6. La Bicondicional

Hola a todos amigos, hoy les traigo la siguiente sección del capitulo de lógica proposicional y la continuación de la condicional lógica, en esta ocasión discutiremos un nuevo conector lógico y la última de las operadores lógicos, esta es, la bicondicional lógica.

El concepto matemático de la bicondicional es de doble filo, aquellas donde dos proposiciones siempre van de la mano, una depende de la otra y viceversa, es un concepto intuitivo que vamos a tratar en breve.

También está relacionado con la condicional, la conjunción, disyunción lógica y se pueden usar como definiciones alternativas, esto lo veremos al final de la entrada.

También llamado coimplicador o doble implicación, este conectivo lógico es mucho más fácil de explicar, no hay mucha magia en ello. La propiedad de este conectivo lógico es de doble filo, esto es, para dos proposiciones p y q conectados por una bicondicional pueden depender mutuamente entre si. Aquí p puede ser antecedente de q como también q puede ser el antecedente de p.

Como dos proposiciones bajo este conector son mutuamente dependientes, no existe jerarquía entre las dos. En base a esto, veamos su definición:

Definición de la bicondicional lógica

Llamamos bicondicional denotado con símbolo ↔ es un conectivo lógico que conecta dos proposiciones p y q formando una nueva proposición p ↔ q tal que su valor de verdad es verdadera si las proposiciones componentes es verdadera y falsa si sus proposiciones componentes tiene valores de verdad opuestos.

Desde ahora, cuando nos refiramos a una proposición formada jerárquicamente con este conectivo, lo llamaremos proposición bicondicional. Otro punto a tener en cuenta es que este conector es conmutativa, esto es, se cumple que p ↔ q ≡ q ↔ p, veamos un ejemplo.

El significado literal de la bicondicional lógica entre dos proposiciones o enunciados abiertos es “Si y solo si”. No siempre dos proposiciones pueden conectarse de esta manera para darle sentido a una nueva proposición, veamos un ejemplo para explicar esta detalle.

Ejemplo de la bicondicional lógica

Caso 1: Sea la proposición:

  • Saldré de casa si y sólo si anochece.

No toda proposición puede ser una bicondicional ya que la proposición anterior puede escribirse así:

  • Anochece si y solo si salgo de casa.

Es imposible que anochezca por arte de magia porque simplemente se salga de casa, por el cual, la proposición es inviable, veamos otro caso.

Caso 2: Sea la siguiente proposición:

  • Saldré de casa siempre y cuando mi madre compre un chocolate

Esta proposición se puede escribir de manera invertida así:

  • Mi madre comprará un chocolate siempre y cuando yo salga de casa

Como podemos ver, este tipo de proposiciones tiene mas coherencia que el caso 1, sin embargo, en lógica proposicional, no se tomará en cuenta el significado de los argumentos restringiendo solo y únicamente a sus valores de verdad que ya veremos en una tabla de verdad en breve

Relación con condicional y la conjunción lógica

Como dije anteriormente, la bicondicional es sencilla de entender, no hay mucha magia en su explicación. Existe una relación entra la condicional material y la conjunción lógica que puede ser relacionado con la bicondicional. Esto ya lo vimos con el ejemplo anterior del caso 2 donde las proposiciones eran conmutables (intercambiables).

Dos proposiciones que dependen mutuamente entre ellos significa que cualquiera de ellas puede ser el antecedente del otro y viceversa, lo cual se cumple que p ↔ q como también q ↔ p y como cualquiera de estas combinaciones es verdadera resulta que la bicondicional también es verdadera, por tanto, logramos una nueva relación entre bicondicional con la conjunción lógica y condicional material de la siguiente manera:

( p → q ) ∧ ( q → p ) ≡ p ↔ q

Tabla de verdad de La bicondicional Lógica

Esta tabla nos indica que tanto el antecedente como el consecuente tiene que ser o verdaderas o falsas para que la proposición bicondicional sea verdadera. La siguiente tabla de verdad para la bicondicional muestra esta característica.

