Este documento presenta una colección de 84 Ejercicios de Lógica Proposicional resueltos, diseñados para reforzar y consolidar las habilidades teóricas adquiridas durante el estudio de esta rama fundamental de las matemáticas y la filosofía.

Los ejercicios aquí desarrollados complementan el contenido teórico estudiado en los siguientes documentos de referencia:

#	Documento teórico	Contenido principal
1	Proposiciones Lógicas	Definición de proposición, principios lógicos, variables proposicionales
2	Conectivos Lógicos	Los 6 conectivos, tablas de verdad, jerarquía de operadores
3	Tablas de Verdad	Construcción de tablas, tautologías, contradicciones, contingencias
4	Equivalencias Lógicas	Leyes de equivalencia, simplificación de expresiones
5	Reglas de Inferencia	Modus Ponens, Modus Tollens, silogismos, reducción al absurdo
6	Circuitos Lógicos	Compuertas lógicas, diseño y simplificación de circuitos
7	Demostración Matemática	Métodos de demostración: directa, contraposición, contradicción, inducción

Objetivo

El objetivo de esta colección es proporcionar práctica sistemática en:

Identificación de proposiciones y sus valores de verdad
Formalización de enunciados verbales a expresiones simbólicas
Traducción de expresiones simbólicas a lenguaje natural
Evaluación de proposiciones compuestas mediante tablas de verdad
Demostración de equivalencias lógicas
Aplicación de reglas de inferencia en argumentos
Diseño y simplificación de circuitos lógicos

Estructura del documento

Los ejercicios están organizados en secciones temáticas, cada una precedida por un resumen teórico de referencia que condensa los conceptos clave necesarios para resolver los ejercicios de esa sección.

Sección I: Proposiciones y Conectivos Lógicos

Esta sección contiene ejercicios sobre proposiciones y conectivos lógicos, incluyendo identificación de proposiciones, simbolización de enunciados, uso de conectivos y determinación de valores de verdad.

Resumen Teórico de Referencia

¿Qué es una proposición?

Una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera (V) o falsa (F), pero nunca ambas.

Son proposiciones	NO son proposiciones
«Lima es la capital del Perú» (V)	«¿Qué hora es?» (pregunta)
«2 + 3 = 7» (F)	«¡Cierra la puerta!» (orden)
«El agua hierve a 100°C» (V)	«x + 5 = 10» (variable sin valor)

No son proposiciones: Preguntas, órdenes, exclamaciones, deseos, frases abiertas (con variables indefinidas) y paradojas.

Principios Lógicos Fundamentales

Principio	Fórmula	Significado
Identidad	p ≡ p	Toda proposición es idéntica a sí misma
No Contradicción	$ \mathrm{ ¬(p ∧ ¬p) } $	Una proposición no puede ser V y F al mismo tiempo
Tercero Excluido	p ∨ ¬p	Toda proposición es V o F; no hay tercera opción

Variables Proposicionales

Las variables proposicionales son letras minúsculas (p, q, r, s…) que representan proposiciones completas.

Variable	Proposición	Valor
p	«5 es un número par»	F
q	«Perú está en América»	V
r	«El agua hierve a 100°C»	V

Clasificación de Proposiciones

Tipo	Descripción	Ejemplo
Simple (Atómica)	No contiene conectivos lógicos	«María estudia medicina»
Compuesta (Molecular)	Contiene uno o más conectivos	«Llueve y hace frío»

Los 6 Conectivos Lógicos

Conectivo	Símbolo	Ejemplo	Cu¬ndo es V
Negación	¬	¬p	Invierte el valor de p
Conjunción	∧	p ∧ q	Solo cuando ambas son V
Disyunción	∨	p ∨ q	Cuando al menos una es V
Condicional	→	p → q	Siempre, excepto V→F
Bicondicional	↔	p ↔ q	Cuando ambas tienen igual valor
Disyunción Exclusiva	⊻	p ⊻ q	Cuando exactamente una es V

Formas de Expresar los Conectivos

Conectivo	Palabras/Frases indicadoras
Negación (¬)	no, no es cierto que, es falso que, no es el caso que
Conjunción (∧)	y, pero, además, sin embargo, aunque, mientras, a pesar de que
Disyunción (∨)	o, u, ya sea…o
Condicional (→)	si…entonces, siempre que, cuando, solo si, implica, es suficiente para, es necesario para
Bicondicional (↔)	si y solo si, cuando y solo cuando, es equivalente a, es necesario y suficiente
Disyunción Exclusiva (⊻)	o…o (pero no ambos), o bien…o bien, exclusivamente

Proposiciones Derivadas del Condicional

A partir de un condicional p → q, se pueden formar:

Nombre	Forma	Ejemplo: «Si llueve, entonces la calle se moja»
Directa	p → q	Si llueve, entonces la calle se moja
Recíproca	q → p	Si la calle se moja, entonces llueve
Inversa	$ \mathrm{ ¬p → ¬q } $	Si no llueve, entonces la calle no se moja
Contrapositiva	¬q → ¬p	Si la calle no se moja, entonces no llueve

Importante: La directa y la contrapositiva siempre tienen el mismo valor de verdad. La recíproca y la inversa también tienen el mismo valor entre sí.

Jerarquía de Operadores (Orden de Precedencia)

Prioridad	Operador	Símbolo
1 (máxima)	Paréntesis	( )
2	Negación	¬
3	Conjunción	∧
4	Disyunción	∨
5	Condicional	→
6 (mínima)	Bicondicional	↔

Ejemplo: p ∨ q ∧ r equivale a p ∨ (q ∧ r), porque ∧ tiene mayor precedencia que ∨.

Tablas de Verdad Resumidas

Negación (¬p)

p	¬p
V	F
F	V

Conjunción (p ∧ q) → Solo V cuando ambas son V

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disyunción (p ∨ q) → Solo F cuando ambas son F

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Condicional (p → q) → Solo F cuando V→F

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Bicondicional (p ↔ q) → V cuando ambas tienen el mismo valor

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Disyunción Exclusiva (p ⊻ q) → V cuando exactamente una es V

p	q	p ⊻ q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Cómo determinar el valor de verdad

Identifica las proposiciones simples (p, q, r…)
Determina el valor de verdad de cada una
Aplica la tabla del conectivo correspondiente
Evalúa de adentro hacia afuera (respeta paréntesis y jerarquía)

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Formalizar los siguientes enunciados:

a) «Si hace frío, entonces llueve»

Sean p: «Hace frío» y q: «Llueve»

Solución

Identificamos el conectivo: «Si… entonces» → Condicional (→)
Formalización: p → q

Nota: La formalización representa la estructura lógica, no el valor de verdad real.

b) «Si estudio, entonces apruebo el examen, y si apruebo el examen, entonces voy a la fiesta»

Sean p: «Estudio», q: «Apruebo el examen» y r: «Voy a la fiesta»

Solución

Descomponemos:
- «Si estudio, entonces apruebo» → p → q
- «Si apruebo, entonces voy a la fiesta» → q → r
- Las dos unidas con «y» → Conjunción (∧)
Formalización: (p → q) ∧ (q → r)

Nota: Esta estructura es el silogismo hipotético y permite concluir p → r.

c) «No es cierto que viese la película y leyese la novela»

Sean p: «Vi la película» y q: «Leí la novela»

Solución

Identificamos la estructura:
- «No es cierto que…» → Negación (¬) de todo lo que sigue
- «viese la película y leyese la novela» → Conjunción (p ∧ q)
Formalización: ¬(p ∧ q)

Nota: Por la Ley de De Morgan, esto equivale a: ¬p ∨ ¬q

d) «Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí»

Sean p: «Estás loca» y q: «Viniste aquí»

Solución

Identificamos la estructura:
- «Si no estuvieras loca» → Antecedente: ¬p
- «no habrías venido aquí» → Consecuente: ¬q
Formalización: ¬p → ¬q

Nota: Esta es la forma inversa del condicional. La inversa NO es equivalente a la directa, pero Sí es equivalente a la recíproca (q → p).

e) «Llueve y o bien nieva o sopla el viento»

Sean p: «Llueve», q: «Nieva» y r: «Sopla el viento»

Solución

Identificamos la estructura:
- «Llueve» → p
- «o bien nieva o sopla el viento» → Disyunción: q ∨ r
- «Llueve y (o bien…)» → Conjunción
Formalización: p ∧ (q ∨ r)

Nota: Los paréntesis son esenciales. Sin ellos, se interpretaría como (p ∧ q) ∨ r por la jerarquía de operadores.

f) «O está lloviendo y nevando o está soplando el viento»

Sean p: «Está lloviendo», q: «Está nevando» y r: «Está soplando el viento»

Solución

Identificamos la estructura:
- «está lloviendo y nevando» → Conjunción: p ∧ q
- «O (lo anterior) o está soplando el viento» → Disyunción con r
Formalización: (p ∧ q) ∨ r

Nota: Compara con el ítem anterior: p ∧ (q ∨ r) ≠ (p ∧ q) ∨ r. El orden de agrupación cambia el significado.

g) «Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni violaciones de los derechos civiles»

Sean p: «Hay verdadera democracia», q: «Hay detenciones arbitrarias» y r: «Hay violaciones de los derechos civiles»

Solución

Identificamos la estructura:
- «Si hay verdadera democracia» → Antecedente: p
- «no hay detenciones ni … violaciones» → «ni…ni» = Conjunción de negaciones: ¬q ∧ ¬r
Formalización: p → (¬q ∧ ¬r)

Nota: Por De Morgan, ¬q ∧ ¬r = ¬(q ∨ r). Forma equivalente: p → ¬(q ∨ r)

Ejercicio 2

Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12

Solución

Identificamos el conectivo: condicional (→) por la palabra «Si… entonces»
p: «5 + 4 = 11» → 5 + 4 = 9, entonces p es F
q: «6 + 6 = 12» → 6 + 6 = 12, entonces q es V
Aplicamos la tabla del condicional: F → V = V

Respuesta: Verdadera (V)

b) No es verdad que 3 + 3 = 7 si y solo si 5 + 5 = 12

Solución

Estructura: negación (¬) de un bicondicional (↔)
p: «3 + 3 = 7» → 3 + 3 = 6, entonces p es F
q: «5 + 5 = 12» → 5 + 5 = 10, entonces q es F
Primero evaluamos el bicondicional: F ↔ F = V (ambas tienen el mismo valor)
Luego aplicamos la negación: ¬V = F

Respuesta: Falsa (F)

c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador.

Solución

Identificamos el conectivo: disyunción (∨) por la palabra «o»
p: «Lima está en Chile» → Lima está en Perú, entonces p es F
q: «La Paz está en Ecuador» → La Paz está en Bolivia, entonces q es F
Aplicamos la tabla de la disyunción: F ∨ F = F (la disyunción solo es F cuando ambas son F)

Respuesta: Falsa (F)

d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4

Solución

Estructura: negación (¬) de una disyunción (∨)
p: «2 + 2 = 5» → 2 + 2 = 4, entonces p es F
q: «3 + 1 = 4» → 3 + 1 = 4, entonces q es V
Primero evaluamos la disyunción: F ∨ V = V (al menos una es V)
Luego aplicamos la negación: ¬V = F

Respuesta: Falsa (F)

Ejercicio 3

Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a) 4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5

Solución

Identificamos el conectivo: conjunción (∧) por la palabra «y»
p: «4 + 8 = 12» → 4 + 8 = 12, entonces p es V
q: «9 – 4 = 5» → 9 – 4 = 5, entonces q es V
Aplicamos la tabla de la conjunción: V ∧ V = V (la conjunción solo es V cuando ambas son V)

Respuesta: Verdadera (V)

b) 8 + 4 = 12 y 8 – 3 = 2

Solución

Identificamos el conectivo: conjunción (∧) por la palabra «y»
p: «8 + 4 = 12» → 8 + 4 = 12, entonces p es V
q: «8 – 3 = 2» → 8 – 3 = 5, entonces q es F
Aplicamos la tabla de la conjunción: V ∧ F = F (basta que una sea F para que la conjunción sea F)

Respuesta: Falsa (F)

c) 8 + 4 = 12 o 7 – 2 = 3

Solución

Identificamos el conectivo: disyunción (∨) por la palabra «o»
p: «8 + 4 = 12» → 8 + 4 = 12, entonces p es V
q: «7 – 2 = 3» → 7 – 2 = 5, entonces q es F
Aplicamos la tabla de la disyunción: V ∨ F = V (basta que una sea V para que la disyunción sea V)

Respuesta: Verdadera (V)

d) La UNMSM está en Arequipa o está en Lima.

Solución

Identificamos el conectivo: disyunción (∨) por la palabra «o»
p: «La UNMSM está en Arequipa» → La UNMSM está en Lima, entonces p es F
q: «La UNMSM está en Lima» → entonces q es V
Aplicamos la tabla de la disyunción: F ∨ V = V

Respuesta: Verdadera (V)

e) La UNI está en Lima o está en Trujillo.

Solución

Identificamos el conectivo: disyunción (∨) por la palabra «o»
p: «La UNI está en Lima» → La UNI sí está en Lima, entonces p es V
q: «La UNI está en Trujillo» → entonces q es F
Aplicamos la tabla de la disyunción: V ∨ F = V

Respuesta: Verdadera (V)

f) Si 5 + 2 = 7, entonces 3 + 6 = 9

Solución

Identificamos el conectivo: condicional (→) por «Si… entonces»
p: «5 + 2 = 7» → 5 + 2 = 7, entonces p es V
q: «3 + 6 = 9» → 3 + 6 = 9, entonces q es V
Aplicamos la tabla del condicional: V → V = V

Respuesta: Verdadera (V)

g) Si 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5 = 10

Solución

Identificamos el conectivo: condicional (→) por «Si… entonces»
p: «4 + 3 = 2» → 4 + 3 = 7, entonces p es F
q: «5 + 5 = 10» → 5 + 5 = 10, entonces q es V
Aplicamos la tabla del condicional: F → V = V (el condicional solo es F cuando V → F)

Respuesta: Verdadera (V)

h) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1 = 2

Solución

Identificamos el conectivo: condicional (→) por «Si… entonces»
p: «4 + 5 = 9» → 4 + 5 = 9, entonces p es V
q: «3 + 1 = 2» → 3 + 1 = 4, entonces q es F
Aplicamos la tabla del condicional: V → F = F (este es el único caso donde el condicional es F)

Respuesta: Falsa (F)

i) Si 7 + 3 = 4, entonces 11 – 7 = 9

Solución

Identificamos el conectivo: condicional (→) por «Si… entonces»
p: «7 + 3 = 4» → 7 + 3 = 10, entonces p es F
q: «11 – 7 = 9» → 11 – 7 = 4, entonces q es F
Aplicamos la tabla del condicional: F → F = V (cuando el antecedente es F, el condicional siempre es V)

Respuesta: Verdadera (V)

Ejercicio 4

Para los siguientes enunciados:

Recoge ese lapiz
2+5 < 6
x-y=5
Hace mucho frío

Cuál de alternativas siguientes es la correcta?

a) Dos son proposiciones b) Dos son enunciados abiertos c) Dos no son ni proposiciones ni enunciados abiertos d) Tres son proposiciones

Solución

Analizamos cada enunciado según la definición de proposición:

#	Enunciado	Análisis	Clasificación
1	«Recoge ese lápiz»	Es un mandato/orden, no tiene valor de verdad	❌ No es proposición
2	«2+5 < 6»	Es una afirmación: 2+5=7 y 7 < 6 es F	✅ Proposición (F)
3	«x-y=5»	Contiene variables sin valor definido	⚠️ Enunciado abierto
4	«Hace mucho frío»	Es subjetivo/ambiguo, no tiene valor de verdad definido	❌ No es proposición

Respuesta: c) Dos no son ni proposiciones ni enunciados abiertos

(Los enunciados 1 y 4 no son ni proposiciones ni enunciados abiertos)

Ejercicio 5

Dadas las proposiciones: p = Marcos es comerciante, q = Marcos es un próspero industrial y r = Marcos es ingeniero.

Simbolizar el enunciado: «Si no es el caso que Marcos sea un comerciante y próspero industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante».

Solución

Paso 1: Identificamos las proposiciones simples:

p: «Marcos es comerciante»
q: «Marcos es un próspero industrial»
r: «Marcos es ingeniero»

Paso 2: Descomponemos el enunciado en partes:

Parte del enunciado	Simbolización
«No es el caso que Marcos sea comerciante y próspero industrial»	¬(p ∧ q)
«Es ingeniero o no es comerciante»	r ∨ ¬p
«Si… entonces…»	→

Paso 3: Unimos con el condicional:

$ \neg(p \land q) \rightarrow (r \lor \neg p) $

Ejercicio 6

Sean p: «Hace frío» y q: «Está lloviendo». Describir con un enunciado verbal las siguientes aserciones:

#	Expresión simbólica
(1)	¬p
(2)	p ∧ q
(3)	p ∨ q
(4)	q ↔ p
(5)	p → ¬q
(6)	q ∨ ¬p
(7)	¬p ∧ ¬q
(8)	p ↔ ¬q
(9)	¬¬q
(10)	(p ∧ ¬q) → p

Solución

Estrategia: Para traducir de símbolos a lenguaje verbal, usamos las siguientes correspondencias:

Símbolo	Traducción verbal
¬	«no», «no es verdad que», «es falso que»
∧	«y»
∨	«o»
→	«si… entonces»
↔	«si, y solo si»

(1) ¬p

Estructura: Negación de p
Traducción: «No hace frío»

(2) p ∧ q

Estructura: Conjunción de p y q
Traducción: «Hace frío y está lloviendo»

(3) p ∨ q

Estructura: Disyunción de p y q
Traducción: «Hace frío o está lloviendo»

(4) q ↔ p

Estructura: Bicondicional entre q y p
Traducción: «Está lloviendo si, y solo si, hace frío»

(5) p → ¬q

Estructura: Condicional con consecuente negado
Traducción: «Si hace frío, entonces no está lloviendo»

(6) q ∨ ¬p

Estructura: Disyunción de q y la negación de p
Traducción: «Está lloviendo o no hace frío»

(7) ¬p ∧ ¬q

Estructura: Conjunción de dos negaciones
Traducción: «No hace frío y no está lloviendo»

Nota: Por la Ley de De Morgan, esto es equivalente a ¬(p ∨ q): «No es verdad que hace frío o está lloviendo»

(8) p ↔ ¬q

Estructura: Bicondicional entre p y la negación de q
Traducción: «Hace frío si, y solo si, no está lloviendo»

(9) ¬¬q

Estructura: Doble negación de q
Traducción literal: «No es verdad que no está lloviendo»
Traducción simplificada (por doble negación): «Está lloviendo»

Nota: Por la ley de doble negación, ¬¬q ≡ q

(10) (p ∧ ¬q) → p

Estructura: Condicional donde el antecedente es una conjunción
Traducción: «Si hace frío y no está lloviendo, entonces hace frío»

Nota: Esta proposición es una tautología (siempre verdadera), ya que si «hace frío» aparece en el antecedente, necesariamente se cumple en el consecuente. Es un caso de la regla de Simplificación: (p ∧ q) → p.

Ejercicio 7

Sean p: «Él es alto» y q: «Él es galán». Escribir los siguientes enunciados en forma simbólica con p y q:

#	Enunciado verbal
(1)	Él es alto y galán
(2)	Él es alto pero no es galán
(3)	Es falso que él es bajo o galán
(4)	Él no es ni alto ni galán
(5)	Él es alto, o él es bajo y galán
(6)	No es verdad que él es bajo o que no es galán

Solución

Nota importante: «Él es bajo» es lo opuesto de «Él es alto», por lo tanto:

«bajo» = ¬p (negación de p)

(1) Él es alto y galán

Conectivo identificado: «y» → Conjunción (∧)
Formalización: p ∧ q

(2) Él es alto pero no es galán

Conectivo identificado: «pero» → Conjunción (∧)
«no es galán» = ¬q
Formalización: p ∧ ¬q

Nota: En lógica, «pero» funciona igual que «y» (conjunción), aunque en español implica contraste.

(3) Es falso que él es bajo o galán

Estructura: Negación de una disyunción
«bajo» = ¬p, «galán» = q
«bajo o galán» = ¬p ∨ q
«Es falso que…» = Negación de todo
Formalización: ¬(¬p ∨ q)

Nota: Por De Morgan, esto equivale a: p ∧ ¬q («Él es alto y no es galán»)

(4) Él no es ni alto ni galán

Estructura: «ni… ni…» = Conjunción de negaciones
«no es alto» = ¬p
«no es galán» = ¬q
Formalización: ¬p ∧ ¬q

Nota: Por De Morgan, esto equivale a: ¬(p ∨ q) («No es verdad que es alto o galán»)

(5) Él es alto, o él es bajo y galán

Estructura: Disyunción donde una parte es conjunción
«alto» = p
«bajo y galán» = ¬p ∧ q
Formalización: p ∨ (¬p ∧ q)

Nota: Por absorción, esto simplifica a: p ∨ q

(6) No es verdad que él es bajo o que no es galán

Estructura: Negación de una disyunción
«bajo» = ¬p
«no es galán» = ¬q
«bajo o no es galán» = ¬p ∨ ¬q
Formalización: ¬(¬p ∨ ¬q)

Nota: Por De Morgan, esto equivale a: p ∧ q («Él es alto y galán»)

Resumen de respuestas:

#	Formalización
(1)	p ∧ q
(2)	p ∧ ¬q
(3)	¬(¬p ∨ q)
(4)	¬p ∧ ¬q
(5)	p ∨ (¬p ∧ q)
(6)	¬(¬p ∨ ¬q)

Ejercicio 8

Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados compuestos:

#	Enunciado
(1)	Si 3 + 2 = 7, entonces 4 + 4 = 8
(2)	No es verdad que 2 + 2 = 5 si, y solo si, 4 + 4 = 10
(3)	París está en Inglaterra o Londres está en Francia
(4)	No es verdad que 1 + 1 = 3 o que 2 + 1 = 3
(5)	Es falso que si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia

Solución

(1) Si 3 + 2 = 7, entonces 4 + 4 = 8

Paso 1: Identificamos las proposiciones simples:

p: «3 + 2 = 7» → 3 + 2 = 5, entonces p es F
q: «4 + 4 = 8» → 4 + 4 = 8, entonces q es V

Paso 2: Identificamos la estructura: Condicional (p → q)

Paso 3: Evaluamos usando la tabla del condicional:

F → V = V (el condicional solo es F cuando V → F)

Respuesta: Verdadera (V)

(2) No es verdad que 2 + 2 = 5 si, y solo si, 4 + 4 = 10

Paso 1: Identificamos las proposiciones simples:

p: «2 + 2 = 5» → 2 + 2 = 4, entonces p es F
q: «4 + 4 = 10» → 4 + 4 = 8, entonces q es F

Paso 2: Identificamos la estructura: Negación de un bicondicional ¬(p ↔ q)

Paso 3: Evaluamos el bicondicional primero:

F ↔ F = V (el bicondicional es V cuando ambas tienen el mismo valor)

Paso 4: Aplicamos la negación:

¬V = F

Respuesta: Falsa (F)

(3) París está en Inglaterra o Londres está en Francia

Paso 1: Identificamos las proposiciones simples:

p: «París está en Inglaterra» → París está en Francia, entonces p es F
q: «Londres está en Francia» → Londres está en Inglaterra, entonces q es F

Paso 2: Identificamos la estructura: Disyunción (p ∨ q)

Paso 3: Evaluamos usando la tabla de la disyunción:

F ∨ F = F (la disyunción solo es F cuando ambas son F)

Respuesta: Falsa (F)

(4) No es verdad que 1 + 1 = 3 o que 2 + 1 = 3

Paso 1: Identificamos las proposiciones simples:

p: «1 + 1 = 3» → 1 + 1 = 2, entonces p es F
q: «2 + 1 = 3» → 2 + 1 = 3, entonces q es V

Paso 2: Identificamos la estructura: Negación de una disyunción ¬(p ∨ q)

Paso 3: Evaluamos la disyunción primero:

F ∨ V = V (basta que una sea V)

Paso 4: Aplicamos la negación:

¬V = F

Respuesta: Falsa (F)

(5) Es falso que si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia

Paso 1: Identificamos las proposiciones simples:

p: «París está en Inglaterra» → p es F
q: «Londres está en Francia» → q es F

Paso 2: Identificamos la estructura: Negación de un condicional ¬(p → q)

Paso 3: Evaluamos el condicional primero:

F → F = V (cuando el antecedente es F, el condicional siempre es V)

Paso 4: Aplicamos la negación:

¬V = F

Respuesta: Falsa (F)

Resumen de respuestas:

#	Estructura	Valores	Resultado
(1)	p → q	F → V	V
(2)	¬(p ↔ q)	¬(F ↔ F) = ¬V	F
(3)	p ∨ q	F ∨ F	F
(4)	¬(p ∨ q)	¬(F ∨ V) = ¬V	F
(5)	¬(p → q)	¬(F → F) = ¬V	F

Ejercicio 9

Definamos p#q como una operación verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes.

