En el capítulo anterior estudiamos los cuantificadores lógicos: el universal (\( \forall \)) y el existencial (\( \exists \)), que nos permiten expresar afirmaciones sobre todos o algunos elementos de un conjunto. Ahora ha llegado el momento de formalizar ese concepto que hemos estado usando de manera intuitiva: los conjuntos.
La teoría de conjuntos es el lenguaje fundamental de las matemáticas. Prácticamente toda la matemática moderna desde el álgebra hasta el cálculo, pasando por la probabilidad y la estadística, son concepto que se construye sobre esta base.
En este capítulo aprenderás a reconocer los conjuntos con precisión, a relacionarlos entre sí, y a operar con ellos utilizando las mismas herramientas lógicas que ya desarrollamos en capítulos anteriores.
Concepto primitivo de conjunto
Hay conceptos en las matemáticas que se aceptan sin definición formal: se llaman conceptos primitivos. Así como en geometría el «punto» y la «recta» son primitivos, en la teoría de conjuntos lo son estas tres ideas:
- Conjunto — una colección de objetos.
- Elemento — un objeto que forma parte de un conjunto.
- Pertenencia — la relación que vincula un elemento con su conjunto.
Aunque no los definimos formalmente, podemos describirlos con claridad:
Un conjunto es toda agrupación o colección de objetos, siempre que exista un criterio preciso que permita determinar si un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que forman parte del conjunto se llaman sus elementos.
Notación y relación de pertenencia
Convenios de notación
| Concepto | Notación | Ejemplo |
|---|---|---|
| Conjuntos | Letras mayúsculas | \( A, B, C, \dots, A_1, A_2, \dots \) |
| Elementos | Letras minúsculas | \( a, b, c, \dots, x_1, x_2, \dots \) |
La relación de pertenencia (\( \in \))
La relación de pertenencia conecta un elemento con un conjunto:
\[ \text{(elemento)} \in \text{(conjunto)} \]
- Si \( x \) es elemento de \( A \), escribimos \( x \in A \) y leemos «\( x \) pertenece a \( A \)».
- Si \( x \) no es elemento de \( A \), escribimos \( x \notin A \) y leemos «\( x \) no pertenece a \( A \)».
Conexión con la lógica: La pertenencia es una proposición. Si \( p: x \in A \), entonces su negación es \( \neg p: x \notin A \). Si \( p \) es verdadera, \( \neg p \) es falsa, y viceversa — no hay término medio.
Ejemplo. Sean los conjuntos:
\( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 – 4 = 0\} \) y \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 4 = 0\} \)
- \( 2 \in A \) ✓ porque \( 2^2 – 4 = 0 \)
- \( -2 \in A \) ✓ porque \( (-2)^2 – 4 = 0 \)
- \( 3 \notin A \) ✗ porque \( 3^2 – 4 = 5 \neq 0 \)
- \( 2 \notin B \) ✗ porque \( 2^2 + 4 = 8 \neq 0 \) (de hecho, \( B = \emptyset \) en \( \mathbb{R} \))
Diagramas de Venn – Euler
Para comprender los conjuntos de forma intuitiva, los representamos gráficamente mediante los llamados diagramas de Venn (o de Venn – Euler). La idea es sencilla: dibujamos una curva cerrada — que puede ser un círculo, un óvalo o cualquier otra forma — y escribimos los elementos del conjunto como puntos en su interior.
La forma de la curva no importa; lo que importa es la frontera: todo lo que está dentro pertenece al conjunto, y todo lo que está fuera no pertenece.
Ejemplos.
1. Sea \( A = \{1, 10, 12, 15\} \). Su diagrama de Venn es:
Cada punto dentro de la curva representa un elemento: \( 1 \in A \), \( 10 \in A \), \( 12 \in A \), \( 15 \in A \). Cualquier número que no aparezca dentro de la curva no pertenece a \( A \).
2. Sea \( A = \{-1, 3, -5, 0\} \). Su diagrama de Venn es:
Observa que no importa la posición de los puntos dentro de la curva ni el orden en que se escriban: el conjunto es el mismo. Lo único relevante es qué elementos están dentro.
Nota: Más adelante, cuando trabajemos con operaciones entre conjuntos, los diagramas de Venn nos permitirán visualizar la unión, la intersección, la diferencia y el complemento de manera inmediata. Serán nuestra herramienta gráfica favorita a lo largo de este capítulo.
Determinación de conjuntos
Un conjunto está bien definido cuando podemos determinar con certeza si cualquier objeto pertenece o no a él. Existen dos formas de describir un conjunto:
Por extensión
Se listan explícitamente todos los elementos, separados por comas y encerrados entre llaves.
Ejemplos:
- \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
- \( V = \{a, e, i, o, u\} \)
- \( B = \{2, 4, 6, 8, \dots\} \) (los puntos suspensivos indican que el patrón continúa)
Por comprensión
Se establece una propiedad que caracteriza únicamente a los elementos del conjunto.
Notación general: \( A = \{x \in U \mid P(x)\} \)
Se lee: «\( A \) es el conjunto de los \( x \) pertenecientes al universo \( U \), tales que \( P(x) \) es verdadera».
Conexión con cuantificadores: ¿Recuerdas las funciones proposicionales del capítulo anterior? La expresión \( P(x) \) dentro de la notación \( \{x \in U \mid P(x)\} \) es exactamente eso: una propiedad que depende de la variable \( x \). El conjunto queda formado por todos los elementos del universo \( U \) para los que esa propiedad resulta verdadera.
