¿ Que es una correspondencia matemática?

En las publicaciones anteriores exploramos las relaciones binarias — como cuando decimos que un número «es menor que» otro — y las relaciones de equivalencia — como cuando agrupamos personas que «tienen la misma edad» —. Ambos conceptos operan generalmente dentro de un mismo conjunto, comparando elementos de la misma naturaleza entre sí. Ahora damos el paso siguiente hacia un concepto más amplio y potente: la correspondencia matemática.

Pero, ¿qué tiene de especial? Las matemáticas no solo comparan elementos entre sí. También necesitan vincular elementos de naturaleza completamente distinta: asignar una temperatura a cada ciudad, asociar un precio a cada producto, o emparejar cada estudiante con su calificación. Cuando la relación actúa como un puente entre dos conjuntos diferentes, estamos ante este tipo de vínculo formal.

La correspondencia es el concepto que conecta todo lo que ya sabemos sobre relaciones binarias con la idea de función — posiblemente la herramienta más importante de toda la matemática. En esta publicación construiremos ese puente paso a paso: desde la definición más general hasta los tipos especiales de correspondencia que dan lugar a otro concepto llamado «aplicación» y sus variantes como la inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Recordatorio: relación binaria y producto cartesiano

Antes de avanzar, repasemos brevemente los conceptos fundamentales de la publicación anterior de pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias:

Par ordenado. Un par ordenado \( (a, b) \) es una agrupación de dos elementos donde importa el orden. Dos pares son iguales si y solo si coinciden componente a componente:

\[ (a, b) = (c, d) \iff a = c \wedge b = d \]

Producto cartesiano. Dados dos conjuntos \( A \) y \( B \), el producto cartesiano \( A \times B \) es el conjunto de todos los pares ordenados posibles:

\[ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \wedge b \in B\} \]

Relación binaria. Una relación binaria \( R \) de \( A \) en \( B \) es cualquier subconjunto del producto cartesiano:

\[ R \subseteq A \times B \]

En relaciones binarias trabajamos principalmente con relaciones homogéneas — aquellas donde ambos conjuntos son el mismo (\( R \subseteq A \times A \)) — y estudiamos propiedades como reflexividad, simetría y transitividad.

Ahora daremos el paso siguiente: ¿qué ocurre cuando los conjuntos \( A \) y \( B \) son distintos?

Relaciones homogéneas vs. heterogéneas

Tipo	Definición	Ejemplo
Homogénea	\( R \subseteq A \times A \) — ambos conjuntos son el mismo	«\( x \) divide a \( y \)» en \( \mathbb{N} \)
Heterogénea	\( R \subseteq A \times B \) con \( A \neq B \) — conjuntos distintos	«el alumno \( x \) obtuvo la nota \( y \)»

En palabras simples: Una relación homogénea compara elementos del mismo tipo entre sí. Una relación heterogénea conecta elementos de mundos distintos — y a esas conexiones las llamamos correspondencias.

En la figura de la izquierda, la relación «divide a» actúa dentro de un mismo conjunto de números: cada flecha indica que el número de origen divide al número de destino. Por ejemplo, la flecha de \( 1 \) a \( 2 \) significa que \( 1 \) divide a \( 2 \), la flecha de \( 3 \) a \( 6 \) indica que \( 3 \) divide a \( 6 \), y la de \( 2 \) a \( 6 \) indica que \( 2 \) divide a \( 6 \). En la derecha, la correspondencia conecta dos conjuntos de naturaleza distinta: alumnos con sus notas.

Nota. Una relación homogénea \( R \subseteq A \times A \) también puede tratarse como heterogénea si la analizamos desde la perspectiva de correspondencia. Basta considerar que el «conjunto inicial» y el «conjunto final» son copias conceptualmente distintas de \( A \).

Correspondencia: definición y componentes

Definición formal

Una correspondencia es una relación binaria heterogénea entre dos conjuntos \( A \) y \( B \) que asocia elementos del primero con elementos del segundo según una regla o condición específica.

Formalmente, dada una relación \( R \) de \( A \) en \( B \):

\[ R = \{(x, y) \in A \times B \mid P(x, y)\} \]

donde \( P(x, y) \) es una proposición (la regla de correspondencia o axioma de comprensión) que determina qué pares pertenecen a la relación.

Intuición. Del total de combinaciones posibles \( A \times B \), la correspondencia selecciona solo aquellas que satisfacen la condición \( P(x, y) \). Es como un filtro que, de todas las flechas imaginables entre los dos conjuntos, conserva solo las que tienen sentido según la regla establecida. Esto implica que \( R \subseteq A \times B \).

Ejemplo. Sean \( A = \{2, 3, 5\} \) y \( B = \{4, 6, 9, 10, 25\} \). Definimos la correspondencia:

\[ R = \{(x, y) \in A \times B \mid y = x^2\} \]

Aquí \( P(x, y) \) es la proposición «\( y \) es el cuadrado de \( x \)». Evaluando:

\( x \in A \)	\( x^2 \)	\( ¿x^2 \in B? \)	Par en \( R \)
2	4	Sí	\( (2, 4) \)
3	9	Sí	\( (3, 9) \)
5	25	Sí	\( (5, 25) \)

Entonces \( R = \{(2, 4),\ (3, 9),\ (5, 25)\} \).

Notación

Para indicar que \( R \) es una correspondencia de \( A \) en \( B \), en lugar de expresarlo como \( R \subseteq A \times B \), se escribe de la siguiente manera:

\[ R: A \rightarrow B \]

Y se lee «\( R \) es una correspondencia de \( A \) en \( B \)». Si \( (x, y) \in R \), decimos que:

• \( y \) es una imagen de \( x \) mediante \( R \).
• \( x \) es un origen (o preimagen) de \( y \) mediante \( R \).

Ejemplos de notación:

Notación	Equivalente	Lectura	Significado
\( R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} \)	\( R \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{N} \)	«\( R \) de los reales en los naturales»	La correspondencia toma elementos de \( \mathbb{R} \) y los asocia con elementos de \( \mathbb{N} \)
\( R: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)	\( R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)	«\( R \) de los naturales en los naturales»	La correspondencia opera dentro de los naturales (conjunto inicial y final coinciden)
\( R: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)	\( R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{R} \)	«\( R \) de los naturales en los reales»	La correspondencia toma naturales y los asocia con reales
\( R: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \)	\( R \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{R} \)	«\( R \) de los racionales en los reales»	La correspondencia toma números fraccionarios y los asocia con reales

Nota. El orden importa: \( R: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \) y \( R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N} \) son correspondencias distintas aunque involucren los mismos conjuntos, porque el sentido de la asociación es diferente.

Definición de dominio y rango de una correspondencia

Dada una correspondencia \( R: A \rightarrow B \), se definen:

\[ \text{Dom}(R) = \{x \in A \mid \exists y \in B,\ (x, y) \in R\} \]

\[ \text{Ran}(R) = \{y \in B \mid \exists x \in A,\ (x, y) \in R\} \]

El dominio es el conjunto de todos los elementos de \( A \) que tienen al menos una imagen en \( B \). El rango es el conjunto de todos los elementos de \( B \) que son imagen de al menos un elemento de \( A \).

Componentes de una correspondencia

Componente	Notación	Definición	Descripción
Conjunto inicial	\( A \)	\( x \in A \)	Todos los elementos que podrían tener imagen
Conjunto final	\( B \)	\( y \in B \)	Todos los elementos que podrían ser imagen
Dominio	\( \text{Dom}(R) \)	\( \{x \in A \mid \exists y \in B,\ (x,y) \in R\} \)	Elementos de \( A \) que efectivamente tienen imagen
Rango (imagen)	\( \text{Ran}(R) \)	\( \{y \in B \mid \exists x \in A,\ (x,y) \in R\} \)	Elementos de \( B \) que efectivamente son imagen de alguien

En palabras simples: El conjunto inicial es el «universo de candidatos» a tener imagen. El dominio es el subconjunto de candidatos que sí participan en la correspondencia. Lo mismo ocurre del lado derecho: el conjunto final es el universo, y el rango son los que efectivamente reciben una flecha.

Siempre se cumple que:

\[ \text{Dom}(R) \subseteq A \qquad \text{y} \qquad \text{Ran}(R) \subseteq B \]

En el ejemplo, \( \text{Dom}(R) = \{2, 3, 5\} \) (todos participan, porque todos tienen un cuadrado en \( B \)), mientras que \( 7 \in A \) queda fuera del dominio (\( 7^2 = 49 \notin B \)). Del lado de \( B \), el rango es \( \{4, 9, 25\} \), mientras que \( 6 \) y \( 10 \) no son imagen de ningún elemento de \( A \).

