Hola amigos, hoy les traigo un tema que será auxiliarmente necesario en temas posteriores como la ley de composición interna, definición de los números racionales y reales, por mencionar algunos cuantos.

En esta oportunidad desarrollaremos las relaciones de equivalencia, un tipo de relación binaria que solo hicimos mención en la sección de relaciones binarias y tiene la propiedad de clasificar los elementos de un conjunto dado junto con algunas propiedades que necesitaremos más adelante.

Definición de relación de equivalencia

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Una relación binaria es una relación de equivalencia si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

En otras palabras, si \( \mathrm{R} \) es una relación de equivalencia, debe cumplir las siguientes propiedades:

• Es reflexiva: \( \forall x \in \mathrm{A}, (x,x) \in \mathrm{R} \).
• Es simétrica: \( (x,y) \in \mathrm{R} \rightarrow (y,x) \in \mathrm{R} \)
• Es transitiva: \( [ (x,y) \in \mathrm{R} \wedge (y,z) \in \mathrm{R} ] \rightarrow (x,z) \in \mathrm{R} \).

Observe que las dos primeras no tiene el cuantificador “para todo” simbolizado por \( \forall \), no es una obligación que deba cumplirse para todo los elementos de \( \mathrm{A} \), excepto la primera, la relación reflexiva.

Por su reflexividad, implica que el dominio de \( \mathrm{R} \) es el mismo conjunto \( \mathrm{A} \) lo que implica que la relación de equivalencia tenga como dominio al conjunto \( \mathrm{A} \). Veamos unos ejemplos:

Ejemplos

1. Sea el conjunto \( \mathrm{A} \) y sea la siguiente relación:

\[ \mathrm{R} = \left \{ (a,b) \in \mathrm{ A \times A } | a \ \text{es hermano de} \ b \right \} \]

¿Es una relación de equivalencia?, Vamos a averiguarlo:

• \( a \) es hermano consigo mismo, es reflexiva: \( (a,a) \in \mathrm{R} \).
• Si \( a \) es hermano con \( b \), entonces \( b \) es hermano con \( a \), es simétrico: \( (a,b) \in \mathrm{R} \), entonces \( (b,a) \in \mathrm{R} \).
• Si \( a \) es hermano con \( b \) y \( b \) es hermano con \( c \), entonces \( a \) es hermano con \( c \), esto es transitivo: \( (a,b) \) y \( (b,c) \) pertenecen a \( \mathrm{R} \), implica que \( (a,c) \) pertenece a \( \mathrm{R} \).

Gráficamente lo podemos representar de la siguiente manera:

Las flechas de color verde indica que la relación es reflexivo, es decir, se relaciona con su reflejo, consigo mismo.

La flecha de color rosa indican que la relación es simétrico. Como esta imagen:

Icono cortesía de Flaticon y que tiene una geometría simétrica.

Y las flechas de color celeste indican que la relación es transitiva. Que le transfiere las propiedades de una cosa a la otra.

2. Sea el conjunto \( \mathrm{A} = \left \{ 1,2,3,4 \right \} \) y una relación dada:

\[ \mathrm{R} = \left \{ (1,1), (1,4), (4,1), (4,4), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3) \right \} \]

Observe que este es una relación de equivalencia, en efecto:

• Cumple la propiedad reflexiva: Los pares \( (1,1) \), \( (2,2) \), \( (3,3) \) y \( (4,4) \) pertenecen a \( \mathrm{R} \) para todos los elementos de \( \mathrm{A} \).
• Cumple la propiedad simétrica: Los pares \( (1,4) \), \( (4,1) \) pertenecen a \( \mathrm{R} \), estos otros \( (2,3) \), \( (3,2) \) pertenecen a \( \mathrm{R} \) y el resto de los pares son simétricas consigo mismos.
• Cumple la propiedad transitiva: Si \( (1,4) \) y \( (4,4) \) pertenecen a \( \mathrm{R} \), entonces \( (1,4) \) pertenece a \( \mathrm{R} \). El resto de los pares de la relación cumplen esta propiedad.