Según esto, si r: «Juan es médico» y s: «Juan es deportista»; hallar la traducción de (¬r)#s.

Solución

Paso 1: Construimos la tabla de verdad del operador # según su definición

El operador # se define como:

p#q = V solo cuando p = F y q = V
p#q = F en todos los demás casos

p	q	p#q
V	V	F
V	F	F
F	V	V
F	F	F

Observación: Este operador personalizado solo es verdadero en un único caso (F, V).

Paso 2: Construimos la tabla de verdad de (¬r)#s

Aplicamos la definición del operador # a la expresión (¬r)#s:

r	s	¬r	(¬r)#s
V	V	F	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	F	V	F

Paso 3: Analizamos el patrón de resultados

La columna (¬r)#s tiene valor V únicamente cuando:

¬r = F (es decir, r = V)
s = V

Esto es exactamente el patrón de la conjunción r ∧ s:

r	s	r ∧ s	(¬r)#s
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	F	F

¡Las columnas son idénticas!

Paso 4: Traducción al lenguaje natural

Como (¬r)#s ≡ r ∧ s, la traducción es:

«Juan es médico y deportista»

Conclusión: Este ejercicio demuestra que operadores personalizados pueden ser equivalentes a combinaciones de conectivos estándar. En este caso, el operador # aplicado a (¬r) y s resulta equivalente a la conjunción de r y s.

Ejercicio 10

En cuales de los siguientes casos es suficiente la información para conocer el valor de verdad de las proposiciones correspondientes:

$ A = (p \lor q) \rightarrow (\neg p \land \neg q) $; $ V(q) = \mathrm{V} $

$ B = (p \land q) \rightarrow (p \lor r) $; $ V(p) = \mathrm{V} $ y $ V(r) = \mathrm{F} $

$ C = [p \land (q \rightarrow r)] $; $ V(p \rightarrow r) = \mathrm{V} $

$ D = (p \rightarrow q) \rightarrow r $; $ V(r) = \mathrm{V} $

Solución

Para cada caso, analizamos si podemos determinar el valor de verdad sin importar las variables desconocidas:

En A: $ (p \lor q) \rightarrow (\neg p \land \neg q) $ con $ V(q) = \mathrm{V} $

Sustituimos q = V: $ (p \lor \mathrm{V} ) \rightarrow (\neg p \land \mathrm{F} ) $
$ p \lor \mathrm{V} = \mathrm{V} $ (cualquier cosa OR V es V)
$ \neg p \land \mathrm{F} = \mathrm{F} $ (cualquier cosa AND F es F)
Resultado: $ V \rightarrow \mathrm{F} = \mathrm{F} $
✅ Es suficiente (siempre da F)

En B: $ (p \land q) \rightarrow (p \lor r) $ con $ V(p) = \mathrm{V} $, $ V(r) = \mathrm{F} $

Sustituimos: $ ( \mathrm{V} \land q) \rightarrow ( \mathrm{V} \lor \mathrm{F} ) $
$ \mathrm{V} \lor \mathrm{F} = \mathrm{V} $ (consecuente siempre V)
Cualquier cosa → V = V (condicional con consecuente V siempre es V)
✅ Es suficiente (siempre da V)

En C: $ p \land (q \rightarrow r) $ con $ V(p \rightarrow r) = \mathrm{V} $

Sabemos que $ p \rightarrow r = V $, pero esto tiene 3 posibilidades: (V,V), (F,V), (F,F)
No podemos determinar los valores individuales de p, q, r
Hay múltiples combinaciones que dan diferentes resultados
❌ No es suficiente

En D: $ (p \rightarrow q) \rightarrow r $ con $ V(r) = \mathrm{V} $

Sustituimos: $ (p \rightarrow q) \rightarrow \mathrm{V} $
Cualquier «cosa» → V = V (condicional con consecuente V siempre es V)
✅ Es suficiente (siempre da V)

Respuesta: A, B y D tienen información suficiente; C no tiene información suficiente

Ejercicio 11

Dadas las proposiciones q: «4 es un número impar», p y r cualesquiera tal que $ \neg[(r \lor q) \rightarrow (r \rightarrow p)] $ es verdadera; hallar el valor de verdad de los siguientes sistemas moleculares:

$ A = r \rightarrow (\neg p \lor \neg q) $ ; $ B = [r \leftrightarrow (p \land q)] \leftrightarrow (q \land \neg p) $ ; $ C = (r \lor \neg p) \land (q \lor p) $

Solución

Paso 1: Determinamos el valor de q:

q: «4 es un número impar» → 4 es par, entonces V(q) = F

Paso 2: Analizamos la proposición principal:

Si $ \neg[(r \lor q) \rightarrow (r \rightarrow p)] $ es V
Entonces $ (r \lor q) \rightarrow (r \rightarrow p) $ es F (por la negación)

Paso 3: El condicional es F solo cuando V → F:

$ (r \lor q) $ es V (antecedente)
$ (r \rightarrow p) $ es F (consecuente)

Paso 4: Si $ r \rightarrow p $ es F, entonces: V(r) = V y V(p) = F

Paso 5: Verificamos: $ r \lor q = \mathrm{V} \lor \mathrm{F} = \mathrm{V} $ ✔

Resumen de valores: p = F, q = F, r = V

Paso 6: Evaluamos cada esquema:

Resolviendo	Resultado
$ \mathrm{A} = r → (¬p ∨ ¬q) $ $ = \mathrm{V} → (\mathrm{V} ∨ \mathrm{V}) $ $ = \mathrm{V} → \mathrm{V} = \mathrm{V} $	A = V
$ \mathrm{B} = [r ↔ (p ∧ q)] ↔ (q ∧ ¬p) $ $ = [\mathrm{V} ↔ \mathrm{F}] ↔ \mathrm{F} $ $ = \mathrm{F} ↔ \mathrm{F} = \mathrm{V} $	B = V
$ \mathrm{C} = (r ∨ ¬p) ∧ (q ∨ p) $ $ = (\mathrm{V} ∨ \mathrm{V}) ∧ (\mathrm{F} ∨ \mathrm{F}) $ $ = \mathrm{V} ∧ \mathrm{F} = \mathrm{F} $	C = F

Respuesta: V(A) = V, V(B) = V, V(C) = F

Ejercicio 12

De la falsedad de la proposición: $ (p \rightarrow \neg q) \lor (\neg r \rightarrow s) $ se deduce que el valor de verdad de los esquemas moleculares:

$ A = (\neg p \land \neg q) \lor (\neg q) $ ; $ B = [(\neg r \lor q)] \leftrightarrow [(\neg q \lor r)] $ ; $ C = (p \rightarrow q) \rightarrow [(p \lor q) \land \neg q] $

son respectivamente: a) VFV b) FFF c) VVV d) FFV

Solución

Paso 1: Analizamos la proposición principal:

Si $ (p \rightarrow \neg q) \lor (\neg r \rightarrow s) $ es F
La disyunción solo es F cuando ambas partes son F

Paso 2: Determinamos los valores:

Proposición	Condición para ser F	Valores obtenidos
p → ¬q = F	V → F	p = V, q = V
¬r → s = F	V → F	r = F, s = F

Resumen: p = V, q = V, r = F, s = F

Paso 3: Evaluamos cada esquema:

Resolviendo	Resultado
$ \mathrm{A} = (¬p ∧ ¬q) ∨ ¬q $ $ = (\mathrm{F} ∧ \mathrm{F}) ∨ \mathrm{F} $ $ = \mathrm{F} ∨ \mathrm{F} $	A = F
$ \mathrm{B} = (¬r ∨ q) ↔ (¬q ∨ r) $ $ = (\mathrm{V} ∨ \mathrm{V}) ↔ (\mathrm{F} ∨ \mathrm{F}) $ $ = \mathrm{V} ↔ \mathrm{F} $	B = F
$ \mathrm{C} = (p → q) → [(p ∨ q) ∧ ¬q] $ $ = \mathrm{V} → [\mathrm{V} ∧ \mathrm{F}] $ $ = \mathrm{V} → \mathrm{F} $	C = F

Respuesta: b) FFF

Ejercicio 13

Si la siguiente expresión es verdadera, hallar los valores de verdad de p, q y r:

$ \neg[(\neg p \lor q) \lor (r \rightarrow q)] \land [(\neg p \lor q) \rightarrow (q \land \neg p)] $

Solución

Estrategia: Para que una conjunción (∧) sea V, ambas partes deben ser V.

Paso 1: Separamos la expresión en dos partes

Parte izquierda: ¬[(¬p ∨ q) ∨ (r → q)] = V
Parte derecha: [(¬p ∨ q) → (q ∧ ¬p)] = V

Paso 2: Analizamos la parte izquierda

Si ¬[(¬p ∨ q) ∨ (r → q)] = V, entonces:

(¬p ∨ q) ∨ (r → q) = F (por la negación)

Para que una disyunción sea F, ambas partes deben ser F:

¬p ∨ q = F
r → q = F

Paso 3: De ¬p ∨ q = F

La disyunción solo es F cuando ambas son F:

¬p = F → p = V
q = F

Paso 4: De r → q = F

El condicional solo es F cuando V → F:

r = V
q = F (confirmado)

Paso 5: Verificamos con la parte derecha

[(¬p ∨ q) → (q ∧ ¬p)] con p = V, q = F

¬p ∨ q = F ∨ F = F
q ∧ ¬p = F ∧ F = F
F → F = V ✓

Respuesta:

Variable	Valor
p	V
q	F
r	V

Conclusión: Este tipo de ejercicio requiere trabajar «hacia atrás» desde el valor de verdad conocido de la expresión completa, usando las propiedades de los conectivos para deducir los valores de las variables.

Ejercicio 14

De la falsedad de (p → ¬q) ∨ (¬r → ¬s), se deduce que el valor de verdad de los esquemas:

A = ¬(¬q ∨ ¬s) → ¬p
B = ¬(¬r ∧ s) ↔ (¬p → ¬q)
C = p → ¬[q → ¬(s → r)]

son respectivamente:

a) FFV b) FFF c) FVF d) FVV

Solución

Paso 1: Deducimos los valores de p, q, r, s

Si (p → ¬q) ∨ (¬r → ¬s) = F, ambas partes deben ser F:

Expresión	Condición para ser F	Valores obtenidos
$ p → \neg q = F $	V → F	p = V, q = V
$ \neg r → \neg s = F $	V → F	r = F, s = V

Resumen: p = V, q = V, r = F, s = V

Paso 2: Evaluamos A = ¬(¬q ∨ ¬s) → ¬p

Subexpresión	Evaluación
¬q, ¬s	F, F
¬q ∨ ¬s	F
¬(¬q ∨ ¬s)	V
¬p	F
V → F	F

Paso 3: Evaluamos B = ¬(¬r ∧ s) ↔ (¬p → ¬q)

Subexpresión	Evaluación
¬r ∧ s	V ∧ V = V
¬(¬r ∧ s)	F
¬p → ¬q	F → F = V
F ↔ V	F

Paso 4: Evaluamos C = p → ¬[q → ¬(s → r)]

Subexpresión	Evaluación
s → r	V → F = F
¬(s → r)	V
q → V	V
¬[q → ¬(s → r)]	F
p → F	V → F = F

Respuesta:

A	B	C
F	F	F

Respuesta correcta: b) FFF

Ejercicio 15

(p ∨ q) ↔ (r ∧ s) es una proposición verdadera, teniendo r y s valores de verdad opuestos. De las afirmaciones siguientes, ¿cuáles son verdaderas?

A = [(¬p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p, es verdadera
B = [¬(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∨ (¬p ∧ q), es falsa
C = [(¬r ∧ ¬s) → (p ∨ r)] ∧ ¬(r ∧ s), es verdadera

Solución

Paso 1: Deducimos los valores de las variables

De «r y s son opuestos»:

Si r = V, s = F → r ∧ s = F
Si r = F, s = V → r ∧ s = F
En ambos casos: r ∧ s = F

Del bicondicional (p ∨ q) ↔ (r ∧ s) = V:

(p ∨ q) ↔ F = V
Para que sea V, ambos lados deben ser iguales
Entonces: p ∨ q = F → p = F, q = F

Resumen: p = F, q = F, r ∧ s = F (con r ≠ s)

Paso 2: Evaluamos cada afirmación (usando r = V, s = F)

A = [(¬p ∧ ¬q) ∨ (r ∧ s)] ∧ p

Subexpresión	Evaluación
¬p ∧ ¬q	V ∧ V = V
r ∧ s	F
V ∨ F	V
V ∧ p	V ∧ F = F

A = F. La afirmación dice V → INCORRECTA ❌

B = [¬(p ∨ q) ∧ (r ∨ s)] ∨ (¬p ∧ q)

Subexpresión	Evaluación
¬(p ∨ q)	¬F = V
r ∨ s	V
V ∧ V	V
¬p ∧ q	V ∧ F = F
V ∨ F	V

B = V. La afirmación dice F → INCORRECTA ❌

C = [(¬r ∧ ¬s) → (p ∨ r)] ∧ ¬(r ∧ s)

Subexpresión	Evaluación
¬r ∧ ¬s	F ∧ V = F
p ∨ r	F ∨ V = V
F → V	V
¬(r ∧ s)	V
V ∧ V	V

C = V. La afirmación dice V → CORRECTA ✅

Respuesta:

Afirmación	Dice	Valor real	Resultado
A	V	F	❌ Falsa
B	F	V	❌ Falsa
C	V	V	✅ Verdadera

Conclusión: Dos afirmaciones son falsas (A y B) y solo una es verdadera (C).

Ejercicio 16

Dada la siguiente información:

V(r → q) = V
V(n ∧ r) = F
V(m ∨ n) = V
V(p ∨ m) = F

Determinar el valor de verdad del esquema molecular:

A = [(m ∨ ¬n) → (p ∧ ¬r)] ↔ (m ∧ q)

Solución

Paso 1: Deducimos los valores de las variables

Condición	Análisis	Valores obtenidos
$ V(p ∨ m) = \mathrm{F} $	Por disyunción F → ambas F	p = F, m = F
$ V(m ∨ n) = \mathrm{V} $	F ∨ n = V	n = V
$ V(n ∧ r) = \mathrm{F} $	V ∧ r = F	r = F
$ V(r → q) = \mathrm{V} $	F → q = V	q = ?(incognito)

Resumen: p = F, m = F, n = V, r = F

Paso 2: Evaluamos el lado izquierdo: (m ∨ ¬n) → (p ∧ ¬r)

Subexpresión	Evaluación
m ∨ ¬n	F ∨ F = F
p ∧ ¬r	F ∧ V = F
F → F	V

Paso 3: Evaluamos el lado derecho: m ∧ q

Subexpresión	Evaluación
m ∧ q	F ∧ q = F

Nota: Sin importar el valor de q, cuando m = F la conjunción siempre es F.

Paso 4: Evaluamos el bicondicional

V ↔ F = F

Respuesta:

V(A) = F

Observación: Este ejercicio demuestra que a veces no es necesario conocer todas las variables para determinar el valor final. El valor de q queda indeterminado, pero no afecta el resultado.

Ejercicio 17

Si V[(q → p) → (r ∨ p)] = F, hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

A = (p ∧ x) → (m ↔ y)
B = (q → n) ∨ (x ∧ y)
C = (r ↔ p) → (s ∧ q)
D = [(s → p) ∨ (n → r)] → (x ∨ ¬x)

Solución

Paso 1: Deducimos los valores de p, q, r

Si (q → p) → (r ∨ p) = F, necesitamos V → F:

Expresión	Condición	Valores
r ∨ p = F	Disyunción F	r = F, p = F
q → p = V	q → F = V	q = F

Resumen: p = F, q = F, r = F

Paso 2: Evaluamos A = (p ∧ x) → (m ↔ y)

Subexpresión	Evaluación
p ∧ x	F ∧ x = F
F → (m ↔ y)	V

Antecedente F → condicional siempre V

A = V ✓

Paso 3: Evaluamos B = (q → n) ∨ (x ∧ y)

Subexpresión	Evaluación
q → n	F → n = V
V ∨ (x ∧ y)	V

B = V ✓

Paso 4: Evaluamos C = (r ↔ p) → (s ∧ q)

Subexpresión	Evaluación
r ↔ p	F ↔ F = V
s ∧ q	s ∧ F = F
V → F	F

C = F ✗

Paso 5: Evaluamos D = [(s → p) ∨ (n → r)] → (x ∨ ¬x)

Subexpresión	Evaluación
x ∨ ¬x	V (tautología)
Cualquier cosa → V	V

x ∨ ¬x es la Ley del Tercero Excluido (siempre verdadera)

D = V ✓

Respuesta:

Proposición	Valor
A	V
B	V
C	F
D	V

Observación: Las variables x, y, m, n, s quedan indeterminadas, pero no afectan el resultado final debido a las propiedades de los conectivos.

Sección II: Tablas de Verdad

Este documento contiene ejercicios resueltos sobre tablas de verdad, incluyendo evaluación de proposiciones compuestas, identificación de tautologías, contradicciones y contingencias.

Resumen Teórico de Referencia

¿Qué es una tabla de verdad?

Una tabla de verdad muestra todos los posibles valores de verdad de una expresión lógica, para cada combinación de valores de sus proposiciones componentes.

Esquemas Moleculares y Conectivo Principal

Un esquema molecular combina variables proposicionales (p, q, r…) con conectivos lógicos. El nombre del esquema lo determina su conectivo principal (el último en evaluarse):

Esquema	Conectivo Principal	Nombre
p ∧ q	∧	Conjunción
p ∨ q	∨	Disyunción
p → q	→	Condicional
(p ∧ q) → r	→	Condicional
¬(p ∨ q)	¬	Negación

Componentes de una Tabla de Verdad

Componente	Descripción
Columnas de entrada	Las primeras columnas con las proposiciones atómicas (p, q, r…)
Columnas auxiliares	Columnas intermedias para subexpresiones
Columna principal	La última columna con el resultado final de la expresión

Número de filas

$ \text{Filas} = 2^n $ donde n = número de proposiciones distintas

Variables	Filas
1 (p)	2
2 (p, q)	4
3 (p, q, r)	8
4 (p, q, r, s)	16

Método para Llenar las Columnas de Variables

Para n variables, cada columna sigue un patrón de alternancia:

Columna	Patrón
1 (izquierda)	Mitad superior V, mitad inferior F
2°	Alterna en bloques de n/2
última (derecha)	Alterna V, F, V, F… uno a uno

Ejemplo con 3 variables (p, q, r):

Fila	p	q	r
1	V	V	V
2	V	V	F
3	V	F	V
4	V	F	F
5	F	V	V
6	F	V	F
7	F	F	V
8	F	F	F

Clasificación de Proposiciones

Tipo	Columna principal	Ejemplo
Tautología	Solo V (siempre verdadera)	p ∨ ¬p
Contradicción	Solo F (siempre falsa)	p ∧ ¬p
Contingencia	Mezcla de V y F	p → q

Orden de Evaluación (Prioridad de Operadores)

Prioridad	Operador	Nombre
1 (mayor)	( )	Paréntesis
2	¬	Negación
3	∧	Conjunción
4	∨	Disyunción
5	→	Condicional
6 (menor)	↔	Bicondicional

Tablas de Verdad de los Conectivos Básicos

Negación (¬p)

p	¬p
V	F
F	V

Conjunción (p ∧ q) → Solo V cuando ambas son V

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disyunción (p ∨ q) → Solo F cuando ambas son F

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Condicional (p → q) → Solo F cuando V → F

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Bicondicional (p ↔ q) → V cuando ambas tienen el mismo valor

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Pasos para Construir una Tabla de Verdad

Identificar las proposiciones distintas (p, q, r…) y el conectivo principal
Calcular el número de filas (2ⁿ)
Crear columnas para variables, subexpresiones y resultado final
Llenar las columnas de variables con todas las combinaciones
Evaluar subexpresiones de adentro hacia afuera, respetando la prioridad
Calcular la columna principal (conectivo principal)
Clasificar: Tautología, Contradicción o Contingencia

Notación del Valor de Verdad: V(p) y #V(p)

Notación	Significado
$ V(p) = \mathrm{V} $	El valor de verdad de p es Verdadero
$ V(p) = \mathrm{F} $	El valor de verdad de p es Falso
$ \# V(p) = 1 $	Representación binaria de Verdadero
$ \# V(p) = 0 $	Representación binaria de Falso

Fórmulas aritméticas de los conectivos:

Conectivo	Fórmula
Negación	$ \# V(\neg p) = 1 – \# V(p) $
Conjunción	$ \# V(p \land q) = \# V(p) \cdot \# V(q) $
Disyunción	$ \# V(p \lor q) = \# V(p) + \# V(q) – \# V(p) \cdot \# V(q) $

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Construir la tabla de verdad y clasificar:

$ \neg p \land q $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q → n = 2
Número de filas: 2² = 4

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Conjunción (∧)
Estructura: (¬p) ∧ (q)

Paso 3: Identificamos las subexpresiones a evaluar

¬p (negación de p)
¬p ∧ q (conjunción final)

Paso 4: Construimos la tabla de verdad

p	q	¬p	¬p ∧ q
V	V	F	F
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	F

Paso 5: Clasificación

La columna principal tiene mezcla de V y F → CONTINGENCIA

Análisis: Esta proposición solo es verdadera cuando p es falsa Y q es verdadera (tercera fila).

