El axioma del supremo, también llamado axioma de completitud o el axioma del extremo superior, tiene por objetivo llenar la recta real, sin huecos, donde siempre va a existir un número sin excepción.

Sabemos que los números naturales siempre tiene huecos, no hay otro número natural entre \( 1 \) y \( 2 \), sin embargo, podemos encontrar siempre un racional entre dos racionales y se creía que desde los Pitagóricos los números racionales era la esencia de toda realidad, porque se podía encontrar infinitos racionales entre \( 0 \) y \( 1 \), hasta que se toparon con \( x^{2} = 2 \) derivado tal vez del teorema de Pitágoras, se dieron cuenta que \( x \) no era un número racional.

Estos números no racionales, llamados en esa época como números inconmensurables, era capaz de llenar la recta real junto con los racionales, para eso, los matemáticos contemporáneos desarrollarlo diferentes métodos independientes, entre ellos, el axioma del supremo para lograr de que los números reales es un sistema completo, sin huecos y eso es lo que vamos a estudiar a continuación.

¿Que es exactamente el axioma del supremo?

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A modo de presentación se le conoce con la siguiente proposición:

Axioma del supremo dice: Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo.

Explicación: Este axioma nos dice que los números enteros y racionales no son conjuntos completos, es decir, tiene huecos donde no pueden ser llenados por otros enteros o racionales, en cambio, los números reales es un sistema completo, sin huecos.

Veamos un breve desarrollo de los números según su campo de estudio e indicar que conjuntos numéricos son o no completos.

Con los números enteros

Sea la recta los números enteros:

Esta representación intuitiva nos muestra algunos elementos de los números enteros \( \mathbb{Z} = \left \{ \cdots , -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, \cdots \right \} \), es decir, al subconjunto \( \mathrm{A} = \left \{ -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \right \} \), donde \( \mathbb{A} \subsetneq \mathbb{Z} \)  (El símbolo \( \subsetneq \) significa que incluye a un conjunto dado, pero no igual, es decir, un subconjunto propio).

Sin embargo, se podría sospechar la existencia otros números de la recta entre los números \( -1 \) y \( 0 \) o entre \( 2 \) y \( 3 \), esto indica que no es posible que los números naturales sean capaces de llenar toda la recta numérica del gráfico, en este caso se dice que el conjunto de los números enteros no es completo (por lo menos ya puedes sospechar de donde viene la palabra “completitud”).

Con los números racionales

Si queremos saber que números existen entre los números \( 0 \) y \( 1 \), podemos definir unos números llamados decimales denotado por \( 0. \overline{a} \) tal que \( a \in \mathbb{N} \), entonces \( 0 < 0. \overline{a} < 1 \), el conjunto todos los decimales, para este caso sería:

\[ \mathrm{D} = \left \{ 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 \right \} \]

Estos decimales pueden escribirse en forma fraccionaria, lo podemos escribir así:

\[ \mathrm{D} = \left \{ \frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \cdots , \frac{9}{10} \right \} \]

Veamos cómo se vería en la recta numérica con los decimales:

De la misma manera como en el caso anterior, podríamos sospechar la existencia de números entre \( 0 \) y \( 0.1 \), es decir, debe existir un centesimal \( 0.0 \overline{a} \) tal que \( a \in \mathrm{N} \), entonces de la desigualdad \( 0 < 0.0 \overline{a} < 0.1 \) representamos las centésimas en el siguiente conjunto.

\[ \mathrm{C} = \left \{ 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09 \right \} \]

Podríamos escribir estos decimales en formal fraccionaria así:

\[ \mathrm{C} = \left \{ \frac{1}{100}, \frac{2}{100}, \frac{3}{100}, \cdots , \frac{9}{100} \right \} \]

Gráficamente:

Y podríamos seguir continuando así hasta el infinito y pensar que siempre deban existir fracciones del tipo \( \frac{x}{y} \) tal que \( a, b \in \mathbb{Z} \) que puedan cubrir toda la recta numérica o eso es lo que creían los pitagóricos.

A primera vista parece lógico, ya que desde este pequeño análisis se puede creer que cualquier decimal puede escribirse en forma fraccionaria, es decir:

\[ \pm a_{0}. \overline{ a_{1} a_{2} a_{3} \cdots } = \frac{x}{y} \cdots ( 1 ) \]

Donde el entero \( a_{0} \geq \) y cada \( a_{i} \) (que representa \( a_{1} \), \( a_{2} \), \( a_{3} \), y siguientes) representa los dígitos \( 0, 1, 2, \cdots , 9 \). De aquí podemos formar cualquier tipo de numero decimal como, por ejemplo:

\[ 3.14 = \frac{157}{50} \]

\[ 0.25 = \frac{1}{4} \]

\[ 5.333 \cdots = \frac{16}{3} \]

Entonces, ¿serán los números racionales un conjunto completo?, es decir, ¿los números racionales llenan toda la recta numérica donde no existan huecos sin definir?

Cuando se estableció el clásico teorema de Pitágoras \( a^{2} + b^{2} = c^{2} \) donde \( a \) y \( b \) representan los catetos y \( c \) a la hipotenusa como medidas de dichos segmentos que forman a un triángulo rectángulo, se encontraron grabes incongruencias.

Por ejemplo, cuando se intentó hallar el valor de \( x \) como hipotenusa de catetos iguales a la unidad, se encontró el siguiente problema:

\[ 1^{2} + 1^{2} = x^{2} \]

\[ x^{2} = 2 \]

Se creía que el valor de \( x \) debía ser alguno número racional pero nunca lo pudieron demostrar y además ya se sospechaba de otro tipo de números que no podría escribirse en forma decimal.

Esto fue un golpe duro para los pitagóricos que creían que los números racionales era la esencia de la vida, pues tenían que asumir la existencia de dos números diferentes, estos fueron llamados números conmensurables e inconmensurables, este ultimo hace referencia a los números irracionales que tanto problema les trajo a los pitagóricos.

