Hola amigos, hoy continuaremos una nueva sección de teoría de conjuntos y discutiremos la relación de conjuntos, entre ellas, la inclusión de conjuntos. También haremos uso de las cuantificadores que estudiamos en la sección anterior. Sin mas que decir, comencemos.

Que entendemos por relación entre conjuntos

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Las relaciones de conjuntos sucede cuando existen ciertos conjuntos que tiene algo en común y que cumplen una propiedad específica en común o como también puede ser por el número de elementos que pueden tener los conjuntos que queremos comprar. La relación de conjuntos no es mas que una comparación entre conjuntos según las cualidades que le asignemos, si es que existen.

Bajo este punto se puede clasificar tipos de conjuntos y una de ellas es la inclusión, también hay otras relaciones como conjuntos iguales o conjuntos equivalentes, entre otros, veamos cada uno de ellos.

Conjuntos iguales

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También se le llama relación de igualdad, llamamos conjuntos iguales o idénticos si y sólo si dos conjuntos \( A \) y \( B \) tienen los mismos elementos y lo expresamos de la siguiente manera:

\[ \mathrm{A} = \mathrm{B} \Leftrightarrow x \in \mathrm{A} \leftrightarrow x \in \mathrm{B} \]

Donde \( x \) es un elemento de \( \mathrm{A} \) o elemento de \( \mathrm{B} \). Para indicar que los conjuntos no son iguales, simplemente lo denotamos como \( \mathrm{A} \neq \mathrm{B} \) donde:

\[ \mathrm{A} \neq \mathrm{B} \Leftrightarrow x \in \mathrm{A} \nleftrightarrow x \in \mathrm{B}  \]

El símbolo \( \leftrightarrow \) indica que es una disyunción exclusiva. La razón de este símbolo para este tipo de disyunción es que es equivalente a la negación de la bicondicional.

Ejemplos

1. \( \mathrm{A} = \left \{ 3/4, 2, b^2 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ 6/8, 2, 2, b \cdot b \right \} \).
   Estos conjuntos son iguales ¿por qué?, simple, porque \( 3/4 = 6/8 \), indican un mismo elemento para \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \); repetir el número 2 varias veces en \( \mathrm{B} \) solo indica un único elemento 2 de \( \mathrm{A} \) y \( b^2 = b \cdot b \) para \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), por tanto, los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son iguales.
   Otra manera de explicarlo es por medio de la inclusión de subconjunto, pero esto lo veremos en apartados siguientes.
2. \( \mathrm{A} = \left \{ 3, 6, 9 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathbb{N} | 0 < x/3 < 4 \right \} \).
   Estos conjuntos son iguales ya que el conjunto \( \mathrm{A} \) esta escrito por extensión y \( \mathrm{B} \) por comprensión.
3. \( \mathrm{A} = \left \{ 2, -3 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathbb{R} | x^2 + x – 6 = 0 \right \} \).Resolviendo la ecuación del conjunto \( \mathrm{B}  \), \( x^2 + x – 6 = 0 \), resulta \( x = 2 \) ó \( x = -3 \) y estos son los elementos de \( \mathrm{A} \), por tanto, los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son iguales.
4. \( \mathrm{A} = \left \{ 6, 2, 8, 1 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ 2, 6, 1, 8 \right \} \), estos conjuntos también son iguales sin importar el orden de los elementos, en este caso se cumple que \( \mathrm{A} = \mathrm{B} \).

Propiedades

Las propiedades de conjuntos iguales son 3 y son:

• \( \mathrm{A} = \mathrm{A} \) (Reflexiva).
• \( \mathrm{A} = \mathrm{B} \Leftrightarrow \mathrm{B} = \mathrm{A} \) (Simétrica).
• \( \mathrm{A} = \mathrm{B} \) y \( \mathrm{B} = \mathrm{C} \), entonces \( \mathrm{A} = \mathrm{C}  \) (Transitiva).

Diagramas de Venn Euler en la igualdad de conjuntos

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Tomaremos el ejemplo 1 de conjuntos iguales, esto son \( \mathrm{A} = \left \{ 3/4, 2, b^2 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ 6/8, 2, 2, b \cdot b \right \} \) y veámoslo en un diagrama de Venn.

Si el elemento 2 se repite dos veces en el conjunto \( \mathrm{B} \), estaríamos hablando de un mismo único elemento que hay en \( \mathrm{A} \); los elementos \( b^2 \) de \( \mathrm{A} \) es el mismo elemento en \( \mathrm{B} \) escrito como una multiplicación \( b \cdot b \) y \( 3/4 = 6/8 \) es un mismo elemento para \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \). Estos diagramas de Venn muestran los mismos elementos de los conjuntos dados, de hecho, solo hay 3 elementos únicamente.