Ejercicio 2

Construir la tabla de verdad y clasificar:

$ \neg(p \rightarrow \neg q) $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q → n = 2
Número de filas: 2² = 4

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Negación (¬)
Estructura: ¬(p → ¬q)

Paso 3: Identificamos las subexpresiones a evaluar (de adentro hacia afuera)

¬q (negación de q)
p → ¬q (condicional)
¬(p → ¬q) (negación final)

Paso 4: Construimos la tabla de verdad

p	q	¬q	p → ¬q	¬(p → ¬q)
V	V	F	F	V
V	F	V	V	F
F	V	F	V	F
F	F	V	V	F

Paso 5: Clasificación

La columna principal tiene mezcla de V y F → CONTINGENCIA

Equivalencia: Por la ley de negación del condicional: ¬(p → ¬q) ≡ p ∧ q

Ejercicio 3

Demostrar que la proposición dada es una tautología:

$ [(p \lor \neg q) \land q] \rightarrow p $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q → n = 2
Número de filas: 2² = 4

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Condicional (→)
Antecedente: (p ∨ ¬q) ∧ q
Consecuente: p

Paso 3: Identificamos las subexpresiones a evaluar

¬q
A = p ∨ ¬q, primera evaluación
(p ∨ ¬q) ∧ q (antecedente), segunda evaluación
[(p ∨ ¬q) ∧ q] → p (condicional final), tercera y ultima evaluación

Paso 4: Construimos la tabla de verdad

p	q	¬q	A = p ∨ ¬q	A ∧ q	[A ∧ q] → p
V	V	F	V	V	V → V = V
V	F	V	V	F	F → V = V
F	V	F	F	F	F → F = V
F	F	V	V	F	F → F = V

Paso 5: Clasificación

Todos los valores de la columna principal son V → TAUTOLOGÍA ✓

Análisis: El antecedente solo es V cuando p=V y q=V. En ese caso, el consecuente p también es V.

Ejercicio 4

Demostrar que la proposición $ [(\neg p \lor q) \land \neg q] \rightarrow \neg p $ es una tautología.

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q → n = 2
Número de filas: 2² = 4

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Condicional (→)
Antecedente: (¬p ∨ q) ∧ ¬q
Consecuente: ¬p

Paso 3: Identificamos las subexpresiones a evaluar

¬p, ¬q, primera evaluación (negaciones)
¬p ∨ q, segunda evaluación (disyunción)
(¬p ∨ q) ∧ ¬q (antecedente), tercera evaluación (conjunción)
[(¬p ∨ q) ∧ ¬q] → ¬p, Resultado final, cuarta y ultima evaluación (condicional)

Paso 4: Construimos la tabla de verdad

\begin{array}{|c|c|c|c|l|} \hline
p & q & \neg{p} & \neg q & [ ( \neg p \color{blue}{∨} q ) \color{green}{∧} \neg q ] \color{red}{ \rightarrow } \neg p \\ \hline
\mathrm{V} & \mathrm{V} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \hspace{20pt} \color{blue}{ \mathrm{V} } \hspace{13pt} \color{green}{ \mathrm{ F } } \hspace{20pt} \color{red}{ \mathrm{ V } } \\ \hline
\mathrm{V} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{V} & \hspace{20pt} \color{blue}{ \mathrm{F} } \hspace{13pt} \color{green}{ \mathrm{ F } } \hspace{20pt} \color{red}{ \mathrm{ V } } \\ \hline
\mathrm{F} & \mathrm{V} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \hspace{20pt} \color{blue}{ \mathrm{V} } \hspace{13pt} \color{green}{ \mathrm{F } } \hspace{20pt} \color{red}{ \mathrm{ V } } \\ \hline
\mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{F} & \mathrm{V} & \hspace{20pt} \color{blue}{ \mathrm{V} } \hspace{13pt} \color{green}{ \mathrm{F } } \hspace{20pt} \color{red}{ \mathrm{ V } } \\ \hline
\end{array}

Paso 5: Clasificación

Todos los valores de la columna principal son V → TAUTOLOGÍA ✓

Observación: Cuando el antecedente es F, el condicional siempre es V (verdad vacua).

Ejercicio 5

Construir la tabla de verdad y clasificar:

$ (p \land q) \rightarrow (p \lor q) $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q → n = 2
Número de filas: 2² = 4

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Condicional (→)
Antecedente: p ∧ q
Consecuente: p ∨ q

Paso 3: Construimos la tabla de verdad

p	q	p ∧ q	p ∨ q	(p ∧ q) → (p ∨ q)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

Paso 4: Clasificación

Todos los valores de la columna principal son V → TAUTOLOGÍA

Análisis lógico: Si «p y q» son ambas verdaderas, entonces «p o q» también lo es. La conjunción es más restrictiva que la disyunción.

Ejercicio 6

Construir la tabla de verdad y clasificar:

$ \neg(p \land q) \lor \neg(q \leftrightarrow p) $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q → n = 2
Número de filas: 2² = 4

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Disyunción (∨)
Estructura: ¬(p ∧ q) ∨ ¬(q ↔ p)

Paso 3: Identificamos las subexpresiones a evaluar

A = p ∧ q y su negación
B = q ↔ p y su negación
¬(p ∧ q) ∨ ¬(q ↔ p) = ¬A ∨ ¬B Disyunción final

Paso 4: Construimos la tabla de verdad

p	q	A = p ∧ q	¬A	B = q ↔ p	¬B	¬A ∨ ¬B
V	V	V	F	V	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	F	V	V
F	F	F	V	V	F	V

Paso 5: Clasificación

La columna principal tiene mezcla de V y F → CONTINGENCIA

Análisis: Solo es F cuando p = V y q = V.

Ejercicio 7

Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta (Primera Ley de De Morgan):

$ \neg(p \land q) \leftrightarrow (\neg p \lor \neg q) $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q → n = 2
Número de filas: 2² = 4

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Bicondicional (↔)
Lado izquierdo: ¬(p ∧ q) = ¬A
Lado derecho: (¬p ∨ ¬q) = B

Paso 3: Construimos la tabla de verdad

\begin{array}{|c|c|l|c|c|c|l|l|} \hline
p & q & A & \color{blue}{ \neg \mathrm{A} } & \neg p & \neg q & \color{green}{ \mathrm{B} } & \neg A \color{red}{ \leftrightarrow } B \\ \hline
V & V & V & F & F & F & F & \hspace{17pt} V \\ \hline
V & F & F & V & F & V & V & \hspace{17pt} V \\ \hline
F & V & F & V & V & F & V & \hspace{17pt} V \\ \hline
F & F & F & V & V & V & V & \hspace{17pt} V \\ \hline
\end{array}

Paso 4: Clasificación

Todos los valores son V → TAUTOLOGÍA

Nota: Esta es la Primera Ley de De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

Ejercicio 8

Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones:

a) $ (p \land q) \land \neg(p \lor q) $

b) $ \neg[p \lor (\neg p \lor \neg q)] $

Solución

Parte a) $ (p \land q) \land \neg(p \lor q) $

Análisis previo: Esta expresión afirma «p y q son verdaderas» Y «no es cierto que p o q sea verdadera». ¡Es una contradicción lógica!, pero usando la tabla de verdad, se comprueba que:

p	q	p ∧ q	p ∨ q	¬(p ∨ q)	(p ∧ q) ∧ ¬(p ∨ q)
V	V	V	V	F	V ∧ F = F
V	F	F	V	F	F ∧ F = F
F	V	F	V	F	F ∧ F = F
F	F	F	F	V	F ∧ V = F

Clasificación: Todos F → CONTRADICCIÓN ✓

Parte b) $ \neg[p \lor (\neg p \lor \neg q)] $

Por propiedades de equivalencia lógica podemos demostrar que el esquema es una contradicción, sin embargo, usaremos la tabla de verdad para probar esta afirmación. Por facilidad sea A = ¬p ∨ ¬q donde ¬[p ∨ (p ∨ ¬q)]=¬(p ∨ A)

p	q	¬p	¬q	A = ¬p ∨ ¬q	p ∨ A	¬(p ∨ A)
V	V	F	F	F	V	F
V	F	F	V	V	V	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	V	V	V	F

Clasificación: Todos F → CONTRADICCIÓN ✓

Nota: La subexpresión contiene p ∨ ¬p (tautología). Al negar una tautología, obtenemos una contradicción.

Ejercicio 9

Verificar que la proposición dada es una contingencia (3 variables):

$ [\neg p \land (q \lor r)] \longleftrightarrow [(p \lor r) \land q] $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables y calculamos el número de filas

Variables: p, q, r → n = 3
Número de filas: 2³ = 8 filas

Paso 2: Identificamos el conectivo principal

Conectivo principal: Bicondicional (↔)
Lado izquierdo: ¬p ∧ (q ∨ r)
Lado derecho: (p ∨ r) ∧ q

Paso 3: Construimos la tabla de verdad

Lado izquierdo

p	q	r	¬p	q∨r	¬p∧(q∨r)
V	V	V	F	V	F
V	V	F	F	V	F
V	F	V	F	V	F
V	F	F	F	F	F
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	F	F

Lado derecho

p	q	r	p∨r	(p∨r)∧q
V	V	V	V	V
V	V	F	V	V
V	F	V	V	F
V	F	F	V	F
F	V	V	V	V
F	V	F	F	F
F	F	V	V	F
F	F	F	F	F

Conectivo principal

¬p∧(q∨r)	(p∨r)∧q	¬p∧(q∨r) ↔ (p∨r)∧q
F	V	F
F	V	F
F	F	V
F	F	V
V	V	V
V	F	F
V	F	F
F	F	V

Paso 4: Clasificación

Tiene mezcla de V y F → CONTINGENCIA ✓

Observación: Con 3 variables el análisis se vuelve más complejo. Los resultados dependen de combinaciones específicas.

Ejercicio 10

Determinar si las proposiciones comparten el mismo valor de verdad (3 variables):

$ [p \rightarrow (r \lor \neg q)] $ y $ [(q \rightarrow \neg p) \lor (\neg r \rightarrow \neg p)] $

Solución

Paso 1: Variables: p, q, r → 8 filas

Paso 2: Para verificar equivalencia, construimos ambas tablas y comparamos las columnas principales.

Paso 3: Construimos la tabla

Comencemos por p→(r∨¬q)

p	q	r	¬p	¬q	¬r	r∨¬q	p→(r∨¬q)
V	V	V	F	F	F	V	V
V	V	F	F	F	V	F	F
V	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	V	V	V
F	V	V	V	F	F	V	V
F	V	F	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	F	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

Ahora con (q→¬p)∨(¬r→¬p)

p	q	r	¬p	¬q	¬r	q→¬p	¬r→¬p	(q→¬p)∨(¬r→¬p)
V	V	V	F	F	F	F	V	V
V	V	F	F	F	V	F	F	F
V	F	V	F	V	F	V	V	V
V	F	F	F	V	V	V	F	V
F	V	V	V	F	F	V	V	V
F	V	F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	V	V	F	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V	V

Paso 4: Comparamos las columnas principales

Fila	p→(r∨¬q)	(q→¬p)∨(¬r→¬p)
1	V	V
2	F	F
3	V	V
4	V	V
5	V	V
6	V	V
7	V	V
8	V	V

Conclusión: Las columnas son idénticas → Sí comparten el mismo valor de verdad ✓

Ejercicio 11

Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición (anidamiento complejo):

$ \neg{[\neg p \lor (\neg q \rightarrow p)] \lor [(p \leftrightarrow \neg q) \rightarrow (q \land \neg p)]} $

Solución

Paso 1: Identificamos las variables: p, q → n = 2 → 4 filas

Paso 2: Esta es una negación de una disyunción de dos partes:

A = ¬p ∨ (¬q → p)
B = (p ↔ ¬q) → (q ∧ ¬p)
Expresión completa: ¬(A ∨ B)

Paso 3: Evaluamos paso a paso

Comencemos por el esquema A

p	q	¬p	¬q	¬q→p	A=¬p∨(¬q→p)
V	V	F	F	V	V
V	F	F	V	V	V
F	V	V	F	F	V
F	F	V	V	F	V

Ahora con B

p	q	¬p	¬q	p↔¬q	q∧¬p	B=(p↔¬q)→(q∧¬p)
V	V	F	F	F	F	V
V	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	F	F

Ahora evaluamos ¬(A ∨ B)

A	B	A∨B	¬(A∨B)
V	V	V	F
V	F	V	F
V	V	V	F
V	F	V	F

Paso 4: Clasificación

Todos los valores son F → CONTRADICCIÓN

Nota: A pesar de tener solo 2 variables, el anidamiento de 5 niveles hace este ejercicio avanzado.

Ejercicio 12

Definimos los siguientes operadores:

Operador	Definición
p # q	¬p ∨ ¬q
p θ q	¬(p → q)

Evaluar la tabla de verdad de la proposición (p → q) # (p θ q) y clasificarla.

Solución

Paso 1: Primero construimos las tablas de los operadores personalizados.

Tabla del operador # (p # q ≡ ¬p ∨ ¬q):

p	q	¬p	¬q	p # q
V	V	F	F	F
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Nota: Solo es F cuando ambas proposiciones son V.

Tabla del operador θ (p θ q ≡ ¬(p → q)):

p	q	p → q	p θ q
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	F

Nota: Solo es V cuando p es V y q es F (es la negación del condicional).

Paso 2: Ahora evaluamos (p → q) # (p θ q)

p	q	p → q	p θ q	(p → q) # (p θ q)
V	V	V	F	¬V ∨ ¬F = F ∨ V = V
V	F	F	V	¬F ∨ ¬V = V ∨ F = V
F	V	V	F	¬V ∨ ¬F = F ∨ V = V
F	F	V	F	¬V ∨ ¬F = F ∨ V = V

Paso 3: Clasificación

Todos los valores de la columna principal son V → Tautología ✓

Sección III: Equivalencias Lógicas

Esta sección contiene ejercicios sobre equivalencias lógicas, incluyendo simplificación de proposiciones, transformaciones algebraicas y aplicación de leyes lógicas.

Resumen Teórico de Referencia

¿Qué es una equivalencia lógica?

Dos proposiciones son lógicamente equivalentes (p ≡ q) cuando tienen exactamente los mismos valores de verdad para todas las combinaciones posibles de sus variables.

Decimos que p ≡ q si y solo si p ↔ q es una tautología.

¿Para qué sirven las equivalencias?

Simplificar expresiones lógicas complejas
Demostrar que dos expresiones son iguales sin usar tablas de verdad
Transformar una expresión en otra más conveniente
Verificar argumentos lógicos

Tabla Resumen de las 18 Leyes de Equivalencia

Identidad:
p ∧ V ≡ p
p ∨ F ≡ p
Dominación:
p ∨ V ≡ V
p ∧ F ≡ F
Idempotencia:
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
Doble Negación:
¬(¬p) ≡ p
Complemento:
p ∨ ¬p ≡ V
p ∧ ¬p ≡ F
Conmutatividad:
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
Asociatividad:
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
Distributividad:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Absorción:
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Implicación Material
p → q ≡ ¬p ∨ q
Contraposición
p → q ≡ ¬q → ¬p
Negación Condicional
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Bicondicional
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Bicondicional (alt)
p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
Negación Bicondicional
¬(p ↔ q) ≡ p ⊻ q
Equivalencia Negaciones
p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q
Exportación
(p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)

Leyes de De Morgan (muy importantes)

Regla mnemotécnica: Al negar una expresión, cambia ∧ por ∨ (y viceversa) y niega cada componente.

Fórmula	En palabras
$ \mathrm{ ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q } $	«No (p Y q)» equivale a «No p O No q»
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q	«No (p O q)» equivale a «No p Y No q»

Extensión a múltiples proposiciones:

¬(p ∧ q ∧ r) ≡ ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r
¬(p ∨ q ∨ r) ≡ ¬p ∧ ¬q ∧ ¬r

Equivalencias del Condicional

Ley	Fórmula	Interpretación
Implicación Material	p → q ≡ ¬p ∨ q	«Si p entonces q» = «No p, O q»
Contraposición	p → q ≡ ¬q → ¬p	La contrapositiva tiene el mismo valor de verdad
Negación del Condicional	¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q	Se afirma el antecedente y niega el consecuente
Usando negación	$ \mathrm{ p → q ≡ ¬(p ∧ ¬q) } $	Forma alternativa

Equivalencias del Bicondicional

Ley	Fórmula	Interpretación
Doble Condicional	p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)	«p si y solo si q»
Forma Alternativa	$ \mathrm{ p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) } $	Verdadero cuando ambas son V o ambas son F
Negación	¬(p ↔ q) ≡ p ⊻ q	La negación es la disyunción exclusiva (XOR)
Negaciones equivalentes	p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q	Negar ambos lados no cambia el resultado

Ley de Exportación

Ley	Fórmula
Exportación	(p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)

Ejemplo: «Si (estudias Y practicas), apruebas» ≡ «Si estudias, entonces (si practicas, apruebas)»

Pasos para simplificar expresiones

Identificar el conectivo principal
Convertir condicionales y bicondicionales usando implicación material
Aplicar De Morgan para «meter» o «sacar» negaciones
Usar distributiva, absorción o complemento según convenga
Simplificar paso a paso hasta la forma más simple
Verificar con tabla de verdad si es necesario

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Simplificar:

$ [\neg(p \lor q) \land r] \lor [(p \lor q) \land r] $

Solución

Paso	Expresión	Ley aplicada
1	$ [\neg(p \lor q) \land r] \lor [(p \lor q) \land r] $	Expresión original
2	$ [\neg(p \lor q) \lor (p \lor q)] \land r $	Distributiva (factor común r)
3	$ V \land r $	Complemento: A ∨ ¬A ≡ V
4	$ r $	Identidad

Resultado: $ [\neg(p \lor q) \land r] \lor [(p \lor q) \land r] \equiv r $

Observación: Las variables p y q son irrelevantes; la expresión depende solo de r.

Ejercicio 2

Hallar una forma equivalente más simple de los siguientes esquemas:

a) $ \neg[p \lor (p \land q)] $

b) $ [(p \lor q) \land (q \lor r)] \land \neg q $

c) $ \neg[\neg p \rightarrow (p \land q)] $

Solución

Parte a) $ \neg[p \lor (p \land q)] $

Paso	Expresión	Ley aplicada
1	$ \neg[p \lor (p \land q)] $	Expresión original
2	$ \neg p $	Absorción: p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Resultado: $ \neg[p \lor (p \land q)] \equiv \neg p $

Explicación: La ley de absorción dice que p ∨ (p ∧ q) ≡ p. Luego, al aplicar la negación exterior, obtenemos ¬p.

Parte b) $ [(p \lor q) \land (q \lor r)] \land \neg q $

Paso	Expresión	Ley aplicada
1	$ [(p \lor q) \land (q \lor r)] \land \neg q $	Expresión original
2	$ (p \lor q) \land \neg q \land (q \lor r) \land \neg q $	Asociatividad

Simplificamos (p ∨ q) ∧ ¬q:

= (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) — Distributiva
= (p ∧ ¬q) ∨ F — Complemento
= p ∧ ¬q — Identidad

Simplificamos (q ∨ r) ∧ ¬q:

= (q ∧ ¬q) ∨ (r ∧ ¬q) — Distributiva
= F ∨ (r ∧ ¬q) — Complemento
= r ∧ ¬q — Identidad

Paso	Expresión	Ley aplicada
3	$ (p \land \neg q) \land (r \land \neg q) $	Resultado de simplificaciones
4	$ p \land r \land \neg q $	Asociatividad e Idempotencia: ¬q ∧ ¬q ≡ ¬q

Resultado: $ [(p \lor q) \land (q \lor r)] \land \neg q \equiv p \land r \land \neg q $

Parte c) $ \neg[\neg p \rightarrow (p \land q)] $

Paso	Expresión	Ley aplicada
1	$ \neg[\neg p \rightarrow (p \land q)] $	Expresión original
2	$ \neg[p \lor (p \land q)] $	Implicación Material: ¬p → B ≡ ¬(¬p) ∨ B ≡ p ∨ B
3	$ \neg p $	Absorción: p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Resultado: $ \neg[\neg p \rightarrow (p \land q)] \equiv \neg p $

Ejercicio 3

Determinar el esquema más simple de la proposición:

$ [(p \land q) \lor (p \land \neg q)] \lor (\neg p \land \neg q) $

Solución

Estrategia: Observamos que los primeros dos términos comparten la variable p. Usaremos:

Distributiva inversa para factorizar p
Complemento para simplificar
Distributiva nuevamente para el resultado final

Paso 1: Aplicamos Distributiva inversa a los primeros dos términos

Recordemos: (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ≡ A ∧ (B ∨ C)

$ [(p \land q) \lor (p \land \neg q)] \lor (\neg p \land \neg q) $

$ = [p \land (q \lor \neg q)] \lor (\neg p \land \neg q) $

Paso 2: Aplicamos Complemento e Identidad

Recordemos: q ∨ ¬q ≡ V (Ley del Tercero Excluido)

$ = [p \land V] \lor (\neg p \land \neg q) $

$ = p \lor (\neg p \land \neg q) $ — por Identidad: A ∧ V ≡ A

Paso 3: Aplicamos Distributiva

Recordemos: A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

$ = (p \lor \neg p) \land (p \lor \neg q) $

Paso 4: Aplicamos Complemento e Identidad nuevamente

$ = V \land (p \lor \neg q) $ — por Complemento: p ∨ ¬p ≡ V

$ = p \lor \neg q $ — por Identidad: V ∧ A ≡ A

Resultado: $ [(p \land q) \lor (p \land \neg q)] \lor (\neg p \land \neg q) \equiv p \lor \neg q $

Observación: Este ejercicio muestra cómo la distributiva inversa (factorización) puede simplificar drásticamente una expresión. Al factorizar p de los primeros dos términos, obtuvimos q ∨ ¬q que es siempre verdadero.