Tomando la ecuación \( x^{2} = 2 \), es fácil demostrar que \( x \) no es un numero racional, en efecto, haciendo \( x = \frac{a}{b} \), tal que \( a \) y \( b \) son enteros positivos y irreductible (sin simplificar), tenemos:

\[ ( \frac{a}{b} )^{2} = 2 \]

\[ a^{2} = 2b^{2} \cdots (2) \]

Esta ecuación nos dice que \( a^{2} \) es múltiplo de \( 2 \), lo que implica que \( a \) debe debe ser múltiplo de \( 2 \), es decir, \( a = 2k \), remplazando en \( (2) \):

\[ (2k)^2 = 2b^2 \]

\[ 2k^{2} = b^{2} \]

De aquí decimos que \( b^{2} \) es múltiplo de \( 2 \), entonces \( b \) también debe múltiplo de \( 2 \), por lo que \( b = 2q \), donde:

\[ \frac{a}{b} = \frac{2k}{2q} \]

Esta última expresión es una contradicción ya que la fracción \( \frac{a}{b} \) debe ser irreductible como se indicó desde un inicio.

Prueba suficiente para indicar que \( x \) no es un numero racional, estos números se les ha denominado números inconmensurables, más adelante explicaremos porque este nombre.

Prueba suficiente para indicar que los números racionales no cubren la recta numérica, en otras palabras, los números racionales no es completo.

Con los números irracionales

Ya se tenía la existencia de los números irracionales, pero sin definir, ya que se podía demostrar por contradicción suponiendo que tales números era racionales. El problema aquí era como lograr definir los números \( \sqrt{2} \) ó \( \log_{2} 3 \), este conjunto se designó por el símbolo \( \mathbb{I} \) y junto con los racionales \( \mathbb{Q} \) debería formar un conjunto completo, es decir, teníamos que averiguar que la unión \( \mathbb{ I \cup Q } \) era completo.

Cuando se logró averiguar que el conjunto \( \mathbb{ I \cup Q } \) era completo, entonces se podía decir que este conjunto representaba toda la recta numérica y sin huecos, este conjunto tiene un nombre y se llama el conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \).

Ya se estudió el resto de los axiomas de suma, multiplicación, de relaciones de igualdad, de distribución respecto a la suma, relación de orden, falta el axioma de completitud siendo el tema principal de la sección.

Insuficiencia de los axiomas de campo, de igualdad y de orden

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La teoría axiomática de los números reales que proporcionamos en la sección anterior no es suficiente para poder diferenciar los racionales \( \mathbb{Q} \) de los irracionales \( \mathbb{I} \).

Los números naturales tiene un axioma que lo diferencia de otros conjuntos, conocido como los axiomas de Peano; los números enteros tiene propiedades únicas como la teoría de los números primos, descomposición de factores, entre otros; los racionales que aún no estudiamos cumplen los axiomas de campo y orden que estudiamos en la sección anterior, sin embargo, los mismos axiomas cumplen para los números reales, pero no explica por ejemplo la existencia de \( \sqrt{2} \), es decir, no explica la existencia de los números irracionales.

Te lo explico de esta manera, si los mismos axiomas que cumplen los números racionales \( \mathbb{Q} \) ha demostrado que no existe un racional que cumpla \( x^{2} = 2 \), por lo que estos mismos axiomas no pueden explicar la existencia de los irracionales.

Por esta razón, desarrollaremos un nuevo axioma de los números reales donde incluya la diferencia entre los irracionales y racionales tal que la primera pueda diferenciarse únicamente de los racionales y pasar formar un conjunto mas grande y completo, esto es, de los números reales.

Sin embargo y la buena noticia es que los números racionales pueden acercarse lo suficientemente cerca para lograr un límite máximo hacia los números irracionales. Pero esto lo veremos poco a poco. Para poder anunciar el axioma del supremo, necesitamos las definiciones necesarias para este propósito, los siguientes apartados dan inicio al tema principal.

Cota superior, máximo y supremo (Cota inferior, mínimo e ínfimo)

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Las cotas de un conjunto son todos aquellos elementos que no pertenecen al conjunto dado, excepto los extremos de dicho conjunto si es que existen.

Ejemplo

Sea el conjunto \( \mathrm{R} = \left \{ x \in \mathbb{R} | 2 < x < 3 \right \} \), un subconjunto de números reales, analicemos este fragmento en una recta numérica:

Ubiquemos el elemento \( 3.5 \) de la recta numérica encerrado en círculo, obviamente no pertenece al intervalo abierto \( \langle 2, 3 \rangle \) (el concepto de intervalo esta explicado en el acordeón que lo puedes encontrar al inicio de la sección), si este número se encuentra en el lado derecho del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \) de la recta numérica, se le llama cota superior del conjunto \( \mathrm{R} \) o del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \).

De la misma manera, si ubicamos el elemento \( 1.5 \), notamos que se encuentra del lado izquierdo del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \) y que no pertenece a la misma, a este elemento se le llama cota inferior del conjunto \( \mathrm{R} \) o del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \).

De hecho, cualquier valor que sea igual o superior a \( 3 \) son cotas superiores del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \), de forma análoga, cualquier valor igual o inferior a \( 2 \) son cotas inferiores del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \). En base a estos ejemplos, realizamos las siguientes definiciones:

Definición de cota superior

Sea \( \mathrm{A} \) un subconjunto de los números reales, si existe un número real \( c \) tal que \( x \leq c \) para todo \( x \) de \( \mathrm{A} \), diremos que \( c \) es una cota superior de \( \mathrm{A} \) y además diremos que \( \mathrm{A} \) esta acotado superiormente por \( c \).

Ejemplo

De la definición, el valor de \( c \) es, del ejemplo 1, el numero \( 3.5 \) como cota superior y \( x \) es cualquier valor del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \).

