14. Ejercicios Resueltos de Lógica Proposicional

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Holas amigos, en esta nueva seccion nos toca realizar algunos ejercicios resueltos de lógica proposicional, Estos ejercicios estaban divididos en 3 secciones diferentes con palabras clave de búsqueda similares para que puedas encontrar mi contenido de ciencias, pero esto tiene grabes problemas en el posicionamiento web de google. es por ello que decidí colocar las 3 secciones en una sola.

Actualmente he colocado algunos ejercicios de relacionada a las proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, aun nos falta ejercicios resueltos del resto del capitulo, tengan paciencia, ya subiremos mas contenido interesante.

Ahora mismo desarrollamos un total de 12 ejercicios resueltos como a modo de ejemplo de las primeras teorías que ya hemos estado desarrollando hasta ahora, la siguiente seccion tratará con el siguiente capitulo de teoria de conjuntos, esto es, el concepto de conjunto. Sin mas, comencemos.

Averigüe qué proposiciones son verdaderas o falsas:

  1. La luna es cuadrada y mi perro tiene cuatro patas.
  2. Si número 1 símbolo de suma número 1 = número 2, entonces número 1número cero  Símbolo del menor que número 1número 5.
  3. O la derivada de x al cuadrado es número 2variable x o la integral indefinida número 2variable x es x al cuadrado.
  4. Todos los humanos nacieron en Ganímedes o en la Tierra.
  5. En Photoshop se edita documentos texto o en Office Word se edita imagen.

Solución:

Proposición 1

Naturalmente nos referimos a la Luna que orbita la tierra, esta Luna, es redonda y no cuadrada, en cuanto al perro, en efecto, tiene cuatro patas, tenemos:

  • la proposición
  • la proposición: mi perro tiene cuatro patas

y como son unidas por un conectivo conjuntivo, la proposición es:

La proposición: la luna es cuadrada y mi perro tiene cuatro patas

naturalmente falsa. Sigamos con las siguientes proposiciones.

Proposición 2:

Proposición: si uno mas uno es igual a dos, entonces 10 es mayor que quince

La proposición es falsa.

O la derivada de x^2 es 2x o la integral indefinida de 2x es x^2

Proposición 3:

Esta proposición es falsa porque se trata de una disyunción fuerte o exclusiva a pesar de que no existe contradicción en cada uno de los argumentos por separado. Sería verdadera su fuese una disyunción inclusiva.

Proposición 4:

proposición: Todos los humanos nacieron en Ganímedes o en la Tierra

Esta es una disyunción débil o inclusiva, es verdadera ya que elegimos la proposición simple verdadera, esto es “todos los humanos nacieron en la tierra“.

Proposición 5:

Proposición: En photoshop se editan documentos de texto o en Office Word se editan imágenes

Y por ultimo, tenemos otra disyunción inclusiva, en este caso, la proposición es falsa.

Diga cuales de las siguientes proposiciones o enunciados abiertos son atómicas y moleculares, expréselo simbólicamente luego de identificarlos correctamente:

  1. La gallina pone huevos porque es hembra.
  2. El pavo será para mañana antes de las 12 de la noche.
  3. O Luis es buen jugador o es afortunado.
  4. Hoy esta lloviendo.
  5. Mi perro es bonito pero huele feo.
  6. Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil y Brasil se encuentra en américa.
  7. Mi gato no quiere comer.
  8. Escribo con un lapicero si y sólo si tiene tinta.
  9. Los tiburones les gusta la carne.
  10. Puedes usar una dona de plata o una esfera de plata en tu pulsera de piedras.

Solución  

1. La proposición “La gallina pone huevos porque es hembra” se puede desdoblar así:

  • Proposición p :La gallina pone huevos.
  • Proposición q: La gallina es hembra.

¿Cual es la razón de que la gallina ponga huevos?, Que sea hembra, podemos escribir este enunciado así:

  • Si la gallina es hembra, entonces pondra huevos.

Por tanto, la simbolización esta proposición condicional es Proposición q flecha que apunta a la derecha Proposición p. Aunque la manera correcta de escribirlo es así:

  • La gallina es hembra, por tanto, pone huevos.
Estes es una implicacion logica simbolizado así Proposición q símbolo de la implicación lógica  Proposición p.

2. Se puede separar en dos proposiciones diferentes:

  • Proposición p :El pavo será para mañana.
  • Proposición q: El pavo es antes de las 12 de la noche.

Se podía haber escrito “El pavo será para mañana y antes de las 12 de la noche“. Para este caso, su esquema molecular es Proposición p símbolo de la conjunción Proposición q.

3. igualmente

  • Proposición p :Luis es buen jugador.
  • Proposición q: Luis es afortunado.

Por tanto, estamos tratando con una proposición conjuntiva por el conectivo “y” como en el caso anterior Por tanto, su esquema molecular es Proposición p símbolo de la conjunción Proposición q.

4. La proposición “hoy está lloviendo” indica que un juicio a un suceso, aquellas proposiciones de un solo juicio son proposiciones simples sin conectivos lógicos.

  • Proposición phoy está lloviendo.

5. Aquí “Mi perro es bonito pero huele feo.

  • Proposición pMi perro es bonito.
  • Proposición qMi perro huele feo.
El conectivo “pero” representa al conectivo conjuntivo “y“, su esquema molecular es Proposición p símbolo de la conjunción Proposición q.

6. “Perú se encuentra al lado izquierdo de Brasil y Brasil se encuentra en américa“, se puede separar así:

  • Proposición pPerú se encuentra al lado izquierdo de Brasil.
  • Proposición qBrasil se encuentra en américa.
Estas proposiciones están unidas por el conectivo “y“, por tanto, su esquema molecular es Proposición p símbolo de la conjunción Proposición q.

7. “Mi gato no quiere comer”, esta proposición es compuesta pero no un es un conectivo lógico, de aquí podemos extraer el siguiente enunciado:

  • Proposición pMi gato quiere comer (Afirmación)
Como existe una negación “no” de simbolizado por “símbolo de negación“, la proposiciones debe escribirse así símbolo de negaciónProposición p.

8.Escribiré con un lapicero si y sólo si tiene tinta“, esta proposición se puede separar así:

  • Proposición pEscribiré con un lapicero.
  • Proposición q:El lapicero tiene tinta.
La conectiva “si y sólo si” es una bicondicional, por tanto, la proposicion debe escribirse así Proposición p símbolo de la bicondicional Proposición q.

Los ejercicios 9 y 10 se los dejo a su criterio.

