Volvemos con un nuevo contenido del curso de lógica proposicional, en esta sección, me concentraré desarrollar un conectivo lógico interesante, esto es, la disyunción lógica o simplemente disyunción.

Me dedicaré a explicar con algunos ejemplos donde veremos un pequeño inconveniente con el razonamiento disyuntivo y como solucionar este problema definiendo dos tipos de proposiciones, esto es, la proposición inclusiva y la proposición exclusiva.

¿Que es la disyunción lógica?

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También se le conoce como la suma lógica, en este tipo de proposiciones nos da la alternativa o posibilidad de escoger la validez de una o varias de sus proposiciones simples en cuanto a sus valores de verdad, me refiero a la disyunción lógica.

Entre todos los conectivos lógicos que se conoce, la disyunción tiene doble significado y en matemáticas es necesario diferenciarlo simbólicamente, se les puede diferenciar como disyunción inclusiva y exclusiva.

Veamos un ejemplo para entender qué es la disyunción lógica y su variantes, sutiles pero identificables.

Ejemplo de la disyunción de primer tipo

La proposición disyuntiva del tipo «Samanta es hombre o mujer» es una proposición selectiva, porque podemos seleccionar que proposición simple es verdadera. La proposición se puede desglosar de la siguiente manera:

• Samantha es mujer
• Samantha es hombre

Podemos decir sin equivocarnos que Samantha no es un nombre unisex, que estamos tratando con una persona del sexo femenino.

Pero como el conectivo «o» nos da la posibilidad de elegir entre una de las dos, elegimos «Samantha es mujer«. Decimos entonces lo siguiente:

• Samantha es mujer. (es verdadera)
• Samantha es hombre. (es falso)

Por tanto «Samanta es hombre o mujer» es una proposición verdadera por una cuestión de elección.

En el ejemplo anterior vimos una proposición compuesta donde se tenía la posibilidad de elegir cualquiera de las proposiciones simples con al menos una validez verdadera para que toda la proposición sea verdadera, esto es, solo podía elegirse una única opción entre las dos opciones disponibles.

El siguiente ejemplo trataremos con otro tipo de disyunción donde tenemos la posibilidad de elegir las dos a la vez sin contradicción alguna, si tenemos la posibilidad \( A \) y otra \( B \), puede elegirse cualquiera de ellas incluso elegir simultáneamente las dos, veamos:

Ejemplo de la disyunción de segundo tipo

La proposición «Mi gato es un felino o es un animal«, es un enunciado en la que también se puede seleccionar cualquiera de las dos alternativas, desglosamos la proposición.

• Mi gato es un felino.
• Mi gato es un animal.

¿Que opción podemos elegir para determinar que nuestra proposición compuesta es verdadera?, como podemos ver, las dos proposiciones simples son verdaderas.

Entonces podemos elegir las dos, y con esto concluye que nuestra proposición «Mi gato es un felino o es un animal» también es verdadera.

Estos tipos de proposiciones que a pesar de ser similares, tiene algunas diferencias, vamos a explicarlos en los siguientes apartados.

La disyunción inclusiva

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Este tipo de disyunción hace referencia al ejemplo ilustrativo 2 y tiene la propiedad de poder elegir cualquier proposición con validez verdadera que la componen (si es que existe) para determinar que nuestra proposición que la forman sea válida, aquí su definición:

Definición de la disyunción inclusiva

La disyunción inclusiva con símbolo \( \vee \) es un conectivo lógico que une dos proposiciones \( p \) y \( q \) formando una nueva proposición \( p \vee q \) de tal manera que su valor de verdad es falsa si las proposiciones \( p \) y \( q \) resulta ser falsas, en caso contrario resulta ser verdadera si al menos una de sus proposiciones componentes es verdadera.

Por lo general, a la disyunción inclusiva también se le llama disyunción lógica, de ahora en adelante toda proposición formada jerárquicamente por una disyunción inclusiva se le llamará proposición inclusiva.

Según la definición que acabamos de proponer para el significado del símbolo \( \vee \) (que literalmente se escribe con la vocal «o»), una proposición inclusiva deben tener 3 posibles elecciones para indicar que es verdadera y una que nos puede dar como falsa. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo

• El número 2 es real o entero.
• Los gatos tienen cuatro patas o tienen cola.
• Leo un libro usando una gorra o sentado.