Nota: Seguro me dirás tu: “Ósea que si tomo a \( x \) como \( 2.1 \) del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \), porque no puede ser una cota superior el número \( 2.9 \) como el valor de \( c \)”. No puede ser y te explico el porque, estoy seguro que dejaste pasar una palabra que al parecer muchos pasan por alto, la definición dice que debe cumplirse “Para todo \( x \) que pertenece al conjunto o intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \), es decir, \( x \) toma en cuenta todos los valores próximos al número \( 3 \) y no uno, el cuantificador “para todo” simbolizad por \( \forall \) no excluye ningún valor de \( x \) en el intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \), en otras palabras, el valor de \( x \) también incluye valores como \( x = 2.9 \) y cualquier valor próximo a \( 3 \), por tanto las cotas superiores deben ser iguales \( 3 \) y superiores como demanda la definición. De la misma manera se puede definir una cota inferior así:

Definición de cota inferior

Sea \( \mathrm{A} \) un subconjunto de los números reales, si existe un número real \( c \) tal que \( c \leq x \) para todo \( x \) de \( \mathrm{A} \), diremos que \( c \) es una cota inferior de \( \mathrm{A} \) y además diremos que \( \mathrm{A} \) esta acotado inferiormente por \( c \).

Para el ejemplo anterior, \( c \) es \( 1.5 \) como cota inferior y \( x \) cualquier valor del intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \), sin embargo y como expliqué anteriormente, debe tomarse todos los valores de \( x \) del intervalo dado, de esta manera valores superiores a \( 2 \) que estén en el intervalo \( \langle 2, 3 \rangle \) pueden ser cotas inferiores.

Nota: Observe que en la definición de cota inferior o superior no se ha especificado que un subconjunto de números reales deba ser un intervalo cerrado, abierto o semiabierto, para el concepto de cotas, simplemente no importa. Con un ejemplo, todo queda más claro.

Ejemplo

• El intervalo \( [-3, 4] \) tiene muchas cotas superiores comenzando del número \( 4 \), como puede ser \( 5 \) o \( 10 \sqrt{2} \).
• El intervalo \[ [ -3, 4 \rangle \] tiene las mismas cotas superiores como el intervalo \[ -3, 4 \], comenzando del número \( 4 \), como también pueden ser \( 5 \) o \( 10^{5} \).

Para este caso, se dice que los intervalos \( [-3, 4] \) y \( [ -3, 4  \rangle \) están acotados superiormente y su cota mínima es \( 4 \), recuerde que, por la definición de cota superior, se cumple \( x \geq 4 \) donde \( x \) representa todos los valores de cualquiera de estos intervalos \( [-3, 4] \) o \( [ -3, 4  \rangle \), note que no se diferencia entre un intervalo cerrado, abierto o semiabierto.

También notamos que el máximo valor de \( x \in [ -3, 4 ] \) es \( x = 4 \), sin embargo, para \( x \in [ -3, 4 \rangle \) no tiene máximo ya que es un intervalo abierto por la derecha, por tanto, para este intervalo, el valor de \( x \neq 4 \).

En otras palabras, el intervalo \( [-3, 4] \) tiene un elemento máximo que a su vez es cota superior, es decir, el número \( 4 \). Sin embargo, el intervalo \( [ -3, 4 \rangle \) no tiene máximo, pero tiene cota superior, es decir, el numero \( 4 \) pero no pertenece al intervalo dado.

De aquí definimos los conceptos de máximo y mínimo para un intervalo dado.

Definición de máximo de un conjunto

Decimos que un número real perteneciente a un subconjunto dado \( \mathrm{A} \) de números reales es máximo si es cota superior del conjunto \( \mathrm{A} \). Si \( b \) es un elemento de \( \mathrm{A} \) y también cota superior, se representa así:

\[ b = \max \mathrm{A} \]

Esta definición obliga que el intervalo sea cerrado para tomar en cuenta el extremo derecho como un máximo y sea a su vez una cota superior.

Pero como vimos en los ejemplos anteriores, si dicho intervalo no tiene máximo, entonces el extremo derecho del intervalo no perteneciente al conjunto pero aun así sigue siendo cota superior por definición. La definición de mínimo de un conjunto es análoga de la definición anterior.

Definición de mínimo de un conjunto

Decimos que un número real perteneciente un subconjunto dado \( \mathrm{A} \) de números reales es mínimo si es cota inferior del conjunto \( \mathrm{A} \). Si \( a \) es un elemento de \( \mathrm{A} \) y a su vez es cota inferior, lo representaremos así:

\[ b = \min \mathrm{A} \]

Ejemplo

• El intervalo \( [ -6, + \infty \rangle \) esta acotado inferiormente y tiene mínimo \( \min [-6, + \infty] \), si bien es cierto que puede tener muchas cotas mínimas menores que \( -6 \), su máxima cota superior sería \( -6 \). Veamos su gráfico: El gráfico de esta recta muestra al intervalo \( [ -6, + \infty \rangle \) de color celeste, observe que no tiene ninguna cota superior ya que se trata de un intervalo infinito por la derecha, pero tiene muchas cotas inferiores como \( -6 \), \( -7 \), \( -8 \), como también puede ser \( -255^{3/2} \) o \( -35 \sqrt{2} \), todas inferiores a \( -6 \) siendo esta la máxima cota inferior de \( [ -6, + \infty \rangle \).
• El intervalo \( \frac{2}{3}, + \infty \) esta acotado inferiormente, pero no tiene mínimo, pero su máxima cota inferior es \( \frac{2}{3} \). Gráficamente podemos ver y decir que: Vemos que este intervalo esta acotado inferiormente para cualquier valor menor e igual a \( – \frac{2}{3} \) y es el máximo de las cotas inferiores, pero resulta que no tiene mínimo, es decir, el intervalo no considera al punto \( – \frac{2}{3} \).
• El intervalo \( – \infty , \frac{3}{5} \) esta acotado superiormente y tiene máximo \( \max \langle – \infty , \frac{3}{5} ] \) y además a la mínima cota superior del intervalo dado, como es infinito por la izquierda, entonces el intervalo no está acotado inferiormente. La gráfica te lo dejo para tu imaginación.
• El intervalo \( \langle – \infty , -2 \rangle \) esta acotado superiormente, pero no tiene máximo, pero su mínima cota superior es , este conjunto tampoco esta acotado inferiormente.

