En el capítulo anterior estudiamos los conjuntos como colecciones de elementos. Ahora vamos un paso más allá: ¿Qué pasa cuando los propios elementos de una colección son conjuntos? Cuando agrupamos conjuntos bajo una regla común obtenemos una familia de conjuntos, y ese salto abre la puerta a herramientas matemáticas mucho más poderosas que estudiaremos a continuación.
¿Qué es una familia de conjuntos?
De manera informal, una familia de conjuntos es simplemente una colección cuyos elementos son conjuntos. Por ejemplo:
\[ \mathcal{F} = \left \{ \{1, 2\},; \{3, 4, 5\},; \emptyset,; \{1, 3\ \} \right \} \]
Aquí \( \mathcal{F} \) es un conjunto cuyos cuatro elementos son, a su vez, conjuntos.
Notación: Las familias de conjuntos se denotan habitualmente con letras caligráficas: \( \mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{A}, \mathcal{B} \), para distinguirlas visualmente de los conjuntos ordinarios.
¿En qué se diferencia esto de un conjunto cualquiera? Técnicamente, en nada: una familia es un conjunto. La diferencia es conceptual: cuando sabemos que los elementos son conjuntos, decimos «familia» para dejar claro qué tipo de estructura estamos manejando.
Además, una familia puede formarse a partir de un conjunto dado, seleccionando algunos de sus subconjuntos. Recordemos brevemente: si \( A \) es un conjunto, un subconjunto de \( A \) es cualquier conjunto cuyos elementos pertenecen todos a \( A \). Por ejemplo, si \( A = \{1, 2, 3\} \), entonces \( \{1, 3\} \) es un subconjunto de \( A \) (porque 1 y 3 están en \( A \)), pero \( \{1, 4\} \) no lo es (porque \( 4 \notin A \)). Al tomar varios subconjuntos de un mismo conjunto y agruparlos, obtenemos una familia de conjuntos.
Ejemplos cotidianos
- La colección de todos los cursos universitarios que toma un estudiante (cada curso es un conjunto de temas) es una familia de conjuntos.
- Si tomamos \( A = \{1, 2, 3\} \) y seleccionamos solo algunos de sus subconjuntos, podemos formar la familia \( \mathcal{F} = \left \{\{1\},\; \{2, 3\}\right \} \). No es necesario incluir todos los subconjuntos posibles, solo los que elegimos de manera arbitraria.
- El conjunto de todos los subconjuntos de \( A = \{1, 2, 3\} \) — el conjunto potencia \( \mathcal{P}(A) \) — es una familia: \( \mathcal{P}(A) = \left \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\right \} \).
- Los intervalos \( [0,1], [1,2], [2,3] \) forman una familia de subconjuntos de \( \mathbb{R} \).
En una publicación anterior de teoría de conjuntos estudiamos que \( \mathcal{P}(A) \) es el conjunto de todos los subconjuntos de \( A \). Cualquier familia de subconjuntos de un conjunto \( X \) es, formalmente, un subconjunto de \( \mathcal{P}(X) \) — tema que estudiaremos a continuación.
El conjunto potencia como familia de conjuntos
Como recordatorio del capítulo anterior de teoría de conjuntos, el conjunto potencia reúne todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Aquí lo retomamos porque, visto desde el ángulo de las familias, adquiere un papel central que antes no era tan evidente.
Lo que ya sabemos
Dado un conjunto \( A \) con \( n \) elementos, su conjunto potencia \( \mathcal{P}(A) \) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de \( A \), incluyendo \( \emptyset \) y el propio \( A \):
\[ \mathcal{P}(A) = \{X \mid X \subseteq A\} \qquad n\bigl[\mathcal{P}(A)\bigr] = 2^n \]
Ejemplo. Si \( A = \{1, 2, 3\} \):
\[ \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\} \} \]
con \( n[\mathcal{P}(A)] = 2^3 = 8 \) elementos.
¿Por qué es relevante para las familias?
Lo que antes describimos como «el conjunto de todos los subconjuntos» ahora podemos leerlo de otra manera: \( \mathcal{P}(A) \) es la familia más grande posible de subconjuntos de \( A \). Cualquier otra familia de subconjuntos de \( A \) es una subfamilia de \( \mathcal{P}(A) \):
\[ \mathcal{F} \text{ es una familia de subconjuntos de } A \iff \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(A) \]
Por ejemplo. con \( A = \{1, 2, 3\} \) podemos formar muchas familias de conjuntos distintas seleccionando algunos de sus 8 subconjuntos:
- \( \mathcal{F}_1 = \{ \{ 1 \}, \{ 1, 2 \}, \{1,2,3\} \} \) — una familia de 3 subconjuntos de \( A \). Como \( \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{P}(A) \), es una subfamilia de \( \mathcal{P}(A) \). ✓
- \( \mathcal{F}_2 = \{ \{ 2, 3 \}, \{ 1, 2, 3 \} \} \) — otra subfamilia, con solo 2 subconjuntos. ✓
- \( \mathcal{F}_3 = \{ \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \} \} \) — los tres unitarios. ✓
Todas estas familias «viven» dentro de \( \mathcal{P}(A) \), que actúa como una especie de conjunto universal para las familias de subconjuntos de \( A \). El siguiente diagrama ilustra esta idea:
Familias notables dentro de \( \mathcal{P}(A) \)
No todas las subfamilias de \( \mathcal{P}(A) \) son igual de importantes. Algunas tienen propiedades especiales que las hacen particularmente útiles. Usando \( A = \{1, 2, 3 \} \) como ejemplo:
1. Cualquier familia — Basta con que sea un subconjunto de \( \mathcal{P}(A) \), sin más requisitos.
Ejemplo: \( \mathcal{F} = \{ \{ 1 \}, \{ 1, 2 \} \} \). Aquí \( \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(A) \), y eso basta. ✓
2. Cubrimiento de \( A \) — Una familia cuyos conjuntos, al unirlos todos, forman exactamente \( A \). En otras palabras: todo elemento de \( A \) aparece en al menos uno de los conjuntos de la familia. Los conjuntos pueden solaparse, es decir, que tengan elementos en común.
Ejemplo: \( \mathcal{F} = \left \{ \{ 1,2 \}, \{ 2,3 \}\right \} \). Verificamos: \( \{ 1,2 \} \cup \{ 2,3 \} = \{ 1,2,3 \} = A \). Cubre a \( A \) completamente. ✓
3. Partición de \( A \) — Un cubrimiento donde, además, los conjuntos son disjuntos dos a dos (no comparten elementos) y son no vacíos. Es la forma más «limpia» de dividir a \( A \): cada elemento queda en exactamente un pedazo.
