Este publicación presenta una colección de más de 90 ejercicios de Teoría de Conjuntos con soluciones prácticas y pedagógicas, diseñados para reforzar y consolidar las habilidades teóricas adquiridas durante el estudio de esta rama fundamental de las matemáticas.
Los ejercicios complementan el contenido teórico «¿Qué son los conjuntos?» estudiado en una publicación anterior referencia que resumiremos en breve:
Objetivo
El objetivo de esta colección es proporcionar práctica sistemática en:
- Determinación de conjuntos a partir de condiciones lógicas y algebraicas.
- Identificación de la relación entre pertenencia (\( \in \)) e inclusión (\( \subset \)) en contextos específicos.
- Evaluación del valor de verdad de proposiciones usando cuantificadores aplicado a conjuntos.
- Simplificación algebraica de operaciones con conjuntos.
- Aplicación del principio de inclusión-exclusión en problemas de cardinalidad.
- Demostración formal de igualdades e inclusiones mediante doble inclusión y equivalencias lógicas usando propiedades de conjuntos.
- Integración de todos los conceptos en problemas de mayor complejidad y abstracción.
Estructura del documento
Los ejercicios están organizados en el resumen del teórico sobre conjuntos, desde el cálculo directo hasta las demostraciones formales. La publicación incluirá un resumen teórico de referencia que condensa los conceptos clave necesarios para resolver los ejercicios.
Resumen teórico
La teoría de conjuntos es el lenguaje fundamental de las matemáticas. Todo el álgebra, el cálculo, la probabilidad y la estadística se construyen sobre sus conceptos. Aquí condensamos las ideas esenciales que aparecerán a lo largo de los ejercicios.
Concepto primitivo y notación
Un conjunto es toda agrupación de objetos con un criterio preciso de pertenencia. Sus tres conceptos primitivos son el conjunto, el elemento y la pertenencia (\( \in \)).
| Objeto | Notación |
|---|---|
| Conjuntos | Letras mayúsculas: \( A, B, C \) |
| Elementos | Letras minúsculas: \( a, b, c \) |
| Pertenencia | \( x \in A \) (\( x \) pertenece a \( A \)) |
| No pertenencia | \( x \notin A \) (\( x \) no pertenece a \( A \)) |
Un conjunto puede describirse por extensión (listando sus elementos: \( A = \{1, 2, 3\} \)) o por comprensión (mediante una propiedad: \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid P(x)\} \)).
Conexión con cuantificadores: La comprensión usa directamente los cuantificadores que estudiamos anteriormente. La inclusión \( A \subset B \) se define con \( \forall \), y su negación con \( \exists \).
Conjuntos especiales
| Conjunto | Notación | Descripción |
|---|---|---|
| Vacío | \( \emptyset \) o \( \{\} \) | Sin elementos. \( \emptyset \subset A \) para todo \( A \) |
| Universal | \( U \) | Contiene todos los elementos del contexto |
| Unitario | \( \{a\} \) | Exactamente un elemento |
Relaciones entre conjuntos
| Relación | Definición formal |
|---|---|
| Inclusión \( A \subset B \) | \( \forall x: x \in A \implies x \in B \) |
| Igualdad \( A = B \) | \( A \subset B \) y \( B \subset A \) (doble inclusión) |
| Disjuntos | \( A \cap B = \emptyset \) |
Distinción crítica: \( a \in A \) (pertenencia: \( a \) es elemento de \( A \)) es diferente de \( \{a\} \subset A \) (inclusión: el unitario \( \{a\} \) es subconjunto de \( A \)). Confundir \( \in \) con \( \subset \) es el error más frecuente al resolver ejercicios de conjuntos.
Operaciones con conjuntos
Cada operación tiene un conectivo lógico asociado — herencia directa del capítulo de lógica proposicional:
| Operación | Símbolo | Definición | Conectivo |
|---|---|---|---|
| Unión | \( A \cup B \) | \( \{x \mid x \in A \vee x \in B\} \) | \( \vee \) |
| Intersección | \( A \cap B \) | \( \{x \mid x \in A \wedge x \in B\} \) | \( \wedge \) |
| Diferencia | \( A – B \) | \( \{x \mid x \in A \wedge x \notin B\} \) | \( \wedge \neg \) |
| Complemento | \( A’ \) | \( U – A = \{x \mid x \notin A\} \) | \( \neg \) |
| Dif. simétrica | \( A \triangle B \) | \( (A – B) \cup (B – A) \) | XOR \( (\oplus) \) |
Propiedades clave a memorizar:
| Ley | Enunciado |
|---|---|
| De Morgan 1 | \( (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \) |
| De Morgan 2 | \( (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \) |
| Diferencia | \( A – B = A \cap B’ \) |
| Distributiva | \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) |
| Absorción | \( A \cup (A \cap B) = A \) |
| Doble complemento | \( (A’)’ = A \) |
Conjunto potencia
El conjunto potencia \( \mathcal{P}(A) \) es el conjunto de todos los subconjuntos de \( A \):
\[ \mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subset A\} \]
Si \( n(A) = n \), entonces \( n[\mathcal{P}(A)] = 2^n \).
Propiedades esenciales:
- \( X \in \mathcal{P}(A) \iff X \subset A \)
- \( \emptyset \in \mathcal{P}(A) \) y \( A \in \mathcal{P}(A) \) siempre
- \( A \subset B \implies \mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B) \)
- \( \mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \)
Cardinalidad y principio de inclusión-exclusión
La cardinalidad \( n(A) \) cuenta los elementos distintos de \( A \). Para conjuntos finitos:
- Para dos conjuntos
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \] - Para tres conjuntos
\[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]
La intersección se resta porque al sumar las cardinalidades individuales, los elementos compartidos se cuentan más de una vez.
Colección de 92 ejercicios de teoría de conjuntos
Ejercicio 1
Dados los conjuntos \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) y \( B = \{0, 1, 4, 6, 7, 8, 9\} \). Sean \( m \) el número de subconjuntos no vacíos de \( A \) que son disjuntos con \( B \), y \( n \) el número de subconjuntos no vacíos de \( B \) que son disjuntos con \( A \). Hallar \( m + n \).
Solución:
Recordemos que dos conjuntos son disjuntos cuando no comparten ningún elemento, es decir, su intersección es vacía.
Paso 1 — Identificar los elementos comunes. Primero observemos qué elementos comparten \( A \) y \( B \):
\[ A \cap B = \{1, 4, 6\} \]
Estos tres elementos (1, 4 y 6) están en ambos conjuntos. Cualquier subconjunto de \( A \) que contenga alguno de ellos no será disjunto con \( B \), porque ese elemento también pertenece a \( B \).
Paso 2 — Hallar \( m \). Para que un subconjunto de \( A \) sea disjunto con \( B \), solo podemos usar elementos de \( A \) que no estén en \( B \). Esos elementos son:
\[ A – B = \{2, 3, 5\} \]
Es decir, solo con 2, 3 y 5 podemos formar subconjuntos de \( A \) que sean disjuntos con \( B \). El número total de subconjuntos de un conjunto de 3 elementos es \( 2^3 = 8 \), pero como nos piden subconjuntos no vacíos, restamos 1:
\[ m = 2^3 – 1 = 7 \]
Podemos verificar listándolos: \( \{2\},\; \{3\},\; \{5\},\; \{2,3\},\; \{2,5\},\; \{3,5\},\; \{2,3,5\} \). Son exactamente 7. ✓
Paso 3 — Hallar \( n \). De manera análoga, para que un subconjunto de \( B \) sea disjunto con \( A \), solo podemos usar elementos de \( B \) que no estén en \( A \):
\[ B – A = \{0, 7, 8, 9\} \]
Tenemos 4 elementos, por lo que el número de subconjuntos no vacíos es:
\[ n = 2^4 – 1 = 15 \]
Resultado:
\[ m + n = 7 + 15 = 22 \]
Ejercicio 2
Sea \( A = \{3, \{2, 8\}, 5\} \). Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
- (a) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid 2 \in X \)
- (b) \( \forall X \in \mathcal{P}(A) \mid \{3\} \subset X \)
- (c) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{2, 8\} \subset X \)
Solución:
Antes de evaluar las afirmaciones, identifiquemos con cuidado los elementos de \( A \). Este conjunto tiene exactamente tres elementos:
- El número \( 3 \)
- El conjunto \( \{2, 8\} \) (que se trata como un único elemento de \( A \))
- El número \( 5 \)
Es fundamental no confundir: los números 2 y 8 no son elementos de \( A \); están dentro de un elemento de \( A \) que es el conjunto \( \{2, 8\} \).
Ahora calculemos el conjunto potencia \( \mathcal{P}(A) \), que tiene \( 2^3 = 8 \) subconjuntos:
\[ \mathcal{P}(A) = \left\{ \emptyset, \{3\}, \{\{2,8\}\}, \{5\}, \{3, \{2,8\}\}, \{3, 5\}, \{\{2,8\}, 5\}, A \right\} \]
(a) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid 2 \in X \)
Buscamos algún \( X \in \mathcal{P}(A) \) que contenga al número 2 como elemento. Revisemos: los únicos elementos que pueden aparecer dentro de los subconjuntos de \( A \) son los propios elementos de \( A \): \( 3 \), \( \{2, 8\} \) y \( 5 \). El número 2 no es ninguno de ellos.
Por ejemplo, \( \{\{2,8\}\} \in \mathcal{P}(A) \) contiene al conjunto \( \{2,8\} \) como elemento, pero no contiene al número 2 por separado.
La afirmación es falsa. ✗
(b) \( \forall X \in \mathcal{P}(A) \mid \{3\} \subset X \)
Aquí se pregunta si para todo \( X \in \mathcal{P}(A) \) se cumple que \( \{3\} \subset X \), es decir, que \( \{3\} \) sea subconjunto propio de todos los subconjuntos de \( A \). Para refutar un «para todo», basta encontrar un solo contraejemplo:
- \( X = \{5\} \in \mathcal{P}(A) \), pero \( 3 \notin \{5\} \), así que \( \{3\} \not\subset \{5\} \). ✗
Como existe al menos un \( X \) que no cumple la condición, la afirmación es falsa. ✗
(c) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{2, 8\} \subset X \)
Buscamos algún \( X \in \mathcal{P}(A) \) tal que \( \{2, 8\} \subset X \). Para que \( \{2, 8\} \) sea subconjunto de \( X \), necesitamos que ambos elementos de \( \{2, 8\} \) pertenezcan a \( X \), es decir: \( 2 \in X \) y \( 8 \in X \).
Pero como vimos en el inciso (a), el número 2 jamás es elemento de ningún \( X \in \mathcal{P}(A) \) (y lo mismo ocurre con el 8). Por lo tanto, \( \{2, 8\} \) no puede ser subconjunto de ningún \( X \in \mathcal{P}(A) \).
Nota aclaratoria: El conjunto \( \{2, 8\} \) es un elemento de \( A \), no un subconjunto. Que \( \{2, 8\} \in A \) no implica que \( \{2, 8\} \subset A \). Son relaciones diferentes: la pertenencia (\( \in \)) conecta un elemento con un conjunto, mientras que la inclusión (\( \subset \)) conecta dos conjuntos comparando sus elementos.
La afirmación es falsa. ✗
Ejercicio 3
Sea \( A = \{\{a\}, b, \{b\}\} \) y supongamos que \( n(X) \) representa el número de elementos de un conjunto \( X \). Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
- (a) \( \{\{b\}\} \subset \mathcal{P}(A) \)
- (b) \( \{a, b\} \in \mathcal{P}(A) \)
- (c) \( n[\mathcal{P}(A)] = 8 \)
- (d) \( X \subset A \to \mathcal{P}(X) \subset \mathcal{P}(A) \)
Solución:
Identifiquemos primero los elementos de \( A \). Este conjunto tiene exactamente tres:
- El conjunto \( \{a\} \)
- El elemento \( b \)
- El conjunto \( \{b\} \)
Observa que \( b \) y \( \{b\} \) son cosas distintas: uno es un elemento y el otro es un conjunto que contiene a ese elemento. También notemos que \( a \) no es elemento de \( A \); lo que pertenece a \( A \) es el conjunto \( \{a\} \).
El conjunto potencia \( \mathcal{P}(A) \) tiene \( 2^3 = 8 \) subconjuntos:
\[ \mathcal{P}(A) = \left\{ \emptyset, \{\{a\}\}, \{b\}, \{\{b\}\}, \{\{a\}, b\}, \{\{a\}, \{b\}\}, \{b, \{b\}\}, A \right\} \]
(a) \( \{\{b\}\} \subset \mathcal{P}(A) \)
Para que \( \{\{b\}\} \subset \mathcal{P}(A) \), necesitamos que todo elemento de \( \{\{b\}\} \) pertenezca a \( \mathcal{P}(A) \). Su único elemento es \( \{b\} \).
Es \( \{b\} \in \mathcal{P}(A) \)? Sí, porque \( \{b\} \) es un subconjunto de \( A \) (ya que \( b \in A \)), y todo subconjunto de \( A \) pertenece a \( \mathcal{P}(A) \).
La afirmación es verdadera. ✓
(b) \( \{a, b\} \in \mathcal{P}(A) \)
Para que \( \{a, b\} \in \mathcal{P}(A) \), necesitamos que \( \{a, b\} \) sea un subconjunto de \( A \). Esto requiere que ambos elementos pertenezcan a \( A \):
- \( b \in A \) ✓
- \( a \in A \)? No. El elemento de \( A \) es el conjunto \( \{a\} \), no la letra \( a \) sola. Por lo tanto \( a \notin A \). ✗
Como \( a \notin A \), el conjunto \( \{a, b\} \) no es subconjunto de \( A \) y por tanto no pertenece a \( \mathcal{P}(A) \).
La afirmación es falsa. ✗
(c) \( n[\mathcal{P}(A)] = 8 \)
Como \( A \) tiene 3 elementos, su conjunto potencia tiene \( 2^3 = 8 \) subconjuntos (los listamos arriba). Entonces \( n[\mathcal{P}(A)] = 8 \).
La afirmación es verdadera. ✓
(d) \( X \subset A \to \mathcal{P}(X) \subset \mathcal{P}(A) \)
Esta es una propiedad general del conjunto potencia. El razonamiento es:
- Si \( X \subset A \), entonces todo elemento de \( X \) también está en \( A \).
- Ahora, sea \( Y \in \mathcal{P}(X) \), es decir, \( Y \subset X \).
- Como \( Y \subset X \) y \( X \subset A \), por transitividad de la inclusión: \( Y \subset A \).
- Por lo tanto \( Y \in \mathcal{P}(A) \).
- Como todo elemento de \( \mathcal{P}(X) \) también está en \( \mathcal{P}(A) \), concluimos que \( \mathcal{P}(X) \subset \mathcal{P}(A) \).
Verifiquemos con un ejemplo concreto: sea \( X = \{b, \{b\}\} \subset A \).
- \( \mathcal{P}(X) = \{ \emptyset, \{b\}, \{\{b\}\}, \{b, \{b\}\} \} \)
- Cada uno de estos subconjuntos efectivamente aparece en \( \mathcal{P}(A) \). ✓
La afirmación es verdadera. ✓
Ejercicio 4
Sean \( \{a, c\} \subset \mathbb{R} \), \( c \neq 0 \), \( A = \{a + cx \mid x \in \mathbb{R}\} \), \( b \in A \) y \( B = \{b + cy \mid y \in \mathbb{R}\} \). Demostrar que \( A = B \).
Demostración:
Para demostrar que dos conjuntos son iguales, usamos la doble inclusión: si \( A \subset B \) y \( B \subset A \), entonces \( A = B \).
Parte I \( A \subset B \):
Debemos probar que todo elemento de \( A \) también pertenece a \( B \).
(1) Como \( b \in A \), por definición de \( A \), existe algún \( x_1 \in \mathbb{R} \) tal que:
\[ b = a + cx_1 \implies a = b – cx_1 \]
(2) Sea \( k \in A \) un elemento arbitrario. Entonces existe \( x \in \mathbb{R} \) tal que \( k = a + cx \).
(3) Sustituyendo la expresión de \( a \) obtenida en (1):
\[ k = (b – cx_1) + cx = b + c(x – x_1) \]
(4) Como \( x \in \mathbb{R} \) y \( x_1 \in \mathbb{R} \), entonces \( (x – x_1) \in \mathbb{R} \). Si llamamos \( y = x – x_1 \), tenemos:
\[ k = b + cy, \quad y \in \mathbb{R} \]
que es exactamente la forma de un elemento de \( B \). Por lo tanto \( k \in B \).
(5) Como \( k \) era un elemento arbitrario de \( A \), concluimos que \( A \subset B \). ✓
Parte II \( B \subset A \):
Ahora debemos probar que todo elemento de \( B \) también pertenece a \( A \).
(1) Sea \( k \in B \) un elemento arbitrario. Entonces existe \( y \in \mathbb{R} \) tal que \( k = b + cy \).
(2) Como \( b \in A \), existe \( x_1 \in \mathbb{R} \) tal que \( b = a + cx_1 \). Sustituyendo:
\[ k = (a + cx_1) + cy = a + c(x_1 + y) \]
(3) Como \( x_1 \in \mathbb{R} \) y \( y \in \mathbb{R} \), entonces \( (x_1 + y) \in \mathbb{R} \). Si llamamos \( x = x_1 + y \), tenemos:
\[ k = a + cx, \quad x \in \mathbb{R} \]
que es exactamente la forma de un elemento de \( A \). Por lo tanto \( k \in A \).
(4) Como \( k \) era un elemento arbitrario de \( B \), concluimos que \( B \subset A \). ✓
Conclusión: Como \( A \subset B \) y \( B \subset A \), se tiene que \( A = B \). ∎
Observación: Intuitivamente, tanto \( A \) como \( B \) describen la misma familia de números reales, solo que escritos desde puntos de partida diferentes (\( a \) y \( b \) respectivamente). Como \( b \) ya está en \( A \), el desplazamiento \( c \cdot (\text{real}) \) cubre exactamente los mismos valores en ambos casos.
Ejercicio 5
Sea \( A = \{\mathcal{P}(\{a\}), \mathcal{P}(\emptyset)\} \). Hallar:
- (a) \( \mathcal{P}(A) \)
- (b) Analizar la verdad o falsedad de:
- \( b_1: [\emptyset \notin \mathcal{P}(A) \wedge \emptyset \subset \mathcal{P}(A)] \to \{\{\emptyset\}\} \subset \mathcal{P}(A) \)
- \( b_2: \{\emptyset, \{a\}\} \in \mathcal{P}(A) \to \{\emptyset\} \in \mathcal{P}(A) \)
- (c) Construir la expresión lógica simplificada de \( b_1 \to b_2 \).
Solución:
(a) Comencemos calculando los conjuntos potencia que definen a \( A \):
- \( \mathcal{P}(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\} \) — los subconjuntos de \( \{a\} \) son el vacío y \( \{a\} \) mismo.
- \( \mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\} \) — el único subconjunto de \( \emptyset \) es el propio \( \emptyset \).
Sustituyendo en la definición de \( A \):
\[ A = \{\{\emptyset, \{a\}\}, \{\emptyset\}\} \]
El conjunto \( A \) tiene dos elementos:
- Elemento 1: \( \{\emptyset, \{a\}\} \)
- Elemento 2: \( \{\emptyset\} \)
Ahora, \( \mathcal{P}(A) \) tiene \( 2^2 = 4 \) subconjuntos:
\[ \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{\{\emptyset, \{a\}\}\}, \{\{\emptyset\}\}, A \} \]
Es decir, los subconjuntos de \( A \) son: el vacío, el unitario con el primer elemento, el unitario con el segundo elemento, y \( A \) completo.
(b) Evaluemos cada proposición atómica:
Proposición \( b_1 \): \( [\emptyset \notin \mathcal{P}(A) \wedge \emptyset \subset \mathcal{P}(A)] \to \{\{\emptyset\}\} \subset \mathcal{P}(A) \)
Evaluamos cada parte:
- \( \emptyset \in \mathcal{P}(A) \): Sí, \( \emptyset \) es subconjunto de todo conjunto, por lo tanto \( \emptyset \in \mathcal{P}(A) \). Verdadero.
- \( \emptyset \notin \mathcal{P}(A) \): Como lo anterior es verdadero, su negación es Falsa.
- \( \emptyset \subset \mathcal{P}(A) \): Sí, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. Verdadero.
- \( \{\{\emptyset\}\} \subset \mathcal{P}(A) \): Necesitamos que \( \{\emptyset\} \) sea elemento de \( \mathcal{P}(A) \). Los elementos de \( \mathcal{P}(A) \) son: \( \emptyset \), \( \{\{\emptyset, \{a\}\}\} \), \( \{\{\emptyset\}\} \) y \( A \). Como \( \{\emptyset\} \neq \) ninguno de ellos (ojo: \( \{\emptyset\} \neq \{\{\emptyset\}\} \), tienen distinto nivel de anidamiento), entonces \( \{\emptyset\} \notin \mathcal{P}(A) \). Falso.
Evaluando \( b_1 \):
\[ b_1 = (\text{F} \wedge \text{V}) \to \text{F} = \text{F} \to \text{F} = \text{V} \]
La proposición \( b_1 \) es verdadera (una implicación con antecedente falso siempre es verdadera). ✓
Proposición \( b_2 \): \( \{\emptyset, \{a\}\} \in \mathcal{P}(A) \to \{\emptyset\} \in \mathcal{P}(A) \)
- \( \{\emptyset, \{a\}\} \in \mathcal{P}(A) \): Esto pregunta si \( \{\emptyset, \{a\}\} \) es un subconjunto de \( A \). Para ello necesitamos que \( \emptyset \in A \) y \( \{a\} \in A \). Los elementos de \( A \) son \( \{\emptyset, \{a\}\} \) y \( \{\emptyset\} \). Ni \( \emptyset \) ni \( \{a\} \) son elementos de \( A \) (son elementos de los elementos de \( A \)), por lo que \( \{\emptyset, \{a\}\} \not\subset A \). Falso.
- \( \{\emptyset\} \in \mathcal{P}(A) \): Ya vimos que \( \{\emptyset\} \) no es subconjunto de \( A \) (porque \( \emptyset \notin A \)). Falso.
Evaluando \( b_2 \):
\[ b_2 = \text{F} \to \text{F} = \text{V} \]
La proposición \( b_2 \) es verdadera. ✓
(c) Asignemos variables a cada proposición atómica:
| Variable | Proposición | Valor |
|---|---|---|
| \( p \) | \( \emptyset \in \mathcal{P}(A) \) | V |
| \( q \) | \( \emptyset \subset \mathcal{P}(A) \) | V |
| \( r \) | \( \{\{\emptyset\}\} \subset \mathcal{P}(A) \) | F |
| \( s \) | \( \{\emptyset, \{a\}\} \in \mathcal{P}(A) \) | F |
| \( t \) | \( \{\emptyset\} \in \mathcal{P}(A) \) | F |
Expresamos \( b_1 \) y \( b_2 \) en términos de estas variables:
\[ b_1: (\neg p \wedge q) \to r \equiv (p \vee \neg q) \vee r \]
\[ b_2: s \to t \equiv \neg s \vee t \]
Luego:
\[ b_1 \to b_2 \equiv [(p \vee \neg q) \vee r] \to [\neg s \vee t] \]
Aplicando la equivalencia \( X \to Y \equiv \neg X \vee Y \):
\[ \equiv \neg[(p \vee \neg q) \vee r] \vee (\neg s \vee t) \]
Aplicando De Morgan al primer término:
\[ \equiv [(\neg p \wedge q) \wedge \neg r] \vee \neg s \vee t \]
Verificación con los valores: \( [(\text{F} \wedge \text{V}) \wedge \text{V}] \vee \text{V} \vee \text{F} = \text{F} \vee \text{V} \vee \text{F} = \text{V} \) ✓
Ejercicio 6
Sean \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), \( A = \{2, 4, 6, 8\} \), \( B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \) y \( C = \{3, 4, 5\} \). Hallar un subconjunto \( X \) de \( U \) tal que \( X \subset C \), \( X \not\subset A \) y \( X \not\subset B \). ¿Cuántas soluciones existen?
Solución:
Las tres condiciones que debe cumplir \( X \) son:
- \( X \subset C \): \( X \) debe ser subconjunto de \( C = \{3, 4, 5\} \).
- \( X \not\subset A \): \( X \) no debe ser subconjunto de \( A = \{2, 4, 6, 8\} \).
- \( X \not\subset B \): \( X \) no debe ser subconjunto de \( B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \).
Paso 1 — Identificar qué exigen las condiciones 2 y 3.
Observemos qué elementos de \( C \) pertenecen a \( A \) y cuáles a \( B \):
- \( C \cap A = \{4\} \) — solo el 4 está en ambos.
- \( C \cap B = \{3, 5\} \) — el 3 y el 5 están en ambos.
- \( C – A = \{3, 5\} \) — elementos de \( C \) que no están en \( A \).
- \( C – B = \{4\} \) — elementos de \( C \) que no están en \( B \).
Para que \( X \not\subset A \), \( X \) debe contener al menos un elemento que no pertenezca a \( A \). Como \( X \subset C \), ese elemento debe venir de \( C – A = \{3, 5\} \). Es decir, \( X \) debe contener al 3, al 5, o a ambos.
Para que \( X \not\subset B \), \( X \) debe contener al menos un elemento que no pertenezca a \( B \). Ese elemento debe venir de \( C – B = \{4\} \). Es decir, \( X \) debe contener al 4.
Paso 2 — Resumir las restricciones.
\( X \) debe ser subconjunto de \( \{3, 4, 5\} \) que:
- Contenga al 4 (para no ser subconjunto de \( B \)).
- Contenga al menos uno de \( \{3, 5\} \) (para no ser subconjunto de \( A \)).
Paso 3 — Listar todas las soluciones.
Los subconjuntos de \( C \) que contienen al 4 son: \( \{4\} \), \( \{3, 4\} \), \( \{4, 5\} \), \( \{3, 4, 5\} \).
De estos, descartamos \( \{4\} \) porque no contiene ningún elemento de \( \{3, 5\} \) (sería subconjunto de \( A \)).
Las soluciones son:
| \( X \) | \( X \subset C \) | \( X \not\subset A \) | \( X \not\subset B \) |
|---|---|---|---|
| \( \{3, 4\} \) | ✓ | ✓ (\( 3 \notin A \)) | ✓ (\( 4 \notin B \)) |
| \( \{4, 5\} \) | ✓ | ✓ (\( 5 \notin A \)) | ✓ (\( 4 \notin B \)) |
| \( \{3, 4, 5\} \) | ✓ | ✓ (\( 3, 5 \notin A \)) | ✓ (\( 4 \notin B \)) |
Existen 3 soluciones.
Ejercicio 7
Dado el conjunto \( A = \{a, \{a\}, \{\emptyset\}, \emptyset\} \). Analizar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
- (1) \( \{a\} \in A \wedge \{a\} \subset A \)
- (2) \( \{a\} \subset A \wedge \{\{a\}\} \subset A \)
- (3) \( \{\emptyset\} \subset A \wedge \{\{\emptyset\}\} \subset A \)
- (4) \( \emptyset \subset A \wedge \emptyset \in A \)
- (5) \( \{a, \emptyset\} \subset A \wedge \{\{a\}, \{\emptyset\}\} \subset A \)
Solución:
Antes de evaluar, identifiquemos cuidadosamente los cuatro elementos de \( A \):
| Elemento | Descripción |
|---|---|
| \( a \) | Un elemento individual |
| \( \{a\} \) | El conjunto que contiene a \( a \) |
| \( \{\emptyset\} \) | El conjunto que contiene al vacío |
| \( \emptyset \) | El conjunto vacío |
Recordemos la diferencia clave:
- Pertenencia \( (\in) \): \( x \in A \) significa que \( x \) es uno de los elementos listados arriba.
- Inclusión \( (\subset) \): \( S \subset A \) significa que todos los elementos de \( S \) pertenecen a \( A \).
(1) \( \{a\} \in A \wedge \{a\} \subset A \)
- \( \{a\} \in A \): es \( \{a\} \) uno de los elementos de \( A \)? Sí, es el segundo elemento. V. ✓
- \( \{a\} \subset A \): todo elemento de \( \{a\} \) pertenece a \( A \)? El único elemento es \( a \), y \( a \in A \). V. ✓
\( \text{V} \wedge \text{V} = \) Verdadero ✓
Observa que \( \{a\} \) cumple ambas relaciones con \( A \): es elemento de \( A \) y también es subconjunto de \( A \). Esto ocurre porque tanto \( \{a\} \) como su contenido \( a \) están en \( A \).
(2) \( \{a\} \subset A \wedge \{\{a\}\} \subset A \)
- \( \{a\} \subset A \): \( a \in A \). V. ✓
- \( \{\{a\}\} \subset A \): todo elemento de \( \{\{a\}\} \) pertenece a \( A \)? Su único elemento es \( \{a\} \), y \( \{a\} \in A \). V. ✓
\( \text{V} \wedge \text{V} = \) Verdadero ✓
(3) \( \{\emptyset\} \subset A \wedge \{\{\emptyset\}\} \subset A \)
- \( \{\emptyset\} \subset A \): Su único elemento es \( \emptyset \). \( \emptyset \in A \)? Sí, es el cuarto elemento. V. ✓
- \( \{\{\emptyset\}\} \subset A \): Su único elemento es \( \{\emptyset\} \). \( \{\emptyset\} \in A \)? Sí, es el tercer elemento. V. ✓
\( \text{V} \wedge \text{V} = \) Verdadero ✓
Análogo al caso anterior: \( \{\emptyset\} \) y \( \emptyset \) son objetos distintos pero ambos pertenecen a \( A \).
(4) \( \emptyset \subset A \wedge \emptyset \in A \)
- \( \emptyset \subset A \): El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. V. ✓
- \( \emptyset \in A \): \( \emptyset \) está listado explícitamente como el cuarto elemento de \( A \). V. ✓
\( \text{V} \wedge \text{V} = \) Verdadero ✓
Nuevamente, \( \emptyset \) cumple ambas relaciones: es subconjunto de \( A \) (por propiedad universal) y además es elemento de \( A \) (por construcción).
(5) \( \{a, \emptyset\} \subset A \wedge \{\{a\}, \{\emptyset\}\} \subset A \)
- \( \{a, \emptyset\} \subset A \): Necesitamos \( a \in A \) y \( \emptyset \in A \). Ambos son elementos de \( A \). V. ✓
- \( \{\{a\}, \{\emptyset\}\} \subset A \): Necesitamos \( \{a\} \in A \) y \( \{\emptyset\} \in A \). Ambos son elementos de \( A \). V. ✓
\( \text{V} \wedge \text{V} = \) Verdadero ✓
Resumen: Las cinco afirmaciones son verdaderas. Esto es posible porque \( A \) fue construido con elementos en dos niveles: tanto \( a \) y \( \emptyset \) como sus versiones envueltas \( \{a\} \) y \( \{\emptyset\} \) pertenecen a \( A \).
Ejercicio 8
Dados los conjuntos \( A = \{7n + 2 \mid n \in \mathbb{Z}\} \), \( B = \{7n – 26 \mid n \in \mathbb{Z}\} \), \( C = \{4n + 1 \mid n \in \mathbb{Z}\} \) y \( D = \{2n + 1 \mid n \in \mathbb{Z}\} \). Analizar y justificar:
- (a) \( A = B \)
- (b) \( C = D \)
Solución:
(a) \( A = B \)
Listemos algunos elementos para detectar algunos elementos en común:
- \( A = \{\dots, -12, -5, 2, 9, 16, 23, \dots\} \) (sustituyendo \( n = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \))
- \( B = \{\dots, -40, -33, -26, -19, -12, -5, 2, 9, \dots\} \) (sustituyendo \( n = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \))
Ambos parecen generar los mismos números. Demostrémoslo por doble inclusión.
