas
  2. Los perros no tienen 4 patas

Las dos proposiciones tiene algo en común, uno afirma y la otra niega para un mismo sujeto y con predicados contrarios.

El enunciado 2 se puede escribir así:

  • Los perros no tienen 4 patas = \( \sim \) (Los perros tienen 4 patas) … \( ( \mathrm{I} ) \)

Es decir, la proposición 2 es la negación de la proposición 1, por cuestiones prácticas, las proposiciones 1 y 2 serán representados por \( p \) y \( q \) respectivamente, de esta manera quedaría así:

  • \( p \) = Los perros tienen 4 patas
  • \( q \) = Los perros no tienen 4 patas

La proposición \( ( \mathrm{I} ) \) se puede escribir así:

  • \( p = \sim q \)

Si bien \( p \) es una proposición compuesta, la negación \( \sim \) no es un conector lógico o conectiva lógica porque no conecta con otra proposición.

Naturalmente la proposición 1 es verdadero y la 2 es falsa por si creían que me olvidaba.

Negación lógica de proposiciones simples:

  • \( p \) = El Tumi es de oro.
    \( \sim p \) = El tumi no es de oro.
  • \( q \) = Los seres humanos no son de Ganimedes.
    \( \sim q \) = Los seres humanos son de Ganimedes.
  • \( r \) = El tigre es un felino .
     \( \sim r \) = El tigre no es un felino.

La negación de proposiciones compuestas:

  • \( p \) = Yo soy terricola y mortal.
    \( \sim p \) = yo no soy terricola o no soy mortal.
  • \( q \) = la tierra no es cuadrada o circular.
    \( \sim q \) = la tierra es cuadrada y circular.

Este tipo de negaciones para proposiciones compuestas lo explicaremos con mayor claridad cuando lleguemos a las secciones de la disyunción lógica.

Se pueden realizar otros ejemplos más complejos de la negación de otros enunciados de estos tipos pero esto requiere de otros conectivos lógicos que aún no hemos explicado, ya hemos visto ejemplos similares como por ejemplo:

  • Mi perro tiene patas y cola.

Su negación sería:

  • Mi perro no tiene patas o no tiene cola.

Para explicar esta nomenclatura, requiere del estudio de la conjunción y disyunción lógica.

Comúnmente se considera a la negación lógica como un conectivo pero como operador monádico porque afecta solo a una proposición, también toma el nombre de complemento lógico.

Tabla de verdad de la negación


Como ya hemos indicado antes, lo único que hace este operador lógico es cambiar la validez de las proposiciones.

Si una proposición es falsa, la negación de la proposición es verdadera, de la misma manera, si una proposición es verdadera, la negación de tal proposición es falsa.

En la siguiente tabla de verdad muestro el cambio de la validez de una proposición cualquiera.

\( p \) \( \sim p \)
 \( V \)\( F \)
 \( F \)\( V \)

Donde \( V \) significa que la proposición es verdadera y \( F \) significa que la proposición es \( F \).

Algunas Leyes lógicas de la negación


Las propiedades relacionadas con las negación lógica lo puedes encontrar en las principales leyes lógicas. Una clásica propiedad común es la ley de la doble negación (o coloquialmente mencionada como ley de la negación de la negación), por ejemplo:

  • Enunciado afirmativo: Los perros son carnívoros.
  • Enunciado negado: \( \sim \) (los perros son carnívoros) = los perros no son carnívoros.
  • Doble negación: \( \sim \) ( \( \sim \) (los perros son carnívoros)) = \( \sim \) (los perros no son carnívoros) = los perros son carnívoros.

Como acaban de notar, la doble negación de una proposición devuelve la misma proposición, simbólicamente se representa así:

\[ \sim ( \sim p ) = p \]

Otras propiedades relacionadas con otros conectivos lógicos lo pueden encontrar en la sección de las principales leyes lógicas que ya mencione hace pocos párrafos.

La representación simbólica de los valores de verdad para una proposición \( p \) dónde estamos suponiendo que es verdadera junto con su negación y doble negación es:

  • \( \mathrm{V} (p) = V \)
  • \( \mathrm{V} ( \sim p ) = F \)
  • \( \mathrm{V} ( \sim ( \sim p ) ) = V \)

Esto es para el caso  que \( p \) es falsa, tendríamos:

  • \( \mathrm{V} (p) = F \)
  • \( \mathrm{V} ( \sim p ) = V \)
  • \( \mathrm{V} ( \sim ( \sim p ) ) = F \)

Existen otras leyes lógicas como las leyes de Morgan que no vamos a mencionar en esta sección porque están relacionadas con otros conectivos lógicos que aún no hemos explicado, pero son muy usados para encontrar relaciones entre conectivos lógicos que ya tratamos en secciones posteriores del curso de lógica.