Simbolizar el siguiente argumento detectando sus conectivas logicas escritos literalmente.

  • Si los cerdos vuelan y me hablan, creerían que estoy loco y me meterian en el manicomio.

Solución

Para identificar cada una de los conectivos lógicos, vamos a colorearlo con color rojo y azul.

  • Si los cerdos vuelan y me hablan, creerían que estoy loco y me meterian en el manicomio.

En este argumento, vemos una proposición del tipo condicional de la forma “Si … , entonces …“, en este caso, el “entonces” se sobreentiende, significa que la proposicion es una condicional con símbolo “flecha que apunta a la derecha” esto indica que es una es una conectiva de mayor jerarquía, lo podemos escribir así:

  • Los cerdos vuelan y me hablan flecha que apunta a la derecha creerían que estoy loco y me meterian en el manicomio.

El conectivo “y” de color azul es una conjunción lógica simbolizado por “símbolo de la conjunción“, nuestro argumento se puede escribir así (sin olvidar la jerarquía de la condicional):

  • (Los cerdos vuelan símbolo de la conjunción me hablan) flecha que apunta a la derecha (creerían que estoy loco símbolo de la conjunción me meterian en el manicomio)

De aquí podemos identificar las siguientes proposiciones simples dentro de este argumento y son:

  • Proposición p: Los cerdos vuelan.
  • Proposición q: los cerdos me hablan.
  • proposición r: Creerian que estoy loco.
  • Letra s: Me meterían preso.

Finalmente, nuestro argumento queda formalmente simbolizado de la siguiente manera:

  • (Proposición p símbolo de la conjunción Proposición qflecha que apunta a la derecha (proposición r símbolo de la conjunción Letra s)

De los siguientes enunciados:

  1. Descansa en paz.
  2. la integral indefinida de x al cubo es igual a x a la cuarta entre 4
  3. Él está cojo.
  4. Que alegria.
  5. número 3 – número 5 símbolo es mayor que  número 3

Cual de las alternativas siguientes son correctas:

  1. 2 de ellas son proposiciones
  2. 3 son enunciados abiertos
  3. 3 son enunciados declarativos
  4. 1 de ellas no son proposiciones ni enunciados abiertos

Solución:

Describamos rápidamente cada uno de los enunciados.

  1. Descansa en paz: es un mandato, por tanto, no es un enunciado declarativo.
  2. la integral indefinida de x al cubo es igual a x a la cuarta entre 4 es una proposición ya que la integral definida de integral de x a la n es x elevado a la n mas 1 y todo ello dividido entre n mas 1.
  3. Él está cojo, es un enunciado abierto, ya que no se sabe a quien se esta refiriendo.
  4. Que alegria, es una expresión emocional y no es un enunciado declarativo.
  5. número 3 – número 5 símbolo es mayor que  número 3 es –número 2 símbolo es mayor que  número 3, es imposible que –número 2 sea mayor que número 3, por lo que, estamos tratando con una proposición falsa.

De aquí, contabilizamos los tipos de enunciados que podamos encontrarnos:

  • Hay 3 enunciados declarativos, esta son la 2, 3 y 5.
  • Hay 2 proposiciones y son la 2 y la 5.
  • También encontramos 2 enunciados no declarativos, nos referimos a la 1 y la 4, es decir, no son proposiciones ni enunciados abiertos.
  • Encontramos también un único enunciado abierto, el enunciado número 3

por tanto, sólo las alternativas a. y c. son correctas.

Describir formalmente la siguiente proposición gramatical. Si no entendistes lo que quise decir, mejor te lo digo de esta manera “transforma la siguiente oración en términos Proposición p, Proposición q, proposición r junto con símbolos conectivos de la siguiente proposición”:

  • Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más, por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagaran menos o mas.

Solución:

Vamos a trazar con color amarillo tanto enunciados abiertos simples como proposiciones simples de la proposición original que estamos planteando.

  • Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más. Por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagarán menos o más.

De aquí, podemos simbolizar con letras minúsculas a las proposiciones simples como enunciados abiertos simples tenga la proposición matriz.

  • Proposición p = Renato va a trabajar tarde
  • Proposición q = le pagaran menos
  • proposición r = le pagarán más

Pero también encontramos otras premisas tiene relación a las premisas p, q y r:

  • no va a trabajar tarde es lo mismo que Renato no va a trabajar tarde (símbolo de negación Proposición p)
  • va a trabajar tarde es lo mismo que Renato va a trabajar tarde (Proposición p)
  • no es lo mismo que Renato no va a trabajar tarde (símbolo de negación Proposición p)
  • más es lo mismo que le pagaran mas (proposición r)

Como se habrán dado cuenta, tan solo son variantes de Proposición p y proposición r, pero ninguna en Proposición qLa proposición inicial se puede separar en dos partes, lo podemos hacer desde el punto aparte,quedando así:

  1. Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos y si no va a trabajar tarde, le pagarán más
  2. Por tanto, si va a trabajar tarde o no, le pagarán menos o más.

en el primer fragmento de la proposición hemos marcado el conjuntivo “y” de color rosa como mayor jerarquía porque une dos proposiciones condicionales. Lo podemos escribir así:

1. Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos símbolo de la conjunción si no va a trabajar tarde, le pagarán más

donde simbólicamente encontramos que:

  • Si Renato va a trabajar tarde, entonces le pagarán menos = Proposición p flecha que apunta a la derecha Proposición q
  • Si no va a trabajar tarde, le pagarán más = símbolo de negación Proposición p flecha que apunta a la derecha proposición r

el primer fragmento quedaría así:

  1. (Proposición p flecha que apunta a la derecha Proposición qsímbolo de la conjunción (símbolo de negación Proposición p flecha que apunta a la derecha proposición r)

En el segundo fragmento, encontramos una coma significa para este caso el conjuntivo “y”, lo podemos escribir de la siguiente manera:

2. Por tanto, si va a trabajar tarde o no símbolo de la conjunción le pagarán menos o más.

donde simbólicamente también encontramos que:

  • si va a trabajar tarde o no = Proposición p  símbolo de negación Proposición p
  • le pagarán menos o más = Proposición q  proposición r

nuestro segundo fragmento quedaría así:

2. Por tanto, (Proposición p  símbolo de negación Proposición psímbolo de la conjunción (Proposición q  proposición r)

Luego, vemos que en el segundo fragmento encontramos un “Por tanto“. En la entrada de la condicional explicamos que la implicación “Por tanto” es diferente a la condicional “Si … entonces..”. Para diferenciarlo simbólicamente (ya que no lo hice en dicha entrada), debemos de representarlo así “símbolo de la implicación

El “por tanto” significa que el primer fragmento (Proposición p flecha que apunta a la derecha Proposición qsímbolo de la conjunción (símbolo de negación Proposición p flecha que apunta a la derecha proposición r) es el antecedente del segundo fragmento (Proposición p  símbolo de negación Proposición psímbolo de la conjunción (Proposición q  proposición r) que es el consecuente pero sin el “por tanto

Finalmente, nuestra proposición original quedaría así:

[(Proposición p flecha que apunta a la derecha Proposición qsímbolo de la conjunción (símbolo de negación Proposición p flecha que apunta a la derecha proposición r)] símbolo de la implicación [(Proposición p  símbolo de negación Proposición psímbolo de la conjunción (Proposición q  proposición r)]

Formalizar simbólicamente el siguiente argumento.

  • Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. Luego, si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm.

Solución

Si leemos detenidamente este argumento, resulta ser una implicacion lógica, vea por usted mismo.

  • Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. Luego, si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm.

En este caso, la palabra “luego” es lo mismo que “por tanto” y se encuentra simbolizado por una flecha de este tipo “símbolo de la implicación lógica “, en la sección la condicional material puedes encontrar la diferencia con la implicacion lógica. Nuestro argumento lo podemos escribir así:

  • Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm; si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm símbolo de la implicación lógica  si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm.

Note también que encontramos un total de 3 condicionales lógicas en este argumento y son:

  • Si viene corriendo, llegará antes de la 5 pm. (Proposición p flecha que apunta a la derecha Proposición q)
  • Si viene con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. (proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición q)
  • Si viene corriendo o con bicicleta, llegará antes de la 5 pm. ((Proposición p  proposición r) flecha que apunta a la derecha Proposición q)

El punto y coma “;” que se encuentra entre las esquemas (Proposición p flecha que apunta a la derecha Proposición q) y (proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición q), representa en este caso a una conjunción lógica. Por tanto, nuestro argumento queda representado así:

  • (Proposición p flecha que apunta a la derecha Proposición qsímbolo de la conjunción (proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición qsímbolo de la implicación lógica  (Proposición p  proposición r) flecha que apunta a la derecha Proposición q

Ejercicios de valores de verdad

Antes de comenzar con los ejercicios, comenzaré a definir unas anotaciones que debí resaltarlo en entradas anteriores y es el definir los valores de verdad de las proposiciones, esta son:

  1. v mayúscula(Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad, indica que la proposición Proposición p es verdadera.
  2. v mayúscula(Proposición p) = f mayuscula, indica que la proposición Proposición p es falsa.
  3. v mayúscula(Proposición p) = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} indica que la proposición puede ser tanto verdadera o como también falsa pero no ambas a la vez.
  4. v mayúscula(Proposición p símbolo de no igual Proposición q) = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} indica que las proposiciones Proposición p y Proposición q pueden ser cada una de ellas o verdaderas o falsas donde v mayúscula(Proposición psímbolo de no igual v mayúscula(Proposición q).
  5. v mayúscula(Proposición p = Proposición q) = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} indica que las proposiciones Proposición p y Proposición q puede ser verdaderas o falsas tal que v mayúscula(Proposición psímbolo de no igual v mayúscula(Proposición q).

Con la nueva notación, comencemos con los ejercicios resueltos (conste que el siguiente problema será un poco largo e interesante):

Tenemos 3 variables proposicionales Proposición pProposición q y proposición r donde v mayúscula (Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdadv mayúscula (Proposición q) = f mayusculav mayúscula (proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad. Determine el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares:

  1. proposición r flecha que apunta a la derecha (Proposición q  Proposición p)
  2. símbolo de negación(Proposición p símbolo de la conjunción proposición rSímbolo de la disyunción inclusiva (Proposición q flecha que apunta a la derecha símbolo de negaciónProposición p)
  3. símbolo de negaciónProposición q flecha que apunta a la derecha (símbolo de negaciónProposición p  proposición r)
  4. símbolo de negación(Proposición p símbolo de la conjunción símbolo de negaciónProposición qflecha que apunta a la derecha (símbolo de negaciónproposición r símbolo de la conjunción Proposición p)

Solución

Esquema 1:

  • v mayúscula{proposición r flecha que apunta a la derecha (Proposición q  Proposición p)} = v mayúscula(proposición rflecha que apunta a la derecha v mayúscula(Proposición q  Proposición p) = v mayúscula(proposición rflecha que apunta a la derecha [v mayúscula(Proposición q v mayúscula(Proposición p)]

Reemplazando los valores de verdad de Proposición pProposición q y proposición r dados, tenemos:

  • v mayúscula{proposición r flecha que apunta a la derecha (Proposición q  Proposición p)} = V representa el conjunto de valores de verdad flecha que apunta a la derecha [f mayuscula  V representa el conjunto de valores de verdad] = V representa el conjunto de valores de verdad flecha que apunta a la derecha V representa el conjunto de valores de verdad = V representa el conjunto de valores de verdad.

Realizando lo mismo con el resto de los esquemas:

Esquema 2:

  • v mayúscula{símbolo de negación(Proposición p símbolo de la conjunción proposición rSímbolo de la disyunción inclusiva (Proposición q flecha que apunta a la derecha símbolo de negaciónProposición p)} = v mayúscula{símbolo de negación(Proposición p símbolo de la conjunción proposición r)Símbolo de la disyunción inclusiva v mayúscula(Proposición q flecha que apunta a la derecha símbolo de negaciónProposición p)} = símbolo de negación[v mayúscula(Proposición p símbolo de la conjunción proposición r)] Símbolo de la disyunción inclusiva v mayúscula(Proposición q flecha que apunta a la derecha símbolo de negaciónProposición p) = símbolo de negación[v mayúscula(Proposición psímbolo de la conjunción v mayúscula(proposición r)] Símbolo de la disyunción inclusiva [v mayúscula(Proposición qflecha que apunta a la derecha símbolo de negaciónv mayúscula(Proposición p)]

Reemplazando valores:

  • v mayúscula{símbolo de negación(Proposición p símbolo de la conjunción proposición rSímbolo de la disyunción inclusiva (Proposición q flecha que apunta a la derecha símbolo de negaciónProposición p)} = símbolo de negación[V representa el conjunto de valores de verdad símbolo de la conjunción V representa el conjunto de valores de verdadSímbolo de la disyunción inclusiva [f mayuscula flecha que apunta a la derecha símbolo de negaciónV representa el conjunto de valores de verdad] =  símbolo de negaciónV representa el conjunto de valores de verdad Símbolo de la disyunción inclusiva [f mayuscula flecha que apunta a la derecha f mayuscula] = f mayuscula Símbolo de la disyunción inclusiva V representa el conjunto de valores de verdad = V representa el conjunto de valores de verdad