Parte I — \( A \subset B \): Sea \( k \in A \), entonces \( k = 7n + 2 \) para algún \( n \in \mathbb{Z} \).
Queremos expresar \( k \) en la forma \( 7m – 26 \):
\[ 7n + 2 = 7m – 26 \implies 7m = 7n + 28 \implies m = n + 4 \]
Como \( n \in \mathbb{Z} \), entonces \( m = n + 4 \in \mathbb{Z} \). Por lo tanto \( k = 7m – 26 \) con \( m \in \mathbb{Z} \), lo que significa \( k \in B \). ✓
Parte II — \( B \subset A \): Sea \( k \in B \), entonces \( k = 7m – 26 \) para algún \( m \in \mathbb{Z} \).
Queremos expresar \( k \) en la forma \( 7n + 2 \):
\[ 7m – 26 = 7n + 2 \implies 7n = 7m – 28 \implies n = m – 4 \]
Como \( m \in \mathbb{Z} \), entonces \( n = m – 4 \in \mathbb{Z} \). Por lo tanto \( k = 7n + 2 \) con \( n \in \mathbb{Z} \), lo que significa \( k \in A \). ✓
Conclusión: \( A = B \). ∎
Observación: Ambos conjuntos representan los enteros que al dividirse por 7 dejan residuo 2. La diferencia entre las fórmulas \( 7n + 2 \) y \( 7n – 26 \) es solo un desplazamiento de 28 unidades, que es múltiplo de 7, por lo que generan los mismos valores.
(b) \( C = D \)?
Listemos algunos elementos:
- \( C = \{\dots, -7, -3, 1, 5, 9, 13, 17, \dots\} \) (de 4 en 4)
- \( D = \{\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, \dots\} \) (de 2 en 2, todos los impares)
Notamos que \( C \) salta de 4 en 4 mientras que \( D \) incluye todos los impares. Analicemos:
\( C \subset D \): Sea \( k \in C \), entonces \( k = 4n + 1 \) para algún \( n \in \mathbb{Z} \).
Reescribimos: \( k = 4n + 1 = 2(2n) + 1 \). Si definimos \( m = 2n \), entonces \( k = 2m + 1 \) con \( m \in \mathbb{Z} \), es decir, \( k \in D \). ✓
\( D \subset C \)? Sea \( k \in D \), entonces \( k = 2m + 1 \) para algún \( m \in \mathbb{Z} \).
Queremos expresar \( k \) en la forma \( 4n + 1 \):
\[ 2m + 1 = 4n + 1 \implies 2m = 4n \implies n = \frac{m}{2} \]
Pero \( n \) debe ser entero, y \( \frac{m}{2} \in \mathbb{Z} \) solo cuando \( m \) es par. Si \( m \) es impar, \( n \) no es entero.
Contraejemplo: \( 3 \in D \) (con \( m = 1 \): \( 2(1) + 1 = 3 \)), pero \( 3 \in C \) requeriría \( 4n + 1 = 3 \implies n = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} \). Por lo tanto \( 3 \notin C \). ✗
Conclusión: \( C ≠ D \). Se cumple \( C \subset D \) (\( C \) es subconjunto propio de \( D \)), pero \( D \not\subset C \). En otras palabras, todo elemento de \( C \) es impar, pero no todo impar pertenece a \( C \).
Ejercicio 9
Sean los conjuntos \( A = \{\{0, 1\}, \{2, 4, 8\}, \emptyset\} \), \( B = \{0, 1, 4, 8\} \) y \( C = \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{0\}, \{1\}, 2, \{4\}, \{8\}\} \). Indicar la verdad o falsedad de cada afirmación:
(a) \( \phi \subset A \) ; \( \phi \in A \) ; \( \{C\} \subset B \) ; \( B \subset A \) ; \( \{1\} \in A \)
(b) \( \{1, 8\} \in B \) ; \( \{ \{ \phi \}, \{ 1 \} \} \subset C \) ; \( \{0, 1\} \subset C \) ; \( \{\phi, \{\phi\}, \{1\}\} \subset C \)
(c) \( \{\phi\} \subset B \) ; \( \{\phi, 1, 2, \{8\}\} \subset B \) ; \( \phi = \{\phi\} \) ; \( \{0, 1\} \in A \) ; \( \{0, 1\} \subset A \)
(d) \( \{0, 1\} \subset B \) ; \( \{0, 1\} \in C \) ; \( \{1\} \subset \{0, 1\} \) ; \( \{1\} \in \{\{1\}\} \)
Solución:
Identifiquemos los elementos de cada conjunto:
| Conjunto | Elementos |
|---|---|
| \( A \) | \( \{0, 1\} \), \( \{2, 4, 8\} \), \( \emptyset \) — 3 elementos (todos son conjuntos) |
| \( B \) | \( 0 \), \( 1 \), \( 4 \), \( 8 \) — 4 elementos (todos son números) |
| \( C \) | \( \emptyset \), \( \{\emptyset\} \), \( \{0\} \), \( \{1\} \), \( 2 \), \( \{4\} \), \( \{8\} \) — 7 elementos (mezcla de conjuntos y un número) |
(a)
- \( \emptyset \subset A \): El vacío es subconjunto de todo conjunto. V ✓
- \( \emptyset \in A \): \( \emptyset \) está listado como el tercer elemento de \( A \). V ✓
- \( \{C\} \subset B \): Necesitamos \( C \in B \). Los elementos de \( B \) son números (0, 1, 4, 8), y \( C \) es un conjunto de 7 elementos, no es ninguno de ellos. F ✗
- \( B \subset A \): Necesitamos que todo elemento de \( B \) pertenezca a \( A \). Pero \( 0 \in A \)? No, los elementos de \( A \) son conjuntos (\( \{0,1\} \), \( \{2,4,8\} \), \( \emptyset \)), no números sueltos. F ✗
- \( \{1\} \in A \): Los elementos de \( A \) son \( \{0, 1\} \), \( \{2, 4, 8\} \) y \( \emptyset \). El conjunto \( \{1\} \) no es ninguno de ellos. F ✗
(b)
- \( \{1, 8\} \in B \): Los elementos de \( B \) son números individuales, no conjuntos. \( \{1, 8\} \) no es un elemento de \( B \). F ✗
- \( \{\{\emptyset\}, \{1\}\} \subset C \): Necesitamos \( \{\emptyset\} \in C \) y \( \{1\} \in C \). Ambos están listados como elementos de \( C \). V ✓
- \( \{0, 1\} \subset C \): Necesitamos \( 0 \in C \) y \( 1 \in C \). En \( C \) aparecen \( \{0\} \) y \( \{1\} \), pero no \( 0 \) ni \( 1 \) sueltos (recordemos: \( 0 ≠ \{0\} \)). F ✗
- \( \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{1\}\} \subset C \): Necesitamos \( \emptyset \in C \), \( \{\emptyset\} \in C \) y \( \{1\} \in C \). Los tres están listados como elementos de \( C \). V ✓
(c)
- \( \{\emptyset\} \subset B \): Necesitamos \( \emptyset \in B \). Los elementos de \( B \) son 0, 1, 4, 8 y \( \emptyset \) no es ninguno de ellos. F ✗
- \( \{\emptyset, 1, 2, \{8\}\} \subset B \): Necesitamos que todos pertenezcan a \( B \). Ya \( \emptyset \notin B \), \( \{8\} \notin B \) (en \( B \) está el número 8, no el conjunto \( \{8\} \)), y \( 2 \notin B \). F ✗
- \( \emptyset = \{\emptyset\} \): No. \( \emptyset \) no tiene elementos, mientras que \( \{\emptyset\} \) tiene exactamente un elemento (\( \emptyset \) mismo). Son objetos distintos. F ✗
- \( \{0, 1\} \in A \): \( \{0, 1\} \) es el primer elemento de \( A \). V ✓
- \( \{0, 1\} \subset A \): Necesitamos \( 0 \in A \) y \( 1 \in A \). Los elementos de \( A \) son conjuntos, no números individuales. F ✗
Observa el contraste: \( \{0, 1\} \in A \) es verdadero pero \( \{0, 1\} \subset A \) es falso. Ser elemento de un conjunto y ser subconjunto de él son relaciones completamente diferentes.
(d)
- \( \{0, 1\} \subset B \): Necesitamos \( 0 \in B \) y \( 1 \in B \). Ambos son elementos de \( B \). V ✓
- \( \{0, 1\} \in C \): Los elementos de \( C \) son \( \emptyset \), \( \{\emptyset\} \), \( \{0\} \), \( \{1\} \), 2, \( \{4\} \) y \( \{8\} \). El conjunto \( \{0, 1\} \) no es ninguno de ellos. F ✗
- \( \{1\} \subset \{0, 1\} \): Necesitamos \( 1 \in \{0, 1\} \). Sí. V ✓
- \( \{1\} \in \{\{1\}\} \): El único elemento de \( \{\{1\}\} \) es \( \{1\} \). Entonces \( \{1\} \in \{\{1\}\} \). V ✓
Resumen:
| Afirmación 1 | Afirmación 2 | Afirmación 3 | Afirmación 4 | Afirmación 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| (a) | V | V | F | F | F |
| (b) | F | V | F | V | — |
| (c) | F | F | F | V | F |
| (d) | V | F | V | V | — |
Ejercicio 10
Sea \( A = \{2, \{3, 4\}, \{5\}, 6\} \). Analizar los valores de verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
- (a) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid 4 \in X \)
- (b) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{6\} \subset X \)
- (c) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{5\} \subset X \)
- (d) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{3, 4\} \subset X \)
Solución:
Identifiquemos los cuatro elementos de \( A \):
| Elemento | Tipo |
|---|---|
| \( 2 \) | Número |
| \( \{3, 4\} \) | Conjunto (un único elemento de \( A \)) |
| \( \{5\} \) | Conjunto (un único elemento de \( A \)) |
| \( 6 \) | Número |
Recordemos que los subconjuntos de \( A \) (elementos de \( \mathcal{P}(A) \)) solo pueden contener combinaciones de estos cuatro elementos. Los números 3, 4 y 5 por separado no son elementos de \( A \), están dentro de elementos de \( A \).
(a) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid 4 \in X \)
Buscamos algún subconjunto \( X \) de \( A \) que contenga al número 4 como elemento. Pero el 4 no es un elemento de \( A \) (está dentro del conjunto \( \{3, 4\} \), que es un elemento de \( A \)). Como ningún subconjunto de \( A \) puede contener algo que no pertenezca a \( A \), no existe tal \( X \).
La afirmación es falsa. ✗
(b) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{6\} \subset X \)
Buscamos algún \( X \in \mathcal{P}(A) \) tal que \( \{6\} \subset X \). Para que \( \{6\} \) sea subconjunto de \( X \), necesitamos que \( 6 \in X \).
Como \( 6 \in A \), cualquier subconjunto de \( A \) que contenga a 6 sirve. Por ejemplo, \( X = \{2, 6\} \in \mathcal{P}(A) \) cumple: \( \{6\} \subset \{2, 6\} \). ✓
La afirmación es verdadera. ✓
(c) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{5\} \subset X \)
Para que \( \{5\} \subset X \), necesitamos que \( 5 \in X \). Pero el número 5 no es un elemento de \( A \); lo que pertenece a \( A \) es el conjunto \( \{5\} \).
No confundir: \( \{5\} \in A \) (verdadero) con \( 5 \in A \) (falso). El primero dice que el conjunto \( \{5\} \) es elemento de \( A \); el segundo dice que el número 5 es elemento de \( A \).
Ningún subconjunto de \( A \) contiene al número 5, por lo que \( \{5\} \) no puede ser subconjunto de ningún \( X \in \mathcal{P}(A) \).
La afirmación es falsa. ✗
(d) \( \exists X \in \mathcal{P}(A) \mid \{3, 4\} \subset X \)
Para que \( \{3, 4\} \subset X \), necesitamos que \( 3 \in X \) y \( 4 \in X \). Pero ni 3 ni 4 son elementos de \( A \) (están dentro del conjunto \( \{3, 4\} \) que es un elemento de \( A \)).
Análogo al inciso (c): \( \{3, 4\} \in A \) (verdadero, es un elemento) pero \( \{3, 4\} \subset A \) (falso, porque \( 3 \notin A \) y \( 4 \notin A \)).
La afirmación es falsa. ✗
Resumen:
| Inciso | Resultado | Razón clave |
|---|---|---|
| (a) | F | \( 4 \notin A \), está dentro de \( \{3,4\} \) |
| (b) | V | \( 6 \in A \), basta tomar \( X = \{2, 6\} \) |
| (c) | F | \( 5 \notin A \), lo que pertenece es \( \{5\} \) |
| (d) | F | \( 3 \notin A \) y \( 4 \notin A \), pertenece \( \{3,4\} \) como bloque |
Ejercicio 11
Sea el conjunto universal \( U = \{\emptyset, 2, \frac{2}{3}, 5\} \) y los subconjuntos:
- \( A = \{x \in U \mid x \text{ es par} \vee x \text{ es primo}\} \)
- \( B = \{x \in U \mid x \neq \emptyset \wedge x \text{ no es entero}\} \)
- \( C = \{x \in U \mid x \text{ es un número} \vee x = \emptyset\} \)
Hallar: (a) \( B’ – A \), (b) \( (A \cup B) – (B \cap C) \), (c) \( (C – B) \cap A \).
Solución:
Paso 1 — Determinar cada conjunto evaluando elemento por elemento.
Para \( A \): \( x \) es par o \( x \) es primo.
| \( x \) | «Es par? | «Es primo? | \( p \vee q \) | «\( x \in A \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( \emptyset \) | No (no es número) | No | F | No |
| \( 2 \) | Sí | Sí | V | Sí ✓ |
| \( \frac{2}{3} \) | No | No | F | No |
| \( 5 \) | No | Sí | V | Sí ✓ |
\[ A = \{2, 5\} \]
Para \( B \): \( x \neq \emptyset \) y \( x \) no es entero.
| \( x \) | \( x \neq \emptyset \) | «No es entero? | \( p \wedge q \) | «\( x \in B \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( \emptyset \) | No | — | F | No |
| \( 2 \) | Sí | No (es entero) | F | No |
| \( \frac{2}{3} \) | Sí | Sí | V | Sí ✓ |
| \( 5 \) | Sí | No (es entero) | F | No |
\[ B = \left\{\frac{2}{3}\right\} \]
Para \( C \): \( x \) es un número o \( x = \emptyset \).
| \( x \) | «Es número? | \( x = \emptyset \) | \( p \vee q \) | «\( x \in C \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( \emptyset \) | No | Sí | V | Sí ✓ |
| \( 2 \) | Sí | No | V | Sí ✓ |
| \( \frac{2}{3} \) | Sí | No | V | Sí ✓ |
| \( 5 \) | Sí | No | V | Sí ✓ |
\[ C = U = \left\{\emptyset, 2, \frac{2}{3}, 5\right\} \]
También necesitaremos el complemento de \( B \):
\[ B’ = U – B = \{\emptyset, 2, 5\} \]
Paso 2 — Resolver las operaciones.
(a) \( B’ – A = \{\emptyset, 2, 5\} – \{2, 5\} = \{\emptyset\} \)
Se eliminan de \( B’ \) los elementos que pertenecen a \( A \) (el 2 y el 5), quedando solo \( \emptyset \).
(b) \( (A \cup B) – (B \cap C) \)
- \( A \cup B = \{2, 5\} \cup \left\{\frac{2}{3}\right\} = \left\{2, 5, \frac{2}{3}\right\} \)
- \( B \cap C = \left\{\frac{2}{3}\right\} \cap U = \left\{\frac{2}{3}\right\} \)
- \( (A \cup B) – (B \cap C) = \left\{2, 5, \frac{2}{3}\right\} – \left\{\frac{2}{3}\right\} = \{2, 5\} \)
(c) \( (C – B) \cap A \)
- \( C – B = \left\{\emptyset, 2, \frac{2}{3}, 5\right\} – \left\{\frac{2}{3}\right\} = \{\emptyset, 2, 5\} \)
- \( (C – B) \cap A = \{\emptyset, 2, 5\} \cap \{2, 5\} = \{2, 5\} \)
Resultados:
| Operación | Resultado |
|---|---|
| \( B’ – A \) | \( \{\emptyset\} \) |
| \( (A \cup B) – (B \cap C) \) | \( \{2, 5\} \) |
| \( (C – B) \cap A \) | \( \{2, 5\} \) |
Ejercicio 12
Si \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 4 \to x = 6\} \), \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 0 \wedge x \leq 5\} \), \( C = \{x \in \mathbb{Z} \mid \neg(x > 1 \to x^2 = 4x – 3)\} \). Hallar \( M = (A \cap B) – (B \cap C) \).
Solución:
Determinación de \( A \):
La condición es \( x > 4 \to x = 6 \). Aplicando la equivalencia lógica \( p \to q \equiv \neg p \vee q \):
\[ x > 4 \to x = 6 \equiv x \leq 4 \vee x = 6 \]
Entonces \( A \) incluye todos los naturales que sean \( \leq 4 \) o iguales a 6:
\[ A = \{1, 2, 3, 4, 6\} \]
Determinación de \( B \):
La condición es \( x > 0 \wedge x \leq 5 \). Como todo número natural ya cumple \( x > 0 \), la condición se reduce a \( x \leq 5 \):
\[ B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \]
Determinación de \( C \):
La condición es \( \neg(x > 1 \to x^2 = 4x – 3) \). Aplicando la equivalencia \( \neg(p \to q) \equiv p \wedge \neg q \):
\[ \neg(x > 1 \to x^2 = 4x – 3) \equiv x > 1 \wedge x^2 \neq 4x – 3 \]
Ahora, «para qué valores de \( x \) se cumple \( x^2 = 4x – 3 \)? Resolvemos:
\[ x^2 – 4x + 3 = 0 \implies (x – 1)(x – 3) = 0 \implies x = 1 \text{ o } x = 3 \]
Es decir, \( x^2 = 4x – 3 \) solo es verdadero para \( x = 1 \) y \( x = 3 \). Para cualquier otro entero, \( x^2 \neq 4x – 3 \) es verdadero.
Combinando ambas condiciones (\( x > 1 \) y \( x^2 \neq 4x – 3 \)):
- Se excluye \( x = 1 \) (porque \( 1 > 1 \) es falso).
- Se excluye \( x = 3 \) (porque \( 3^2 = 4(3) – 3 \), es decir, \( x^2 = 4x – 3 \) es verdadero).
- Todo otro entero \( > 1 \) cumple ambas condiciones.
\[ C = \{x \in \mathbb{Z} \mid x > 1 \wedge x \neq 3\} = \{\dots, 2, 4, 5, 6, 7, 8, \dots\} \]
Corrección: El libro original afirma que \( C = \{3\} \), lo cual es incorrecto. El error consiste en confundir las soluciones de \( x^2 = 4x – 3 \) (los valores que sí cumplen la ecuación) con los que cumplen \( x^2 \neq 4x – 3 \) (los que no la cumplen). La condición exige \( \neq \), por lo que debemos excluir \( x = 1 \) y \( x = 3 \), no incluirlos.
Paso 2 — Calcular \( M \).
Primero las intersecciones:
\[ A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4\} \]
Para \( B \cap C \), verificamos qué elementos de \( B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) están en \( C \):
| \( x \) | \( x > 1 \) | \( x^2 \neq 4x – 3 \) | \( x \in C \) |
|---|---|---|---|
| 1 | No | — | No |
| 2 | Sí | \( 4 \neq 5 \) ✓ | Sí |
| 3 | Sí | \( 9 \neq 9 \)? No | No |
| 4 | Sí | \( 16 \neq 13 \) ✓ | Sí |
| 5 | Sí | \( 25 \neq 17 \) ✓ | Sí |
\[ B \cap C = \{2, 4, 5\} \]
Finalmente:
\[ M = (A \cap B) – (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4\} – \{2, 4, 5\} = \{1, 3\} \]
Ejercicio 13
Si \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 – 10x – 24 = 0\} \), \( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \leq x \leq 2\} \), \( C = \{x \in \mathbb{Z} \mid 4 – x^2 = 0\} \) y \( D = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 + 3x = 7 – 2x\} \). Hallar el valor de verdad de:
- (a) \( (D \cup A) – C = \{1/3, 2\} \)
- (b) \( (A \cup B) – (D \cup \{12\}) \neq B \)
- (c) \( [(A \cap B) \cup D] \cap C \subset C \)
- (d) \( (D – A) \cap [(A \cup B) – (C \cup D)] = D \)
Solución:
Paso 1 — Determinar cada conjunto.
Para \( A \): resolvemos \( x^2 – 10x – 24 = 0 \).
\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} = \frac{10 \pm 14}{2} \implies x = 12 \text{ o } x = -2 \]
\[ A = \{-2, 12\} \]
Para \( B \): los enteros entre \( -3 \) y \( 2 \):
\[ B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} \]
Para \( C \): resolvemos \( 4 – x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \):
\[ C = \{-2, 2\} \]
Para \( D \): resolvemos \( 2 + 3x = 7 – 2x \implies 5x = 5 \implies x = 1 \). Como \( 1 \in \mathbb{N} \):
\[ D = \{1\} \]
Paso 2 — Evaluar cada afirmación.
(a) \( (D \cup A) – C = \{1/3, 2\} \)
- \( D \cup A = \{1\} \cup \{-2, 12\} = \{-2, 1, 12\} \)
- \( (D \cup A) – C = \{-2, 1, 12\} – \{-2, 2\} = \{1, 12\} \)
Se elimina \( -2 \) (está en \( C \)), pero 1 y 12 permanecen porque no están en \( C \). El resultado \( \{1, 12\} \neq \{1/3, 2\} \).
La afirmación es falsa. ✗
(b) \( (A \cup B) – (D \cup \{12\}) \neq B \)
- \( A \cup B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 12\} \)
- \( D \cup \{12\} = \{1, 12\} \)
- \( (A \cup B) – (D \cup \{12\}) = \{-3, -2, -1, 0, 2\} \)
Comparamos con \( B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} \): el resultado no contiene al 1, mientras que \( B \) sí lo contiene. Son distintos.
La afirmación es verdadera. ✓
(c) \( [(A \cap B) \cup D] \cap C \subset C \)
- \( A \cap B = \{-2, 12\} \cap \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} = \{-2\} \)
- \( (A \cap B) \cup D = \{-2\} \cup \{1\} = \{-2, 1\} \)
- \( \{-2, 1\} \cap C = \{-2, 1\} \cap \{-2, 2\} = \{-2\} \)
«\( \{-2\} \subset C = \{-2, 2\} \)? Sí, \( \{-2\} \) es subconjunto de \( C \) (todos sus elementos pertenecen a \( C \)).
La afirmación es verdadera. ✓
(d) \( (D – A) \cap [(A \cup B) – (C \cup D)] = D \)
- \( D – A = \{1\} – \{-2, 12\} = \{1\} \) (el 1 no está en \( A \), así que permanece)
- \( C \cup D = \{-2, 2\} \cup \{1\} = \{-2, 1, 2\} \)
- \( (A \cup B) – (C \cup D) = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 12\} – \{-2, 1, 2\} = \{-3, -1, 0, 12\} \)
- \( (D – A) \cap [(A \cup B) – (C \cup D)] = \{1\} \cap \{-3, -1, 0, 12\} = \emptyset \)
El resultado es \( \emptyset \), pero \( D = \{1\} \neq \emptyset \).
La afirmación es falsa. ✗
Resumen:
| Inciso | Resultado |
|---|---|
| (a) | Falsa |
| (b) | Verdadera |
| (c) | Verdadera |
| (d) | Falsa |
Ejercicio 14
«Cuáles de las siguientes afirmaciones son equivalentes a la proposición \( x \in [B \cap (A – C)]’ \)?
- (a) \( x \notin [B \cap (A – C)] \)
- (b) \( x \notin B \vee x \notin (A – C) \)
- (c) \( x \in B’ \vee x \in A’ \vee x \in C \)
- (d) \( x \in (B \cap A)’ \wedge x \in C \)
Solución:
Primero, interpretemos la proposición original. Por definición de complemento:
\[ x \in [B \cap (A – C)]’ \equiv x \notin [B \cap (A – C)] \]
Ahora verifiquemos cada afirmación:
(a) \( x \notin [B \cap (A – C)] \)
Esto es exactamente la definición de complemento aplicada a la proposición original.
\( ∴ \) Es equivalente. ✓
(b) \( x \notin B \vee x \notin (A – C) \)
Aplicamos la Ley de De Morgan a \( x \notin [B \cap (A – C)] \):
\[ x \notin [B \cap (A – C)] \equiv \neg(x \in B \wedge x \in (A – C)) \equiv x \notin B \vee x \notin (A – C) \]
\( ∴ \) Es equivalente. ✓
(c) \( x \in B’ \vee x \in A’ \vee x \in C \)
Transformamos paso a paso usando definición de complemento y De Morgan:
\[ x \in B’ \vee x \in A’ \vee x \in C \] \[ \equiv x \notin B \vee x \notin A \vee x \in C \] \[ \equiv x \notin B \vee (x \notin A \vee x \in C) \]
Ahora, \( x \notin A \vee x \in C \equiv \neg(x \in A \wedge x \notin C) \equiv x \notin (A – C) \) (por De Morgan y definición de diferencia). Entonces:
\[ \equiv x \notin B \vee x \notin (A – C) \]
Que es lo mismo que el inciso (b), que ya probamos equivalente.
\( ∴ \) Es equivalente. ✓
(d) \( x \in (B \cap A)’ \wedge x \in C \)
Transformamos:
\[ x \in (B \cap A)’ \wedge x \in C \equiv x \notin (B \cap A) \wedge x \in C \] \[ \equiv x \in C – (B \cap A) \]
Esto describe los elementos que están en \( C \) pero fuera de \( B \cap A \). Sin embargo, la proposición original \( x \notin [B \cap (A – C)] \) describe los elementos fuera de \( B \cap (A – C) \), que incluye elementos que no están en \( C \) en absoluto.
Contraejemplo: Si \( x \notin A \), \( x \notin B \) y \( x \notin C \), entonces \( x \notin [B \cap (A – C)] \) es verdadero, pero \( x \in (B \cap A)’ \wedge x \in C \) es falso (porque \( x \notin C \)).
\( ∴ \) No es equivalente. ✗
Resumen: Las afirmaciones (a), (b) y (c) son equivalentes a la proposición dada. La afirmación (d) no lo es.
Ejercicio 15
Si \( A \subset B \), simplificar: \( \{[(B \cup A) \cap (B^c_B \cap C)] \cup A^c_B\} \cup B’ \)
Donde \( X^c_B \) denota el complemento de \( X \) relativo a \( B \) (es decir, \( B – X \)) y \( B’ \) denota el complemento de \( B \) respecto al universal \( U \).
Solución:
Simplifiquemos paso a paso, aprovechando la hipótesis \( A \subset B \).
Paso 1 — Simplificar \( B \cup A \).
Como \( A \subset B \), todo elemento de \( A \) ya está en \( B \). Entonces:
\[ B \cup A = B \]
Paso 2 — Simplificar \( B^c_B \).
El complemento de \( B \) relativo a \( B \) es \( B – B = \emptyset \). Por lo tanto:
\[ B^c_B \cap C = \emptyset \cap C = \emptyset \]
Paso 3 — Sustituir en la expresión interna.
\[ (B \cup A) \cap (B^c_B \cap C) = B \cap \emptyset = \emptyset \]
Paso 4 — Simplificar el grupo entre llaves.
\[ [\emptyset] \cup A^c_B = A^c_B = B – A \]
Paso 5 — Unir con \( B’ \).
La expresión queda:
\[ (B – A) \cup B’ \]
Reescribimos \( B – A = B \cap A’ \) y aplicamos la ley distributiva:
\[ (B \cap A’) \cup B’ = (B \cup B’) \cap (A’ \cup B’) = U \cap (A’ \cup B’) = A’ \cup B’ \]
Paso 6 — Aplicar De Morgan.
\[ A’ \cup B’ = (A \cap B)’ \]
Paso 7 — Usar la hipótesis \( A \subset B \).
Como \( A \subset B \), se cumple \( A \cap B = A \). Entonces:
\[ (A \cap B)’ = A’ \]
Resultado:
\[ \{[(B \cup A) \cap (B^c_B \cap C)] \cup A^c_B\} \cup B’ = A’ = U – A \]
La expresión, a pesar de su apariencia compleja, se simplifica al complemento de \( A \). ∎
Ejercicio 16
Si \( A \subset B \) y \( (A \cup B) \cap C = \emptyset \), simplificar:
\[ P = \{[A – (B \cap C)] \cup (A \cup C)’ – (B – A)\} \]
Solución:
Paso 1 — Derivar consecuencias de las hipótesis.
De \( A \subset B \) se obtiene:
- \( A \cup B = B \)
- \( A \cap B = A \)
Sustituyendo \( A \cup B = B \) en la segunda hipótesis:
\[ (A \cup B) \cap C = B \cap C = \emptyset \]
Además, como \( A \subset B \) y \( B \cap C = \emptyset \), también se cumple \( A \cap C = \emptyset \).
Paso 2 — Simplificar \( A – (B \cap C) \).
Como \( B \cap C = \emptyset \):
\[ A – (B \cap C) = A – \emptyset = A \]
Paso 3 — Simplificar \( (A \cup C)’ \).
Por De Morgan:
\[ (A \cup C)’ = A’ \cap C’ \]
Paso 4 — Calcular \( (A \cup C)’ – (B – A) \).
\[ (A’ \cap C’) – (B – A) = (A’ \cap C’) \cap (B – A)’ = (A’ \cap C’) \cap (B’ \cup A) \]
Distribuimos:
\[ = (A’ \cap C’ \cap B’) \cup (A’ \cap C’ \cap A) = (A’ \cap B’ \cap C’) \cup \emptyset \]
Ya que \( A’ \cap A = \emptyset \). Aplicando De Morgan:
\[ = (A \cup B \cup C)’ \]
Como \( A \subset B \), entonces \( A \cup B = B \), por lo que:
\[ = (B \cup C)’ \]
Paso 5 — Unir los resultados.
\[ P = A \cup (B \cup C)’ \]
Corrección: El libro original concluye que \( P = A’ \) (complemento de \( A \)), pero esto es incorrecto. El error surge al confundir \( C_B(A) = B – A \) con simplemente \( A \), lo que altera toda la simplificación posterior.
Verificación numérica: Sea \( U = \{1,…,6\} \), \( A = \{1\} \), \( B = \{1,2,3\} \), \( C = \{4,5\} \). Se cumplen las hipótesis (\( A \subset B \) y \( B \cap C = \emptyset \)). Entonces: \( P = \{1\} \cup \{6\} = \{1,6\} \), mientras que \( A’ = \{2,3,4,5,6\} \). Claramente \( P \neq A’ \), pero \( P = A \cup (B \cup C)’ = \{1\} \cup \{6\} \). ✓
Resultado:
\[ P = A \cup (B \cup C)’ \]
Ejercicio 17
Para \( a, b \in \mathbb{Q} \), \( A \) y \( B \) son conjuntos tales que \( B \neq \emptyset \), \( A \cup B \) es unitario, \( A = \{a^2 + 2b, b^2 + 1\} \) y \( A \cup B = \{a + 4b, b + 1 – 3a\} \). Hallar \( A \cap B \).