Ejemplos

Todos los ejemplos de doble negación tiene la siguiente forma lógica \( \sim ( \sim p ) = p \), veamos:

  • No es cierto que mi perro no tiene cola = mi perro tiene cola.
  • No es verdad que la tierra no es redonda = la tierra es redonda.
  • Es falso que los gatos no comer carne = los gatos comer carne.

Por tanto, queda claro que el valor de verdad de una doble negación de una proposición resulta ser la misma proposición.

Negación de las proposiciones categóricas


La negación puede tener otras aplicaciones como en las proposiciones categóricas, existen unas palabras especiales que se les añade al sujeto de un enunciado abierto para transformarlo en proposiciones, este tipo de proposiciones se les llama proposiciones categóricas y pueden ser justificadas de manera general o particular al sujeto según el predicado que se le asigne.

Las proposiciones categóricas son proposiciones que afirman o niegan una cantidad del sujeto de una proposición, esto es, el predicado afirma o niega para todos o algunos a una categoría (en este caso, el sujeto). Las proposiciones categorías tiene la siguiente forma:

  1. Todo S es P
  2. Ningún S es P
  3. Algún S es P
  4. Algún S no es P

Y aquí es donde entra la negación lógica, la negación de la proposición categoría de 1 es 2 y la negación de 3 es 4 y viceversa, es decir:

  • La negación de “todo S es P” es “ningún S es P.
  • La negación de “ningún S es P” es “Todo S es P.
  • La negación de “algún S es P” es “algún S no es P”
  • La negación de “algún S no es P” es “algún S es P”

Sin embargo, la negación de “algún S es P” debería ser “no todo S es P” y que es completamente diferente de “algún S no es P”, la explicación lo realizamos en la sección de cuantificadores de teoría de conjuntos.

Pero en la sección actual hago un pequeño esbozo al final del tema actual de este punto.

La negación como función de verdad


Otra forma de crear oposición de los argumentos proposicionales verbalmente hablando es con la frase “no es verdad que” sin necesidad de introducir el adverbio “no” entre el sujeto y predicado.

Esta palabra es suficiente para transformar una proposición simple en compuestas como mencione anteriormente, si bien la negación de una compuesta puede generar otra compuesta, también nos puede dar también una proposición simple.

Sea la siguiente proposición como ejemplo:

  • \( p \): La puerta no es de madera. (compuesta)

Su negación sería:

  • \( \sim p \): No es cierto que la puerta no es de madera. (compuesta)

Su equivalente sería:

  • \( \sim p \): La puerta es de madera. (simple)

Cuando un operador lógico opera sobre una proposición con ciertos posibles valores de verdad, también nos devuelven un valor de verdad específico, estos operadores lógicos se les llama funciones de verdad.

De hecho, todos los conectivos lógicos que presentaremos en secciones posteriores también pueden tratarse como funciones de verdad.

Para el caso de la negación lógica, hay que ser cuidadoso cuando negamos una proposición cuando tratamos con cuantificadores como “Algunos son” o “algunos no son”, ya que una de ellas es la conclusión de la otra.

Modo correcto de usar la negación:

Veamos el siguiente ejemplo:

  • \( p \) = Algunos perros tiene cola.

Esta es una proposición categórica, y es obvio que algunos perros tiene cola, debe existir otros perros que no los tenga, obtenemos la siguiente proposición:

  • \( q \) = Algunos perros no tiene cola.

Si se fijan bien, la negación de \( p \) realmente no contradice a \( q \) ya que una de ellas se ha deducido de la otra. Y más que una aparente contradicción, realmente una de ellas es la conclusión de la otra.

Como dije en el apartado anterior, el adverbio “no” tiene algunos inconvenientes al negar este tipo de proposiciones. La manera correcta de negar la proposición “algunos perros tiene cola” es:

  • No es verdad que algunos perros tiene cola

Y es lo mismo que decir:

  • Ningún perro tiene cola.

Estas corrección lo veremos en una sección de cuantificadores en el curso de teoría elemental de conjuntos, por lo pronto, tomar en cuentas estos pequeños detalles.

Resumen:

Se pueden hacer muchas cosas con la negación lógica, pero esto se vera cuando combinemos con el resto de los conectivos lógicos, en la tabla siguiente te presento un resumen de lo expuesto.

Conectivo Notación Aplicación Significado Ejemplo Tabla de verdad
 Negación  ~, ¬, ~ p no Sergio no es flaco
p~ p
VF
FV

De esta manera finalizó con la sección de la negación lógica, la próxima sección nos dedicaremos a la conjunción lógica. Y eso sería todo, nos vemos en la próxima sección, que tengan un buen día, bye.

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