Si tomamos todas las primeras componentes de \( \mathrm{R} \) lo cual resulta el origen de o dominio simbolizado por \( \mathcal{D}( \mathrm{R} ) \), resulta:

\[ \mathcal{D}( \mathrm{R} ) = \left \{ 1,2,3,4 \right \} \]

Resulta ser igual al conjunto \( \mathrm{A} \) como habíamos indicado anteriormente.

Concepto de equivalencia

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La relación de equivalencia sirve para indicar que los elementos de un conjunto compartan las mismas características o propiedades con otros elementos del mismo conjunto. Esto ayuda a clasificar los elementos de una relación que esta sujeto a ciertas propiedades especificas.

Ejemplo

Por ejemplo, el concepto de paralela \( || \) es una propiedad de las rectas o segmentos y es una relación de equivalencia. Si décimo que la recta \( \mathrm{L}_{1} \) es paralela con \( \mathrm{L}_{1} \), esta afirmación cumple la propiedad reflexiva ya que una recta es paralela consigo misma, si decimos que \( \mathrm{L}_{1} \) es paralela con \( \mathrm{L}_{2} \), entonces \( \mathrm{L}_{2} \) es paralela con \( \mathrm{L}_{1} \), esta afirmación es simétrica, por último, si decimos que \( \mathrm{L}_{1} \) es paralela con \( \mathrm{L}_{2} \) y \( \mathrm{L}_{2} \) es paralela con \( \mathrm{L}_{3} \), entonces \( \mathrm{L}_{1} \) es paralela con \( \mathrm{L}_{3} \), esto es transitivo.

Entonces la relación de equivalencia clasifica y selecciona aquellas elementos que tengan una misma propiedad o propiedad en común.

Notación simbólica

Generalmente se usa la notación \( \sim \) para indicar que dos elementos de un conjunto son equivalentes, sin embargo, hemos usado esta notación para indicar la negación de una proposición en nuestro curso de lógica proposicional, por esta razón, para no confundirte, usare en cambio la notación \( \approx \) que intuitivamente se ajusta mas lo que se entiende por equivalencia.

Si por ejemplo, tenemos dos elementos \( a,b \in \mathrm{A} \) y si define una relación de equivalencia que compromete a estos elementos, diremos que \( a \) es equivalente a \( b \) y se simboliza por \( a \approx b \). Una definición mas formal de este punto es:

Definición de equivalente

Si \( \mathrm{ R \in A \times A } \) es una relación de equivalencia, entonces decimos que el par \( (a,b) \in \mathrm{R} \) tiene componentes equivalentes y se simboliza por \( a \approx b \), decimos entonces que \( a \) es equivalente a \( b \).

Ejemplo

Del ejemplo 2, donde definimos el conjunto \( \mathrm{A} = \left \{ 1,2,3,4 \right \} \) y su relación dada:

\[ \mathrm{R} = \left \{ (1,1), (1,4), (4,1), (4,4), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3) \right \} \]

Donde probamos que es una relación equivalente, lo que implica que sus elementos son equivalentes, simbólicamente escribimos para cada par así:

\[ 1 \approx 1 \]	\[ 1 \approx 4 \]	\[ 4 \approx 1 \]	\[ 4 \approx 4 \]
\[ 2 \approx 2 \]	\[ 2 \approx 3 \]	\[ 3 \approx 2 \]	\[ 3 \approx 3 \]

Clase de equivalencia y conjunto cociente

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Antes de definir este concepto, fíjense en la relación del ejemplo 3, elegiremos al azar cualquier elemento de la segunda componente de los pares de \( \mathrm{R} \), tomemos por ejemplo el numero \( 4 \) del par \( (1,4) \), y formulemos la siguiente pregunta: ¿cuantos pares ordenados se pueden formar con esta segunda componente dentro de \( \mathrm{R} \), es decir, con el \( 4 \)?, en este caso, en \( \mathrm{R} \)encontramos lo siguientes pares:

• \( (1,4) \) ó \( 1 \approx 4 \)
• \( (4,4) \) ó \( 4 \approx 4 \)

Entonces el conjunto de las primeras componentes que podemos formar con el numero \( 4 \) es \( \mathrm{A}_{4} = \left \{ 1,4 \right \} \), hemos puesto subindice \( 4 \) por estar relacionado con la segunda componente \( 4 \). Ahora seleccionemos otra segunda componente de \( \mathrm{R} \), digamos \( 1 \), los pares formados con la primera componente en \( \mathrm{R} \) son:

• \( (1,1) \) ó \( 1 \approx 1 \)
• \( (4,1) \) ó \( 4 \approx 1 \)

El conjunto de las primeras componentes de estos dos pares formados con la segunda componente \( 1 \) es \( \mathrm{A}_{1} = \left \{ 1,4 \right \} \). Observe que el conjunto formado las primeras componentes con las segundas \( 1 \) y \( 4 \) son los mismos, es decir \( \mathrm{ A_{1} = A_{4} } \), ¿sera coincidencia?, lo vamos a averiguar: Elijamos al numero \( 3 \) como segunda componente de la relación \( \mathrm{R} \), veamos cuantos pares ordenados se pueden formar con ellos y son:

• \( (2,3) \) ó \( 2 \approx 3 \)
• \( (3,3) \) ó \( 3 \approx 3 \)

El conjunto de las primeras componentes de estos pares son \( \mathrm{A}_{3} = \left \{ 2,3 \right \} \), elijamos el numero \( 2 \) como segunda componente y busquemos los pares ordenados que se forman en \( \mathrm{R} \), son:

• \( (2,2) \) ó \( 2 \approx 2 \)
• \( (3,2) \) ó \( 3 \approx 2 \)

El conjunto de las primeras componentes de estos pares son \( \mathrm{A}_{2} = \left \{ 2,3 \right \} \) y notamos por segunda vez que \( \mathrm{ A_{2} = A_{3} } \), ¿será de nuevo una coincidencia?. Pues no, pero esto lo veremos después, pondremos nuestra atención en los conjuntos que acabamos de encontrar \( \mathrm{ A_{2} = A_{3} = \left \{ 2,3 \right \} } \) y \( \mathrm{ A_{1} = A_{3} } = \left \{ 1,4  \right \} \), son a su vez, disjuntos \( \left \{ 2,3 \right \} \cap \left \{ 1,4 \right \} = \phi \) y es obvio que:

• \( \mathrm{ A_{1} \subseteq A } \)
• \( \mathrm{ A_{2} \subseteq A } \)
• \( \mathrm{ A_{3} \subseteq A } \)
• \( \mathrm{ A_{4} \subseteq A } \)

Estos subconjuntos que a su vez son disjuntos, tiene un nombre especial, se llaman clase de equivalencia. Al subconjunto \( \mathrm{A}_{1} \) que tiene como elementos a las primeras componentes relacionados con \( 1 \), en su lugar la escribiremos así \( \mathrm{ [1]_{R} = A_{1} } \), el subíndice \( \mathrm{R} \) indica que el elemento \( 1 \) tiene relación de equivalencia con los elementos de \( \mathrm{A}_{1} \), en este caso con \( 1 \approx 1 \) y \( 4 \approx 1 \). Si realizamos todo este proceso tomando como referencia a la primera componente en lugar de la segunda como hicimos hace momentos, encontraremos los mismos resultados, bajo este punto, definiremos este concepto en este momento.

Definición de clase de equivalencia

Sea \( \mathrm{ R \subseteq A \times A } \) una relación de equivalencia y un elemento \( a \in \mathrm{A} \), llamaremos clase de equivalencia al subconjunto de elementos que son equivalentes (o relacionados) a los elementos de \( \mathrm{A} \) con \( a \), es decir:

\[ [a]_{ \mathrm{R} } = \left \{ x \in \mathrm{A} | a \approx x \right \} \]

Ejemplos

Sea el conjunto formada por algunas letras del alfabeto \( \mathrm{B} = \left \{ \text{ a,b,c,d,e,f,g } \right \} \) y la relación:

\[ \mathrm{R} =  \left \{ \begin{array}{ c c c c } \mathrm{ (c,c) } & \mathrm{ (a,b) } & \mathrm{ (b,b) } & \mathrm{ (e,f) } \\ \mathrm{ (g,g) } & \mathrm{ (b,a) } & \mathrm{ (f,f) } & \mathrm{ (f,e) } \\ \mathrm{ (a,a) } & \mathrm{ (e,e) } & \mathrm{ (d,d) } \end{array} \right \}  \]