Solución:
Paso 1 — Deducir la estructura de \( A \) y \( B \).
Si \( A \cup B \) es unitario (tiene un solo elemento) y \( B \neq \emptyset \), entonces:
- \( B \subset A \cup B \), así que \( B \) tiene como máximo 1 elemento. Como \( B \neq \emptyset \), \( B \) es unitario.
- \( A \subset A \cup B \), así que \( A \) tiene como máximo 1 elemento, es decir, \( A \) también es unitario.
- Como todos tienen un solo elemento: \( A = B = A \cup B \).
Paso 2 — Condición para que \( A \) sea unitario.
\( A = \{a^2 + 2b, b^2 + 1\} \) es unitario cuando sus dos expresiones son iguales:
\[ a^2 + 2b = b^2 + 1 \] \[ a^2 = b^2 – 2b + 1 = (b – 1)^2 \] \[ a = \pm(b – 1) \quad \cdots (1) \]
Paso 3 — Condición para que \( A \cup B \) sea unitario.
\( A \cup B = \{a + 4b, b + 1 – 3a\} \) es unitario cuando:
\[ a + 4b = b + 1 – 3a \implies 4a + 3b = 1 \quad \cdots (2) \]
Paso 4 — Resolver el sistema.
Caso I: \( a = b – 1 \). Sustituyendo en (2):
\[ 4(b – 1) + 3b = 1 \implies 7b = 5 \implies b = \frac{5}{7}, \quad a = -\frac{2}{7} \]
Verificamos si \( A = A \cup B \): necesitamos \( a^2 + 2b = a + 4b \):
\[ \left(-\frac{2}{7}\right)^2 + 2 \cdot \frac{5}{7} = \frac{4}{49} + \frac{10}{7} = \frac{74}{49} \] \[ -\frac{2}{7} + 4 \cdot \frac{5}{7} = \frac{18}{7} = \frac{126}{49} \]
\( \frac{74}{49} ≠ \frac{126}{49} \). Los conjuntos \( A \) y \( A \cup B \) tienen elementos distintos, lo que contradice \( A = A \cup B \). Se descarta. ✗
Caso II: \( a = -(b – 1) = 1 – b \). Sustituyendo en (2):
\[ 4(1 – b) + 3b = 1 \implies 4 – b = 1 \implies b = 3, \quad a = -2 \]
Verificamos que \( A = A \cup B \):
\[ a^2 + 2b = (-2)^2 + 2(3) = 4 + 6 = 10 \] \[ b^2 + 1 = 3^2 + 1 = 10 \quad ✓ \quad (\text{A es unitario: } A = \{10\}) \] \[ a + 4b = -2 + 12 = 10 \] \[ b + 1 – 3a = 3 + 1 + 6 = 10 \quad ✓ \quad (A \cup B = \{10\}) \]
Se cumple \( A = A \cup B = \{10\} \). ✓
Resultado:
Con \( a = -2 \) y \( b = 3 \): \( A = B = \{10\} \), por lo tanto:
\[ A \cap B = \{10\} \]
Ejercicio 18
Si \( A = \{\emptyset\} \), \( B = \mathcal{P}(A) \), \( C = B – A \) y \( D = \mathcal{P}(C) \). Hallar \( B \cap D \).
Solución:
Construimos cada conjunto paso a paso, teniendo cuidado con los niveles de anidamiento.
Calcular \( B = \mathcal{P}(A) \):
\( A = \{\emptyset\} \) tiene un solo elemento (\( \emptyset \)). Sus subconjuntos son:
\[ B = \mathcal{P}(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\} \]
Es decir, \( B = \{\emptyset, A\} \), un conjunto de 2 elementos.
Calcular \( C = B – A \):
Eliminamos de \( B \) los elementos que pertenecen a \( A = \{\emptyset\} \):
- \( \emptyset \in A \)? Sí (es el único elemento de \( A \)). Se elimina. ✗
- \( \{\emptyset\} \in A \)? No (\( \{\emptyset\} ≠ \emptyset \), tienen distinto nivel de anidamiento). Se conserva. ✓
\[ C = \{\{\emptyset\}\} \]
Calcular \( D = \mathcal{P}(C) \):
\( C = \{\{\emptyset\}\} \) tiene un solo elemento (\( \{\emptyset\} \)). Sus subconjuntos son:
\[ D = \mathcal{P}(\{\{\emptyset\}\}) = \{\emptyset, \{\{\emptyset\}\}\} \]
Hallar \( B \cap D \):
Comparamos elemento por elemento:
| Elemento | \( \in B \)? | \( \in D \)? | \( \in B \cap D \)? |
|---|---|---|---|
| \( \emptyset \) | Sí | Sí | Sí ✓ |
| \( \{\emptyset\} \) | Sí | No (\( \{\emptyset\} ≠ \{\{\emptyset\}\} \)) | No |
| \( \{\{\emptyset\}\} \) | No (\( \{\{\emptyset\}\} ≠ \{\emptyset\} \)) | Sí | No |
\[ B \cap D = \{\emptyset\} = A \]
Observación: Resulta que \( B \cap D = A \), el conjunto original. Esto ocurre porque el único elemento que comparten \( B \) y \( D \) es \( \emptyset \) (que siempre está en todo conjunto potencia), y \( \{\emptyset\} = A \).
Ejercicio 19
En el diagrama general de cuatro conjuntos \( A, B, C, D \) se tienen 16 zonas numeradas. Si \( A \subset C \), \( B \supset D \) y \( (B \cup C) – (B \cap C) = B \cup C \), «qué zonas con seguridad no son vacías?ABCD11215410987121335616
Solución:
Paso 1 — Interpretar las hipótesis.
Tenemos tres condiciones:
- \( A \subset C \): todo elemento de \( A \) pertenece a \( C \).
- \( D \subset B \): todo elemento de \( D \) pertenece a \( B \).
- \( (B \cup C) – (B \cap C) = B \cup C \): la diferencia simétrica \( B △ C \) es igual a \( B \cup C \).
La tercera condición merece un análisis especial. Si al remover \( B \cap C \) de \( B \cup C \) obtenemos nuevamente \( B \cup C \), significa que no se eliminó nada, es decir:
\[ B \cap C = \emptyset \]
Los conjuntos \( B \) y \( C \) son disjuntos.
Paso 2 — Determinar qué combinaciones de pertenencia son posibles.
Cada zona del diagrama representa una combinación de pertenecer o no a cada uno de los 4 conjuntos. En total hay \( 2^4 = 16 \) combinaciones posibles. Las condiciones restringen cuáles son válidas:
| Condición | Restricción | Zonas que se anulan |
|---|---|---|
| \( A \subset C \) | Si \( x \in A \), entonces \( x \in C \). No puede haber \( x \in A \) con \( x \notin C \). | Zonas donde \( A = \text{sí} \) y \( C = \text{no} \) |
| \( D \subset B \) | Si \( x \in D \), entonces \( x \in B \). No puede haber \( x \in D \) con \( x \notin B \). | Zonas donde \( D = \text{sí} \) y \( B = \text{no} \) |
| \( B \cap C = \emptyset \) | No puede haber \( x \in B \) y \( x \in C \) simultáneamente. | Zonas donde \( B = \text{sí} \) y \( C = \text{sí} \) |
Paso 3 — Filtrar las 16 combinaciones.
| \( A \) | \( B \) | \( C \) | \( D \) | \( A \subset C \) | \( D \subset B \) | \( B \cap C = \emptyset \) | «Válida? |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | ✓ | ✓ | ✓ | Sí |
| 0 | 0 | 0 | 1 | ✓ | ✗ | ✓ | No |
| 0 | 0 | 1 | 0 | ✓ | ✓ | ✓ | Sí |
| 0 | 0 | 1 | 1 | ✓ | ✗ | ✓ | No |
| 0 | 1 | 0 | 0 | ✓ | ✓ | ✓ | Sí |
| 0 | 1 | 0 | 1 | ✓ | ✓ | ✓ | Sí |
| 0 | 1 | 1 | 0 | ✓ | ✓ | ✗ | No |
| 0 | 1 | 1 | 1 | ✓ | ✓ | ✗ | No |
| 1 | 0 | 0 | 0 | ✗ | ✓ | ✓ | No |
| 1 | 0 | 0 | 1 | ✗ | ✗ | ✓ | No |
| 1 | 0 | 1 | 0 | ✓ | ✓ | ✓ | Sí |
| 1 | 0 | 1 | 1 | ✓ | ✗ | ✓ | No |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ✗ | ✓ | ✓ | No |
| 1 | 1 | 0 | 1 | ✗ | ✓ | ✓ | No |
| 1 | 1 | 1 | 0 | ✓ | ✓ | ✗ | No |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ✓ | ✓ | ✗ | No |
De las 16 combinaciones, solo 5 son válidas:
| Combinación válida | Descripción | Zona |
|---|---|---|
| \( (0,0,0,0) \) | Fuera de los 4 conjuntos | 1 |
| \( (0,1,0,0) \) | Solo en \( B \) | 2 |
| \( (0,0,1,0) \) | Solo en \( C \) | 4 |
| \( (1,0,1,0) \) | En \( A \) y \( C \), fuera de \( B \) y \( D \) | 6 y 12 |
| \( (0,1,0,1) \) | En \( B \) y \( D \), fuera de \( A \) y \( C \) | (según diagrama) |
Resultado:
Las zonas que con seguridad no son vacías son: 1, 2, 4, 6 y 12.
Las restantes 11 zonas (3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16) están necesariamente vacías.
Nota: La clave de este problema es reconocer que \( (B \cup C) – (B \cap C) = B \cup C \) implica \( B \cap C = \emptyset \), lo cual, combinado con las dos inclusiones, reduce drásticamente las regiones posibles: de 16 a solo 5.
Ejercicio 20
Se sabe que \( X \) es un conjunto tal que \( X \in \mathcal{P}(A), \forall A \). Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- (a) \( X \cap X = X \)
- (b) \( X – A = X, \forall A \)
- (c) \( (A – X) \cup (X – A) = A, \forall A \)
Solución:
Paso 1 — Identificar \( X \).
La condición \( X \in \mathcal{P}(A), \forall A \) significa que \( X \) es subconjunto de todo conjunto \( A \), es decir, \( X \subset A \) para cualquier \( A \).
El único conjunto que cumple esta propiedad es el conjunto vacío: \( X = \emptyset \).
Esto se debe a que \( \emptyset \subset A \) es verdadero para todo conjunto \( A \) (incluido \( A = \emptyset \) mismo, ya que \( \emptyset \subset \emptyset \) es verdadero por la definición de subconjunto).
Paso 2 — Evaluar cada afirmación con \( X = \emptyset \).
(a) \( X \cap X = X \)
\[ \emptyset \cap \emptyset = \emptyset = X \]
Esto es simplemente la ley idempotente de la intersección: \( S \cap S = S \) para todo conjunto \( S \).
Verdadera. ✓
(b) \( X – A = X, \forall A \)
\[ \emptyset – A = \emptyset = X, \quad \forall A \]
Si partimos del vacío y eliminamos los elementos de \( A \), no hay nada que eliminar. El resultado sigue siendo \( \emptyset \).
Verdadera. ✓
(c) \( (A – X) \cup (X – A) = A, \forall A \)
\[ (A – \emptyset) \cup (\emptyset – A) = A \cup \emptyset = A \]
Esto se puede interpretar como la diferencia simétrica \( A △ \emptyset = A \): al «comparar» cualquier conjunto con el vacío, la diferencia simétrica es el conjunto mismo.
Verdadera. ✓
Resumen: Las tres afirmaciones son verdaderas. La clave es reconocer que la condición \( X \in \mathcal{P}(A), \forall A \) identifica unívocamente a \( X = \emptyset \), el cual actúa como elemento neutro de la unión, la diferencia simétrica, y aniquilador de la intersección.
Ejercicio 21
De las siguientes afirmaciones para conjuntos, determinar cuáles son verdaderas:
- (a) \( F – (F – G) = F \cap G \)
- (b) \( (A – B) – C = A – (B – C) \)
- (c) \( A – (B \cup C) = (A – B) \cup (A – C) \)
Solución:
(a) \( F – (F – G) = F \cap G \)
Desarrollamos el lado izquierdo usando la definición de diferencia:
\[ x \in F – (F – G) \] \[ \equiv x \in F \wedge x \notin (F – G) \] \[ \equiv x \in F \wedge \neg(x \in F \wedge x \notin G) \]
Aplicando De Morgan a la negación:
\[ \equiv x \in F \wedge (x \notin F \vee x \in G) \]
Distribuyendo la conjunción:
\[ \equiv (x \in F \wedge x \notin F) \vee (x \in F \wedge x \in G) \] \[ \equiv \emptyset \vee (x \in F \cap G) \] \[ \equiv x \in F \cap G \]
Verdadera. ✓
(b) \( (A – B) – C = A – (B – C) \)
Simplifiquemos cada lado por separado.
Lado izquierdo:
\[ (A – B) – C = (A \cap B’) \cap C’ = A \cap B’ \cap C’ = A \cap (B \cup C)’ \]
Lado derecho:
\[ A – (B – C) = A \cap (B – C)’ = A \cap (B \cap C’)’ = A \cap (B’ \cup C) \]
Comparamos: \( A \cap (B \cup C)’ ≠ A \cap (B’ \cup C) \) en general.
Contraejemplo: Sea \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{2\} \), \( C = \{3\} \):
- Izquierdo: \( (A – B) – C = \{1, 3\} – \{3\} = \{1\} \)
- Derecho: \( A – (B – C) = \{1, 2, 3\} – \{2\} = \{1, 3\} \)
\( \{1\} ≠ \{1, 3\} \). Falsa. ✗
Nota: La diferencia de conjuntos no es asociativa. La igualdad correcta es \( (A – B) – C = A – (B \cup C) \), no \( A – (B – C) \).
(c) \( A – (B \cup C) = (A – B) \cup (A – C) \)
Simplifiquemos cada lado.
Lado izquierdo:
\[ A – (B \cup C) = A \cap (B \cup C)’ = A \cap B’ \cap C’ \]
Lado derecho:
\[ (A – B) \cup (A – C) = (A \cap B’) \cup (A \cap C’) = A \cap (B’ \cup C’) = A \cap (B \cap C)’ \]
Comparamos: \( A \cap B’ \cap C’ ≠ A \cap (B \cap C)’ \) en general.
Contraejemplo: Sea \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{1\} \), \( C = \{2\} \):
- Izquierdo: \( A – (B \cup C) = \{1, 2, 3\} – \{1, 2\} = \{3\} \)
- Derecho: \( (A – B) \cup (A – C) = \{2, 3\} \cup \{1, 3\} = \{1, 2, 3\} \)
\( \{3\} ≠ \{1, 2, 3\} \). Falsa. ✗
Nota: La identidad correcta usa intersección, no unión: \( A – (B \cup C) = (A – B) \cap (A – C) \). Esta es una de las Leyes de De Morgan para diferencias.
Resumen:
| Inciso | Resultado | Observación |
|---|---|---|
| (a) | Verdadera | \( F – (F – G) = F \cap G \) siempre |
| (b) | Falsa | La diferencia no es asociativa |
| (c) | Falsa | La identidad correcta usa \( \cap \), no \( \cup \) |
Ejercicio 22
Si \( A \), \( B \) y \( C \) son conjuntos no vacíos tales que \( A \) y \( C \) son disjuntos y \( A \cup C = B \). Simplificar \( A △ B △ A △ C \).
Solución:
Paso 1 — Aplicar propiedades algebraicas de la diferencia simétrica.
La diferencia simétrica es asociativa y conmutativa, por lo que podemos reagrupar:
\[ A △ B △ A △ C = (A △ A) △ (B △ C) \]
Paso 2 — Simplificar \( A △ A \).
La diferencia simétrica de un conjunto consigo mismo es el vacío (todo elemento está en ambos, ninguno queda):
\[ A △ A = \emptyset \]
Por lo tanto:
\[ \emptyset △ (B △ C) = B △ C \]
ya que \( \emptyset \) es el elemento neutro de la diferencia simétrica.
Paso 3 — Calcular \( B △ C \).
Por definición:
\[ B △ C = (B – C) \cup (C – B) \]
Ahora usamos las hipótesis: \( A \cap C = \emptyset \) y \( A \cup C = B \).
Calcular \( B – C \): Los elementos de \( B \) que no están en \( C \).
\[ B – C = (A \cup C) – C = A \]
Esto se cumple porque \( A \) y \( C \) son disjuntos: al quitar \( C \) de \( A \cup C \), solo queda \( A \).
Calcular \( C – B \): Los elementos de \( C \) que no están en \( B \).
\[ C – B = C – (A \cup C) = \emptyset \]
Como \( C \subset A \cup C = B \), todo elemento de \( C \) ya está en \( B \), así que no queda nada.
Paso 4 — Resultado final.
\[ B △ C = A \cup \emptyset = A \]
Por lo tanto:
\[ A △ B △ A △ C = A \]
Propiedades clave utilizadas:
- \( X △ X = \emptyset \) (autoinverso)
- \( \emptyset △ X = X \) (elemento neutro)
- Asociatividad y conmutatividad de \( △ \)
∎
Ejercicio 23
Simplificar:
\[ P = [(A \cap B) \cup (C’ \cup D’ \cup E’)] \cap [(A \cap B) \cup (C \cap D \cap E)] \]
Solución:
Paso 1 — Aplicar De Morgan.
Observemos que \( C’ \cup D’ \cup E’ \) es el complemento de una intersección:
\[ C’ \cup D’ \cup E’ = (C \cap D \cap E)’ \]
Llamemos \( X = A \cap B \) y \( Y = C \cap D \cap E \) para ver la estructura con claridad:
\[ P = (X \cup Y’) \cap (X \cup Y) \]
Paso 2 — Aplicar distributiva.
La unión se distribuye sobre la intersección:
\[ (X \cup Y’) \cap (X \cup Y) = X \cup (Y’ \cap Y) \]
Paso 3 — Simplificar \( Y’ \cap Y \).
Un conjunto intersecado con su complemento siempre da el vacío:
\[ Y’ \cap Y = \emptyset \]
Paso 4 — Resultado.
\[ P = X \cup \emptyset = X = A \cap B \]
Resultado:
\[ P = A \cap B \]
Resumen de la simplificación: La expresión, a pesar de involucrar 5 conjuntos, se reduce a \( A \cap B \) gracias a que la estructura \( (X \cup Y’) \cap (X \cup Y) \) siempre se simplifica a \( X \), independientemente de qué sea \( Y \). ∎
Ejercicio 24
Indicar cuál de las siguientes expresiones es verdadera o falsa, justificando:
- (a) Si \( B \subset A \), entonces \( (A – B) \in \mathcal{P}(A – B) \) y \( (B – A) \in \mathcal{P}(A – B) \).
- (b) Sean \( A = \{a\} \), \( B = \{b\} \). Entonces \( \mathcal{P}(A – B) = \mathcal{P}(A) \).
Solución:
(a) Debemos verificar dos afirmaciones bajo la hipótesis \( B \subset A \).
Primera: \( (A – B) \in \mathcal{P}(A – B) \).
Recordemos que \( X \in \mathcal{P}(Y) \iff X \subset Y \). Como todo conjunto es subconjunto de sí mismo:
\[ A – B \subset A – B \]
se cumple siempre, por lo tanto \( (A – B) \in \mathcal{P}(A – B) \). ✓
Segunda: \( (B – A) \in \mathcal{P}(A – B) \).
Necesitamos que \( B – A \subset A – B \). Como \( B \subset A \), todo elemento de \( B \) ya está en \( A \), por lo que:
\[ B – A = \emptyset \]
Y como \( \emptyset \) es subconjunto de cualquier conjunto:
\[ \emptyset \subset A – B \implies \emptyset \in \mathcal{P}(A – B) \]
Por lo tanto \( (B – A) \in \mathcal{P}(A – B) \). ✓
La afirmación es verdadera. ✓
(b) \( A = \{a\}, B = \{b\} \). Es \( \mathcal{P}(A – B) = \mathcal{P}(A) \)?
El resultado depende de si \( a \) y \( b \) son el mismo objeto o no.
Caso 1: \( a ≠ b \).
\[ A – B = \{a\} – \{b\} = \{a\} \]
(El elemento \( a \) no está en \( B \), así que permanece.)
\[ \mathcal{P}(A – B) = \mathcal{P}(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\} \] \[ \mathcal{P}(A) = \mathcal{P}(\{a\}) = \{\emptyset, \{a\}\} \]
Son iguales. ✓
Caso 2: \( a = b \).
Si \( a = b \), entonces \( A = B = \{a\} \) y:
\[ A – B = \{a\} – \{a\} = \emptyset \] \[ \mathcal{P}(A – B) = \mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\} \]
Pero \( \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{a\}\} \), que tiene 2 elementos.
\[ \{\emptyset\} ≠ \{\emptyset, \{a\}\} \]
No son iguales. ✗
La afirmación es falsa en general, pues no se garantiza que \( a ≠ b \). Solo sería verdadera si se especificara explícitamente que \( a ≠ b \).
Ejercicio 25
Demostrar que para tres conjuntos cualesquiera \( A \), \( B \) y \( C \):
\[ (A \cap C) △ (B \cap C) = (A △ B) \cap C \]
Demostración:
Recordemos que la diferencia simétrica se define como \( X △ Y = (X \cup Y) – (X \cap Y) \).
Paso 1 — Aplicar la definición de \( △ \) al lado izquierdo.
\[ (A \cap C) △ (B \cap C) = [(A \cap C) \cup (B \cap C)] – [(A \cap C) \cap (B \cap C)] \]
Paso 2 — Simplificar cada parte usando la ley distributiva.
La unión se factoriza:
\[ (A \cap C) \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C \]
La intersección también se factoriza:
\[ (A \cap C) \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \]
Sustituyendo:
\[ = [(A \cup B) \cap C] – [(A \cap B) \cap C] \]
Paso 3 — Factorizar la diferencia.
Aplicamos la propiedad: \( (X \cap C) – (Y \cap C) = (X – Y) \cap C \). En efecto:
\[ x \in (X \cap C) – (Y \cap C) \iff x \in X \cap C \wedge x \notin Y \cap C \] \[ \iff x \in X \wedge x \in C \wedge \neg(x \in Y \wedge x \in C) \] \[ \iff x \in X \wedge x \in C \wedge (x \notin Y \vee x \notin C) \] \[ \iff x \in X \wedge x \in C \wedge x \notin Y \] \[ \iff x \in (X – Y) \cap C \]
(La opción \( x \notin C \) se elimina porque ya tenemos \( x \in C \).)
Aplicando esta propiedad:
\[ [(A \cup B) \cap C] – [(A \cap B) \cap C] = [(A \cup B) – (A \cap B)] \cap C \]
Paso 4 — Reconocer la diferencia simétrica.
\[ (A \cup B) – (A \cap B) = A △ B \]
Por lo tanto:
\[ (A \cap C) △ (B \cap C) = (A △ B) \cap C \]
∎
Interpretación: La diferencia simétrica se distribuye sobre la intersección. Esto significa que comparar \( A \) y \( B \) dentro de \( C \) es lo mismo que primero comparar \( A \) con \( B \) y luego restringir el resultado a \( C \).
Ejercicio 26
Demostrar que: \( B’ \cap (A \cup B) = A \iff A \cap B = \emptyset \)
Demostración:
Paso 1 — Simplificar el lado izquierdo de la igualdad.
Aplicamos la ley distributiva:
\[ B’ \cap (A \cup B) = (B’ \cap A) \cup (B’ \cap B) \]
Como \( B’ \cap B = \emptyset \) (un conjunto y su complemento no comparten elementos):
\[ = (A \cap B’) \cup \emptyset = A \cap B’ = A – B \]
Por lo tanto, la ecuación original equivale a:
\[ A – B = A \]
Paso 2 — Demostrar la bicondicional \( A – B = A \iff A \cap B = \emptyset \).
\( (\Rightarrow) \) Supongamos que \( A – B = A \).
Si existiera algún \( x \in A \cap B \), entonces \( x \in A \) y \( x \in B \). Pero \( x \in B \) implica \( x \notin A – B \). Como \( A – B = A \), tendríamos \( x \notin A \), lo que contradice \( x \in A \). Por lo tanto no existe tal \( x \) y \( A \cap B = \emptyset \). ✓
\( (\Leftarrow) \) Supongamos que \( A \cap B = \emptyset \).
Si \( A \) y \( B \) no comparten elementos, entonces ningún elemento de \( A \) pertenece a \( B \), por lo que al calcular \( A – B \) no se elimina nada:
\[ A – B = A ✓ \]
Conclusión:
Combinando ambos pasos:
\[ B’ \cap (A \cup B) = A – B = A \iff A \cap B = \emptyset \]
∎
Resumen de la cadena lógica: la expresión \( B’ \cap (A \cup B) \) siempre se simplifica a \( A – B \), independientemente de la relación entre \( A \) y \( B \). La condición \( A \cap B = \emptyset \) es la que garantiza que \( A – B \) sea exactamente \( A \).
Ejercicio 27
Demostrar usando propiedades de conjuntos que:
\[ [A’ – (B’ \cap C’)]’ \cap (C’ – B)’ = A \cap (B \cup C) \]
Demostración:
Simplificamos el lado izquierdo paso a paso.
Paso 1 — Simplificar \( A’ – (B’ \cap C’) \).
Aplicando la propiedad \( X – Y = X \cap Y’ \):
\[ A’ – (B’ \cap C’) = A’ \cap (B’ \cap C’)’ \]
Por De Morgan, \( (B’ \cap C’)’ = B \cup C \):
\[ = A’ \cap (B \cup C) \]
Paso 2 — Complementar el resultado.
\[ [A’ \cap (B \cup C)]’ \]
Aplicando De Morgan:
\[ = A \cup (B \cup C)’ \]
Paso 3 — Simplificar \( (C’ – B)’ \).
\[ C’ – B = C’ \cap B’ \]
Complementando y aplicando De Morgan:
\[ (C’ \cap B’)’ = C \cup B = B \cup C \]
Paso 4 — Unir ambas partes.
\[ [A \cup (B \cup C)’] \cap (B \cup C) \]
Aplicamos la ley distributiva con \( X = B \cup C \):
\[ = (A \cap X) \cup (X’ \cap X) \] \[ = (A \cap X) \cup \emptyset \] \[ = A \cap X \]
Resultado:
\[ [A’ – (B’ \cap C’)]’ \cap (C’ – B)’ = A \cap (B \cup C) \]
∎
Técnica utilizada: La estrategia consiste en eliminar los operadores de diferencia \( (X – Y = X \cap Y’) \), aplicar De Morgan repetidamente para simplificar los complementos anidados, y finalmente usar la propiedad \( X’ \cap X = \emptyset \) para colapsar la expresión.
Ejercicio 28
Sean \( A \), \( B \) y \( C \) tres conjuntos. Demostrar que si \( B \cap C = \emptyset \), entonces:
\[ [A – (B \cup C)] \cup (A \cap B) \cup (A \cap C) = A \]
Demostración:
Paso 1 — Agrupar los dos últimos términos.
Aplicamos la ley distributiva de \( \cap \) sobre \( \cup \):
\[ (A \cap B) \cup (A \cap C) = A \cap (B \cup C) \]
Paso 2 — Reescribir la diferencia.
Usando la propiedad \( X – Y = X \cap Y’ \):
\[ A – (B \cup C) = A \cap (B \cup C)’ \]
Paso 3 — Sustituir en la expresión original.
\[ [A \cap (B \cup C)’] \cup [A \cap (B \cup C)] \]
Paso 4 — Factorizar \( A \).
Aplicando la ley distributiva en sentido inverso:
\[ = A \cap [(B \cup C)’ \cup (B \cup C)] \]
Paso 5 — Aplicar complemento.
Un conjunto unido con su complemento da el universal:
\[ (B \cup C)’ \cup (B \cup C) = U \]
Por lo tanto:
\[ = A \cap U = A \]
∎
Observación: La hipótesis \( B \cap C = \emptyset \) no se utiliza en la demostración. La identidad es universalmente válida para cualesquiera conjuntos \( A \), \( B \) y \( C \). La razón es intuitiva: los tres términos representan una partición de \( A \) en tres partes disjuntas — lo que está fuera de \( B \cup C \), lo que está en \( B \), y lo que está en \( C \) — cuya unión siempre reconstituye \( A \) completo.
Ejercicio 29
Demostrar mediante definiciones que:
\[ (A \cap B) – (A \cap C)’ = A \cap (B – C’) \]
Demostración:
La clave es que \( x \notin X’ \iff x \in X \) (no estar en el complemento equivale a estar en el conjunto).
(1) Sea \( x \in (A \cap B) – (A \cap C)’ \)
(2) Por definición de diferencia:
\[ x \in (A \cap B) \wedge x \notin (A \cap C)’ \]
(3) Aplicando \( x \notin X’ \iff x \in X \):
\[ x \in (A \cap B) \wedge x \in (A \cap C) \]
(4) Expandiendo ambas intersecciones:
\[ (x \in A \wedge x \in B) \wedge (x \in A \wedge x \in C) \]
(5) Por idempotencia (\( x \in A \wedge x \in A = x \in A \)) y asociatividad:
\[ x \in A \wedge x \in B \wedge x \in C \]
(6) Ahora, \( x \in B \wedge x \in C = x \in B \wedge x \notin C’ \) (pues \( x \in C \iff x \notin C’ \)):
\[ x \in A \wedge (x \in B \wedge x \notin C’) \]
(7) La expresión \( x \in B \wedge x \notin C’ \) es la definición de \( x \in B – C’ \):
\[ x \in A \wedge x \in (B – C’) \]
(8) Que es la definición de \( x \in A \cap (B – C’) \):
\[ x \in A \cap (B – C’) \]
De (1) y (8), todo \( x \) del lado izquierdo pertenece al lado derecho y viceversa (cada paso usa equivalencias \( \iff \)), por lo tanto:
\[ (A \cap B) – (A \cap C)’ = A \cap (B – C’) \]
∎
Verificación algebraica rápida: Ambos lados se simplifican a \( A \cap B \cap C \):
- Izquierdo: \( (A \cap B) \cap [(A \cap C)’]’ = (A \cap B) \cap (A \cap C) = A \cap B \cap C \)
- Derecho: \( A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C \)
Ejercicio 30
Demostrar mediante definiciones (usando elementos):
- (a) \( B \subset [A \cup (B – A)] \)
- (b) \( \mathcal{P}[(A \cap B) \cup C] = \mathcal{P}(A \cup C) \cap \mathcal{P}(B \cup C) \)
Demostración de (a):
Debemos probar que si \( x \in B \), entonces \( x \in A \cup (B – A) \).
Sea \( x \in B \). Hay dos casos posibles:
Caso 1: \( x \in A \). Entonces \( x \in A \cup (B – A) \) directamente, pues \( x \) pertenece al primer término de la unión. ✓
Caso 2: \( x \notin A \). Como \( x \in B \) y \( x \notin A \), se tiene \( x \in B – A \) (definición de diferencia). Entonces \( x \in A \cup (B – A) \), pues \( x \) pertenece al segundo término de la unión. ✓
En ambos casos, \( x \in A \cup (B – A) \). Por lo tanto \( B \subset A \cup (B – A) \). ∎
Observación: De hecho, \( A \cup (B – A) = A \cup B \), por lo que el resultado simplemente dice \( B \subset A \cup B \), lo cual es evidente. La igualdad \( A \cup (B – A) = A \cup B \) se verifica así: al unir \( A \) con lo que queda de \( B \) al quitarle \( A \), se recupera \( A \cup B \) completo.