Esquema 3:

  • v mayúscula{símbolo de negaciónProposición q flecha que apunta a la derecha (símbolo de negaciónProposición p  proposición r)} = símbolo de negaciónv mayúscula(Proposición qflecha que apunta a la derecha v mayúscula(símbolo de negaciónProposición p  proposición r) = símbolo de negaciónv mayúscula(Proposición qflecha que apunta a la derecha [ símbolo de negaciónv mayúscula(Proposición p v mayúscula(proposición r)]

Remplazando, tenemos:

  • v mayúscula{símbolo de negaciónProposición q flecha que apunta a la derecha (símbolo de negaciónProposición p  proposición r)} = símbolo de negaciónf mayuscula flecha que apunta a la derecha [símbolo de negaciónV representa el conjunto de valores de verdad  V representa el conjunto de valores de verdad] = V representa el conjunto de valores de verdad flecha que apunta a la derecha [f mayuscula  V representa el conjunto de valores de verdad] = V representa el conjunto de valores de verdad flecha que apunta a la derecha V representa el conjunto de valores de verdad = V representa el conjunto de valores de verdad

Esquema 4:

  • v mayúscula{símbolo de negación(Proposición p símbolo de la conjunción símbolo de negaciónProposición qflecha que apunta a la derecha (símbolo de negaciónproposición r símbolo de la conjunción Proposición p)} = símbolo de negaciónv mayúscula(Proposición p símbolo de la conjunción símbolo de negaciónProposición qflecha que apunta a la derecha v mayúscula(símbolo de negaciónproposición r símbolo de la conjunción Proposición p) = símbolo de negación[v mayúscula(Proposición psímbolo de la conjunción símbolo de negaciónv mayúscula(Proposición q)flecha que apunta a la derecha [símbolo de negaciónv mayúscula(proposición rsímbolo de la conjunción v mayúscula(Proposición p)]

Como en los casos anteriores, reemplazando valores, tenemos:

  • v mayúscula{símbolo de negación(Proposición p símbolo de la conjunción símbolo de negaciónProposición qflecha que apunta a la derecha (símbolo de negaciónproposición r símbolo de la conjunción Proposición p)} = símbolo de negación[V representa el conjunto de valores de verdad símbolo de la conjunción símbolo de negaciónf mayusculaflecha que apunta a la derecha [símbolo de negaciónV representa el conjunto de valores de verdad símbolo de la conjunción V representa el conjunto de valores de verdad] = símbolo de negación[V representa el conjunto de valores de verdad símbolo de la conjunción V representa el conjunto de valores de verdadflecha que apunta a la derecha [f mayuscula símbolo de la conjunción V representa el conjunto de valores de verdad] = símbolo de negaciónV representa el conjunto de valores de verdad flecha que apunta a la derecha f mayuscula = V representa el conjunto de valores de verdad

Si la siguiente proposición es Falsa:

{[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] símbolo de la bicondicional [(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)]} flecha que apunta a la derecha [(proposición r  Proposición q) símbolo de la bicondicional (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)]

determinar el valor de verdad de Proposición p, Proposición q y proposición r.

Solución:

Tomando el único dato que tenemos y resaltando en color rojo el conectivo de mayor jerarquía, tenemos:

{[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] símbolo de la bicondicional [(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)]} flecha roja que apunta a la derecha [(proposición r  Proposición q) símbolo de la bicondicional (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)]

Por la propiedad de la condicional:

  • v mayúscula{[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] símbolo de la bicondicional [(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)]} = V representa el conjunto de valores de verdad
  • v mayúscula[(proposición r  Proposición q) símbolo de la bicondicional (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)] = f mayuscula

si una bicondicional es verdadera, por ejemplo v mayúscula(letra m símbolo de la bicondicional letra n) =  V representa el conjunto de valores de verdad entonces deducimos que v mayúscula(letra m = letra n) = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula}, en caso contrario, si v mayúscula(letra m símbolo de la bicondicional letra n) =  f mayuscula, entonces se cumple que v mayúscula(letra m símbolo de no igual letra n) = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula}. Con estas nuevas notaciones explicadas al inicio de la de publicación, podemos escribir las proposiciones anteriores de la siguiente maner:

Usando la notación 5 para la bicondicional y nombrando estas ultimas proposiciones, tenemos.

v mayúscula{[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] = [(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)]} = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} …… (I)

v mayúscula[(proposición r  Proposición q) símbolo de no igual (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)] = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} …………………………………………….. (II)

comencemos con la proposición (I), Por ser una bicondicional, los fragmentos proposicionales entre corchetes [(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] y [(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)] o son verdaderas o son falsas. Lo dividiremos en dos casos:

Remplazando valores:

Caso 1: cuando v mayúscula[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] = v mayúscula[(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)] …… (III)

Tomando el lado izquierdo de la igualdad:

v mayúscula[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] = V representa el conjunto de valores de verdad ……. (IV)

de aquí, encontramos tres posibles combinaciones de valores de verdad que cumple (IV), consideremos que v mayúscula(Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad , de la proposición (IV).

esquema molecular

encontramos que Proposición p y Proposición q son verdaderas, de esta misma proposición notamos una disyunción inclusiva resaltando sus 2 posibles valores de verdad y es v mayúscula(símbolo de negación Proposición p  Proposición q) = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula}, aquí no hay mucho que investigar ya que no importa que valor de verdad tenga este fragmento proposicional, aunque resulta ser verdadera por los valores de Proposición p y Proposición q  como primera combinación, se descarta la segunda combinación, esto es, cuando es falsa ya que no existe valores para ella. Esto indica que nos falta una tercera y última combinación, pero esto lo veremos luego.