Ejemplo: \( \mathcal{F} = \left \{ \{ 1 \}, \{ 2,3 \}\right \} \). Verificamos: \( \{ 1 \} \cup \{ 2,3 \} = A \) ✓ y \( \{ 1 \} \cap \{ 2,3 \} = \emptyset \) ✓. Es una partición. ✓
4. Familia de todos los subconjuntos — El caso extremo: \( \mathcal{F} = \mathcal{P}(A) \), que contiene los 8 subconjuntos posibles.
Cada caso es más restrictivo que el anterior: toda partición es un cubrimiento, todo cubrimiento es una familia, y \( \mathcal{P}(A) \) es el caso más amplio que contiene absolutamente todas las posibilidades. Los conceptos de cubrimiento y partición se estudiarán con mayor profundidad más adelante en esta publicación.
¿Cuántas familias de subconjuntos se pueden formar?
Ya sabemos que \( \mathcal{P}(A) \) es la familia más grande posible de subconjuntos de \( A \), y que cualquier otra familia \( \mathcal{F} \) cumple \( \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(A) \). Ahora bien, ¿cuántas familias distintas podemos formar con los subconjuntos de \( A \)?
Es importante no confundir dos cosas:
- El número de subconjuntos de \( A \) es \( 2^n \) (donde \( n = n(A) \)). Estos subconjuntos de \( A \) son los elementos de \( \mathcal{P}(A) \).
- El número de familias que podemos formar es la cantidad de formas posibles de seleccionar algunos de esos subconjuntos de \( A \) en grupos (familia de subconjuntos) — es decir, cuántos subconjuntos tiene \( \mathcal{P}(A) \) a su vez.
Como \( \mathcal{P}(A) \) tiene \( 2^n \) elementos de subconjuntos de \( A \), el número total de familias de subconjuntos posibles de \( A \) es:
\[ n\bigl[\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))\bigr] = 2^{2^n} \]
Ejemplo. Sea \( A = \{1, 2, 3\} \):
- \( A \) tiene \( n = 3 \) elementos.
- \( \mathcal{P}(A) \) tiene \( 2^3 = 8 \) subconjuntos (los que ya listamos antes).
- El número total de familias que podemos formar seleccionando algunos de esos 8 subconjuntos es \( 2^8 = 256 \).
Cada una de esas 256 familias es una selección diferente de subconjuntos de \( A \), desde la familia vacía \( \emptyset \) (que no selecciona ningún subconjunto) hasta la familia completa \( \mathcal{P}(A) \) (que los selecciona todos), pasando por las familias \( \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2, \mathcal{F}_3 \) que vimos en los ejemplos anteriores.
Este crecimiento doble exponencial \( 2^{2^n} \) muestra por qué las familias de conjuntos pueden volverse estructuras enormes muy rápidamente, incluso para conjuntos de partida pequeños.
Familia indexada de conjuntos
La forma más rigurosa y útil de manejar familias de conjunto es a través de la indexación. En lugar de listar los conjuntos sin orden, les asignamos un identificador — un índice — a cada uno.
De la lista al índice
Sea \( A = \{3, 4, 7\} \). Seleccionamos tres subconjuntos de \( A \) y les asignamos un nombre con subíndice:
\[ A_1 = \{3\}, \quad A_2 = \{3, 7\}, \quad A_3 = \{4, 7\} \]
La familia que forman estos tres subconjuntos se puede escribir listando sus elementos:
\[ \mathcal{F} = \left \{\{3\},\; \{3, 7\},\; \{4, 7\}\right \} \]
Pero también podemos escribirla usando los nombres que les asignamos:
\[ \mathcal{F} = \{A_1,\; A_2,\; A_3\} \]
Ahora bien, los subíndices 1, 2 y 3 forman un conjunto por sí mismos. Si lo llamamos \( I = \{1, 2, 3\} \), podemos simplificar aún más la escritura usando la variable \( i \) para recorrer todos los índices:
\[ \mathcal{F} = (A_i)_{i \in I} \]
donde se entiende que \( i \in I \) y se lee: «la familia de los conjuntos \( A_i \) tal que \( i \) pertenece a \( I \)».
Esta notación compacta es muy poderosa: no importa si la familia tiene 3 conjuntos, 100 o infinitos — la expresión \( (A_i)_{i \in I} \) los abarca a todos con solo cambiar el conjunto de índices \( I \).
En el ejemplo anterior, tanto los índices (1, 2, 3) como los subconjuntos fueron elegidos de manera arbitraria. Por ejemplo, podríamos haber asignado:
\[ A_1 = \{4\}, \quad A_2 = \{7\}, \quad A_3 = \{3, 4\} \]
o incluso usar índices no consecutivos:
\[ A_2 = \{4\}, \quad A_4 = \{7\}, \quad A_6 = \{3, 4\} \]
En estos casos, el conjunto de índices sería \( I = \{2, 4, 6\} \) y la familia se escribiría \( (A_i)_{i \in \{2,4,6\}} \). Los índices son solo etiquetas: no hay ninguna relación obligatoria entre el valor del índice y el contenido del subconjunto.
¿Y si queremos que haya una relación?
Nada nos impide definir los subconjuntos en términos del índice. Consideremos el siguiente ejemplo:
\[ A_i = \{i + 3\} \quad \text{donde } i = 2n,\; n < 3,\; n \in \mathbb{Z}^+ \]
Paso 1 — Determinar los valores de \( n \): Como \( n \) es un entero positivo menor que 3, los únicos valores posibles son \( n = 1 \) y \( n = 2 \).
Paso 2 — Obtener los índices: Como \( i = 2n \):
- Si \( n = 1 \): \( i = 2(1) = 2 \)
- Si \( n = 2 \): \( i = 2(2) = 4 \)
Por lo tanto, \( I = \{2, 4\} \).
Paso 3 — Calcular cada subconjunto: Reemplazamos \( i \) en \( A_i = \{i + 3\} \):
- \( A_2 = \{2 + 3\} = \{5\} \)
- \( A_4 = \{4 + 3\} = \{7\} \)
La familia indexada resultante es:
\[ (A_i)_{i \in \{2,4\}} = \{ \{5\},\; \{7\} \} \]
En este caso, sí hay una relación directa entre el índice \( i \) y el contenido de \( A_i \): cada subconjunto se calcula a partir de su índice mediante la fórmula \( A_i = \{i + 3\} \). Esta forma de definir familias de conjuntos es muy común en matemáticas y la exploraremos con más detalle más adelante.