Demostración de (b):
Debemos probar que \( \mathcal{P}[(A \cap B) \cup C] = \mathcal{P}(A \cup C) \cap \mathcal{P}(B \cup C) \). Lo haremos mostrando que cada paso es una equivalencia (\( \iff \)).
Sea \( X \) un conjunto arbitrario.
(1) \( X \in \mathcal{P}[(A \cap B) \cup C] \)
(2) \( \iff X \subset (A \cap B) \cup C \) (definición de conjunto potencia)
(3) \( \iff X \subset (A \cup C) \cap (B \cup C) \) (ley distributiva: \( (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) \))
(4) \( \iff X \subset (A \cup C) \wedge X \subset (B \cup C) \) (propiedad: \( X \subset Y \cap Z \iff X \subset Y \wedge X \subset Z \))
(5) \( \iff X \in \mathcal{P}(A \cup C) \wedge X \in \mathcal{P}(B \cup C) \) (definición de conjunto potencia)
(6) \( \iff X \in \mathcal{P}(A \cup C) \cap \mathcal{P}(B \cup C) \) (definición de intersección)
De (1) y (6): \( X \in \mathcal{P}[(A \cap B) \cup C] \iff X \in \mathcal{P}(A \cup C) \cap \mathcal{P}(B \cup C) \), lo que demuestra la igualdad de conjuntos. ∎
Ejercicio 31
Usando propiedades para conjuntos \( A \), \( B \) y \( C \), demostrar que:
\[ (A △ B) \cup (B △ C) = (A \cup B \cup C) – (A \cap B \cap C) \]
Demostración:
Paso 1 — Expandir las diferencias simétricas.
\[ A △ B = (A \cap B’) \cup (A’ \cap B) \] \[ B △ C = (B \cap C’) \cup (B’ \cap C) \]
Entonces:
\[ (A △ B) \cup (B △ C) = (A \cap B’) \cup (A’ \cap B) \cup (B \cap C’) \cup (B’ \cap C) \]
Paso 2 — Reagrupar por pertenencia a \( B \).
Separamos los términos que contienen \( B’ \) de los que contienen \( B \):
\[ = [(A \cap B’) \cup (B’ \cap C)] \cup [(A’ \cap B) \cup (B \cap C’)] \]
Factorizando \( B’ \) en el primer grupo y \( B \) en el segundo:
\[ = [B’ \cap (A \cup C)] \cup [B \cap (A’ \cup C’)] \]
Aplicando De Morgan al segundo factor: \( A’ \cup C’ = (A \cap C)’ \):
\[ = [B’ \cap (A \cup C)] \cup [B \cap (A \cap C)’] \quad \cdots (\ast) \]
Paso 3 — Simplificar el lado derecho.
\[ (A \cup B \cup C) – (A \cap B \cap C) = (A \cup B \cup C) \cap (A \cap B \cap C)’ \]
Aplicando De Morgan: \( (A \cap B \cap C)’ = A’ \cup B’ \cup C’ \):
\[ = (A \cup B \cup C) \cap (A’ \cup B’ \cup C’) \quad \cdots (\ast\ast) \]
Paso 4 — Demostrar que \( (\ast) = (\ast\ast) \).
Analizamos por casos según la pertenencia a \( B \):
Caso \( x \notin B \): Un elemento \( x \) pertenece a \( (\ast) \) si y solo si \( x \in A \cup C \) (por el primer término \( B’ \cap (A \cup C) \)). Para \( (\ast\ast) \): como \( x \notin B \), se requiere \( x \in A \cup C \) para que \( x \in A \cup B \cup C \), y \( x \in A’ \cup B’ \cup C’ \) se cumple automáticamente (pues \( x \in B’ \)). Ambas condiciones son idénticas.
Caso \( x \in B \): Un elemento \( x \) pertenece a \( (\ast) \) si y solo si \( x \notin A \) o \( x \notin C \) (por el segundo término \( B \cap (A \cap C)’ \)). Para \( (\ast\ast) \): \( x \in A \cup B \cup C \) se cumple (pues \( x \in B \)), y \( x \in A’ \cup B’ \cup C’ \) requiere \( x \notin A \) o \( x \notin C \) (ya que \( x \in B \) descarta \( x \in B’ \)). Ambas condiciones son idénticas.
En ambos casos \( (\ast) \iff (\ast\ast) \), por lo tanto:
\[ (A △ B) \cup (B △ C) = (A \cup B \cup C) – (A \cap B \cap C) \]
∎
Interpretación: El lado derecho dice estar en al menos uno de \( A, B, C \) pero no en los tres a la vez. El lado izquierdo dice diferir de \( B \) respecto a \( A \), o diferir de \( B \) respecto a \( C \). Ambas condiciones excluyen exactamente el mismo caso: pertenecer a los tres conjuntos simultáneamente.
Ejercicio 32
Sea \( U = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 < x \leq 10\} \) y los subconjuntos: \( A = \{x \in U \mid x \text{ es primo}\} \), \( B = \{x \in U \mid x \text{ es cuadrado perfecto}\} \), \( C = \{x \in U \mid x \text{ es impar}\} \). Hallar:
- (a) \( (A \cup B)’ – C \)
- (b) \( (A – C)’ \cap B \)
- (c) \( (A △ B) – (A △ C) \)
- (d) \( (A \cap C)’ – (B \cup C)’ \)
Solución:
Paso 1 — Determinar los conjuntos.
\[ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \]
| Conjunto | Condición | Elementos |
|---|---|---|
| \( A \) | Primo | \( \{2, 3, 5, 7\} \) |
| \( B \) | Cuadrado perfecto (\( 1^2, 2^2, 3^2 \)) | \( \{1, 4, 9\} \) |
| \( C \) | Impar | \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \) |
Complementos respecto a \( U \):
| Conjunto | Elementos |
|---|---|
| \( A’ \) | \( \{1, 4, 6, 8, 9, 10\} \) |
| \( B’ \) | \( \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 10\} \) |
| \( C’ \) | \( \{2, 4, 6, 8, 10\} \) |
Paso 2 — Resolver cada inciso.
(a) \( (A \cup B)’ – C \)
- \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\} \)
- \( (A \cup B)’ = U – (A \cup B) = \{6, 8, 10\} \)
- \( (A \cup B)’ – C = \{6, 8, 10\} – \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{6, 8, 10\} \)
Ningún elemento de \( (A \cup B)’ \) es impar, así que no se elimina nada.
\[ (A \cup B)’ – C = \{6, 8, 10\} \]
(b) \( (A – C)’ \cap B \)
- \( A – C = \{2, 3, 5, 7\} – \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{2\} \) (el único primo par)
- \( (A – C)’ = U – \{2\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
- \( (A – C)’ \cap B = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \cap \{1, 4, 9\} = \{1, 4, 9\} \)
Como \( 2 \notin B \), el complemento de \( \{2\} \) contiene a todo \( B \).
\[ (A – C)’ \cap B = \{1, 4, 9\} = B \]
(c) \( (A △ B) – (A △ C) \)
Calculamos ambas diferencias simétricas:
- \( A △ B = (A – B) \cup (B – A) = \{2, 3, 5, 7\} \cup \{1, 4, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\} \)
(\( A \) y \( B \) son disjuntos, así que \( A △ B = A \cup B \).)
- \( A △ C = (A – C) \cup (C – A) = \{2\} \cup \{1, 9\} = \{1, 2, 9\} \)
Finalmente:
\[ (A △ B) – (A △ C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\} – \{1, 2, 9\} = \{3, 4, 5, 7\} \]
(d) \( (A \cap C)’ – (B \cup C)’ \)
- \( A \cap C = \{3, 5, 7\} \) (los primos impares en \( U \))
- \( (A \cap C)’ = \{1, 2, 4, 6, 8, 9, 10\} \)
- \( B \cup C = \{1, 3, 4, 5, 7, 9\} \)
- \( (B \cup C)’ = \{2, 6, 8, 10\} \)
- \( (A \cap C)’ – (B \cup C)’ = \{1, 2, 4, 6, 8, 9, 10\} – \{2, 6, 8, 10\} = \{1, 4, 9\} \)
\[ (A \cap C)’ – (B \cup C)’ = \{1, 4, 9\} = B \]
Resumen:
| Inciso | Resultado | Observación |
|---|---|---|
| (a) | \( \{6, 8, 10\} \) | Los pares compuestos de \( U \) |
| (b) | \( \{1, 4, 9\} = B \) | Coincide con \( B \) |
| (c) | \( \{3, 4, 5, 7\} \) | |
| (d) | \( \{1, 4, 9\} = B \) | También coincide con \( B \) |
Ejercicio 33
Dados los conjuntos:
- \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid \neg[x \leq -2 \vee x > 3]\} \)
- \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid \neg(-1 < x \leq 3 \to x = 5)\} \)
- \( C = \{x \in \mathbb{Z} \mid (x \leq -2 \vee x \geq 2) \to x^2 > 1\} \)
Hallar \( (B \cap C) △ (A \cap B) \).
Solución:
Determinación de \( A \):
Negamos la condición usando De Morgan:
\[ \neg[x \leq -2 \vee x > 3] \equiv x > -2 \wedge x \leq 3 \]
Es decir, \( -2 < x \leq 3 \). Los enteros que cumplen:
\[ A = \{-1, 0, 1, 2, 3\} \]
Determinación de \( B \):
Negamos el condicional usando \( \neg(p \to q) \equiv p \wedge \neg q \):
\[ \neg(-1 < x \leq 3 \to x = 5) \equiv (-1 < x \leq 3) \wedge (x \neq 5) \]
Para \( x \in \mathbb{N} \): la condición \( -1 < x \leq 3 \) da \( x \in \{1, 2, 3\} \), y ningún de ellos es 5.
\[ B = \{1, 2, 3\} \]
Determinación de \( C \):
La condición es \( (x \leq -2 \vee x \geq 2) \to x^2 > 1 \). Usando \( p \to q \equiv \neg p \vee q \):
\[ \neg(x \leq -2 \vee x \geq 2) \vee (x^2 > 1) \equiv (-2 < x < 2) \vee (x^2 > 1) \]
Verificamos por casos:
| Rango de \( x \) | \( -2 < x < 2 \) | \( x^2 > 1 \) | Disyunción | \( x \in C \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( x \leq -2 \) | No | Sí (\( x^2 \geq 4 \)) | V | Sí ✓ |
| \( x \in \{-1, 0, 1\} \) | Sí | — | V | Sí ✓ |
| \( x \geq 2 \) | No | Sí (\( x^2 \geq 4 \)) | V | Sí ✓ |
La condición se cumple para todo entero.
\[ C = \mathbb{Z} \]
Interpretación: El condicional \( (x \leq -2 \vee x \geq 2) \to x^2 > 1 \) es universalmente verdadero en \( \mathbb{Z} \) porque: cuando la hipótesis es falsa (\( -2 < x < 2 \)), el condicional es verdadero vacuamente; cuando es verdadera, \( x^2 \geq 4 > 1 \).
Cálculo final:
Como \( C = \mathbb{Z} \), entonces:
\[ B \cap C = \{1, 2, 3\} \cap \mathbb{Z} = \{1, 2, 3\} = B \]
Como \( B \subset A \) (\( \{1, 2, 3\} \subset \{-1, 0, 1, 2, 3\} \)):
\[ A \cap B = \{1, 2, 3\} = B \]
Ambos operandos de la diferencia simétrica son el mismo conjunto:
\[ (B \cap C) △ (A \cap B) = B △ B = \emptyset \]
Resultado:
\[ (B \cap C) △ (A \cap B) = \emptyset \]
Observación: Todo el trabajo lógico para determinar \( A \), \( B \) y \( C \) conduce a un resultado elegantemente simple: como \( B \subset A \) y \( B \subset C \), ambas intersecciones dan \( B \), y \( B △ B = \emptyset \).
Ejercicio 34
Sea \( E = \{\emptyset, a, \{a\}, \{a, \emptyset\}\} \) y los subconjuntos:
- \( B = \{x \in E \mid x ≠ \emptyset \wedge x ≠ \{a, \emptyset\}\} \)
- \( C = \{x \in E \mid x ≠ a \vee x ≠ \{a, \emptyset\}\} \)
- \( D = \{x \in E \mid x \text{ es una letra del alfabeto}\} \)
Hallar: (a) \( \mathcal{P}(B – C) \), (b) \( (C \cap D) – B’ \), (c) \( (C – B)’ \cup (B \cap D’) \).
Solución:
Paso 1 — Identificar los elementos de \( E \).
\( E \) tiene 4 elementos, cada uno de naturaleza distinta:
| Elemento | Tipo |
|---|---|
| \( \emptyset \) | Conjunto vacío |
| \( a \) | Letra (no es un conjunto) |
| \( \{a\} \) | Conjunto con un elemento |
| \( \{a, \emptyset\} \) | Conjunto con dos elementos |
Paso 2 — Determinar \( B \), \( C \) y \( D \).
Para \( B \): \( x ≠ \emptyset \) y \( x ≠ \{a, \emptyset\} \) (conjunción: se excluyen ambos).
| \( x \) | \( x ≠ \emptyset \) | \( x ≠ \{a, \emptyset\} \) | \( p \wedge q \) | \( x \in B \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( \emptyset \) | No | Sí | F | No |
| \( a \) | Sí | Sí | V | Sí ✓ |
| \( \{a\} \) | Sí | Sí | V | Sí ✓ |
| \( \{a, \emptyset\} \) | Sí | No | F | No |
\[ B = \{a, \{a\}\} \]
Para \( C \): \( x ≠ a \) o \( x ≠ \{a, \emptyset\} \) (disyunción).
La disyunción \( p \vee q \) solo es falsa cuando ambas son falsas, es decir, cuando \( x = a \) y \( x = \{a, \emptyset\} \) simultáneamente. Pero ningún elemento puede ser dos cosas a la vez, así que la condición es siempre verdadera.
\[ C = E = \{\emptyset, a, \{a\}, \{a, \emptyset\}\} \]
Para \( D \): solo \( a \) es una letra del alfabeto (los demás son conjuntos).
\[ D = \{a\} \]
Complementos respecto a \( E \):
\[ B’ = \{\emptyset, \{a, \emptyset\}\}, \quad C’ = \emptyset, \quad D’ = \{\emptyset, \{a\}, \{a, \emptyset\}\} \]
Paso 3 — Resolver cada inciso.
(a) \( \mathcal{P}(B – C) \)
Como \( C = E \), todo elemento de \( B \) está en \( C \):
\[ B – C = \{a, \{a\}\} – E = \emptyset \]
\[ \mathcal{P}(B – C) = \mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\} \]
(b) \( (C \cap D) – B’ \)
- \( C \cap D = E \cap \{a\} = \{a\} \)
- \( (C \cap D) – B’ = \{a\} – \{\emptyset, \{a, \emptyset\}\} = \{a\} \)
(El elemento \( a \) no está en \( B’ \), así que permanece.)
\[ (C \cap D) – B’ = \{a\} \]
(c) \( (C – B)’ \cup (B \cap D’) \)
- \( C – B = E – \{a, \{a\}\} = \{\emptyset, \{a, \emptyset\}\} \)
- \( (C – B)’ = E – \{\emptyset, \{a, \emptyset\}\} = \{a, \{a\}\} \)
- \( B \cap D’ = \{a, \{a\}\} \cap \{\emptyset, \{a\}, \{a, \emptyset\}\} = \{\{a\}\} \)
- \( (C – B)’ \cup (B \cap D’) = \{a, \{a\}\} \cup \{\{a\}\} = \{a, \{a\}\} \)
\[ (C – B)’ \cup (B \cap D’) = \{a, \{a\}\} = B \]
Resumen:
| Inciso | Resultado |
|---|---|
| (a) | \( \{\emptyset\} \) |
| (b) | \( \{a\} = D \) |
| (c) | \( \{a, \{a\}\} = B \) |
Ejercicio 35
Sean los conjuntos:
- \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid 7 – x = 3 \vee x < 3\} \)
- \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid 5 – x > 2 \wedge \frac{1}{5}(6x – 2) \geq 2\} \)
- \( C = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ es cuadrado perfecto}, x \leq 10\} \)
Hallar: (a) \( (A \cup B) \cap (C – A) \), (b) \( (A – B) \cup (B \cap C) \), (c) \( (A \cap B) – (A – C) \), (d) \( (A △ B) \cap (B \cap C) \).
Solución:
Paso 1 — Determinar cada conjunto.
Para \( A \): \( 7 – x = 3 \vee x < 3 \)
- \( 7 – x = 3 \implies x = 4 \)
- \( x < 3 \implies x \in \{1, 2\} \)
\[ A = \{1, 2, 4\} \]
Para \( B \): \( 5 – x > 2 \wedge \frac{1}{5}(6x – 2) \geq 2 \)
Resolvemos cada desigualdad:
- \( 5 – x > 2 \implies x < 3 \), es decir, \( x \in \{1, 2\} \)
- \( \frac{1}{5}(6x – 2) \geq 2 \implies 6x – 2 \geq 10 \implies x \geq 2 \)
La conjunción \( x < 3 \wedge x \geq 2 \) da \( x = 2 \).
\[ B = \{2\} \]
Para \( C \): cuadrados perfectos naturales \( \leq 10 \): \( 1^2 = 1 \), \( 2^2 = 4 \), \( 3^2 = 9 \).
\[ C = \{1, 4, 9\} \]
Paso 2 — Observaciones útiles.
- \( B \subset A \) (\( \{2\} \subset \{1, 2, 4\} \))
- \( B \cap C = \{2\} \cap \{1, 4, 9\} = \emptyset \) (el 2 no es cuadrado perfecto)
Paso 3 — Resolver cada inciso.
(a) \( (A \cup B) \cap (C – A) \)
- \( A \cup B = \{1, 2, 4\} \) (\( B \subset A \), así que no agrega nada)
- \( C – A = \{1, 4, 9\} – \{1, 2, 4\} = \{9\} \)
- \( \{1, 2, 4\} \cap \{9\} = \emptyset \)
\[ (A \cup B) \cap (C – A) = \emptyset \]
(b) \( (A – B) \cup (B \cap C) \)
- \( A – B = \{1, 2, 4\} – \{2\} = \{1, 4\} \)
- \( B \cap C = \emptyset \)
- \( \{1, 4\} \cup \emptyset = \{1, 4\} \)
\[ (A – B) \cup (B \cap C) = \{1, 4\} \]
(c) \( (A \cap B) – (A – C) \)
- \( A \cap B = \{2\} \) (el único elemento común)
- \( A – C = \{1, 2, 4\} – \{1, 4, 9\} = \{2\} \) (solo el 2 no es cuadrado perfecto)
- \( \{2\} – \{2\} = \emptyset \)
\[ (A \cap B) – (A – C) = \emptyset \]
(d) \( (A △ B) \cap (B \cap C) \)
- \( A △ B = (A – B) \cup (B – A) = \{1, 4\} \cup \emptyset = \{1, 4\} \) (como \( B \subset A \), \( B – A = \emptyset \))
- \( B \cap C = \emptyset \)
- \( \{1, 4\} \cap \emptyset = \emptyset \)
\[ (A △ B) \cap (B \cap C) = \emptyset \]
Resumen:
| Inciso | Resultado | Razón clave |
|---|---|---|
| (a) | \( \emptyset \) | \( A \cup B = A \) no contiene al 9 |
| (b) | \( \{1, 4\} \) | Cuadrados perfectos de \( A \) (excepto el 2) |
| (c) | \( \emptyset \) | \( A \cap B = \{2\} = A – C \), se cancelan |
| (d) | \( \emptyset \) | \( B \cap C = \emptyset \) anula todo |
Ejercicio 36
Dados los conjuntos \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid 3 < x \leq 4\} \), \( B = \{z \mid z = n^2, n \in \mathbb{N}, n \leq 5\} \), \( C = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ es divisor de 30}\} \). Hallar la suma de los elementos del conjunto \( (A \cap B) \cup (B \cup C) \).
Solución:
Paso 1 — Determinar cada conjunto.
Para \( A \): \( 3 < x \leq 4 \) con \( x \in \mathbb{N} \). El único natural en ese intervalo es \( x = 4 \).
\[ A = \{4\} \]
Para \( B \): Los cuadrados de los primeros 5 naturales:
| \( n \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( n^2 \) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
\[ B = \{1, 4, 9, 16, 25\} \]
Para \( C \): Los divisores naturales de \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \):
\[ C = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \]
Paso 2 — Calcular \( (A \cap B) \cup (B \cup C) \).
Primero:
\[ A \cap B = \{4\} \cap \{1, 4, 9, 16, 25\} = \{4\} \]
Luego:
\[ B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15, 16, 25, 30\} \]
Finalmente:
\[ (A \cap B) \cup (B \cup C) = \{4\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15, 16, 25, 30\} \]
Como \( A \cap B = \{4\} \subset B \subset B \cup C \), por absorción:
\[ (A \cap B) \cup (B \cup C) = B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15, 16, 25, 30\} \]
Paso 3 — Sumar los elementos.
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 9 + 10 + 15 + 16 + 25 + 30 \]
Agrupando convenientemente:
\[ (1 + 9) + (2 + 3 + 5) + (4 + 6) + (10 + 30) + (15 + 16 + 25) \] \[ = 10 + 10 + 10 + 40 + 56 = 126 \]
Resultado:
La suma de los elementos es 126.
Observación: La operación \( (A \cap B) \cup (B \cup C) \) se simplifica a \( B \cup C \) por absorción, ya que \( A \cap B \subset B \subset B \cup C \). En general, \( X \cup Y = Y \) siempre que \( X \subset Y \).
Ejercicio 37
De las siguientes afirmaciones, cuáles son verdaderas?
- (a) \( A \cap (A \cup B’) = A \)
- (b) \( (B \cap C) – A = B \cap (C – A) \)
- (c) \( A \cap (B \cup C \cup D) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D) \)
Solución:
(a) \( A \cap (A \cup B’) = A \)
Por la ley de absorción: \( A \cap (A \cup X) = A \) para cualquier conjunto \( X \).
Esto se debe a que todo elemento de \( A \) ya está en \( A \cup X \), por lo que la intersección no elimina nada de \( A \). Y ningún elemento fuera de \( A \) puede sobrevivir la intersección con \( A \).
Verdadera. ✓
(b) \( (B \cap C) – A = B \cap (C – A) \)
Desarrollamos ambos lados:
- Izquierdo: \( (B \cap C) – A = (B \cap C) \cap A’ = B \cap C \cap A’ \)
- Derecho: \( B \cap (C – A) = B \cap (C \cap A’) = B \cap C \cap A’ \)
Ambos se reducen a \( B \cap C \cap A’ \). La igualdad es una consecuencia de la asociatividad de \( \cap \).
Verdadera. ✓
(c) \( A \cap (B \cup C \cup D) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D) \)
Es la ley distributiva generalizada de \( \cap \) sobre \( \cup \). Podemos verificarlo aplicando la distributiva dos veces:
\[ A \cap (B \cup C \cup D) = A \cap [(B \cup C) \cup D] \] \[ = [A \cap (B \cup C)] \cup (A \cap D) \] \[ = [(A \cap B) \cup (A \cap C)] \cup (A \cap D) \] \[ = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D) \]
Verdadera. ✓
Resumen: Las tres afirmaciones son verdaderas.
| Inciso | Ley aplicada |
|---|---|
| (a) | Absorción: \( A \cap (A \cup X) = A \) |
| (b) | Asociatividad de \( \cap \) |
| (c) | Distributiva generalizada |
Ejercicio 38
Si \( A \subset B \) y \( C \cap A = \emptyset \), simplificar:
\[ [A \cup (B – C)] \cap [B \cup (C – A)] \]
Solución:
Paso 1 — Derivar consecuencias de las hipótesis.
De \( A \subset B \):
- \( A \cup B = B \)
- \( A \cap B = A \)
De \( C \cap A = \emptyset \):
- \( C – A = C \) (no hay nada que quitar)
- \( A \subset C’ \) (todo elemento de \( A \) está fuera de \( C \))
Combinando: \( A \subset B \) y \( A \subset C’ \), por lo tanto \( A \subset B \cap C’ = B – C \).
Paso 2 — Simplificar \( A \cup (B – C) \).
Como \( A \subset B – C \), por absorción:
\[ A \cup (B – C) = B – C \]
Paso 3 — Simplificar \( B \cup (C – A) \).
Como \( C – A = C \):
\[ B \cup (C – A) = B \cup C \]
Paso 4 — Calcular la intersección.
\[ (B – C) \cap (B \cup C) \]
Reescribimos \( B – C = B \cap C’ \):
\[ (B \cap C’) \cap (B \cup C) \]
Por absorción, \( B \cap (B \cup C) = B \), así que:
\[ = B \cap C’ \cap (B \cup C) = (B \cap (B \cup C)) \cap C’ = B \cap C’ = B – C \]
Resultado:
\[ [A \cup (B – C)] \cap [B \cup (C – A)] = B – C \]
∎
Ejercicio 39
Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
- (a) \( (A \cap A’) \cup A = A \)
- (b) \( (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \)
- (c) \( A – B = A \cap B’ \)
- (d) \( A \subset B \iff A’ \subset B’ \)
- (e) \( A \cap (B \cup C) = (A \cup C) \cap (B \cup C) \)
- (f) \( (A \cup B) – (B \cap A) = (A – B) \cup (B – A) \)
Solución:
(a) \( (A \cap A’) \cup A = A \)
\( A \cap A’ = \emptyset \) (complemento), luego \( \emptyset \cup A = A \) (neutro de la unión). Verdadera. ✓
(b) \( (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \)
Es la Ley de De Morgan. Verdadera. ✓
(c) \( A – B = A \cap B’ \)
Es la definición de diferencia de conjuntos. Verdadera. ✓
(d) \( A \subset B \iff A’ \subset B’ \)
Contraejemplo: Sea \( U = \{1, 2, 3\} \), \( A = \{1\} \), \( B = \{1, 2\} \).
- \( A \subset B \): \( \{1\} \subset \{1, 2\} \). Verdadero. ✓
- \( A’ \subset B’ \): \( \{2, 3\} \subset \{3\} \)? Falso (\( 2 \notin \{3\} \)). ✗
La relación correcta es \( A \subset B \iff B’ \subset A’ \) (contrapositiva: se invierten los conjuntos). Falsa. ✗
(e) \( A \cap (B \cup C) = (A \cup C) \cap (B \cup C) \)
El lado derecho se factoriza: \( (A \cup C) \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup C \) (distributiva).
El lado izquierdo: \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
Comparamos: \( (A \cap B) \cup (A \cap C) ≠ (A \cap B) \cup C \) en general.
Contraejemplo: \( A = \{1\}, B = \{2\}, C = \{3\} \):
- Izquierdo: \( \{1\} \cap \{2, 3\} = \emptyset \)
- Derecho: \( \{1, 3\} \cap \{2, 3\} = \{3\} \)
\( \emptyset ≠ \{3\} \). Falsa. ✗
(f) \( (A \cup B) – (B \cap A) = (A – B) \cup (B – A) \)
Ambos lados son la diferencia simétrica \( A △ B \):
- Izquierdo: \( (A \cup B) – (A \cap B) = A △ B \) (definición)
- Derecho: \( (A – B) \cup (B – A) = A △ B \) (definición equivalente)
Verdadera. ✓
Respuesta: Son verdaderas 4 de las 6 afirmaciones: (a), (b), (c) y (f).
Ejercicio 40
Si \( U = \{x \in \mathbb{N} \mid 0 < x < 11\} \), \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), \( B = \{x \in U \mid x = 2k, k \in U\} \). Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?
- (a) \( (A’ \cap B’) ≠ U – \{9\} \)
- (b) \( (A \cup B)’ = \{x \in U \mid x^2 – 16x + 63 = 0\} \)
- (c) \( (A – B)’ ≠ A’ \cup (A \cap B) \)
- (d) \( B – A ≠ \{8, 10\} \)
Solución:
Paso 1 — Determinar los conjuntos.
\[ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \] \[ A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \quad \implies \quad A’ = \{6, 7, 8, 9, 10\} \]
Para \( B \): \( x = 2k \) con \( k \in U \), es decir, los números pares de \( U \):
\[ B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \quad \implies \quad B’ = \{1, 3, 5, 7, 9\} \]
Paso 2 — Evaluar cada afirmación.
(a) \( (A’ \cap B’) ≠ U – \{9\} \)
Por De Morgan: \( A’ \cap B’ = (A \cup B)’ \).
\[ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\} \implies (A \cup B)’ = \{7, 9\} \] \[ U – \{9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} \]
\( \{7, 9\} ≠ \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} \). La desigualdad se cumple. La afirmación es verdadera. ✓
(b) \( (A \cup B)’ = \{x \in U \mid x^2 – 16x + 63 = 0\} \)
Ya sabemos que \( (A \cup B)’ = \{7, 9\} \). Resolvemos la ecuación:
\[ x^2 – 16x + 63 = 0 \implies x = \frac{16 \pm \sqrt{256 – 252}}{2} = \frac{16 \pm 2}{2} \implies x = 9 \text{ ó } x = 7 \]
\( \{7, 9\} = \{7, 9\} \). La afirmación es verdadera. ✓
(c) \( (A – B)’ ≠ A’ \cup (A \cap B) \)
Calculamos ambos lados:
- \( A – B = \{1, 3, 5\} \implies (A – B)’ = \{2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
- \( A \cap B = \{2, 4\} \)
- \( A’ \cup (A \cap B) = \{6, 7, 8, 9, 10\} \cup \{2, 4\} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\} \)
\( \{2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\} \). Son iguales, pero la afirmación dice que son distintos.
La afirmación es falsa. ✗
Por qué coinciden? Es una identidad general: \( (A – B)’ = A’ \cup B \) (De Morgan), y \( A’ \cup B = A’ \cup (A \cap B) \) porque \( B = (A \cap B) \cup (A’ \cap B) \), y al unir con \( A’ \), la parte \( A’ \cap B \) se absorbe en \( A’ \).
(d) \( B – A ≠ \{8, 10\} \)
\[ B – A = \{2, 4, 6, 8, 10\} – \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{6, 8, 10\} \]
\( \{6, 8, 10\} ≠ \{8, 10\} \). La desigualdad se cumple. La afirmación es verdadera. ✓
Respuesta: Solo la afirmación (c) es falsa.
Ejercicio 41
Sean los conjuntos:
- \( A = \{x \in \mathbb{N} \mid x = \frac{1}{2}(k^2 – 1), k \in \mathbb{N}\} \)
- \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 = 8x\} \)
- \( C = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 – 32x + 192 < 0\} \)
Hallar \( (B – A) \cap C \).