Ejercicio 4

Hallar una proposición equivalente a:

$ P = [(\neg p \land q) \rightarrow (r \land \neg r)] \land (\neg q) $

Solución

Estrategia: Observamos que el consecuente del condicional es r ∧ ¬r, que es una contradicción (siempre F). Usaremos:

Implicación Material para eliminar el condicional
Complemento para simplificar la contradicción
De Morgan y Absorción para el resultado final

Paso 1: Aplicamos Implicación Material

Recordemos: A → B ≡ ¬A ∨ B

$ = [\neg(\neg p \land q) \lor (r \land \neg r)] \land (\neg q) $

Paso 2: Aplicamos Complemento a la contradicción

Recordemos: r ∧ ¬r ≡ F (Ley de Contradicción)

$ = [\neg(\neg p \land q) \lor F] \land (\neg q) $

$ = \neg(\neg p \land q) \land (\neg q) $ — por Identidad: A ∨ F ≡ A

Paso 3: Aplicamos De Morgan

Recordemos: ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

$ = (p \lor \neg q) \land (\neg q) $

Paso 4: Aplicamos Absorción

Recordemos: (A ∨ B) ∧ A ≡ A (el término A «absorbe» la disyunción)

Con A = ¬q y B = p:

$ = \neg q $

Resultado: $ [(\neg p \land q) \rightarrow (r \land \neg r)] \land (\neg q) \equiv \neg q $

Observación: Este ejercicio ilustra que cuando un condicional tiene una contradicción como consecuente, esencialmente estamos diciendo «si el antecedente es verdadero, entonces algo imposible ocurre», lo cual equivale a negar el antecedente. Esto conecta con la idea de demostración por reducción al absurdo.

Ejercicio 5

Determinar los esquemas más simples de la proposición:

$ \neg[\neg(p \land q) \rightarrow \neg q] \lor p $

Solución

Estrategia: Esta expresión tiene la forma ¬[A → B] ∨ p. Aplicaremos:

Negación del Condicional: ¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B
De Morgan para simplificar las negaciones
Distributiva y Complemento para reducir

Paso 1: Aplicamos la Negación del Condicional al corchete principal

Recordemos: ¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B (se afirma el antecedente y se niega el consecuente)

El antecedente es ¬(p ∧ q) y el consecuente es ¬q:

$ \neg[\neg(p \land q) \rightarrow \neg q] \lor p $

$ = [\neg(p \land q) \land \neg(\neg q)] \lor p $

$ = [\neg(p \land q) \land q] \lor p $ — por Doble Negación

Paso 2: Aplicamos De Morgan a ¬(p ? q)

Recordemos: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

$ = [(¬p \lor ¬q) \land q] \lor p $

Paso 3: Aplicamos Distributiva dentro del corchete

Recordemos: (A ∨ B) ∧ C ≡ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

$ = [(¬p \land q) \lor (¬q \land q)] \lor p $

$ = [(¬p \land q) \lor F] \lor p $ — por Complemento: ¬q ∧ q ≡ F

$ = (¬p \land q) \lor p $ — por Identidad: A ∨ F ≡ A

Paso 4: Aplicamos Distributiva nuevamente

Recordemos: A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

$ = (p \lor ¬p) \land (p \lor q) $ — reordenando por Conmutatividad

$ = V \land (p \lor q) $ — por Complemento: p ∨ ¬p ≡ V

$ = p \lor q $ — por Identidad: V ∧ A ≡ A

Resultado: $ \neg[\neg(p \land q) \rightarrow \neg q] \lor p \equiv p \lor q $

Observación: Comenzamos con una expresión de 5 conectivos y la simplificamos a solo una disyunción. La clave fue usar la Negación del Condicional como primer paso, lo cual simplifica más rápido que convertir primero con Implicación Material.

Ejercicio 6

Determinar si las proposiciones $ [(\neg p \lor q) \lor (\neg r \land \neg p)] $ y $ \neg q \rightarrow \neg p $ son equivalentes.

Solución

Paso 1: Variables: p, q, r → 8 filas

Paso 2: Observación importante: La segunda expresión $ \neg q \rightarrow \neg p $ no contiene r, lo que significa que su valor solo depende de p y q.

Paso 3: Simplificamos la primera expresión usando leyes de equivalencia:

$ (\neg p \lor q) \lor (\neg r \land \neg p) $
Por absorción: $ \neg p \lor q \lor (\neg r \land \neg p) = \neg p \lor q $ (ya que $ \neg p $ absorbe a $ \neg r \land \neg p $)
Y por contraposición: $ \neg p \lor q \equiv p \rightarrow q \equiv \neg q \rightarrow \neg p $

Paso 4: Verificamos con tabla de verdad:

p	q	r	¬p	¬q	¬r	¬p∨q	¬r∧¬p	(¬p∨q)∨(¬r∧¬p)	¬q→¬p
V	V	V	F	F	F	V	F	V	V
V	V	F	F	F	V	V	F	V	V
V	F	V	F	V	F	F	F	F	F
V	F	F	F	V	V	F	F	F	F
F	V	V	V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	F	V	V	V	V	V
F	F	V	V	V	F	V	F	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V	V	V

Conclusión: Las columnas principales son idénticas → Son equivalentes ✓

$ (\neg p \lor q) \lor (\neg r \land \neg p) \equiv \neg q \rightarrow \neg p $

Nota: Esto demuestra que la variable r es irrelevante en la primera expresión (se puede simplificar sin ella).

Ejercicio 7

Simplificar:

$ \{[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q\} \land \{[(p \rightarrow q) \land \neg q] \rightarrow \neg p\} $

Solución

Análisis: Esta expresión es la conjunción de dos tautologías famosas:

Modus Ponens: [(p → q) ∧ p] → q
Modus Tollens: [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
Paso: 1
- Expresión: $ {[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q} \land {[(p \rightarrow q) \land \neg q] \rightarrow \neg p} $
- Ley aplicada: Expresión original
Paso: 2
- Expresión: $ {[(\ neg p \lor q) \land p] \rightarrow q} \land {[(\neg p \lor q) \land \neg q] \rightarrow \neg p} $
- Ley aplicada: Implicación Material: p→q ≡ ¬p∨q

Simplificamos cada parte por separado:

Parte izquierda: (¬p ∨ q) ∧ p

= (¬p ∧ p) ∨ (q ∧ p) — Distributiva
= F ∨ (q ∧ p) — Complemento
= q ∧ p — Identidad

Parte derecha: (¬p ∨ q) ∧ ¬q

= (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) — Distributiva
= (¬p ∧ ¬q) ∨ F — Complemento
= ¬p ∧ ¬q — Identidad
Paso: 3
- Expresión: $ {[q \land p] \rightarrow q} \land {[\neg p \land \neg q] \rightarrow \neg p} $
- Ley aplicada: Resultado de simplificaciones
Paso: 4
- Expresión: $ {\neg(q \land p) \lor q} \land {\neg(\neg p \land \neg q) \lor \neg p} $
- Ley aplicada: Implicación Material
Paso: 5
- Expresión: $ {(\neg q \lor \neg p) \lor q} \land {(p \lor q) \lor \neg p} $
- Ley aplicada: De Morgan
Paso: 6
- Expresión: $ {V \lor \neg p} \land {V \lor q} $
- Ley aplicada: Complemento: (¬q∨q)=V, (p∨¬p)=V
Paso: 7
- Expresión: $ V \land V $
- Ley aplicada: Dominación: V∨A ≡ V
Paso: 8
- Expresión: $ V $
- Ley aplicada: Identidad

Resultado: $ \equiv V $ (Tautología)

Observación: Esta tautología confirma que tanto el Modus Ponens como el Modus Tollens son reglas de inferencia válidas.

Ejercicio 8

Utilizando leyes lógicas, simplificar la siguiente proposición compuesta:

$ A = [\neg(p \rightarrow q) \rightarrow \neg(q \rightarrow p)] \land [p \lor q] $

Solución

Estrategia: Usaremos:

Negación del Condicional para simplificar ¬(p → q) y ¬(q → p)
Implicación Material para convertir el condicional principal
Absorción y Distributiva para reducir

Paso 1: Aplicamos Negación del Condicional

Recordemos: ¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B

Expresión	Transformación
¬(p → q)	= p ∧ ¬q
¬(q → p)	= q ∧ ¬p

$ A = [(p \land \neg q) \rightarrow (q \land \neg p)] \land [p \lor q] $

Paso 2: Aplicamos Implicación Material al condicional

Recordemos: A → B ≡ ¬A ∨ B

$ = [\neg(p \land \neg q) \lor (q \land \neg p)] \land [p \lor q] $

Paso 3: Aplicamos De Morgan a ¬(p ? ¬q)

Recordemos: ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B

$ \neg(p \land \neg q) = \neg p \lor q $ — aplicando también Doble Negación

$ = [(\neg p \lor q) \lor (q \land \neg p)] \land [p \lor q] $

Paso 4: Aplicamos Absorción en la primera parte

Recordemos: A ∨ (A ∧ B) ≡ A

Reordenamos: (¬p ∨ q) ∨ (q ∧ ¬p) = (q ∨ ¬p) ∨ (q ∧ ¬p)

Como (q ∧ ¬p) está «absorbido» por (q ∨ ¬p), por absorción:

$ = (q \lor \neg p) \land (p \lor q) $

Paso 5: Aplicamos Distributiva inversa

Recordemos: (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ≡ A ∨ (B ∧ C)

Reordenamos: (q ∨ ¬p) ∧ (q ∨ p) = q ∨ (¬p ∧ p)

$ = q \lor (\neg p \land p) $

Paso 6: Aplicamos Complemento e Identidad

$ = q \lor F $ — por Complemento: ¬p ∧ p ≡ F

$ = q $ — por Identidad: A ∨ F ≡ A

Resultado: $ [\neg(p \rightarrow q) \rightarrow \neg(q \rightarrow p)] \land [p \lor q] \equiv q $

Observación: Este ejercicio muestra cómo una expresión compleja con condicionales anidados puede reducirse a una simple variable. La clave fue aplicar primero la Negación del Condicional y luego usar Absorción para simplificar.

Ejercicio 9

Transformar la siguiente proposición compuesta a su equivalente condicional más simple:

$ P = (\neg p \leftrightarrow q) \veebar (p \rightarrow q) $

Solución

Concepto clave: ¬p ↔ q ≡ p ⊻ q (negar un lado del bicondicional da XOR)

Paso	Expresión	Ley aplicada
1	$ (\neg p \leftrightarrow q) \veebar (p \rightarrow q) $	Expresión original
2	$ (p \veebar q) \veebar (\neg p \lor q) $	Equivalencia ¬p↔q ≡ p⊻q e Implicación Material
3	$ [(p \veebar q) \land (p \land \neg q)] \lor [(p \leftrightarrow q) \land (\neg p \lor q)] $	Definición de XOR: A⊻B ≡ (A∧¬B)∨(¬A∧B)
4	$ (p \land \neg q) \lor (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) $	Absorción y simplificación
5	$ p \lor (\neg p \land \neg q) $	Distributiva inversa: p∧(¬q∨q) ≡ p
6	$ p \lor \neg q $	Distributiva y Complemento
7	$ q \rightarrow p $	Implicación Material inversa

Resultado: $ (\neg p \leftrightarrow q) \veebar (p \rightarrow q) \equiv q \rightarrow p $

Observación: La clave fue reconocer que ¬p ↔ q ≡ p ⊻ q, lo cual simplifica la expresión inicial.

Ejercicio 10

Simplificar la proposición compuesta:

$ [\neg(p \leftrightarrow q) \lor [(p \land \neg q) \lor \neg[(r \rightarrow s) \lor (q \rightarrow p)]]] \veebar [q \land (p \rightarrow q)] $

Solución

Estrategia: Simplificaremos cada lado del XOR (disyunción exclusiva) por separado, luego aplicaremos propiedades del XOR.

Paso 1: Simplificamos el lado izquierdo del XOR

Observamos que ¬(p ↔ q) = p ⊻ q = (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

Como (p ∧ ¬q) ya está contenido en p ⊻ q:

¬(p ↔ q) ∨ (p ∧ ¬q) = p ⊻ q — por Absorción

Paso 2: Simplificamos ¬[(r → s) ∨ (q → p)]

Expresión	Transformación
(r → s) ∨ (q → p)	= (¬r ∨ s) ∨ (¬q ∨ p) — Implicación Material
¬[(¬r ∨ s) ∨ (¬q ∨ p)]	= (r ∧ ¬s) ∧ (q ∧ ¬p) — De Morgan

Este término (r ∧ ¬s ∧ q ∧ ¬p) está «absorbido» por (¬p ∧ q), que ya es parte de p ⊻ q.

Por Absorción: (p ⊻ q) ∨ (r ∧ ¬s ∧ q ∧ ¬p) = p ⊻ q

Lado izquierdo = p ⊻ q

Paso 3: Simplificamos el lado derecho del XOR

$ q \land (p \rightarrow q) = q \land (\neg p \lor q) $

Por Absorción: A ∧ (B ∨ A) ≡ A, quedaría:

$ q \land (\neg p \lor q) = q $

Lado derecho = q

Paso 4: Aplicamos propiedad del XOR

\[ (p \veebar q) \veebar q \]

Propiedad: (A ⊻ B) ⊻ B = A (el XOR es su propia inversa), quedando:

\[ (p \veebar q) \veebar q = p \]

Resultado: $ [\neg(p \leftrightarrow q) \lor [(p \land \neg q) \lor \neg[(r \rightarrow s) \lor (q \rightarrow p)]]] \veebar [q \land (p \rightarrow q)] \equiv p $

Observación: Una expresión que involucra 4 variables (p, q, r, s) se simplifica a una sola variable. Las variables r y s son irrelevantes (se eliminan por absorción), y el XOR con q cancela el q de p ⊻ q.

Ejercicio 11

Problema de razonamiento:

Si Diana realiza las actividades A o B, entonces realiza C o D, pero si no realiza B entonces realiza C; sin embargo, no realiza C. ¿Qué actividades necesariamente realiza Diana?

a) A b) B c) D d) B y D e) A; B y D

Solución

Paso 1: Traducimos a lenguaje proposicional

Enunciado	Formalización
«Si realiza A o B, entonces realiza C o D»	(A ∨ B) → (C ∨ D)
«Si no realiza B, entonces realiza C»	¬B → C
«No realiza C»	¬C

Expresión completa: $ [(A \lor B) \rightarrow (C \lor D)] \land (\neg B \rightarrow C) \land \neg C $

Paso 2: Aplicamos Implicación Material a los condicionales

$ [\neg(A \lor B) \lor (C \lor D)] \land (B \lor C) \land \neg C $

Paso 3: Aplicamos De Morgan y Absorción

¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
(B ∨ C) ∧ ¬C
=(B ∧ ¬C) ∨ (C ∧ ¬C) por Distributividad
=(B ∧ ¬C) ∨ F, por Complemento
= B ∧ ¬C — por Identidad

Quedando:

$ [(\neg A \land \neg B) \lor C \lor D] \land B \land \neg C $

Ordenando:

$ [(\neg A \land \neg B) \lor D \lor C] \land \neg C \land B $

Paso 4: Aplicamos de nuevo Distributiva, Complemento e Identidad con respecto a ¬C:

$ [(\neg A \land \neg B) \lor D] \land \neg C \land B $

Paso 5: Aplicamos Distributiva y ordenando:

$ (\neg A \lor D) \land ( \neg B \lor D ) \land B \land \neg C \equiv (\neg A \lor D) \land ( D \lor \neg B ) \land \neg ( \neg B) \land \neg C $

Paso 6: Aplicamos distributiva, complemento e identidad con respecto a $ \neg ( \neg B) $:

$ ( \neg A \lor D ) \land D \land \neg ( \neg B ) \land \neg C \equiv ( \neg A \lor D ) \land D \land B \land \neg C $

Paso 7: Aplicamos Absorción a $ (¬A ∨ D) $ cuando tenemos $ D $

$ (¬A ∨ D) ∧ D = D $

Entonces $ D \land B \land \neg C $

Resultado: $ B \land D \land \neg C $

Diana necesariamente realiza B y D (y no realiza C).

Respuesta: d) B y D

Observación: Este ejercicio muestra cómo la lógica proposicional puede resolver problemas de razonamiento. La premisa ¬C es crucial porque, combinada con ¬B → C (contrapositiva: ¬C → B), nos dice que B es necesariamente verdadero.

Sección IV: Reglas de Inferencia

Esta sección contiene ejercicios sobre reglas de inferencia, incluyendo verificación de validez de argumentos, derivación de conclusiones y aplicación del método abreviado.

Resumen Teórico de Referencia

¿Qué es la Inferencia Lógica?

La inferencia lógica es el proceso de obtener conclusiones válidas a partir de un conjunto de premisas, siguiendo reglas que garantizan la validez del razonamiento.

Una regla de inferencia es una forma de argumento válida que permite derivar una conclusión a partir de premisas. Si las premisas son verdaderas, la conclusión necesariamente será verdadera.

Notación

Símbolo	Significado
⊢	«Se deriva» o «se concluye»
p, q ⊢ r	De p y q se deriva r

Diferencia: Equivalencia vs Inferencia

Concepto	Símbolo	Significado
Equivalencia	≡	Las expresiones tienen el MISMO valor de verdad
Inferencia	⊢	De las premisas se DERIVA la conclusión

Diferencia: Condicional vs Implicación

Concepto	Símbolo	Tipo	Descripción
Condicional	→	Conectivo lógico	Puede ser V o F (depende de p y q)
Implicación	⇒	Tautología	Siempre V

Nota: Decimos que p implica q (p ⇒ q) cuando el condicional p → q es una tautología. Las reglas de inferencia son implicaciones: por ejemplo, Modus Ponens [(p → q) ∧ p] ⇒ q es siempre verdadero.

Tabla Resumen de Reglas de Inferencia

Modus Ponendo Ponens (M.P.P.):
p → q, p ⊢ q
Modus Tollendo Tollens (M.T.T.):
p → q, ¬q ⊢ ¬p
Silogismo Hipotético (S.H.):
p → q, q → r ⊢ p → r
Silogismo Disyuntivo (S.D.):
p ∨ q, ¬p ⊢ q
Simplificación (Simp.):
p ∧ q ⊢ p
Adición (Ad.):
p ⊢ p ∨ q
Conjunción (Conj.):
p, q ⊢ p ∧ q
Dilema Constructivo Simple (D.C.S.):
(p → q), (r → q), p ∨ r ⊢ q
Dilema Constructivo Complejo (D.C.C.):
(p → q), (r → s), p ∨ r ⊢ q ∨ s
Dilema Destructivo Simple (D.D.S.):
(p → q), (p → r), ¬q ∨ ¬r ⊢ ¬p
Dilema Destructivo Complejo (D.D.C.):
(p → q), (r → s), ¬q ∨ ¬s ⊢ ¬p∨¬r
Absorción (Abs.):
p → q ⊢ p → (p ∧ q)
Resolución (Res.):
p ∨ q, ¬p ∨ r ⊢ q ∨ r

Las 4 Reglas Fundamentales

1. Modus Ponens (M.P.P.)

Si tenemos un condicional y afirmamos el antecedente, podemos concluir el consecuente.

p → q    (Si p, entonces q)
p        (p es verdadero)
─────
∴ q      (Por lo tanto, q)

Ejemplo: Si llueve → me mojo. Llueve. ∴ Me mojo. ✓

2. Modus Tollens (M.T.T.)

Si tenemos un condicional y negamos el consecuente, concluimos la negación del antecedente.

p → q    (Si p, entonces q)
¬q       (q es falso)
─────
∴ ¬p     (Por lo tanto, NO p)

Ejemplo: Si llueve → calle mojada. Calle NO mojada. ∴ NO llueve. ✓

3. Silogismo Hipotético (S.H.)

Si p implica q, y q implica r, entonces p implica r (transitividad).

p → q
q → r
─────
∴ p → r

Ejemplo: Si estudio → apruebo. Si apruebo → celebro. ∴ Si estudio → celebro. ✓

4. Silogismo Disyuntivo (S.D.)

Si tenemos una disyunción y negamos una alternativa, concluimos la otra.

p ∨ q
¬p
─────
∴ q

Ejemplo: Voy al cine ∨ me quedo en casa. NO voy al cine. ∴ Me quedo en casa. ✓

Reglas de Construcción

Regla	Forma	Uso
Simplificación	p ∧ q ⊢ p	Extraer un componente de una conjunción
Adición	p ⊢ p ∨ q	Formar una disyunción desde cualquier proposición
Conjunción	p, q ⊢ p ∧ q	Unir dos proposiciones verdaderas

El Método Abreviado (Reducción al Absurdo)

El método abreviado permite verificar la validez de un argumento sin construir la tabla de verdad completa.

Pasos del Método:

Suponer que la conclusión es FALSA
Asumir que todas las premisas son VERDADERAS
Propagar los valores hacia las subexpresiones
Buscar contradicciones:
- Si hay contradicción → El argumento es VÁLIDO
- Si no hay contradicción → El argumento es INVÁLIDO

Ejemplo:

Verificar: [(p → q) ∧ p] → q (Modus Ponens)

Suponemos el condicional principal es F, por lo cual el antecedente es V y consecuente es F
Entonces: (p → q) ∧ p = V, y q = F
De la conjunción: p = V y (p → q) = V
Pero p = V y q = F hace que p → q = F (contradicción con paso 3)

¡CONTRADICCIÓN! → El argumento es VÁLIDO ✓

⚠️ Falacias Comunes (NO son válidas)

Falacia	Forma INCORRECTA	Error
Afirmación del Consecuente	p → q, q ⊢ p	❌ Afirmar q no garantiza p
Negación del Antecedente	p → q, ¬p ⊢ ¬q	❌ Negar p no garantiza ¬q

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Hallar la siguiente conclusión: Q → P, a partir de las premisas:

P1: P∨Q → P
P2: Q ∨ P

Solución

Demostración:

Paso	Proposición	Justificación
1	P∨Q → P	Premisa 1
2	¬(P∨Q) ∨ P	Implicación Material (1)
3	(¬P ∧ ¬Q) ∨ P	De Morgan (2)
4	P ∨ (¬P ∧ ¬Q)	Conmutatividad (3)
5	$ ( \mathrm{P} ∨ ¬ \mathrm{P} ) ∧ ( \mathrm{P} ∨ ¬ \mathrm{Q} ) $	Distributiva (4)
6	V ∧ (P ∨ ¬Q)	Complemento (5)
7	P ∨ ¬Q	Identidad (6)
8	¬Q ∨ P	Conmutatividad (7)
9	Q → P	Implicación Material (8) ✓

Resultado: $ Q \rightarrow P $ es derivable de las premisas.

Observación: La Premisa 1 (P∨Q → P) es lógicamente equivalente a la conclusión (Q → P). La Premisa 2 (Q ∨ P) no fue necesaria para la derivación, pero refuerza que al menos una de las dos proposiciones es verdadera.

Ejercicio 2

Demostrar la siguiente conclusión: R → ¬Q, a partir de las premisas:

P1: ¬(R∧S)
P2: Q → S

Solución

Demostración:

Paso	Proposición	Justificación
1	¬(R∧S)	Premisa 1
2	¬R ∨ ¬S	De Morgan (1)
3	R → ¬S	Implicación Material (2)
4	Q → S	Premisa 2
5	¬S → ¬Q	Contraposición (4)
6	R → ¬Q	Silogismo Hipotético (3, 5) ✓

Resultado: $ \mathrm{R} \rightarrow \neg \mathrm{Q} $ es derivable de las premisas.

Observación: La clave fue transformar P1 a un condicional (R → ¬S) y usar la contraposición de P2 (¬S → ¬Q). Luego, el Silogismo Hipotético encadena ambos condicionales.