Herramientas de representación

La abstracción de una correspondencia puede parecer compleja al principio. Para facilitar su comprensión, las matemáticas emplean tres herramientas principales de representación.

Diagrama sagital

El diagrama sagital (o diagrama de flechas) es la herramienta visual más intuitiva. Su nombre viene del uso de flechas (saetas) para materializar los vínculos entre elementos.

Construcción:

1. Se dibujan dos óvalos: uno para el conjunto inicial \( A \) y otro para el conjunto final \( B \)
2. Se colocan los elementos dentro de cada óvalo
3. Para cada par \( (x, y) \in R \), se traza una flecha desde \( x \) hasta \( y \)

Ejemplo. Sea \( A = \{a, b, c, d\} \), \( B = \{1, 2, 3\} \) y la correspondencia:

\[ R = \{(a, 1),\ (b, 2),\ (b, 3),\ (d, 2)\} \]

Observa que:

• El elemento \( c \) no tiene ninguna flecha — no pertenece al dominio
• El elemento \( b \) tiene dos flechas — tiene dos imágenes distintas
• Los elementos \( b \) y \( d \) comparten la imagen \( 2 \) — el \( 2 \) tiene dos orígenes

La ventaja del diagrama sagital es que con una simple mirada puedes evaluar el comportamiento completo de la correspondencia: quién tiene imagen, quién no, quién tiene varias, quién es imagen de varios orígenes.

Diagrama cartesiano

Para correspondencias entre conjuntos numéricos, el diagrama cartesiano traslada la relación a un plano bidimensional:

• Los elementos de \( A \) se distribuyen en el eje horizontal (abscisas)
• Los elementos de \( B \) se distribuyen en el eje vertical (ordenadas)
• Cada par \( (x, y) \in R \) se marca como un punto en el plano

Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{2, 4, 6, 8\} \) y la correspondencia \( R: A \rightarrow B \) definida por \( y = 2x \):

Esta representación es especialmente útil cuando trabajamos con funciones continuas, porque permite observar tendencias, simetrías y comportamientos gráficos.

Nota. Para correspondencias con conjuntos numéricos continuos (como \( \mathbb{R} \)), los puntos aislados se convierten en curvas. En el estudio de funciones reales, el plano cartesiano permite aplicar la «prueba de la línea vertical»: una correspondencia es función si toda recta vertical corta a la gráfica en a lo sumo un punto.

Representación matricial

Cuando ambos conjuntos son finitos, cualquier correspondencia puede codificarse como una matriz booleana (o matriz de adyacencia):

• Las filas representan los elementos del conjunto inicial \( A \)
• Las columnas representan los elementos del conjunto final \( B \)
• Cada celda contiene V (verdadero) si el par pertenece a \( R \), o F (falso) si no

Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{1, 2, 3\} \) y la correspondencia definida por «\( x \) es estrictamente menor que \( y \)» (\( x < y \)):

\[ R = \{(1, 2),\ (1, 3),\ (2, 3)\} \]

\( A \downarrow \setminus B \rightarrow \)	1	2	3
1	F	V	V
2	F	F	V
3	F	F	F

La lectura es directa:

• La fila del \( 1 \) tiene dos V → el 1 se relaciona con el 2 y el 3 (porque \( 1 < 2 \) y \( 1 < 3 \))
• La fila del \( 3 \) tiene solo F → el 3 no es menor que ningún elemento de \( B \)
• La diagonal principal tiene solo F → ningún elemento es menor que sí mismo (la relación es irreflexiva)

Intuición. La representación matricial elimina la ambigüedad visual que a veces aparece en los diagramas sagitales con muchas flechas cruzadas. Además, permite que los sistemas computacionales procesen las relaciones mediante operaciones algebraicas sobre matrices booleanas.

Otro ejemplo. Sea \( A = \{2, 3, 6\} \), \( B = \{2, 3, 6\} \) y la correspondencia «\( x \) divide a \( y \)»:

\( A \downarrow \setminus B \rightarrow \)	2	3	6
2	V	F	V
3	F	V	V
6	F	F	V

Observa que la diagonal principal tiene solo V (todo número divide a sí mismo) y que la fila del \( 6 \) solo tiene una V en la columna del \( 6 \), pues \( 6 \) no divide a \( 2 \) ni a \( 3 \).

Las cuatro condiciones fundamentales

Dada una correspondencia \( R: A \rightarrow B \), su comportamiento se describe completamente mediante cuatro condiciones independientes. Cada una evalúa un aspecto distinto de cómo se conectan los elementos entre los dos conjuntos.

Estas condiciones son la clave para clasificar las correspondencias — y para entender qué hace especial a una función.

Condición 1: Existencia de imagen (e.i.)

La condición de existencia de imagen garantiza que todo elemento del conjunto inicial \( A \) tiene al menos una imagen en \( B \). Ningún elemento de \( A \) queda «suelto».

\[ \forall a \in A,\ \exists b \in B : (a, b) \in R \]

En palabras simples: «Todos los del lado izquierdo lanzan al menos una flecha.» No hay elementos huérfanos en \( A \).

Cuando se cumple esta condición, el dominio coincide con todo el conjunto inicial:

\[ \text{Dom}(R) = A \]

Condición 2: Unicidad de imagen (u.i.)

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos de \( A \) que tienen imagen, tienen una sola. No se permiten «bifurcaciones» desde un mismo origen.

\[ \big((a, b_1) \in R \wedge (a, b_2) \in R\big) \implies b_1 = b_2 \]

En palabras simples: «Ningún elemento del lado izquierdo tiene más de una flecha saliente.» Algunos pueden no tener flecha, pero ninguno puede tener dos.

Condición 3: Existencia de origen (e.o.)

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento del conjunto final \( B \) es imagen de al menos un elemento de \( A \). Ningún elemento de \( B \) queda sin «recibir» una flecha.

\[ \forall b \in B,\ \exists a \in A : (a, b) \in R \]

En palabras simples: «Todos los del lado derecho reciben al menos una flecha.» El rango coincide con todo el conjunto final:

Condición 4: Unicidad de origen (u.o.)

La condición de unicidad de origen garantiza que los elementos de \( B \) que son imagen, lo son de un solo elemento de \( A \). No se permiten «convergencias» hacia un mismo destino.

\[ \big((a_1, b) \in R \wedge (a_2, b) \in R\big) \implies a_1 = a_2 \]

En palabras simples: «Ningún elemento del lado derecho recibe más de una flecha.» Algunos pueden no recibir flecha, pero ninguno puede recibir dos.

Resumen de las cuatro condiciones

Condición	Abreviatura	Qué evalúa	Fórmula
Existencia de imagen	e.i.	¿Todos en \( A \) tienen imagen?	\( \forall a \in A,\ \exists b \in B : (a,b) \in R \)
Unicidad de imagen	u.i.	¿Los que tienen imagen, tienen solo una?	\( (a,b_1) \in R \wedge (a,b_2) \in R \implies b_1 = b_2 \)
Existencia de origen	e.o.	¿Todos en \( B \) tienen origen?	\( \forall b \in B,\ \exists a \in A : (a,b) \in R \)
Unicidad de origen	u.o.	¿Los que tienen origen, tienen solo uno?	\( (a_1,b) \in R \wedge (a_2,b) \in R \implies a_1 = a_2 \)

Intuición. Las cuatro condiciones son independientes entre sí: cumplir una no implica cumplir otra. Esto genera \( 2^4 = 16 \) combinaciones posibles. Las más importantes reciben nombres especiales, que estudiaremos a continuación.

Observa la simetría: las dos primeras condiciones (e.i. y u.i.) hablan del conjunto inicial \( A \), y las dos últimas (e.o. y u.o.) hablan del conjunto final \( B \). Además, «existencia» significa «al menos uno» y «unicidad» significa «a lo sumo uno».

Cuando se cumplen ambas condiciones sobre el mismo lado, obtenemos «exactamente uno»:

Combinación	Resultado
e.i. + u.i.	Todo elemento de \( A \) tiene exactamente una imagen
e.o. + u.o.	Todo elemento de \( B \) tiene exactamente un origen

Clasificación de correspondencias

Las cuatro condiciones fundamentales permiten clasificar las correspondencias en tipos específicos según cuáles se cumplen. Cada tipo tiene un nombre y un significado preciso.