Solución:
Determinación de \( A \):
Evaluamos \( x = \frac{1}{2}(k^2 – 1) \) para \( k \in \mathbb{N} \) y verificamos cuándo \( x \) es natural:
| \( k \) | \( k^2 – 1 \) | \( x = \frac{1}{2}(k^2 – 1) \) | \( x \in \mathbb{N} \)? |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | — |
| 2 | 3 | 3/2 | No |
| 3 | 8 | 4 | Sí ✓ |
| 4 | 15 | 15/2 | No |
| 5 | 24 | 12 | Sí ✓ |
| 6 | 35 | 35/2 | No |
| 7 | 48 | 24 | Sí ✓ |
| 9 | 80 | 40 | Sí ✓ |
Patrón: Solo los \( k \) impares producen naturales. Si \( k = 2m + 1 \):
\[ x = \frac{(2m+1)^2 – 1}{2} = \frac{4m^2 + 4m}{2} = 2m(m+1) \]
\[ A = \{4, 12, 24, 40, 60, \ldots\} \]
Determinación de \( B \):
\[ x^2 = 8x \implies x^2 – 8x = 0 \implies x(x – 8) = 0 \implies x = 0 \text{ ó } x = 8 \]
Tomando \( x \in \mathbb{N} \):
\[ B = \{8\} \]
Determinación de \( C \):
Resolvemos la inecuación \( x^2 – 32x + 192 < 0 \). Primero las raíces:
\[ x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 – 768}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{32 \pm 16}{2} \implies x = 8 \text{ ó } x = 24 \]
La parábola es negativa entre las raíces (estrictamente):
\[ x^2 – 32x + 192 < 0 \iff 8 < x < 24 \]
\[ C = \{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\} \]
Cálculo final:
- \( B – A = \{8\} – \{4, 12, 24, \ldots\} = \{8\} \) (ya que \( 8 \notin A \)) ✓
- \( (B – A) \cap C = \{8\} \cap \{9, 10, \ldots, 23\} = \emptyset \)
El valor 8 es raíz de la ecuación \( x^2 – 32x + 192 = 0 \), por lo que la desigualdad es no estricta en ese punto: \( 8^2 – 32(8) + 192 = 0 \not< 0 \). Entonces \( 8 \notin C \).
Resultado:
\[ (B – A) \cap C = \emptyset \]
Ejercicio 42
Si \( A = \{a, \emptyset, \{a\}\} \), \( B = \{\{a\}, \{\{a\}\}\} \). Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
- (a) \( (A \cup B) – (A \cap B) = \{a, \emptyset, \{\{a\}\}\} \)
- (b) El número de elementos de \( \mathcal{P}(A) \) es 8
- (c) \( \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \{\{\{a\}\}, \emptyset\} \)
Solución:
Identificar los elementos:
| Conjunto | Elementos | Cantidad |
|---|---|---|
| \( A \) | \( a \), \( \emptyset \), \( \{a\} \) | 3 |
| \( B \) | \( \{a\} \), \( \{\{a\}\} \) | 2 |
El único elemento en común es \( \{a\} \):
\[ A \cap B = \{\{a\}\} \] \[ A \cup B = \{a, \emptyset, \{a\}, \{\{a\}\}\} \]
(a) \( (A \cup B) – (A \cap B) = A △ B \)
\[ A △ B = \{a, \emptyset, \{a\}, \{\{a\}\}\} – \{\{a\}\} = \{a, \emptyset, \{\{a\}\}\} \]
Coincide con lo afirmado. Verdadera. ✓
(b) \( |\mathcal{P}(A)| = 8 \)
\( A \) tiene 3 elementos, por lo que \( |\mathcal{P}(A)| = 2^3 = 8 \). Verdadera. ✓
Los 8 subconjuntos de \( A = \{a, \emptyset, \{a\}\} \) son:
\[ \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{a\}, \{\emptyset\}, \{\{a\}\}, \{a, \emptyset\}, \{a, \{a\}\}, \{\emptyset, \{a\}\}, \{a, \emptyset, \{a\}\}\} \]
(c) \( \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \{\{\{a\}\}, \emptyset\} \)
\( \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \) contiene los conjuntos que son subconjuntos de \( A \) y de \( B \) simultáneamente.
\[ \mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{\{a\}\}, \{\{\{a\}\}\}, \{\{a\}, \{\{a\}\}\}\} \]
Verificamos cuáles están también en \( \mathcal{P}(A) \):
| \( X \in \mathcal{P}(B) \) | \( X \subset A \)? | \( X \in \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \)? |
|---|---|---|
| \( \emptyset \) | Sí (siempre) | Sí ✓ |
| \( \{\{a\}\} \) | Sí (\( \{a\} \in A \)) | Sí ✓ |
| \( \{\{\{a\}\}\} \) | No (\( \{\{a\}\} \notin A \)) | No |
| \( \{\{a\}, \{\{a\}\}\} \) | No (\( \{\{a\}\} \notin A \)) | No |
\[ \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{\{a\}\}\} \]
Coincide con lo afirmado. Verdadera. ✓
Respuesta: Las tres afirmaciones son verdaderas.
Ejercicio 43
Cuántas de las afirmaciones siguientes son verdaderas?
- (a) \( (A – B) – C = A – (B \cup C) \)
- (b) \( ((A’)’)’ = U – A \)
- (c) \( (A \cap B’) \cup A = A \)
- (d) \( (A’ \cup B’) \cap A = B \)
- (e) \( [(A’ \cup B) – C] = (A \cup C)’ \cup (B – C) \)
Solución:
(a) \( (A – B) – C = A – (B \cup C) \)
- Izquierdo: \( (A \cap B’) \cap C’ = A \cap B’ \cap C’ \)
- Derecho: \( A \cap (B \cup C)’ = A \cap B’ \cap C’ \) (De Morgan)
Ambos son \( A \cap B’ \cap C’ \). Verdadera. ✓
(b) \( ((A’)’)’ = U – A \)
Aplicamos complemento tres veces: \( A’ \to A \to A’ \). Es decir:
\[ ((A’)’)’ = (A)’ = A’ = U – A \]
Verdadera. ✓
(c) \( (A \cap B’) \cup A = A \)
Como \( A \cap B’ \subset A \), por absorción: \( X \cup A = A \) cuando \( X \subset A \).
Verdadera. ✓
(d) \( (A’ \cup B’) \cap A = B \)
Distribuimos la intersección:
\[ (A’ \cup B’) \cap A = (A’ \cap A) \cup (B’ \cap A) = \emptyset \cup (A \cap B’) = A – B \]
La expresión se simplifica a \( A – B \), no a \( B \).
Contraejemplo: \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{2, 3\} \):
\[ (A’ \cup B’) \cap A = A – B = \{1\} ≠ \{2, 3\} = B \]
Falsa. ✗
(e) \( (A’ \cup B) – C = (A \cup C)’ \cup (B – C) \)
- Izquierdo: \( (A’ \cup B) \cap C’ = (A’ \cap C’) \cup (B \cap C’) \) (distributiva)
- Derecho: \( (A \cup C)’ \cup (B – C) = (A’ \cap C’) \cup (B \cap C’) \) (De Morgan)
Ambos se reducen a \( (A’ \cap C’) \cup (B \cap C’) \). Verdadera. ✓
Respuesta: Son verdaderas 4 de las 5 afirmaciones: (a), (b), (c) y (e). Solo (d) es falsa.
Ejercicio 44
Dada la proposición: \( (x \notin A \wedge x \in B) \vee x \in C \). Su negación equivale a:
- (a) \( x \in (A \cup B’) \cap C’ \)
- (b) \( x \in (A – C) \cup (B \cup C)’ \)
- (c) \( (x \in A \wedge x \in C) \wedge x \notin (B \cup C) \)
Cuáles son verdaderas?
Solución:
Paso 1 — Negar la proposición original.
\[ \neg[(x \notin A \wedge x \in B) \vee x \in C] \]
Aplicando De Morgan a la disyunción:
\[ = \neg(x \notin A \wedge x \in B) \wedge \neg(x \in C) \]
Aplicando De Morgan a la conjunción:
\[ = (x \in A \vee x \notin B) \wedge x \notin C \]
Traduciendo a notación de conjuntos:
\[ = x \in (A \cup B’) \wedge x \in C’ = x \in (A \cup B’) \cap C’ \quad \cdots (\ast) \]
Paso 2 — Verificar cada opción.
(a) \( x \in (A \cup B’) \cap C’ \)
Coincide exactamente con \( (\ast) \). Verdadera. ✓
(b) \( x \in (A – C) \cup (B \cup C)’ \)
Simplifiquemos:
\[ (A – C) \cup (B \cup C)’ = (A \cap C’) \cup (B’ \cap C’) \]
Factorizando \( C’ \):
\[ = (A \cup B’) \cap C’ \]
Coincide con \( (\ast) \). Verdadera. ✓
(c) \( (x \in A \wedge x \in C) \wedge x \notin (B \cup C) \)
Traducimos:
\[ x \in A \cap C \cap (B \cup C)’ = x \in A \cap C \cap B’ \cap C’ \]
Pero \( C \cap C’ = \emptyset \), por lo que:
\[ = x \in \emptyset \]
Esta expresión es siempre falsa, no puede ser equivalente a la negación original (que tiene soluciones no vacías en general).
Falsa. ✗
Respuesta: Las opciones (a) y (b) son verdaderas. La opción (c) contiene una contradicción interna (\( C \cap C’ = \emptyset \)) que la hace siempre falsa.
Ejercicio 45
Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
- (1) \( A \cap (C – B)’ \) es lo mismo que \( A \cap (B \cup C)’ \).
- (2) \( A = \{x \in \mathbb{Q} \mid 10x^2 = 13x + 3\} \) es unitario, o \( B = \{x \in \mathbb{R} – \{0\} \mid -x = x^{-1}\} \) es vacío.
- (3) Si \( x \in \mathbb{R} \) y \( A = \{a \in \mathbb{R} \mid 4x^2 – 2ax + 3 + a \text{ es trinomio cuadrado perfecto}\} \), entonces \( A \subset \{a \in \mathbb{Z} \mid a^3 + 24 = 6a^2 + 4a\} \).
Solución:
(1) Comparamos algebraicamente:
\[ (C – B)’ = (C \cap B’)’ = C’ \cup B \quad \text{(De Morgan)} \]
\[ A \cap (C – B)’ = A \cap (C’ \cup B) \]
Mientras que:
\[ A \cap (B \cup C)’ = A \cap (B’ \cap C’) = A \cap B’ \cap C’ \]
Comparamos: \( A \cap (C’ \cup B) ≠ A \cap B’ \cap C’ \) en general.
Contraejemplo: \( A = \{1, 2, 3\}, B = \{2\}, C = \{3\} \):
- \( A \cap (C – B)’ = \{1, 2, 3\} \cap \{3\}’ = \{1, 2\} \)
- \( A \cap (B \cup C)’ = \{1, 2, 3\} \cap \{2, 3\}’ = \{1\} \)
\( \{1, 2\} ≠ \{1\} \). Falsa. ✗
(2) Evaluamos cada parte de la disyunción:
Para \( A \): \( 10x^2 – 13x – 3 = 0 \)
\[ x = \frac{13 \pm \sqrt{169 + 120}}{20} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{20} = \frac{13 \pm 17}{20} \]
\[ x_1 = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5} \]
Ambos son racionales, así que \( A = \{3/2, -1/5\} \) tiene 2 elementos. No es unitario. ✗
Para \( B \): \( -x = x^{-1} \implies -x = \frac{1}{x} \implies -x^2 = 1 \implies x^2 = -1 \)
No tiene solución real. \( B = \emptyset \). ✓
La disyunción: (Falso) \( \vee \) (Verdadero) = Verdadero. Verdadera. ✓
(3) Para que \( 4x^2 – 2ax + (3 + a) \) sea trinomio cuadrado perfecto, su discriminante debe ser cero:
\[ \Delta = (-2a)^2 – 4(4)(3 + a) = 4a^2 – 48 – 16a = 0 \]
\[ a^2 – 4a – 12 = 0 \implies a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \]
\[ a_1 = 6, \quad a_2 = -2 \]
\[ A = \{-2, 6\} \]
Ahora verificamos si \( A \subset \{a \in \mathbb{Z} \mid a^3 + 24 = 6a^2 + 4a\} \):
\[ a^3 – 6a^2 – 4a + 24 = 0 \implies a^2(a – 6) – 4(a – 6) = 0 \implies (a^2 – 4)(a – 6) = 0 \]
\[ (a – 2)(a + 2)(a – 6) = 0 \implies a \in \{-2, 2, 6\} \]
Verificamos: \( A = \{-2, 6\} \subset \{-2, 2, 6\} \). ✓
Verdadera. ✓
Respuesta: Las afirmaciones (2) y (3) son verdaderas. Solo (1) es falsa.
Ejercicio 46
Demostrar que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- (a) \( A \subset C \implies A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C \)
- (b) \( A \cup (B \cap A) = A \cap (B \cup A) = A \)
- (c) \( B = A’ \iff A \cup B = U \wedge A \cap B = \emptyset \)
- (d) \( A \cup [B \cap (A \cup C)] = A \cup (B \cap C) \)
Demostraciones:
(a) \( A \subset C \implies A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap C \)
Aplicamos la ley distributiva al lado izquierdo:
\[ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \]
Ahora usamos la hipótesis \( A \subset C \), que implica \( A \cup C = C \):
\[ = (A \cup B) \cap C \]
∎
(b) \( A \cup (B \cap A) = A \cap (B \cup A) = A \)
Primera igualdad: \( B \cap A \subset A \), por lo que por absorción:
\[ A \cup (B \cap A) = A \]
Segunda igualdad: \( A \subset B \cup A \), por lo que por absorción:
\[ A \cap (B \cup A) = A \]
Ambas son instancias de las leyes de absorción: \( X \cup (Y \cap X) = X \) y \( X \cap (Y \cup X) = X \). ∎
(c) \( B = A’ \iff A \cup B = U \wedge A \cap B = \emptyset \)
\( (\Rightarrow) \) Si \( B = A’ \):
\[ A \cup A’ = U \quad ✓ \] \[ A \cap A’ = \emptyset \quad ✓ \]
\( (\Leftarrow) \) Si \( A \cup B = U \) y \( A \cap B = \emptyset \):
De \( A \cap B = \emptyset \): ningún elemento de \( B \) está en \( A \), es decir, \( B \subset A’ \).
De \( A \cup B = U \): todo elemento de \( U \) está en \( A \) o en \( B \). Si \( x \notin A \), entonces \( x \in B \), por lo que \( A’ \subset B \).
De \( B \subset A’ \) y \( A’ \subset B \) concluimos \( B = A’ \). ∎
Interpretación: El complemento de \( A \) es el único conjunto que cumple simultáneamente ser disjunto con \( A \) y cubrir todo \( U \) al unirse con \( A \).
(d) \( A \cup [B \cap (A \cup C)] = A \cup (B \cap C) \)
Distribuimos \( B \) dentro del paréntesis:
\[ B \cap (A \cup C) = (B \cap A) \cup (B \cap C) \]
Sustituyendo:
\[ A \cup [(B \cap A) \cup (B \cap C)] = A \cup (B \cap A) \cup (B \cap C) \]
Como \( B \cap A \subset A \), se absorbe:
\[ = A \cup (B \cap C) \]
∎
Ejercicio 47
Cuáles de las siguientes proposiciones para conjuntos son siempre verdaderas?
- (a) \( A \subset B \iff A \cup B = B \)
- (b) \( A \subset B’ \iff B \subset A’ \)
- (c) \( A \cap B = \emptyset \to A \subset B’ \)
- (d) \( (A \cup B’)’ = B – A \)
Solución:
(a) \( A \subset B \iff A \cup B = B \)
\( (\Rightarrow) \) Si \( A \subset B \): todo elemento de \( A \) ya está en \( B \), así que \( A \cup B = B \). ✓
\( (\Leftarrow) \) Si \( A \cup B = B \): como \( A \subset A \cup B \), entonces \( A \subset B \). ✓
Siempre verdadera. ✓
(b) \( A \subset B’ \iff B \subset A’ \)
Ambas condiciones equivalen a \( A \cap B = \emptyset \):
- \( A \subset B’ \): todo elemento de \( A \) está fuera de \( B \), es decir, \( A \cap B = \emptyset \).
- \( B \subset A’ \): todo elemento de \( B \) está fuera de \( A \), es decir, \( B \cap A = \emptyset \).
Como \( A \cap B = B \cap A \), son equivalentes. Siempre verdadera. ✓
(c) \( A \cap B = \emptyset \to A \subset B’ \)
Si \( A \cap B = \emptyset \), ningún elemento de \( A \) pertenece a \( B \). Por definición de complemento, todo elemento de \( A \) está en \( B’ \). Luego \( A \subset B’ \).
Siempre verdadera. ✓
Nota: El recíproco también es verdadero (como se vio en (b)), así que la implicación en (c) es en realidad una bicondicional: \( A \cap B = \emptyset \iff A \subset B’ \).
(d) \( (A \cup B’)’ = B – A \)
Aplicamos De Morgan:
\[ (A \cup B’)’ = A’ \cap (B’)’ = A’ \cap B = B \cap A’ = B – A \]
Siempre verdadera. ✓
Respuesta: Las cuatro proposiciones son siempre verdaderas.
Ejercicio 48
Si \( U = \{a, b, c, d, e\} \), \( A \cup B = \{a, b, c, d\} \), \( A \cap B = \{a, c\} \) y \( A – B = \{b\} \). Hallar \( A \) y \( B \).
Solución:
Paso 1 — Reconstruir \( A \).
Todo elemento de \( A \) está en \( A \cap B \) (lo que comparte con \( B \)) o en \( A – B \) (lo que es exclusivo de \( A \)):
\[ A = (A \cap B) \cup (A – B) = \{a, c\} \cup \{b\} = \{a, b, c\} \]
Paso 2 — Determinar \( B – A \).
Los elementos exclusivos de \( B \) son los que están en \( A \cup B \) pero no en \( A \):
\[ B – A = (A \cup B) – A = \{a, b, c, d\} – \{a, b, c\} = \{d\} \]
Paso 3 — Reconstruir \( B \).
Análogamente al paso 1:
\[ B = (A \cap B) \cup (B – A) = \{a, c\} \cup \{d\} = \{a, c, d\} \]
Verificación:
| Operación | Cálculo | Esperado | ✓ |
|---|---|---|---|
| \( A \cup B \) | \( \{a, b, c\} \cup \{a, c, d\} = \{a, b, c, d\} \) | \( \{a, b, c, d\} \) | ✓ |
| \( A \cap B \) | \( \{a, b, c\} \cap \{a, c, d\} = \{a, c\} \) | \( \{a, c\} \) | ✓ |
| \( A – B \) | \( \{a, b, c\} – \{a, c, d\} = \{b\} \) | \( \{b\} \) | ✓ |
Resultado:
\[ A = \{a, b, c\}, \quad B = \{a, c, d\} \]
Método general: Cualquier conjunto se descompone en su parte compartida y su parte exclusiva: \( X = (X \cap Y) \cup (X – Y) \). Con \( A \cap B \), \( A – B \) y \( A \cup B \) se pueden reconstruir \( A \) y \( B \) unívocamente.
Ejercicio 49
Demostrar que la proposición \( p: x \in [A – (C – B)]’ \) es equivalente a \( q: x \notin [A \cap (C’ \cup B)] \).
Demostración:
Paso 1 — Interpretar \( p \).
\[ x \in [A – (C – B)]’ \iff x \notin A – (C – B) \]
Estar en el complemento de un conjunto equivale a no estar en él.
Paso 2 — Simplificar \( A – (C – B) \).
Primero, simplificamos el paréntesis interno:
\[ C – B = C \cap B’ \]
Luego, aplicamos la diferencia exterior:
\[ A – (C \cap B’) = A \cap (C \cap B’)’ \]
Aplicando De Morgan:
\[ (C \cap B’)’ = C’ \cup B \]
Por lo tanto:
\[ A – (C – B) = A \cap (C’ \cup B) \]
Paso 3 — Sustituir.
\[ p: x \in [A – (C – B)]’ \iff x \notin [A – (C – B)] \iff x \notin [A \cap (C’ \cup B)] \]
Esto es exactamente \( q \).
\[ p \iff q \]
∎
Resumen: La equivalencia se reduce a una sola simplificación algebraica: \( A – (C – B) = A \cap (C’ \cup B) \). La proposición \( p \) dice no estar en ese conjunto (por el complemento), que es exactamente lo que dice \( q \).
Ejercicio 50
Dados los conjuntos:
- \( M = \{-3, -2/3, 0, 1/2, 2, \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}, 2i\} \)
- \( A = \{x \in M \mid x \notin M \to x \notin \mathbb{Z}\} \)
- \( B = \{x \in M \mid x \in \mathbb{R} \iff x \in \mathbb{I}\} \)
- \( D = \{x \in M \mid x \in \mathbb{C} \wedge x \notin \mathbb{Q}\} \)
Hallar \( (A \cap \mathbb{C}) \cup (B – A) \).
Solución:
Clasificación de los elementos de \( M \):
| Elemento | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{Q} \) | \( \mathbb{I} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{C} \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( -3 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| \( -2/3 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( 0 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| \( 1/2 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( 2 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| \( \sqrt{2} \) | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( 3+\sqrt{2} \) | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( 2i \) | ✓ |
Determinación de \( A \):
La condición es \( x \notin M \to x \notin \mathbb{Z} \). Como todo \( x \) considerado ya pertenece a \( M \) (por la cláusula \( x \in M \)), la hipótesis \( x \notin M \) es siempre falsa.
Un condicional con hipótesis falsa es vacuamente verdadero: \( F \to q \equiv V \) para cualquier \( q \).
\[ A = M \]
Determinación de \( B \):
La condición es \( x \in \mathbb{R} \iff x \in \mathbb{I} \) (\( x \) es real si y solo si es irracional):
| Elemento | \( x \in \mathbb{R} \) | \( x \in \mathbb{I} \) | \( \mathbb{R} \iff \mathbb{I} \) | \( \in B \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( -3 \) | V | F | F | No |
| \( -2/3 \) | V | F | F | No |
| \( 0 \) | V | F | F | No |
| \( 1/2 \) | V | F | F | No |
| \( 2 \) | V | F | F | No |
| \( \sqrt{2} \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 3+\sqrt{2} \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 2i \) | F | F | V | Sí ✓ |
\[ B = \{\sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}, 2i\} \]
Nota sobre \( 2i \): cumple \( F \iff F = V \). No es real ni irracional, así que la bicondicional se satisface.
Determinación de \( D \):
\( x \in \mathbb{C} \) es verdadero para todos los elementos de \( M \), así que la condición se reduce a \( x \notin \mathbb{Q} \):
\[ D = \{\sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}, 2i\} = B \]
Observación: \( B \) y \( D \) tienen definiciones distintas pero producen el mismo conjunto.
Cálculo final:
- \( A \cap \mathbb{C} = M \cap \mathbb{C} = M \) (todos los elementos de \( M \) son números complejos)
- \( B – A = B – M = \emptyset \) (ya que \( B \subset M = A \))
\[ (A \cap \mathbb{C}) \cup (B – A) = M \cup \emptyset = M \]
Resultado:
\[ (A \cap \mathbb{C}) \cup (B – A) = \{-3, -2/3, 0, 1/2, 2, \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}, 2i\} = M \]
Lecciones del ejercicio:
- La verdad vacua (\( F \to q = V \)) hace que \( A = M \), lo cual domina el resultado final.
- La bicondicional en \( B \) incluye a \( 2i \) por \( F \iff F = V \), un caso no intuitivo.
- Los conjuntos \( B \) y \( D \), con definiciones muy diferentes, coinciden exactamente.
Ejercicio 51
Sea \( U = \{-6, -3, 0, 0.4, 0.\overline{3}, 3/5, \sqrt{6}, 4, 1-i\} \) y los subconjuntos:
- \( A = \{x \in U \mid x \in \mathbb{C} \wedge x \notin \mathbb{I}\} \)
- \( B = \{x \in U \mid x \in \mathbb{N}’ \wedge x \in \mathbb{Q}\} \)
- \( D = \{x \in U \mid x \in \mathbb{Z} \vee x \in \mathbb{N}\} \)
Si \( M = \{x \in U \mid x \in A \to x \in B\} \) y \( P = \{x \in U \mid x \in D \iff x \in B\} \), determinar \( M \cap P \).
Solución:
Paso 1 — Clasificar cada elemento de \( U \).
| Elemento | \( \mathbb{N} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{Q} \) | \( \mathbb{I} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{C} \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( -6 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( -3 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( 0 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( 0.4 \) | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| \( 0.\overline{3} \) | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| \( 3/5 \) | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| \( \sqrt{6} \) | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| \( 4 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| \( 1-i \) | ✓ |
Paso 2 — Determinar \( A \), \( B \) y \( D \).
\( A \): \( x \in \mathbb{C} \wedge x \notin \mathbb{I} \). Como \( x \in \mathbb{C} \) vale para todos, se reduce a \( x \notin \mathbb{I} \). Solo \( \sqrt{6} \) es irracional.
\[ A = \{-6, -3, 0, 0.4, 0.\overline{3}, 3/5, 4, 1-i\} \]
\( B \): \( x \notin \mathbb{N} \wedge x \in \mathbb{Q} \) (no natural y racional):
\[ B = \{-6, -3, 0, 0.4, 0.\overline{3}, 3/5\} \]
\( D \): \( x \in \mathbb{Z} \vee x \in \mathbb{N} \). Como \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \), se reduce a \( x \in \mathbb{Z} \):
\[ D = \{-6, -3, 0, 4\} \]
Paso 3 — Determinar \( M \): condición \( x \in A \to x \in B \).
| Elemento | \( \in A \) | \( \in B \) | \( A \to B \) | \( \in M \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( -6 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( -3 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 0 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 0.4 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 0.\overline{3} \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 3/5 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( \sqrt{6} \) | F | F | V | Sí ✓ |
| \( 4 \) | V | F | F | No ✗ |
| \( 1-i \) | V | F | F | No ✗ |
\[ M = \{-6, -3, 0, 0.4, 0.\overline{3}, 3/5, \sqrt{6}\} \]
El 4 falla porque \( 4 \in A \) pero \( 4 \notin B \) (es natural). \( 1-i \) falla porque está en \( A \) pero no en \( B \) (no es racional).
Paso 4 — Determinar \( P \): condición \( x \in D \iff x \in B \).
| Elemento | \( \in D \) | \( \in B \) | \( D \iff B \) | \( \in P \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( -6 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( -3 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 0 \) | V | V | V | Sí ✓ |
| \( 0.4 \) | F | V | F | No ✗ |
| \( 0.\overline{3} \) | F | V | F | No ✗ |
| \( 3/5 \) | F | V | F | No ✗ |
| \( \sqrt{6} \) | F | F | V | Sí ✓ |
| \( 4 \) | V | F | F | No ✗ |
| \( 1-i \) | F | F | V | Sí ✓ |
\[ P = \{-6, -3, 0, \sqrt{6}, 1-i\} \]
Paso 5 — Calcular \( M \cap P \).
\[ M \cap P = \{-6, -3, 0, 0.4, 0.\overline{3}, 3/5, \sqrt{6}\} \cap \{-6, -3, 0, \sqrt{6}, 1-i\} \]
Resultado:
\[ M \cap P = \{-6, -3, 0, \sqrt{6}\} \]
Observación: Los decimales \( (0.4, 0.\overline{3}, 3/5) \) están en \( M \) pero no en \( P \) (son racionales no enteros: fallan \( D \iff B \)). Y \( 1-i \) está en \( P \) pero no en \( M \). Solo los enteros no naturales y el irracional sobreviven la intersección.
Ejercicio 52
Dados los operadores lógicos personalizados: \( p * q \equiv p \to \neg q \) y \( p \diamond q \equiv \neg p \to \neg q \), y los conjuntos:
- \( A = \{-9, -\sqrt{2}, 0.\overline{3}, \pi, 6, 3i\} \)
- \( B = \{x \in A \mid x \in \mathbb{Z} \to x \notin \mathbb{R}\} \)
- \( D = \{x \in A \mid x \in \mathbb{Q} * x \in \mathbb{I}\} \)
- \( E = \{x \in A \mid x \in \mathbb{C} \diamond x \in \mathbb{N}\} \)
Hallar \( (A \cup B) \cap (D – E) \).
Solución:
Paso 1 — Clasificar los elementos de \( A \).
| Elemento | \( \mathbb{N} \) | \( \mathbb{Z} \) | \( \mathbb{Q} \) | \( \mathbb{I} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{C} \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( -9 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ||
| \( -\sqrt{2} \) | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| \( 0.\overline{3} \) | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| \( \pi \) | ✓ | ✓ | ✓ | |||
| \( 6 \) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| \( 3i \) | ✓ |
Paso 2 — Determinar \( B \): \( x \in \mathbb{Z} \to x \notin \mathbb{R} \).
| Elemento | \( x \in \mathbb{Z} \) | \( x \notin \mathbb{R} \) | \( p \to q \) | \( \in B \)? |
|---|---|---|---|---|
| \( -9 \) | V | F | F | No ✗ |
| \( -\sqrt{2} \) | F | F | V | Sí ✓ |
| \( 0.\overline{3} \) | F | F | V | Sí ✓ |
| \( \pi \) | F | F | V | Sí ✓ |
| \( 6 \) | V | F | F | No ✗ |
| \( 3i \) | F | V | V | Sí ✓ |
\[ B = \{-\sqrt{2}, 0.\overline{3}, \pi, 3i\} \]
Paso 3 — Determinar \( D \): \( x \in \mathbb{Q} * x \in \mathbb{I} \).
Decodificamos: \( p * q \equiv p \to \neg q \), así que la condición es:
\[ x \in \mathbb{Q} \to \neg(x \in \mathbb{I}) \equiv x \in \mathbb{Q} \to x \notin \mathbb{I} \]
Contrapositiva: \( x \in \mathbb{I} \to x \notin \mathbb{Q} \). Esto es siempre verdadero porque \( \mathbb{Q} \) y \( \mathbb{I} \) son disjuntos (ningún número es racional e irracional a la vez).
\[ D = A \]
Paso 4 — Determinar \( E \): \( x \in \mathbb{C} \diamond x \in \mathbb{N} \).
Decodificamos: \( p \diamond q \equiv \neg p \to \neg q \), así que la condición es:
\[ x \notin \mathbb{C} \to x \notin \mathbb{N} \]
Contrapositiva: \( x \in \mathbb{N} \to x \in \mathbb{C} \). Esto es siempre verdadero porque \( \mathbb{N} \subset \mathbb{C} \).
\[ E = A \]
Paso 5 — Cálculo final.
\[ D – E = A – A = \emptyset \]
\[ (A \cup B) \cap (D – E) = (A \cup B) \cap \emptyset = \emptyset \]
Resultado:
\[ (A \cup B) \cap (D – E) = \emptyset \]
Lecciones del ejercicio:
- El operador \( * \) con \( \mathbb{Q} \) y \( \mathbb{I} \) produce una verdad matemática universal (racionales e irracionales son disjuntos), haciendo \( D = A \).
- El operador \( \diamond \) con \( \mathbb{C} \) y \( \mathbb{N} \) también produce una verdad universal (\( \mathbb{N} \subset \mathbb{C} \)), haciendo \( E = A \).
- \( D = E = A \) implica \( D – E = \emptyset \), anulando toda la expresión.
Ejercicio 53
Cuáles de las siguientes proposiciones equivalen a la negación de \( x \in [C \cup (B – A)] \)?
- (a) \( x \in [(B – A)’ – C] \)
- (b) \( x \in [(A – C) \cup (B \cup C)’] \)
- (c) \( x \in [A \cup (B \cup C)’] \)
Solución:
Paso 1 — Calcular la negación.
\[ \neg(x \in [C \cup (B – A)]) \iff x \in [C \cup (B – A)]’ \]
Aplicamos De Morgan:
\[ [C \cup (B – A)]’ = C’ \cap (B – A)’ \]
Simplificamos \( (B – A)’ = (B \cap A’)’ = B’ \cup A \):
\[ = C’ \cap (B’ \cup A) = (C’ \cap B’) \cup (C’ \cap A) = (B \cup C)’ \cup (A \cap C’) \]
Reescribiendo:
\[ = (A – C) \cup (B \cup C)’ \quad \cdots (\ast) \]
Paso 2 — Verificar cada opción.