Además, observa que \( A_2 = \{5\} \) y \( A_4 = \{7\} \) son subconjuntos de algún conjunto \( A \) que no hemos definido explícitamente. Ese conjunto podría ser \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \), o podría ser simplemente \( A = \{5, 7\} \). En cualquier caso, la familia \( (A_i)_{i \in \{2,4\}} \) es casi siempre un subconjunto del conjunto potencia de ese \( A \):
\[ (A_i)_{i \in \{2,4\}} \subseteq \mathcal{P}(A) \]
Decimos «casi siempre» porque, en algunos pocos casos coincidentes, la familia podría resultar ser exactamente \( \mathcal{P}(A) \). Por ejemplo, si \( A = \{5, 7\} \), entonces \( \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{5\}, \{7\}, \{5,7\}\} \), y nuestra familia \( \{\{5\}, \{7\}\} \) es solo una parte de \( \mathcal{P}(A) \), no todo. Pero si hubiera una familia que generara exactamente esos 4 subconjuntos, entonces sí sería igual a \( \mathcal{P}(A) \).
Definición
Sea \( I \) un conjunto cualquiera, llamado conjunto de índices. Si a cada índice \( i \in I \) le asignamos un conjunto \( A_i \), decimos que la colección de todos esos conjuntos forma una familia indexada.
La familia completa se escribe de forma compacta como:
\[ (A_i)_{i \in I} \]
y se lee: «la familia de los conjuntos \( A_i \) tal que \( i \) pertenece a \( I \)».
Es importante aclarar que decir «familia completa» no significa que sea el conjunto potencia, sino que estamos hablando de todos los conjuntos de la familia, es decir, todos los \( A_i \) correspondientes a cada \( i \in I \).
Nota: La relación que conecta cada índice \( i \) con su conjunto \( A_i \) es, formalmente, una función \( f \) tal que \( A_i = f(i) \) como en el ejemplo anterior donde particularmente \( A_i = \{i + 3\} \). Este concepto lo estudiaremos a fondo en próximos capítulos; por ahora basta con entender que a cada índice le corresponde un único conjunto.
Una diferencia clave: la repetición es válida
En una familia indexada, es perfectamente válido que dos índices distintos apunten al mismo conjunto y considerarse diferentes. Esto puede parecer extraño si lo comparamos con un conjunto ordinario, donde los elementos repetidos simplemente se ignoran (por el axioma de extensión). Sin embargo, en una familia indexada la identidad de cada miembro la da el índice, no el contenido.
Es decir, puede ocurrir que:
\[ i \neq j \quad \text{pero} \quad A_i = A_j \]
Ejemplo: Sea \( I = \{1, 2, 3\} \), \( A_1 = \{a, b\} \), \( A_2 = \{c\} \), \( A_3 = \{a, b\} \).
Aunque \( A_1 \) y \( A_3 \) contienen exactamente los mismos elementos, son dos miembros distintos de la familia porque tienen índices distintos (\( 1 \neq 3 \)). Si esto fuera un conjunto ordinario, escribiríamos \( \{\{a,b\}, \{c\}, \{a,b\}\} = \{\{a,b\}, \{c\}\} \) y perderíamos un miembro. La indexación evita ese problema.
Subfamilia
En secciones anteriores vimos que las familias «pequeñas» como \( \mathcal{F}_1 = \{\{1\},\; \{1,2\},\; \{1,2,3\}\} \) están incluidas en la familia más grande \( \mathcal{P}(A) \). Esas familias pequeñas son justamente lo que llamamos subfamilias: una familia contenida dentro de otra.
Veamos otro ejemplo. Consideremos estas dos familias:
\[ \mathcal{G} = \{\{1\},\; \{2\},\; \{2,3\},\; \{3,7\}\} \]
\[ \mathcal{F} = \{\{1\},\; \{2,3\}\} \]
Como todos los conjuntos de \( \mathcal{F} \) también están en \( \mathcal{G} \), decimos que \( \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G} \), es decir, \( \mathcal{F} \) es una subfamilia de \( \mathcal{G} \).
Ahora, si reemplazamos los conjuntos por nombres indexados:
\[ \mathcal{G} = \{A_1,\; A_2,\; A_3,\; A_4\} \quad \text{y} \quad \mathcal{F} = \{A_1,\; A_3\} \]
Observa que los índices de \( \mathcal{G} \) forman el conjunto \( I = \{1, 2, 3, 4\} \), y los índices de \( \mathcal{F} \) forman \( J = \{1, 3\} \). Como \( J \subseteq I \), la subfamilia se obtiene seleccionando solo los índices de \( J \) dentro de la familia original.
Definición. Dada una familia \( (A_i)_{i \in I} \) y un subconjunto \( J \subseteq I \), la subfamilia indexada por \( J \) es:
\[ (A_j)_{j \in J} \]
Es decir, tomamos solo los conjuntos cuyos índices están en \( J \).
Determinación de familias a partir de una regla
En la sección de familia indexada mencionamos que los subconjuntos pueden definirse en términos del índice, mediante una fórmula como \( A_i = \{i + 3\} \). En muchos problemas, la familia se presenta exactamente así: no listando cada conjunto, sino mediante una regla que depende del índice. Para trabajar con ella, el primer paso es determinar (calcular) cada miembro reemplazando el índice por cada valor posible. Veamos algunos ejemplos adicionales.
Ejemplo ilustrativo 1
Sea la familia \( (A_i)_{1 \leq i \leq 4} \) donde \( A_i = \{i + n \mid n \in \mathbb{Z}^+,\; n \text{ impar},\; n < 5\} \).
Paso 1 — Identificar los valores de \( n \): Los enteros positivos impares menores que 5 son \( n = 1 \) y \( n = 3 \).
Paso 2 — Calcular cada \( A_i \):
| \( i \) | \( i + 1 \) | \( i + 3 \) | \( A_i \) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | \( \{2, 4\} \) |
| 2 | 3 | 5 | \( \{3, 5\} \) |
| 3 | 4 | 6 | \( \{4, 6\} \) |
| 4 | 5 | 7 | \( \{5, 7\} \) |
La familia completa es \( (A_i)_{i=1}^{4} = \{ \{2,4\},\; \{3,5\},\; \{4,6\},\; \{5,7\} \} \).
Ejemplo ilustrativo 2
Sea la familia \( (A_i)_{1 \leq i \leq 5} \) donde \( A_i = \{x + 1 \mid x \in \mathbb{N},\; x \leq i\} \) con \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \).
Calculamos cada conjunto:
- \( A_1 = \{x + 1 \mid x \in \mathbb{N},\; x \leq 1\} \). Como \( x = 1 \) es el único natural que cumple \( x \leq 1 \), resulta \( A_1 = \{2\} \).
- \( A_2 = \{x + 1 \mid x \leq 2\} = \{2, 3\} \)
- \( A_3 = \{x + 1 \mid x \leq 3\} = \{2, 3, 4\} \)
- \( A_4 = \{x + 1 \mid x \leq 4\} = \{2, 3, 4, 5\} \)
- \( A_5 = \{x + 1 \mid x \leq 5\} = \{2, 3, 4, 5, 6\} \)
Observa que cada conjunto contiene al anterior: \( A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset A_4 \subset A_5 \). A esta situación se la llama una cadena ascendente o familia anidada: cada miembro «crece» respecto al anterior.