Tabla comparativa de ejemplos
| Por extensión | Por comprensión |
|---|---|
| \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) | \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 0 < x < 7\} \) |
| \( B = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\} \) | \( B = \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z}^+\} \) |
| \( D = \{2, 4, 6, 8, \dots\} \) | \( D = \{2n \mid n \in \mathbb{Z}^+\} \) (números pares positivos) |
| \( E = \{1, 3, 5, 7, \dots\} \) | \( E = \{2n-1 \mid n \in \mathbb{Z}^+\} \) (números impares positivos) |
| \( G = \{5, 10, 15, 20, \dots\} \) | \( G = \{5n \mid n \in \mathbb{Z}^+\} \) |
Conjuntos finitos e infinitos
Conjunto finito
Un conjunto es finito si tiene una cantidad limitada de elementos, es decir, si consta de \( n \) elementos donde \( n \) es un número natural fijo.
Ejemplos:
- \( A = \{x \mid x \text{ es una vocal}\} = \{a, e, i, o, u\} \) — tiene 5 elementos.
- \( B = \{x \in \mathbb{N} \mid 5 \leq x < 12\} = \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} \) — tiene 7 elementos.
- \( C = \{x \mid x \text{ es un día de la semana}\} \) — tiene 7 elementos.
Conjunto infinito
Un conjunto es infinito si no es finito, es decir, si sus elementos no pueden contarse completamente con un número natural.
Ejemplos:
- \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \) — los naturales son infinitos.
- \( \{x \in \mathbb{Z} \mid x \text{ es impar}\} = \{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\} \) — los impares son infinitos.
- \( \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1\} \) — el intervalo abierto \( (0, 1) \) contiene infinitos números reales.
Nota: Los conjuntos que definimos por comprensión con puntos suspensivos (\( \dots \)) suelen ser infinitos, mientras que los que listamos completamente por extensión son finitos.
Conjuntos especiales
Conjunto vacío (\( \emptyset \))
Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota por \( \emptyset \) o \( \{\} \).
\[ \emptyset = \{x \mid x \neq x\} \]
Como ningún objeto es distinto de sí mismo, este conjunto es vacío.
Ejemplos:
- \( \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\} = \emptyset \) porque no hay real cuyo cuadrado sea \( -1 \).
- \( \{x \in \mathbb{N} \mid 2 < x < 3\} = \emptyset \) porque no hay natural entre 2 y 3.
Propiedad fundamental: El conjunto vacío está incluido en todo conjunto: \( \emptyset \subset A \), para cualquier conjunto \( A \). El concepto de inclusión lo explicaremos en breve.
¿Por qué? La afirmación \( \forall x: x \in \emptyset \implies x \in A \) es vacuamente verdadera, ya que no existe ningún \( x \in \emptyset \) que pueda hacer falsa la implicación (recordar una propiedad de equivalencia: \( F \implies q \) siempre es \( V \)).
Conjunto universal (\( U \))
Es el conjunto de referencia que contiene a todos los elementos bajo consideración en un contexto dado.
\[ U = \{x \mid x = x\} \]
En un diagrama de Venn, el conjunto universal se representa como un rectángulo que enmarca a todos los demás conjuntos.
Conjunto unitario
Es un conjunto que tiene exactamente un elemento. Si \( a \in U \), entonces:
\[ \{a\} = \{x \in U \mid x = a\} \]
Ejemplos:
- \( \{x \in \mathbb{R} \mid x + 2 = 0\} = \{-2\} \)
- \( \{x \in \mathbb{N} \mid 1 < x < 3\} = \{2\} \)
Relaciones entre conjuntos
Dados dos conjuntos, las relaciones fundamentales entre ellos son la inclusión y la igualdad.
Inclusión de conjuntos (subconjuntos)
Un conjunto \( A \) está incluido en \( B \) (o es subconjunto de \( B \)) si todo elemento de \( A \) pertenece también a \( B \).
\[ A \subset B \iff \forall x: (x \in A \implies x \in B) \]
Se lee «\( A \) está incluido en \( B \)», o equivalentemente: «\( A \) es subconjunto de \( B \)», «\( A \) está contenido en \( B \)» o «\( A \) es parte de \( B \)». También puede escribirse \( B \supset A \), que se lee «\( B \) contiene a \( A \)».
Su negación: \( A \not\subset B \iff \exists x: (x \in A \wedge x \notin B) \)
Observa cómo se usan los cuantificadores: la inclusión usa \( \forall \) con implicación, y su negación usa \( \exists \) con conjunción — exactamente las reglas de negación que aprendimos.
Gráficamente, los diagramas de Venn nos permiten visualizar los tres casos posibles:
Ejemplo. Sean \( A = \{2, 4, 6, 8\} \) y \( B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\} \).
Verificación de \( A \subset B \):
- \( 2 \in A \) y \( 2 \in B \) ✓
- \( 4 \in A \) y \( 4 \in B \) ✓
- \( 6 \in A \) y \( 6 \in B \) ✓
- \( 8 \in A \) y \( 8 \in B \) ✓
Todos los elementos de \( A \) están en \( B \), por tanto \( A \subset B \). ✓
Contraejemplo. Sean \( M = \{a, b, c, d, e\} \) y \( N = \{b, c, d, m, n\} \).
- \( a \in M \) pero \( a \notin N \) ✗
Basta encontrar un solo elemento de \( M \) que no esté en \( N \) para afirmar \( M \not\subset N \).
Subconjunto propio
Decimos que \( A \) es subconjunto propio de \( B \) si \( A \subset B \) y además \( A \neq B \). Se denota \( A \subsetneq B \).