(a) \( (B – A)’ – C = (B – A)’ \cap C’ \)
\[ = (B’ \cup A) \cap C’ = (B’ \cap C’) \cup (A \cap C’) = (B \cup C)’ \cup (A – C) \]
Coincide con \( (\ast) \). Equivalente. ✓
(b) \( (A – C) \cup (B \cup C)’ \)
\[ = (A \cap C’) \cup (B’ \cap C’) = (B \cup C)’ \cup (A – C) \]
Coincide con \( (\ast) \) directamente. Equivalente. ✓
(c) \( A \cup (B \cup C)’ \)
Aquí aparece \( A \) en lugar de \( A – C = A \cap C’ \). La diferencia: \( A \) incluye elementos de \( C \), mientras que \( A – C \) los excluye.
Contraejemplo: \( U = \{1, 2, 3, 4\} \), \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{3\} \), \( C = \{2\} \):
- \( (\ast) = (A – C) \cup (B \cup C)’ = \{1\} \cup \{1, 4\} = \{1, 4\} \)
- Opción (c): \( A \cup (B \cup C)’ = \{1, 2\} \cup \{1, 4\} = \{1, 2, 4\} \)
\( \{1, 4\} ≠ \{1, 2, 4\} \). No equivalente. ✗
Respuesta: Las opciones (a) y (b) son equivalentes a la negación. La opción (c) falla al no excluir de \( A \) los elementos de \( C \).
Ejercicio 54
Sea \( A * B = (A – B’) \cup B \). Demostrar que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- (a) \( A * B = B * A \implies A = B \)
- (b) \( (A * B) * C = A * (B * C) \)
- (c) \( A * (B \cup C) = (A * B) \cup (A * C) \)
Solución:
Paso clave — Simplificar \( A * B \).
Antes de abordar cada inciso, simplifiquemos la operación:
\[ A * B = (A – B’) \cup B \]
Reescribimos \( A – B’ = A \cap (B’)’ = A \cap B \):
\[ A * B = (A \cap B) \cup B \]
Como \( A \cap B \subset B \), por absorción:
\[ A * B = B \]
La operación \( * \) simplemente devuelve el segundo operando. Todo el ejercicio se reduce a esta observación.
Demostración de (a): \( A * B = B * A \implies A = B \)
\[ A * B = B \quad \text{y} \quad B * A = A \]
Si \( A * B = B * A \), entonces \( B = A \). ∎
Demostración de (b): \( (A * B) * C = A * (B * C) \)
- Izquierdo: \( (A * B) * C = B * C = C \)
- Derecho: \( A * (B * C) = A * C = C \)
Ambos lados iguales a \( C \). ∎
Demostración de (c): \( A * (B \cup C) = (A * B) \cup (A * C) \)
- Izquierdo: \( A * (B \cup C) = B \cup C \)
- Derecho: \( (A * B) \cup (A * C) = B \cup C \)
Ambos lados iguales a \( B \cup C \). ∎
Observación: La operación \( * \) es una proyección sobre el segundo argumento. Esto la hace trivialmente asociativa (b) y distributiva sobre \( \cup \) (c). Además, conmuta solo cuando \( A = B \) (a), lo que muestra que la conmutatividad no es gratuita.
Ejercicio 55
Sean \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 – x – 6 = 0\} \), \( C = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 < x < 6\} \), \( D = C – (A \cap B) \). Cuántos elementos tiene \( \mathcal{P}[\mathcal{P}(D)] \)?
Solución:
Paso 1 — Determinar \( B \).
\[ x^2 – x – 6 = 0 \implies (x – 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 \text{ ó } x = -2 \]
\[ B = \{-2, 3\} \]
Paso 2 — Determinar \( C \).
\[ C = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 < x < 6\} = \{3, 4, 5\} \]
Paso 3 — Calcular \( D \).
\[ A \cap B = \{1, 2, 3\} \cap \{-2, 3\} = \{3\} \]
\[ D = C – (A \cap B) = \{3, 4, 5\} – \{3\} = \{4, 5\} \]
Paso 4 — Calcular \( \mathcal{P}(D) \).
\( |D| = 2 \), así que \( |\mathcal{P}(D)| = 2^2 = 4 \):
\[ \mathcal{P}(D) = \{\emptyset, \{4\}, \{5\}, \{4, 5\}\} \]
Paso 5 — Calcular \( |\mathcal{P}[\mathcal{P}(D)]| \).
\( |\mathcal{P}(D)| = 4 \), así que:
\[ |\mathcal{P}[\mathcal{P}(D)]| = 2^4 = 16 \]
Resultado:
\[ \mathcal{P}[\mathcal{P}(D)] \text{ tiene } \mathbf{16} \text{ elementos} \]
Cadena de cardinalidades: \( |D| = 2 \xrightarrow{2^n} |\mathcal{P}(D)| = 4 \xrightarrow{2^n} |\mathcal{P}[\mathcal{P}(D)]| = 16 \). Cada aplicación del conjunto potencia eleva exponencialmente la cantidad de elementos.
Ejercicio 56
Si \( A \), \( B \), \( C \) son conjuntos y \( C \subset A’ \), demostrar que:
\[ \{[(C \cup B) \cap A] \cup C’\} \cap B = B \cap C’ \]
Demostración:
Paso 1 — Consecuencia de la hipótesis.
\( C \subset A’ \) significa que todo elemento de \( C \) está fuera de \( A \), es decir:
\[ C \cap A = \emptyset \quad \text{y equivalentemente} \quad A \subset C’ \]
(Si \( x \in A \), entonces \( x \notin C \) pues si estuviera en \( C \subset A’ \), tendríamos \( x \in A’ \), contradicción.)
Paso 2 — Simplificar \( (C \cup B) \cap A \).
Distribuimos:
\[ (C \cup B) \cap A = (C \cap A) \cup (B \cap A) \]
Usando \( C \cap A = \emptyset \):
\[ = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B \]
Paso 3 — Sustituir y distribuir.
\[ [(A \cap B) \cup C’] \cap B \]
Distribuimos \( \cap B \):
\[ = (A \cap B \cap B) \cup (C’ \cap B) = (A \cap B) \cup (B \cap C’) \]
Paso 4 — Aplicar absorción.
Como \( A \subset C’ \) (paso 1), entonces \( A \cap B \subset C’ \cap B = B \cap C’ \).
Por absorción (\( X \cup Y = Y \) cuando \( X \subset Y \)):
\[ (A \cap B) \cup (B \cap C’) = B \cap C’ \]
∎
Resumen de la cadena: \( C \subset A’ \implies C \cap A = \emptyset \) elimina un término en el paso 2, y \( A \subset C’ \) absorbe \( A \cap B \) en el paso 4. Ambas consecuencias de la misma hipótesis.
Ejercicio 57
Dados los conjuntos \( A \) y \( B \). Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
- (a) \( A \cup B = (A △ B) △ (A \cap B) \)
- (b) \( A \cap B = A △ (A \cup B) \)
- (c) \( A \cap B = (A \cup B) – (A △ B) \)
Solución:
(a) \( A \cup B = (A △ B) △ (A \cap B) \)
Sean \( X = A △ B = (A \cup B) – (A \cap B) \) e \( Y = A \cap B \). Calculamos \( X △ Y \):
- \( X \cup Y = [(A \cup B) – (A \cap B)] \cup (A \cap B) = A \cup B \) (al reunir lo excluido, se recupera el total)
- \( X \cap Y = [(A \cup B) – (A \cap B)] \cap (A \cap B) = \emptyset \) (la diferencia simétrica y la intersección son disjuntas por construcción)
\[ X △ Y = (X \cup Y) – (X \cap Y) = (A \cup B) – \emptyset = A \cup B \]
Verdadera. ✓
Interpretación: \( A △ B \) y \( A \cap B \) forman una partición de \( A \cup B \). Su diferencia simétrica (que aquí es su unión, al ser disjuntos) reconstituye \( A \cup B \).
(b) \( A \cap B = A △ (A \cup B) \)
\[ A △ (A \cup B) = [A – (A \cup B)] \cup [(A \cup B) – A] \]
- \( A – (A \cup B) = \emptyset \) (\( A \subset A \cup B \))
- \( (A \cup B) – A = B – A \)
\[ A △ (A \cup B) = B – A \]
Contraejemplo: \( A = \{1, 2\}, B = \{2, 3\} \):
\[ A △ (A \cup B) = \{3\} = B – A ≠ \{2\} = A \cap B \]
Falsa. ✗
(c) \( A \cap B = (A \cup B) – (A △ B) \)
Usando \( A △ B = (A \cup B) – (A \cap B) \):
\[ (A \cup B) – (A △ B) = (A \cup B) – [(A \cup B) – (A \cap B)] \]
Aplicando la identidad \( X – (X – Y) = X \cap Y \):
\[ = (A \cup B) \cap (A \cap B) = A \cap B \]
(La última igualdad vale porque \( A \cap B \subset A \cup B \).)
Verdadera. ✓
Respuesta: Son verdaderas (a) y (c). Solo (b) es falsa (da \( B – A \) en vez de \( A \cap B \)).
Resumen de identidades con \( △ \):
Expresión Simplifica a \( (A △ B) △ (A \cap B) \) \( A \cup B \) \( A △ (A \cup B) \) \( B – A \) (no \( A \cap B \)) \( (A \cup B) – (A △ B) \) \( A \cap B \)
Ejercicio 58
Si \( A \), \( B \) y \( C \) son conjuntos, simplificar:
- (a) \( [(A \cap B) \cup C’]’ \cup (B \cup C) \)
- (b) \( \{[C \cup (B – A’)] \cap [B – (C \cup A)’]’\} \cup B \)
Solución de (a):
Paso 1 — Aplicamos De Morgan al complemento:
\[ [(A \cap B) \cup C’]’ = (A \cap B)’ \cap (C’)’ = (A’ \cup B’) \cap C \]
Paso 2 — Sustituimos en la expresión:
\[ [(A’ \cup B’) \cap C] \cup (B \cup C) \]
Paso 3 — Como \( (A’ \cup B’) \cap C \subset C \subset B \cup C \), por absorción:
\[ = B \cup C \]
∎
Solución de (b):
Paso 1 — Simplificar las partes internas.
\[ B – A’ = B \cap (A’)’ = B \cap A = A \cap B \]
\[ (C \cup A)’ = C’ \cap A’ \quad \text{(De Morgan)} \]
\[ B – (C \cup A)’ = B \cap [(C \cup A)’]’ = B \cap (C \cup A) \]
\[ [B – (C \cup A)’]’ = [B \cap (C \cup A)]’ \quad \text{(complementamos)} \]
Paso 2 — La expresión dentro de \( \{\} \) queda:
\[ [C \cup (A \cap B)] \cap [B \cap (C \cup A)]’ \]
Paso 3 — Análisis por pertenencia a \( B \).
Llamemos \( R = \{[C \cup (A \cap B)] \cap [B \cap (C \cup A)]’\} \cup B \). Como la expresión final incluye \( \cup B \), todo elemento de \( B \) está en \( R \). Solo debemos verificar qué elementos fuera de \( B \) se agregan.
Para \( x \notin B \):
- \( x \in C \cup (A \cap B) \): como \( x \notin B \), la parte \( A \cap B \) no contribuye. Se reduce a \( x \in C \).
- \( x \in [B \cap (C \cup A)]’ \): como \( x \notin B \), automáticamente \( x \notin B \cap (C \cup A) \), así que \( x \) está en el complemento. Siempre verdadero. ✓
Conclusión: \( x \notin B \) pertenece a \( R \) si y solo si \( x \in C \).
Combinando ambos casos:
\[ R = B \cup C \]
∎
Observación: Ambas partes, a pesar de su complejidad aparente, se simplifican al mismo resultado: \( B \cup C \). La técnica del análisis por casos (\( x \in B \) vs. \( x \notin B \)) en (b) evita manipulaciones algebraicas largas cuando la expresión incluye \( \cup B \) al final.
Ejercicio 59
Dados los conjuntos \( A \), \( B \) y \( C \) en \( U \), simplificar:
\[ [A △ (B △ C)] △ [C △ B’] \]
Solución:
Usamos las propiedades algebraicas de \( △ \):
| Propiedad | Expresión |
|---|---|
| Asociatividad | \( (X △ Y) △ Z = X △ Y △ Z \) |
| Conmutatividad | \( X △ Y = Y △ X \) |
| Autoinverso | \( X △ X = \emptyset \) |
| Neutro | \( X △ \emptyset = X \) |
| Complemento | \( X △ X’ = U \) |
| Universal | \( X △ U = X’ \) |
Paso 1 — Eliminar paréntesis por asociatividad.
\[ A △ (B △ C) △ (C △ B’) = A △ B △ C △ C △ B’ \]
Paso 2 — Cancelar \( C △ C \).
\[ = A △ B △ \emptyset △ B’ = A △ B △ B’ \]
Paso 3 — Aplicar \( B △ B’ = U \).
\[ = A △ U \]
Paso 4 — Aplicar \( X △ U = X’ \).
\[ = A’ \]
Resultado:
\[ [A △ (B △ C)] △ [C △ B’] = A’ \]
∎
Verificación de \( X △ U = X’ \): \( X △ U = (X \cup U) – (X \cap U) = U – X = X’ \).
Verificación de \( X △ X’ = U \): \( X △ X’ = (X \cup X’) – (X \cap X’) = U – \emptyset = U \).
Ejercicio 60
Si \( A \subset B \), simplificar:
\[ A \cap \{[(B \cup A) \cap C \cap B’] \cup A’ \cup B’\} \]
Solución:
Paso 1 — Como \( A \subset B \), entonces \( B \cup A = B \):
\[ (B \cup A) \cap C \cap B’ = B \cap C \cap B’ \]
Paso 2 — \( B \cap B’ = \emptyset \), por lo que:
\[ B \cap C \cap B’ = \emptyset \]
Paso 3 — La expresión dentro de \( \{\} \) queda:
\[ \emptyset \cup A’ \cup B’ = A’ \cup B’ \]
Paso 4 — Como \( A \subset B \), se tiene \( B’ \subset A’ \), por lo que \( A’ \cup B’ = A’ \) (absorción):
\[ A’ \cup B’ = A’ \]
Paso 5 — Resultado final:
\[ A \cap A’ = \emptyset \]
∎
Ejercicio 61
Sean \( A = \{3, \emptyset\} \), \( B = \{\{3\}, \emptyset, \{3, \emptyset\}\} \) y \( C = \{\{\emptyset\}, \{3\}\} \). Determinar \( \mathcal{P}(A) – [B \cap \mathcal{P}(C)] \).
Solución:
Paso 1 — Calcular \( \mathcal{P}(A) \).
\( A = \{3, \emptyset\} \) tiene 2 elementos, así que \( |\mathcal{P}(A)| = 4 \):
\[ \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{3\}, \{\emptyset\}, \{3, \emptyset\}\} \]
Paso 2 — Calcular \( \mathcal{P}(C) \).
\( C = \{\{\emptyset\}, \{3\}\} \) tiene 2 elementos, así que \( |\mathcal{P}(C)| = 4 \):
\[ \mathcal{P}(C) = \{\emptyset, \{\{\emptyset\}\}, \{\{3\}\}, \{\{\emptyset\}, \{3\}\}\} \]
Paso 3 — Calcular \( B \cap \mathcal{P}(C) \).
Verificamos qué elementos de \( B = \{\{3\}, \emptyset, \{3, \emptyset\}\} \) están también en \( \mathcal{P}(C) \):
| Elemento de \( B \) | \( \in \mathcal{P}(C) \)? | Razón |
|---|---|---|
| \( \{3\} \) | No ✗ | \( \{3\} \{\{3\}\} \): contiene \( 3 \), no \( \{3\} \) |
| \( \emptyset \) | Sí ✓ | \( \emptyset \in \mathcal{P}(X) \) para todo \( X \) |
| \( \{3, \emptyset\} \) | No ✗ | \( \{3, \emptyset\} \{\{\emptyset\}, \{3\}\} \): distintos elementos |
\[ B \cap \mathcal{P}(C) = \{\emptyset\} \]
Distinción clave: \( \{3\} \) (conjunto que contiene el número 3) es diferente de \( \{\{3\}\} \) (conjunto que contiene al conjunto \( \{3\} \)). De igual forma, \( \{3, \emptyset\} \) contiene \( 3 \) y \( \emptyset \), mientras que \( \{\{\emptyset\}, \{3\}\} \) contiene \( \{\emptyset\} \) y \( \{3\} \) — un nivel más de anidamiento.
Paso 4 — Calcular \( \mathcal{P}(A) – [B \cap \mathcal{P}(C)] \).
\[ \{\emptyset, \{3\}, \{\emptyset\}, \{3, \emptyset\}\} – \{\emptyset\} = \{\{3\}, \{\emptyset\}, \{3, \emptyset\}\} \]
Resultado:
\[ \mathcal{P}(A) – [B \cap \mathcal{P}(C)] = \{\{3\}, \{\emptyset\}, \{3, \emptyset\}\} \]
Ejercicio 62
Simplificar:
\[ [(A \cup B) – (C – A)] \cap [(A \cap B) – (A \cap C)] \]
Solución:
Paso 1 — Simplificar el primer factor.
\[ (A \cup B) – (C – A) = (A \cup B) \cap (C – A)’ \]
Simplificamos \( (C – A)’ = (C \cap A’)’ = C’ \cup A \):
\[ = (A \cup B) \cap (A \cup C’) \]
Por la ley distributiva:
\[ = A \cup (B \cap C’) \]
Paso 2 — Simplificar el segundo factor.
\[ (A \cap B) – (A \cap C) = (A \cap B) \cap (A \cap C)’ \]
Aplicamos De Morgan: \( (A \cap C)’ = A’ \cup C’ \):
\[ = (A \cap B) \cap (A’ \cup C’) = \underbrace{(A \cap B \cap A’)}_{\emptyset} \cup (A \cap B \cap C’) = A \cap B \cap C’ \]
Paso 3 — Calcular la intersección.
\[ [A \cup (B \cap C’)] \cap [A \cap B \cap C’] \]
Como \( A \cap B \cap C’ \subset A \) y \( A \cap B \cap C’ \subset B \cap C’ \), se tiene:
\[ A \cap B \cap C’ \subset A \cup (B \cap C’) \]
Luego, la intersección de un conjunto con otro que lo contiene da el menor:
\[ = A \cap B \cap C’ \]
Resultado:
\[ [(A \cup B) – (C – A)] \cap [(A \cap B) – (A \cap C)] = A \cap B \cap C’ = (A \cap B) – C \]
∎
Ejercicio 63
Si \( A \), \( B \), \( C \) y \( D \) son conjuntos tales que: \( C \subset A’ \), \( A \subset B’ \) y \( C \cup D = D \). Simplificar:
\[ [(A’ \cup B’) \cap (C’ \cup D’)] \cup \{[(C \cup B) \cap A] \cup C’\} \cap B \]
Solución:
Paso 1 — Extraer consecuencias de las hipótesis.
| Hipótesis | Consecuencias |
|---|---|
| \( C \subset A’ \) | \( C \cap A = \emptyset \) y \( A \subset C’ \) |
| \( A \subset B’ \) | \( A \cap B = \emptyset \) y \( B \subset A’ \) |
| \( C \cup D = D \) | \( C \subset D \), por tanto \( C \cap D = C \) |
Paso 2 — Simplificar la primera parte: \( (A’ \cup B’) \cap (C’ \cup D’) \).
Aplicamos De Morgan: \( A’ \cup B’ = (A \cap B)’ \) y \( C’ \cup D’ = (C \cap D)’ \).
- \( A \cap B = \emptyset \) (por \( A \subset B’ \)), así que \( (A \cap B)’ = U \)
- \( C \cap D = C \) (por \( C \subset D \)), así que \( (C \cap D)’ = C’ \)
\[ (A’ \cup B’) \cap (C’ \cup D’) = U \cap C’ = C’ \]
Paso 3 — Simplificar la segunda parte: \( \{[(C \cup B) \cap A] \cup C’\} \cap B \).
Distribuimos \( (C \cup B) \cap A \):
\[ (C \cap A) \cup (B \cap A) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset \]
(Ambos son vacíos por las hipótesis.) Entonces:
\[ \{\emptyset \cup C’\} \cap B = C’ \cap B \]
Paso 4 — Unir ambas partes.
\[ C’ \cup (C’ \cap B) \]
Como \( C’ \cap B \subset C’ \), por absorción:
\[ = C’ \]
Resultado:
\[ [(A’ \cup B’) \cap (C’ \cup D’)] \cup \{[(C \cup B) \cap A] \cup C’\} \cap B = C’ \]
∎
Ejercicio 64
Si \( A \subset B \) y \( C \cap A = \emptyset \), simplificar:
\[ \{[A \cup (B – C)] \cap [B \cup (C – A)]\} \cup \{(A – B) △ C\} \]
Solución:
Consecuencias de las hipótesis:
- \( A \subset B \implies A – B = \emptyset \) y \( A \cup B = B \)
- \( C \cap A = \emptyset \implies C – A = C \) y \( A \subset C’ \), por tanto \( A \subset B \cap C’ = B – C \)
Simplificación de la primera parte: \( [A \cup (B – C)] \cap [B \cup (C – A)] \)
Como \( A \subset B – C \): \( A \cup (B – C) = B – C \) (absorción).
Como \( C – A = C \): \( B \cup (C – A) = B \cup C \).
\[ (B – C) \cap (B \cup C) \]
Reescribimos \( B – C = B \cap C’ \) y aplicamos absorción (\( B \cap (B \cup C) = B \)):
\[ (B \cap C’) \cap (B \cup C) = B \cap C’ = B – C \]
Simplificación de la segunda parte: \( (A – B) △ C \)
Como \( A \subset B \): \( A – B = \emptyset \). Entonces:
\[ \emptyset △ C = C \]
Unión de ambas partes:
\[ (B – C) \cup C \]
Aplicamos \( (X – Y) \cup Y = X \cup Y \):
\[ = B \cup C \]
Resultado:
\[ \{[A \cup (B – C)] \cap [B \cup (C – A)]\} \cup \{(A – B) △ C\} = B \cup C \]
∎
Observación: La primera parte (ya simplificada en el Ejercicio 38) da \( B – C \), y la segunda da \( C \). Al unirlas, \( (B – C) \cup C = B \cup C \): se recupera la unión completa de \( B \) y \( C \), independientemente de \( A \).
Ejercicio 65
Si \( A \cap B \cap C = \emptyset \), simplificar:
\[ (A – B) \cup (B – C) \cup (C – A) \]
Solución:
Paso 1 — Identificar qué elementos quedan excluidos.
Un elemento \( x \) no pertenece a \( (A – B) \cup (B – C) \cup (C – A) \) si y solo si:
\[ x \notin A – B \wedge x \notin B – C \wedge x \notin C – A \]
Esto equivale a:
\[ (x \notin A \vee x \in B) \wedge (x \notin B \vee x \in C) \wedge (x \notin C \vee x \in A) \]
Es decir: \( A \to B \), \( B \to C \), \( C \to A \). Esto forma una cadena circular que solo se satisface cuando \( x \) está en los tres o en ninguno:
\[ x \in (A \cap B \cap C) \cup (A \cup B \cup C)’ \]
Paso 2 — Complementar para obtener la unión.
Por lo tanto:
\[ (A – B) \cup (B – C) \cup (C – A) = (A \cup B \cup C) – (A \cap B \cap C) \]
Paso 3 — Aplicar la hipótesis \( A \cap B \cap C = \emptyset \).
\[ = (A \cup B \cup C) – \emptyset = A \cup B \cup C \]
Resultado:
\[ (A – B) \cup (B – C) \cup (C – A) = A \cup B \cup C \]
∎
Identidad general: Sin la hipótesis, la expresión siempre vale \( (A \cup B \cup C) – (A \cap B \cap C) \). La condición \( A \cap B \cap C = \emptyset \) simplemente elimina la única resta, dejando la unión completa.
Verificación: \( A = \{1,2\}, B = \{2,3\}, C = \{3,1\} \). \( A \cap B \cap C = \emptyset \) ✓. \( (A-B) \cup (B-C) \cup (C-A) = \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} = \{1,2,3\} = A \cup B \cup C \) ✓.
Ejercicio 66
Sean \( A \), \( B \), \( C \) conjuntos no vacíos tales que \( B \cap C ≠ \emptyset \) y \( (B \cup C) – A = \emptyset \). Hallar:
\[ Z = (A △ B) \cup (A △ C) \cup (B △ C) \]
Solución:
Paso 1 — Interpretar las hipótesis.
\( (B \cup C) – A = \emptyset \) significa \( B \cup C \subset A \), lo cual implica:
\[ B \subset A \quad \text{y} \quad C \subset A \]
Paso 2 — Simplificar cada diferencia simétrica.
Como \( B \subset A \): \( A △ B = (A – B) \cup \underbrace{(B – A)}_{\emptyset} = A – B \)
Como \( C \subset A \): \( A △ C = (A – C) \cup \underbrace{(C – A)}_{\emptyset} = A – C \)
Paso 3 — Unir los dos primeros términos.
\[ (A – B) \cup (A – C) = (A \cap B’) \cup (A \cap C’) = A \cap (B’ \cup C’) = A \cap (B \cap C)’ = A – (B \cap C) \]
Paso 4 — Incorporar el tercer término.
\[ Z = [A – (B \cap C)] \cup (B △ C) \]
Como \( B \subset A \) y \( C \subset A \), se tiene \( B \cup C \subset A \), por lo que:
\[ B △ C = (B \cup C) – (B \cap C) \subset A – (B \cap C) \]
Por absorción (\( B △ C \) ya está contenido en \( A – (B \cap C) \)):
\[ Z = A – (B \cap C) \]
Resultado:
\[ Z = (A △ B) \cup (A △ C) \cup (B △ C) = A – (B \cap C) \]
∎
Verificación: \( A = \{1,2,3,4,5\}, B = \{1,2,3\}, C = \{2,3,4\} \).
- \( B \cup C = \{1,2,3,4\} \subset A \) ✓, \( B \cap C = \{2,3\} ≠ \emptyset \) ✓
- \( A △ B = \{4,5\}, A △ C = \{1,5\}, B △ C = \{1,4\} \)
- \( Z = \{1,4,5\} = A – \{2,3\} = A – (B \cap C) \) ✓
Ejercicio 67
Usando propiedades de conjuntos, hallar \( R \cup S \), donde:
\[ R = [A – (B – D)]’ \cap [A’ △ (B – D)] \] \[ S = [(B – A) \cup (D – A)] \cup [A \cup (B △ D)] \]
Solución:
Simplificación de \( R \):
Sea \( X = B – D = B \cap D’ \) para simplificar la notación.
Primer factor: \( [A – X]’ = (A \cap X’)’ = A’ \cup X \)
Segundo factor: \( A’ △ X = (A’ \cap X’) \cup (A \cap X) \)
Intersección:
\[ R = (A’ \cup X) \cap [(A’ \cap X’) \cup (A \cap X)] \]
Distribuimos:
- \( (A’ \cup X) \cap (A’ \cap X’) = A’ \cap X’ \) (pues \( A’ \cap X’ \subset A’ \subset A’ \cup X \))
- \( (A’ \cup X) \cap (A \cap X) = A \cap X \) (pues \( A \cap X \subset X \subset A’ \cup X \))
\[ R = (A’ \cap X’) \cup (A \cap X) \]
Esta expresión es la bicondicional conjuntista: \( x \in A \iff x \in X \), es decir:
\[ R = (A △ X)’ = [A △ (B – D)]’ \]
Simplificación de \( S \):
Primer grupo:
\[ (B – A) \cup (D – A) = (B \cap A’) \cup (D \cap A’) = (B \cup D) \cap A’ = (B \cup D) – A \]
Segundo grupo: \( A \cup (B △ D) \). Como \( B △ D \subset B \cup D \):
Los dos grupos juntos:
\[ S = [(B \cup D) – A] \cup A \cup (B △ D) \]
Aplicando \( (Y – A) \cup A = Y \cup A \):
\[ = (B \cup D) \cup A \cup (B △ D) = A \cup B \cup D \]
(\( B △ D \) se absorbe en \( B \cup D \).)
Cálculo de \( R \cup S \):
\[ R \cup S = [A △ (B – D)]’ \cup (A \cup B \cup D) \]
Para cualquier \( x \) fuera de \( A \cup B \cup D \): \( x \notin A \) y \( x \notin B \), así que \( x \notin B – D \). Entonces \( x \) no está en \( A \) ni en \( B – D \), cumpliendo \( x \notin A △ (B – D) \), por lo que \( x \in [A △ (B – D)]’ = R \).
Es decir: \( (A \cup B \cup D)’ \subset R \).
Combinando:
\[ R \cup S \supset R \cup (A \cup B \cup D) \supset (A \cup B \cup D)’ \cup (A \cup B \cup D) = U \]
Resultado:
\[ R \cup S = U \]
∎
Ejercicio 68
Si \( A \) y \( B \) son conjuntos, demostrar que: si \( (A \cup B) \subset [B’ – (A – B)] \), entonces \( A = \emptyset \wedge B = \emptyset \).
Demostración:
Paso 1 — Simplificar \( B’ – (A – B) \).
\[ A – B = A \cap B’ \]
\[ B’ – (A \cap B’) = B’ \cap (A \cap B’)’ = B’ \cap (A’ \cup B) \]
Distribuimos:
\[ = (B’ \cap A’) \cup (B’ \cap B) = (A’ \cap B’) \cup \emptyset = A’ \cap B’ \]
Por De Morgan:
\[ B’ – (A – B) = (A \cup B)’ \]
Paso 2 — Interpretar la hipótesis.
La hipótesis \( (A \cup B) \subset [B’ – (A – B)] \) se convierte en:
\[ A \cup B \subset (A \cup B)’ \]
Es decir: un conjunto está contenido en su propio complemento.
Paso 3 — Concluir.
Si \( X \subset X’ \), entonces para todo \( x \in X \) se tiene \( x \in X’ \), es decir, \( x \notin X \). Contradicción. Por lo tanto \( X \) no puede tener ningún elemento:
\[ X = \emptyset \]
Aplicando esto con \( X = A \cup B \):
\[ A \cup B = \emptyset \]
Y como \( A \subset A \cup B \) y \( B \subset A \cup B \):
\[ A = \emptyset \wedge B = \emptyset \]
∎
Resumen: Toda la demostración se reduce a una observación: \( B’ – (A – B) = (A \cup B)’ \). La hipótesis entonces dice \( X \subset X’ \), lo cual fuerza \( X = \emptyset \).
Ejercicio 69
Si los conjuntos \( A \) y \( B \) son tales que: \( n(A \cup B) = 30 \), \( n(A – B) = 12 \) y \( n(B – A) = 10 \). Hallar \( n(A) + n(B) \).
Solución:
Paso 1 — Hallar \( n(A \cap B) \).
La unión \( A \cup B \) se descompone en tres partes disjuntas:
\[ A \cup B = (A – B) \cup (A \cap B) \cup (B – A) \]
Por lo tanto:
\[ n(A \cup B) = n(A – B) + n(A \cap B) + n(B – A) \] \[ 30 = 12 + n(A \cap B) + 10 \] \[ n(A \cap B) = 8 \]
Paso 2 — Reconstruir \( n(A) \) y \( n(B) \).
Cada conjunto se descompone en su parte exclusiva más la intersección:
\[ n(A) = n(A – B) + n(A \cap B) = 12 + 8 = 20 \] \[ n(B) = n(B – A) + n(A \cap B) = 10 + 8 = 18 \]
Resultado:
\[ n(A) + n(B) = 20 + 18 = 38 \]
Verificación: \( n(A) + n(B) – n(A \cap B) = 20 + 18 – 8 = 30 = n(A \cup B) \) ✓
Ejercicio 70
Si \( n[\mathcal{P}(A)] = 128 \), \( n[\mathcal{P}(B)] = 16 \) y \( n[\mathcal{P}(A \cap B)] = 8 \), hallar \( n[\mathcal{P}(A \cup B)] \).