Familia de conjuntos disjuntos dos a dos
Una familia \( (A_i)_{i \in I} \) es disjunta dos a dos (o mutuamente disjunta) si cualesquiera dos conjuntos distintos de la familia no comparten elementos:
\[ \forall i, j \in I,\quad i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset \]
Ejemplo. Sea \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( A_1 = \{1, 2\} \), \( A_2 = \{3, 4\} \), \( A_3 = \{5, 6\} \).
- \( A_1 \cap A_2 = \emptyset \) ✓
- \( A_1 \cap A_3 = \emptyset \) ✓
- \( A_2 \cap A_3 = \emptyset \) ✓
La familia es disjunta dos a dos. ✓
Atención: «disjunta dos a dos» es más fuerte que simplemente decir que la intersección de todos los conjuntos es vacía. Pueden darse situaciones donde \( A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset \) pero \( A_1 \cap A_2 \neq \emptyset \). La condición dos a dos exige que cada par sea disjunto.
Operaciones generalizadas
En un capítulo anterior definimos la unión \( A \cup B \) y la intersección \( A \cap B \) de dos conjuntos. Ahora, con una familia entera de conjuntos, generalizamos esas operaciones a cualquier cantidad de conjuntos — finita o infinita.
Antes de ver las definiciones formales, recordemos brevemente cómo funcionan la unión y la intersección entre dos conjuntos, ya que las operaciones generalizadas son una extensión directa de estas:
- Unión \( A \cup B \): un elemento \( x \) pertenece a la unión si está en \( A \), en \( B \), o en ambos. Es decir, basta con que exista al menos un conjunto que contenga a \( x \) para que \( x \) esté en la unión.
- Intersección \( A \cap B \): un elemento \( x \) pertenece a la intersección si está tanto en \( A \) como en \( B \). Si \( x \) falta en alguno de los dos, no se encuentra en la intersección (y si no hay ningún elemento común, la intersección es el conjunto vacío).
Cuando pasamos de dos conjuntos a una familia entera, la lógica es la misma pero con más conjuntos:
- Para la unión generalizada, usamos la condición «para algún \( i \)» — basta con que \( x \) está en al menos uno de los \( A_i \). Es decir, existe algún \( A_i \) donde \( x \) está contenido. Podemos escribirlo como \( x \in A_i \) para algún \( A_i \), o equivalentemente como \( x \in A_i, \exists A_i \). Ahora bien, como cada \( A_i \) está determinado por su índice \( i \in I \), otra forma equivalente de escribirlo es: \( x \in A_i, \exists i \in I \).
- Para la intersección generalizada, usamos la condición «para todo \( i \)» — \( x \) debe estar en cada uno de los \( A_i \). Es decir, para todo \( A_i \) de la familia, \( x \) pertenece a ese conjunto. Podemos escribirlo como \( x \in A_i \) para todo \( A_i \), o equivalentemente como \( x \in A_i, \forall A_i \). Y como cada \( A_i \) está determinado por su índice \( i \in I \), otra forma equivalente es: \( x \in A_i, \forall i \in I \).
Las expresiones «para todo» ( \( \forall \) ) y «existe algún» ( \( \exists \) ) son cuantificadores lógicos que estudiamos en una publicación anterior sobre cuantificadores, valga la redundancia. Aquí los veremos aplicados directamente a conjuntos.
Sea \( \mathcal{F} = (A_i)_{i \in I} \) una familia indexada de subconjuntos de \( A \), tenemos las siguientes definiciones:
Unión generalizada \( \bigcup_{i \in I} A_i \)
La unión generalizada es la agrupación de todos los elementos que pertenecen a al menos un conjunto \( A_i \) de la familia:
\[ \bigcup_{i \in I} A_i = \{x \mid x \in A_i, \exists i \in I \} \]
Se lee: «la unión de los todos los \( A_i \) para algún \( i \) perteneciente a \( I \)».
Conexión con la lógica: El cuantificador existencial \( \exists \) es exactamente el que usamos para la disyunción. Al igual que \( A \cup B = \{x \mid x \in A \vee x \in B\} \), la unión generalizada usa \( \exists \) para expresar «al menos uno», lo que implica que tal vez podría estar en dos, tres o en todos los conjuntos opcionalmente.
Intersección generalizada \( \bigcap_{i \in I} A_i \)
La intersección generalizada es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de la familia al mismo tiempo:
\[ \bigcap_{i \in I} A_i = \{ x \mid x \in A_i, \forall i \in I \} \]
Se lee: «la intersección todos los \( A_i \), para todo \( i \) perteneciente a \( I \)».
Conexión con la lógica: El cuantificador universal \( \forall \) corresponde a la conjunción. Así como \( A \cap B = \{x \mid x \in A \wedge x \in B\} \), la intersección generalizada exige pertenencia a todos.
Resumen comparativo
| Operación | Símbolo | Condición de pertenencia | Conector lógico |
|---|---|---|---|
| Unión | \( \bigcup_{i \in I} A_i \) | \( x \mid x \in A_i, \exists i \in I \) | \( \exists \) (al menos uno) |
| Intersección | \( \bigcap_{i \in I} A_i \) | \( x \mid x \in A_i, \forall i \in I \) | \( \forall \) (todos) |
Casos particulares: familia finita
Creo que lo entenderán mejor cuando el índice \( i \) está contenido en un conjunto de numeros naturales finitos \( I = \{1, 2, \dots, n\} \):
\[ \bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \]
\[ \bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \]
Estas son simplemente las uniones e intersecciones encadenadas del capítulo anterior, expresadas de forma compacta.
Ejemplo ilustrativo 3
Sea \( I = \{1, 2, 3\} \) con:
- \( A_1 = \{1, 2, 3, 4\} \)
- \( A_2 = \{2, 4, 6, 8\} \)
- \( A_3 = \{1, 3, 4, 7\} \)
Unión: \( \bigcup_{i=1}^{3} A_i = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8\} \) — todo elemento que aparece en al menos uno.
Intersección: Para cada candidato verificamos si está en los tres:
| \( x \) | \( x \in A_1 \)? | \( x \in A_2 \)? | \( x \in A_3 \)? | \( x \in \bigcap A_i \)? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ |
| 2 | ✓ | ✓ | ✗ | ✗ |
| 3 | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ |
| 4 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
\( \therefore \bigcap_{i=1}^{3} A_i = \{4\} \)
Caso especial: familia de dos conjuntos
Si \( I = \{1, 2\} \), las operaciones generalizadas coinciden exactamente con las del capítulo anterior:
\[ \bigcup_{i=1}^{2} A_i = A_1 \cup A_2 \qquad \bigcap_{i=1}^{2} A_i = A_1 \cap A_2 \]
Las operaciones generalizadas son, literalmente, una extensión de las que ya conoces.