Correspondencia multívoca

Una correspondencia es multívoca cuando no cumple la unicidad de imagen: existe al menos un elemento de \( A \) con dos o más imágenes distintas.

Es decir, no se cumple la unicidad de imagen: algún elemento de \( A \) tiene más de una flecha saliente.

\[ \exists a \in A : a \text{ tiene dos o más imágenes distintas en } B \]

Ejemplo. \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{a, b, c\} \), \( R = \{(1, a),\ (1, b),\ (2, c)\} \).

El elemento \( 1 \) tiene dos imágenes: \( a \) y \( b \). La correspondencia es multívoca.

Correspondencia unívoca

Una correspondencia es unívoca cuando cumple la unicidad de imagen (u.i.). Los elementos que tienen imagen, tienen una sola.

Condición	Estado
u.i.	✓

Ejemplo. \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{a, b, c\} \), \( R = \{(1, a),\ (3, b)\} \).

Aquí \( 1 \) tiene una sola imagen (\( a \)) y \( 3 \) tiene una sola imagen (\( b \)). El \( 2 \) no tiene imagen — pero eso está permitido, porque u.i. solo exige que los que sí tienen imagen tengan una sola.

Nota. La correspondencia unívoca es la base sobre la cual se construye el concepto de función. Toda función es, como mínimo, una correspondencia unívoca.

Correspondencia biunívoca

Una correspondencia es biunívoca cuando cumple simultáneamente la unicidad de imagen (u.i.) y la unicidad de origen (u.o.).

Condición	Estado
u.i.	✓
u.o.	✓

Esto significa que los vínculos son «uno a uno»: cada elemento que tiene imagen tiene una sola, y cada elemento que es imagen lo es de un solo origen.

Ejemplo. \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{a, b, c, d\} \), \( R = \{(1, c),\ (3, a)\} \).

Función parcial (u.i. sin e.i.)

Algunos autores clásicos usan el término «función» para designar una correspondencia que cumple solo la unicidad de imagen (u.i.) — sin exigir que todos los elementos de \( A \) tengan imagen.

En la terminología moderna, esto se denomina función parcial: una regla que asigna a cada elemento del dominio una única imagen, pero cuyo dominio puede ser un subconjunto propio de \( A \).

Condición	Estado
u.i.	✓
e.i.	✗ (puede fallar)

\[ f \subseteq A \times B \qquad \text{con} \qquad (x,y) \in f \wedge (x,z) \in f \implies y = z \]

En palabras simples: Una función parcial es una correspondencia unívoca donde no todos los elementos de \( A \) participan necesariamente.

Ejemplo. Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{a, b, c\} \). La relación \( f = \{(1, a),\ (2, c),\ (4, b)\} \) cumple u.i. (cada elemento que tiene imagen tiene una sola), pero no cumple e.i. porque \( 3 \in A \) no tiene imagen. Luego \( f \) es una función parcial.

Aplicación o función (u.i. + e.i.)

Una correspondencia \( f: A \rightarrow B \) se denomina aplicación (o función total, o simplemente función) cuando todo elemento de \( A \) tiene asignada una única imagen en \( B \). Esto requiere cumplir simultáneamente la unicidad de imagen y la existencia de imagen.

Condición	Estado
u.i.	✓
e.i.	✓

Formalmente:

\[ \forall x \in A,\ \exists ! y \in B : y = f(x) \]

que se lee «para todo \( x \) en \( A \), existe un único \( y \) en \( B \) tal que \( y = f(x) \)».

En palabras simples: Una aplicación es una correspondencia donde de cada elemento de \( A \) sale exactamente una flecha.

La notación estándar es:

\[ f: A \rightarrow B \quad \text{definida por} \quad y = f(x) \]

donde \( x \) se llama variable independiente (o argumento), \( y \) se llama variable dependiente (o valor), y \( f(x) \) denota «la imagen de \( x \) mediante \( f \)».

Ejemplo. Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \) con \( f(x) = 2x \):

\[ f = \{(1, 2),\ (2, 4),\ (3, 6),\ (4, 8)\} \]

Todo elemento de \( A \) tiene exactamente una imagen → \( f \) es una aplicación. Nota que \( 10 \in B \) no es imagen de nadie, pero eso no impide que sea aplicación (la e.o. no se exige).

Nota terminológica. En muchos libros de texto los términos «función» y «aplicación» se usan como sinónimos. Cuando los conjuntos \( A \) y \( B \) son numéricos, se suele preferir el término función. Cuando son abstractos (conjuntos de puntos, espacios vectoriales, etc.), se prefiere aplicación. En inglés, «function» y «map» son los equivalentes. En esta publicación los usaremos indistintamente.

Aplicación inyectiva (u.i. + e.i. + u.o.)

Una aplicación es inyectiva cuando, además de ser función, cumple la unicidad de origen: elementos distintos de \( A \) producen imágenes distintas en \( B \).

Condición	Estado
u.i.	✓
e.i.	✓
u.o.	✓

Formalmente:

\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

o equivalentemente (por contrarrecíproco):

\[ x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) \]

En palabras simples: «Orígenes distintos siempre van a destinos distintos.» No hay dos flechas que lleguen al mismo punto.

Ejemplo 1. Sea \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) definida por \( f(x) = 2x + 3 \).

Demostración de inyectividad: Sean \( x_1, x_2 \in \mathbb{N} \) tales que \( f(x_1) = f(x_2) \):

\[ 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2 \]

Por tanto, \( f \) es inyectiva. ✓

Ejemplo 2. Sea \( g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N} \) definida por \( g(x) = x^2 – 1 \).

Si \( g(x_1) = g(x_2) \), entonces \( x_1^2 – 1 = x_2^2 – 1 \), lo que implica \( x_1^2 = x_2^2 \), es decir \( x_1 = x_2 \) o \( x_1 = -x_2 \). Como no podemos concluir que necesariamente \( x_1 = x_2 \), \( g \) no es inyectiva. ✗

Nota gráfica. En el plano cartesiano, una función es inyectiva si y solo si toda recta horizontal corta a la gráfica en a lo sumo un punto.

Aplicación sobreyectiva (u.i. + e.i. + e.o.)

Una aplicación es sobreyectiva (o suryectiva, o exhaustiva) cuando cumple la existencia de origen: todo elemento de \( B \) es imagen de al menos un elemento de \( A \).

Condición	Estado
u.i.	✓
e.i.	✓
e.o.	✓

Formalmente:

\[ \forall y \in B,\ \exists x \in A : f(x) = y \qquad \text{es decir} \qquad \text{Ran}(f) = B \]

En palabras simples: «Todos los del lado derecho reciben al menos una flecha.» No quedan elementos huérfanos en \( B \).

Ejemplo 1. Sea \( A = \{1, 2, 3, 4\} \), \( B = \{1, 3, 5, 7\} \) y \( g = \{(1, 3),\ (2, 1),\ (3, 5),\ (4, 7)\} \).

\( \text{Ran}(g) = \{1, 3, 5, 7\} = B \). Todo elemento de \( B \) es imagen → \( g \) es sobreyectiva. ✓

Ejemplo 2. Sea \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) definida por \( f(x) = 2x \).

\( \text{Ran}(f) = \{2, 4, 6, \ldots\} \neq \mathbb{N} \) (los impares no son imagen de nadie). Luego \( f \) no es sobreyectiva. ✗

Aplicación biyectiva (las 4 condiciones)

Una aplicación es biyectiva (o biyección) cuando es simultáneamente inyectiva y sobreyectiva. Esto significa que cumple las cuatro condiciones fundamentales.

Condición	Estado
u.i.	✓
e.i.	✓
u.o.	✓
e.o.	✓

En palabras simples: Cada elemento de \( A \) tiene exactamente una imagen, cada elemento de \( B \) tiene exactamente un origen. Es un emparejamiento perfecto «uno a uno y sobre».

Esto implica que, para conjuntos finitos, una biyección solo es posible cuando \( A \) y \( B \) tienen el mismo número de elementos (la misma cardinalidad).

Ejemplo. Sea \( B = \{y \mid y = 2n,\ n \in \mathbb{N}\} \) (los naturales pares) y \( f: \mathbb{N} \rightarrow B \) definida por \( f(x) = 2x \).