pqp ↔ q
 VerdaderoVerdadero Verdadero
VerdaderoFalso  Falso
Falso VerdaderoFalso
Falso Falso Verdadero

Esto significa que la proposición q es condición suficiente y necesaria para p, pero estos puntos lo veremos con la equivalencia lógica que muchas veces se confunden con la bicondicional propiamente dicha.

la RELACIÓN con la DISYUNCIÓN exclusiva

En al sección de la disyunción lógica, mencionamos que la disyunción exclusiva es opuesta a la bicondicional. La tabla de verdad de la disyunción exclusiva es:

 pqp ∆ q
 VerdaderoVerdaderoFalso
VerdaderoFalso Verdadero
Falso VerdaderoVerdadero
Falso Falso Falso

Según estas tabla de valores de verdad, podemos escribir una relación entre la bicondicional lógica y la disyunción exclusiva de la siguiente manera:

p ↔ q ≡ ~ (p ∆ q)

Aunque tambien podríamos haberlo escrito así p ↔ q ≡ ~ (p ↮ q) ya que el símbolo ↮ representa el opuesto del símbolo de la bicondicional.

Algunas leyes lógicas de la bicondicional

Esto ya lo vimos en apartados mas arriba pero lo repetiré de nuevo. Para la bicondicional de dos proposiciones p y q implica que p sea antecedente del consecuente q y simétricamente también q sea antecedente del consecuente p, simbólicamente debe cumplirse las dos siguientes relaciones

  • p → q
  • q → p

Estas dos proposiciones condicionales debe cumplirse simultáneamente para que sean mutuamente dependientes, por tanto requiere de una conjunción lógica entre ellas dos, entonces la bicondicional lógica de p y q seria:

  • (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)

Algunas propiedades mas de la bicondicional mas

  • p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ ( ~ p ∧ ~ q)
  • p ↔ q ≡ ~ (p ∆ q)

En la sección de las principales leyes lógicas encontramos algunas leyes mas de la bicondicional lógica.

Diferencias entre la bicondicional y equivalencia lógica

Estas diferencias si bien no son notorias, podemos decir que la bicondicional es un operador lógico, como las cuatro operaciones matemáticas y la equivalencia lógica es análoga a signo igual, es decir, no es un operador lógico, lo que hace es relacionar dos proposiciones. Aquí sus símbolos:

  • Bicondicional material, símbolo: ↔
  • Equivalencia lógica, símbolo: ≡

Las diferencias que podemos encontrar entre ellas es: 

Bicondicional Material

  1. El conectivo bicondicional entre dos proposiciones es otra proposición.
  2. No siempre una proposición bicondicional es verdadera.
  3.  La bicondicional de dos proposiciones p y q puede expresarse como una identidad del tipo (p → q) ∧ (q → p).

Equivalencia Lógica

  1. La equivalencia lógica es la igualdad entre dos proposiciones afirmativas.
  2. La equivalencia lógica entre dos proposiciones siempre es verdadera.
  3.  La equivalencia lógica no solo no puede expresarse como (p → q) ∧ (q → p), tampoco lo permite porque no es una proposición.

En al sección de la equivalencia, implicación e inferencia lógica trato con mayor detalle el uso adecuado de la equivalencia lógica.

Mas ejemplos

Estos ejemplos hablan por si solo sin ninguna explicación.

  • x es par si y sólo si es múltiplo de 2.
  • La rana salta si y sólo si se impulsa.
  • Hace frío si y sólo si la temperatura baja.
  • a3 es impar si y sólo si a no es divisible por 2.

Fin de la entrada número 6

Esta sección llegó a su fin, hemos visto que no hay mucho que explicar con respecto a este conectivo, no encontramos contradicciones ni paradojas en cuanto su análisis y tampoco hay mucho que decir.

Para la próxima entrada, por fin nos centraremos en la tabla de verdad de cada uno de los conectivos lógicos y eso es todo amigos, nos vemos en la próxima entrada, hasta pronto.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Bicondicional Lógica
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2018-07-28T22:06:06+00:00