Propiedades de la inclusión
| Propiedad | Enunciado | Nombre |
|---|---|---|
| Inc.1 | \( A \subset A \) | Reflexiva |
| Inc.2 | Si \( A \subset B \) y \( B \subset C \), entonces \( A \subset C \) | Transitiva |
| Inc.3 | Si \( A \subset B \) y \( B \subset A \), entonces \( A = B \) | Antisimétrica |
| Inc.4 | \( \emptyset \subset A \), para todo conjunto \( A \) | Vacío incluido en todo |
Demostración de Inc.2 (Transitiva):
- \( A \subset B \) — hipótesis
- \( \forall x: x \in A \implies x \in B \) — por definición de \( \subset \)
- \( B \subset C \) — hipótesis
- \( \forall x: x \in B \implies x \in C \) — por definición de \( \subset \)
- \( \forall x: x \in A \implies x \in C \) — por silogismo hipotético (de 2 y 4): \( (p \implies q) \wedge (q \implies r) \implies (p \implies r) \)
- \( \therefore A \subset C \) — por definición de \( \subset \)
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Formalmente:
\[ A = B \iff (A \subset B \wedge B \subset A) \]
Es decir, para demostrar que dos conjuntos son iguales, debemos probar la doble inclusión: que cada uno está contenido en el otro.
Propiedades de la igualdad:
| Propiedad | Enunciado | Nombre |
|---|---|---|
| E.1 | \( A = A \) | Reflexiva |
| E.2 | Si \( A = B \), entonces \( B = A \) | Simétrica |
| E.3 | Si \( A = B \) y \( B = C \), entonces \( A = C \) | Transitiva |
Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos \( A \) y \( B \) son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. En forma simbólica:
\[ A \text{ y } B \text{ son disjuntos} \iff \nexists, x : (x \in A \wedge x \in B) \]
Equivalentemente, esto significa que su intersección es vacía: \( A \cap B = \emptyset \) (la operación de intersección se definirá formalmente más adelante).
Ejemplos:
- \( A = \{1, 3, 5, 7\} \) y \( B = \{2, 4, 6, 8\} \) son disjuntos, pues no comparten ningún elemento. ✓
- \( A = \{a, b, c, d\} \) y \( B = \{r, s, t, u\} \) son disjuntos. ✓
- \( A = \{1, 2, 3\} \) y \( B = \{3, 4, 5\} \) no son disjuntos, porque \( 3 \in A \wedge 3 \in B \). ✗
Los conjuntos numéricos
Los conjuntos numéricos fundamentales forman una cadena de inclusiones que todo estudiante de matemáticas debe conocer:
1. Números naturales (\( \mathbb{N} \))
\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\} \]
Son los números de conteo, incluyendo el cero.
¿El cero es natural? Depende del autor y la convención. Muchos textos de lógica, teoría de conjuntos y la norma ISO 80000-2 incluyen el cero: \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\} \). Otros textos, especialmente de tradición clásica y teoría de números, lo excluyen: \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \). Para distinguir ambos casos es frecuente usar \( \mathbb{N}_0 \) cuando se incluye el cero y \( \mathbb{N}^* \) o \( \mathbb{Z}^+ \) cuando se excluye. En esta publicación adoptamos la convención con cero.
2. Números enteros (\( \mathbb{Z} \))
\[ \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \]
Amplían a los naturales incluyendo los negativos.
3. Números racionales (\( \mathbb{Q} \))
\[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} ;\middle|; m \in \mathbb{Z} \wedge n \in \mathbb{Z},; n \neq 0\right\} \]
Todo número que puede expresarse como fracción de enteros. Su representación decimal es finita o periódica.
4. Números irracionales (\( \mathbb{I} \))
Son los números reales que no son racionales. Su representación decimal es infinita y no periódica.
Ejemplos notables: \( \sqrt{2} \approx 1.4142\dots \), \( \pi \approx 3.1416\dots \), \( e \approx 2.7182\dots \)
5. Números reales (\( \mathbb{R} \))
\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \]
La reunión de racionales e irracionales. Se representan geométricamente con la recta real.
6. Números complejos (\( \mathbb{C} \))
\[ \mathbb{C} = \{a + bi \mid a \in \mathbb{R} \wedge b \in \mathbb{R},; i = \sqrt{-1}\} \]
Amplían a los reales incluyendo la unidad imaginaria \( i \).
Relaciones de inclusión
Las inclusiones entre conjuntos numéricos son:
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]
Además: \( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset \) (ningún número es racional e irracional a la vez) y \( \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} \).
Operaciones con conjuntos
Así como tenemos operaciones aritméticas (suma, resta, producto), los conjuntos tienen sus propias operaciones. Cada operación tiene un conectivo lógico asociado:
| Operación | Símbolo | Conectivo lógico asociado |
|---|---|---|
| Unión | \( \cup \) | Disyunción \( \vee \) («o») |
| Intersección | \( \cap \) | Conjunción \( \wedge \) («y») |
| Diferencia | \( – \) | Conjunción con negación \( \wedge \neg \) |
| Complemento | \( A’ \) | Negación \( \neg \) |
| Diferencia simétrica | \( \triangle \) | Disyunción exclusiva \( \oplus \) (XOR) |
Esta correspondencia no es casual: las operaciones con conjuntos heredan las propiedades de los conectivos lógicos.
Unión de conjuntos \( A \cup B \)
La unión de \( A \) y \( B \) es el conjunto de elementos que pertenecen a \( A \), a \( B \), o a ambos.
\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \vee x \in B\} \]
Se lee «\( A \) unión \( B \)», y significa: el conjunto de todos los \( x \) que pertenecen a \( A \), o a \( B \), o a ambos.