Parece que todo va perfecto hasta ahora, pero vamos a analizar dos intervalos para explicar unos detalles últimos antes de formular el axioma que nos corresponde.

Ejemplo

• Tenemos dos intervalos \( \langle -3, 2 \rangle \) y \( [-3, 2] \), observe que los dos tiene los mismos extremos, pero el segundo intervalo tiene máximo y mínimo, el primero no, estos extremos tienen nombre, para el caso del extremo derecho determinado por el número \( 2 \), se llama extremo superior, o más conocido como supremo y el extremo izquierdo de estos intervalos es \( -3 \), se llama extremo inferior o ínfimo.

Nota: Si un conjunto esta acotado inferior y superiormente decimos simplemente que es un conjunto acotado, fíjese que no estamos diciendo nada si el conjunto es abierto, cerrado o semiabierto, pero lo que si es seguro es que no es un conjunto infinito como el de los casos anteriores. Ahora vamos a definir los conceptos de supremo e ínfimo ahora mismo.

Definición de extremo superior o supremo

Sea un conjunto acotado superiormente, se llama extremo superior o supremo a la mínima cota superior del conjunto dado, es decir, sea \( c \) el supremo del subconjunto \( \mathrm{A} \) denotado por \( \sup \mathrm{A} \), tal que:

\[ c = \sup \mathrm{A} \]

La definición de ínfimo es análogo.

Definición de extremo inferior o ínfimo

Sea un conjunto acotado inferiormente, se llama extremo inferior o ínfimo a la máxima cota inferior del conjunto dado, es decir, sea \( c \) el ínfimo del subconjunto \( \mathrm{A} \) denotado por \( \inf \mathrm{A} \), tal que:

\[ c = \inf \mathrm{A} \]

Ejemplo

• De los intervalos anteriores \( \langle -3, 2 \rangle \) y \( [-3, 2] \), observe que tiene el mismo supremo y el mismo ínfimo, independientemente si los intervalos tienen máximos y mínimos o no los tenga, para cualquiera de los dos casos, el ínfimo es \( \inf \mathrm{A} = -3 \) y el supremo es \( \sup \mathrm{A} = 2 \).

Si tomamos cualquier una cota inferior del cualquiera de los intervalos dados, por ejemplo, \( -3.5 \), entonces \( -3.5 < \inf \mathrm{A} = -3 \), otra coa inferior sería \( – 16/3 \) donde \( -16/3 < \inf \mathrm{A} = -3 \), de manera general si \( a \) es cualquier cota inferior de los intervalos dados, se cumple \( a \leq \inf \mathrm{A} = -3 \).

Tenga en cuenta que \( \mathrm{A} \) puede ser cualquiera de los intervalos \( \langle -3, 2  \rangle \) ó \( [-3, 2] \). De la misma manera para las cotas superiores, si \( b \) es una cota superior cualquiera de los intervalos \( \langle -3, 2 \rangle \) y \( [-3, 2] \), entonces \( 2 = \sup \mathrm{A} \leq b \).

El axioma de completitud

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Todo subconjunto de números reales acotado superiormente tiene supremo. En otras palabras, existe un número real \( b = sup \mathrm{A} \) para un subconjunto \( \mathrm{a} \) de números reales.

En consecuencia, para que \( b \) sea supremo del subconjunto \( \mathrm{A} \) de números reales, debe cumplirse dos condiciones:

Condición

Dado un conjunto \( \mathrm{A} \) de números reales acotado superiormente, decimos que \( b \) es supremo de \( \mathrm{A} \) bajo dos condiciones:

1. Que \( b \) sea una cota superior de \( \mathrm{A} \), es decir, \( \forall x \in \mathrm{A} | x \leq b \).

2. Si \( c \) es cualquiera cota superior de \( \mathrm{A} \), entonces \( b \leq c \), es decir, se cumple la proposición \( \forall x \in \mathrm{A} | x \leq c \Rightarrow b \leq c \).

Esta condición obliga a que \( b \) sea el menor de las cotas superiores. De la misma manera se puede formular el axioma del ínfimo, decimos entonces que para todo subconjunto de números reales acotado inferiormente tiene ínfimo.

Estarían demás formulas algunos ejemplos ya que queda explícito en el ejemplo anterior, ahora comenzaremos con algunos teoremas como consecuencia de este axioma, luego daremos una explicación de la existencia particular de los números irracionales con este axioma tomando como ejemplo a la ecuación \( x^{2} = 2 \) donde demostramos previamente que \( x \)  no es un número racional, pero que sin embargo existe, pero esto lo veremos poco a poco.

Propiedades

Los teoremas que presentaremos en este momento deben ser debidamente estudiadas ya que pueden presentar malos entendidos. La mayoría de los teoremas serán demostradas, el resto te lo dejo como tarea.

Teorema 1.

Sean \( a \) y \( b \) dos números reales tal que:

\[ a \leq b + \epsilon , \forall \epsilon > 0 \]

Por tanto \( a \leq b \).

Demostración:

Es el teorema que a muchos les ha traído confusión y lo puedes encontrar en libro de análisis matemático, edición 2 de Tom M. Apóstol. Pero aquí te lo demuestro de otra manera:

De la desigualdad \( a \leq b + \epsilon \) entonces \( a-b \leq \epsilon \), pero debe cumplirse para todo \( \epsilon > 0 \)(véase el acordeón donde explicamos un punto importante del cuantificador universal “\( \forall \)”) sin excepción, esto quiere decir que \( a-b \) es una cota inferior del conjunto formado por la desigualdad \( \epsilon > 0 \) que a su vez cumple que \( \forall \epsilon \in \mathbb{R}^{+} \), entonces \( \inf \mathbb{R}^{+} = 0 \), la máxima cota inferior de \( \mathrm{R}^{+} \), pero como \( a-b \) es cualquier cota inferior, entonces \( a-b \leq \inf \mathbb{R}^{+} \) (ver ejemplo después de la definición de ínfimo), es decir, \( a-b \leq 0 \), por tanto \( a \leq b \).