Como ya sabemos que v mayúscula(Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad y v mayúscula(Proposición q) = V representa el conjunto de valores de verdad , para calcular el valor de proposición r, analicemos el lado derecho de la igualdad de la proposición (III), esto es:

v mayúscula[(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)] = V representa el conjunto de valores de verdad …… (V)

si reemplazamos los valores de verdad de Proposición p y Proposición q en (V), encontramos una contradicción, veámoslo en el siguiente esquema:

esquema molecular

lo cual resulta ser contradictorio, este fragmento de proposición no puede ser verdadero o falso simultáneamente. Esta opción queda descartada, volvamos a escribir la ecuación numero (IV):

v mayúscula[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] = V representa el conjunto de valores de verdad ……. (IV)

nos falta la tercera posibilidad, la proposición (IV) también es valida cuando:

v mayúscula(símbolo de negación Proposición p  Proposición q) = f mayuscula …… (VI)

v mayúscula(Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p) = f mayuscula …… (VII)

de (VI) y (VII) deducimos que v mayúscula(Proposición q) = f mayuscula y v mayúscula(Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad, reemplazando en la proposición (V) para calcular proposición r tenemos:

v mayúscula(proposición r) = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula}

por lo visto, no encontramos el valor de proposición r, pero tenemos la proposición (II), lo escribiremos de nuevo aquí.

v mayúscula[(proposición r  Proposición q) símbolo de no igual (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)] = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} …… (II)

aquí solo podemos remplazar el valor de verdad de Proposición q, de esta manera encontramos el valor de proposición r y es v mayúscula(proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad. Por lo tanto, los valores de Proposición p, Proposición q y proposición r son:

v mayúscula(Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad

v mayúscula(Proposición q) = f mayuscula

v mayúscula(proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad

Caso 2: cuando v mayúscula[(símbolo de negación Proposición p  Proposición q) flecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] = v mayúscula[(proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)] = f mayuscula …… (IV)

vamos a separarlo en dos partes, tenemos:

v mayúscula[(símbolo de negación Proposición p  Proposición q) flecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] = f mayuscula y v mayúscula[(proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)] = f mayuscula

por la propiedad de la condicional del lado izquierdo del esquema molecular y enumerando las proposiciones, resulta:

v mayúscula(símbolo de negación Proposición p  Proposición q) = V representa el conjunto de valores de verdad ………………………. (VIII)

v mayúscula(Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p) = f mayuscula …………………………….. (IX)

v mayúscula[(proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de no igual (Proposición p  Proposición q)] = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} …… (X)

Fijense que la proposición “v mayúscula[(proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)] = f mayuscula” es lo mismo que la proposiciónv mayúscula[(proposición r flecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de no igual (Proposición p  Proposición q)] = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula}. Volviendo al asunto, de las proposiciones (VIII) y (IX) encontramos dos posibilidades y esta son:

  • Posibilidad 1: si v mayúscula(Proposición p) = f mayuscula entonces v mayúscula(Proposición q) = V representa el conjunto de valores de verdad
  • Posibilidad 2: Si v mayúscula(Proposición p) = f mayuscula entonces v mayúscula(Proposición q) = f mayuscula

si reemplazamos los valores de la posibilidad 1 en la proposición (X), se logra hallar el valor de proposición r, su valor es:

v mayúscula(proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad

a primera vista, parece ser que no encontramos contradicción alguna, pero los valores de Proposición p, Proposición q y proposición r contradicen a la proposición (II), lo escribiremos de nuevo:

v mayúscula[(proposición r  Proposición q) símbolo de no igual (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)] = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayuscula} …… (II)

lo escribiremos de nuevo como una bicondicional:

v mayúscula[(proposición r  Proposición q) símbolo de la bicondicional (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)] = f mayuscula …… (XI)

si reemplazamos estos nuevos valores, resulta que la proposición (XI) es verdadera. Por tanto, la posibilidad 1 queda descartada. Vayamos con la posibilidad 2 donde asumiremos que:

v mayúscula(Proposición p) = f mayuscula y v mayúscula(Proposición q)  = f mayuscula

reemplazando en la proposición (X) para hallar el valor de proposición r resulta que:

v mayúscula(proposición r)  = f mayuscula

pero de nuevo encontramos contradicción al reemplazar los nuevos valores de en la proposición (XI), ya que volvemos a encontrar que dicha proposición es verdadera contradiciendo a (XI).

Por lo visto, ya no nos queda mas posibilidades, finalmente, los valores que cumplen la proposición original:

{[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] símbolo de la bicondicional [(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)]} flecha que apunta a la derecha [(proposición r  Proposición q) símbolo de la bicondicional (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)]

son los valores del caso (I) de la tercera posibilidad, esto es:

  • v mayúscula(Proposición p) = f mayuscula
  • v mayúscula(Proposición q)  = f mayuscula
  • v mayúscula(proposición r)  = f mayuscula

Problema resuelto.

Si el siguiente esquema molecular es falso:

[(Proposición p símbolo de la bicondicional proposición r) símbolo de la conjunción (letra m en cursiva  letra n en cursiva)] flecha que apunta a la derecha (símbolo de negación Proposición p  Letra s)

Resolver el valor de verdad de la siguiente proposición:

{(proposición r  Letra ssímbolo de la bicondicional [letra m en cursiva  (símbolo de negación proposición r símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra n en cursiva)]  letra n en cursivasímbolo de la conjunción (Proposición p  proposición r)

Solución 

Tenemos como dato:

[(Proposición p símbolo de la bicondicional proposición r) símbolo de la conjunción (letra m en cursiva  letra n en cursiva)] flecha que apunta a la derecha (símbolo de negación Proposición p  Letra s) = f mayuscula

donde:

v mayúscula[(Proposición p símbolo de la bicondicional proposición r) símbolo de la conjunción (letra m en cursiva  letra n en cursiva)] = V representa el conjunto de valores de verdad …… (I)

v mayúscula(símbolo de negación Proposición p  Letra s) = f mayuscula …………………… (II)

de (I), podemos deducir que:

v mayúscula(Proposición p símbolo de la bicondicional proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad …… (III)

v mayúscula(letra m en cursiva  letra n en cursiva) = V representa el conjunto de valores de verdad …… (IV)

y aquí viene lo bueno, analizaremos tanto la proposición (III) como la proposición (II) simultáneamente, encontramos los siguientes resultados

Caso 1: si v mayúscula(Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad entonces v mayúscula(proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad  v mayúscula(Letra s) = V representa el conjunto de valores de verdad

Caso 2: si v mayúscula(Proposición p) = f mayuscula entonces v mayúscula(proposición r) = f mayuscula y v mayúscula(Letra s) = V representa el conjunto de valores de verdad

notamos que Proposición p y proposición r tiene valores de verdad iguales, pero estas dos son contrarias a Letra s, es decir:

v mayúscula(Proposición p) = v mayúscula(proposición r) símbolo de no igual v mayúscula(Letra s) ……… (V)