Conjuntos equivalentes o coordinables

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Dos conjuntos no vacíos son equivalentes o coordinables si tienen los mismos números de elementos independientemente si los elementos de tales conjuntos son los mismos o no. También se dice que dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son equivalentes si tiene correspondencia biunívoca (relación de uno a uno) entre todos sus elementos, en otras palabras, que es posible formar parejas de un elemento de un conjunto con todos los elementos de otro conjunto una sola vez.

Habíamos visto que dos conjuntos son iguales usando el símbolo igual así \( \mathrm{A} = \mathrm{B} \), para denotar que dos conjuntos son equivalentes, lo expresaremos así \( \mathrm{A} \equiv \mathrm{B} \).

Ejemplos

1. Sean los conjuntos \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ a, b \right \} \), una relación biunívoca sería así:

\( 1 \longleftrightarrow a \)	\( 1 \longleftrightarrow b \)
\( 2 \longleftrightarrow b  \)	\( 2 \longleftrightarrow a \)

Como se habrán dado cuenta, cada elemento de \( \mathrm{A} \) le corresponde un único elemento de \( \mathrm{B} \) tal que \( \mathrm{B} \) le corresponde igualmente un unico elemento de \( \mathrm{A} \), si existiese un tercer conjunto \( \mathrm{C} = \left \{ a, b, c \right \} \), este no sería equivalente con \( \mathrm{A} \) ni \( \mathrm{B} \), ya que \( \mathrm{C} \) quedaría con un elemento sin correspondencia y el resto de sus elementos en correspondencia con \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), pero también podemos decir que el número de elementos de estos conjuntos son iguales.

Del párrafo anterior podemos concluir que:

1. \( \mathrm{A} = \mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{A} \equiv \mathrm{B} \).
2. \( \mathrm{A} \equiv \mathrm{B} \nRightarrow \mathrm{A} = \mathrm{B} \).

Esto significa que dos conjuntos iguales son equivalentes pero dos conjuntos equivalentes no necesariamente son iguales.

Subconjuntos de un conjunto

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Este tipo de relaciones se llaman relación de contenencia, en este caso decimos que un conjunto \( \mathrm{B} \) es subconjunto de otro conjunto \( \mathrm{A} \) si todos sus elementos de \( \mathrm{B} \) le pertenece al conjunto \( \mathrm{A} \), decimos entonces lo siguiente:

• \( \mathrm{B} \) está incluido en \( \mathrm{A} \)
• \( \mathrm{A} \) incluye a \( \mathrm{B} \)
• \( \mathrm{A} \) es superconjunto de \( \mathrm{B} \)
• \( \mathrm{B} \) está contenido en \( \mathrm{A} \)
• \( \mathrm{B} \) es subconjunto de \( \mathrm{A} \)
• \( \mathrm{B} \) es parte de \( \mathrm{A} \)

Simbólicamente se escribe \( \mathrm{B} \subset \mathrm{A} \) o \( \mathrm{A} \supset \mathrm{B} \). si cumple la siguiente equivalencia.

\[ \mathrm{B} \subset \mathrm{A} \Leftrightarrow x \in \mathrm{B} \rightarrow x \in \mathrm{A} \ \text{ó} \ \mathrm{B} \subset \mathrm{A} \Leftrightarrow \forall x \in \mathrm{B} | x \in \mathrm{A} \]

Para indicar que el conjunto \( \mathrm{B} \) no es subconjunto del conjunto \( \mathrm{A} \) lo escribimos de la siguiente manera:

\[ \mathrm{B} \nsubseteq \mathrm{A} \Leftrightarrow \exists x \in \mathrm{B} | x \notin \mathrm{A} \]

Por tanto tambien decimos que \( \mathrm{A} \) no es superconjunto de \( \mathrm{B} \) porque los elementos de \( \mathrm{B} \) no le pertenecen al conjunto \( \mathrm{A} \).