Solución:
Paso 1 — Obtener las cardinalidades de los conjuntos.
Como \( n[\mathcal{P}(X)] = 2^{n(X)} \), despejamos:
| Dato | Ecuación | Resultado |
|---|---|---|
| \( n[\mathcal{P}(A)] = 128 \) | \( 2^{n(A)} = 128 = 2^7 \) | \( n(A) = 7 \) |
| \( n[\mathcal{P}(B)] = 16 \) | \( 2^{n(B)} = 16 = 2^4 \) | \( n(B) = 4 \) |
| \( n[\mathcal{P}(A \cap B)] = 8 \) | \( 2^{n(A \cap B)} = 8 = 2^3 \) | \( n(A \cap B) = 3 \) |
Paso 2 — Calcular \( n(A \cup B) \).
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) = 7 + 4 – 3 = 8 \]
Paso 3 — Calcular \( n[\mathcal{P}(A \cup B)] \).
\[ n[\mathcal{P}(A \cup B)] = 2^{n(A \cup B)} = 2^8 = 256 \]
Resultado:
\[ n[\mathcal{P}(A \cup B)] = 256 \]
Cadena: \( 128, 16, 8 \xrightarrow{\log_2} 7, 4, 3 \xrightarrow{+,-} 8 \xrightarrow{2^n} 256 \)
Ejercicio 71
En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Sociología y 53 no siguen el curso de Filosofía. Si 27 alumnos no siguen Filosofía ni Sociología, cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos?
Solución:
Paso 1 — Definir conjuntos y extraer datos.
Sea \( S \) = alumnos que llevan Sociología, \( F \) = alumnos que llevan Filosofía. \( n(U) = 100 \).
| Dato | Traducción | Valor |
|---|---|---|
| 49 no llevan Sociología | \( n(S’) = 49 \) | \( n(S) = 100 – 49 = 51 \) |
| 53 no siguen Filosofía | \( n(F’) = 53 \) | \( n(F) = 100 – 53 = 47 \) |
| 27 no siguen ninguno | \( n(S \cup F)’ = 27 \) | \( n(S \cup F) = 100 – 27 = 73 \) |
Paso 2 — Hallar \( n(S \cap F) \).
Por inclusión-exclusión:
\[ n(S \cup F) = n(S) + n(F) – n(S \cap F) \] \[ 73 = 51 + 47 – n(S \cap F) \] \[ n(S \cap F) = 25 \]
Paso 3 — Calcular los que llevan exactamente uno.
Los que llevan exactamente un curso forman la diferencia simétrica \( S F \):
\[ n(S F) = n(S \cup F) – n(S \cap F) = 73 – 25 = 48 \]
Desglose:
| Zona | Fórmula | Alumnos |
|---|---|---|
| Solo Sociología | \( n(S) – n(S \cap F) \) | \( 51 – 25 = 26 \) |
| Solo Filosofía | \( n(F) – n(S \cap F) \) | \( 47 – 25 = 22 \) |
| Ambos cursos | \( n(S \cap F) \) | 25 |
| Ninguno | \( n(S \cup F)’ \) | 27 |
| Total | 100 ✓ |
Resultado:
\[ \text{Alumnos con exactamente un curso} = 26 + 22 = 48 \]
Ejercicio 72
Dada la información: \( n(U) = 360 \), \( n(A) = 120 \), \( n(B) = 150 \), \( n(C) = 100 \), \( n(A \cap C) = 20 \), \( n(A \cap B) = 30 \), \( n(B \cap C) = 25 \), \( n(A \cap B \cap C) = 10 \). Hallar \( n(L \cap S) \), donde:
\[ L = \{x \in U \mid x \in A \iff x \in B\}, \quad S = \{x \in U \mid x \in A \to x \in C\} \]
Solución:
Paso 1 — Calcular la cardinalidad de cada zona del diagrama de Venn.
Las 8 zonas de un diagrama de tres conjuntos se calculan desde la intersección triple hacia afuera:
| Zona | Descripción | Cálculo | Valor |
|---|---|---|---|
| \( e \) | \( A \cap B \cap C \) | Dato | 10 |
| \( f \) | \( A \cap C \) sin \( B \) | \( 20 – 10 \) | 10 |
| \( d \) | \( B \cap C \) sin \( A \) | \( 25 – 10 \) | 15 |
| \( b \) | \( A \cap B \) sin \( C \) | \( 30 – 10 \) | 20 |
| \( a \) | Solo \( A \) | \( 120 – 20 – 10 – 10 \) | 80 |
| \( c \) | Solo \( B \) | \( 150 – 20 – 15 – 10 \) | 105 |
| \( g \) | Solo \( C \) | \( 100 – 15 – 10 – 10 \) | 65 |
| \( h \) | Fuera de todos | \( 360 – (80+20+105+15+10+10+65) \) | 55 |
Verificación: \( 80 + 20 + 105 + 15 + 10 + 10 + 65 + 55 = 360 \) ✓
Paso 2 — Determinar qué zonas pertenecen a \( L \) y \( S \).
| Zona | \( x \in A \) | \( x \in B \) | \( x \in C \) | \( A \iff B \) (\( L \)) | \( A \to C \) (\( S \)) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( a \) | V | F | F | F ✗ | F ✗ |
| \( b \) | V | V | F | V ✓ | F ✗ |
| \( c \) | F | V | F | F ✗ | V ✓ |
| \( d \) | F | V | V | F ✗ | V ✓ |
| \( e \) | V | V | V | V ✓ | V ✓ |
| \( f \) | V | F | V | F ✗ | V ✓ |
| \( g \) | F | F | V | V ✓ | V ✓ |
| \( h \) | F | F | F | V ✓ | V ✓ |
Resumen:
- \( L \) = zonas \( b, e, g, h \) (donde \( A \) y \( B \) coinciden: ambos dentro o ambos fuera)
- \( S \) = zonas \( c, d, e, f, g, h \) (donde si está en \( A \), también está en \( C \))
Paso 3 — Calcular \( n(L \cap S) \).
\( L \cap S \) = zonas que están en ambos: \( e, g, h \).
\[ n(L \cap S) = n(e) + n(g) + n(h) = 10 + 65 + 55 = 130 \]
Resultado:
\[ n(L \cap S) = 130 \]
Interpretación: Los 130 elementos de \( L \cap S \) son aquellos que simultáneamente: (1) tienen la misma relación con \( A \) y \( B \) (bicondicional), y (2) si están en \( A \), también están en \( C \) (condicional). Solo tres zonas cumplen ambas condiciones: la triple intersección (\( e \)), los exclusivos de \( C \) (\( g \)), y los que están fuera de todo (\( h \)).
Ejercicio 73
Sean tres conjuntos \( A \), \( B \) y \( C \) con \( n \), \( 3n \) y \( n – 1 \) elementos respectivamente. Además: \( n(A \cap B) = n/2 \), \( n(A \cap C) = n/4 \), \( n(B \cap C) = 2 \) y \( n(A \cap B \cap C) = 1 \). Determinar el número de elementos del conjunto \( K = [(A \cup B) – (A \cap B)] – C \).
Solución:
Paso 1 — Identificar que \( K = (A △ B) – C \).
\[ K = (A \cup B) – (A \cap B) – C = (A △ B) – C \]
Es decir, los elementos que están en exactamente uno de \( A \) o \( B \), pero no en \( C \).
Paso 2 — Calcular cada zona exclusiva del diagrama de Venn.
Usando las variables \( \alpha \) (solo \( A \)), \( \beta \) (\( A \cap B \) sin \( C \)), \( \gamma \) (solo \( B \)), \( \delta = A \cap B \cap C = 1 \), \( \varepsilon \) (\( A \cap C \) sin \( B \)), \( \zeta \) (\( B \cap C \) sin \( A \)), \( \eta \) (solo \( C \)):
| Intersección | Ecuación | Zona exclusiva |
|---|---|---|
| \( n(A \cap B) = n/2 \) | \( \beta + 1 = n/2 \) | \( \beta = n/2 – 1 \) |
| \( n(A \cap C) = n/4 \) | \( \varepsilon + 1 = n/4 \) | \( \varepsilon = n/4 – 1 \) |
| \( n(B \cap C) = 2 \) | \( \zeta + 1 = 2 \) | \( \zeta = 1 \) |
| Conjunto | Ecuación | Zona exclusiva |
|---|---|---|
| \( n(A) = n \) | \( \alpha + (n/2-1) + 1 + (n/4-1) = n \) | \( \alpha = n/4 + 1 \) |
| \( n(B) = 3n \) | \( \gamma + (n/2-1) + 1 + 1 = 3n \) | \( \gamma = 5n/2 – 1 \) |
| \( n(C) = n-1 \) | \( \eta + (n/4-1) + 1 + 1 = n-1 \) | \( \eta = 3n/4 – 2 \) |
Paso 3 — Identificar las zonas de \( K \).
\( A △ B = (A – B) \cup (B – A) \) corresponde a las zonas: \( \alpha, \varepsilon, \gamma, \zeta \).
Al restar \( C \), eliminamos las zonas dentro de \( C \) (\( \varepsilon \) y \( \zeta \)):
\[ K = \{\text{zonas } \alpha, \gamma\} \]
Paso 4 — Calcular \( n(K) \).
\[ n(K) = \alpha + \gamma = \left(\frac{n}{4} + 1\right) + \left(\frac{5n}{2} – 1\right) = \frac{n}{4} + \frac{10n}{4} = \frac{11n}{4} \]
Resultado:
\[ n(K) = \frac{11n}{4} \]
Nota: Para que el problema tenga sentido, \( n \) debe ser múltiplo de 4 (para que todas las cardinalidades sean enteros positivos). El caso mínimo es \( n = 4 \), que da \( n(K) = 11 \).
Ejercicio 74
El número de personas que toman la bebida \( A \) es 190, la bebida \( B \) es 110 y la bebida \( C \) es 150. El número de personas que solo toma \( C \) es la mitad de los que solo toman \( B \) y 1/3 de los que solo toman \( A \). El número de personas que solo toman \( B \) y \( C \) es la mitad de las que solo toman \( A \) y \( B \). El número de personas que toman las tres bebidas es 1/3 de las que solo toman \( A \) y \( C \). Cuántas personas toman una bebida solamente?
Solución:
Paso 1 — Traducir las relaciones a variables.
Sea \( x \) = personas que solo toman \( C \), \( y \) = personas que solo toman \( B \) y \( C \), \( z = n(A \cap B \cap C) \).
Las relaciones dadas definen las demás zonas:
| Condición | Traducción | Zona |
|---|---|---|
| Solo \( C \) = \( \frac{1}{2} \)(Solo \( B \)) | Solo \( B = 2x \) | \( 2x \) |
| Solo \( C \) = \( \frac{1}{3} \)(Solo \( A \)) | Solo \( A = 3x \) | \( 3x \) |
| Solo \( B \cap C \) = \( \frac{1}{2} \)(Solo \( A \cap B \)) | Solo \( A \cap B = 2y \) | \( 2y \) |
| \( n(ABC) \) = \( \frac{1}{3} \)(Solo \( A \cap C \)) | Solo \( A \cap C = 3z \) | \( 3z \) |
Diagrama de Venn con las 7 zonas:
| Zona | Variable |
|---|---|
| Solo \( A \) | \( 3x \) |
| Solo \( A \cap B \) (sin \( C \)) | \( 2y \) |
| Solo \( B \) | \( 2x \) |
| \( A \cap B \cap C \) | \( z \) |
| Solo \( A \cap C \) (sin \( B \)) | \( 3z \) |
| Solo \( B \cap C \) (sin \( A \)) | \( y \) |
| Solo \( C \) | \( x \) |
Paso 2 — Plantear el sistema de ecuaciones.
Sumamos las zonas de cada conjunto:
\[ n(A) = 3x + 2y + z + 3z = 3x + 2y + 4z = 190 \quad \cdots (1) \] \[ n(B) = 2x + 2y + z + y = 2x + 3y + z = 110 \quad \cdots (2) \] \[ n(C) = x + 3z + z + y = x + y + 4z = 150 \quad \cdots (3) \]
Paso 3 — Resolver el sistema.
Restando (1) \( – \) (3): \( 2x + y = 40 \) \( \cdots (4) \)
De (4): \( y = 40 – 2x \). Sustituyendo en (3):
\[ x + (40 – 2x) + 4z = 150 \implies 4z = 110 + x \implies z = \frac{110 + x}{4} \]
Sustituyendo \( y \) y \( z \) en (2):
\[ 2x + 3(40 – 2x) + \frac{110 + x}{4} = 110 \]
\[ -4x + 120 + \frac{110 + x}{4} = 110 \]
Multiplicando por 4:
\[ -16x + 480 + 110 + x = 440 \implies -15x = -150 \implies x = 10 \]
Sustituyendo: \( y = 40 – 20 = 20 \), \( z = 120/4 = 30 \).
Paso 4 — Verificación.
| Zona | Valor | Conjunto | Suma | Esperado | ✓ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Solo \( A \) | 30 | \( n(A) \) | \( 30+40+30+90 \) | 190 | ✓ | |
| Solo \( A \cap B \) | 40 | \( n(B) \) | \( 20+40+30+20 \) | 110 | ✓ | |
| Solo \( B \) | 20 | \( n(C) \) | \( 10+90+30+20 \) | 150 | ✓ | |
| \( A \cap B \cap C \) | 30 | |||||
| Solo \( A \cap C \) | 90 | |||||
| Solo \( B \cap C \) | 20 | |||||
| Solo \( C \) | 10 |
Resultado:
\[ \text{Personas con una sola bebida} = 3x + 2x + x = 6x = 6(10) = \mathbf{60} \]
Ejercicio 75
Sean \( A \) y \( B \) dos conjuntos tales que: \( n(A \cup B) = 24 \), \( n(A – B) = 10 \) y \( n(B – A) = 6 \). Hallar \( 5n(A) – 4n(B) \).
Solución:
Paso 1 — Hallar \( n(A \cap B) \).
\[ n(A \cup B) = n(A – B) + n(A \cap B) + n(B – A) \] \[ 24 = 10 + n(A \cap B) + 6 \implies n(A \cap B) = 8 \]
Paso 2 — Reconstruir las cardinalidades.
\[ n(A) = n(A – B) + n(A \cap B) = 10 + 8 = 18 \] \[ n(B) = n(B – A) + n(A \cap B) = 6 + 8 = 14 \]
Paso 3 — Calcular.
\[ 5n(A) – 4n(B) = 5(18) – 4(14) = 90 – 56 = 34 \]
Resultado:
\[ 5n(A) – 4n(B) = 34 \]
Ejercicio 76
Si \( n(A) = 4 \), \( n(B) = 3 \) y \( n(A \cap B) = 2 \), hallar:
\[ n[\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)] + n[\mathcal{P}(A \cup B)] \]
Solución:
Paso 1 — Cardinalidades básicas.
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) = 4 + 3 – 2 = 5 \]
| Conjunto | Cardinalidad | \( n[\mathcal{P}(\cdot)] = 2^n \) |
|---|---|---|
| \( A \) | 4 | 16 |
| \( B \) | 3 | 8 |
| \( A \cap B \) | 2 | 4 |
| \( A \cup B \) | 5 | 32 |
Paso 2 — Calcular \( n[\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)] \).
Aplicamos inclusión-exclusión:
\[ n[\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)] = n[\mathcal{P}(A)] + n[\mathcal{P}(B)] – n[\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)] \]
Propiedad clave: \( \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B) \), ya que un conjunto es subconjunto de \( A \) y de \( B \) si y solo si es subconjunto de \( A \cap B \).
\[ n[\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)] = 16 + 8 – 4 = 20 \]
Paso 3 — Sumar.
\[ n[\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)] + n[\mathcal{P}(A \cup B)] = 20 + 32 = 52 \]
Resultado:
\[ n[\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B)] + n[\mathcal{P}(A \cup B)] = 52 \]
Propiedad destacada: \( \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B) \) es una identidad fundamental que conecta la intersección de conjuntos potencia con el conjunto potencia de la intersección. Esto permite aplicar inclusión-exclusión a los conjuntos potencia.
Ejercicio 77
Dado el conjunto \( U \) y los subconjuntos \( A \), \( B \) y \( C \) con los datos: \( n(U) = 44 \), \( n(A) = 21 \), \( n(B) = 17 \), \( n(A \cap C) = 14 \), \( n(B \cap C) = 12 \), \( n(A \cap B \cap C’) = 3 \), \( n(A \cap B \cap C) = 5 \) y \( n(A \cup B \cup C)’ = 6 \). Hallar \( n(C) \).
Nota: El enunciado original indica \( n(A \cap B) = 14 \), pero esto contradice los datos \( n(A \cap B \cap C’) = 3 \) y \( n(A \cap B \cap C) = 5 \), ya que \( n(A \cap B) = 3 + 5 = 8 ≠ 14 \). El dato correcto es \( n(A \cap C) = 14 \), lo cual hace el sistema consistente.
Solución:
Paso 1 — Calcular cada zona del diagrama de Venn.
Usamos las 7 zonas: \( \alpha \) (solo \( A \)), \( \beta \) (\( A \cap B \) sin \( C \)), \( \gamma \) (solo \( B \)), \( \delta \) (\( B \cap C \) sin \( A \)), \( \varepsilon = A \cap B \cap C = 5 \), \( \varphi \) (\( A \cap C \) sin \( B \)), \( \eta \) (solo \( C \)).
| Dato | Ecuación | Resultado |
|---|---|---|
| \( n(A \cap B \cap C’) = 3 \) | \( \beta = 3 \) | \( \beta = 3 \) |
| \( n(A \cap C) = 14 \) | \( \varphi + 5 = 14 \) | \( \varphi = 9 \) |
| \( n(B \cap C) = 12 \) | \( \delta + 5 = 12 \) | \( \delta = 7 \) |
| \( n(A) = 21 \) | \( \alpha + 3 + 5 + 9 = 21 \) | \( \alpha = 4 \) |
| \( n(B) = 17 \) | \( \gamma + 3 + 5 + 7 = 17 \) | \( \gamma = 2 \) |
| \( n(A \cup B \cup C) = 38 \) | \( 4+3+2+7+5+9+\eta = 38 \) | \( \eta = 8 \) |
Paso 2 — Verificación completa.
| Zona | \( \alpha \) | \( \beta \) | \( \gamma \) | \( \delta \) | \( \varepsilon \) | \( \varphi \) | \( \eta \) | fuera |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 4 | 3 | 2 | 7 | 5 | 9 | 8 | 6 |
- \( n(A) = 4 + 3 + 5 + 9 = 21 \) ✓
- \( n(B) = 2 + 3 + 5 + 7 = 17 \) ✓
- \( n(A \cap C) = 9 + 5 = 14 \) ✓
- \( n(B \cap C) = 7 + 5 = 12 \) ✓
- \( \text{Total} = 4+3+2+7+5+9+8+6 = 44 \) ✓
Paso 3 — Calcular \( n(C) \).
\[ n(C) = \varphi + \varepsilon + \delta + \eta = 9 + 5 + 7 + 8 = 29 \]
Resultado:
\[ n(C) = 29 \]
Ejercicio 78
Si \( n(A) = 8 \), \( n(B) = 8 \), \( n(C) = 5 \) y \( n(D) = 5 \). El número máximo de elementos de \( A \cup C \) es \( k \) y el número máximo de elementos de \( B \cap D \) es \( h \). Hallar \( h \cdot k \).
Solución:
Cálculo de \( k \) — máximo de \( n(A \cup C) \).
\[ n(A \cup C) = n(A) + n(C) – n(A \cap C) \]
\( n(A \cup C) \) es máximo cuando \( n(A \cap C) \) es mínimo, es decir, cuando \( A \cap C = \emptyset \) (conjuntos disjuntos):
\[ k = 8 + 5 – 0 = 13 \]
Cálculo de \( h \) — máximo de \( n(B \cap D) \).
\( n(B \cap D) \) es máximo cuando el menor conjunto está completamente contenido en el mayor, es decir, \( D \subset B \):
\[ h = \min(n(B), n(D)) = \min(8, 5) = 5 \]
Resultado:
\[ h \cdot k = 5 \times 13 = 65 \]
Principios generales:
- \( n(X \cup Y)_{\max} = n(X) + n(Y) \) (cuando \( X \cap Y = \emptyset \))
- \( n(X \cap Y)_{\max} = \min(n(X), n(Y)) \) (cuando uno contiene al otro)
Ejercicio 79
Si \( A \), \( B \) y \( C \) son conjuntos finitos, demostrar que:
\[ n[(A △ B) \cup C] = n(A) + n(B) + n(C) – 2n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + 2n(A \cap B \cap C) \]
Demostración:
Paso 1 — Aplicar inclusión-exclusión a \( (A △ B) \cup C \).
\[ n[(A △ B) \cup C] = n(A △ B) + n(C) – n[(A △ B) \cap C] \]
Paso 2 — Calcular \( n(A △ B) \).
\[ n(A △ B) = n(A \cup B) – n(A \cap B) = [n(A) + n(B) – n(A \cap B)] – n(A \cap B) \]
\[ = n(A) + n(B) – 2n(A \cap B) \quad \cdots (\ast) \]
Paso 3 — Calcular \( n[(A △ B) \cap C] \).
\[ (A △ B) \cap C = [(A \cap B’) \cup (B \cap A’)] \cap C = (A \cap B’ \cap C) \cup (B \cap A’ \cap C) \]
Estas dos partes son disjuntas (un elemento no puede estar en \( B’ \) y \( B \) a la vez), así que:
\[ n[(A △ B) \cap C] = n(A \cap B’ \cap C) + n(B \cap A’ \cap C) \]
Expresamos cada término en función de las intersecciones conocidas:
\[ n(A \cap B’ \cap C) = n(A \cap C) – n(A \cap B \cap C) \] \[ n(B \cap A’ \cap C) = n(B \cap C) – n(A \cap B \cap C) \]
Por lo tanto:
\[ n[(A △ B) \cap C] = n(A \cap C) + n(B \cap C) – 2n(A \cap B \cap C) \quad \cdots (\ast\ast) \]
Paso 4 — Sustituir \( (\ast) \) y \( (\ast\ast) \).
\[ n[(A △ B) \cup C] = \underbrace{[n(A) + n(B) – 2n(A \cap B)]}_{(\ast)} + n(C) – \underbrace{[n(A \cap C) + n(B \cap C) – 2n(A \cap B \cap C)]}_{(\ast\ast)} \]
\[ = n(A) + n(B) + n(C) – 2n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + 2n(A \cap B \cap C) \]
∎
Comparación con inclusión-exclusión clásica: En \( n(A \cup B \cup C) \), los coeficientes son \( +1, +1, +1, -1, -1, -1, +1 \). Aquí, al reemplazar \( A \cup B \) por \( A △ B \), el coeficiente de \( n(A \cap B) \) cambia de \( -1 \) a \( -2 \) y el de \( n(A \cap B \cap C) \) cambia de \( +1 \) a \( +2 \). La diferencia simétrica penaliza doblemente la intersección.
Ejercicio 80
Si \( A \), \( B \) y \( C \) son conjuntos finitos no disjuntos dos a dos, demostrar que:
\[ n[(A △ B) △ C] = n(A) + n(B) + n(C) – 2n(A \cap B) – 2n(A \cap C) – 2n(B \cap C) + 4n(A \cap B \cap C) \]
Demostración:
Paso 1 — Aplicar la fórmula de cardinalidad de \( △ \).
Para cualesquiera conjuntos \( X \) e \( Y \):
\[ n(X △ Y) = n(X) + n(Y) – 2n(X \cap Y) \]
Aplicamos con \( X = A △ B \) e \( Y = C \):
\[ n[(A △ B) △ C] = n(A △ B) + n(C) – 2n[(A △ B) \cap C] \quad \cdots (I) \]
Paso 2 — Sustituir \( n(A △ B) \) (demostrado en el Ejercicio 79):
\[ n(A △ B) = n(A) + n(B) – 2n(A \cap B) \quad \cdots (\ast) \]
Paso 3 — Sustituir \( n[(A △ B) \cap C] \) (demostrado en el Ejercicio 79):
\[ n[(A △ B) \cap C] = n(A \cap C) + n(B \cap C) – 2n(A \cap B \cap C) \quad \cdots (\ast\ast) \]
Paso 4 — Sustituir \( (\ast) \) y \( (\ast\ast) \) en \( (I) \).
\[ n[(A △ B) △ C] = \underbrace{[n(A) + n(B) – 2n(A \cap B)]}{(\ast)} + n(C) – 2\underbrace{[n(A \cap C) + n(B \cap C) – 2n(A \cap B \cap C)]}{(\ast\ast)} \]
\[ = n(A) + n(B) + n(C) – 2n(A \cap B) – 2n(A \cap C) – 2n(B \cap C) + 4n(A \cap B \cap C) \]
∎
Comparación de coeficientes en las tres fórmulas:
Fórmula \( A \) \( B \) \( C \) \( A \cap B \) \( A \cap C \) \( B \cap C \) \( A \cap B \cap C \) \( n(A \cup B \cup C) \) +1 +1 +1 \( -1 \) \( -1 \) \( -1 \) \( +1 \) \( n[(A △ B) \cup C] \) +1 +1 +1 \( -2 \) \( -1 \) \( -1 \) \( +2 \) \( n[(A △ B) △ C] \) +1 +1 +1 \( -2 \) \( -2 \) \( -2 \) \( +4 \) Cada \( △ \) duplica la penalización sobre las intersecciones: la triple diferencia simétrica excluye con el doble de fuerza y compensa con el cuádruple en la triple intersección.
Ejercicio 81
Un club consta de 78 personas. De ellas 50 juegan fútbol, 32 básket y 23 vóley. Además, 6 figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si \( x \) es el total de personas que practican exactamente un deporte e \( y \) el total que practican exactamente dos deportes, hallar \( x – y \).
Solución:
Paso 1 — Datos.
Sea \( F \) = fútbol, \( B \) = básket, \( V \) = vóley. Las 7 zonas del diagrama son:
- \( a \) = solo \( F \), \( b \) = solo \( F \cap B \), \( c \) = solo \( B \), \( d \) = solo \( B \cap V \), \( e = F \cap B \cap V = 6 \), \( f \) = solo \( F \cap V \), \( g \) = solo \( V \).
\[ n(F \cup B \cup V) = 78 – 10 = 68 \]
Paso 2 — Plantear ecuaciones por conjunto.
Restando \( e = 6 \) de cada uno:
| Conjunto | Ecuación | Simplificada |
|---|---|---|
| \( n(F) = 50 \) | \( a + b + 6 + f = 50 \) | \( a + b + f = 44 \) |
| \( n(B) = 32 \) | \( c + b + 6 + d = 32 \) | \( c + b + d = 26 \) |
| \( n(V) = 23 \) | \( g + d + 6 + f = 23 \) | \( g + d + f = 17 \) |
Paso 3 — Resolver usando sumas estratégicas.
Definimos:
- \( x = a + c + g \) (exactamente un deporte)
- \( y = b + d + f \) (exactamente dos deportes)
De la unión: \( x + y + 6 = 68 \), por lo que:
\[ x + y = 62 \quad \cdots (I) \]
Sumamos las tres ecuaciones simplificadas:
\[ (a + b + f) + (c + b + d) + (g + d + f) = 44 + 26 + 17 = 87 \]
\[ (a + c + g) + 2(b + d + f) = 87 \]
\[ x + 2y = 87 \quad \cdots (II) \]
Restando \( (II) – (I) \):
\[ y = 25, \quad x = 37 \]
Verificación:
| Grupo | Personas |
|---|---|
| Exactamente un deporte (\( x \)) | 37 |
| Exactamente dos deportes (\( y \)) | 25 |
| Los tres deportes | 6 |
| Ningún deporte | 10 |
| Total | 78 ✓ |
Resultado:
\[ x – y = 37 – 25 = 12 \]
Ejercicio 82
Juan come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas, cuántas mañanas come solamente huevos?
Solución:
Sea \( T \) = días con tocino, \( H \) = días con huevos.
Dato clave: come huevos o tocino cada mañana, por lo que \( H \cup T = 31 \) (sin días sin desayuno).
Paso 1 — Hallar \( n(H \cap T) \) (días con ambos):
\[ n(H \cup T) = n(H) + n(T) – n(H \cap T) \] \[ 31 = 18 + 25 – n(H \cap T) \] \[ n(H \cap T) = 12 \]
Paso 2 — Días con solamente huevos:
\[ n(H – T) = n(H) – n(H \cap T) = 18 – 12 = 6 \]
Verificación:
| Solo huevos | Ambos | Solo tocino | Total |
|---|---|---|---|
| 6 | 12 | 13 | 31 ✓ |
Resultado:
\[ \text{Mañanas con solamente huevos} = 6 \]
Ejercicio 83
Supóngase que Juan come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas, ¿cuántas mañanas come solamente huevos?
Solución.
Definimos los conjuntos:
- \( H \) = conjunto de mañanas en que Juan come huevos
- \( T \) = conjunto de mañanas en que Juan come tocino
Datos del problema:
- \( n(H) = 18 \)
- \( n(T) = 25 \)
- El enunciado dice que come huevos o tocino cada mañana, sin excepciones. Eso significa que no hay ningún día sin desayuno, por lo que:
\[ n(H \cup T) = 31 \]
Paso 1 — Hallar los días en que come ambos.
Aplicamos el principio de inclusión-exclusión:
\[ n(H \cup T) = n(H) + n(T) – n(H \cap T) \]
\[ 31 = 18 + 25 – n(H \cap T) \]
\[ n(H \cap T) = 43 – 31 = 12 \]
Juan come ambas cosas 12 mañanas.
Paso 2 — Hallar los días en que come solamente huevos.
Las mañanas en que come solo huevos son las de \( H \) que no están en \( T \), es decir, \( H – T \):
\[ n(H – T) = n(H) – n(H \cap T) = 18 – 12 = 6 \]
Verificación:
| Mañanas | Cantidad |
|---|---|
| Solo huevos \( (H – T) \) | 6 |
| Huevos y tocino \( (H \cap T) \) | 12 |
| Solo tocino \( (T – H) \) | 13 |
| Total | 31 ✓ |
Resultado:
\[ \therefore \text{Juan come solamente huevos } \mathbf{6} \text{ mañanas.} \]
Ejercicio 84
De 120 personas de cierta Universidad se obtuvo la siguiente información:
- 72 alumnos estudian el curso \( A \)
- 64 alumnos estudian el curso \( B \)
- 36 alumnos estudian el curso \( C \)
- 12 alumnos estudian los tres cursos
¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos cursos?
Solución.
Asumimos que las 120 personas estudian al menos uno de los tres cursos, es decir:
\[ n(A \cup B \cup C) = 120 \]
Paso 1 — Plantear las 7 regiones del diagrama de Venn.
Todo diagrama de tres conjuntos con intersecciones mutuas genera 7 regiones. Definimos:
| Región | Descripción | Variable |
|---|---|---|
| Solo \( A \) | \( a \) | |
| Solo \( B \) | \( b \) | |
| Solo \( C \) | \( c \) | |
| Solo \( A \) y \( B \) (no \( C \)) | \( d \) | |
| Solo \( A \) y \( C \) (no \( B \)) | \( e \) | |
| Solo \( B \) y \( C \) (no \( A \)) | \( f \) | |
| Los tres cursos | \( g = 12 \) |
Los alumnos que estudian exactamente dos cursos son precisamente los de las regiones \( d \), \( e \) y \( f \). Necesitamos hallar \( d + e + f \).