Ejercicio 3

Averiguar si:

$ (\neg \mathrm{P} \leftrightarrow \mathrm{Q} ) \land ( \mathrm{Q} \rightarrow \neg \mathrm{R} ) \land \mathrm{R} \Rightarrow \mathrm{P} \land \neg \mathrm{Q} $

Solución

Separando en premosas:

¬P ↔ Q
Q → ¬R
R

Conclusión a verificar: P ∧ ¬Q

Demostración:

Paso	Proposición	Justificación
1	¬P ↔ Q	Premisa 1
2	Q → ¬R	Premisa 2
3	R	Premisa 3
4	¬Q	Modus Tollens (2, 3)
5	¬P → Q	Def. Bicondicional (1)
6	¬Q → P	Contraposición (5)
7	P	Modus Ponens (6, 4)
8	P ∧ ¬Q	Conjunción (7, 4) ✓

Resultado: La implicación es VÁLIDA ✓

Observación: La clave fue usar Modus Tollens con las premisas 2 y 3 para obtener ¬Q, y luego extraer una implicación del bicondicional para derivar P mediante Contraposición y Modus Ponens.

Ejercicio 4

De las siguientes premisas:

P1: 8 es divisible entre 2 si y sólo si es par
P2: Ya que 12 es múltiplo de 3 concluimos que 8 es divisible entre 2
P3: 8 no es par excepto que 7 > 3

Concluimos:

a) 2 es par
b) Si 12 es múltiplo de 3 entonces 7 > 3
c) 2 es par ó 7 ≤ 3
d) 7 ≤ 3 y 2 es par
e) 8 no es divisible entre 2

Solución

Paso 1: Definimos las variables proposicionales

Variable	Proposición
p	8 es divisible entre 2
q	8 es par
r	12 es múltiplo de 3
s	7 > 3

Paso 2: Formalizamos las premisas

Premisa	Formalización
P1	p ↔ q
P2	r → p
P3	q → s

Nota: «A excepto que B» se formaliza como ¬B → ¬A, que es equivalente a A → B.

Paso 3: Demostración

Paso	Proposición	Justificación
1	p ↔ q	Premisa 1
2	r → p	Premisa 2
3	q → s	Premisa 3
4	p → q	Def. Bicondicional (1)
5	r → q	Silogismo Hipotético (2, 4)
6	r → s	Silogismo Hipotético (5, 3) ✓

Resultado: r → s es derivable de las premisas.

Análisis de las opciones:

Opción	Proposición	¿Se deriva?
a)	2 es par	❌ No relacionada
b)	Si 12 es múltiplo de 3 entonces 7 > 3	✅ Sí
c)	2 es par ó 7 ≤ 3	❌ No derivable
d)	7 ≤ 3 y 2 es par	❌ No derivable
e)	8 no es divisible entre 2	❌ Contradice

Respuesta: b) Si 12 es múltiplo de 3 entonces 7 > 3

Observación: La cadena r → p → q → s se obtiene por Silogismo Hipotético aplicado dos veces.

Ejercicio 5

Dado el siguiente esquema:

«De que los peruanos deben cultivar valores es condición suficiente y necesaria para vivir en paz, al igual que vivir en paz salvo que únicamente la conciencia esté tranquila. Pero tienes la conciencia intranquila y la moral baja.»

Se puede inferir en:

a) No tienes la moral baja
b) Cultivas valores
c) No cultivas valores
d) Vives en paz
e) No vives en paz

Solución

Paso 1: Definimos las variables

Variable	Proposición
p	Cultivas valores
q	Vives en paz
r	La conciencia está tranquila
s	Tienes la moral baja

Paso 2: Formalizamos las premisas

Premisa	Formalización
«A es condición suficiente y necesaria para B»	p ↔ q
«al igual que» (misma relación)	q ↔ r
«conciencia intranquila y moral baja»	¬r ∧ ¬s

Paso 3: Derivamos la conclusión

Paso	Proposición	Justificación
1	p ↔ q	Premisa 1
2	q ↔ r	Premisa 2
3	¬r ∧ ¬s	Premisa 3
4	¬r	Simplificación (3)
5	q → r	Def. Bicondicional (2)
6	¬q	Modus Tollens (5, 4)
7	p → q	Def. Bicondicional (1)
8	¬p	Modus Tollens (7, 6) ✓

Cadena de derivación: ¬r → ¬q → ¬p

Análisis de opciones:

Opción	Proposición	¿Se deriva?
a)	No tienes la moral baja (¬s)	❌ Tenemos s
b)	Cultivas valores (p)	❌ Tenemos ¬p
c)	No cultivas valores (¬p)	✅ Sí
d)	Vives en paz (q)	❌ Tenemos ¬q
e)	No vives en paz (¬q)	✅ También

Respuesta: c) No cultivas valores

Observación: Tanto c) como e) son derivables, pero c) es la conclusión «final» de la cadena ¬r → ¬q → ¬p.

Ejercicio 6

Verifique la validez de los siguientes argumentos:

Premisa 1: p ∧ q
Premisa 2: ¬p → q
Conclusión: ∴ ¬q

Premisa 1: (p ∧ q) → (r ∧ s)
Premisa 2: (¬q) ∨ (¬s)
Conclusión: ∴ (¬p) ∨ (¬q)

Premisa 1: p ∧ (p ∨ q)
Premisa 2: (p ∨ q) → r
Premisa 3: r → s
Conclusión: ∴ s

Premisa 1: r → ¬q
Premisa 2: p → q
Premisa 3: ¬r → s
Conclusión: ∴ p → s

Solución

Parte a) Premisas:

p ∧ q
¬p → q

Conclusión: ∴ ¬q

Análisis:

Paso	Proposición	Justificación
1	p ∧ q	Premisa
2	p	Simplificación (1)
3	q	Simplificación (1)

De la premisa 1, por Simplificación, obtenemos directamente $ V(q) = \mathrm{V} $.

Pero la conclusión propuesta es ¬q, lo que requeriría $ V(q) = \mathrm{F} $.

¿Por qué es INVÁLIDO?

Un argumento es válido si: cuando TODAS las premisas son V, la conclusión NECESARIAMENTE es V.

En este caso:

Las premisas pueden ser ambas V (cuando p=V, q=V)
Pero con esos valores, la conclusión ¬q = F

Como existe una situación donde las premisas son V pero la conclusión es F, el argumento es INVÁLIDO.

Nota: La premisa 2 (¬p → q) es irrelevante porque ya de la premisa 1 derivamos q = V, que contradice directamente la conclusión ¬q.

Resultado: ❌ INVÁLIDO

Parte b), Premisas:

(p ∧ q) → (r ∧ s)
(¬q) ∨ (¬s)

Conclusión: ∴ (¬p) ∨ (¬q)

Análisis por Reducción al Absurdo:

Suponemos $ V[(¬p) ∨ (¬q)] = \mathrm{F} $:

Para que la disyunción sea F: $ V(¬p) = \mathrm{F} $ y $ V(¬q) = \mathrm{F} $
Por tanto: $ V(p) = \mathrm{V} $ y $ V(q) = \mathrm{V} $

Con estos valores:

$ V(p ∧ q) = \mathrm{V} $
De premisa 1: $ V[(p ∧ q) → (r ∧ s)] = \mathrm{V} $ requiere $ V(r ∧ s) = \mathrm{V} $
Por tanto: $ V(r) = \mathrm{V} $ y $ V(s) = \mathrm{V} $

Verificamos premisa 2:

$ V[(¬q) ∨ (¬s)] = V(\mathrm{F} ∨ \mathrm{F}) = \mathrm{F} $

¡CONTRADICCIÓN! La premisa 2 resulta F.

Resultado: ✅ VÁLIDO

Parte c), Premisas:

p ∧ (p ∨ q)
(p ∨ q) → r
r → s

Conclusión: ∴ s

Demostración:

Paso	Proposición	Justificación
1	p ∧ (p ∨ q)	Premisa
2	(p ∨ q) → r	Premisa
3	r → s	Premisa
4	p	Simplificación (1)
5	p ∨ q	Adición (4)
6	r	Modus Ponens (2, 5)
7	s	Modus Ponens (3, 6) ✓

Resultado: ✅ VÁLIDO

Parte d), Premisas:

r → ¬q
p → q
¬r → s

Conclusión: ∴ p → s

Demostración:

Paso	Proposición	Justificación
1	r → ¬q	Premisa
2	p → q	Premisa
3	¬r → s	Premisa
4	q → ¬r	Contraposición (1)
5	p → ¬r	Silogismo Hipotético (2, 4)
6	p → s	Silogismo Hipotético (5, 3) ✓

Resultado: ✅ VÁLIDO

Resumen

Argumento	Válido	Reglas aplicadas
a)	❌ No	Simplificación (contradice conclusión)
b)	✅ Sí	Reducción al absurdo
c)	✅ Sí	Simplificación, Adición, Modus Ponens
d)	✅ Sí	Contraposición, Silogismo Hipotético

Ejercicio 7

De las premisas:

P ∨ ¬Q → R ∨ M
R → T ∨ S
N → S
M ∧ ¬R → N

Demostrar que: ¬P → (¬(Q ∨ R) → T ∨ S)

Solución

Demostración:

Paso	Proposición	Justificación
1	P ∨ ¬Q → R ∨ M	Premisa 1
2	R → T ∨ S	Premisa 2
3	N → S	Premisa 3
4	M ∧ ¬R → N	Premisa 4
5	¬P	Supuesto (para →)
6	¬(Q ∨ R)	Supuesto (condicional anidado)
7	¬Q ∧ ¬R	De Morgan (6)
8	¬Q	Simplificación (7)
9	¬R	Simplificación (7)
10	P ∨ ¬Q	Adición (8)
11	R ∨ M	Modus Ponens (1, 10)
12	M	Silogismo Disyuntivo (11, 9)
13	M ∧ ¬R	Conjunción (12, 9)
14	N	Modus Ponens (4, 13)
15	S	Modus Ponens (3, 14)
16	T ∨ S	Adición (15)
17	$ ¬( \mathrm{Q} ∨ \mathrm{R} ) → \mathrm{T} ∨ \mathrm{S} $	Introducción → (6-16)
18	$ ¬ \mathrm{P} → (¬( \mathrm{Q} ∨ \mathrm{R} ) → \mathrm{T} ∨ \mathrm{S} ) $	Introducción → (5-17) ✓

Resultado: ✅ VÁLIDO

Observación: Este ejercicio usa la técnica de demostración condicional (suponer el antecedente y derivar el consecuente). La cadena de inferencias utiliza Modus Ponens, Silogismo Disyuntivo y Adición de forma encadenada.

Ejercicio 8

Dadas las premisas en representación binaria:

P1: 00111111
P2: 11101110
P3: 01010101

Su conclusión es:

a) 10101010
b) 01010101
c) 10110011
d) 11110000
e) 00001111

Solución

Paso 1: Interpretamos la representación binaria

Cada número de 8 bits representa una columna de tabla de verdad con 3 variables (2° = 8 filas).

Fila	p	q	r	P1	P2	P3
0	F	F	F	0	1	0
1	F	F	V	0	1	1
2	F	V	F	1	1	0
3	F	V	V	1	0	1
4	V	F	F	1	1	0
5	V	F	V	1	1	1
6	V	V	F	1	1	0
7	V	V	V	1	0	1

Paso 2: Identificamos las fórmulas

Premisa	Patrón	Fórmula
P1 = 00111111	0 cuando: p=F y q=F	p ∨ q
P2 = 11101110	0 cuando: q=V y r=V	¬(q ∧ r) = ¬q ∨ ¬r
P3 = 01010101	1 cuando: r=V	r

Paso 3: Derivamos la conclusión

Paso	Proposición	Justificación
1	r	Premisa P3
2	¬q ∨ ¬r	Premisa P2
3	¬q	Silogismo Disyuntivo (2, 1)
4	p ∨ q	Premisa P1
5	p	Silogismo Disyuntivo (4, 3) ✓

Paso 4: Verificamos las opciones

Opción	Binario	Representa	¿Conclusión?
a)	10101010	¬r	❌
b)	01010101	r	❌ (es P3)
c)	10110011	¬q	❌
d)	11110000	¬r	❌
e)	00001111	p	✅ Sí

Respuesta: e) 00001111

Observación: Este ejercicio combina representación binaria de tablas de verdad con reglas de inferencia. La derivación funciona así: de P3 sabemos que r es V; como P2 dice ¬q ∨ ¬r y ¬r es F (porque r es V), por Silogismo Disyuntivo concluimos ¬q; finalmente, como P1 dice p ∨ q y q es F (porque ¬q es V), por Silogismo Disyuntivo concluimos p.

Ejercicios de circuitos lógicos

Sección V: Circuitos Lógicos

Esta sección contiene ejercicios sobre circuitos lógicos, incluyendo construcción de circuitos a partir de expresiones, determinación de expresiones a partir de circuitos, y simplificación usando álgebra de Boole.

Resumen Teórico de Referencia

¿Qué son los Circuitos Lógicos?

Los circuitos lógicos son representaciones físicas o abstractas de las operaciones de la lógica proposicional. Mientras que en lógica trabajamos con proposiciones verdaderas (V) o falsas (F), en los circuitos trabajamos con estados de encendido (1) o apagado (0).

Esta conexión entre la lógica matemática y los circuitos eléctricos fue descubierta por Claude Shannon en 1938, quien demostró que el álgebra de Boole podía aplicarse al diseño de circuitos de conmutación.

Correspondencia Lógica-Circuito

Lógica Proposicional	Circuito Eléctrico
Proposición Verdadera (V)	Interruptor Cerrado (1)
Proposición Falsa (F)	Interruptor Abierto (0)
Conjunción (∧)	Circuito en Serie
Disyunción (∨)	Circuito en Paralelo
Negación (¬)	Interruptor Inverso

Elementos Básicos

Interruptor: Dispositivo que permite o impide el paso de corriente
- Abierto (0): No pasa corriente
- Cerrado (1): Pasa corriente
Lámpara/Foco: Indica el resultado del circuito
- Apagada (0): Circuito abierto
- Encendida (1): Circuito cerrado
Fuente de energía: Proporciona la corriente al circuito

Circuitos Básicos

1. Circuito AND (Conjunción) – Serie

El circuito AND corresponde a la conjunción lógica (p ∧ q). Se construye conectando interruptores en serie.

    
──── p ───── q ────💡

Funcionamiento: La lámpara enciende solo si ambos interruptores están cerrados.

Estados del circuito:

Estado	Diagrama	Resultado
p=0,q=0	─── ○ ─── ○ ───○	Apagada
p=0,q=1	─── ○ ─── ● ───○	Apagada
p=1,q=0	─── ● ─── ○ ───○	Apagada
p=1,q=1	─── ● ─── ● ───💡	Encendida

○ = abierto, ● = cerrado

p	q	p ∧ q	Lámpara
0	0	0	Apagada
0	1	0	Apagada
1	0	0	Apagada
1	1	1	Encendida

Notación Booleana: $ S = p \cdot q $

2. Circuito OR (Disyunción) – Paralelo

El circuito OR corresponde a la disyunción lógica (p ∨ q). Se construye conectando interruptores en paralelo.

       ┌─── p ───┐
       │         │
    ───┼         ┼───💡
       │         │
       └─── q ───┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema p ∨ q

Funcionamiento: La lámpara enciende si al menos uno de los interruptores está cerrado.

Estados del circuito:

Estado	Resultado
p=0, q=0 (ambos abiertos)	Apagada
p=0, q=1 (q cerrado)	Encendida
p=1, q=0 (p cerrado)	Encendida
p=1, q=1 (ambos cerrados)	Encendida

p	q	p ∨ q	Lámpara
0	0	0	Apagada
0	1	1	Encendida
1	0	1	Encendida
1	1	1	Encendida

Notación Booleana: $ S = p + q $

3. Circuito NOT (Negación) – Inversor

El circuito NOT corresponde a la negación lógica (¬p). Se construye con un solo interruptor con una variable proposicional negada.

───── ¬p ─────💡

Funcionamiento: La lámpara está encendida cuando el interruptor está cerrado. Al abrirlo, la lámpara se apaga.

Estados del circuito:

Estado	Diagrama	Resultado
p=0	─── ● ───💡(cerrado)	Encendida
p=1	─── ○ ───○(abierto)	Apagada

p	¬p	Lámpara
0	1	Encendida
1	0	Apagada

Notación Booleana: $ S = \overline{p} $ o $ S = p’ $

Tabla Resumen de Compuertas Lógicas

Compuerta	Símbolo	Expresión	Descripción
AND	∧	p · q	Salida 1 si ambas entradas son 1
OR	∨	p + q	Salida 1 si al menos una entrada es 1
NOT	¬	p̄	Invierte la entrada
NAND	⊼	¬(p · q)	Negación de AND
NOR	⊽	¬(p + q)	Negación de OR
XOR	⊕	p ⊕ q	Salida 1 si entradas son diferentes
XNOR	⊙	¬(p ⊕ q)	Salida 1 si entradas son iguales
IMPLY*	→	¬p + q	Condicional: falso solo si p=1, q=0

Nota: La compuerta IMPLY (*) no existe como circuito integrado dedicado. Se construye combinando NOT + OR.

Construcción de Circuitos a partir de Expresiones

Método:

Identificar las variables (proposiciones) involucradas
Analizar la expresión lógica de adentro hacia afuera
Conectar los interruptores según las operaciones:
- AND → Serie
- OR → Paralelo
- NOT → Interruptor inverso
Verificar con la tabla de verdad

Ejemplo: Circuito para (p ∧ q) ∨ r

       ┌──── p ─────── q ───┐
       │                    │
       │                    │───💡
       │                    │
       └──────── r ─────────┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema (p ∧ q) ∨ r

Simplificación de Circuitos (Álgebra de Boole)

Ley	Forma 2
Identidad	p ∧ 1 ≡ p p ∨ 0 ≡ p
Dominación	p ∧ 0 ≡ 0 p ∨ 1 ≡ 1
Idempotencia	p ∧ p ≡ p p ∨ p ≡ p
Complemento	p ∧ ¬p ≡ 0 p ∨ ¬p ≡ 1
Doble Neg.	¬(¬p) ≡ p
De Morgan	¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributiva	p ∧ (q ∨ r) ≡ (p∧q) ∨ (p∧r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p∨q) ∧ (p∨r) }
Absorción	p ∧ (p ∨ q) ≡ p p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Determinar el circuito equivalente al circuito:

       ┌── ¬p ── ¬q ──┐         ┌───── p ─────┐       
       │              │         │             │
●──────┼───── p ──────┼─────────┼        ┌ ¬r ┼────●
       │              │         │        │    │
       └───── q ──────┘         └── q ───└ ¬p ┘
           BLOQUE A                BLOQUE B

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema [(¬p ∧ ¬q) ∨ p ∨ q] ∧ {p ∨ [q ∧ (¬r ∨ ¬p)]}

Solución

Paso 1: Identificar la estructura del circuito

El circuito tiene dos bloques principales conectados en serie (uno después del otro):

Bloque A (izquierdo): Tres ramas en paralelo
Bloque B (derecho): Estructura mixta con ramas en paralelo

Regla clave: Bloques en SERIE equivalen a conjunción (∧)

Paso 2: Traducir cada bloque a expresión lógica

Bloque A:

Rama superior: ¬p ── ¬q (serie) es (¬p ∧ ¬q)
Rama media: p
Rama inferior: q

Las tres ramas están en paralelo: $ \mathrm{A} = (¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} $

Bloque B:

Rama superior: p
Rama inferior: q en serie con (¬r ∥ ¬p)

Estructura: B = p ∨ [q ∧ (¬r ∨ ¬p)]

Expresión total (serie entre bloques):

$ \begin{align} \mathrm{S} & = \mathrm{A} ∧ \mathrm{B} \\ & = [(¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ] ∧ \{ \mathrm{p} ∨ [ \mathrm{q} ∧ (¬ \mathrm{r} ∨ ¬ \mathrm{p} )] \} \end{align} $

Paso 3: Simplificar el Bloque A

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(¬p ∧ ¬q) ∨ p ∨ q	Expresión original
2	$ \mathrm{ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∨ q) } $	Agrupación
3	¬(p ∨ q) ∨ (p ∨ q)	De Morgan: ¬p ∧ ¬q ≡ ¬(p ∨ q)
4	V (Tautología)	Complemento: X ∨ ¬X ≡ V

✅ Bloque A = V

Paso 4: Simplificar el Bloque B

aso	Expresión	Ley Aplicada
1	p ∨ [q ∧ (¬r ∨ ¬p)]	Expresión original
2	p ∨ [(q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬p)]	Distributiva
3	p ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬p)	Asociativa
4	$ [ \mathrm{p} ∨ ( \mathrm{q} ∧ ¬ \mathrm{p} )] ∨ ( \mathrm{q} ∧ ¬ \mathrm{r} ) $	Reagrupación
5	(p ∨ q) ∨ (q ∧ ¬r)	Absorción: p ∨ (q ∧ ¬p) ≡ p ∨ q
6	p ∨ q	Absorción: $ ( \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ) ∨ ( \mathrm{q} ∧ \mathrm{X} ) ≡ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} $

✅ Bloque B = p ∨ q

Paso 5: Calcular la expresión final

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	A ∧ B	Serie entre bloques
2	V ∧ (p ∨ q)	Sustitución
3	p ∨ q	Identidad: V ∧ X ≡ X

Resultado: El circuito equivalente es:

     ┌─── p ───┐
●────┤         ├────●
     └─── q ───┘

Expresión lógica: p ∨ q

Observación: Un circuito aparentemente complejo con 7 interruptores y 2 bloques se simplifica a solo 2 interruptores en paralelo. Esto demuestra el poder del álgebra de Boole para optimizar circuitos.

Ejercicio 2

Construir el circuito lógico equivalente del esquema:

$ [(p \rightarrow q) \lor p] \land [(p \rightarrow q) \lor \neg p] $

Solución

Paso 1: Identificar la estructura

La expresión tiene la forma: [A ∨ p] ∧ [A ∨ ¬p] donde A = (p → q)

Paso 2: Convertir el condicional

Aplicamos la Implicación Material: p → q ≡ ¬p ∨ q

Sustituyendo:

$ [(\neg p \lor q) \lor p] \land [(\neg p \lor q) \lor \neg p] $

Paso 3: Simplificar cada corchete por separado

Corchete izquierdo: (¬p ∨ q) ∨ p

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(¬p ∨ q) ∨ p	Original
2	(¬p ∨ p) ∨ q	Asociativa y Conmutativa
3	V ∨ q	Complemento: ¬p ∨ p ≡ V
4	V	Dominación: V ∨ X ≡ V

✅ Corchete izquierdo = V

Corchete derecho: (¬p ∨ q) ∨ ¬p

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	$ (¬ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ) ∨ ¬ \mathrm{p} $	Original
2	(¬p ∨ ¬p) ∨ q	Asociativa y Conmutativa
3	¬p ∨ q	Idempotencia:¬p ∨ ¬p ≡ ¬p

✅ Corchete derecho = ¬p ∨ q

Paso 4: Combinar los resultados

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	[V] ∧ [¬p ∨ q]	Sustitución
2	¬p ∨ q	Identidad: V ∧ X ≡ X

Resultado: El circuito lógico equivalente es:

     ┌── ¬p ───┐
●────┤         ├────●
     └─── q ───┘

Expresión lógica: ¬p ∨ q

Observación: La expresión ¬p ∨ q es equivalente a p → q (implicación material). Esto significa que el circuito complejo original se reduce a un simple circuito paralelo que representa el condicional.