Familias infinitas: ejemplo con sucesión
Sea \( A_n = \left[0, \dfrac{1}{n} \right] \) para \( n \in \mathbb{N}^+ \). Es decir: \( A_1 = [0,1] \), \( A_2 = [0, \tfrac{1}{2}] \), \( A_3 = [0, \tfrac{1}{3}] \), y así sucesivamente. Los conjuntos se van «encogiendo» hacia el cero.
- Unión: \( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = [0, 1] \) — el más grande los contiene a todos.
- Intersección: \( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \{0\} \) — el único elemento que pertenece a todos es el 0.
Este ejemplo muestra cómo las operaciones generalizadas permiten analizar comportamientos límite de sucesiones de conjuntos — algo que no sería posible con la notación binaria \( A \cup B \).
Propiedades de las operaciones generalizadas
Todas las propiedades del capítulo anterior se generalizan de forma natural:
| Propiedad | Unión generalizada | Intersección generalizada |
|---|---|---|
| Monotonía | \( A_j \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i \) para todo \( j \in I \) | \( \bigcap_{i \in I} A_i \subseteq A_j \) para todo \( j \in I \) |
| Caso familia unitaria | \( \bigcup_{i \in \{j\}} A_i = A_j \) | \( \bigcap_{i \in \{j\}} A_i = A_j \) |
| Subfamilia | Si \( J \subseteq I \), entonces \( \bigcup_{j \in J} A_j \subseteq \bigcup_{i \in I} A_i \) | Si \( J \subseteq I \), entonces \( \bigcap_{i \in I} A_i \subseteq \bigcap_{j \in J} A_j \) |
Leyes de De Morgan generalizadas
En el capítulo anterior vimos que:
\[ (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \qquad \text{y} \qquad (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \]
Estas leyes se generalizan de forma exacta a familias de cualquier tamaño:
Ley 1: \( \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)’ = \bigcap_{i \in I} A_i’ \)
El complemento de la unión generalizada es la intersección de los complementos.
Ley 2: \( \left(\bigcap_{i \in I} A_i\right)’ = \bigcup_{i \in I} A_i’ \)
El complemento de la intersección generalizada es la unión de los complementos.
Demostración de la Ley 1
Demostraremos que \( \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)’ = \bigcap_{i \in I} A_i’ \) usando equivalencias lógicas.
Sea \( x \) un elemento cualquiera del universo \( U \):
\( x \in \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right)’ \)
\( \iff x \notin \bigcup_{i \in I} A_i \) — definición de complemento
\( \iff \neg \bigl(x \in A_i, \exists i \in I\bigr) \) — definición de unión generalizada
\( \iff x \notin A_i, \forall i \in I \) — negación del cuantificador existencial: \( \neg \exists \equiv \forall \)
\( \iff x \in A_i’, \forall i \in I \) — definición de complemento
\( \iff x \in \bigcap_{i \in I} A_i’ \) — definición de intersección generalizada ∎
Como cada paso es una equivalencia (\( \iff \)), la prueba de la Ley 2 es análoga, intercambiando los roles de \( \exists \) y \( \forall \).
Ejemplo. Sea \( U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( A_1 = \{1, 2, 3\} \), \( A_2 = \{3, 4, 5\} \).
- \( A_1 \cup A_2 = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), por lo que \( (A_1 \cup A_2)’ = \{6\} \)
- \( A_1′ = \{4, 5, 6\} \), \( A_2′ = \{1, 2, 6\} \), por lo que \( A_1′ \cap A_2′ = \{6\} \) ✓
Propiedades distributivas generalizadas
En el capítulo anterior vimos que la intersección se distribuye sobre la unión (y viceversa) para dos conjuntos. Esas leyes se extienden de forma natural a familias de cualquier tamaño.
Enunciado
Sea \( E \) un conjunto cualquiera y \( (A_i)_{i \in I} \) una familia indexada. Entonces:
| Código | Propiedad | Nombre |
|---|---|---|
| FD.1 | \( E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \) | Distributiva de \( \cap \) sobre \( \bigcup \) |
| FD.2 | \( E \cup \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} (E \cup A_i) \) | Distributiva de \( \cup \) sobre \( \bigcup \) |
| FD.3 | \( E \cap \left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) = \bigcap_{i \in I} (E \cap A_i) \) | Distributiva de \( \cap \) sobre \( \bigcap \) |
| FD.4 | \( E \cup \left(\bigcap_{i \in I} A_i\right) = \bigcap_{i \in I} (E \cup A_i) \) | Distributiva de \( \cup \) sobre \( \bigcap \) |
Conexión con la lógica: Estas propiedades heredan directamente las leyes distributivas de los conectivos lógicos. Por ejemplo, FD.1 corresponde a \( p \wedge (q_1 \vee q_2 \vee \cdots) \iff (p \wedge q_1) \vee (p \wedge q_2) \vee \cdots \).
Demostración de FD.1
Demostraremos por doble inclusión que \( E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \).
(I) \( E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \subseteq \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \):
(1) Sea \( x \in E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \) — hipótesis
(2) \( \implies x \in E \wedge x \in \bigcup_{i \in I} A_i \) — definición de \( \cap \)
(3) \( \implies x \in E \wedge (x \in A_i, \exists i \in I) \) — definición de \( \bigcup \)
(4) \( \implies x \in E \wedge x \in A_i, \exists i \in I \) — \( x \in E \) no depende de \( i \)
(5) \( \implies x \in (E \cap A_i), \exists i \in I \) — definición de \( \cap \)
(6) \( \implies x \in \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \) — definición de \( \bigcup \)
(7) \( \therefore E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \subseteq \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \) — de (1) y (6)
(II) \( \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \subseteq E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \):
(8) Sea \( x \in \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \) — hipótesis
(9) \( \implies x \in (E \cap A_i), \exists i \in I \) — definición de \( \bigcup \)
(10) \( \implies x \in E \wedge x \in A_i, \exists i \in I \) — definición de \( \cap \)
(11) \( \implies x \in E \wedge (x \in A_i, \exists i \in I) \) — se extrae \( x \in E \) (no depende de \( i \))
(12) \( \implies x \in E \wedge x \in \bigcup_{i \in I} A_i \) — definición de \( \bigcup \)
(13) \( \implies x \in E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \) — definición de \( \cap \)
(14) \( \therefore \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \subseteq E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \) — de (8) y (13)
De (I) y (II): \( E \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} (E \cap A_i) \). ∎
Las demostraciones de FD.2, FD.3 y FD.4 siguen el mismo esquema de doble inclusión, intercambiando los cuantificadores y conectivos según corresponda.