Caracterización: \( x \in (A \cup B) \iff x \in A \vee x \in B \)
Negación: \( x \notin (A \cup B) \iff x \notin A \wedge x \notin B \)
Cuando \( A \) y \( B \) son disjuntos (sin elementos en común), la unión simplemente reúne ambos conjuntos sin traslape:
Ejemplo detallado. Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{3, 4, 5, 6\} \). Hallar \( A \cup B \).
Verificamos elemento por elemento cuáles satisfacen \( x \in A \vee x \in B \) en una tabla de verdad:
| \( x \) | \( x \in A \) | \( x \in B \) | \( x \in A \vee x \in B \) | \( x \in A \cup B \) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ✗ | V ∨ F = V | ✓ |
| 2 | ✓ | ✗ | V ∨ F = V | ✓ |
| 3 | ✓ | ✓ | V ∨ V = V | ✓ |
| 4 | ✓ | ✓ | V ∨ V = V | ✓ |
| 5 | ✗ | ✓ | F ∨ V = V | ✓ |
| 6 | ✗ | ✓ | F ∨ V = V | ✓ |
\( \therefore A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
Observa que los elementos comunes (3 y 4) no se repiten en la unión. Un conjunto no tiene elementos duplicados.
Propiedades de la unión
| Código | Propiedad | Nombre |
|---|---|---|
| U.1 | \( A \cup \emptyset = A \) | Elemento neutro |
| U.2 | \( A \cup U = U \) | Elemento absorbente |
| U.3 | \( A \cup A = A \) | Idempotencia |
| U.4 | \( A \cup B = B \cup A \) | Conmutativa |
| U.5 | \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \) | Asociativa |
| U.6 | \( A \subset A \cup B \) | Cota superior |
| U.7 | \( A \subset B \iff A \cup B = B \) | Criterio de inclusión |
| U.8 | Si \( A \cup B = \emptyset \), entonces \( A = \emptyset \wedge B = \emptyset \) | — |
| U.9 | \( A \cup (A \cap B) = A \) | Absorción |
Demostración de U.3 (Idempotencia): \( A \cup A = A \)
Debemos probar la doble inclusión: \( A \cup A \subset A \) y \( A \subset A \cup A \).
(I) \( A \cup A \subset A \):
- (1) Sea \( x \in (A \cup A) \) — hipótesis
- (2) \( \implies x \in A \vee x \in A \) — definición de \( \cup \)
- (3) \( \implies x \in A \) — por tautología \( p \vee p \iff p \)
- (4) \( \therefore A \cup A \subset A \) — de (1) y (3), por definición de \( \subset \)
(II) \( A \subset A \cup A \):
- (5) Sea \( x \in A \) — hipótesis
- (6) \( \implies x \in A \vee x \in A \) — por tautología \( p \iff p \vee p \)
- (7) \( \implies x \in (A \cup A) \) — definición de \( \cup \)
- (8) \( \therefore A \subset A \cup A \) — de (5) y (7)
De (I) y (II): \( A \cup A = A \). ∎
Intersección de conjuntos \( A \cap B \)
La intersección de \( A \) y \( B \) es el conjunto de elementos comunes a ambos.
\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \wedge x \in B\} \]
Se lee «\( A \) intersección \( B \)», y significa: el conjunto de todos los \( x \) que pertenecen simultáneamente a \( A \) y a \( B \).
Caracterización: \( x \in (A \cap B) \iff x \in A \wedge x \in B \)
Negación: \( x \notin (A \cap B) \iff x \notin A \vee x \notin B \)
Conjuntos disjuntos: Si \( A \) y \( B \) no tienen elementos en común, se dice que son disjuntos: \( A \cap B = \emptyset \).
Cuando \( A \) y \( B \) son disjuntos, no comparten ningún elemento, por lo que su intersección es vacía:UABA ∩ B = ∅ (disjuntos)
Ejemplo detallado. Sean \( A = \{a, b, c, d, e\} \), \( B = \{m, n, a, d\} \) y \( C = \{s, a, t, c, d\} \). Hallar \( A \cap B \), \( B \cap C \) y \( A \cap B \cap C \).
Para \( A \cap B \), verificamos \( x \in A \wedge x \in B \):
| \( x \) | \( x \in A \)? | \( x \in B \)? | \( x \in A \wedge x \in B \) | \( x \in A \cap B \)? |
|---|---|---|---|---|
| a | ✓ | ✓ | V ∧ V = V | ✓ |
| b | ✓ | ✗ | V ∧ F = F | ✗ |
| c | ✓ | ✗ | V ∧ F = F | ✗ |
| d | ✓ | ✓ | V ∧ V = V | ✓ |
| e | ✓ | ✗ | V ∧ F = F | ✗ |
\( \therefore A \cap B = \{a, d\} \)
De manera similar: \( B \cap C = \{a, d\} \) y \( A \cap B \cap C = \{a, d\} \).
Propiedades de la intersección
| Código | Propiedad | Nombre |
|---|---|---|
| I.1 | \( A \cap U = A \) | Elemento neutro |
| I.2 | \( A \cap \emptyset = \emptyset \) | Elemento absorbente |
| I.3 | \( A \cap A = A \) | Idempotencia |
| I.4 | \( A \cap B = B \cap A \) | Conmutativa |
| I.5 | \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \) | Asociativa |
| I.6 | \( A \cap B \subset A \) | Cota inferior |
| I.7 | \( A \subset B \iff A \cap B = A \) | Criterio de inclusión |
| I.8 | \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) | Distributiva de \( \cap \) sobre \( \cup \) |
| I.9 | \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) | Distributiva de \( \cup \) sobre \( \cap \) |
| I.10 | \( A \cap (A \cup B) = A \) | Absorción |
Las propiedades I.8 e I.9 son las leyes distributivas. Ambas tienen la misma forma que la distribución en lógica: \( p \wedge (q \vee r) \iff (p \wedge q) \vee (p \wedge r) \) y \( p \vee (q \wedge r) \iff (p \vee q) \wedge (p \vee r) \).