Ejercicio 3

Construir el circuito lógico más simple equivalente a:

                    Bloque A

                 ┌── p ── ¬q ──┐        
                 │             │        
      ┌──── ¬p ──┼───── ¬p ────┼───────────────────┐
      │          │             │                   │
      │          └───── q ─────┘                   │    Bloque c
      │                                            │
M ●───┤                                            │───── ¬p ───● N
      │   ├──────────  Bloque B ───────────────│   │       
      │                                            │    
      │   ┌─ r ─ s ─ t ─┐        ┌──── r ──────┐   │      
      │   │             │        │             │   │    
      └───┼──── r ──────┼────────┼─── s ───────┼───┘
          │             │        │             │       
          ├──── s ──────┤        ├─── t ───────┤       
          │             │        │             │       
          └──── t ──────┘        └─ r ─ s ─ t ─┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema ( ¬p ∧ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)] ∨ [(r ∧ s ∧ t) ∨ (r ∨ s ∨ t)] ∧ [(r ∨ s ∨ t) ∨ (r ∧ s ∧ t)] ) ∧ ¬p

Solución

Paso 1: Identificar la estructura general

El circuito tiene la forma: (A ∨ B) ∧ C

Donde:

Bloque A = ¬p en serie con [(p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q]
Bloque B = Sub-bloque izquierdo en serie con Sub-bloque derecho
Bloque C = ¬p
A y B están en paralelo entre sí
El conjunto (A ∨ B) está en serie con C

Paso 2: Traducir cada bloque a expresión lógica

Bloque	Expresión
A	¬p ∧ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)]
B	$ [( \mathrm{r} ∧ \mathrm{s} ∧ \mathrm{t} ) ∨ ( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} )] ∧ [( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} ) ∨ ( \mathrm{r} ∧ \mathrm{s} ∧ \mathrm{t} )] $
C	¬p

Paso 3: Simplificar el Bloque A

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	¬p ∧ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)]	Original
2	$ ¬ \mathrm{p} ∧ [( \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ ¬( \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} )] $	De Morgan: $ ¬ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ≡ ¬( \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) $
3	¬p ∧ V	Complemento: X ∨ ¬X ≡ V
4	¬p	Identidad: X ∧ V ≡ X

✅ Bloque A = ¬p

Paso 4: Simplificar el Bloque B

Observemos que B tiene la forma: $ [ \mathrm{X} ∨ \mathrm{Y} ] ∧ [ \mathrm{Y} ∨ \mathrm{X} ] $ donde:

X = (r ∧ s ∧ t) — serie
Y = (r ∨ s ∨ t) — paralelo

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	$ [( \mathrm{r} ∧ \mathrm{s} ∧ \mathrm{t} ) ∨ ( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} )] ∧ [( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} ) ∨ ( \mathrm{r} ∧ \mathrm{s} ∧ \mathrm{t} )] $	Original
2	[r ∨ s ∨ t] ∧ [r ∨ s ∨ t]	Absorción: $ ( \mathrm{X} ∧ \mathrm{Y} ∧ \mathrm{Z} ) ∨ ( \mathrm{X} ∨ \mathrm{Y} ∨ \mathrm{Z} ) ≡ \mathrm{X} ∨ \mathrm{Y} ∨ \mathrm{Z} $
3	r ∨ s ∨ t	Idempotencia: X ∧ X ≡ X

✅ Bloque B = r ∨ s ∨ t

Paso 5: Calcular (A ∨ B) ∧ C

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(A ∨ B) ∧ C	Estructura original
2	$ [¬ \mathrm{p} ∨ ( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} )] ∧ ¬ \mathrm{p} $	Sustitución
3	¬p	Absorción: (X ∨ Y) ∧ X ≡ X

Resultado: El circuito equivalente es:

M ●─── ¬p ───● N

Expresión lógica: ¬p

Observación: Un circuito extremadamente complejo con múltiples bloques y más de 10 interruptores se reduce a un solo interruptor inverso (¬p). Esto ilustra dramáticamente el poder del álgebra de Boole para simplificar circuitos.

Ejercicio 4

Describir simbólicamente el circuito:

                        ┌──── r ────┐
       ┌──── p ─────────┤           │
       │                └─── ¬q ────┤
●──────┤                            ├──────●
       │                            │
       └──── q ──────────── ¬r ─────┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema [p ∧ (r ∨ ¬q)] ∨ (q ∧ ¬r)

Solución

Paso 1: Identificar la estructura general

El circuito tiene dos ramas principales en paralelo:

Rama superior: p en serie con un sub-bloque
Rama inferior: q en serie con ¬r

Paso 2: Analizar cada rama

Rama superior:

       ┌──── r ────┐
─ p ───┤           ├───
       └─── ¬q ────┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema p ∧ (r ∨ ¬q)

p está en serie con un bloque paralelo de (r ∥ ¬q)
Expresión: p ∧ (r ∨ ¬q)

Rama inferior:

─── q ─── ¬r ───

q está en serie con ¬r
Expresión: q ∧ ¬r

Paso 3: Combinar las ramas

Las dos ramas están en paralelo (disyunción):

Estructura	Expresión
Rama superior	p ∧ (r ∨ ¬q)
Rama inferior	q ∧ ¬r
Circuito completo	[p ∧ (r ∨ ¬q)] ∨ (q ∧ ¬r)

Resultado:

Expresión simbólica del circuito: [p ∧ (r ∨ ¬q)] ∨ (q ∧ ¬r)

Ejercicio 5

Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

    ┌─────── p ────────┐
    │                  │
●───┼─────── q ────────┼── ¬p ───●
    │                  │
    └── ¬q ───── ¬p ───┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema [p ∨ q ∨ (¬q ∧ ¬p)] ∧ ¬p

Solución

Paso 1: Traducir el circuito a expresión lógica

El circuito tiene:

Bloque paralelo: p ∥ q ∥ (¬q — ¬p)
Este bloque está en serie con ¬p

Expresión inicial: [p ∨ q ∨ (¬q ∧ ¬p)] ∧ ¬p

Paso 2: Simplificar el bloque paralelo interno

Primero simplificamos: q ∨ (¬q ∧ ¬p)

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	q ∨ (¬q ∧ ¬p)	Original
2	(q ∨ ¬q) ∧ (q ∨ ¬p)	Distributiva
3	V ∧ (q ∨ ¬p)	Complemento
4	q ∨ ¬p	Identidad

Paso 3: Sustituir y continuar simplificando

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	[p ∨ (q ∨ ¬p)] ∧ ¬p	Sustitución
2	$ [( \mathrm{p} ∨ ¬ \mathrm{p} ) ∨ \mathrm{q} ] ∧ ¬ \mathrm{p} $	Asociativa y Conmutativa
3	[V ∨ q] ∧ ¬p	Complemento
4	V ∧ ¬p	Dominación
5	¬p	Identidad

Resultado:

La menor expresión es: ¬p

Circuito equivalente:

●─── ¬p ───●

Observación: Un circuito con 3 ramas en paralelo y 4 interruptores se reduce a un solo interruptor inverso.

Ejercicio 6

Determinar el circuito lógico que representa el esquema molecular:

¬[p → ¬(q ∨ r)]

Solución

Paso 1: Convertir el condicional usando Implicación Material

p → X ≡ ¬p ∨ X

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	¬[p → ¬(q ∨ r)]	Original
2	¬[¬p ∨ ¬(q ∨ r)]	Implicación Material

Paso 2: Aplicar De Morgan a la negación exterior

Paso	Expresión	Ley Aplicada
3	$ ¬(¬ \mathrm{p} ) ∧ ¬[¬( \mathrm{q} ∨ \mathrm{r} ) ] $	De Morgan: ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
4	p ∧ (q ∨ r)	Doble Negación (×2)

Resultado:

Expresión simplificada: p ∧ (q ∨ r)

Circuito lógico equivalente:

           ┌── q ──┐
           │       │
●─── p ────┤       ├────●
           │       │
           └── r ──┘

Observación: Una expresión con negaciones anidadas y condicional se simplifica a un circuito muy simple: p en serie con (q ∨ r).

Ejercicio 7

Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito lógico:

     ┌──── p ─────┐   ┌──── ¬p ───┐
     │            │   │           │
●────┼──── q ─────┼───┼           ┼─── p ───●
     │            │   │           │
     └─ ¬p ── ¬q ─┘   └──── q ────┘   
       Bloque A         Bloque B     Serie

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema [p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ p]

Solución

Paso 1: Traducir el circuito a expresión lógica

Bloque A: p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q)
Bloque B: ¬p ∨ q
Serie final: p
Expresión completa: [p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ p]

Paso 2: Simplificar el Bloque A

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	$ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ∨ (¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) $	Original
2	(p ∨ q) ∨ ¬(p ∨ q)	De Morgan:¬p ∧ ¬q ≡ ¬(p ∨ q)
3	V	Complemento:X ∨ ¬X ≡ V

✅ Bloque A = V

Paso 3: Simplificar (Bloque B ∧ p)

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(¬p ∨ q) ∧ p	Original
2	$ (¬ \mathrm{p} ∧ \mathrm{p} ) ∨ ( \mathrm{q} ∧ \mathrm{p} ) $	Distributiva
3	F ∨ (p ∧ q)	Complemento:¬p ∧ p ≡ F
4	p ∧ q	Identidad:F ∨ X ≡ X

✅ Bloque B ∧ p = p ∧ q

Paso 4: Combinar

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	V ∧ (p ∧ q)	Sustitución
2	p ∧ q	Identidad: V ∧ X ≡ X

Resultado:

Expresión simplificada: p ∧ q

Circuito equivalente:

●────── p ────── q ──────●

Observación: Un circuito con 2 bloques complejos (7 interruptores) se reduce a solo 2 interruptores en serie.

Ejercicio 8

Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

       ┌──── ¬p ──────────── ¬q ───┐
       │                           │
●──────┤                           ├──────●
       │       ┌──── ¬p ───┐       │
       │       │           │       │
       └── p ──┤           ├───────┘
               │           │
               └──── q ────┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema (¬p ∧ ¬q) ∨ [p ∧ (¬p ∨ q)]

Solución

Paso 1: Traducir el circuito a expresión lógica

El circuito tiene dos ramas principales en paralelo:

Rama superior:
¬p en serie con ¬q, entonces (¬p ∧ ¬q)
Rama inferior:
p en serie con (¬p ∥ q), entonces p ∧ (¬p ∨ q)

Expresión inicial: (¬p ∧ ¬q) ∨ [p ∧ (¬p ∨ q)]

Paso 2: Simplificar la rama inferior

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	p ∧ (¬p ∨ q)	Original
2	$ ( \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{p} ) ∨ ( \mathrm{p} ∧ \mathrm{q} ) $	Distributiva
3	F ∨ (p ∧ q)	Complemento:p ∧ ¬p ≡ F
4	p ∧ q	Identidad:F ∨ X ≡ X

Paso 3: Sustituir y reconocer el patrón

Paso: 1
- Expresión: $ (¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ ( \mathrm{p} ∧ \mathrm{q} ) $
- Observación: Sustitución
Paso: 2
- Expresión: p ↔ q
- Observación: Esta es la definición del bicondicional

Nota: p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) — «ambos verdaderos o ambos falsos»

Resultado:

La menor expresión es: p ↔ q

Circuito equivalente (conceptual):

●────── p ↔ q ──────●

Observación: El circuito representa la operación XNOR (equivalencia lógica): la salida es 1 cuando ambas entradas son iguales.

Ejercicio 9

Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

                               ┌──── r ────┐
                ┌──── ¬q ──────┤           │
       ┌─ p ─┐  │              └─── ¬q ────┤
       │     │  │                          │
●──────┤     ├──┤                          ├───── r ─────●
       │     │  │                          │
       └─ q ─┘  └───────── p ────── q ─────┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema (p ∨ q) ∧ [(¬q ∧ (r ∨ ¬q)) ∨ (p ∧ q)] ∧ r

Solución

Paso 1: Traducir el circuito a expresión lógica

Bloque 1 (paralelo): p ∨ q
Bloque 2 (paralelo): [¬q ∧ (r ∨ ¬q)] ∨ (p ∧ q)
Serie final: r

Expresión inicial: $ ( \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ) ∧ [(¬ \mathrm{q} ∧ ( \mathrm{r} ∨ ¬ \mathrm{q} )) ∨ ( \mathrm{p} ∧ \mathrm{q} )] ∧ \mathrm{r} $

Paso 2: Simplificar ¬q ∧ (r ∨ ¬q)

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	¬q ∧ (r ∨ ¬q)	Original
2	¬q	Absorción: X ∧ (Y ∨ X) ≡ X

Paso 3: Simplificar [¬q ∨ (p ∧ q)]

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	¬q ∨ (p ∧ q)	Sustitución
2	(¬q ∨ p) ∧ (¬q ∨ q)	Distributiva
3	(¬q ∨ p) ∧ V	Complemento
4	p ∨ ¬q	Identidad

Paso 4: Simplificar (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)	Sustitución
2	p ∨ (q ∧ ¬q)	Distributiva inversa
3	p ∨ F	Complemento
4	p	Identidad

Paso 5: Resultado final

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	p ∧ r	Sustitución

Resultado:

La menor expresión es: p ∧ r

Circuito equivalente:

●────── p ────── r ──────●

Observación: Un circuito complejo con 8 interruptores se reduce a solo 2 interruptores en serie.

Ejercicio 10

Determinar el circuito equivalente al circuito:

       ┌─ ¬p ── ¬q ─┐       ┌───── p ─────┐
       │            │       │             │
●──────┼──── p ─────┼───────┼             ├──────●
       │            │       │   ┌─ ¬r ─┐  │
       └──── q ─────┘       └─q─┤      ├──┘
                                └─ ¬p ─┘
         Bloque A               Bloque B

Solución

Paso 1: Traducir el circuito a expresión lógica

Bloque A: (¬p ∧ ¬q) ∨ p ∨ q
Bloque B: p ∨ [q ∧ (¬r ∨ ¬p)]

Expresión inicial: $ [(¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ] ∧ \{ \mathrm{p} ∨ [ \mathrm{q} ∧ (¬ \mathrm{r} ∨ ¬ \mathrm{p} )] \} $

Paso 2: Simplificar el Bloque A

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(¬p ∧ ¬q) ∨ p ∨ q	Original
2	$ (¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ ( \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ) $	Reagrupar
3	¬(p ∨ q) ∨ (p ∨ q)	De Morgan
4	V	Complemento:X ∨ ¬X ≡ V

✅ Bloque A = V

Paso 3: Simplificar el Bloque B

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	p ∨ [q ∧ (¬r ∨ ¬p)]	Original
2	$ \mathrm{p} ∨ [( \mathrm{q} ∧ ¬ \mathrm{r} ) ∨ ( \mathrm{q} ∧ ¬ \mathrm{p} )] $	Distributiva
3	p ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬p)	Reagrupar
4	[p ∨ (q ∧ ¬p)] ∨ (q ∧ ¬r)	Reagrupar
5	(p ∨ q) ∨ (q ∧ ¬r)	Absorción: p ∨ (q ∧ ¬p) ≡ p ∨ q
6	p ∨ q	Absorción: $ ( \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ) ∨ ( \mathrm{q} ∧ \mathrm{X} ) ≡ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} $

✅ Bloque B = p ∨ q

Paso 4: Combinar

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	V ∧ (p ∨ q)	Sustitución
2	p ∨ q	Identidad: V ∧ X ≡ X

Resultado:

Expresión simplificada: p ∨ q

Circuito equivalente:

       ┌──── p ────┐
       │           │
●──────┤           ├──────●
       │           │
       └──── q ────┘

Observación: Un circuito con 2 bloques complejos (9 interruptores) se reduce a solo 2 interruptores en paralelo.

Ejercicio 11

Hallar la proposición x de manera que sea una tautología el circuito simplificado siguiente:

       ┌─ ¬p ── ¬q ─┐   ┌──────── p ──────┐ 
    ┌──┤            ├───┤     ┌── ¬p ──┐  ├── ¬q ──┐ ← Q 
    │  └─ p ─── q ──┘   └─ q ─┤        ├──┘        │  (superior)
●───┤                         └── x ───┘           │ 
    │        ┌─ p ─── q ──┐                        │
    │  ┌─────┤   ┌─ p ──┐ ├────────────────┐       │    
    └──┤     └───┤      ├─┘                ├───────┘
       │         └─ ¬q ─┘                  │         ← R 
       │                                   │          (inferior)
       │     ┌───── r ──────┐              │
       └─────┤              ├───── x ──────┘
             └─ ¬p ──── ¬r ─┘

Un diagrama que representa un circuito lógico del esquema [ {(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)} ∧ {p ∨ [q ∧ (¬p ∨ x)]} ∧ (¬q) ] ∨ [ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)] ∨ {[r ∨ (¬p ∧ ¬r)] ∧ x} ]

Solución

Paso 1: Identificar la estructura general

El circuito tiene dos bloques principales en paralelo:

P = Q ∨ R

Donde:

Q = Circuito superior (rama de arriba)
R = Circuito inferior (rama de abajo)

Para que P sea una tautología (siempre V), necesitamos encontrar el valor de x.

Paso 2: Traducir cada bloque a expresión lógica

Bloque	Expresión
Q	$ { (¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ ( \mathrm{p} ∧ \mathrm{q} ) } ∧ { \mathrm{p} ∨ [ \mathrm{q} ∧ (¬ \mathrm{p} ∨ \mathrm{x} )] } ∧ (¬ \mathrm{q} ) $
R	[(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)] ∨ {[r ∨ (¬p ∧ ¬r)] ∧ x}

Paso 3: Simplificar Q (hipótesis: x = ¬p)

Probamos con x = ¬p para ver si funciona:

3.1: Simplificar {p ∨ [q ∧ (¬p ∨ ¬p)]}

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	p ∨ [q ∧ (¬p ∨ ¬p)]	Sustitución x = ¬p
2	p ∨ [q ∧ ¬p]	Idempotencia:¬p ∨ ¬p ≡ ¬p
3	(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬p)	Distributiva
4	(p ∨ q) ∧ V	Complemento
5	p ∨ q	Identidad

3.2: Ahora Q = {(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)} ∧ (p ∨ q) ∧ (¬q)

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	$ { (¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ ( \mathrm{p} ∧ \mathrm{q} ) } ∧ ( \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ) $	Simplificando primero estos
2	(p ∧ q)	Absorción: el término $ (¬ \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) $ se absorbe
3	(p ∧ q) ∧ (¬q)	Agregar el último término
4	p ∧ (q ∧ ¬q)	Asociativa
5	p ∧ F	Complemento: q ∧ ¬q ≡ F
6	F	Dominación

✅ Q = F (Contradicción)

Paso 4: Como Q = F, entonces P = F ∨ R = R

Ahora solo necesitamos que R = V para que P sea tautología.

Paso 5: Simplificar R (con x = ¬p)

5.1: Simplificar [(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)]

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)	Original
2	p ∧ (q ∨ ¬q)	Distributiva inversa
3	p ∧ V	Complemento
4	p	Identidad

5.2: Simplificar [r ∨ (¬p ∧ ¬r)] ∧ ¬p

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	[r ∨ (¬p ∧ ¬r)] ∧ ¬p	Sustitución $ \mathrm{x} = ¬ \mathrm{p} $
2	$ [( \mathrm{r} ∨ ¬ \mathrm{p} ) ∧ ( \mathrm{r} ∨ ¬ \mathrm{r} )] ∧ ¬ \mathrm{p} $	Distributiva
3	[(r ∨ ¬p) ∧ V] ∧ ¬p	Complemento
4	(r ∨ ¬p) ∧ ¬p	Identidad
5	¬p	Absorción: (X ∨ Y) ∧ Y ≡ Y

5.3: Ahora R = p ∨ ¬p

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	p ∨ ¬p	Combinación
2	V	Complemento

✅ R = V (Tautología)

Paso 6: Verificación final

Expresión	Valor
Q	F
R	V
P = Q ∨ R	F ∨ V = V ✅

Resultado

Para que el circuito sea una tautología: x = ¬p

Observación: Este ejercicio demuestra una técnica avanzada: encontrar valores de variables desconocidas que conviertan un circuito complejo en una tautología. La clave fue probar con x = ¬p y verificar que el circuito resultante siempre es verdadero.

Ejercicio 12

Construir el circuito lógico más simple equivalente a:

                  ┌─ p ── ¬q ─┐                         
       ┌─── ¬p ───┤           ┼─────────────────────┐  
       │          ├── ¬p ─────┤      ┌── r ───┐     │
       │          │           │      │        │     │
P ●────┤          └── q ──────┘   ┌──┼── s ───┼──┐  ┼── ¬p ───● Q
       │                          │  │        │  │  │
       │  ┌─ r ─ s ─ t ─┐         │  └── t ───┘  │  │
       │  │             │         │              │  │
       └──┼─── r ───────┼─────────┼              ├──┘
          │             │         │              │
          ├─── s ───────┤         └─ r ─ s ─ t ──┘
          │             │        
          └─── t ───────┘

Solución

Paso 1: Identificar la estructura general

El circuito tiene la forma: (A ∨ B) ∧ C

Donde:

A = Bloque superior (con ¬p, p, q)
B = Bloques inferiores (con r, s, t)
C = ¬p (al final)

Paso 2: Traducir cada bloque a expresión lógica

Bloque	Expresión
A	¬p ∧ [(p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q]
B	$ [( \mathrm{r} ∧ \mathrm{s} ∧ \mathrm{t} ) ∨ \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} ] ∧ [( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} ) ∨ ( \mathrm{r} ∧ \mathrm{s} ∧ \mathrm{t} )] $
C	¬p

Paso 3: Simplificar el Bloque A

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	¬p ∧ [(p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q]	Original
2	¬p ∧ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)]	Reagrupar
3	$ ¬ \mathrm{p} ∧ [( \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) ∨ ¬( \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} )] $	De Morgan: $ ¬ \mathrm{p} ∨ \mathrm{q} ≡ ¬( \mathrm{p} ∧ ¬ \mathrm{q} ) $
4	¬p ∧ V	Complemento: X ∨ ¬X ≡ V
5	¬p	Identidad: X ∧ V ≡ X

✅ Bloque A = ¬p

Paso 4: Simplificar el Bloque B

4.1: Cada sub-bloque de B:

Sub-bloque	Expresión	Simplificación
Izquierdo	$ ( \mathrm{r} ∧ \mathrm{s} ∧ \mathrm{t} ) ∨ \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} $	= r ∨ s ∨ t (por Absorción)
Derecho	(r ∨ s ∨ t) ∨ (r ∧ s ∧ t)	= r ∨ s ∨ t (por Absorción)

4.2: Combinar sub-bloques:

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	$ ( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} ) ∧ ( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} ) $	Sustitución
2	r ∨ s ∨ t	Idempotencia: X ∧ X ≡ X

✅ Bloque B = r ∨ s ∨ t

Paso 5: Calcular (A ∨ B) ∧ C

Paso	Expresión	Ley Aplicada
1	(A ∨ B) ∧ C	Estructura original
2	$ [¬ \mathrm{p} ∨ ( \mathrm{r} ∨ \mathrm{s} ∨ \mathrm{t} )] ∧ ¬ \mathrm{p} $	Sustitución
3	¬p	Absorción: (X ∨ Y) ∧ X ≡ X

Resultado

El circuito más simple equivalente es: ¬p

Circuito equivalente:

A ●──── ¬p ────● B

Observación: Un circuito extremadamente complejo con múltiples bloques y más de 12 interruptores se reduce a un solo interruptor inverso (¬p).