Ejemplo
Sea \( E = \{1, 2, 3\} \), \( A_1 = \{2, 4, 6\} \), \( A_2 = \{1, 3, 5\} \), \( A_3 = \{3, 6, 9\} \).
Verifiquemos FD.1: \( E \cap \left(\bigcup_{i=1}^{3} A_i\right) = \bigcup_{i=1}^{3} (E \cap A_i) \)
Lado izquierdo:
\( \bigcup_{i=1}^{3} A_i = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9\} \)
\( E \cap \{1,2,3,4,5,6,9\} = \{1, 2, 3\} \)
Lado derecho:
- \( E \cap A_1 = \{1,2,3\} \cap \{2,4,6\} = \{2\} \)
- \( E \cap A_2 = \{1,2,3\} \cap \{1,3,5\} = \{1, 3\} \)
- \( E \cap A_3 = \{1,2,3\} \cap \{3,6,9\} = \{3\} \)
- \( \bigcup_{i=1}^{3} (E \cap A_i) = \{2\} \cup \{1,3\} \cup \{3\} = \{1, 2, 3\} \)
Ambos lados coinciden ✓
Cubrimiento de un conjunto
Una de las aplicaciones importantes de las familias es el concepto de cubrimiento (o recubrimiento). Informalmente, un cubrimiento de un conjunto \( X \) es una familia de subconjuntos que, al unirlos todos, forman exactamente \( X \). Los conjuntos de la familia pueden solaparse, es decir, tener elementos en común.
Definición
Una familia \( (A_i)_{i \in I} \) de subconjuntos de \( X \) es un cubrimiento (o recubrimiento) de \( X \) si:
\[ \bigcup_{i \in I} A_i = X \]
Ejemplo. Sea \( X = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) y consideremos la familia \( A_1 = \{1, 3\} \), \( A_2 = \{2, 3, 5\} \), \( A_3 = \{4\} \). Verifiquemos elemento por elemento:
- \( 1 \in A_1 \) ✓
- \( 2 \in A_2 \) ✓
- \( 3 \in A_1 \) y también \( 3 \in A_2 \) (puede estar en más de uno) ✓
- \( 4 \in A_3 \) ✓
- \( 5 \in A_2 \) ✓
Como cada elemento de \( X \) aparece en al menos uno de los \( A_i \), la unión los reconstruye: \( A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{1, 2, 3, 4, 5\} = X \). Por lo tanto, la familia sí cubre a \( X \). ✓
Ahora, ¿qué pasa si quitamos \( A_3 \)? La familia sería solo \( A_1 = \{1, 3\} \) y \( A_2 = \{2, 3, 5\} \). En este caso, \( A_1 \cup A_2 = \{1, 2, 3, 5\} \neq X \), porque el elemento \( 4 \) no aparece en ningún subconjunto. Al faltar un solo elemento, la familia ya no cubre a \( X \). ✗
Es decir, todo elemento de \( X \) pertenece a al menos uno de los \( A_i \). No se exige que sean disjuntos.
Partición de un conjunto
Un caso especial y más estricto del cubrimiento es la partición. Intuitivamente, particionar un conjunto es dividirlo en «trozos» que no se solapan y que juntos cubren el todo. La diferencia con el cubrimiento es que aquí se exige que los conjuntos sean disjuntos dos a dos y no vacíos.
Definición
Una familia \( (A_i)_{i \in I} \) de subconjuntos no vacíos de \( X \) es una partición de \( X \) si satisface dos condiciones simultáneamente:
- Disjunta dos a dos: \( i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset \)
- Cubre a \( X \): \( \bigcup_{i \in I} A_i = X \)
En el diagrama, \( X \) queda cubierto por completo y sin superposiciones — eso es exactamente una partición.
Ejemplos
1. Sea \( X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). La familia:
\[ A_1 = \{1, 2\}, \quad A_2 = \{3, 4\}, \quad A_3 = \{5, 6\} \]
es una partición de \( X \) porque:
- Los tres conjuntos son no vacíos ✓
- Son disjuntos dos a dos: \( A_1 \cap A_2 = A_1 \cap A_3 = A_2 \cap A_3 = \emptyset \) ✓
- Su unión es \( X \): \( A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{1,2,3,4,5,6\} = X \) ✓
2. Los enteros \( \mathbb{Z} \) se pueden particionar en pares e impares:
\[ \mathbb{Z} = \underbrace{\{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}}_{\text{pares}} \cup \underbrace{\{\dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\}}_{\text{impares}} \]
3. La familia \( A_1 = \{1, 2, 3\} \), \( A_2 = \{3, 4, 5\} \) sobre \( X = \{1,2,3,4,5\} \) no es una partición, porque \( A_1 \cap A_2 = \{3\} \neq \emptyset \) ✗ (no son disjuntos).
Número de particiones: los números de Bell
¿De cuántas formas se puede particionar un conjunto de \( n \) elementos? Esa cantidad es el \( n \)-ésimo número de Bell, denotado \( B_n \):
| \( n \) | \( B_n \) | Particiones de \( \{1, \dots, n\} \) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | \( \{\emptyset\} \) (la partición vacía) |
| 1 | 1 | \( \{\{1\}\} \) |
| 2 | 2 | \( \{\{1\},\{2\}\} \) y \( \{\{1,2\}\} \) |
| 3 | 5 | \( \{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \} \), \( \{ \{1,2\}, \{3\} \} \), \( \{ \{1,3\}, \{2\} \} \), \( \{ \{2,3\}, \{1\} \} \), \( \{ \{1,2,3\} \} \) |
| 4 | 15 | — |
| 5 | 52 | — |
Los números de Bell se calculan mediante la recurrencia:
\[ B_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} B_i \]
reflejando cómo crecen rápidamente al aumentar el número de elementos.
El estudio detallado de los números de Bell y su cálculo requiere conocimientos de sucesiones y series, temas que se abordarán en una publicación más avanzada sobre familias de conjuntos.
Comparación partición vs. cubrimiento:
| Condición | Partición | Cubrimiento |
|---|---|---|
| \( \bigcup A_i = X \) (cubre todo) | ✓ | ✓ |
| \( A_i \cap A_j = \emptyset \) (sin solapamientos) | ✓ | No necesariamente |
| \( A_i \neq \emptyset \) (todos no vacíos) | ✓ | No necesariamente |
Ejemplo. Sea \( X = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), \( A_1 = \{1, 2, 3\} \), \( A_2 = \{3, 4, 5\} \).