1. Inyectividad: Si \( f(x_1) = f(x_2) \), entonces \( 2x_1 = 2x_2 \), luego \( x_1 = x_2 \). ✓
2. Sobreyectividad: Dado \( y \in B \), como \( y \) es par, existe \( x = y/2 \in \mathbb{N} \) tal que \( f(x) = 2(y/2) = y \). ✓

Siendo inyectiva y sobreyectiva, \( f \) es biyectiva. ✓

Nota. ¡Este ejemplo demuestra que los naturales y los naturales pares tienen la misma cantidad de elementos! Parece paradójico (los pares son «la mitad» de los naturales), pero la biyección lo confirma. Esta es una de las sorpresas de los conjuntos infinitos, descubierta por Cantor. De hecho, fue precisamente el estudio de los distintos «tamaños» de infinito lo que llevó a Cantor a crear la teoría de conjuntos — la base sobre la cual se construyen todas las matemáticas modernas. Para más información, puedes consultar nuestro artículo sobre el origen de la teoría de conjuntos.

Tabla resumen de clasificación

La siguiente tabla condensa la clasificación completa:

Tipo de correspondencia	u.i.	e.i.	u.o.	e.o.	Descripción
Correspondencia general	—	—	—	—	Sin restricciones
Multívoca	✗	—	—	—	Al menos un elemento tiene múltiples imágenes
Unívoca	✓	—	—	—	Cada origen que participa tiene una sola imagen
Biunívoca	✓	—	✓	—	Uno a uno (sin exigir totalidad)
Función parcial	✓	✗	—	—	Unívoca pero no todos participan
Aplicación (función)	✓	✓	—	—	Todos participan con imagen única
Apl. inyectiva	✓	✓	✓	—	Función + orígenes distintos → imágenes distintas
Apl. sobreyectiva	✓	✓	—	✓	Función + todo en \( B \) es imagen
Apl. biyectiva	✓	✓	✓	✓	Emparejamiento perfecto

Nota. Recordemos que las cuatro condiciones generan \( 2^4 = 16 \) combinaciones posibles. La tabla anterior recoge solo las que reciben nombres estándar en matemáticas. Las combinaciones restantes (por ejemplo, solo e.i., solo e.o., o e.i. + e.o. sin unicidad) son correspondencias válidas, pero no suelen recibir nombres especiales porque el interés principal se centra en las correspondencias que involucran unicidad de imagen (u.i.), ya que estas conducen al concepto de función.

Composición de correspondencias

Las correspondencias no son estructuras estáticas: pueden combinarse entre sí para generar nuevas conexiones. La operación que permite hacer esto se llama composición.

Definición

Sean dos correspondencias \( R_1: A \rightarrow B \) y \( R_2: B \rightarrow C \). La composición de \( R_1 \) con \( R_2 \), denotada \( R_2 \circ R_1 \), es la correspondencia de \( A \) en \( C \) definida por:

\[ R_2 \circ R_1 = \{(x, z) \in A \times C \mid \exists y \in B : (x, y) \in R_1 \wedge (y, z) \in R_2\} \]

En palabras simples: La composición es un «atajo lógico». En lugar de ir de \( A \) a \( B \) y luego de \( B \) a \( C \), conectas directamente \( A \) con \( C \) encadenando ambas reglas. Si \( x \) se relaciona con \( y \) mediante \( R_1 \), y \( y \) se relaciona con \( z \) mediante \( R_2 \), entonces \( x \) se relaciona con \( z \) mediante \( R_2 \circ R_1 \).

Cuando ambas correspondencias son funciones (cumplen e.i. + u.i.), la composición se simplifica a la notación más habitual:

\[ (g \circ f)(x) = g\big[f(x)\big] \]

y el resultado también es una función.

Nota importante sobre la lectura. En la notación \( g \circ f \), se lee «\( f \) compuesto con \( g \)». La evaluación se hace de derecha a izquierda: primero se aplica \( f \) (la de la derecha) y luego \( g \) (la de la izquierda).

Requisito de compatibilidad

Para que la composición \( R_2 \circ R_1 \) sea posible, el rango de \( R_1 \) debe tener intersección no vacía con el dominio de \( R_2 \):

\[ \text{Ran}(R_1) \cap \text{Dom}(R_2) \neq \emptyset \]

Si \( R_1: A \rightarrow B \) y \( R_2: B \rightarrow C \), el requisito se cumple naturalmente porque la salida de \( R_1 \) cae en \( B \), que es precisamente la entrada de \( R_2 \).

Ejemplo con pares ordenados

Sean las correspondencias:

\[ R_1 = \{(-2, 0),\ (-1, -4),\ (3, 1),\ (5, 2)\} \] \[ R_2 = \{(-2, -1),\ (0, 3),\ (1, 4),\ (2, 0),\ (4, 5)\} \]

Para hallar \( R_2 \circ R_1 \), encadenamos: para cada par \( (x, y) \in R_1 \), buscamos \( (y, z) \in R_2 \) y formamos \( (x, z) \).

\( x \)	\( y \) en \( R_1 \)	\( z \) en \( R_2 \)	Par en \( R_2 \circ R_1 \)
\( -2 \)	\( 0 \)	\( (0, 3) \in R_2 \Rightarrow 3 \)	\( (-2, 3) \)
\( 3 \)	\( 1 \)	\( (1, 4) \in R_2 \Rightarrow 4 \)	\( (3, 4) \)
\( 5 \)	\( 2 \)	\( (2, 0) \in R_2 \Rightarrow 0 \)	\( (5, 0) \)

Nota: \( (-1, -4) \in R_1 \), pero no existe ningún par \( (-4, z) \in R_2 \), así que \( -1 \) no pertenece al dominio de \( R_2 \circ R_1 \).

\[ R_2 \circ R_1 = \{ (-2, 3),\ (3, 4),\ (5, 0) \} \]

Ejemplo con fórmulas (caso particular: funciones)

Cuando las correspondencias son funciones, la composición puede calcularse sustituyendo fórmulas directamente. Veamos un ejemplo.

Sean \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) con \( f(x) = x + 3 \) y \( g: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) con \( g(x) = 2x \).

Recordemos que la notación \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) significa que \( f \) es una correspondencia que toma elementos de los racionales y los asocia con elementos de los racionales — equivalente a escribir \( f \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \).

Recordatorio de notación. La expresión \( (g \circ f)(x) \) se lee «\( g \) compuesto con \( f \) evaluado en \( x \)». Se evalúa de derecha a izquierda: primero se aplica \( f \) y al resultado se le aplica \( g \).

\[ (g \circ f)(x) = g\big[f(x)\big] \]

Hallar \( g \circ f \):

Paso 1: Aplicamos primero \( f \) a \( x \):

\[ f(x) = x + 3 \]

Paso 2: Al resultado le aplicamos \( g \):

\[ g\big[f(x)\big] = g(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6 \]

Por lo tanto:

\[ (g \circ f)(x) = 2x + 6 \]

Hallar \( f \circ g \):

Ahora invertimos el orden: primero \( g \) y luego \( f \).

Paso 1: Aplicamos primero \( g \) a \( x \):

\[ g(x) = 2x \]

Paso 2: Al resultado le aplicamos \( f \):

\[ f\big[g(x)\big] = f(2x) = 2x + 3 \]

Por lo tanto:

\[ (f \circ g)(x) = 2x + 3 \]

Comparación:

	Resultado
\( (g \circ f)(x) \)	\( 2x + 6 \)
\( (f \circ g)(x) \)	\( 2x + 3 \)

Como \( 2x + 6 \neq 2x + 3 \), queda demostrado que \( g \circ f \neq f \circ g \).

Observación clave. En general, la composición de correspondencias no es conmutativa — el orden en que se aplican cambia el resultado.

Propiedades de la composición

Propiedad	Enunciado	Descripción
Asociatividad	\( (R_3 \circ R_2) \circ R_1 = R_3 \circ (R_2 \circ R_1) \)	El agrupamiento no altera el resultado
No conmutatividad	\( R_2 \circ R_1 \neq R_1 \circ R_2 \) (en general)	El orden sí importa
Elemento neutro	\( R \circ I_A = R \) y \( I_B \circ R = R \)	La identidad no cambia nada

donde \( I_A: A \rightarrow A \) es la correspondencia identidad, definida por \( I_A = \{(x, x) \mid x \in A\} \).

Intuición. La asociatividad dice que si tienes tres correspondencias encadenadas \( A \xrightarrow{R_1} B \xrightarrow{R_2} C \xrightarrow{R_3} D \), puedes calcular el resultado agrupando como quieras: primero \( R_2 \circ R_1 \) y luego \( R_3 \), o primero \( R_3 \circ R_2 \) y luego componer con \( R_1 \). El resultado final es el mismo.