Ahora, resolveremos la proposición planteada del ejercicio, escribamos de nuevo la proposición con el nombre :

letra t = {(proposición r  Letra ssímbolo de la bicondicional [letra m en cursiva  (símbolo de negación proposición r símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra n en cursiva)]  letra n en cursivasímbolo de la conjunción (Proposición p  proposición r)

donde:

v mayúscula(letra t) = v mayúscula{{(proposición r  Letra ssímbolo de la bicondicional [letra m en cursiva  letra n en cursiva  (símbolo de negación proposición r símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra n en cursiva)]} símbolo de la conjunción (Proposición p  proposición r)}

si se han dado cuenta, he cambiado el orden de algunas proposiciones de letra m en cursiva  (símbolo de negación proposición r símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra n en cursiva)]  letra n en cursiva en letra m en cursiva  letra n en cursiva  (símbolo de negación proposición r símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra n en cursiva) esto lo expliqué en la última parte de la entrada llamada signos de agrupación en lógica proposicional, le sugiero la lectura de estos últimos párrafos para su mejor comprensión.

De la proposición letra t, lo separaremos en diferentes valores de verdad como sigue:

v mayúscula(letra t) = {v mayúscula{(proposición r  Letra ssímbolo de la bicondicional v mayúscula[letra m en cursiva  letra n en cursiva  (símbolo de negación proposición r símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra n en cursiva)]} símbolo de la conjunción v mayúscula(Proposición p  proposición r)}

v mayúscula(letra t) = {v mayúscula{(proposición r  Letra ssímbolo de la bicondicional [Letra V mayúscula sin cursiva de color morado(letra m color morado símbolo de la disyunción inclusiva color morado  letra n minúscula)  v mayúscula(símbolo de negación proposición r símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra n en cursiva)]} símbolo de la conjunción v mayúscula(Proposición p  proposición r)}

EL pequeño fragmento de color púrpura es igual al esquema de la proposición (IV), es decir, una proposición verdadera, remplazando este valor y coloreando convenientemente de color marrón, tenemos:

v mayúscula(letra t) = {v mayúscula{(proposición r  Letra ssímbolo de la bicondicional [letra V mayúscula cursiva color marrón  símbolo de la disyunción inclusiva color marrón   letra V mayúscula sin cursiva color marrón(símbolo de la negación color marrón letra r minuscula cursiva color marrón simbolo de la bicondicional color marron   símbolo de la negación color marrón letra n cursiva color marrón )]} símbolo de la conjunción v mayúscula(Proposición p  proposición r)}

el fragmento sombreado en color marrón, es para resaltar el disyuntivo inclusivo, donde si por lo menos una de sus proposiciones es verdadera, entonces la disyunción inclusiva es verdadera, nos quedaría:

v mayúscula(letra t) = {letra V mayúscula sin cursiva color verde(letra r minuscula cursiva color verde  disyunción inclusiva color verde letra s minuscula cursiva color verde ) símbolo de la bicondicional V representa el conjunto de valores de verdadsímbolo de la conjunción letra V mayuscula sin cursiva color azul(letra p minúscula cursiva color azul simbolo de la disyunción exclusiva color azul  letra r minuscula cursiva color azul)

cada vez nuestra ejercicio se va acortando, volvamos a escribir la igualdad (V):

v mayúscula(Proposición p) = v mayúscula(proposición rsímbolo de no igual v mayúscula(Letra s) …… (V)

examinando la proposición letra t con la condición (V), podemos deducir sin necesidad de saber los valores de Proposición p, proposición r y Letra s, veamos:

letra V mayúscula sin cursiva color verde(letra r minuscula cursiva color verde  disyunción inclusiva color verde letra s minuscula cursiva color verde ) = V representa el conjunto de valores de verdad porque v mayúscula(proposición rsímbolo de no igual v mayúscula(Letra s) ……… (VI)

no importa que valor de verdad exacto tengan proposición r y Letra s, siempre existirá entre ellos dos una verdad, es por eso que la proposición de color verde siempre sera verdadera por ser una disyunción inclusiva.

Regresando a la forma final de la proposición letra t, examinaremos el fragmento proposicional de color azul, podemos deducir fácilmente que:

letra V mayuscula sin cursiva color azul(letra p minúscula cursiva color azul simbolo de la disyunción exclusiva color azul  letra r minuscula cursiva color azul)f mayuscula porque v mayúscula(Proposición p) = v mayúscula(proposición r) ……… (VII)

si dos proposiciones son son o verdaderas o falsas, entonces la disyunción exclusiva que las une siempre sera falsa. Volviendo a escribir la proposición letra t:

v mayúscula(letra t) = {letra V mayúscula sin cursiva color verde(letra r minuscula cursiva color verde  disyunción inclusiva color verde letra s minuscula cursiva color verde ) símbolo de la bicondicional V representa el conjunto de valores de verdadsímbolo de la conjunción letra V mayuscula sin cursiva color azul(letra p minúscula cursiva color azul simbolo de la disyunción exclusiva color azul  letra r minuscula cursiva color azul)

de aquí, reemplazamos los valores de verdad de (VI) y (VII), tenemos:

v mayúscula(letra t) = {V representa el conjunto de valores de verdad símbolo de la bicondicional V representa el conjunto de valores de verdadsímbolo de la conjunción  f mayuscula

finalmente, el valor de letra t es:

v mayúscula(letra t) = f mayuscula

Problema resuelto

Si el siguiente esquema molecular:

[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)

es falsa, calcular el valor de verdad de la siguiente proposición:

[símbolo de negación Proposición q símbolo de la bicondicional (proposición r  Proposición p)] flecha que apunta a la derecha símbolo de negación [(Proposición p  símbolo de negaciónProposición q)  (símbolo de negación proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)]

Solución:

Este ejercicio es sencillo, quise bajar el nivel porque tuve problemas editando el problema número 4, bueno, tenemos como dato que:

v mayúscula{[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)} = f mayuscula

Una disyunción exclusiva es falsa cuando las proposiciones que la une o son falsas o son verdaderas, usando la notación que explicamos al inicio de esta publicación, podemos escribirlo así:

v mayúscula{[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q] = (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)} = {V representa el conjunto de valores de verdadf mayuscula}

de aquí, podemos encontrar dos posibles casos, y esta son:

v mayúscula{[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q] = (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)} = V representa el conjunto de valores de verdad …… (I)

v mayúscula{[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q] = (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)} = f mayuscula …… (II)

CASO I: 

Del esquema molecular (I), deducimos que:

v mayúscula[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q] = V representa el conjunto de valores de verdad ……… (III)

v mayúscula(proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)} = V representa el conjunto de valores de verdad………………………. (IV)

de (IV) por ser una conjunción, inferimos que:

v mayúscula(proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad

v mayúscula(Proposición q) = V representa el conjunto de valores de verdad

si reemplazamos estos valores en (III), no encontramos contradicción y también deducimos el valor de Proposición p  y es:

v mayúscula(Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad

Vayamos al caso 2 por si encontramos otros posibles valores.