Para cualquiera de estos ejemplos es posible que cualquiera de las proposiciones simples de estas proposiciones inclusivas se puedan realizar  simultáneamente como también elegir solo una de ellas.

Tabla de verdad de La disyunción inclusiva

En base a estos ejemplos confeccionamos la siguiente tabla de valores de verdad de la disyunción inclusiva.

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \vee q \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \end{array} \]

Algunas leyes lógicas de la disyunción inclusiva

De la misma manera que la conjunción lógica, la disyunción inclusiva también posee una serie de propiedades y leyes lógicas importantes, aquí la enumeramos.

Sean las proposiciones \( p \), \( q \) y \( r \) tenemos:

• Ley asociativa: \( ( p \vee q ) \vee r = p \vee ( q \wedge r ) \)
• Existencia del elemento neutro: \( \mathrm{V} (p) \vee F = \mathrm{V} (p) \)
• Ley conmutativa: \( p \vee q = q \vee p \)
• Leyes distributivas de la disyunción inclusiva y la conjunción:
  \[ p \vee (q \wedge r) = ( p \vee q ) \wedge ( p \vee r )  \\ p \wedge ( q \vee r ) = ( p \wedge q ) \vee ( p \wedge r ) \]
• Existencia del elemento complementario: \( \mathrm{V} ( \sim p \vee p ) = V \)
• La negación de una disyunción resulta una conjunción: \( \sim ( p \vee q ) = \sim p \wedge \sim q \)

Para ver otras leyes de la disyunción lógica, puede ver la sección de las principales leyes lógicas de los conectivos lógicos.

La disyunción inclusiva y la relación con la unión

En teoría de conjuntos, la disyunción inclusiva puede ser representado por la unión entre dos conjuntos, por ejemplo, tenemos un elemento que puede pertenecer a dos conjuntos distintos, pueden ser \( x \in \mathrm{A} \) y \( x \in \mathrm{B} \), para representar que el elemento \( x \) pertenece a cualquiera de los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) o ambos, se escribe así:

\[ x \in \mathrm{A} \vee x \in \mathrm{B} \]

Esto es lo mismo que escribir:

\[ x \in \mathrm{ A \cup B } \]

También se puede definir de la siguiente manera:

\[ \mathrm{ A \cup B } = \left \{ x| x \in A \vee x \in B \right \} \]

Podemos ilustrarlo gráficamente con los diagramas de Venn de la siguiente manera:

Este diagrama significa que el elemento \( x \) puede estar en cualquiera de estas 3 regiones delimitadas.

Si quieres saber sobre la relación que hay entre la disyunción inclusiva y la unión entre conjuntos, visita la sección de operaciones entre conjuntos.

La disyunción exclusiva

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Este tipo de disyunción es más estricto y hace referencia al ejemplo ilustrativo 1 donde no es posible que en una proposición compuesta sea verdadera si las dos son verdadera, como máximo solo es posible elegir una proposición verdadera para que la proposición compuesta sea verdadera.

Definición de la disyunción exclusiva

La disyunción exclusiva con símbolo \( \bigtriangleup \) es un conectivo lógico que une dos proposiciones \( p \) y \( q \) formando una nueva proposición \( p \bigtriangleup q \) de tal manera que su validez es falsa si las proposiciones \( p \) y \( q \) tienen el mismo valor de verdad, en caso contrario, resulta ser verdadera si las proposiciones \( p \) y \( q \) tienen valores de verdad opuesto.

Como hemos visto, existe dos tipos de disyunción, una es la disyunción inclusiva o débil y la otra es la disyunción exclusiva o fuerte y las dos usan literalmente la letra «o» pero de formas distintas.

Estas diferencias son necesarias porque existen situaciones donde podemos ver que no siempre la misma validez de sus proposiciones que la componen nos puede dar siempre una misma validez general de la proposición matriz, es decir, un enunciado puede ser verdadero o falso con los mismos valores de verdad de sus variables proposicionales que la componen.