Demostración de la asociatividad. Sean \( R_1: A \rightarrow B \), \( R_2: B \rightarrow C \) y \( R_3: C \rightarrow D \). Para todo \( (x, w) \):

\[ (x, w) \in (R_3 \circ R_2) \circ R_1 \iff \exists y \in B : (x, y) \in R_1 \wedge (y, w) \in R_3 \circ R_2 \] \[ \iff \exists y \in B,\ \exists z \in C : (x, y) \in R_1 \wedge (y, z) \in R_2 \wedge (z, w) \in R_3 \]

\[ (x, w) \in R_3 \circ (R_2 \circ R_1) \iff \exists z \in C : (x, z) \in R_2 \circ R_1 \wedge (z, w) \in R_3 \] \[ \iff \exists y \in B,\ \exists z \in C : (x, y) \in R_1 \wedge (y, z) \in R_2 \wedge (z, w) \in R_3 \]

Ambas expresiones producen la misma condición, luego \( (R_3 \circ R_2) \circ R_1 = R_3 \circ (R_2 \circ R_1) \). ∎

Las demostraciones de las demás propiedades siguen un razonamiento similar y se dejan como ejercicio para el lector.

¿La composición conserva el tipo de correspondencia?

Una pregunta natural es: si componemos dos correspondencias del mismo tipo, ¿el resultado mantiene ese tipo? Analicemos cada condición individual bajo composición \( R_2 \circ R_1 \):

Condición	¿Se conserva?	Razón
u.i. (unicidad de imagen)	✓ Siempre	Si \( x \) tiene imagen única \( y \) por \( R_1 \), y \( y \) tiene imagen única \( z \) por \( R_2 \), entonces \( x \) tiene imagen única \( z \)
e.i. (existencia de imagen)	✓ Siempre	Si todo \( x \in A \) llega a algún \( y \in B \), y todo \( y \in B \) llega a algún \( z \in C \), la cadena no se rompe
u.o. (unicidad de origen)	✓ Siempre	Si dos \( x \) distintos llegan al mismo \( z \), por u.o. de \( R_2 \) pasaron por el mismo \( y \), y por u.o. de \( R_1 \) son el mismo \( x \)
e.o. (existencia de origen)	✓ Siempre	Si todo \( z \in C \) tiene origen \( y \) por \( R_2 \), y ese \( y \) tiene origen \( x \) por \( R_1 \), entonces todo \( z \) tiene origen \( x \)

Intuición. Las cuatro condiciones positivas (✓) se conservan bajo composición. Esto significa que los tipos definidos por condiciones positivas siempre conservan su tipo al componer dos correspondencias iguales.

Esto nos da la tabla completa:

Tipo	¿Conserva bajo composición?
Correspondencia general	✓ Siempre (trivialmente)
Multívoca	✗ No siempre
Unívoca	✓ Siempre
Biunívoca	✓ Siempre
Función parcial	✓ Siempre
Función	✓ Siempre
Apl. inyectiva	✓ Siempre
Apl. sobreyectiva	✓ Siempre
Apl. biyectiva	✓ Siempre

Nota. La multívoca es la única que no conserva su tipo. Esto ocurre porque está definida por una condición negativa (✗ u.i.), y al componer, las «bifurcaciones» pueden converger y desaparecer.

Contraejemplo para la multívoca. Sean \( B = \{a, b, c\} \), \( C = \{x, y\} \):

\[ R_1 = \{(1, a),\ (1, b)\} \quad \text{(multívoca: 1 tiene dos imágenes)} \] \[ R_2 = \{(a, x),\ (b, x),\ (c, x),\ (c, y)\} \quad \text{(multívoca: } c \text{ tiene dos imágenes)} \]

Al componer: las dos rutas de \( 1 \) (a través de \( a \) y \( b \)) convergen en \( x \), y el carácter multívoco de \( R_2 \) (por \( c \)) nunca se alcanza:

\[ R_2 \circ R_1 = \{(1, x)\} \quad \text{— ¡unívoca!} \]

Correspondencia inversa

La idea intuitiva

Si una correspondencia \( R \) asocia \( x \) con \( y \), ¿podemos construir otra correspondencia que «deshaga» esa asociación y recupere \( x \) a partir de \( y \)? Esa correspondencia se llama correspondencia inversa.

Gráficamente, la inversa invierte el sentido de todas las flechas: lo que era imagen se convierte en origen, y viceversa.

Definición

Dada cualquier correspondencia \( R \subseteq A \times B \), siempre podemos formar su correspondencia inversa \( R^{-1} \subseteq B \times A \) invirtiendo los pares:

\[ (x, y) \in R \iff (y, x) \in R^{-1} \]

En palabras simples: La inversa siempre existe como correspondencia — basta intercambiar las componentes de cada par ordenado. Lo que era imagen se convierte en origen, y viceversa.

Notación de la correspondencia inversa

Dada una correspondencia \( R: A \rightarrow B \), su inversa se denota:

\[ R^{-1}: B \rightarrow A \]

Es decir, si la correspondencia original va de \( A \) en \( B \), la inversa va de \( B \) en \( A \). Esto es equivalente a escribir \( R^{-1} \subseteq B \times A \).

¿La inversa de una función se conserva? (caso particular)

No siempre. Al invertir las flechas, una función inversa puede perder propiedades que tenía la original. Básicamente, la inversa de una función no siempre es una función. Veamos por qué con un ejemplo:

Ejemplo. Sea \( A = \{-2, -1, 0, 2\} \), \( B = \{0, 1, 2, 4, 5\} \) y \( f(x) = x^2 \):

\[ f = \{ (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (2, 4) \} \]

La relación inversa sería:

\[ f^{-1} = \{ (4, -2), (1, -1), (0, 0), (4, 2) \} \]

¡Problema! El elemento \( 4 \) tiene dos imágenes en la inversa: \( -2 \) y \( 2 \). Esto viola la unicidad de imagen, así que \( f^{-1} \) no es función.

Además, \( 2 \in B \) y \( 5 \in B \) carecen de imagen en \( f^{-1} \), así que tampoco cumple la existencia de imagen.

Como vimos en el ejemplo anterior, al invertir una correspondencia, el resultado no siempre conserva las mismas propiedades — en particular, la inversa de una función no siempre es otra función. Sin embargo, bajo ciertos criterios específicos, sí lo es. Veamos cuáles son.

¿Cuándo la inversa sí es función?

Si \( f: A \rightarrow B \) es una función biyectiva, su correspondencia inversa \( f^{-1}: B \rightarrow A \) también es función, y cumple:

\[ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]

Además, la función inversa satisface:

\[ (f^{-1} \circ f)(x) = x \quad \forall x \in A \qquad \text{y} \qquad (f \circ f^{-1})(y) = y \quad \forall y \in B \]

Es decir: \( f^{-1} \circ f = I_A \) y \( f \circ f^{-1} = I_B \), donde \( I_A \) e \( I_B \) son las funciones identidad.

En palabras simples: Aplicar \( f \) y luego \( f^{-1} \) (o viceversa) te devuelve al punto de partida. La inversa «deshace» lo que \( f \) hizo.

Pero para ser formales, vamos a describir este criterio en forma de teorema con su respectiva demostración.

Teorema de la existencia de la función inversa

Una función \( f: A \rightarrow B \) admite función inversa \( f^{-1}: B \rightarrow A \) si y solo si \( f \) es biyectiva.

Demostración.

( ⇒ ) Si \( f \) admite inversa, entonces es biyectiva.

Supongamos que existe \( g: B \rightarrow A \) tal que \( g \circ f = I_A \) y \( f \circ g = I_B \).

a) \( f \) es inyectiva: Sean \( x_1, x_2 \in A \) con \( f(x_1) = f(x_2) \). Aplicando \( g \) a ambos lados:

\[ g\big[f(x_1)\big] = g\big[f(x_2)\big] \implies (g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \implies I_A(x_1) = I_A(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

b) \( f \) es sobreyectiva: Sea \( y \in B \). Como \( f \circ g = I_B \):

\[ y = I_B(y) = (f \circ g)(y) = f\big[g(y)\big] \]

Definiendo \( x = g(y) \in A \), tenemos \( f(x) = y \). Luego todo \( y \in B \) tiene preimagen.

Siendo inyectiva y sobreyectiva, \( f \) es biyectiva. ✓

( ⇐ ) Si \( f \) es biyectiva, entonces admite inversa.