Corolario.

Del teorema anterior asumimos que \( a < b + \epsilon \) (y no \( a \leq b + \epsilon \)), para todo \( \epsilon > 0 \) igualmente se cumple que \( a \leq b \).

Teorema 2.

Sea un subconjunto de números reales \( \mathrm{A} \) no vacío acotado superiormente, tal que si un \( b = \sup \mathrm{A} \), si y solo si se cumple cualquiera de las siguientes propiedades:

1. \( x \leq b \), para todo \( a \in \mathrm{A} \) .
2. Para todo \( \epsilon > 0 \), existe un \( x \in \mathrm{A} \) tal que \( b – \epsilon < x \).

Demostración:

1. Debemos demostrar que \( b \) es una cota superior, pero como \( b \) es un supremo, entonces \( b \) resulta ser una cota superior demostrando 1, de hecho, esta propiedad queda implícito tanto en la definición como en el axioma de supremo.
2. Para cada \( \epsilon > 0 \), es obvio que \( b – \epsilon < b \) (tan solo suma \( b \) a los dos miembros de \( \epsilon > 0 \)). De aquí, \( b \) es supremo, si le quitamos una cantidad positiva \( \epsilon \), entonces \( b – \epsilon \) deja de ser supremo y mucho menos una cota superior, eso quiere decir que existe algún valor real entre \( b – \epsilon \) y \( b \) que pertenece a \( \mathrm{A} \), es decir, existe un \( x \in \mathrm{A} \), tal que \( b – \epsilon \color{green}{<} x \color{red}{ \leq } b \).

Te hago la siguiente pregunta: ¿Por qué usamos la desigualdad de color verde “\( \color{green}{ < } \)”, no este “\( \leq \)”?, simple, porque si fuera \( b – \epsilon \color{green}{ \leq } x \color{red}{ \leq } b \), entonces puede ocurrir que \( b – \epsilon = b \) donde \( \epsilon = 0 \), contradiciendo la hipótesis \( \forall \epsilon > 0 \), de esta manera probamos 2. Pero falta algo más, ¿por qué no usamos la desigualdad \( < \) en lugar de la desigualdad de color rojo “\( \color{red}{ \leq } \)”?, simple, porque de la desigualdad \( x \color{red}{ \leq } b \), como \( x \) es un conjunto de \( \mathrm{A} \) y si esta es cerrada por la derecha, entonces \( x \) puede ser un máximo de \( \mathrm{A} \) tal que puede sea igual al supremo \( \mathrm{A} \) como también puede no serlo. De esta manera no solo demostramos la desigualdad \( b – \epsilon < x \), sino también \( b – \epsilon \color{green}{ < } x \color{red}{ \leq } b \), esta queda como corolario.

Corolario.

Sea \( b = \sup \mathrm{A} \), se cumple que para todo \( \epsilon > 0 \), existe un \( x \in \mathrm{A} \) tal que \( b – \epsilon < x \leq b \).

Teorema 3. Propiedad de aproximación

Sea el conjunto no vacío \( \mathrm{A} \subsetneq \mathbb{R} \) que admite supremo, entonces, para todo \( a < \sup \mathrm{A} \), existe un \( x \) en \( \mathrm{A} \) tal que:

\[ a < x \leq \sup \mathrm{A} \]

Demostración:

La demostración es inmediata, del coloraría \( b – \epsilon < x \leq b \), haciendo \( b – \epsilon = a \) y \( b = \sup \mathrm{A} \), queda demostrado el teorema. El corolario 2 como el teorema 4 son sinónimos.

Teorema 4. Propiedad aditiva

Dados dos subconjuntos no vacíos de números reales \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), definimos el conjunto \( \mathrm{C} \) tal que:

\[ \mathrm{C} = \left \{ x+y | x \in \mathrm{B} \wedge y \in \mathrm{B} \right \} \]

Si los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) tiene supremo, entonces \( \mathrm{C} \) también tiene supremo y además:

\[ \sup \mathrm{C} = \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} \]

Demostración:

Sea un \( z \in \mathrm{c} \), donde \( x = x+y \) para un \( x \in \mathrm{A} \) y \( y \in \mathrm{B} \), como \( x + y \leq \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} \), entonces \( z \leq \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} \), de aquí sabemos que \( \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} \) solo es una cota superior de \( z \), esto implica que \( \mathrm{C} \) admite un supremo donde:

\[ \sup \mathrm{C} \leq \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} \cdots ( \mathrm{I} ) \]

Ahora debemos demostrar que \( \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} \leq \sup \mathrm{C} \). En efecto, como \( x \leq \sup \mathrm{A} \) y \( y \leq \sup \mathrm{B} \), la segunda propiedad del teorema 2 nos dice que para todo  \( \epsilon > 0 \), se cumple:

\[ x – \epsilon_{1} < \sup \mathrm{A} \]

\[ y – \epsilon_{2} < \sup \mathrm{B} \]

Sumando estos resultados, tenemos:

\[ \color{blue}{ \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} – ( \epsilon_{1} + \epsilon_{2} ) < x+y } \leq \sup \mathrm{C} \]

De la desigualdad de color celeste, por el corolario 1, se comprueba que:

\[ \color{blue}{ \sup \mathrm{a} + \sup \mathrm{B} \leq x+y } \leq \sup \mathrm{C} \cdots ( \mathrm{II} ) \]

Tenga en cuenta que \( \epsilon = \epsilon_{1} + \epsilon_{2} \), por tanto, de (I) y (II), queda demostrado que:

\[ \sup \mathrm{C} = \sup \mathrm{A} + \sup \mathrm{B} \]

De forma general: Del libro de Análisis Matemático Vol 1 de L.D. Kudriavtsev pone como ejercicio este teorema de manera general (pag.50-51) lo siguiente:

Dado un conjunto particular \( \mathrm{X}_{i} \) acotado superiormente, para todo \( i \in \mathbb{N} \), se define:

\[ \mathrm{Y} = \sum_{ i = 1 }^{n} x_{i} | x_{i} \in \mathrm{X}_{i} \]

Se cumple que \( \sup \mathrm{Y} = \sum_{ i = 1 }^{n} \sup \mathrm{X}_{i} \).