- \( A_1 \cup A_2 = X \) → es un cubrimiento ✓
- \( A_1 \cap A_2 = \{3\} \neq \emptyset \) → no es una partición ✗
Resumen
| Concepto | Definición |
|---|---|
| Familia de conjuntos | Colección cuyos elementos son conjuntos |
| Familia indexada | Función \( f: I \to \mathcal{P}(X) \); se escribe \( (A_i)_{i \in I} \) |
| Subfamilia | Restricción de la familia a un subíndice \( J \subseteq I \) |
| Familia disjunta dos a dos | \( i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset \) |
| Unión generalizada | \( \bigcup_{i \in I} A_i = \{ x \mid x \in A_i, \exists i \in I \} \) |
| Intersección generalizada | \( \bigcap_{i \in I} A_i = \{ x \mid x \in A_i, \forall i \in I \} \) |
| De Morgan generalizado | \( (\bigcup A_i)’ = \bigcap A_i’ \) y \( (\bigcap A_i)’ = \bigcup A_i’ \) |
| Distributivas generalizadas | \( E \cap (\bigcup A_i) = \bigcup (E \cap A_i) \) y análogas |
| Partición | Familia disjunta dos a dos que cubre a \( X \) completamente |
| Cubrimiento | Familia cuya unión es \( X \) (sin requerir disjunción) |
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1. Sea \( U = \mathbb{Z} \). Para cada \( n \in \mathbb{N}^+ \), definir \( A_n = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -n \leq x \leq n \} \). Determinar \( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \) y \( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \).
Solución:
Los conjuntos son: \( A_1 = \{ -1, 0, 1 \} \), \( A_2 = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} \), \( A_3 = \{ -3, \dots, 3 \} \), y así sucesivamente — cada uno contiene al anterior.
- Unión: \( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \mathbb{Z} \), porque todo entero \( x \) pertenece a \( A_{n=x} \) (o a \( A_1 \) si \( x = 0 \)). ✓
- Intersección: \( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = A_1 = \{ -1, 0, 1 \} \), porque \( A_1 \subseteq A_n \) para todo \( n \), y \( A_1 \) es el más pequeño. ✓
Ejercicio 2. Sea \( U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \} \). Definimos:
- \( A_1 = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
- \( A_2 = \{ 4, 5, 6, 7 \} \)
- \( A_3 = \{ 6, 7, 8, 9, 10 \} \)
Determinar:
- (a) \( \bigcup_{i=1}^{3} A_i \)
- (b) \( \bigcap_{i=1}^{3} A_i \)
- (c) Verificar la Ley de De Morgan: \( \left(\bigcup_{i=1}^{3} A_i\right)’ = \bigcap_{i=1}^{3} A_i’ \).
Solución:
(a)
- \( \bigcup_{i=1}^{3} A_i = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \} = U \)
- Para la intersección, buscamos elementos en los tres conjuntos a la vez:
- \( 4 \in A_1, 4 \in A_2 \) pero \( 4 \notin A_3 \) ✗
- \( 6 \in A_2, 6 \in A_3 \) pero \( 6 \notin A_1 \) ✗
- No hay ningún elemento en los tres simultáneamente.
- \( \bigcap_{i=1}^{3} A_i = \emptyset \)
(b) Verificación de De Morgan:
- \( \left(\bigcup A_i\right)’ = U’ = \emptyset \)
- \( A_1′ = \{ 6,7,8,9,10 \} \), \( A_2′ = \{ 1,2,3,8,9,10 \} \), \( A_3′ = \{ 1,2,3,4,5 \} \)
- \( \bigcap_{i=1}^{3} A_i’ = \{ 6,7,8,9,10 \} \cap \{ 1,2,3,8,9,10 \} \cap \{ 1,2,3,4,5 \} = \emptyset \) ✓
Ejercicio 3. Determinar cuáles de las siguientes familias son particiones de \( X = \{ a, b, c, d, e, f \} \). Justifica cada respuesta.
(a) \( \mathcal{F}_1 = \{ \{ a,b \}, \{ c,d \}, \{ e,f \} \} \)
(b) \( \mathcal{F}_2 = \{ \{ a,b,c \}, \{ c,d,e \}, \{ f \} \} \)
(c) \( \mathcal{F}_3 = \{ \{ a,b,c \}, \{ d,e \} \} \)
Solución:
(a) \( \mathcal{F}_1 \):
- Todos no vacíos ✓
- Disjuntos dos a dos ✓
- Unión: \( \{ a,b \} \cup \{ c,d \} \cup \{ e,f \} = X \) ✓
- Es una partición ✓
(b) \( \mathcal{F}_2 \):
- \( \{ a,b,c \} \cap \{ c,d,e \} = \{ c \} \neq \emptyset \) ✗
- No es una partición (los dos primeros conjuntos se solapan en \( c \)).
(c) \( \mathcal{F}_3 \):
- Todos no vacíos ✓, disjuntos ✓
- Unión: \( \{ a,b,c \} \cup \{ d,e \} = \{ a,b,c,d,e \} \neq X \) ✗ (falta \( f \))
- No es una partición (no cubre todo \( X \)).
Ejercicio 4. Sea la familia \( (A_i)_{1 \leq i \leq 4} \) donde \( A_i = \{x \in \mathbb{N} \mid i \leq x \leq 2i\} \).
- (a) Determinar cada miembro de la familia.
- (b) Halla \( \bigcup_{i=1}^{4} A_i \) y \( \bigcap_{i=1}^{4} A_i \).
- (c) Halla \( (A_3 – A_1) \cap A_4 \).
- (d) ¿Es esta familia disjunta dos a dos?
Solución:
(a) Calculamos cada conjunto:
- \( A_1 = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \leq x \leq 2\} = \{1, 2\} \)
- \( A_2 = \{x \in \mathbb{N} \mid 2 \leq x \leq 4\} = \{2, 3, 4\} \)
- \( A_3 = \{x \in \mathbb{N} \mid 3 \leq x \leq 6\} = \{3, 4, 5, 6\} \)
- \( A_4 = \{x \in \mathbb{N} \mid 4 \leq x \leq 8\} = \{4, 5, 6, 7, 8\} \)
(b)
- \( \bigcup_{i=1}^{4} A_i = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \)
- Para la intersección, verificamos qué elementos están en los cuatro conjuntos. Ningún elemento aparece en los cuatro (por ejemplo, \( 1 \in A_1 \) pero \( 1 \notin A_2 \); \( 4 \in A_2 \cap A_3 \cap A_4 \) pero \( 4 \notin A_1 \)).
- \( \bigcap_{i=1}^{4} A_i = \emptyset \)
(c) \( A_3 – A_1 = \{3,4,5,6\} – \{1,2\} = \{3,4,5,6\} \)
\( (A_3 – A_1) \cap A_4 = \{3,4,5,6\} \cap \{4,5,6,7,8\} = \{4, 5, 6\} \)
(d) No, porque \( A_1 \cap A_2 = \{2\} \neq \emptyset \). Basta un par no disjunto para que la familia no sea disjunta dos a dos.