Como \( f \) es sobreyectiva, para todo \( y \in B \) existe \( x \in A \) con \( f(x) = y \). Como \( f \) es inyectiva, ese \( x \) es único. Definimos:

\[ g: B \rightarrow A \qquad \text{con} \qquad g(y) = x \iff f(x) = y \]

Verificamos:

• \( (g \circ f)(x) = g\big[f(x)\big] = g(y) = x = I_A(x) \) → \( g \circ f = I_A \) ✓
• \( (f \circ g)(y) = f\big[g(y)\big] = f(x) = y = I_B(y) \) → \( f \circ g = I_B \) ✓

Por tanto, \( g = f^{-1} \) es la función inversa de \( f \). ∎

Cómo encontrar la inversa

Para hallar la expresión algebraica de \( f^{-1} \), se sigue un procedimiento mecánico:

1. Escribir \( y = f(x) \)
2. Despejar \( x \) en función de \( y \)
3. Intercambiar las variables: el resultado es \( f^{-1}(x) \)

Ejemplo. Sea \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) definida por \( f(x) = 2x – 3 \). Determinar si es inversible y hallar su inversa.

Paso 1: Verificar biyectividad.

• Inyectividad: Si \( f(x_1) = f(x_2) \), entonces \( 2x_1 – 3 = 2x_2 – 3 \), luego \( x_1 = x_2 \). ✓
• Sobreyectividad: Dado \( y \in \mathbb{Q} \), buscamos \( x \) tal que \( y = 2x – 3 \). Despejando: \( x = \frac{y + 3}{2} \) \( \in \) \( \mathbb{Q} \). ✓

\( f \) es biyectiva, luego es inversible.

Paso 2: Hallar la inversa.

De \( y = 2x – 3 \) despejamos \( x = \frac{y + 3}{2} \). Intercambiando variables:

\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2} \]

Verificación:

\[ (f \circ f^{-1})(x) = f\left(\frac{x+3}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x+3}{2} – 3 = x + 3 – 3 = x \quad ✓ \]

Interpretación gráfica

En el plano cartesiano, la gráfica de \( f^{-1} \) es la reflexión de la gráfica de \( f \) respecto a la recta \( y = x \).

Esta simetría tiene sentido: si \( f \) envía el punto \( (a, b) \) a la gráfica (es decir, \( b = f(a) \)), entonces \( f^{-1} \) envía \( (b, a) \) — que es exactamente el reflejo de \( (a, b) \) sobre la recta \( y = x \).

Nota. Si la función original no es inyectiva, al invertir las flechas se generan «colisiones» — un mismo valor produciría dos resultados distintos — y la inversa deja de ser función. Por eso la biyectividad es condición necesaria y suficiente.

¿La inversa conserva el tipo de correspondencia?

Ya sabemos que toda correspondencia tiene inversa — basta con intercambiar las componentes de cada par ordenado. Pero al hacerlo, ¿la inversa sigue siendo del mismo tipo que la original? ¿La inversa de una multívoca es siempre otra multívoca? ¿La inversa de una biunívoca es siempre otra biunívoca?

Nota. Los libros de matemáticas suelen demostrar que la inversa de una función es función si y solo si es biyectiva (el teorema de existencia de la función inversa), pero — que yo sepa — no suelen extender ese análisis al resto de tipos de correspondencia de forma sistemática. En esta sección lo hacemos utilizando la regla de intercambio de propiedades, que permite responder mecánicamente la pregunta para cualquier tipo.

¿Cómo se transforman las propiedades al invertir?

Al invertir una correspondencia \( R \), las propiedades del lado de la imagen y del lado del origen se intercambian, veamos:

Propiedad en \( R \)	Se convierte en… en \( R^{-1} \)
\( u.i. \) (unicidad de imagen)	\( u.o. \) (unicidad de origen)
\( e.i. \) (existencia de imagen)	\( e.o. \) (existencia de origen)
\( u.o. \) (unicidad de origen)	\( u.i. \) (unicidad de imagen)
\( e.o. \) (existencia de origen)	\( e.i. \) (existencia de imagen)

Intuición. Al dar vuelta las flechas, lo que antes era una propiedad del «lado de las imágenes» pasa a ser una propiedad del «lado de los orígenes», y viceversa. Con esta regla de intercambio podemos determinar mecánicamente qué tipo de correspondencia resulta al invertir cualquier relación.

Análisis por tipo de correspondencia

Correspondencia general — siempre conserva el tipo

Una correspondencia general no exige ninguna propiedad. Al invertirla, el resultado sigue siendo una correspondencia general (sin restricciones). ✓

Biunívoca — siempre conserva el tipo

La biunívoca exige \( u.i. = \checkmark \) y \( u.o. = \checkmark \). Al invertir:

• \( u.i._{R^{-1}} = u.o._R = \checkmark \) ✓
• \( u.o._{R^{-1}} = u.i._R = \checkmark \) ✓

Las dos propiedades simplemente se intercambian entre sí. La inversa de una biunívoca es siempre otra biunívoca.

Aplicación biyectiva — siempre conserva el tipo

La biyectiva exige las cuatro propiedades: \( u.i. = \checkmark \), \( e.i. = \checkmark \), \( u.o. = \checkmark \), \( e.o. = \checkmark \). Al invertir, las cuatro se intercambian entre sí y todas siguen cumpliéndose. La inversa de una biyectiva es siempre otra biyectiva. De hecho, esto es precisamente lo que demostramos en el teorema de existencia de la función inversa.

Nota. La correspondencia general, la biunívoca y la biyectiva son los tres tipos cuyas definiciones son «simétricas» respecto al intercambio imagen/origen. Por eso son los únicos que siempre conservan su tipo al invertirse.

Multívoca — no siempre conserva el tipo

La multívoca se define por \( u.i. = \text{✗} \) (al menos un origen tiene múltiples imágenes). Para que la inversa también sea multívoca, necesitamos \( u.i._{R^{-1}} = \text{✗} \), lo que equivale a \( u.o._R = \text{✗} \).

Conserva el tipo solo si la original no es inyectiva (\( u.o. = \text{✗} \)).

Contraejemplo. Sea \( A = \{1\} \), \( B = \{a, b\} \) y \( R = \{(1, a), (1, b)\} \). La relación es multívoca (el 1 tiene dos imágenes), pero \( R^{-1} = \{(a, 1), (b, 1)\} \) es unívoca — cada origen tiene una sola imagen. La inversa no conservó el tipo.

Unívoca — no siempre conserva el tipo

La unívoca exige \( u.i. = \checkmark \). Para que la inversa también sea unívoca, necesitamos \( u.i._{R^{-1}} = \checkmark \), lo que equivale a \( u.o._R = \checkmark \).

Conserva el tipo solo si la original es inyectiva (\( u.o. = \checkmark \)). Si no lo es, la inversa será multívoca.

Función parcial — no siempre conserva el tipo

La función parcial exige \( u.i. = \checkmark \) y \( e.i. = \text{✗} \). Para que la inversa también sea función parcial:

• \( u.i._{R^{-1}} = u.o._R \) debe ser \( \checkmark \) → la original debe ser inyectiva.
• \( e.i._{R^{-1}} = e.o._R \) debe ser \( \text{✗} \) → la original no debe ser sobreyectiva.

Conserva el tipo solo si \( u.o. = \checkmark \) y \( e.o. = \text{✗} \).

Aplicación (función) — no siempre conserva el tipo

La aplicación exige \( u.i. = \checkmark \) y \( e.i. = \checkmark \). Para que la inversa también sea aplicación:

• \( u.i._{R^{-1}} = u.o._R \) debe ser \( \checkmark \) → la original debe ser inyectiva.
• \( e.i._{R^{-1}} = e.o._R \) debe ser \( \checkmark \) → la original debe ser sobreyectiva.

Conserva el tipo solo si la original es biyectiva (\( u.o. = \checkmark \wedge e.o. = \checkmark \)). Este es precisamente el teorema de existencia de la función inversa que ya demostramos.

Aplicación inyectiva — no siempre conserva el tipo

La inyectiva exige \( u.i. = \checkmark \), \( e.i. = \checkmark \) y \( u.o. = \checkmark \). Para que la inversa también sea inyectiva:

• \( u.i._{R^{-1}} = u.o._R = \checkmark \) ✓ (ya garantizado)
• \( e.i._{R^{-1}} = e.o._R \) debe ser \( \checkmark \) → la original debe ser sobreyectiva.
• \( u.o._{R^{-1}} = u.i._R = \checkmark \) ✓ (ya garantizado)

Conserva el tipo solo si \( e.o. = \checkmark \), lo cual la convierte en biyectiva.