Teorema 5.

El supremo de un conjunto acotado superiormente es único.

Demostración:

Supongamos que existen dos supremos \( a \) y \( b \) de un conjunto dado \( \mathrm{A} \), el objetivo aquí es demostrar que \( a = b \). En efecto, si \( a \) fuera el supremo, entonces \( b \) seria una cota superior tal que:

\[ a \leq b \]

Pero si \( b \) fuera un supremo, entonces \( a \) sería una cota superior tal que:

\[ b \leq a \]

De las dos condiciones no queda otra posibilidad que \( a = b \).

Teorema 6.

Sea \( x \leq y \) para todo \( x \in \mathrm{X} \) y \( y \in \mathrm{Y} \), donde \( \mathrm{X} \) e \( \mathrm{Y} \) son dos subconjuntos no vacíos de números reales. Se verifica que \( \mathrm{X} \) tiene supremo y \( \mathrm{Y} \) tiene ínfimo y además:

\[ \sup \mathrm{X} \leq \inf \mathrm{Y} \]

Demostración:

Para todo \( x \in \mathrm{X} \) donde \( x \leq y \), lo que significa que \( y \) es cota superior de \( \mathrm{X} \) según la definición de cota superior, entonces existe un supremo tal que \( \sup \mathrm{X} \leq y \).

Ahora, para todo \( y \in mathrm{Y} \) donde \( \sup \mathrm{X} \leq y \), lo que significa que \( \sup \mathrm{X} \) es cota inferior de \( \mathrm{Y} \) por definición de cota inferior, entonces existe un ínfimo tal que \( \sup \mathrm{X} \leq \inf \mathrm{Y} \), con lo cual quede demostrado el teorema.

Teorema 7. Propiedad de comparación

Sea \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) dos subconjuntos de números reales tal que \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \), si \( \mathrm{B} \) esta acotado superiormente, se cumple que \( \mathrm{A} \) esta acotado superiormente, además se verifica que:

\[ \sup \mathrm{A} \leq \sup \mathrm{B} \]

Demostración:

Si \( \mathrm{B} \) esta acotado superiormente, entonces tiene supremo \( \sup \mathrm{B} \), por otro lado, Como  \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \), entonces para todo \( x \in \mathrm{A} \), \( x \leq \sup \mathrm{B} \), es decir, \( \sup \mathrm{B} \) es cota superior de \( \mathrm{A} \), por tanto, \( \mathrm{A} \) admite supremo \( \sup \mathrm{A} \) y es el menor de las cotas superiores según la condición 2 del axioma del supremo, es decir:

\[ \sup \mathrm{A} \leq \sup \mathrm{B} \]

Relación con los enteros

Una de ellas que vamos a mencionar a continuación se usará para demostrar la propiedad arquimediano para números reales.

Teorema 8.

El conjunto de números enteros positivos no está acotado superiormente.

Demostración:

Podemos decir que es una cuestión obvia porque los números enteros positivos \( \mathbb{Z}^{+} \) es infinito por la derecha. Sin embargo, es necesario realizar una demostración formal, veamos:

Supongamos \( \mathbb{Z}^{+} \) este acotado superiormente, entonces debe existir un supremo \( a \), tal que:

\[ a = \sup \mathbb{Z}^{+} \]

Es lógico pensar que \( a-1 < \sup \mathbb{Z}^{+} \), por el teorema 7 (propiedad de aproximación), existe un entero \( n \) entre los enteros \( a-1 \) y \( a \), tal que \( \color{blue}{a-1 < n} < a \), del fragmento azul, se tiene:

\[ a < n+1 \]

Lo que resulta una contradicción ya que \( n+1 \) es otro entero positivo de \( \mathbb{Z}^{+} \) y superior al supremo \( \sup \mathbb{Z}^{+} \), es decir, \( \sup \mathbb{Z}^{+} < n+1 \) y además \( n+1 \in \mathrm{Z}^{+} \), por tanto, \( \mathbb{Z}^{+} \) no tiene supremo.

Teorema 9.

Para todo número real \( x \), siempre existe algún entero positivo \( n \), tal que \( x < n \).

Demostración: Primero ejemplos:

• \( \frac{5}{2} = 2.5 < 3 \)
• \( \sqrt{2} < 2 \)
• \( \pi < 4 \) donde \( \pi \cong 3.141516 \cdots \)

Como estamos usando el cuantificador “para todo”, implica que siempre existe un entero \( n \) para cada real \( x \). Supongamos que el teorema no se cumpla, es decir, que sea \( n < x \), para todo valor ( \( \forall \) ) de \( x \), esto obligaría que \( x \) fuese una cota superior \( \mathbb{Z}^{+} \), pero por el teorema 8, \( \mathbb{Z}^{+} \) no puede estar acotado superiormente, por tanto, debe cumplirse que \( x < n \).