CASO II: 

Lo volvemos a escribir de nuevo:

v mayúscula{[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q] = (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)} = f mayuscula …… (II)

lo escribiremos de la siguiente manera:

v mayúscula[(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p símbolo de negación Proposición q] = f mayuscula ……… (V)

v mayúscula(proposición r símbolo de la conjunción Proposición q) = f mayuscula………………………… (VI)

en la proposición (V), una disyunción es falsa cuando sus proposiciones que las componen son también falsas, de (V) tenemos:

v mayúscula(proposición r flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición p) = f mayuscula

v mayúscula(símbolo de negación Proposición q) = f mayuscula

de aquí deducimos los valores de Proposición p, Proposición q y proposición r  y son:

v mayúscula(Proposición p) = V representa el conjunto de valores de verdad

v mayúscula(Proposición q) = V representa el conjunto de valores de verdad

v mayúscula(proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad

sin embargo, estos valores contradicen a la proposición (VI), por lo visto, el CASO II queda descartado. Tomando los valores de verdad del CASO I, lo volvemos a escribir:

v mayúscula(Proposición p) = f mayuscula

v mayúscula(Proposición q) = V representa el conjunto de valores de verdad

v mayúscula(proposición r) = V representa el conjunto de valores de verdad

estos valores de verdad lo reemplazamos en nuestra proposición que queremos resolver, resultando finalmente:

[símbolo de negación Proposición q símbolo de la bicondicional (proposición r  Proposición p)] flecha que apunta a la derecha símbolo de negación [(Proposición p  símbolo de negaciónProposición q)  (símbolo de negación proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)] = f mayuscula

Problema resuelto.

Presentamos el siguiente esquema molecular:

letra v minúscula cursiva  = (letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha {letra u cursiva flecha que apunta a la derecha [Proposición p  (letra t flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición q)  (proposición r  símbolo de negación Letra s)  símbolo de negación Proposición p]}

Resolver el valor de verdad de:

letra v minúscula cursiva  letra w minúscula cursiva

Solución 

Calculemos letra v minúscula cursiva:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = v mayúscula{(letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha {letra u cursiva flecha que apunta a la derecha [Proposición p  (letra t flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición q)  (proposición r  símbolo de negación Letra s)  símbolo de negación Proposición p]}}

donde:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = v mayúscula(letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha v mayúscula{letra u cursiva flecha que apunta a la derecha [Proposición p  (letra t flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición q)  (proposición r  símbolo de negación Letra s)  símbolo de negación Proposición p]}

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = v mayúscula(letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha {v mayúscula(letra u cursivaflecha que apunta a la derecha v mayúscula[Proposición p  (letra t flecha que apunta a la derecha símbolo de negación Proposición q)  (proposición r  símbolo de negación Letra s)  símbolo de negación Proposición p]}

aquí podemos hacer algo interesante, primero sombrearé de color verde para indicar mi intención:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = v mayúscula(letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha {v mayúscula(letra u cursivaflecha que apunta a la derecha v mayúscula[letra p minúscula cursiva color verde  disyunción inclusiva color verde (letra t minuscula cursiva verde  símbolo de la condicional color verde  símbolo de la negación color verde  letra q minúscula cursiva color verde ) disyunción inclusiva color verde (letra r minuscula cursiva color verde símbolo de la disyunción exclusiva color verde  símbolo de la negación color verde letra s minuscula cursiva color verde) disyunción inclusiva color verde símbolo de la negación color verde  letra p minúscula cursiva color verde ]}

en este fragmento coloreado de color verde, podemos ver 3 proposiciones unidas por disyuntivos inclusivos. Como ya explique al final de esta entrada donde el orden de las proposiciones que la componen de ciertos conectivos lógicos, no altera el valor de verdad de la proposición matriz, podemos ordenarlo de la siguiente manera:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = v mayúscula(letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha {v mayúscula(letra u cursivaflecha que apunta a la derecha v mayúscula[letra p minúscula cursiva color verde  disyunción inclusiva color verde símbolo de la negación color verde  letra p minúscula cursiva color verde  disyunción inclusiva color verde (letra t minuscula cursiva verde  símbolo de la condicional color verde  símbolo de la negación color verde  letra q minúscula cursiva color verde ) disyunción inclusiva color verde (letra r minuscula cursiva color verde símbolo de la disyunción exclusiva color verde  símbolo de la negación color verde letra s minuscula cursiva color verde)]}

pero como una disyunción siempre es verdadera si por lo menos unos de sus proposiciones componentes es verdadera, como aquí:

entonces, el fragmento de color verde del esquema molecular de la proposición letra v minúscula cursiva  es verdadera, quedando:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = v mayúscula(letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha {Letra V mayúscula sin cursiva color rosado(letra u minuscula cursiva color rosa) símbolo de la condicional color rosa Letra V mayúscula cursiva rosa}

el fragmento rosado es una condicional, vemos que su consecuente es verdadero, por tanto, la condicional de color verde es también verdadero:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = v mayúscula(letra m en cursiva símbolo de la bicondicional letra tflecha que apunta a la derecha V representa el conjunto de valores de verdad

esto también es una condicional con consecuente verdadero, por fin, tenemos:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva ) = V representa el conjunto de valores de verdad

para nuestro problema:

letra v minúscula cursiva  letra w minúscula cursiva

como es una disyunción inclusiva donde letra v minúscula cursiva es verdadera, finalmente el valor de verdad es:

v mayúscula(letra v minúscula cursiva  letra w minúscula cursiva ) = V representa el conjunto de valores de verdad

también verdadera

Problema resuelto

Ejercicios de tablas de verdad

Calcular la tabla de verdad de la proposición del ejercicio anterior, es decir, del ejercicio 4.