Diferencia de conjuntos \( A – B \)
La diferencia de \( A \) y \( B \) es el conjunto de elementos que pertenecen a \( A \) pero no pertenecen a \( B \).
\[ A – B = \{x \mid x \in A \wedge x \notin B\} \]
Se lee «\( A \) menos \( B \)» o «\( A \) diferencia \( B \)», y contiene solo los elementos que están en \( A \) pero no en \( B \).
Caracterización: \( x \in (A – B) \iff x \in A \wedge x \notin B \)
Cuando \( A \) y \( B \) son disjuntos, no comparten elementos, por lo que no hay nada que «quitar» de \( A \). En ese caso, \( A – B = A \):
Ejemplo detallado. Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{2, 4, 5, 6\} \). Hallar \( A – B \) y \( B – A \).
Para \( A – B \):
- \( 1 \in A \wedge 1 \notin B \) → \( 1 \in A – B \) ✓
- \( 2 \in A \wedge 2 \in B \) → \( 2 \notin A – B \) ✗
- \( 3 \in A \wedge 3 \notin B \) → \( 3 \in A – B \) ✓
- \( 4 \in A \wedge 4 \in B \) → \( 4 \notin A – B \) ✗
\( \therefore A – B = \{1, 3\} \)
Para \( B – A \):
- \( 5 \in B \wedge 5 \notin A \) → \( 5 \in B – A \) ✓
- \( 6 \in B \wedge 6 \notin A \) → \( 6 \in B – A \) ✓
- \( 2 \in B \wedge 2 \in A \) → \( 2 \notin B – A \) ✗
- \( 4 \in B \wedge 4 \in A \) → \( 4 \notin B – A \) ✗
\( \therefore B – A = \{5, 6\} \)
Nota importante: En general, \( A – B \neq B – A \). La diferencia no es conmutativa.
Propiedades de la diferencia
| Código | Propiedad |
|---|---|
| D.1 | \( A – A = \emptyset \) |
| D.2 | \( A – \emptyset = A \) |
| D.3 | \( \emptyset – A = \emptyset \) |
| D.4 | \( (A – B) \subset A \) |
| D.5 | \( A – B = A – (A \cap B) \) |
| D.6 | \( B \cap (A – B) = \emptyset \) |
| D.7 | \( A – (B \cup C) = (A – B) \cap (A – C) \) |
| D.8 | \( A – (B \cap C) = (A – B) \cup (A – C) \) |
Las propiedades D.7 y D.8 son las Leyes de De Morgan para la diferencia. Observa la analogía con la lógica:
- \( \neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q \)
- \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \).
Demostración de D.1: \( A – A = \emptyset \)
- Sea \( x \in (A – A) \) — hipótesis
- \( \implies x \in A \wedge x \notin A \) — definición de diferencia
- Esto es una contradicción (\( p \wedge \neg p \equiv F \)), luego ningún elemento puede pertenecer a \( A – A \).
- \( \therefore A – A = \emptyset \) ∎
Complemento de un conjunto \( A’ \)
Si \( A \) es un subconjunto de \( U \), el complemento de \( A \) es el conjunto de elementos del universo que no pertenecen a \( A \).
\[ A’ = U – A = \{x \mid x \in U \wedge x \notin A\} = \{x \mid x \notin A\} \]
Se lee «\( A \) prima» o «complemento de \( A \)», y significa: todo lo que está en el universo pero fuera de \( A \).
Caracterización: \( x \in A’ \iff x \notin A \)
Notaciones alternativas: En otros textos encontrarás el complemento escrito como \( \overline{A} \) o \( A^c \). Las tres notaciones — \( A’ \), \( \overline{A} \) y \( A^c \) — son equivalentes. En esta publicación usaremos \( A’ \).
Complemento relativo: Si \( A \subset B \), el complemento de \( A \) respecto de \( B \) se denota \( C_B A = B – A \).
Ejemplo. Si \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) y \( A = \{5, 6, 7, 8\} \):
\( A’ = U – A = \{1, 2, 3, 4, 9, 10\} \)
Verificación: \( A \cup A’ = U \) ✓ y \( A \cap A’ = \emptyset \) ✓
Propiedades del complemento
| Código | Propiedad | Nombre |
|---|---|---|
| C.1 | \( (A’)’ = A \) | Involución (doble complemento) |
| C.2 | \( A \cup A’ = U \) | Complementariedad en unión |
| C.3 | \( A \cap A’ = \emptyset \) | Complementariedad en intersección |
| C.4 | \( U’ = \emptyset \) | Complemento del universal |
| C.5 | \( \emptyset’ = U \) | Complemento del vacío |
| C.6 | \( A – B = A \cap B’ \) | Diferencia como intersección |
| C.7 | Si \( A \subset B \), entonces \( B’ \subset A’ \) | Contrarrecíproca de inclusión |
Demostración de C.6: \( A – B = A \cap B’ \)
(a) \( (A – B) \subset (A \cap B’) \):
- Sea \( x \in (A – B) \) → \( x \in A \wedge x \notin B \) — def. de diferencia
- \( \implies x \in A \wedge x \in B’ \) — def. de complemento
- \( \implies x \in (A \cap B’) \) — def. de \( \cap \)
(b) \( (A \cap B’) \subset (A – B) \):
- Sea \( x \in (A \cap B’) \) → \( x \in A \wedge x \in B’ \) — def. de \( \cap \)
- \( \implies x \in A \wedge x \notin B \) — def. de complemento
- \( \implies x \in (A – B) \) — def. de diferencia
De (a) y (b): \( A – B = A \cap B’ \). ∎
Leyes de De Morgan
Las Leyes de De Morgan conectan complementos con uniones e intersecciones. Son una de las herramientas más poderosas de la teoría de conjuntos.