Paso 2 — Escribir las ecuaciones por conjunto.
Cada cardinalidad individual incluye sus propias regiones:
\[ n(A) = a + d + e + g = 72 \implies a + d + e = 60 \quad \cdots (1) \]
\[ n(B) = b + d + f + g = 64 \implies b + d + f = 52 \quad \cdots (2) \]
\[ n(C) = c + e + f + g = 36 \implies c + e + f = 24 \quad \cdots (3) \]
Paso 3 — Sumar las tres ecuaciones.
\[ (a + d + e) + (b + d + f) + (c + e + f) = 60 + 52 + 24 = 136 \]
\[ (a + b + c) + 2(d + e + f) = 136 \quad \cdots (4) \]
Paso 4 — Usar el total.
La suma de las 7 regiones es 120, y como \( g = 12 \):
\[ a + b + c + d + e + f = 120 – 12 = 108 \quad \cdots (5) \]
Restando \( (5) \) de \( (4) \):
\[ (d + e + f) = 136 – 108 = 28 \]
Verificación con inclusión-exclusión:
Una forma alternativa: la fórmula de 3 conjuntos nos da la suma de las intersecciones dobles.
\[ 120 = 72 + 64 + 36 – n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + 12 \]
\[ n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C) = 64 \]
Cada intersección doble incluye la triple, así que los que están en exactamente dos cursos son:
\[ (d + e + f) = [n(A \cap B) + n(A \cap C) + n(B \cap C)] – 3 \cdot n(A \cap B \cap C) = 64 – 3(12) = 28 ; ✓ \]
Resultado:
\[ \therefore \text{Exactamente } \mathbf{28} \text{ alumnos estudian exactamente dos cursos.} \]
Ejercicio 85
Un club deportivo consta de 79 socios, de los cuales 52 practican fútbol, 36 básket, 49 vóley, y 63 practican fútbol o básket. Si 15 practican solamente fútbol y básket, y 16 practican solamente vóley:
- (a) ¿Cuántos socios practican los tres deportes?
- (b) ¿Cuántos socios practican por lo menos dos de los tres deportes?
Solución.
Definimos los conjuntos \( F \) (fútbol), \( B \) (básket) y \( V \) (vóley), y nombramos las 7 regiones del diagrama de Venn:
| Región | Descripción | Variable |
|---|---|---|
| Solo \( F \) | \( a \) | |
| Solo \( B \) | \( b \) | |
| Solo \( V \) | \( c = 16 \) | |
| Solo \( F \) y \( B \) (no \( V \)) | \( d = 15 \) | |
| Solo \( F \) y \( V \) (no \( B \)) | \( e \) | |
| Solo \( B \) y \( V \) (no \( F \)) | \( f \) | |
| Los tres deportes | \( g \) |
Datos directos: \( c = 16 \), \( d = 15 \), y asumimos que los 79 socios practican al menos un deporte:
\[ a + b + c + d + e + f + g = 79 \]
Parte (a) — Hallar \( g \) (los tres deportes).
El dato «63 practican fútbol o básket» nos da \( n(F \cup B) = 63 \). Aplicando inclusión-exclusión para dos conjuntos:
\[ n(F \cup B) = n(F) + n(B) – n(F \cap B) \] \[ 63 = 52 + 36 – n(F \cap B) \] \[ n(F \cap B) = 25 \]
La intersección \( F \cap B \) incluye tanto los que practican solo esos dos (región \( d \)) como los que practican los tres (región \( g \)):
\[ n(F \cap B) = d + g = 25 \] \[ 15 + g = 25 \] \[ \boxed{g = 10} \]
\( \therefore \) 10 socios practican los tres deportes.
Parte (b) — Hallar los que practican por lo menos dos deportes.
«Por lo menos dos» = exactamente dos + exactamente tres = \( d + e + f + g \).
Ya conocemos \( d = 15 \) y \( g = 10 \). Necesitamos \( e + f \).
Desde \( n(V) \):
\[ n(V) = c + e + f + g = 49 \] \[ 16 + e + f + 10 = 49 \] \[ e + f = 23 \]
Por lo tanto:
\[ d + e + f + g = 15 + 23 + 10 = 48 \]
Verificación — consistencia con el total:
De \( n(F) \): \( a + d + e + g = 52 \implies a + e = 27 \)
De \( n(B) \): \( b + d + f + g = 36 \implies b + f = 11 \)
Sumando: \( (a + e) + (b + f) = 27 + 11 = 38 \)
Total sin \( c, d, g \): \( a + b + e + f = 79 – 16 – 15 – 10 = 38 ; ✓ \)
Tabla resumen:
| Grupo | Socios |
|---|---|
| Solo fútbol \( (a) \) | \( 27 – e \) |
| Solo básket \( (b) \) | \( 11 – f \) |
| Solo vóley \( (c) \) | 16 |
| Solo fútbol y básket \( (d) \) | 15 |
| Solo fútbol y vóley \( (e) \) + solo básket y vóley \( (f) \) | 23 |
| Los tres \( (g) \) | 10 |
| Por lo menos dos \( (d + e + f + g) \) | 48 |
Nota: Los valores individuales de \( e \) y \( f \) no pueden determinarse con los datos del problema, pero su suma \( e + f = 23 \) es suficiente para responder la pregunta.
\[ \therefore \text{Los que practican por lo menos dos deportes son } \mathbf{48} \text{ socios.} \]
Ejercicio 86
En una encuesta entre alumnos de una Universidad se obtuvieron los siguientes resultados:
- El 55% aprobó Química Básica (\( Q \))
- El 30% aprobó Matemática Básica (\( M \))
- El 50% aprobó Lengua (\( L \))
- El 10% aprobó los tres cursos
- El 40% de los que aprobaron \( Q \) no aprobaron ningún otro curso
- El 20% de los que aprobaron \( Q \) también aprobaron \( M \) pero no \( L \)
- El 14% no aprobó ninguno de los tres cursos
- 256 encuestados aprobaron \( M \) y \( L \)
Determinar: (a) ¿Cuántos aprobaron los tres cursos? (b) ¿Cuántos aprobaron \( M \) o \( L \) pero no \( Q \)?
Solución.
Sea \( N \) el total de encuestados. Nombraremos las 7 regiones del diagrama de Venn:
| Región | Descripción | En términos de \( N \) |
|---|---|---|
| \( a \) | Solo \( Q \) | \( 0.22N \) |
| \( b \) | Solo \( M \) | ? |
| \( c \) | Solo \( L \) | ? |
| \( d \) | Solo \( Q \cap M \) (no \( L \)) | \( 0.11N \) |
| \( e \) | Solo \( Q \cap L \) (no \( M \)) | ? |
| \( f \) | Solo \( M \cap L \) (no \( Q \)) | ? |
| \( g \) | Los tres \( Q \cap M \cap L \) | \( 0.10N \) |
Paso 1 — Extraer los datos directos.
Los porcentajes sobre \( Q \) se convierten en porcentajes sobre \( N \):
- «El 40% de los que aprobaron \( Q \) no aprobaron ningún otro curso» → solo \( Q \): \[ a = 0.40 \times 0.55N = 0.22N \]
- «El 20% de los que aprobaron \( Q \) también aprobaron \( M \) pero no \( L \)» → solo \( Q \cap M \): \[ d = 0.20 \times 0.55N = 0.11N \]
Paso 2 — Hallar \( e \) desde \( n(Q) \).
\[ n(Q) = a + d + e + g = 0.55N \] \[ 0.22N + 0.11N + e + 0.10N = 0.55N \] \[ e = 0.12N \]
Paso 3 — Plantear ecuaciones con \( n(M) \), \( n(L) \) y el total.
Del 14% que no aprobó ninguno: \( n(Q \cup M \cup L) = 0.86N \), por lo que:
\[ a + b + c + d + e + f + g = 0.86N \] \[ 0.22N + b + c + 0.11N + 0.12N + f + 0.10N = 0.86N \] \[ b + c + f = 0.31N \quad \cdots (I) \]
De \( n(M) = 0.30N \): \[ b + d + f + g = 0.30N \implies b + f = 0.09N \quad \cdots (II) \]
De \( n(L) = 0.50N \): \[ c + e + f + g = 0.50N \implies c + f = 0.28N \quad \cdots (III) \]
Paso 4 — Hallar \( f \) y determinar \( N \).
Sumando \( (II) \) y \( (III) \): \( b + c + 2f = 0.37N \).
Restando \( (I) \): \( f = 0.06N \).
El dato adicional es \( n(M \cap L) = 256 \). Como \( M \cap L \) incluye las regiones \( f \) y \( g \):
\[ f + g = 256 \] \[ 0.06N + 0.10N = 256 \] \[ 0.16N = 256 \] \[ \boxed{N = 1600 \text{ encuestados}} \]
Parte (a) — Cuántos aprobaron los tres cursos.
\[ n(Q \cap M \cap L) = g = 0.10 \times 1600 = \mathbf{160} \text{ alumnos} \]
Parte (b) — Cuántos aprobaron \( M \) o \( L \) pero no \( Q \).
La región «\( M \) o \( L \) pero no \( Q \)» corresponde exactamente a \( b + c + f \):
Con \( N = 1600 \):
- \( f = 0.06 \times 1600 = 96 \)
- \( b = 0.09N – f = 144 – 96 = 48 \)
- \( c = 0.28N – f = 448 – 96 = 352 \)
\[ b + c + f = 48 + 352 + 96 = \mathbf{496} \text{ alumnos} \]
Verificación completa:
| Región | Alumnos |
|---|---|
| Solo \( Q \) \((a)\) | 352 |
| Solo \( M \) \((b)\) | 48 |
| Solo \( L \) \((c)\) | 352 |
| Solo \( Q \cap M \) \((d)\) | 176 |
| Solo \( Q \cap L \) \((e)\) | 192 |
| Solo \( M \cap L \) \((f)\) | 96 |
| Los tres \((g)\) | 160 |
| Ninguno | 224 |
| Total | 1600 ✓ |
Comprobación de cardinalidades: \( n(Q) = 352+176+192+160 = 880 = 0.55\times1600 \) ✓ · \( n(M) = 48+176+96+160 = 480 = 0.30\times1600 \) ✓ · \( n(L) = 352+192+96+160 = 800 = 0.50\times1600 \) ✓ · \( n(M\cap L) = 96+160 = 256 \) ✓
\[ \therefore \text{ (a) } \mathbf{160} \text{ alumnos aprobaron los tres cursos.} \] \[ \therefore \text{ (b) } \mathbf{496} \text{ alumnos aprobaron } M \text{ o } L \text{ pero no } Q. \]
Ejercicio 87
En una encuesta realizada sobre un determinado número de profesionales se observa que: el 72% son matemáticos, el 52% físicos, el 37% químicos, el 32% físico-matemáticos, el 12% físico-químicos, el 22% matemático-químicos y el 2% físico-matemático-químicos. Hallar:
- (a) El porcentaje de encuestados que siguen exactamente una carrera.
- (b) El porcentaje de encuestados que tienen otras carreras.
Solución.
Definimos los conjuntos \( M \) (matemáticos), \( F \) (físicos) y \( Q \) (químicos). Todos los datos están en porcentajes sobre el total de encuestados:
| Dato | Porcentaje |
|---|---|
| \( n(M) \) | 72% |
| \( n(F) \) | 52% |
| \( n(Q) \) | 37% |
| \( n(F \cap M) \) | 32% |
| \( n(F \cap Q) \) | 12% |
| \( n(M \cap Q) \) | 22% |
| \( n(F \cap M \cap Q) \) | 2% |
Atención: Los porcentajes de intersecciones dobles como \( n(F \cap M) = 32% \) corresponden a «físico-matemáticos» en general, es decir, incluyen a quienes además son químicos. Lo mismo aplica para las demás intersecciones dobles.
Paso 1 — Calcular \( n(M \cup F \cup Q) \) con inclusión-exclusión.
\[ n(M \cup F \cup Q) = n(M) + n(F) + n(Q) – n(F \cap M) – n(F \cap Q) – n(M \cap Q) + n(F \cap M \cap Q) \]
\[ = 72 + 52 + 37 – 32 – 12 – 22 + 2 = \mathbf{97 \%} \]
Parte (b) — Porcentaje con otras carreras.
Son los que no pertenecen a ninguno de los tres conjuntos:
\[ 100 \% – 97 \% = \boxed{3 \%} \]
Parte (a) — Porcentaje que sigue exactamente una carrera.
Necesitamos las regiones de «solo \( M \)», «solo \( F \)» y «solo \( Q \)». La fórmula general para cada una es:
\[ \text{solo } X = n(X) – n(X \cap Y) – n(X \cap Z) + n(X \cap Y \cap Z) \]
Solo \( M \): \[ 72 – 32 – 22 + 2 = 20 \% \]
Solo \( F \): \[ 52 – 32 – 12 + 2 = 10 \% \]
Solo \( Q \): \[ 37 – 12 – 22 + 2 = 5 \% \]
\[ \text{Exactamente una carrera} = 20 + 10 + 5 = \boxed{35 \%} \]
Verificación — las 7 regiones deben sumar 97%:
| Región | Porcentaje |
|---|---|
| Solo \( M \) | 20% |
| Solo \( F \) | 10% |
| Solo \( Q \) | 5% |
| Solo \( F \cap M \) (no \( Q \)) | \( 32 – 2 = 30% \) |
| Solo \( F \cap Q \) (no \( M \)) | \( 12 – 2 = 10% \) |
| Solo \( M \cap Q \) (no \( F \)) | \( 22 – 2 = 20% \) |
| Los tres \( F \cap M \cap Q \) | 2% |
| Total | 97% ✓ |
\( \therefore \) (a) El 35% de los encuestados sigue exactamente una carrera y (b) el 3% de los encuestados tiene otras carreras (fuera de las tres).
Ejercicio 88
El registro central de una Universidad proporcionó los siguientes datos respecto a un grupo de 300 estudiantes del primer ciclo: 155 están inscritos en el curso \( A \), 170 en el curso \( B \) y 110 en el curso \( C \). Además, 85 están inscritos en \( A \) y \( B \), 70 en \( B \) y \( C \), 50 en \( A \) y \( C \), y 35 en los tres cursos. Determinar el número de inscritos en:
- (a) El curso \( A \) pero no en \( C \).
- (b) Ninguno de los tres cursos.
Solución.
Datos del problema:
| Dato | Valor |
|---|---|
| Total encuestados | 300 |
| \( n(A) \) | 155 |
| \( n(B) \) | 170 |
| \( n(C) \) | 110 |
| \( n(A \cap B) \) | 85 |
| \( n(B \cap C) \) | 70 |
| \( n(A \cap C) \) | 50 |
| \( n(A \cap B \cap C) \) | 35 |
Parte (a) — Inscritos en \( A \) pero no en \( C \).
«En \( A \) pero no en \( C \)» es exactamente la diferencia \( A – C \), que contiene todos los elementos de \( A \) que no pertenecen a \( C \). Usando la propiedad de diferencia:
\[ n(A – C) = n(A) – n(A \cap C) \]
\[ n(A – C) = 155 – 50 = \boxed{105} \]
Nota: Esta fórmula descuenta de \( A \) todos los que también están en \( C \) — independientemente de si además están en \( B \) o no. No hace falta distinguir las subregiones internas.
Parte (b) — Inscritos en ninguno de los tres cursos.
Primero hallamos cuántos están en al menos uno, aplicando inclusión-exclusión:
\[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(B \cap C) – n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) \]
\[ = 155 + 170 + 110 – 85 – 70 – 50 + 35 = \boxed{265} \]
Los que no están en ninguno de los tres cursos son:
\[ 300 – 265 = \boxed{35} \]
Verificación — las 7 regiones más los de ninguno deben sumar 300:
| Región | Cálculo | Alumnos |
|---|---|---|
| Solo \( A \) | \( 155 – 85 – 50 + 35 \) | 55 |
| Solo \( B \) | \( 170 – 85 – 70 + 35 \) | 50 |
| Solo \( C \) | \( 110 – 70 – 50 + 35 \) | 25 |
| Solo \( A \cap B \) (no \( C \)) | \( 85 – 35 \) | 50 |
| Solo \( B \cap C \) (no \( A \)) | \( 70 – 35 \) | 35 |
| Solo \( A \cap C \) (no \( B \)) | \( 50 – 35 \) | 15 |
| Los tres \( A \cap B \cap C \) | — | 35 |
| Ninguno | — | 35 |
| Total | 300 ✓ |
Comprobación de la parte (a): en \( A \) pero no en \( C \) son las regiones «solo \( A \)» y «solo \( A \cap B \)»:
\[ 55 + 50 = 105 ; ✓ \]
\[ \therefore \text{ (a) } \mathbf{105} \text{ estudiantes están inscritos en } A \text{ pero no en } C. \] \[ \therefore \text{ (b) } \mathbf{35} \text{ estudiantes no están inscritos en ninguno de los tres cursos.} \]
Ejercicio 89
De 150 personas consultadas sobre el deporte que practican manifestaron lo siguiente: 82 juegan fútbol, 54 juegan básket, 50 sólo juegan fútbol y 30 sólo juegan básket. Además:
- El número de personas que juegan sólo básket y tenis es la mitad de las que juegan sólo fútbol y tenis.
- El número de personas que juegan sólo fútbol y básket es el triple de las que juegan los tres deportes.
- Las personas que no practican ningún deporte son tantas como las que practican sólo tenis.
Hallar: (a) El número de personas que practican sólo dos deportes. (b) El número de personas que no practican ninguno.
Solución.
Definimos \( F \) (fútbol), \( B \) (básket) y \( T \) (tenis), y nombramos las 7 regiones:
| Región | Descripción | Valor |
|---|---|---|
| \( a \) | Solo \( F \) | 50 |
| \( b \) | Solo \( B \) | 30 |
| \( c \) | Solo \( T \) | ? |
| \( d \) | Solo \( F \cap B \) (no \( T \)) | ? |
| \( e \) | Solo \( F \cap T \) (no \( B \)) | ? |
| \( f \) | Solo \( B \cap T \) (no \( F \)) | ? |
| \( g \) | Los tres \( F \cap B \cap T \) | ? |
Las condiciones del enunciado se traducen en:
\[ f = \frac{e}{2}, \qquad d = 3g, \qquad \text{ninguno} = c \]
Paso 1 — Ecuaciones desde \( n(F) \) y \( n(B) \).
\[ n(F) = a + d + e + g = 82 \implies d + e + g = 32 \quad \cdots (1) \]
\[ n(B) = b + d + f + g = 54 \implies d + f + g = 24 \quad \cdots (2) \]
Paso 2 — Hallar \( e \) y \( f \).
Restando \( (2) \) de \( (1) \):
\[ e – f = 8 \quad \cdots (3) \]
Sustituyendo \( f = e/2 \) en \( (3) \):
\[ e – \frac{e}{2} = 8 \implies \frac{e}{2} = 8 \implies e = 16, \quad f = 8 \]
Paso 3 — Hallar \( d \) y \( g \).
De \( (1) \): \( d + g = 32 – 16 = 16 \). Sustituyendo \( d = 3g \):
\[ 3g + g = 16 \implies g = 4, \quad d = 12 \]
Paso 4 — Hallar \( c \) y «ninguno» desde el total.
\[ a + b + c + d + e + f + g + \text{ninguno} = 150 \]
Como ninguno \( = c \):
\[ 50 + 30 + c + 12 + 16 + 8 + 4 + c = 150 \] \[ 120 + 2c = 150 \implies c = 15 \]
Tabla completa de las 7 regiones:
| Región | Descripción | Personas |
|---|---|---|
| \( a \) | Solo \( F \) | 50 |
| \( b \) | Solo \( B \) | 30 |
| \( c \) | Solo \( T \) | 15 |
| \( d \) | Solo \( F \cap B \) | 12 |
| \( e \) | Solo \( F \cap T \) | 16 |
| \( f \) | Solo \( B \cap T \) | 8 |
| \( g \) | Los tres | 4 |
| Ninguno | — | 15 |
| Total | 150 ✓ |
Verificación de cardinalidades:
- \( n(F) = 50+12+16+4 = 82 \) ✓
- \( n(B) = 30+12+8+4 = 54 \) ✓
- \( n(T) = 15+16+8+4 = 43 \)
- Condiciones: \( f = 8 = 16/2 = e/2 \) ✓ · \( d = 12 = 3 \times 4 = 3g \) ✓ · ninguno \( = 15 = c \) ✓
Parte (a) — Personas que practican sólo dos deportes.
\[ d + e + f = 12 + 16 + 8 = \boxed{36} \]
Parte (b) — Personas que no practican ningún deporte.
\[ \text{ninguno} = c = \boxed{15} \]
\[ \therefore \text{ (a) } \mathbf{36} \text{ personas practican exactamente dos deportes.} \] \[ \therefore \text{ (b) } \mathbf{15} \text{ personas no practican ninguno de los tres deportes.} \]
Ejercicio 90
En una encuesta realizada en un supermercado a 400 amas de casa sobre sus preferencias de tres productos \( A \), \( B \) y \( C \), se obtuvo lo siguiente. El número de amas de casa que consume los tres productos es:
- \( \tfrac{1}{4} \) de las que consumen solamente \( A \)
- \( \tfrac{1}{5} \) de las que consumen solamente \( B \)
- \( \tfrac{1}{3} \) de las que consumen solamente \( C \)
- \( \tfrac{1}{2} \) de las que consumen \( A \) y \( B \) (incluyendo o no \( C \))
- \( \tfrac{1}{3} \) de las que consumen \( B \) y \( C \) (incluyendo o no \( A \))
- \( \tfrac{1}{3} \) de las que consumen \( A \) y \( C \) (incluyendo o no \( B \))
Si 40 amas de casa no consumen ninguno de los tres productos, hallar: (a) ¿Cuántas consumen sólo un producto? (b) ¿Cuántas consumen al menos dos productos?
Solución.
Nombramos las 7 regiones del diagrama de Venn y llamamos \( g \) al número de quienes consumen los tres productos:
| Región | Descripción | En términos de \( g \) |
|---|---|---|
| \( a \) | Solo \( A \) | \( 4g \) |
| \( b \) | Solo \( B \) | \( 5g \) |
| \( c \) | Solo \( C \) | \( 3g \) |
| \( d \) | Solo \( A \cap B \) (no \( C \)) | \( g \) |
| \( e \) | Solo \( B \cap C \) (no \( A \)) | \( 2g \) |
| \( f \) | Solo \( A \cap C \) (no \( B \)) | \( 2g \) |
| \( g \) | Los tres | \( g \) |
Paso 1 — Extraer las relaciones desde los datos.
Las tres primeras condiciones son directas:
\[ g = \frac{a}{4} \implies a = 4g \qquad g = \frac{b}{5} \implies b = 5g \qquad g = \frac{c}{3} \implies c = 3g \]
Para las intersecciones dobles, la condición se aplica sobre el total de quienes consumen ese par de productos, es decir, sobre \( n(A \cap B) = d + g \):
\[ g = \frac{d + g}{2} \implies 2g = d + g \implies d = g \]
\[ g = \frac{e + g}{3} \implies 3g = e + g \implies e = 2g \]
\[ g = \frac{f + g}{3} \implies 3g = f + g \implies f = 2g \]
Paso 2 — Hallar \( g \) usando el total.
\[ a + b + c + d + e + f + g + \text{ninguno} = 400 \]
\[ 4g + 5g + 3g + g + 2g + 2g + g + 40 = 400 \]
\[ 18g = 360 \implies \boxed{g = 20} \]
Tabla completa:
| Región | Descripción | Personas |
|---|---|---|
| \( a \) | Solo \( A \) | 80 |
| \( b \) | Solo \( B \) | 100 |
| \( c \) | Solo \( C \) | 60 |
| \( d \) | Solo \( A \cap B \) | 20 |
| \( e \) | Solo \( B \cap C \) | 40 |
| \( f \) | Solo \( A \cap C \) | 40 |
| \( g \) | Los tres | 20 |
| Ninguno | — | 40 |
| Total | 400 ✓ |
Parte (a) — Consumen sólo un producto.
\[ a + b + c = 80 + 100 + 60 = \boxed{240} \]
Parte (b) — Consumen al menos dos productos.
«Al menos dos» = exactamente dos + los tres:
\[ d + e + f + g = 20 + 40 + 40 + 20 = \boxed{120} \]
Verificación: \( 240 + 120 + 40 = 400 \) ✓
\[ \therefore \text{ (a) } \mathbf{240} \text{ amas de casa consumen sólo un producto.} \] \[ \therefore \text{ (b) } \mathbf{120} \text{ amas de casa consumen al menos dos productos.} \]
Ejercicio 91
En una encuesta realizada en un Instituto de Idiomas se obtuvieron los siguientes resultados: 60 personas estudian inglés, 48 alemán y 28 francés. Además:
- El número que estudia sólo francés es \( \tfrac{1}{3} \) de los que estudian sólo inglés y \( \tfrac{1}{2} \) de los que estudian sólo alemán.
- El número que estudia los tres idiomas es \( \tfrac{1}{2} \) de los que estudian sólo inglés y francés.
- El número que estudia sólo alemán y francés es \( \tfrac{1}{3} \) de los que estudian sólo inglés y alemán.
Hallar: (a) ¿Cuántas personas estudian un solo idioma? (b) ¿Cuántas estudian sólo dos idiomas?
Solución.
Definimos \( I \) (inglés), \( A \) (alemán) y \( F \) (francés), y nombramos las 7 regiones:
| Región | Descripción | En términos de \( c \) y \( g \) |
|---|---|---|
| \( a \) | Solo \( I \) | \( 3c \) |
| \( b \) | Solo \( A \) | \( 2c \) |
| \( c \) | Solo \( F \) | \( c \) |
| \( d \) | Solo \( I \cap A \) (no \( F \)) | \( d \) |
| \( e \) | Solo \( I \cap F \) (no \( A \)) | \( 2g \) |
| \( f \) | Solo \( A \cap F \) (no \( I \)) | \( d/3 \) |
| \( g \) | Los tres | \( g \) |
Paso 1 — Traducir las condiciones.
\[ c = \frac{a}{3} \implies a = 3c \qquad c = \frac{b}{2} \implies b = 2c \]
\[ g = \frac{e}{2} \implies e = 2g \qquad f = \frac{d}{3} \]
Paso 2 — Plantear ecuaciones desde las cardinalidades.
\[ n(I) = a + d + e + g = 60 \implies 3c + d + 3g = 60 \quad \cdots (1) \]
\[ n(A) = b + d + f + g = 48 \implies 2c + \tfrac{4d}{3} + g = 48 \quad \cdots (2) \]
\[ n(F) = c + e + f + g = 28 \implies c + \tfrac{d}{3} + 3g = 28 \quad \cdots (3) \]
Paso 3 — Resolver el sistema.
Restando \( (3) \) de \( (1) \):
\[ 2c + d – \frac{d}{3} = 32 \implies 2c + \frac{2d}{3} = 32 \implies c + \frac{d}{3} = 16 \quad \cdots (4) \]
Sustituyendo \( (4) \) en \( (3) \):
\[ 16 + 3g = 28 \implies g = 4 \]
De \( (2) \): \( 2c + \tfrac{4d}{3} = 44 \implies c + \tfrac{2d}{3} = 22 \quad \cdots (5) \)
Restando \( (4) \) de \( (5) \):
\[ \frac{d}{3} = 6 \implies d = 18 \]
De \( (4) \): \( c = 16 – 6 = 10 \)
Con \( c \), \( d \) y \( g \) conocidos, el resto es inmediato:
\[ a = 3c = 30, \quad b = 2c = 20, \quad e = 2g = 8, \quad f = d/3 = 6 \]
Tabla completa:
| Región | Descripción | Personas |
|---|---|---|
| \( a \) | Solo \( I \) | 30 |
| \( b \) | Solo \( A \) | 20 |
| \( c \) | Solo \( F \) | 10 |
| \( d \) | Solo \( I \cap A \) | 18 |
| \( e \) | Solo \( I \cap F \) | 8 |
| \( f \) | Solo \( A \cap F \) | 6 |
| \( g \) | Los tres | 4 |
| Total | 96 |
Verificación de cardinalidades:
- \( n(I) = 30+18+8+4 = 60 \) ✓
- \( n(A) = 20+18+6+4 = 48 \) ✓
- \( n(F) = 10+8+6+4 = 28 \) ✓
Parte (a) — Personas que estudian un solo idioma.
\[ a + b + c = 30 + 20 + 10 = \boxed{60} \]
Parte (b) — Personas que estudian sólo dos idiomas.
\[ d + e + f = 18 + 8 + 6 = \boxed{32} \]
Observación: El total de encuestados es \( 60 + 32 + 4 = 96 \). El enunciado no especifica el tamaño de la muestra ni menciona personas que no estudian ningún idioma, por lo que se asume que todos estudian al menos uno.
\[ \therefore \text{ (a) } \mathbf{60} \text{ personas estudian exactamente un idioma.} \] \[ \therefore \text{ (b) } \mathbf{32} \text{ personas estudian exactamente dos idiomas.} \]
Ejercicio 92
En un edificio de departamentos: en el primer piso viven el 20% de las familias (la mitad tiene refrigerador), en el segundo piso el 40% (la mitad tiene refrigerador), en el tercer piso el 30% (la tercera parte tiene refrigerador) y en el cuarto piso el 10% (ninguna tiene refrigerador). Entre las familias con refrigerador, qué porcentaje vive en el segundo piso?
Solución:
Paso 1 — Suponer un total de 100 familias (para trabajar directamente con porcentajes).
| Piso | Familias | Fracción con refrigerador | Familias con refrigerador |
|---|---|---|---|
| 1ó | 20 | 1/2 | 10 |
| 2ó | 40 | 1/2 | 20 |
| 3ó | 30 | 1/3 | 10 |
| 4ó | 10 | 0 | 0 |
| Total | 100 | 40 |
Paso 2 — Calcular el porcentaje pedido.
Sea \( R \) = familias con refrigerador, \( P_2 \) = familias del segundo piso.
\[ \frac{n(R \cap P_2)}{n(R)} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} = 50\% \]
Resultado:
\[ \text{El } \mathbf{50\%} \text{ de las familias con refrigerador vive en el segundo piso.} \]
Observación: Aunque el segundo piso tiene el 40% de las familias totales, concentra el 50% de los refrigeradores. Esto se debe a que el piso 4 no aporta ningún refrigerador, redistribuyendo el peso relativo hacia los pisos que sí tienen.
¿Qué sigue?
Con la teoría de conjuntos dominada, estamos listos para el siguiente capítulo: Relaciones y Funciones, donde exploraremos:
- ✅ Producto cartesiano \( A \times B \): el conjunto de todos los pares ordenados \( (a, b) \) con \( a \in A \) y \( b \in B \)
- ✅ Relaciones binarias: subconjuntos de \( A \times B \) que conectan elementos entre conjuntos
- ✅ Propiedades de relaciones: reflexividad, simetría, transitividad y antisimetría
- ✅ Relaciones de equivalencia y particiones: cómo una relación puede dividir un conjunto en clases
- ✅ Funciones: relaciones donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio
- ✅ Tipos de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
- ✅ Composición e inversa de funciones
Los conjuntos que estudiamos son la materia prima de estas estructuras: el dominio y el codominio de una función son conjuntos, su gráfica es un subconjunto del producto cartesiano, y las propiedades que demostramos aquí — inclusión, igualdad, operaciones — serán herramientas diarias al estudiar relaciones y funciones. Sin ese lenguaje, ninguna definición formal de función podría formularse con precisión.