Solución:

Volvamos a escribir la proposición del ejercicio 4:

{[(símbolo de negación Proposición p  Proposición qflecha que apunta a la derecha (Proposición q símbolo de la conjunción Proposición p)] símbolo de la bicondicional [(proposición rflecha que apunta a la derecha Proposición p) símbolo de la bicondicional (Proposición p  Proposición q)]} flecha que apunta a la derecha [(proposición r  Proposición q) símbolo de la bicondicional (proposición r símbolo de la conjunción Proposición q)]

De aquí, tenemos que sacar todos los valores de verdad en una tabla de verdad, veamos:

Esta sería la tabla de verdad de la proposición del ejercicio anterior, los números indican que conectivo lógico se resuelve primero, lo he diferenciado con colores para que sea más visual a la vista, por ejemplo, el número 1 indica son los primeros conectivos lógicos a resolverse, el 2 indica que son los siguientes a resolverse, así sigue la secuencia hasta llegar a la quinta columna.

La quinta columna representa al conectivo rojo de mayor jerarquía, si notamos detenidamente su valores de verdad, vemos que existe un único valor falso para el esquema molecular del ejercicio anterior, este resultado depende de los valores de verdad de Proposición p, Proposición q y proposición r y resulta ser lo mismos resultados de la respuesta del ejercicio anterior confirmando nuestros resultados.

Problema resuelto.

Definamos un nuevo conectivo lógico símbolo del menos más de dos proposiciones Proposición p y Proposición q, tal que:

tabla de verdad de un conectivo lógico de ejemplo

Cuales son todas las posibilidades del valor de verdad de la siguiente proposición:

Proposición p símbolo del menos más {Proposición q símbolo del menos más[[proposición r  símbolo de negación(Proposición q flecha que apunta a la derecha Letra s)]  (símbolo de negación Letra s símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra t)]}

Solución 

Por lo visto, tenemos a Proposición p, Proposición q, proposición r, Letra s y letra t; con estas número 5 proposiciones, tendríamos una combinación de 2 elevado a la quinta potencia = número 3número 2 posibles combinaciones en cuando la validez de nuestra proposición que a primera vista parece descomunal si intentamos realizar una tabla de verdad.

Sin embargo, es más fácil de lo que crees, para que lo veas mucho mejor, haremos la siguiente tabla de verdad con el siguiente esquema molecular:

Proposición p símbolo del menos más (letra q minúscula cursiva de color rosa símbolo de la condicional color rosa letra r minúscula cursiva de color rosa) …… (I)

y es:

esquema molecular de ejemplo

si tomamos el fragmento de color rosado del esquema molecular de (I), me refiero a este “letra q minúscula cursiva de color rosa símbolo de la condicional color rosa letra r minúscula cursiva de color rosa” y lo reemplazamos por ejemplo por “letra q minúscula cursiva de color rosa simbolo de la disyunción inclusiva color rosado  letra r minúscula cursiva de color rosa“, el resultado es lo mismo. Desde la tabla podemos darnos cuenta que se cumple lo siguiente:

Proposición p símbolo del menos más (letra q minúscula cursiva de color rosa símbolo de la condicional color rosa letra r minúscula cursiva de color rosa) = símbolo de negación Proposición p

y no importa si puede tomar otras formas como:

Proposición p símbolo del menos más (letra q minúscula cursiva de color rosa simbolo de la disyunción inclusiva color rosado  letra r minúscula cursiva de color rosa) = símbolo de negación Proposición p

Proposición p símbolo del menos más [(letra q minúscula cursiva de color rosa símbolo de la condicional color rosa letra r minúscula cursiva de color rosa)  Proposición q] = símbolo de negación Proposición p

Proposición p símbolo del menos más [(letra q minúscula cursiva de color rosa símbolo de la condicional color rosa letra r minúscula cursiva de color rosa)  (Letra s símbolo de la bicondicional letra t)] = símbolo de negación Proposición p

el resultado siempre sera el mismo y sin importar cuantas proposiciones componentes tenga nuestro esquema molecular, porque de la tabla de verdad del conectivo símbolo del menos más, deducimos que:

Dos proposiciones Proposición p y Proposición q unidas por el conectivo símbolo del menos más resultando Proposición p símbolo del menos más Proposición q, es verdadera si los valores de verdad de Proposición p es falsa y falsa si Proposición p es verdadera. Entonces:

Proposición p símbolo del menos más Proposición q = símbolo de negación Proposición p

Por tanto, la proposición que queremos resolver resulta ser opuesta a Proposición p, es decir:

Proposición p símbolo del menos más {Proposición q símbolo del menos más[[proposición r  símbolo de negación(Proposición q flecha que apunta a la derecha Letra s)]  (símbolo de negación Letra s símbolo de la bicondicional símbolo de negación letra t)]} = símbolo de negación Proposición p

Problema resuelto

Por fin terminamos con los ejercicios previos de lógica proposicional, comenzaré a desarrollar el resto de la teoría de lógica proposicional que aun nos resta por terminar en las próximas secciones

Si has llegado por primera vez aquí en esta primera entrada, te sugiero que leas de manera ordenada cada uno de mis entradas de lógica proposicional que están ordenadas numericamente y espero que sea de tu agrado.

Y eso sería todo queridos amigos, ha sido un gusto poder escribirle estos ejercicios propuestos porque muchos de ellos han sido inventados por mi y otros son ejercicios conocidos con una serie de modificaciones. Bueno, gracias por llegar hasta aquí, nos vemos en la próxima entrada, bye.

Esta sección se actualizará constantemente, si apenas ves pocos problemas y a medio terminar es porque es un apartado reciente de los ejercicios anteriores, y será categorizado de manera ordenada según el orden de las secciones del capítulo.

Agregaré algunos cuantos ejercicios de lógica proposicional con tablas de verdad, también algunos ejercicios con las principales leyes lógicas que aun no he desarrollado, estos últimos por lo general son ejercicios para simplificar o reducir los esquemas moleculares complejas a otras más sencillas y menos complejos y otras variedades mas.

Fin de la sección número 14

Y bueno gente, esta es mi última entrada de lógica proposicional, ten en cuenta que esta sección de ejercicios se actualizará constantemente porque es lo que se busca más después de estudiar una teoría,

En total, hemos desarrollado 14 secciones del capítulo de lógica proposicional, el próximo capítulo que sigue del curso de matemática básica es el de teoría de conjuntos y también será dividido en diferentes secciones y apartados.

Bueno, eso seria todo amigos, que tengan un buen día, nos vemos en el siguiente curso de matemática básica, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Ejercicios básicos de lógica proposicional
Clasificación
51star1star1star1star1star
2018-03-26T03:28:22+00:00