Sección VI: Demostración Matemática

Esta sección contiene ejercicios sobre métodos de demostración matemática, incluyendo demostración directa, contraposición, contradicción, inducción matemática y demostración por casos.

Resumen Teórico de Referencia

¿Qué es una Demostración Matemática?

Una demostración matemática es un argumento lógico riguroso que establece la verdad de una proposición, partiendo de axiomas, definiciones y teoremas previamente demostrados.

Una demostración es una secuencia finita de proposiciones donde cada una es:

Un axioma (verdad aceptada sin prueba)

Una definición (significado acordado de un término)

Una hipótesis (supuesto inicial del teorema)

Una proposición derivada de las anteriores usando reglas de inferencia

Estructura de un Teorema

Todo teorema tiene la forma: «Si P, entonces Q» (P → Q)

Componente	Nombre	Rol
P	Hipótesis	Lo que asumimos como verdadero
Q	Tesis (o Conclusión)	Lo que queremos demostrar
P → Q	Teorema	La implicación completa

Nota: Cuando demostramos que un teorema es verdadero, estamos probando que P → Q es una tautología. Un teorema demostrado es realmente una implicación (P ⇒ Q).

Tabla de Métodos de Demostración

#	Método	Idea Central	Cuándo Usarlo
1	Directa	Asumir P, deducir Q	Caso general, primer intento
2	Contraposición	Demostrar ¬Q → ¬P	Cuando Q es más fácil de negar
3	Contradicción	Asumir ¬(P→Q), llegar a absurdo	Existencia, unicidad, irracionalidad
4	Inducción	Caso base + paso inductivo	Propiedades de números naturales
5	Por Casos	Dividir en subcasos	Cuando hay escenarios distintos
6	Contraejemplo	Un caso que refuta	Para demostrar falsedad

1. Demostración Directa

Consiste en partir de la hipótesis y, mediante pasos lógicos, llegar a la conclusión.

Pasos:

Asumir que P es verdadera (hipótesis)
Aplicar definiciones, axiomas y teoremas conocidos
Mediante pasos lógicos, deducir que Q es verdadera
Concluir: P → Q está demostrado ✓

Ejemplo: Si n es par, entonces n² es par.

Paso	Afirmación	Justificación
1	Sea n un número par	Hipótesis
2	n = 2k, para algún entero k	Definición de par
3	$ \mathrm{n²} = \mathrm{(2k)²} = \mathrm{4k²} = \mathrm{2(2k²)} $	Desarrollo algebraico
4	n² = 2m, donde m = 2k²	Sustitución
5	n² es par	Por definición ∎

2. Demostración por Contraposición

Aprovecha la equivalencia lógica: P → Q ≡ ¬Q → ¬P

Estructura:

1. Queremos demostrar: P → Q
2. En su lugar, demostramos: ¬Q → ¬P
3. Asumimos ¬Q (la negación de la conclusión)
4. Mediante pasos lógicos, deducimos ¬P
5. Como ¬Q → ¬P es verdadero, P → Q también ✓

Ejemplo: Si n² es par, entonces n es par.

Contraposición: Si n es impar, entonces n² es impar.

Paso	Afirmación	Justificación
1	Supongamos que n es impar	Asumimos ¬Q
2	n = 2k + 1	Definición de impar
3	$ \mathrm{n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1} $	Desarrollo
4	n² = 2(2k² + 2k) + 1	Factorización
5	n² es impar	Tiene la forma 2m + 1 ∎

3. Demostración por Contradicción

Se basa en: Si asumir que algo es falso conduce a una contradicción, entonces debe ser verdadero.

Estructura:

Queremos demostrar: P
Asumimos lo contrario: ¬P (suposición por contradicción)
Derivamos consecuencias lógicas de ¬P
Llegamos a una CONTRADICCIÓN (algo imposible)
Concluimos: ¬P es falso, por lo tanto P es verdadero ✓

Ejemplo Clásico: √2 es irracional.

Paso	Afirmación	Justificación
1	Supongamos que √2 es racional	Suposición (¬P)
2	√2 = a/b, con a,b sin factores comunes	Forma irreducible
3	$ \mathrm{2 = a²/b²} $, entonces $ \mathrm{2b² = a²} $	Álgebra
4	a² es par, entonces a es par	Teorema previo
5	$ \mathrm{a = 2c} $, entonces $ \mathrm{ 2b² = 4c²} $, $ \mathrm{b² = 2c²} $	Sustitución
6	b² es par, entonces b es par	Mismo argumento
7	CONTRADICCIÓN: $ \mathrm{a} $ y $ \mathrm{b} $ son pares	Dijimos sin factores comunes
8	√2 es irracional	∎

4. Demostración por Inducción Matemática

Para demostrar propiedades que aplican a todos los números naturales.

Estructura:

Paso 1: CASO BASE
- Demostrar que P(n₀) es verdadera
Paso 2: HIPÓTESIS INDUCTIVA
- Asumir que P(k) es verdadera para algún k ≥ n₀
Paso 3: PASO INDUCTIVO
- Demostrar que P(k) → P(k+1)
CONCLUSIÓN: P(n) es verdadera para todo n ≥ n₀

Ejemplo: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

Fase	Desarrollo
Caso Base (n=1)	$ 1 = 1(2)/2 = 1 ✓ $
Hipótesis	$ 1 + 2 + … + k = k(k+1)/2 $
Paso Inductivo	$ \begin{align} 1 + 2 + … + k + (k+1) & = k(k+1)/2 + (k+1) \\ & = (k+1)(k+2)/2 ✓ \end{align} $

5. Demostración por Casos

Divide el problema en subcasos que cubren todas las posibilidades.

Estructura:

1. Identificar todos los casos posibles (exhaustivos)
2. Demostrar la conclusión para cada caso
3. Concluir que el teorema es verdadero en todos los casos

Ejemplo: Para cualquier entero n, n(n+1) es par.

Caso	Desarrollo	Resultado
n es par	$ n = 2k $ $ \begin{align} → n(n+1) & = 2k(n+1) \\ & = 2[k(n+1)] \end{align} $	Par ✓
n es impar	$ n+1 $ es par $ \begin{align} → n(n+1) & = n(2m) \\ & = 2(nm) \end{align} $	Par ✓

6. Demostración por Contraejemplo

Para refutar «Para todo x, P(x)», basta encontrar un solo x donde P(x) sea falso.

Ejemplos:

Afirmación Falsa	Contraejemplo
«Todos los primos son impares»	2 es primo y par ✗
«n² > n para todo n ≥ 1»	n = 1: 1² = 1, no es mayor ✗
«La suma de irracionales es irracional»	√2 + (-√2) = 0 (racional) ✗

Conexión con la Lógica Proposicional

Método	Base Lógica
Directa	P → Q (afirmar antecedente, derivar consecuente)
Contraposición	P → Q ≡ ¬Q → ¬P
Contradicción	¬P → Contradicción, por lo tanto P
Por casos	(P₁ → Q) ∧ (P₂ → Q) ∧ … ⊢ Q

Símbolo de Fin de Demostración

El símbolo ∎ (o Q.E.D.) indica que la demostración ha sido completada.

Q.E.D. = «Quod Erat Demonstrandum» = «lo que se quería demostrar»

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Prueba que el cubo de un número impar es también impar.

Tipo: Demostración Directa

Solución

Paso 1: Establecer la hipótesis

Sea n un número impar.

Por definición de número impar: n = 2k + 1, donde k es un entero.

Paso 2: Calcular n³

Paso	Expresión	Justificación
1	n³ = (2k + 1)³	Sustitución
2	= (2k + 1)(2k + 1)(2k + 1)	Expansión
3	= (2k + 1)(4k² + 4k + 1)	Cuadrado del binomio
4	$ \mathrm{ = 8k³ + 8k² + 2k + 4k² + 4k + 1 } $	Distributiva
5	= 8k³ + 12k² + 6k + 1	Simplificación

Paso 3: Factorizar para mostrar la forma 2m + 1

Paso	Expresión	Justificación
6	$ \mathrm{ n³ = 2(4k³ + 6k² + 3k) + 1 } $	Factor común 2
7	Sea $ \mathrm{ m = 4k³ + 6k² + 3k } $	m es entero (suma y producto de enteros)
8	n³ = 2m + 1	Sustitución

Paso 4: Conclusión

Como n³ tiene la forma 2m + 1 (donde m es un entero), entonces n³ es impar por definición.

∎

Observación: Esta demostración usa el método directo: partimos de la hipótesis (n es impar) y mediante pasos algebraicos llegamos a la conclusión (n³ es impar). El patrón clave es mostrar que el resultado tiene la forma 2m + 1.

Ejercicio 2

En el conjunto de los números enteros, demuestra que si m y n son múltiplos de p, entonces m + n y m − n también son múltiplos de p.

Tipo: Demostración Directa

Solución

Paso 1: Establecer las hipótesis

Sean m y n múltiplos de p.

Por definición de múltiplo:

m = p · a, donde a es un entero
n = p · b, donde b es un entero

Paso 2: Demostrar que m + n es múltiplo de p

Paso	Expresión	Justificación
1	$ \mathrm{ m + n = p·a + p·b } $	Sustitución
2	= p(a + b)	Factor común p
3	Sea c = a + b	c es entero (suma de enteros)
4	m + n = p · c	Sustitución

Como m + n = p · c, donde c es entero, entonces m + n es múltiplo de p. ✓

Paso 3: Demostrar que m − n es múltiplo de p

Paso	Expresión	Justificación
1	$ \mathrm{ m − n = p·a − p·b } $	Sustitución
2	= p(a − b)	Factor común p
3	Sea d = a − b	d es entero (resta de enteros)
4	m − n = p · d	Sustitución

Como m − n = p · d, donde d es entero, entonces m − n es múltiplo de p. ✓

Conclusión

Si m y n son múltiplos de p, entonces tanto m + n como m − n son múltiplos de p.

∎

Observación: Esta demostración ilustra que el conjunto de múltiplos de p es cerrado bajo la suma y la resta. En álgebra, esto significa que los múltiplos de p forman un subgrupo de los enteros bajo la adición.

Ejercicio 3

Prueba que dadas dos rectas que se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Tipo: Demostración Directa (Geometría)

Solución

Paso 1: Establecer la situación

Sean dos rectas L₁ y L₂ que se cortan en un punto O.

Al cortarse, se forman cuatro ángulos: α, β, α’, β’

                     
                     ╱
                    ╱
               α   ╱ β
     ─────────────O─────────────  L₂
                 ╱
            β'  ╱   α'
               ╱
              L₁

Diagrama de dos rectas que se curzan formando 4 angulos

Donde:

α y α’ son ángulos opuestos por el vértice
β y β’ son ángulos opuestos por el vértice

Paso 2: Usar la propiedad de ángulos suplementarios

Los ángulos adyacentes formados por dos rectas que se cortan son suplementarios (suman 180°).

Relación	Ecuación
α y β son adyacentes	α + β = 180° … (1)
β y α’ son adyacentes	β + α’ = 180° … (2)

Paso 3: Igualar las ecuaciones

De (1) y (2):

Paso	Expresión	Justificación
1	α + β = 180°	Ecuación (1)
2	β + α’ = 180°	Ecuación (2)
3	α + β = β + α’	Transitiva (ambas = 180°)
4	α = α’	Cancelamos β de ambos lados

✅ Los ángulos opuestos α y α’ son iguales

Paso 4: Demostrar para β y β’ (análogamente)

Relación	Ecuación
α y β son adyacentes	α + β = 180° … (1)
α y β’ son adyacentes	α + β’ = 180° … (3)

De (1) y (3):

Paso	Expresión	Justificación
1	α + β = α + β’	Transitiva
2	β = β’	Cancelamos α

✅ Los ángulos opuestos β y β’ son iguales

Conclusión

Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales:

α = α’
β = β’

∎

Observación: Este es un teorema fundamental de la geometría euclidiana. Se basa en la propiedad de que los ángulos formados sobre una línea recta suman 180°.

Ejercicio 4

Demostrar que el producto de dos números pares es par.

Tipo: Demostración Directa

Solución

Paso 1: Establecer las hipótesis

Sean a y b números pares.

Por definición de número par:

a = 2m, donde m es un entero
b = 2n, donde n es un entero

Paso 2: Calcular el producto

Paso	Expresión	Justificación
1	a · b = (2m)(2n)	Sustitución
2	= 4mn	Multiplicación
3	= 2(2mn)	Factor común 2
4	Sea k = 2mn	k es entero
5	a · b = 2k	Sustitución

Conclusión

Como a · b = 2k (donde k es entero), el producto es par por definición.

∎

Observación: De hecho, el producto de un número par con cualquier entero es par, ya que par × entero = 2m × n = 2(mn).

Ejercicio 5

Demostrar que: (m → n) ⇔ (¬n → ¬m)

Tipo: Demostración Directa (por equivalencias)

Solución

Demostraremos que ambas expresiones son lógicamente equivalentes transformándolas a una forma común.

Paso 1: Transformar (m → n)

Paso	Expresión	Justificación
1	m → n	Expresión original
2	≡ ¬m ∨ n	Definición de implicación: p → q ≡ ¬p ∨ q

Paso 2: Transformar (¬n → ¬m)

Paso	Expresión	Justificación
1	¬n → ¬m	Expresión original
2	$ \mathrm{ ≡ ¬(¬n) ∨ ¬m } $	Definición de implicación
3	≡ n ∨ ¬m	Doble negación: ¬(¬p) ≡ p
4	≡ ¬m ∨ n	Conmutatividad de la disyunción

Paso 3: Comparar resultados

Expresión Original	Forma Equivalente
m → n	¬m ∨ n
¬n → ¬m	¬m ∨ n

Ambas expresiones son equivalentes a ¬m ∨ n, por lo tanto: (m → n) ⇔ (¬n → ¬m) ∎

Verificación con Tabla de Verdad:

m	n	m → n	¬n → ¬m
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Las columnas son idénticas, confirmando la equivalencia. ✓

Observación: Esta es la Ley de Contraposición, fundamental en lógica y matemáticas. Dice que «Si P entonces Q» es lógicamente equivalente a «Si no Q entonces no P».

Ejercicio 6

Demostrar que el producto de dos números racionales es racional.

Tipo: Demostración Directa

Solución

Paso 1: Establecer la hipótesis

Sean a y b números racionales.

Por definición de número racional:

$ \mathrm{ a = \frac{p}{q} } $, donde p, q ∈ ℤ y q ≠ 0
$ \mathrm{ b = \frac{r}{s} } $, donde r, s ∈ ℤ y s ≠ 0

Paso 2: Calcular el producto

Paso	Expresión	Justificación
1	$ \mathrm{ a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} } $	Sustitución
2	$ = \mathrm{ \frac{p \cdot r}{q \cdot s} } $	Multiplicación de fracciones
3	$ = \mathrm{ \frac{ pr }{ qs} } $	Simplificación notacional

Paso 3: Verificar que el resultado es racional

Condición	Verificación
¿pr es entero?	Sí, producto de enteros es entero ✓
¿qs es entero?	Sí, producto de enteros es entero ✓
¿qs ≠ 0?	Sí, porque q ≠ 0 y s ≠ 0 ✓

Conclusión:

Como $ \mathrm{ a \cdot b = \frac{pr}{qs} } $ es el cociente de dos enteros con denominador no nulo, el producto es racional.

\[ \mathrm{ a, b \in \mathbb{Q} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{Q} } \]

Observación: Este resultado muestra que ℚ es cerrado bajo la multiplicación. Junto con la cerradura bajo suma (Ejercicio 7), esto significa que ℚ forma un cuerpo (field).

Ejercicio 7

Demostrar que la suma de dos números racionales es racional.

Tipo: Demostración Directa

Solución

Paso 1: Establecer la hipótesis

Sean a y b números racionales.

Por definición:

$ \mathrm{ a = \frac{p}{q} } $ donde p, q ∈ ℤ y q ≠ 0
$ \mathrm{ b = \frac{r}{s} } $ donde r, s ∈ ℤ y s ≠ 0

Paso 2: Calcular la suma

Paso	Expresión	Justificación
1	$ \mathrm{ a+b= \frac{p}{q} + \frac{r}{s} } $	Sustitución
2	$ = \frac{ ps +qr }{qs} $	Suma de fracciones (denominador común)

Paso 3: Verificar que el resultado es racional

Condición	Verificación
¿ps + qr es entero?	Sí (sumas y productos de enteros) ✓
¿qs es entero?	Sí (producto de enteros) ✓
¿qs ≠ 0?	Sí, porque q ≠ 0 y s ≠ 0 ✓

Conclusión

Como $ a+b = \frac{ps + qr}{qr} $ cumple la definición de número racional, la suma es racional.

\[ \mathrm{ a,b \in \mathbb{Q} \Rightarrow a+b \in \mathbb{Q} } ∎ \]

Observación: ℚ es cerrado bajo suma, resta, multiplicación y división (excepto por cero). Esto hace de ℚ un cuerpo ordenado.

Ejercicio 8

Para todo x ∈ ℝ se cumple que x² ≥ 0.

Tipo: Demostración por Casos

Solución

Definición: Todo número real x es exactamente uno de: positivo, negativo, o cero.

Analizamos cada caso:

Caso 1: x = 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	x = 0	Hipótesis del caso
2	x² = 0² = 0	Cálculo
3	0 ≥ 0	Verdadero ✓

Caso 2: x > 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	x > 0	Hipótesis del caso
2	x² = x · x	Definición de cuadrado
3	x · x > 0	Producto de positivos es positivo
4	x² ≥ 0	Si x² > 0, entonces x² ≥ 0 ✓

Caso 3: x < 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	x < 0	Hipótesis del caso
2	x² = x · x	Definición de cuadrado
3	x · x > 0	Producto de negativos es positivo
4	x² ≥ 0	Si x² > 0, entonces x² ≥ 0 ✓

Conclusión

En los tres casos posibles (exhaustivos), hemos demostrado que x² ≥ 0.

\[ \mathrm{ \forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0 } ∎ \]

Observación: Esta propiedad fundamental implica que x² = 0 si y solo si x = 0. También es la razón por la cual no existen raíces cuadradas reales de números negativos.

Ejercicio 9

Para todo n ∈ ℕ se cumple que n² + n es par.

Tipo: Demostración Directa

Solución

Paso 1: Factorizar la expresión

\[ \mathrm{ n^2+n=n(n+1) } \]

Paso 2: Analizar el producto n(n+1)

Los números n y n+1 son enteros consecutivos.

Propiedad clave: En cualquier par de enteros consecutivos, uno es par y otro es impar.

Par de consecutivos	Uno par, uno impar
1, 2	2 es par
2, 3	2 es par
7, 8	8 es par
n, n+1	Uno de ellos es par

Paso 3: Concluir

Paso	Afirmación	Justificación
1	n o (n+1) es par	Propiedad de consecutivos
2	El producto n(n+1) tiene factor par	El par es 2k para algún k
3	n(n+1) = 2m para algún entero m	El producto contiene factor 2
4	n² + n es par	Definición de número par

\[ \mathrm{ ∀n∈N:2∣(n^2+n) } ∎ \]

Observación: Este resultado se usó en el Ejercicio 7 (nivel intermedio) para demostrar por contradicción que ciertas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones enteras. La propiedad de que el producto de consecutivos es par es una herramienta muy útil en teoría de números.

Ejercicio 10

Para todo x ∈ ℝ se cumple que |x| ≥ 0.

Tipo: Demostración por Casos

Solución

Definición de valor absoluto:

\[ \mathrm{ |x| = \begin{cases} x, & \text{si } x \ge 0 \\ -x, & \text{si } x<0 \end{cases} } \]

Todo número real x pertenece exactamente a uno de estos dos casos.

Caso 1: x ≥ 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	x ≥ 0	Hipótesis del caso
2	\|x\| = x	Definición de valor absoluto para x ≥ 0
3	\|x\| ≥ 0	De pasos 1 y 2 ✓

Caso 2: x < 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	x < 0	Hipótesis del caso
2	\|x\| = −x	Definición de valor absoluto para x < 0
3	x < 0 implica −x > 0	Multiplicar por −1 invierte la desigualdad
4	\|x\| = −x > 0	De pasos 2 y 3
5	\|x\| ≥ 0	Si \|x\| > 0, entonces \|x\| ≥ 0 ✓

Conclusión

En ambos casos posibles, hemos demostrado que |x| ≥ 0.

\[ \forall \mathrm{ x \in \mathbb{R}: |x| \ge 0 } ∎ \]

Observación: Esta propiedad es una de las propiedades fundamentales del valor absoluto. De hecho, |x| = 0 si y solo si x = 0. Además, esta demostración es análoga a la del Ejercicio 8 (x² ≥ 0), ya que |x| = √(x²).

Ejercicio 11

«Para todo x, y reales, $ \mathrm{ (x+y)^2=x^2+y^2 } $.

Tipo: Refutación por Contraejemplo

Solución

Paso 1: Analizar la proposición

La afirmación dice que para todos los números reales x e y, se cumple que $ \mathrm{ (x+y)^2 = x^2 + y^2 } $.

Esta es una proposición universal: $ \mathrm{ \forall x,y \in \mathbb{R}: (x+y)^2 = x^2 + y^2 } $.

Paso 2: Verificar la fórmula correcta del binomio

Recordemos el cuadrado de un binomio:

\[ \mathrm{ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 } \]

Para que $ \mathrm{ (x+y)^2 = x^2 + y^2 } $, necesitaríamos que:

\[ \mathrm{ \begin{align} x^2 + 2xy + y^2 & = x^2 + y^2 \\ 2xy & = 0 \\ xy & = 0 \end{align} } \]

Esto solo ocurre cuando x = 0 o y = 0.

Paso 3: Encontrar un contraejemplo

Para refutar una proposición universal, basta encontrar un solo caso donde sea falsa.

x	y	$ (x+y)^2 $	$ x^2 + y^2 $	¿Iguales?
1	1	$ (1+1)^2=4 $	$ 1^2 + 1^2 = 2 $	❌ NO

Verificación:

Lado izquierdo: $(1+1)^2=2^2=4 $
Lado derecho: $ 1^2 + 1^2= 1+1=2 $
$ 4 \neq 2 $

Paso 4: Conclusión

Hemos encontrado un contraejemplo: x = 1, y = 1.