Buscaremos todos los elementos que estén relacionado con la letra \( \text{a} \) según \( \mathrm{R} \), es decir, la clase de equivalencia de \( \text{a} \), veamos:

\[ \mathrm{ [a]_{R} = \left \{ a,b \right \} } \] Ahora busquemos todas las clases de equivalencia en la relación \( \mathrm{R} \) con el resto de las letras de \( \mathrm{B} \), tenemos:

• \( \mathrm{ [b]_{R} = \left \{ a,b \right \} } \)
• \( \mathrm{ [c]_{R} = \left \{ c \right \} } \)
• \( \mathrm{ [d]_{R} = \left \{ d \right \} } \)
• \( \mathrm{ [e]_{R} = \left \{ e,f \right \} } \)
• \( \mathrm{ [f]_{R} = \left \{ e,f \right \} } \)
• \( \mathrm{ [g]_{R} = \left \{ g \right \} } \)

Todos estos conjuntos son la clase de equivalencia de \( \mathrm{R} \), notamos también que \( \mathrm{ [a]_{R} = [b]_{R} } \) y \( \mathrm{ [e]_{R} = [f]_{R} } \), sin tomar en cuenta las clases repetidas, vemos que son disjuntos entre ellas. Ahora veremos como estas clases esta repartidas en un diagrama de Venn.

Bajo estas peculiaridades, presentamos el siguiente teorema:

Teorema 1: Sea \( \mathrm{ R \subseteq A \times A } \) una relación de equivalencia para dos elementos \( a,b \in \mathrm{A} \), se cumple solo una de estas dos posibles situaciones:

1. Si \( a \approx b \), entonces \(  [a]_{R} = [b]_{R} \).
2. Si \( a \not\approx b \) , entonces \( [a]_{R} \cap [b]_{ \mathrm{R} } = \phi \).

Demostración:

1. sea \( x \in \mathrm{ [a]_{R} } \), entonces \( x \approx a \), del dato \( a \approx b \), por la propiedad transitiva \( x \approx b \), entonces \( x \in [b]_{ \mathrm{R} } \), es decir, si sabemos que \( x \) pertenece a \( [a]_{ \mathrm{R} } \) pero descubrimos que también pertenece a \( [b]_{ \mathrm{R} } \) lo que implica que \( [a]_{ \mathrm{R} \in [b]_{ \mathrm{R} } } \). De la misma manera se puede demostrar que \( [b]_{ \mathrm{R} } \in [a]_{ \mathrm{R} } \) si partimos de \( b \approx a \) que es la simetría de \( a \approx b \). De \( [a]_{ \mathrm{R} } \in [b]_{ \mathrm{R} } \) y \( [b]_{ \mathrm{R} } \in [a]_{ \mathrm{R} } \) implica que \( [a]_{ \mathrm{R} } = [b]_{ \mathrm{R} } \).
2. Supongamos \( x \in [a]_{ \mathrm{R} } \cap [b]_{ \mathrm{R} } \), entonces \( x \in [a]_{ \mathrm{R} } \wedge [b]_{ \mathrm{R} } \), significa que \( \color{green}{ x \approx a } \) y \( \color{red}{ x \approx b } \), por simetría \( \color{green}{ a \approx x } \) y por la propiedad transitiva con \( \color{red}{ x \approx b } \) resulta \( a \approx b \), esto contradice con lo que se postulo en el teorema que \( a \not\approx b \), por tanto \( [a]_{ \mathrm{R} } \cap [b]_{ \mathrm{R} } = \phi \).

Teorema 2: Dos clases de equivalencias no disjuntos son una misma clase.

Demostraremos este teorema en una próxima actualización. Veamos otro nuevo concepto, hemos visto que una relación de equivalencia puede formar unos subconjuntos especiales llamada clase de equivalencias, tomemos las clases del ejemplo anterior son \( [a]_{ \mathrm{R} } = [b]_{ \mathrm{R} } \), \( [e]_{ \mathrm{R} } = [f]_{ \mathrm{R} } \), \( [c]_{ \mathrm{R} } \), \( [c]_{ \mathrm{R} } \), \( [d]_{ \mathrm{R} } \) y \( [g]_{ \mathrm{R} } \).