Ejercicio 5. Sea la familia \( (A_i)_{1 \leq i \leq 5} \) donde \( A_i = \{x + 1 \mid x \in \mathbb{N},; x \leq i\} \) con \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} \).
- (a) Determinar \( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 \).
- (b) Halla \( A_1 \cap A_3 \cap A_5 \).
- (c) Halla \( (A_5 – A_3) \cap (A_4 – A_1) \).
- (d) Halla \( (A_1 – A_3) \cap (A_1 \cup A_2) \).
Solución:
(a) \( A_1 = \{2\} \), \( A_2 = \{2, 3\} \), \( A_3 = \{2, 3, 4\} \), \( A_4 = \{2, 3, 4, 5\} \), \( A_5 = \{2, 3, 4, 5, 6\} \).
Observa que la familia es anidada: \( A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset A_4 \subset A_5 \).
(b) Como \( A_1 \subset A_3 \subset A_5 \), la intersección es el menor: \( A_1 \cap A_3 \cap A_5 = A_1 = \{2\} \).
(c) \( A_5 – A_3 = \{5, 6\} \) y \( A_4 – A_1 = \{3, 4, 5\} \).
\( (A_5 – A_3) \cap (A_4 – A_1) = \{5,6\} \cap \{3,4,5\} = \{5\} \)
(d) \( A_1 – A_3 = \emptyset \) (porque \( A_1 \subset A_3 \)).
\( \emptyset \cap (A_1 \cup A_2) = \emptyset \) — por la propiedad I.2. ✓
Ejercicio 6. Sea \( E = \{1, 2, 3, 4\} \), \( A_1 = \{2, 4, 6\} \), \( A_2 = \{1, 3, 5\} \), \( A_3 = \{3, 4, 7\} \).
Verificando la propiedad distributiva FD.1: \( E \cap \left(\bigcup_{i=1}^{3} A_i\right) = \bigcup_{i=1}^{3} (E \cap A_i) \).
Solución:
Lado izquierdo:
- \( \bigcup_{i=1}^{3} A_i = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)
- \( E \cap \{1,2,3,4,5,6,7\} = \{1, 2, 3, 4\} \)
Lado derecho:
- \( E \cap A_1 = \{1,2,3,4\} \cap \{2,4,6\} = \{2, 4\} \)
- \( E \cap A_2 = \{1,2,3,4\} \cap \{1,3,5\} = \{1, 3\} \)
- \( E \cap A_3 = \{1,2,3,4\} \cap \{3,4,7\} = \{3, 4\} \)
- \( \bigcup_{i=1}^{3} (E \cap A_i) = \{2,4\} \cup \{1,3\} \cup \{3,4\} = \{1, 2, 3, 4\} \)
Ambos lados coinciden ✓
Ejercicio 7. Prueba que si \( (A_i)_{i \in I} \) es una familia disjunta dos a dos, entonces: \[ n \! \left ( \bigcup_{i \in I} A_i \right ) = \sum_{i \in I} n(A_i) \] (cuando \( I \) es finito y todos los conjuntos son finitos).
Prueba:
Como la familia es disjunta dos a dos, ningún elemento pertenece a más de un \( A_i \). Por lo tanto, al contar los elementos de \( \bigcup A_i \), cada elemento se cuenta exactamente una vez, en el único conjunto al que pertenece. Esto es precisamente lo que dice la suma \( \sum_{i \in I} n(A_i) \). ∎
Esta propiedad es la versión generalizada del principio de adición: si los conjuntos son disjuntos, sus cardinales simplemente se suman. Cuando no son disjuntos, se necesita el principio de inclusión-exclusión del capítulo anterior.
Sin embargo, existe una demostración más compacta y formal que utiliza el método de inducción matemática. Aunque este tema será desarrollado en próximas publicaciones, lo presentamos aquí como último ejercicio a modo de adelanto.
Demostración por inducción sobre \( |I| = k \):
Caso base: \( k = 2 \). Tenemos \( I = \{i_1, i_2\} \) con \( A_{i_1} \cap A_{i_2} = \emptyset \). Por el principio de inclusión-exclusión:
\[ n(A_{i_1} \cup A_{i_2}) = n(A_{i_1}) + n(A_{i_2}) – n(A_{i_1} \cap A_{i_2}) \]
Como son disjuntos, \( n(A_{i_1} \cap A_{i_2}) = 0 \), entonces:
\[ n(A_{i_1} \cup A_{i_2}) = n(A_{i_1}) + n(A_{i_2}) \; ✓ \]
Hipótesis de inducción. Supongamos que para cualquier familia disjunta dos a dos de \( k \) conjuntos se cumple:
\[ n\!\left(\bigcup_{j=1}^{k} A_{i_j}\right) = \sum_{j=1}^{k} n(A_{i_j}) \]
Paso inductivo: de \( k \) a \( k+1 \). Sea \( I = \{i_1, \ldots, i_k, i_{k+1}\} \). Definimos:
\[ B = \bigcup_{j=1}^{k} A_{i_j} \]
Entonces la unión total es \( B \cup A_{i_{k+1}} \).
Son \( B \) y \( A_{i_{k+1}} \) disjuntos? Sí, porque si existiera \( x \in B \cap A_{i_{k+1}} \), entonces \( x \in A_{i_j} \) para algún \( j \leq k \), lo que contradiría que la familia es disjunta dos a dos.
Aplicando el caso base a \( B \) y \( A_{i_{k+1}} \):
\[ n\!\left(B \cup A_{i_{k+1}}\right) = n(B) + n(A_{i_{k+1}}) \]
Aplicando la hipótesis de inducción a \( B \):
\[ n(B) = \sum_{j=1}^{k} n(A_{i_j}) \]
Combinando ambos:
\[ n\!\left(\bigcup_{j=1}^{k+1} A_{i_j}\right) = \sum_{j=1}^{k} n(A_{i_j}) + n(A_{i_{k+1}}) = \sum_{j=1}^{k+1} n(A_{i_j}) \; ✓ \]
Por inducción, el resultado vale para todo \( |I| = k \) finito. \( \blacksquare \)
El método de inducción matemática y las series (como \( \sum \)) son temas que se desarrollarán en próximas publicaciones. Por ahora, este ejercicio sirve como una primera exposición a estas herramientas.
¿Qué viene después?
Las familias de conjuntos son la base para dos de los conceptos más importantes de toda la matemática: las relaciones y las funciones. Una relación entre dos conjuntos \( A \) y \( B \) es un subconjunto del producto cartesiano \( A \times B \), y una función es un tipo especial de relación. En el próximo capítulo construiremos esas ideas desde cero.
¿Te quedó alguna duda sobre familias, particiones u operaciones generalizadas? Déjala en los comentarios — y no olvides revisar la publicación anterior sobre teoría de conjuntos si necesitas repasar las operaciones binarias.