Por lo tanto, la proposición «Para todo x, y reales, $ \mathrm{ (x+y)^2=x^2+y^2 } $» es FALSA.∎

Observación: Para refutar una proposición universal ( $\forall$ ), solo necesitamos un contraejemplo. La fórmula correcta es $ \mathrm{ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 } $. Este es un error algebraico muy común que se conoce como «olvidar el término medio».

Ejercicio 12

«La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional».

Tipo: Refutación por Contraejemplo

Solución

Paso 1: Analizar la proposición

La afirmación dice que para todos los números irracionales a y b, su suma a + b es irracional.

Formalmente: $ \mathrm{ \forall a,b \in \mathbb{R} ∖ \mathbb{Q}: (a+b) \in \mathbb{R} ∖ \mathbb{Q} } $ (nota: $ R ∖ Q $ significa los reales menos los racionales quedando los irracionales)

Paso 2: Encontrar un contraejemplo

Necesitamos dos números irracionales cuya suma sea racional.

Contraejemplo 1: Usando opuestos

Número	Valor	¿Irracional?
a	$ \sqrt{2} $	✓ Sí
b	$ – \sqrt{2} $	✓ Sí
a + b	$ \sqrt{2}+( -\sqrt{2} ) $	❌ Es racional

Verificación:

$ \sqrt{2} $ es irracional (demostrado clásicamente)
$ – \sqrt{2} $ es irracional (si fuera racional, $ \sqrt{2} = -(- \sqrt{2} ) $ sería racional)
$ \sqrt{2} + ( – \sqrt{2} ) = 0 $, y $ 0 $ es racional ( $ 0 = \frac{0}{1} $ )

Contraejemplo 2: Más elaborado

Número	Valor	¿Irracional?
a	$ 1 + \sqrt{2} $	✓ Sí
b	$ 1 – \sqrt{2} $	✓ Sí
a + b	$ ( 1 + \sqrt{2} ) + ( 1 – \sqrt{2} ) = 2 $	❌ Es racional

Paso 3: Conclusión

Hemos encontrado contraejemplos donde la suma de dos irracionales es racional.

Por lo tanto, la proposición «La suma de dos irracionales es siempre irracional» es FALSA.∎

Observación: Comparar con los Ejercicios 6 y 7 donde probamos que ℚ es cerrado bajo suma y producto. Los irracionales NO son cerrados bajo suma ni producto. Otro contraejemplo para el producto: $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 $ (racional).

Ejercicio 13

Si n² es par, entonces n es par.

Tipo: Demostración por Contraposición

Solución

Paso 1: Identificar la estructura

Proposición	Definición
p	n² es par
q	n es par
Afirmación	p → q
Contraposición	¬q → ¬p

Contraposición: Si n es impar, entonces n² es impar.

Paso 2: Demostrar la contraposición

Hipótesis: n es impar.

Por definición: n = 2k + 1 para algún k ∈ ℤ.

Paso	Expresión	Justificación
1	n² = (2k + 1)²	Sustitución
2	= 4k² + 4k + 1	Expansión
3	= 2(2k² + 2k) + 1	Factor común 2
4	Sea m = 2k² + 2k	m es entero
5	n² = 2m + 1	Forma de impar

Conclusión: n² es impar. ✓

Paso 3: Aplicar la equivalencia

Como demostramos ¬q → ¬p, y esto es equivalente a p → q:

Si $ \mathrm{ n^2 } $ es par, entonces $ \mathrm{ n } $ es par ∎

Observación: Esta propiedad se usa en la demostración clásica de que √2 es irracional. Es un ejemplo perfecto de cuándo la contraposición simplifica la demostración.

Ejercicio 14

Demostrar que para todo x, y ∈ ℝ: |xy| = |x| · |y|

Tipo: Demostración por Casos

Solución

Consideramos todos los casos posibles según los signos de x e y.

Caso 1: x ≥ 0 y y ≥ 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	xy ≥ 0	Producto de no negativos
2	\|xy\| = xy	Definición de valor absoluto
3	\|x\| = x, \|y\| = y	Definición (x, y ≥ 0)
4	\|x\| · \|y\| = xy	Sustitución
5	\|xy\| = \|x\| · \|y\|	De pasos 2 y 4 ✓

Caso 2: x ≥ 0 y y < 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	xy ≤ 0	Producto de signos opuestos
2	\|xy\| = −xy	Definición de valor absoluto
3	\|x\| = x, \|y\| = −y	Definiciones
4	$ \mathrm{ \|x\| · \|y\| = x · (−y) = −xy } $	Sustitución
5	\|xy\| = \|x\| · \|y\|	De pasos 2 y 4 ✓

Caso 3: x < 0 y y ≥ 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	xy ≤ 0	Producto de signos opuestos
2	\|xy\| = −xy	Definición
3	\|x\| = −x, \|y\| = y	Definiciones
4	$ \mathrm{ \|x\| · \|y\| = (−x) · y = −xy } $	Sustitución
5	\|xy\| = \|x\| · \|y\|	De pasos 2 y 4 ✓

Caso 4: x < 0 y y < 0

Paso	Afirmación	Justificación
1	xy > 0	Producto de negativos
2	\|xy\| = xy	Definición
3	\|x\| = −x, \|y\| = −y	Definiciones
4	$ \mathrm{ \|x\| · \|y\| = (−x)(−y) = xy } $	Sustitución
5	\|xy\| = \|x\| · \|y\|	De pasos 2 y 4 ✓

Conclusión

En todos los casos posibles: |xy| = |x| · |y| ∎

Observación: Esta propiedad es fundamental en análisis matemático. La demostración por casos es necesaria porque la definición del valor absoluto tiene dos ramas según el signo.

Ejercicio 15

Si n > 2, entonces no existe un entero m tal que n + m = nm.

Tipo: Demostración Directa

Solución

Paso 1: Despejar m de la ecuación

Paso	Expresión	Justificación
1	n + m = nm	Ecuación dada
2	n = nm − m	Restar m de ambos lados
3	n = m(n − 1)	Factor común m
4	m = n/(n − 1)	Despejar m (válido si n ≠ 1)

Paso 2: Analizar cuándo m es entero

Para que m = n/(n − 1) sea entero, (n − 1) debe dividir a n.

Reescribimos:

$m = \frac{n}{n - 1} = \frac{(n - 1) + 1}{n - 1} = 1 + \frac{1}{n - 1}$

Paso 3: Determinar cuándo 1/(n−1) es entero

Condición	Valor de n−1	Valor de n	¿Cumple n > 2?
1/(n−1) = 1	n − 1 = 1	n = 2	❌ No
1/(n−1) = −1	n − 1 = −1	n = 0	❌ No

Para n > 2: n − 1 > 1, entonces 0 < 1/(n−1) < 1.

Como 1/(n−1) no es entero para n > 2, entonces m tampoco es entero.

Conclusión

Si $ n > 2 $, no existe algún $ \mathrm{n} \in \mathbb{Z} $ tal que $ \mathrm{n+n=nm} $ ∎

Observación: Los únicos casos donde existe solución entera son n = 2 (con m = 2) y n = 0 (con m = 0). Pero estos están excluidos por la condición n > 2.

Ejercicio 16

Sean x e y reales positivos. Si xy < 5, entonces x < √5 ó y < √5.

Tipo: Demostración por Contraposición

Solución

Paso 1: Identificar la estructura

Proposición	Definición
p	xy < 5
q	x < √5 ∨ y < √5
Contraposición	¬q → ¬p

Contraposición: Si x ≥ √5 y y ≥ √5, entonces xy ≥ 5.

Paso 2: Demostrar la contraposición

Hipótesis: x ≥ √5 y y ≥ √5

Paso	Afirmación	Justificación
1	x ≥ √5	Hipótesis
2	y ≥ √5	Hipótesis
3	xy ≥ √5 · √5	Multiplicar desigualdades (x, y > 0)
4	xy ≥ 5	√5 · √5 = 5

Conclusión de la contraposición: xy ≥ 5, es decir, ¬(xy < 5). ✓

Paso 3: Aplicar la equivalencia

Como ¬q → ¬p es equivalente a p → q:

$Si x y < 5, entonces x < \sqrt{5} \overset{ˊ}{o} y < \sqrt{5}$

∎

Observación: Note cómo la negación de «x < √5 ∨ y < √5» es «x ≥ √5 ∧ y ≥ √5» (Ley de De Morgan). La contraposición convierte una disyunción en la conclusión en una conjunción en la hipótesis.

Ejercicio 17

Sean m y n enteros. Si mn es par, entonces m es par ó n es par.

Tipo: Demostración por Contraposición

Solución

Paso 1: Identificar la estructura

Proposición	Definición
p	mn es par
q	m es par ∨ n es par
Contraposición	¬q → ¬p

Contraposición: Si m es impar y n es impar, entonces mn es impar.

Paso 2: Demostrar la contraposición

Hipótesis: m es impar y n es impar.

Por definición:

m = 2a + 1 para algún a ∈ ℤ
n = 2b + 1 para algún b ∈ ℤ

Paso	Expresión	Justificación
1	mn = (2a + 1)(2b + 1)	Sustitución
2	= 4ab + 2a + 2b + 1	Expansión
3	= 2(2ab + a + b) + 1	Factor común 2
4	Sea k = 2ab + a + b	k es entero
5	mn = 2k + 1	Forma de impar

Conclusión: mn es impar. ✓

Paso 3: Aplicar la equivalencia, resulta:

Si mn es par, entonces m es par ó n es par. ∎

Observación: Este resultado es la «conversa» del hecho de que par × cualquier entero = par. Aquí demostramos: si el producto es par, al menos uno de los factores debe serlo.

Ejercicio 18

Si a es racional, $ a ≠ 0 $ y $ b $ es irracional, entonces ab es irracional.

Tipo: Demostración por Contradicción

Solución

Paso 1: Suponer lo contrario

Supongamos que ab es racional.

Paso 2: Establecer las hipótesis

$ \mathrm{a} $ es racional con $ \mathrm{a} ≠ 0 $: $ \mathrm{ a = \frac{p}{q} } $ donde $ \mathrm{ p, q } ∈ ℤ $, $ \mathrm{q} ≠ 0 $, $ \mathrm{p} ≠ 0 $
$ b $ es irracional
Suposición: $ \mathrm{ab} $ es racional, es decir, $ \mathrm{ ab = \frac{r}{s} } $ donde $ \mathrm{ r, s } ∈ ℤ $ , $ \mathrm{s} ≠ 0 $

Paso 3: Derivar una contradicción

Paso	Expresión	Justificación
1	ab = r/s	Suposición
2	b = (r/s) / a	Despejar b (válido pues a ≠ 0)
3	$ \mathrm{ b = (r/s) / (p/q) } $	Sustitución
4	b = (r/s) · (q/p)	División de fracciones
5	b = rq / sp	Multiplicación de fracciones

Análisis:

rq es entero (producto de enteros)
sp es entero (producto de enteros)
sp ≠ 0 (porque s ≠ 0 y p ≠ 0)

Por lo tanto, b = rq/sp es racional.

Paso 4: Contradicción

Esto contradice la hipótesis de que b es irracional.

Conclusión

Nuestra suposición (ab es racional) es falsa.

si $ \mathrm{a} \in \mathbb{Q}, a \neq 0, \mathrm{b} \notin \mathbb{Q} $, entonces $ \mathrm{ab} \notin \mathbb{Q} ∎ $

Observación: La condición a ≠ 0 es esencial. Si a = 0, entonces ab = 0 que es racional, sin importar si b es irracional.

Ejercicio 19

Demostrar que para todo n ≥ 1:

\[ \mathrm{ 1+2+3+…+n= \frac{n(n+1)}{2} } \]

Tipo: Demostración por Inducción

Solución

Estructura del método de inducción:

Paso	Descripción
Caso base	Verificar que la fórmula es verdadera para n = 1
Hipótesis inductiva	Suponer que la fórmula es verdadera para n = k
Paso inductivo	Demostrar que la fórmula es verdadera para n = k + 1

Paso 1: Caso Base (n = 1)

Lado izquierdo	Lado derecho	¿Iguales?
1	$ \frac{ 1(1+1) }{2} = \frac{ 1 \cdot 2 }{2} = \frac{2}{2} = 1 $	✓

El caso base se cumple.

Paso 2: Hipótesis Inductiva

Supongamos que la fórmula es verdadera para algún n = k, es decir:

$ \mathrm{ 1+2+3+…+k= \frac{ k(k+1) }{2} } $

Paso 3: Paso Inductivo (demostrar para n = k + 1)

Queremos probar que:

\[ \mathrm{ 1+2+3+ \dotsb + k + (k+1)= \frac{ (k+1)(k+2) }{2} } \]

Paso	Expresión	Justificación
1	$ \mathrm{ 1 + 2 + \ldots + k + (k+1) } $	Lado izquierdo para n = k+1
2	$ \mathrm{ = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) } $	Aplicando hipótesis inductiva
3	$ \mathrm{ = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} } $	Denominador común
4	$ \mathrm{ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} } $	Suma de fracciones
5	$ \mathrm{ = \frac{(k+1)(k + 2)}{2} } $	Factor común (k+1)
6	$ \mathrm{ = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} } $	Reescribir k+2 como (k+1)+1

Esta es exactamente la fórmula para n = k + 1. ✓

Conclusión

Por el Principio de Inducción Matemática:

\[ \mathrm{ \boxed{1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} ∎} } \]

Observación: Esta fórmula se conoce como la fórmula de Gauss. Cuenta la leyenda que Gauss la descubrió a los 7 años cuando su maestro pidió sumar los números del 1 al 100.

Ejercicio 20

«Para todo número entero $ n $, $ \mathrm{ n^2 + n + 41 } $ es un número primo».

Tipo: Refutación por Contraejemplo

Solución

Paso 1: Analizar la proposición

La afirmación dice que para todo entero n, el valor de $ \mathrm{ n^2 + n + 41 } $ es primo.

Esta es una proposición universal: $ \mathrm{ \forall n \in \mathbb{Z}: n^2 + n + 41 } $ es primo

Paso 2: Verificar algunos casos (aparentemente funciona)

n	$ n^2 + n + 41 $	¿Primo?
0	$ 0 + 0 + 41 = 41 $	✓ Sí
1	$ 1 + 1 + 41 = 43 $	✓ Sí
2	$ 4 + 2 + 41 = 47 $	✓ Sí
3	$ 9 + 3 + 41 = 53 $	✓ Sí
5	$ 25 + 5 + 41 = 71 $	✓ Sí
10	$ 100 + 10 + 41 = 151 $	✓ Sí
39	$ 1521 + 39 + 41 = 1601 $	✓ Sí

¡Parece que siempre funciona! Pero…

Paso 3: Encontrar el contraejemplo

Probemos con n = 40:

Paso	Cálculo	Resultado
1	$ n^2 = 40^2 $	1600
2	$ n = 40 $	40
3	$ n^2 + n + 41 $	$ 1600 + 40 + 41 = 1681 $
4	$ \sqrt{1681} $	41
5	$ 1681 = 41 \times 41 = 41^2 $	¡No es primo!

Verificación:

\[ 40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41^2 \]

Como $ 1681 = 41 \times 41 $, el número no es primo.

Paso 4: Conclusión

Hemos encontrado un contraejemplo: n = 40.

La proposición es FALSA ∎

Observación: Este es el famoso polinomio de Euler (1772). Genera números primos para n = 0, 1, 2, …, 39 (¡40 valores consecutivos!), pero falla en n = 40 y n = 41. Este ejemplo histórico demuestra por qué no podemos confiar en «muchos casos» para probar proposiciones universales.

Ejercicio 21

Para todo n ≥ 1, $ n^3 – n $ es divisible por 3.

Tipo: Demostración por Inducción

Solución

Paso 1: Caso Base (n = 1)

Cálculo	Resultado
$ n^3 – n = 1^3 – 1 $	$ 1 – 1 = 0 $
¿0 es divisible por 3?	Sí, $ 0 = 3 \times 0 $ ✓

El caso base se cumple.

Paso 2: Hipótesis Inductiva

Supongamos que para algún k ≥ 1:

$ k^3-k = 3m $ para algún $ m \in \mathbb{Z} $

Paso 3: Paso Inductivo (demostrar para n = k + 1)

Paso	Expresión	Justificación
1	$ (k+1)^3 – (k+1) $	Expresión a demostrar
2	$ = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 – k – 1 $	Expansión del cubo
3	$ = k^3 + 3k^2 + 3k – k $	Simplificación
4	$ = (k^3 – k) + 3k^2 + 3k $	Reagrupación
5	$ = (k^3 – k) + 3(k^2 + k) $	Factor común 3

Análisis de divisibilidad:

Término	¿Divisible por 3?	Justificación
$ k^3 – k $	✓ Sí	Hipótesis inductiva
$ 3(k^2 + k) $	✓ Sí	Tiene factor 3
Suma total	✓ Sí	Suma de múltiplos de 3

Conclusión

\[ \boxed{\forall n \geq 1: 3 \mid (n^3 – n) ∎ } \]

Observación: Alternativamente, $ n^3 – n = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1) $, que es el producto de tres enteros consecutivos. Entre tres consecutivos, siempre hay un múltiplo de 3.

Ejercicio 22

Demostrar que para todo n ≥ 1:

$ 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1} = 2^n – 1 $

Tipo: Demostración por Inducción

Solución

Esta es la suma de una serie geométrica con primer término 1 y razón 2.

Paso 1: Caso Base (n = 1)

Lado izquierdo	Lado derecho	¿Iguales?
$ 2^{1-1} = 2^0 = 1 $	$ 2^1 – 1 = 2 – 1 = 1 $	✓

Paso 2: Hipótesis Inductiva

Supongamos que para algún k ≥ 1:

\[ 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{k-1} = 2^k – 1 \]

Paso 3: Paso Inductivo

Paso	Expresión	Justificación
1	$ 1 + 2 + \ldots + 2^{k-1} + 2^k $	Para n = k+1
2	$ = (2^k – 1) + 2^k $	Hipótesis inductiva
3	$ = 2 \cdot 2^k – 1 $	Suma
4	$ = 2^{k+1} – 1 $	Propiedad de exponentes

Conclusión

\[ \boxed{1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1} = 2^n – 1 ∎} \]

Observación: Esta fórmula tiene aplicación en informática: representa el número máximo almacenable en n bits.

Ejercicio 23

Si c es un número impar, entonces la ecuación $ n² + n − c = 0 $ no tiene soluciones enteras.

Tipo: Demostración por Contradicción

Solución

Paso 1: Suponer lo contrario

Supongamos que existe un entero $ n $ tal que $ n² + n − c = 0 $.

Paso 2: Derivar consecuencias

De la ecuación:

\[ n^2 + n = c \]

Factorizamos el lado izquierdo:

\[ n(n + 1) = c \]

Paso 3: Analizar la paridad de $ n(n+1) $

Los números $ n $ y $ n+1 $ son enteros consecutivos.

Propiedad	Explicación
$ n $ y $ n+1 $ consecutivos	Uno es par, otro es impar
$ n(n+1) $	Producto de par × impar = par

Por lo tanto, $ n(n+1) $ siempre es par.

Paso 4: Llegar a la contradicción

Afirmación	Justificación
$ n(n+1) = c $	De la ecuación
$ n(n+1) $ es par	Producto de consecutivos
$ c $ es par	Igualdad

Pero la hipótesis dice que c es impar. ⚡ CONTRADICCIÓN ⚡

Conclusión

Nuestra suposición es falsa. Por lo tanto:

Si $ c $ es impar, $ n^2+n-c=0 $

∎

Observación: Este ejercicio usa el resultado del Ejercicio 9 (nivel básico): el producto de dos enteros consecutivos siempre es par. La estructura de contradicción es clara: suponemos que existe solución y llegamos a que un número impar es par.

Ejercicio 24

Demostrar que todo número natural mayor o igual a 7 es la suma de un múltiplo de 3 y un múltiplo de 4.

Tipo: Demostración por Inducción

Solución

Queremos probar: Para todo $ n ≥ 7 $, existen enteros no negativos a y b tales que $ n = 3a + 4b $.

Estructura de la inducción fuerte:

Paso	Descripción
Casos base	Verificar para n = 7, 8, 9
Hipótesis inductiva	Suponer verdadero para todo k con 7 ≤ k < n
Paso inductivo	Demostrar para n (usando algún k anterior)

Paso 1: Casos Base

n	Descomposición	Verificación
7	3(1) + 4(1)	3 + 4 = 7 ✓
8	3(0) + 4(2)	0 + 8 = 8 ✓
9	3(3) + 4(0)	9 + 0 = 9 ✓

Paso 2: Hipótesis Inductiva (Inducción Fuerte)

Supongamos que para todo k con $ 7 ≤ k < n $, se cumple que $ k = 3a + 4b $.

Paso 3: Paso Inductivo ($ n ≥ 10$)

Sea $n ≥ 10$. Consideramos $n − 3$:

Paso	Afirmación	Justificación
1	n ≥ 10	Hipótesis
2	n − 3 ≥ 7	Aritmética
3	n − 3 = 3a + 4b	Hipótesis inductiva
4	n = (n − 3) + 3	Aritmética
5	n = (3a + 4b) + 3	Sustitución
6	n = 3(a + 1) + 4b	Factor común

Conclusión

Por el Principio de Inducción Fuerte:

$ \forall n \geq 7: n=3a+4b $ para algunos $ a,b \geq 0 $ ∎

Observación: Este problema usa inducción fuerte porque necesitamos referirnos a n − 3 (no a n − 1). Los casos base 7, 8, 9 cubren los tres residuos posibles módulo 3, lo cual garantiza que el paso inductivo siempre funcione.

Resumen del Documento

A lo largo de este documento hemos desarrollado un total de 84 ejercicios resueltos de lógica proposicional, distribuidos en las siguientes secciones:

Sección	Tema	Ejercicios
I	Proposiciones y Conectivos Lógicos	17
II	Tablas de Verdad	12
III	Equivalencias Lógicas	11
IV	Reglas de Inferencia	8
V	Circuitos Lógicos	12
VI	Demostración Matemática	24
	TOTAL	84

Cada ejercicio incluye una solución detallada paso a paso, con justificaciones claras y observaciones que refuerzan los conceptos teóricos.

¿Qué sigue?

En el próximo capítulo abordaremos la Lógica de Cuantificadores (un tema dentro de Lógica de Predicados o Lógica de Primer Orden), donde exploraremos:

✅ Cuantificador Universal (∀): «Para todo…»
✅ Cuantificador Existencial (∃): «Existe al menos uno…»
✅ Predicados y funciones proposicionales
✅ Negación de proposiciones cuantificadas
✅ Reglas de inferencia para cuantificadores

Esta extensión de la lógica proposicional nos permitirá expresar y demostrar proposiciones sobre conjuntos completos de objetos, no solo sobre proposiciones individuales.