Ley de De Morgan 1: \( (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \)
El complemento de la unión es la intersección de los complementos.
Ley de De Morgan 2: \( (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \)
El complemento de la intersección es la unión de los complementos.
Demostración de la Ley 2: \( (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \)
(a) \( (A \cap B)’ \subset A’ \cup B’ \):
- Sea \( x \in (A \cap B)’ \) — hipótesis
- \( \implies x \notin (A \cap B) \) — def. de complemento
- \( \implies x \notin A \vee x \notin B \) — por lógica: \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \)
- \( \implies x \in A’ \vee x \in B’ \) — def. de complemento
- \( \implies x \in (A’ \cup B’) \) — def. de \( \cup \)
- \( \therefore (A \cap B)’ \subset A’ \cup B’ \) — de (1) y (5)
(b) \( A’ \cup B’ \subset (A \cap B)’ \):
- Sea \( x \in (A’ \cup B’) \) — hipótesis
- \( \implies x \in A’ \vee x \in B’ \) — def. de \( \cup \)
- \( \implies x \notin A \vee x \notin B \) — def. de complemento
- \( \implies x \notin (A \cap B) \) — por lógica: \( \neg p \vee \neg q \equiv \neg(p \wedge q) \)
- \( \implies x \in (A \cap B)’ \) — def. de complemento
- \( \therefore A’ \cup B’ \subset (A \cap B)’ \) — de (1) y (5)
De (a) y (b): \( (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \). ∎
Conexión con la lógica: Las Leyes de De Morgan para conjuntos son exactamente las Leyes de De Morgan para proposiciones, traducidas mediante la correspondencia \( \cup \leftrightarrow \vee \), \( \cap \leftrightarrow \wedge \), \( ‘ \leftrightarrow \neg \).
Diferencia simétrica \( A \triangle B \)
La diferencia simétrica de \( A \) y \( B \) contiene los elementos que están en uno o en el otro, pero no en ambos.
\[ A \triangle B = (A – B) \cup (B – A) = (A \cup B) – (A \cap B) \]
Se lee «\( A \) diferencia simétrica \( B \)», y contiene exactamente los elementos que están en uno de los dos conjuntos, pero no en ambos a la vez.
Caracterización: \( x \in (A \triangle B) \iff (x \in A \wedge x \notin B) \vee (x \notin A \wedge x \in B) \)
En lógica, esta operación corresponde a la disyunción exclusiva (XOR): \( p \oplus q \).
Cuando \( A \) y \( B \) son disjuntos, no hay elementos comunes que excluir, por lo que la diferencia simétrica coincide con la unión: \( A \triangle B = A \cup B \).
Ejemplo. Sean \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) y \( B = \{2, 3, 5, 6\} \). Hallar \( A \triangle B \).
Método 1 (por diferencias): \( A – B = \{1, 4\} \) y \( B – A = \{5, 6\} \) \( A \triangle B = \{1, 4\} \cup \{5, 6\} = \{1, 4, 5, 6\} \)
Método 2 (por unión menos intersección): \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) y \( A \cap B = \{2, 3\} \) \( A \triangle B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} – \{2, 3\} = \{1, 4, 5, 6\} \) ✓
Propiedades de la diferencia simétrica
| Código | Propiedad | Nombre |
|---|---|---|
| DS.1 | \( A \triangle A = \emptyset \) | — |
| DS.2 | \( A \triangle \emptyset = A \) | Elemento neutro |
| DS.3 | \( A \triangle B = B \triangle A \) | Conmutativa |
| DS.4 | \( (A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C) \) | Asociativa |
| DS.5 | \( (A \triangle B) \cap C = (A \cap C) \triangle (B \cap C) \) | Distributiva con \( \cap \) |
Conjunto potencia \( \mathcal{P}(A) \)
Dado un conjunto \( A \), el conjunto potencia de \( A \) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de \( A \), incluyendo \( \emptyset \) y \( A \) mismo.
\[ \mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subset A\} \]
Propiedad clave: \( X \in \mathcal{P}(A) \iff X \subset A \)
Si \( A \) tiene \( n \) elementos, entonces \( \mathcal{P}(A) \) tiene \( 2^n \) elementos.
Ejemplos detallados
1. Si \( A = \{1, 2\} \), entonces \( n(A) = 2 \):
\( \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} \)
Verificación: \( n[\mathcal{P}(A)] = 2^2 = 4 \) ✓
2. Si \( B = \{a, \{1, b\}, c\} \), entonces \( n(B) = 3 \):
Los elementos de \( B \) son: \( a \), \( \{1, b\} \) (un conjunto como elemento) y \( c \).
| \( \mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{a\}, \{\{1, b\}\}, \{c\}, \{a, \{1, b\}\}, \{a, c\}, \{\{1, b\}, c\}, B\} \) |
Verificación: \( n[\mathcal{P}(B)] = 2^3 = 8 \) ✓
Cuidado: \( \{1, b\} \) es un elemento de \( B \), no un subconjunto. Por eso el unitario \( \{\{1, b\}\} \) es un subconjunto de \( B \), pero \( \{1, b\} \) por sí solo no lo es (pues \( 1 \notin B \)).