Ejemplos

Lo siguientes ejemplos que veremos no solo es para mostrar con más claridad la sencillez de este concepto, sino también para indicar una débil definición del concepto de subconjunto de otro conjunto especifico, pero veamos los siguientes ejemplos:

1. Sean los conjuntos \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2, 3 \right \} \), \( \mathrm{B} = \left \{ a, b, c, 1, 2, 3 \right \} \).
   Es obvio que los elementos de \( \mathrm{A} \) también lo contienen en \( \mathrm{B} \), este caso escribimos \( \mathrm{A} \subset \mathrm{B} \); en caso contrario, como hay elementos de \( \mathrm{B} \) que no los contiene \( \mathrm{A} \), simplemente lo escribimos \( \mathrm{A} \nsubset \mathrm{B}.
2. Definimos los siguientes conjuntos \( \mathrm{C} = \left \{ 1, 4, 9 \right \} \), \( \mathrm{D} = \left \{ 1, 2^2, 3^2 \right \} \).
   Como \( 4 = 2^2 \) y \( 9 = 3^2 \), entonces tratamos con los mismos elementos entre \( \mathrm{C} \) y \( \mathrm{D} \), es decir, los elementos de \( \mathrm{C} \) están contenidos en \( \mathrm{D} \) y los elementos de \( \mathrm{D} \) están contenidos en \( \mathrm{C} \) y podemos escribirlo así \( \mathrm{C} \subset \mathrm{D} \) ó \( \mathrm{D} \subset \mathrm{C} \).

Y aquí es donde quería aclarar un punto, la inclusión de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) no vacíos no indica si tratamos con conjuntos diferentes o iguales si no se indican sus elementos, simplemente no lo sabemos si tomamos el número de elementos y el tipo de elementos de manera incógnito. El siguiente apartado podemos resolver este inconveniente con el concepto de subconjunto propio.

Pero antes, con respecto al ejemplo II, podemos definir los conjuntos iguales usando el concepto de subconjunto de la siguiente manera:

Dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son iguales si el conjunto \( \mathrm{A} \)está contenido en \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{B} \) esta contenida en \( \mathrm{A} \), simbólicamente resulta así:

\[ \mathrm{A} = \mathrm{B} \Leftrightarrow \mathrm{A} \subset \mathrm{B} \wedge \mathrm{B} \subset \mathrm{A} \]

Subconjunto propio

Decimos que un conjunto \( \mathrm{A} \) es subconjunto propio de un conjunto \( \mathrm{B} \) si \( \mathrm{A} \) no solamente es subconjunto de \( \mathrm{B} \), sino también que \( \mathrm{A} \) sea diferente de \( \mathrm{B} \). Simbólicamente lo podemos escribir así:

\[ \mathrm{A} \subsetneq \mathrm{B} \Leftrightarrow \mathrm{A} \subset B \wedge \mathrm{A} \neq \mathrm{B} \]

En este caso, al escribirlo así \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \), puede darse la posibilidad de que los conjuntos sean iguales \( \mathrm{A} = \mathrm{B} \). Podríamos decir que si lo escribimos así \( \mathrm{A} \subset \mathrm{B} \), no podemos saber si se trata de un subconjunto propio o no ya que tal notación puede indicar \( \mathrm{A} \subset \mathrm{B} \) ó \( \mathrm{A} \subsetneq \mathrm{B} \).

De ahora en adelante usaremos el símbolo \( \subseteq \) y no \( \subset \) a menos que estemos obligados a indicar un subconjunto propio, usaremos el símbolo \( \subsetneq \).

Propiedades

1. Propiedad reflexiva

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

\[ \mathrm{A} \subseteq \mathrm{A} \]

Su equivalente sería:\( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{A} \Leftrightarrow \forall x \in \mathrm{A} | x \in \mathrm{A} \rightarrow x \in \mathrm{A} \)

Tener en cuenta que \( x \in \mathrm{A} \rightarrow x \in \mathrm{A} \) para la lógica proposicional, resulta ser una tautología. Si usamos el símbolo \( \subsetneq \), ocurriría lo siguiente:\( \mathrm{A} \subsetneq \mathrm{A} \Leftrightarrow \mathrm{A} \subset \mathrm{A} \wedge \mathrm{A} \neq \mathrm{A} \)

Lo cual es contradictorio porque \( \mathrm{A} \) no puede ser diferente de si mismo

2. Propiedad antisimetrica

Si un primer conjunto le pertenece a un segundo conjunto y este segundo conjunto le pertenece al primero, entonces dichos conjuntos son iguales.

\[ \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \wedge \mathrm{B} \subseteq \mathrm{A} \Leftrightarrow \mathrm{A} = \mathrm{B} \]

Si un primer conjunto le pertenece a un segundo conjunto y este segundo conjunto le pertenece al primero, entonces dichos conjuntos son iguales. Esta propiedad aplica al siguiente caso, si consideramos el símbolo \( \subsetneq \), entonces \( \mathrm{A} \subsetneq \mathrm{B} \wedge \mathrm{B} \subsetneq \mathrm{A} \) sería falsa.