Teorema 10. Propiedad arquimediana de los números reales

Sea \( a \) y \( b \) dos números reales positivos para un \( a > 0 \), entonces existe un entero positivo \( n \) tal que:

\[ na > b \]

Demostración: Veamos algunos ejemplos para que lo entiendas mejor antes de la demostración:

• Sea cualquier \( b = 45 \) y \( a=4 \), entonces, para superar \( b \), debe existir por lo menos algún entero positivo que multiplicado con \( a \) supera a \( b \), es decir, debe cumplirse \( 45 < 4n \), para algún \( n \) existente por lo menos, para este caso \( n = 12 \) y superiores, pero no menores que \( 12 \).
• Si \( b = 3 \) y \( a = 10 \), es obvio que \( 10 > 3 \), entonces existe por lo menos un \( n=1 \) y superiores (mejor lo pongo explicito para que no te confundas: \( 10 > 3 \cdot 1 \)).
• Si \( b = \sqrt{10} \) y \( a = 2 \) (tenga en cuenta que \( \sqrt{10} < 4 \)), entonces existe un \( n \), tal que \( \sqrt{10} < 2n \), en este caso, por lo menos \( n=2 \) y superiores
• Sea \( b = -5 \) y \( a = 7 \), es obvio que \( -5 < 7 \), es obvio que \( n = 1 \) por lo menos y superiores \( -5 < 7 \cdot 1 \)).

La demostración es inmediata, del teorema 10, haciendo \( x = \frac{b}{a} \), queda demostrado el teorema.

Teorema 11.

Sea \( a \), \( x \) e \( y \) de números reales bajo la siguiente desigualdad:

\[ a \leq x \leq a + \frac{y}{n} \]

Para todo entero \( n \geq 1 \), se cumple que \( x = a \).

Demostración:

Vamos hacer algunos ajustes en la desigualdad:

\[ a \leq x \leq a + \frac{y}{n} \]

\[ 0 \leq x – a \leq \frac{y}{n} \]

\[ 0 \leq n \leq \frac{y}{x-a} \cdots ( \mathrm{I} ) \]

Realicemos las siguientes suposiciones: si \( a < x \), entonces \( a < x \rightarrow 0 < x-a \), por el teorema 10, para un entero \( n \) y dos reales \( y \) y \( x-a > 0 \), se cumple:

\[ n(x-a) > y \rightarrow n > \frac{y}{x-a} \]

Esto contradice la desigualdad \( \mathrm{I} \).

No podemos suponer que \( a > x \), porque ya está implícita la condición \( a \leq x \) en nuestra hipótesis y como \( a < x \) es una contradicción, entonces debe ser \( a = x \).

Con esta propiedad, también se puede demostrar la propiedad aditiva, es decir, el teorema 8.

Los siguientes teoremas se anuncian sin demostración:

Teorema 12.

Sea dos subconjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) de números reales positivos acotados superiormente, definimos el conjunto \( \mathrm{C} \) tal que:

\[ \mathrm{C} = \left \{ xy | x \in \mathrm{A} \wedge y \in \mathrm{B} \right \} \]

Entonces \( \mathrm{C} \) esta acotado superiormente y además se cumple que:

\[ \sup \mathrm{C} = \sup \mathrm{A} \cdot \sup \mathrm{B} \]

Teorema 13.

Sea \( \mathrm{A} \) un conjunto de números reales acotado superiormente y sea \( x \) un número real cualquiera, cumpliéndose:

\[ \sup ( A + \left \{ x \right \} ) = \sup \mathrm{A} + x \]

Teorema 14.

Sea \( y > 0 \), existe un natural \( n \) tal que \( \frac{1}{n} < y \). (Del teorema 9 solo cambiar \( x \) por \( \frac{1}{y} \)).

Teorema 15.

Para todo real \( x \), existe un único entero \( p \) tal que \( p \leq x < p + 1 \). De aquí, \( n \) se le denomina parte entera o máximo entero y se denota por \( ⟦x⟧ \) para cualquier real \( x \).

Teorema 16.

Densidad de \( \mathbb{Q} \) en \( \mathbb{R} \). Sea \( x, y \in \mathbb{R} \), con \( x < y \). Entonces existe un numero racional \( r \in \mathrm{Q} \) que verifica la siguiente propiedad:

\[ x < r < y \]

TEOREMA 17.

Sean \( \mathrm{A} \) y \( \mathbb{B} \) dos subconjuntos \( \mathbb{R} \) acotados superiormente, implica que \( \mathrm{ A \cup B } \) también esta acotado superiormente y además se cumple:

\[ \sup \mathrm{ A \cup B } = \max \left \{ \sup \mathrm{A}, \sup \mathrm{B} \right \} \]

Los racionales no llenan la recta (la incompletitud de \( \mathbb{Q} \))

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Y no solo eso, también existe una relación sobreyectiva entre los racionales y naturales, en otras palabras, existen tanto números naturales como racionales. Esto demostraría que los números racionales dejan huecos en la recta numérica como lo había mencionado anteriormente.

Es cierto que podemos encontrar un racional entre dos racionales, cosa que no es posible siempre entre números enteros.

Por ejemplo, podemos encontrar muchos racionales entre dos enteros como \( 0 \) y \( 1 \), pero no podemos encontrar otros enteros entre \( 0 \) y \( 1 \), de hecho, podíamos encontrar infinitos números racionales entre \( 0 \) y \( 1 \) (Por eso se dice que los racionales son densos), tal vez esta sea una de tantas razones por el cual los pitagóricos creían que los racionales era esencia de la vida, pero la ecuación \( x^{2} = 2 \) del teorema de Pitágoras demuestra que no es así, este punto ya lo demostré más arriba.

Cuando Georg Cantor se preguntó una vez ¿será que habrá más números racionales que naturales?, esta pregunta le llevó a demostrar que no, de que los conjuntos \( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{Q} \) son equipotentes, es decir, tienen la misma cantidad de elementos (la manera correcta de decirlo es que tienen la misma cardinalidad), esto demostraría que los racionales dejan huecos y no llena la recta numérica.

La prueba de la numerabilidad (que se puede enumerar con números naturales) de los racionales lo haré en otra publicación, tal vez la siguiente, usaremos conceptos de cardinalidad y relaciones binarias para este propósito con algunos teoremas y su demostración será sumamente sencilla, pero lo veremos en otra oportunidad poco a poco.