Estas clases la reuniremos en un único conjunto, obviamente como hay clases iguales, la teoría de conjuntas las toma como una sola, tenemos:

\[ \text{ Conjuntos de clases } = \left \{ [a]_{ \mathrm{R} }, [ \mathrm{e} ]_{ \mathrm{R} }, [ \mathrm{c} ]_{ \mathrm{R} }, [ \mathrm{d} ]_{ \mathrm{R} }, [ \mathrm{g} ]_{ \mathrm{R} } \right \} \]

Observe que este conjunto de clases esta formado por el conjunto de letras \( \mathrm{I} = \left \{ \mathrm{ a,c,d,e,g } \right \} \), si lo comparamos con el conjunto donde esta definida la relación \( \mathrm{R} \) siendo \( \mathrm{B} = \left \{ \mathrm{ a,b,c,d,e,f,g } \right \} \), resulta que \( \mathrm{ I \subseteq B } \).

De aquí, los conjuntos tiene nombres apropiados y son:

• \( \mathrm{ I = \left \{ a,c,d,e,g \right \} } \) lo que implica que \( \mathrm{ I \subseteq B } \), este conjunto se llama indice.
• \( \mathrm{ CC = \left \{ [a]_{ \mathrm{R} }, [e]_{ \mathrm{R} }, [c]_{ \mathrm{R} }, [d]_{ \mathrm{R} }, [g]_{ \mathrm{R} } \right \} } \) se llama conjunto cociente.

De estos dos conjuntos podemos escribir a \( \mathrm{CC} \) por comprensión así: \[ \mathrm{CC} = \left \{ [i]_{ \mathrm{R} } | \forall i \in \mathrm{I} \right \} \] Esta será la nueva forma del conjunto cociente definida de la siguiente manera:

Definición de conjunto cociente

Sea \( \mathrm{ R \subseteq A \times A } \) una relación de equivalencia y un indice \( \mathrm{I} \subseteq A \), se llama conjunto cociente simbolizado por \( \frac{ \mathrm{A} }{ \approx } \) al conjunto formado por todas las clases de equivalencia \( [i]_{ \mathrm{R} } \) tal que \( i \in \mathrm{I} \), es decir:

\[ \frac{ \mathrm{A} }{ \approx } = \left \{ [i]_{ \mathrm{R} | \forall i \in \mathrm{I} } \right \} \]

Para entenderlo mejor, te sugiero que vuelvas a estudiar el ejemplo anterior comparando con esta definición mas de una vez. Ahora te presento un teorema interesante, pero antes te sugiero que veas el acordeón donde indico el concepto de partición de un conjunto como apartado opcional al inicio de esta sección.

Pero para que no pierdas tiempo, te lo explico con un ejemplo super simple. Sea \( \mathrm{ A = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} } \), si los conjuntos \( \mathrm{A}_{1} \), \( \mathrm{A}_{2} \) y \( \mathrm{A}_{3} \) no tiene ningún elemento en común de dos en dos, es decir, \( \mathrm{ A_{1} \cap A_{2} } = \phi \), \( \mathrm{ A_{2} \cap A_{3} } = \phi \) y \( \mathrm{ A_{3} \cap A_{1} } = \phi \), entonces el conjunto \( \left \{ \mathrm{ A_{1}, A_{2}, A_{3} } \right \} \) se llama partición del conjunto , la definición formal lo puedes encontrar en el acordeón como ya te lo mencione hace momentos. Ahora el teorema.

Teorema 3: El conjunto cociente de una relación equivalente es una partición y viceversa.

La demostración la realizaremos en una próxima actualización.

Fin de la sección

Pensaba no publicar esta sección pero algunos cursos posteriores lo requería, de hecho, la sección siguiente llamada relaciones de orden también lo requieren y será nuestra próxima publicación y última de este curso de relaciones matemáticas.

Ha sido una tema interesante y pienso actualizarlo próximamente para agregar ejercicios resueltos y demostrar los teoremas que aun me faltan, nos vemos en la ultima sección de este curso, que tengas un buen día, bye.