¿Por qué? Si consideramos \( \mathrm{A} \subsetneq \mathrm{B} \) indica que \( \mathrm{A} \subset \mathrm{B} \) y \( \mathrm{A} \neq \mathrm{B} \), de aquí si infiere que \( \mathrm{B} \not \subset \mathrm{A} \) porque \( \mathrm{B} \) supera en número de elementos que \( \mathrm{A} \) contradiciendo a \( \mathrm{B} \subsetneq \mathrm{A}\) indicando erroneamente que lo incluye.

3. Propiedad transitiva

Si un primer conjunto esta incluido en un segundo conjunto y este a su vez está incluido en un tercero, entonces el primer conjunto esta incluido en el primer conjunto. Simbólicamente lo escribimos así:

\[ \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \wedge \mathrm{B} \subseteq \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{A} \subseteq \mathrm{C} \]

Naturalmente es cierta porque si \( x \in \mathrm{A} \) entonces \( x \in \mathrm{B} \) pero como se cumple que \( \mathrm{B} \subseteq \mathrm{C} \), y por la ley del silogismo hipotético, se cumple que \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{C} \)

4. Propiedad del conjunto vacio

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Simbólicamente se representa así:

\[ \forall \mathrm{A} | \phi \subseteq \mathrm{A} \]

Otra propiedad del conjunto vacío sería.

\[ \phi \subseteq \phi \]

El conjunto vació es subconjunto siempre de sí mismo. Si existiera un conjunto \( \mathrm{A} \) como subconjunto del conjunto vacío, entonces \( \mathrm{A} = \phi \) para todo conjunto de \( \mathrm{A} \).

Conjuntos disjuntos

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Dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son disjuntos cuando no tiene elementos en común. En este caso, debe cumplirse lo siguiente:

\( \mathrm{A} \) es disjunto con \( \mathrm{B} \) si \( \nexists x | x \in \mathrm{A} \wedge x \in \mathrm{B}  \)

Con esto indicamos que para que \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) sean disjuntos, entonces no debe existir un elemento que pertenezca a la vez a \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \).

También se puede escribir con una la intersección de dos conjuntos donde el resultado es el conjunto vacío, pero la intersección será la próxima sección del capitulo de teoria de conjuntos.

Ejemplos

• Tenemos los siguientes conjuntos \( \mathrm{A} = \left \{ 4, 8, 10 \right \} \); \( \mathrm{B} = \left \{ a, b, c \right \} \) y \( \mathrm{C} = \left \{ 1, 4, 8, 10, a, b, c, n, m \right \} \). Aquí podemos ver que los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) no tiene elementos en común, entonces decimos que \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son disjuntos, pero no son disjuntos con \( \mathrm{C} \), de hecho los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) están contenidos en \( \mathrm{C} \).
• \( \mathrm{A} = \left \{ x \in \mathbb{N} | x \ \mathrm{es \ par} \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathrm{N} | x \ \mathrm{es \ impar} \right \} \), estos conjuntos son disjuntos porque no existe un numero natural que sea a la vez par e impar.
• \( \mathrm{A} = \left \{ x \in \mathbb{N} |  x \ \mathrm{ es \ multiplo \ de } \ 2 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathbb{N} | x \ \mathrm{ es \ multiplo \ de} \ 3 \right \} \), estos conjuntos no son disjuntos porque pueden existir números que sean múltiplos entre 2 y 3 a la vez.

Conjuntos comparables

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Se llaman conjuntos comparables cuando un conjunto está incluido en otro. Si el conjunto \( \mathrm{A} \) y el conjunto \( \mathrm{B} \) son comparables si \( \mathrm{A} \) esta incluido en \( \mathrm{B} \) o \( \mathrm{B} \) esta incluido en \( \mathrm{A} \).

Ejemplos

• \( \mathrm{A} = \left \{ 4, 8, 10 \right \} \) y \( \mathrm{C} = \left \{ 1, 4, 8, 10, a, b, c, n, m \right \} \) son comparables porque \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{C} \).
• Los números naturales \( \mathbb{N} \) y los enteros \( \mathbb{Z} \) son comparables porque \( \mathbb{N} \subseteq \mathrm{Z} \).
• \( \mathrm{A} = \left \{4, 8, 10 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ 6, 4, 8 \right \} \) no son comparables porque \( \mathrm{A} \not \subset \mathrm{B} \) ni \( \mathrm{B} \not \subset \mathrm{A} \) a pesar de que tiene elementos en común, esto es, tampoco son conjuntos disjuntos.