Aplicación sobreyectiva — no siempre conserva el tipo

La sobreyectiva exige \( u.i. = \checkmark \), \( e.i. = \checkmark \) y \( e.o. = \checkmark \). Para que la inversa también sea sobreyectiva:

• \( u.i._{R^{-1}} = u.o._R \) debe ser \( \checkmark \) → la original debe ser inyectiva.
• \( e.i._{R^{-1}} = e.o._R = \checkmark \) ✓ (ya garantizado)
• \( e.o._{R^{-1}} = e.i._R = \checkmark \) ✓ (ya garantizado)

Conserva el tipo solo si \( u.o. = \checkmark \), lo cual la convierte en biyectiva.

---

Tabla resumen: ¿la inversa conserva el tipo?

Tipo de correspondencia	Propiedades que lo definen	¿Conserva el tipo al invertir?
Correspondencia general	—	Siempre ✓
Biunívoca	\( u.i.,\ u.o. \)	Siempre ✓
Apl. biyectiva	\( u.i.,\ e.i.,\ u.o.,\ e.o. \)	Siempre ✓
Multívoca	\( u.i. = \text{✗} \)	Solo si \( u.o. = \text{✗} \)
Unívoca	\( u.i. \)	Solo si \( u.o. = \checkmark \)
Función parcial	\( u.i.,\ e.i. = \text{✗} \)	Solo si \( u.o. = \checkmark \wedge e.o. = \text{✗} \)
Aplicación (función)	\( u.i.,\ e.i. \)	Solo si es biyectiva
Apl. inyectiva	\( u.i.,\ e.i.,\ u.o. \)	Solo si \( e.o. = \checkmark \) (biyectiva)
Apl. sobreyectiva	\( u.i.,\ e.i.,\ e.o. \)	Solo si \( u.o. = \checkmark \) (biyectiva)

Observación. Los únicos tipos que siempre conservan su clasificación al invertirse son aquellos cuya definición es simétrica respecto al intercambio imagen/origen: la correspondencia general (sin propiedades), la biunívoca (\( u.i. \) y \( u.o. \) se intercambian mutuamente) y la biyectiva (las cuatro propiedades se intercambian entre sí). Todos los demás tipos tienen definiciones «asimétricas» — exigen propiedades de un lado que no exigen del otro — y por tanto pueden perder su tipo al invertirse.

Función restringida y extensión

En la práctica, a veces necesitamos limitar o expandir el dominio de una función para lograr propiedades que no tiene sobre su dominio completo — por ejemplo, restringirlo para convertirla en inyectiva y poder invertirla, o extenderlo para que la función quede definida en un conjunto más amplio donde antes no lo estaba.

Definición de restricción

Sea \( f: A \rightarrow B \) una función y \( E \subseteq A \) un subconjunto del dominio. La restricción de \( f \) al conjunto \( E \), denotada \( f|_E \), es la función:

\[ f|_E : E \rightarrow B \qquad \text{definida por} \qquad f|_E(x) = f(x) \quad \forall x \in E \]

En palabras simples: La restricción es la misma función, pero «recortada» a un dominio más pequeño. La regla de correspondencia no cambia; lo que cambia es el conjunto de elementos a los que se les aplica.

Ejemplo 1. Sea \( f: \{-2, -1, 0, 1, 2\} \rightarrow \{0, 1, 4\} \) definida por \( f(x) = x^2 \) y \( E = \{0, 1, 2\} \subseteq A \).

La restricción \( g = f|_E : \{0, 1, 2\} \rightarrow \{0, 1, 4\} \) con \( g(x) = x^2 \) tiene la misma regla, pero opera solo sobre \( E \).

Observa que:

• \( f \) no es inyectiva (porque \( f(-1) = f(1) = 1 \) y \( f(-2) = f(2) = 4 \))
• \( g = f|_E \) sí es inyectiva (sobre \( \{0, 1, 2\} \), no hay dos elementos con la misma imagen)

Ejemplo 2. Sea \( h: [-2, 2] \rightarrow [0, 2] \) definida por \( h(x) = \sqrt{4 – x^2} \) (semicircunferencia superior).

La restricción \( g = h|_{[0,2]}: [0, 2] \rightarrow [0, 2] \) toma solo el cuarto de circunferencia derecho. Mientras \( h \) no es inyectiva (por ejemplo, \( h(-1) = h(1) \)), la restricción \( g \) sí lo es.

Nota. Restringir funciones tiene gran importancia para obtener funciones inyectivas e inversas. Si una función no es inyectiva en todo su dominio, podemos restringirla a un subconjunto donde sí lo sea, y entonces invertirla. Este es el principio detrás de las funciones trigonométricas inversas (\( \arcsin \), \( \arccos \), \( \arctan \)).

Definición de extensión

El concepto recíproco es la extensión: si \( g: E \rightarrow B \) es una función con \( E \subset A \), y existe una función \( f: A \rightarrow B \) tal que \( f(x) = g(x) \) para todo \( x \in E \), decimos que \( f \) es una extensión de \( g \) al conjunto \( A \).

Intuición. Restringir es «recortar» el dominio; extender es «ampliar» el dominio. Son operaciones inversas una de la otra.

Correspondencias en la vida real

Las correspondencias no son solo abstracciones teóricas. Aparecen de forma natural en muchos campos del conocimiento y la vida cotidiana.

En la computación: tablas hash

En ciencias de la computación, una tabla hash es una estructura de datos que asigna una clave única a un bloque de valores. Esta asignación es una correspondencia unívoca estricta: cada clave tiene exactamente un valor asociado.

Cuando dos claves distintas producen el mismo valor hash (lo que se llama una «colisión»), estamos ante una violación de la unicidad de origen — la correspondencia deja de ser inyectiva. Prever y resolver estas colisiones es uno de los problemas fundamentales del diseño de algoritmos.

En el transporte: mapas de redes

Un mapa de metro establece una biyección entre los nodos geométricos impresos en el plano y las estaciones físicas de la ciudad. Cada punto del mapa corresponde a exactamente una estación, y cada estación está representada por exactamente un punto.

En la economía: funciones de demanda

La relación entre el precio de un bien y la cantidad que un consumidor está dispuesto a comprar se modela como una función:

\[ p = f(q) \]

donde \( q \) es la cantidad y \( p \) es el precio unitario. Por ejemplo, \( p = 40 – 2q \) con \( 0 \leq q \leq 20 \) define una función de demanda lineal decreciente: a mayor cantidad, menor precio por unidad.

En la educación temprana: emparejamiento

Cuando un docente presenta un conjunto de lápices y un conjunto de cuadernos, y pide a los niños trazar líneas asignando un único lápiz por cuaderno, está introduciendo de forma intuitiva el concepto de función inyectiva. El cuaderno que queda sin lápiz enseña visualmente que el rango no siempre coincide con el conjunto de llegada.

En las matemáticas mismas

El simple acto de contar objetos establece una correspondencia biyectiva entre los objetos y los números naturales \( \{1, 2, 3, \ldots\} \). Si puedes emparejar cada objeto con exactamente un número y viceversa, has contado correctamente.

Reflexión. La correspondencia matemática, despojada de su notación formal, es el lenguaje universal del orden. Cada vez que asociamos, clasificamos, asignamos o emparejamos, estamos estableciendo correspondencias — a menudo sin ser conscientes de ello.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Identificar componentes de una correspondencia

Enunciado. Sea \( A = \{1, 2, 3, 4, 5 \} \), \( B = \{a, b, c, d, e, f \} \) y la correspondencia:

\[ R = \{ (1, b),\ (2, d),\ (2, e),\ (4, a),\ (5, b) \} \]

Determinar: dominio, rango, y clasificar la correspondencia (unívoca/multívoca, inyectiva o no).

Solución.

• Dominio: \( \text{Dom}(R) = \{1, 2, 4, 5\} \) (los elementos de \( A \) que aparecen como primera componente)
• Rango: \( \text{Ran}(R) = \{a, b, d, e\} \) (los elementos de \( B \) que aparecen como segunda componente)
• ¿Cumple e.i.? No, porque \( 3 \in A \) no tiene imagen. ✗
• ¿Cumple u.i.? No, porque el elemento \( 2 \) tiene dos imágenes: \( d \) y \( e \). ✗
• ¿Cumple e.o.? No, porque \( c, f \in B \) no tienen origen. ✗
• ¿Cumple u.o.? No, porque \( b \) tiene dos orígenes: \( 1 \) y \( 5 \). ✗

Clasificación: \( R \) es una correspondencia multívoca (no cumple u.i.).