Propiedades del conjunto potencia
| Código | Propiedad |
|---|---|
| P.1 | \( a \in A \iff \{a\} \in \mathcal{P}(A) \) |
| P.2 | \( B \subset A \iff B \in \mathcal{P}(A) \) |
| P.3 | \( \emptyset \in \mathcal{P}(A) \) y \( A \in \mathcal{P}(A) \), para todo \( A \) |
| P.4 | \( \mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\} \) |
| P.5 | \( A \subset B \implies \mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B) \) |
| P.6 | \( \mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) \) |
| P.7 | \( \mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B) \) |
| P.8 | \( A = B \iff \mathcal{P}(A) = \mathcal{P}(B) \) |
Número de elementos de un conjunto
La cardinalidad (o número de elementos) de un conjunto \( A \), denotada \( n(A) \) o \( |A| \), es la cantidad de elementos distintos que contiene.
Se lee «\( n(A) \) es el número de elementos del conjunto \( A \)».
Ejemplos:
| Conjunto | Elementos | \( n \) |
|---|---|---|
| \( A = \{1, 3, 5, 6\} \) | 1, 3, 5, 6 | \( n(A) = 4 \) |
| \( B = \{a, b, c, d, e\} \) | a, b, c, d, e | \( n(B) = 5 \) |
| \( C = \{2, 4, 2, 4, 2\} \) | 2, 4 (los repetidos no cuentan) | \( n(C) = 2 \) |
| \( D = \emptyset \) | ninguno | \( n(D) = 0 \) |
Nota: Recuerda que un conjunto no tiene elementos repetidos. Aunque escribas \( C = \{2, 4, 2, 4, 2\} \), en realidad \( C = \{2, 4\} \) y por tanto \( n(C) = 2 \).
Propiedades del número de elementos
Propiedad 1. Si \( A \) y \( B \) son disjuntos (\( A \cap B = \emptyset \)):
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) \]
Propiedad 2. Para cualquier par de conjuntos finitos:
\[ n(A – B) = n(A) – n(A \cap B) \]
Esto es lógico: al restarle a \( A \) los elementos que comparte con \( B \), quedan solo los elementos exclusivos de \( A \).
Principio de inclusión-exclusión
Propiedad 3. (Fórmula para dos conjuntos)
Si \( A \) y \( B \) son conjuntos finitos:
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \]
Se resta la intersección porque al sumar \( n(A) + n(B) \), los elementos comunes se cuentan dos veces.
Caso particular: Si \( A \cap B = \emptyset \) (disjuntos), se reduce a la Propiedad 1: \( n(A \cup B) = n(A) + n(B) \).
Ejemplo. En un grupo de 40 estudiantes, 25 estudian matemáticas, 20 estudian física y 10 estudian ambas. ¿Cuántos estudian al menos una?
| \( n(M \cup F) = n(M) + n(F) – n(M \cap F) = 25 + 20 – 10 = 35 \) |
Propiedad 4. (Fórmula para tres conjuntos)
| \[ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \] |
Demostración:
| – \( n(A \cup B \cup C) = n[A \cup (B \cup C)] \) – \( = n(A) + n(B \cup C) – n[A \cap (B \cup C)] \) — fórmula para 2 conjuntos – \( = n(A) + n(B) + n(C) – n(B \cap C) – n[(A \cap B) \cup (A \cap C)] \) — distributiva y fórmula para 2 – \( = n(A) + n(B) + n(C) – n(B \cap C) – [n(A \cap B) + n(A \cap C) – n(A \cap B \cap C)] \) \( \therefore n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A \cap B) – n(A \cap C) – n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) \) |
El diagrama de tres conjuntos mutuamente secantes genera 7 regiones:
- \( n_1 \): solo en \( A \)
- \( n_2 \): solo en \( B \)
- \( n_3 \): solo en \( C \)
- \( n_5 \): solo en \( A \cap B \)
- \( n_4 \): solo en \( A \cap C \)
- \( n_6 \): solo en \( B \cap C \)
- \( n_7 \): en \( A \cap B \cap C \)
Resumen de propiedades
| Ley | Unión (\( \cup \)) | Intersección (\( \cap \)) |
|---|---|---|
| Idempotencia | \( A \cup A = A \) | \( A \cap A = A \) |
| Conmutativa | \( A \cup B = B \cup A \) | \( A \cap B = B \cap A \) |
| Asociativa | \( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \) | \( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \) |
| Neutro | \( A \cup \emptyset = A \) | \( A \cap U = A \) |
| Absorbente | \( A \cup U = U \) | \( A \cap \emptyset = \emptyset \) |
| Complemento | \( A \cup A’ = U \) | \( A \cap A’ = \emptyset \) |
| De Morgan | \( (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \) | \( (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \) |
| Distributiva | \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) | \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) |
| Absorción | \( A \cup (A \cap B) = A \) | \( A \cap (A \cup B) = A \) |
| Involución | \( (A’)’ = A \) | |
| Diferencia | \( A – B = A \cap B’ \) | \( n(A – B) = n(A) – n(A \cap B) \) |
| Dif. simétrica | \( A \triangle B = (A – B) \cup (B – A) \) | \( A \triangle B = (A \cup B) – (A \cap B) \) |
| Inclusión-exclusión | \( n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \) |
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1. Si \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \), \( A = \{2, 4, 6, 8\} \), \( B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \) y \( C = \{3, 4, 5\} \). Hallar \( (A \cup C)’ \cap B \).
Solución:
- \( A \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6, 8\} \)
- \( (A \cup C)’ = U – (A \cup C) = \{1, 7, 9\} \)
- \( (A \cup C)’ \cap B = \{1, 7, 9\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{1, 7, 9\} \)
Ejercicio 2. Simplificar \( F – (F – G) \) usando definiciones.