Prueba de la inompletitud de \( \mathbb{Q} \)

El axioma del supremo dice que todo conjunto de números reales acotado superiormente tiene supremo. Si aplicamos esto a los racionales

Basta probar que solo falle en un punto donde no exista \( \mathbb{Q} \), lo cual probaría que los reales no son completos, Sabemos que un el intervalo de números reales \( \langle – \infty , \sqrt{2} \rangle \), no tiene máximo por ser un intervalo abierto, pero si tiene supremo \( \sup \langle – \infty , \sqrt{2} \rangle = \sqrt{2} \).

Veamos que pasa si definimos este mismo conjunto para números racionales, sea el conjunto:

\[ \mathrm{A} = \left \{ x \in \mathbb{Q} | x < \sqrt{2} \right \} \]

Sabemos que no tiene máximo por ser un intervalo abierto, sin embargo, tampoco tiene supremo, es decir, \( \sup \mathrm{A} \neq \sqrt{2} \), tenga se en cuenta que también los supremos son números racionales, justamente porque estamos trabajando en este campo, lo cual implica que:

\[ \sup \mathrm{A} = \frac{a}{b} \neq \sqrt{2} \]

Donde \( a \) y \( b \) son dos números enteros, ya demostramos que \( \sqrt{2} \) no es un numero racional, eso demuestra que no siempre un subconjunto de números racionales acotado superiormente tenga supremo, lo mismo es aplicable a los enteros. Esto demostraría la incompletitud de \( \mathbb{Q} \).

La existencia de los irracionales

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Los irracionales no son numerables, eso implica que hay mas irracionales que racionales, en otras palabras, hay más irracionales que números naturales por contar, pero lo sorprendente es que los números irracionales tienen la misma cardinalidad que los reales.

La numerabilidad y no numerabilidad lo veremos en un curso de teoría de conjuntos y la demostración de que los racionales son numerables como también los irracionales no son numerables y a su vez que los irracionales y reales tiene el mismo cardinal.

Aunque la demostración de la no numerabilidad de los irracionales conlleva primero demostrar que los reales no son numerables, de ahí por exclusión (con algunos teoremas que lo confirman) de los racionales que son numerables, queda los irracionales con lo cual implica que son no numerables.

Propiedades de los irracionales

• Propiedad 1: La suma de un racional y un irracional es otro irracional
• Propiedad 2: El producto entre un racional diferente de cero y un irracional es otro irracional
• Propiedad 3: El cociente de un racional diferente de cero y un irracional es otro irracional
• Propiedad 4: El inverso de un irracional es otro irracional
• Propiedad 5: del teorema 16, siempre encontramos al menos un irracional entre dos racionales.

Tenga en cuenta que la suma o producto de dos irracionales no siempre es irracional, por ejemplo, tenemos dos números irracionales \( 2 + \sqrt{2} \) y \( 2 – \sqrt{2} \), la suma y el producto es:

• \( 2 + \sqrt{2} + 2 – \sqrt{2} = 4 \)
• \( (2+\sqrt{2})( 2 – \sqrt{2} ) = 2 \)

Los números reales es un conjunto completo

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Los números reales llenan toda la recta, el axioma de completitud dice que siempre un subconjunto de números reales no vacío acotado superiormente tiene supremo, por ejemplo:

• \( \langle \infty , \pi \rangle \) tiene supremo \( \pi \) (número phi)
• \( \langle – \infty , e \rangle \) tiene supremo \( e \) (número de Euler)
• \( \langle – \infty , \varphi \rangle \) tiene supremo \( \varphi \) (número áureo)

Existe un estudio preliminar e independiente del axioma del supremo, este estudio si se toma como punto de partida, este estudio se llama “espacios métricos”, el axioma del supremo sería un teorema, en base a este punto, se demostraría que los números reales es completo bajo el concepto de un espacio métrico completo, pero esto lo veremos en un futuro cercano.

¿Por qué sabemos intuitivamente que los reales llenan la recta? (aspecto informal)

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Se ha definido a los irracionales como como el conjunto de los números no racionales, es decir, no hemos clasificado los irracionales, puede ser cualquier cosa, en cambio, los racionales tiene una definición como es la relación entre dos enteros, en cambio, los irracionales son todos aquellos que no se puede representar entre la relación de dos enteros, lo cual no existe clasificación, por tanto e de manera intuitiva decimos que el resto de la recta real de los racionales se definen como irracionales (sin clasificación).

Por esta razón, el axioma de completitud es precisamente eso, un axioma porque hemos supuesto que los irracionales que puede ser cualquier número “raro” no definido llena la recta con los racionales.

No hay una definición precisa de numero irracional es por ello y de manera genérica decimos que un irracional son aquellos reales que no son racionales, digamos que los irracionales son el complemento faltante intuitivo (axiomático) de los racionales de la recta real y por tanto, se dice que los reales es un sistema completo y sin huecos.

Fin de la sección

Ha sido una sección larga y muy interesante, se que he dejado algunos puntos sin considerar como la demostración de los irracionales que no son numerables o que los racionales es un conjunto numerable.

Estos conceptos necesitan una base teórica solida para su explicación, para ello debo agregar secciones de numerabilidad y cardinalidad en el curso de teoría de conjuntos, de esta manera el objetivo de esta teoría sería satisfactoria.

Nos vemos en la siguiente sección de números reales, será mas digerible que la sección actual. Que tengas un buen día, bye.

Referencias

• Análisis matemático – el sistema de los números reales y el de los complejos | Tom M. Apóstol.
• Calculus – Un conjunto axiomático para el sistema de números reales | Tom M. Apostol.
• Matemática básica – Números reales – Intervalos | Ricardo Figueroa.
• Los números reales y el infinito | Carlos Uzcátegui Aylwin
• Completitud en    | TecDigital.
• Análisis de una variable real I – Introducción axiomática de los números | Tijani Pakhrou
• Análisis real, Vol 1 – números reales | Elon Lages Lima
• Introducción al análisis | Antoni Wawrzynczyk, Juaquín Delgado