Conjunto de conjunto

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Se dice conjunto de conjunto aquel conjunto que tiene como elementos únicamente a otros conjuntos, si por lo menos aquel conjunto que contiene otros conjuntos tiene por lo menos un elemento que no es conjunto, entonces no es un conjunto de conjuntos.

Ejemplos

• \( \mathrm{A} \left \{ \left \{ 4, 8 \right \}, \left \{ 10, 5  \right \} \right \} \), este conjunto es un conjunto de conjuntos.
• \( \mathrm{B} = \left \{ \left \{ 3, 8 \right \}, \left \{ 7, 5  \right \}, 2 \right \}  \), este conjunto no es un conjunto de conjuntos porque tiene un elemento que no es conjunto, en este caso al 2.

Conjunto potencia

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La potencia de un conjunto o conjunto de pares es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Como el conjunto potencia tiene como elementos a otros conjuntos, también resulta ser un conjunto de conjuntos. Simbólicamente se representa así:

\[ \mathrm{ P(A) = \left \{ X | X \subseteq A \right \} } \]

Donde \( \mathrm{ P(A) } \) indica al conjunto potencia de un conjunto dado \( \mathrm{A} \). No confundir con la potencia de conjuntos que tiene que ver con el producto cartesiano, este último lo veremos en un capítulo de relaciones en \( \mathbb{R} \).

Debe entenderse también que los elementos \( \mathrm{X} \) del conjunto potencia son los subconjuntos de un conjunto dado, en este caso, del conjunto \( \mathrm{A} \), simbolicamente lo podemos escribir así:

\[ \mathrm{ X \in P(A) \Leftrightarrow X \subseteq \mathrm{A}  } \]

Ejemplos

Sea el conjunto \( \mathrm{A} = \left \{ 0, 1, 2 \right \} \), el conjunto potencia sería:

\[ \mathrm{ P(A) } = \left \{ \phi, \left \{ 0 \right \}, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 2 \right \}, \left \{ 0, 1 \right \}, \left \{ 0, 2 \right \}, \left \{ 1, 2 \right \}, \mathrm{A} \right \} \]

Si contamos todos los subconjuntos que encontramos, nos da como resultado \( 2^3 \) subconjuntos, donde 3 indica el número de elementos de \( \mathrm{A} \). En general, para un conjunto de \( n \) elementos, encontramos \( 2^n \) subconjuntos incluyendo al conjunto vacío.

De aquí podemos decir que:

• \( \phi \in \mathrm{ P(A) } \)
• \( \left \{ 0 \right \} \in \mathrm{ P(A) } \)
• \( \left \{ 1, 2 \right \} \in \mathrm{ P(A) } \)
• \( \mathrm{ A \in P(A) } \)
• \( 1 \notin \mathrm{ P(A) } \)
• \( 0 \notin \mathrm{ P(A) } \)

Los números \( 0, 1 \) no son elementos del conjunto potencia \( \mathrm{ P(A) } \), ya que \( 0 \neq \left \{ 0 \right \} \) y \( 1 \neq \left \{ 1 \right \} \).

Propiedades

Aquí mostraré algunas propiedades del conjunto potencia pero sin demostrar, las demostraciones lo realizaremos en los ejercicios de teoría de conjuntos después de finalizar la sección de operaciones de conjuntos que publicaremos para la próxima sección.

Para cualquier conjunto \( \mathrm{A} \) se cumple las siguientes propiedades:

• \( \mathrm{A \subseteq B } \Leftrightarrow \mathrm{ P(A) \subseteq P(B) } \).
• \( \mathrm{ X \in P(A) \Leftrightarrow X \subseteq A } \) (ya lo habíamos mencionado en el primer apartado del conjunto potencia).
• \( \mathrm{A = B \Leftrightarrow P(A) = P(B) } \).

Fin de la sección actual

Como se habrán dado cuenta, el número de secciones del capítulo de teoría de conjuntos es menor que el de lógica proposicional, esto lo hice por cuestiones de SEO, pero mi intención en el capítulo de teoría de conjuntos es reducir el numero de publicaciones para no aburrirlos con tantas publicaciones innecesarias.

En cuanto a la sección actual, la sección de relaciones de conjuntos estará en constante actualización y modificaciones, el punto aquí es entender como se relaciona conjuntos con otros conjuntos, la próxima sección nos dedicaremos a las operaciones con conjuntos.

Esto sería todo queridos amigos, gracias por llegar hasta aquí, que tengan buen día, bye.