Solución:
\( F – (F – G) \)
\( \equiv x \in F \wedge x \notin (F – G) \) — def. de diferencia
\( \equiv x \in F \wedge \neg(x \in F \wedge x \notin G) \) — def. de diferencia
\( \equiv x \in F \wedge (x \notin F \vee x \in G) \) — De Morgan: \( \neg(p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q \)
\( \equiv (x \in F \wedge x \notin F) \vee (x \in F \wedge x \in G) \) — distributiva
\( \equiv \text{Falso} \vee (x \in F \wedge x \in G) \) — contradicción: \( p \wedge \neg p \) siempre es falso
\( \equiv x \in F \wedge x \in G \) — neutro: \( \text{Falso} \vee q \equiv q \)
\( \equiv x \in (F \cap G) \) — definición de \( \cap \)
\( \therefore F – (F – G) = F \cap G \) ✓
Ejercicio 3. Demostrar que \( (A – B) \cup (B – A) = (A \cup B) – (A \cap B) \).
Demostración:
\( (A – B) \cup (B – A) \)
\( = (A \cap B’) \cup (B \cap A’) \) — por C.6: \( X – Y = X \cap Y’ \)
\( = [(A \cap B’) \cup B] \cap [(A \cap B’) \cup A’] \) — distributiva de \( \cup \) sobre \( \cap \)
\( = [(A \cup B) \cap (B’ \cup B)] \cap [(A \cup A’) \cap (B’ \cup A’)] \) — distributiva
\( = [(A \cup B) \cap U] \cap [U \cap (A’ \cup B’)] \) — por C.2: \( X \cup X’ = U \)
\( = (A \cup B) \cap (A’ \cup B’) \) — por I.1: \( X \cap U = X \)
\( = (A \cup B) \cap (A \cap B)’ \) — por De Morgan (Ley 1)
\( = (A \cup B) – (A \cap B) \) — por C.6 ∎
Ejercicio 4. Si \( A = \{1, 2, 3\} \), determinar \( \mathcal{P}(A) \) y verificar que su cardinalidad es \( 2^{n(A)} \).
Solución:
Los elementos de \( A \) son 1, 2 y 3 (\( n(A) = 3 \)). Listamos todos los subconjuntos organizados por cantidad de elementos:
| Subconjuntos con 0 elementos | Subconjuntos con 1 elemento | Subconjuntos con 2 elementos | Subconjuntos con 3 elementos |
|---|---|---|---|
| \( \emptyset \) | \( \{1\} \), \( \{2\} \), \( \{3\} \) | \( \{1, 2\} \), \( \{1, 3\} \), \( \{2, 3\} \) | \( \{1, 2, 3\} \) |
| \( \therefore \mathcal{P}(A) = \{\emptyset,; \{1\},; \{2\},; \{3\},; \{1, 2\},; \{1, 3\},; \{2, 3\},; \{1, 2, 3\}\} \) |
Verificación: \( n[\mathcal{P}(A)] = 2^3 = 8 \) ✓
Ejercicio 5. En una encuesta realizada a 100 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos: 50 estudian Matemáticas (\( M \)), 40 estudian Física (\( F \)), 35 estudian Química (\( Q \)), 20 estudian Matemáticas y Física, 15 estudian Matemáticas y Química, 10 estudian Física y Química, y 5 estudian las tres materias. ¿Cuántos estudiantes no estudian ninguna de las tres materias?
Solución:
Datos:
- \( n(U) = 100 \)
- \( n(M) = 50 \)
- \( n(F) = 40 \)
- \( n(Q) = 35 \)
- \( n(M \cap F) = 20 \)
- \( n(M \cap Q) = 15 \)
- \( n(F \cap Q) = 10 \)
- \( n(M \cap F \cap Q) = 5 \).
Aplicamos la fórmula de inclusión-exclusión para tres conjuntos:
| \( n(M \cup F \cup Q) = n(M) + n(F) + n(Q) – n(M \cap F) – n(M \cap Q) – n(F \cap Q) + n(M \cap F \cap Q) \) \( n(M \cup F \cup Q) = 50 + 40 + 35 – 20 – 15 – 10 + 5 = 85 \) |
Estudiantes que no estudian ninguna materia:
\[ n(M \cup F \cup Q)’ = n(U) – n(M \cup F \cup Q) = 100 – 85 = 15 \]
\( \therefore \) 15 estudiantes no estudian ninguna de las tres materias. ✓
Ejercicio 6. Demostrar la ley de absorción: \( A \cup (A \cap B) = A \).
Demostración:
Debemos probar la doble inclusión.
(I) \( A \subset A \cup (A \cap B) \):
Esto es inmediato por la propiedad U.6 (cota superior): todo conjunto está incluido en cualquier unión donde participe. ✓
(II) \( A \cup (A \cap B) \subset A \):
- Sea \( x \in A \cup (A \cap B) \) — hipótesis
- \( \implies x \in A \vee (x \in A \wedge x \in B) \) — def. de \( \cup \) y \( \cap \)
- Caso 1: Si \( x \in A \), entonces \( x \in A \). ✓
- Caso 2: Si \( x \in A \wedge x \in B \), entonces \( x \in A \) por simplificación (\( p \wedge q \implies p \)). ✓
- En ambos casos, \( x \in A \).
- \( \therefore A \cup (A \cap B) \subset A \)
De (I) y (II): \( A \cup (A \cap B) = A \). ∎
¿Qué viene después?
Con la teoría de conjuntos tienes ahora la base para los siguientes temas de las matemáticas: relaciones, funciones y producto cartesiano. Los conjuntos serán los dominios y codominios de las funciones, y las propiedades estudiadas en este capítulo te permitirán trabajar con rigor en cualquier rama de la matemática.
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