Una proposición formada jerárquicamente por una disyunción exclusiva de ahora en adelante lo llamaremos proposición exclusiva.

Si encontramos la definición de disyuntiva en algún diccionario gramatical, encontramos conceptos semejantes entre ellas como:

• Alternativa entre dos o más opciones por las cuales hay que decidirse
• Alternativa entre dos cosas por el cual hay que optar por una.
• Alternativa entre dos cosas opuestas de las que debemos optar.

La primera hace referencia a la disyunción inclusiva, y las dos últimas a la disyunción exclusiva.

Describo este punto para que pueda entenderse la disyunción y su significado, finalidad y razonamiento. Por lo general, cuando tratamos simplemente de la disyunción lógica, hacemos referencia a la disyunción inclusiva.

Ejemplo

Aquí tenemos algunos ejemplos de una proposición exclusiva.

• O estás enfermo o estás saludable.
• O bien es falso o bien es verdadero.
• O estás en inmóvil o estás en movimiento.

Estas proposiciones tiene un limite, sólo son verdaderas si y solo si una única variable proposicional (proposición simple) que la compone es verdadera.

Tabla de verdad de La disyunción exclusiva

Existe otra simbolización lógica de este tipo de disyunción, pues, resulta ser opuesta a la bicondicional lógica \( ( \leftrightarrow ) \), por ello, también podemos representarlo con este símbolo \( \nleftrightarrow \), la tabla de verdad de la disyunción exclusiva es:

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \bigtriangleup q \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \end{array} \]

Algunas leyes de la disyunción exclusiva

Veamos algunas propiedades de la disyunción exclusiva, Sean las proposiciones \( p \), \( q \) y \( r \), tenemos:

• Ley asociativa: \( ( p \bigtriangleup q ) \bigtriangleup r = p \bigtriangleup ( q \bigtriangleup r ) \).
• Ley conmutativa: \( p \bigtriangleup q = q \bigtriangleup p \).
• Ley distributivas con la conjunción lógica: \( p \wedge (q \bigtriangleup r ) = ( p \wedge q ) \bigtriangleup ( p \wedge r ) \)

Si bien, en en la sección de las principales leyes lógicas no mostramos ninguna propiedad de la disyunción exclusiva, por lo menos esbozamos una propiedad en relación con la bicondicional, con la condicional material y la conjunción y disyunción inclusiva en la sección de los circuitos lógicos.

Espero que con estos ejemplos, definiciones, propiedades y algunas leyes lógicas logres entender el significado de la disyunción y sus dos únicas variantes necesarias.

Por último, este conectivo lógico en conjuntos es usado para explicar el concepto de unión de dos conjuntos y sus principales propiedades, veamos esta relación en el siguiente apartado.

La disyunción exclusiva y los conjuntos disjuntos

Un elemento puede pertenecer a un conjunto u otro o ambas, pero si tales conjuntos no tiene elementos en común, entonces dicho elemento puede pertenecer a uno y solo uno de los conjuntos.

La disyunción exclusiva puede remediar este punto, por ejemplo, si tenemos un elemento \( x \) donde puede estar contenida solo en el conjunto \( \mathrm{A} \) o solo en el conjunto \( \mathrm{B} \) pero no en ambas, se representa así:

\[ x \in \mathrm{A} \bigtriangleup x \in \mathrm{B} \]

Su equivalente sería:

\[ x \in \mathrm{A + B} \]

Si queremos fusionar estas dos interpretaciones, se expresa de la siguiente manera:

\[ \mathrm{A + B} = \left \{ x| x \in \mathrm{A} \bigtriangleup x \in \mathrm{B} \right \} \]

Ahora veamos como se representa gráficamente:

Ten en cuenta que no existe términos en común entre los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), esto se representa con el símbolo de intersección «\( \cap \)», así \( \mathrm{ A \cap B } = \phi \), el símbolo «\( \phi \)» significa que no existen elementos y se llama conjunto vació.

Llegamos al final del tema, espero que les haya sido de mucha ayuda. En la siguiente sección explicaré uno de los conectores lógicos muy importantes después de la disyunción, me refiero a la condicional material.

Gracias por llegar hasta aquí, que tengan un buen día y hasta pronto.