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Ejercicio 2: Determinar si una relación es función

Enunciado. Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \). Determinar si las siguientes relaciones son funciones de \( A \) en \( B \):

• \( f = \{(1, 2),\ (2, 6),\ (3, 10),\ (4, 4)\} \)
• \( g = \{(1, 2),\ (2, 6),\ (2, 8),\ (3, 10),\ (4, 4)\} \)

Solución.

Para \( f \):

• \( \text{Dom}(f) = \{1, 2, 3, 4\} = A \) → cumple e.i. ✓
• Cada elemento tiene exactamente una imagen → cumple u.i. ✓

\( f \) sí es función de \( A \) en \( B \). ✓

Para \( g \):

• Los pares \( (2, 6) \) y \( (2, 8) \) son distintos pero tienen la misma primera componente. Esto significa que \( 2 \) tiene dos imágenes: \( 6 \) y \( 8 \).
• No cumple u.i. ✗

\( g \) no es función de \( A \) en \( B \). ✗

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Ejercicio 3: Clasificar una función (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva)

Enunciado. Sean \( A = \{1, 2, 5, 7, 8\} \) y \( B = \{2, 3, 4, 5, 6\} \). Clasificar las siguientes funciones:

• \( f = \{(1, 2),\ (2, 3),\ (5, 4),\ (7, 5),\ (8, 6)\} \)
• \( h = \{(1, 4),\ (2, 2),\ (5, 3),\ (7, 5),\ (8, 3)\} \)

Solución.

Para \( f \):

Condición	Verificación	Resultado
e.i.	\( \text{Dom}(f) = \{1,2,5,7,8\} = A \)	✓
u.i.	Cada elemento tiene una sola imagen	✓
u.o.	Cada imagen proviene de un solo origen	✓
e.o.	\( \text{Ran}(f) = \{2,3,4,5,6\} = B \)	✓

\( f \) es biyectiva. ✓

Para \( h \):

• \( h(5) = 3 \) y \( h(8) = 3 \), pero \( 5 \neq 8 \). No cumple u.o. ✗
• \( \text{Ran}(h) = \{2, 3, 4, 5\} \neq B \) (falta el \( 6 \)). No cumple e.o. ✗

\( h \) es una aplicación (función total), pero no es inyectiva ni sobreyectiva, y por tanto no es biyectiva. ✗

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Ejercicio 4: Composición de funciones

Enunciado. Sean \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) con \( f(x) = 3x + 2 \) y \( g: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) con \( g(x) = 2x + 1 \). Hallar \( (f \circ g)(x) \), \( (g \circ f)(x) \), y verificar que \( f \circ g \neq g \circ f \).

Solución.

Hallar \( f \circ g \):

\[ (f \circ g)(x) = f\big[g(x)\big] = f(2x + 1) = 3(2x + 1) + 2 = 6x + 3 + 2 = 6x + 5 \]

Hallar \( g \circ f \):

\[ (g \circ f)(x) = g\big[f(x)\big] = g(3x + 2) = 2(3x + 2) + 1 = 6x + 4 + 1 = 6x + 5 \]

Verificación: En este caso particular, \( (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = 6x + 5 \). ¡Las composiciones coinciden!

Nota. Este es un caso excepcional. En general, la composición no es conmutativa. Aquí coinciden porque los coeficientes lineales satisfacen una relación especial (puede verificarse que \( f \circ g = g \circ f \) para funciones lineales \( ax + b \) y \( cx + d \) cuando \( b(c-1) = d(a-1) \), que en este caso da \( 2(2-1) = 1(3-1) \), es decir \( 2 = 2 \) ✓).

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Ejercicio 5: Hallar la función inversa

Enunciado. Sea \( f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \) definida por \( f(x) = 3x + 2 \). Determinar si \( f \) es inversible. Si lo es, hallar \( f^{-1} \) y verificar que \( (f \circ f^{-1})(x) = x \).

Solución.

Paso 1: Verificar biyectividad.

• Inyectividad: Si \( f(x_1) = f(x_2) \):

\[ 3x_1 + 2 = 3x_2 + 2 \implies 3x_1 = 3x_2 \implies x_1 = x_2 \quad ✓ \]

• Sobreyectividad: Dado \( y \in \mathbb{Q} \), buscamos \( x \) tal que \( y = 3x + 2 \):

\[ x = \frac{y – 2}{3} \in \mathbb{Q} \quad ✓ \]

\( f \) es biyectiva → es inversible.

Paso 2: Hallar la inversa.

De \( y = 3x + 2 \) despejamos \( x = \frac{y – 2}{3} \). Intercambiando variables:

\[ f^{-1}(x) = \frac{x – 2}{3} \]

Paso 3: Verificar.

\[ (f \circ f^{-1})(x) = f\left(\frac{x – 2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{x – 2}{3} + 2 = (x – 2) + 2 = x \quad ✓ \]

\[ (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(3x + 2) = \frac{(3x + 2) – 2}{3} = \frac{3x}{3} = x \quad ✓ \]

Ambas composiciones dan la identidad. \( f^{-1}(x) = \frac{x-2}{3} \) es la inversa de \( f \). ∎

Resumen

En esta publicación hemos construido el puente entre las relaciones binarias y las funciones. Estos son los conceptos clave:

Mapa conceptual

Concepto	Esencia
Correspondencia	Relación binaria heterogénea \( R \subseteq A \times B \) con una regla de asociación
Dominio / Rango	Subconjuntos que efectivamente participan en la relación
Las 4 condiciones	e.i., u.i., e.o., u.o. — evaluadores independientes del comportamiento
Multívoca	✗ u.i. — al menos un origen tiene múltiples imágenes
Unívoca	u.i. — cada origen tiene a lo sumo una imagen
Biunívoca	u.i. + u.o. — uno a uno, sin exigir totalidad
Función parcial	u.i. sin e.i. — unívoca pero no todos participan
Aplicación (función)	u.i. + e.i. — todos tienen exactamente una imagen
Inyectiva	Aplicación + u.o. — imágenes distintas para orígenes distintos
Sobreyectiva	Aplicación + e.o. — todo en \( B \) es imagen de alguien
Biyectiva	Las 4 condiciones — emparejamiento perfecto
Composición	Encadenamiento \( R_2 \circ R_1 \) — asociativa, no conmutativa; conserva condiciones positivas
Correspondencia inversa	Intercambio de pares; existe siempre como correspondencia
Función inversa	Existe \( \iff \) \( f \) es biyectiva — «deshace» la transformación
Restricción	Recortar el dominio para ganar propiedades (ej. inyectividad)

Ideas para recordar

1. Las funciones son correspondencias especiales — no todas las correspondencias son funciones, pero todas las funciones son correspondencias que cumplen u.i. + e.i.
2. Las 4 condiciones son independientes — puedes combinarlas libremente, generando 16 tipos posibles.
3. La composición encadena correspondencias — pero el orden importa: \( R_2 \circ R_1 \neq R_1 \circ R_2 \) en general.
4. La biyectividad es la llave de la inversión — solo las funciones biyectivas tienen función inversa.
5. Restringir el dominio es una herramienta práctica para «forzar» la inyectividad cuando la función no la tiene naturalmente.

¿Que viene luego?

En esta publicación trabajamos con correspondencias y funciones de manera general — los conjuntos \( A \) y \( B \) podían ser de cualquier naturaleza (números, letras, conjuntos, objetos).

En la próxima publicación daremos un paso más concreto y estudiaremos las funciones reales de variable real: funciones donde tanto el conjunto de partida como el de llegada son subconjuntos de los números reales \( \mathbb{R} \).

\[ f: D \subseteq \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \]

Allí exploraremos:

• Dominio natural de una función real (¿para qué valores de \( x \) tiene sentido la expresión?)
• Gráficas en el plano cartesiano — la representación visual completa de una función
• Funciones elementales: lineales, cuadráticas, raíz, valor absoluto, por tramos
• Operaciones con funciones: suma, resta, producto, cociente
• Simetrías: funciones pares e impares
• Monotonía: funciones crecientes y decrecientes

Todo lo que hemos aprendido aquí — las condiciones de existencia y unicidad, la inyectividad, la sobreyectividad, la composición y la inversión — será la base teórica sobre la cual construiremos el estudio detallado de las funciones reales.