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¿Que es una proposición en matemática?

1. Proposiciones matemáticas


Este es el primer tema del curso de lógica proposicional, en esta oportunidad estudiaremos que son las proposiciones matemáticas y propiedades. Este concepto tiene distintas definiciones en diferentes áreas de estudio e incluso en lingüística dista mucho de lo que entendemos por proposición lógica en matemáticas.

Aunque este concepto en lógica proposicional (informal) se estudia desde ángulos distintos, pero el concepto resulta ser el mismo. Ahora veremos lo que son las proposiciones lógicas.

¿Que es una proposición matemáticas?


Entendemos por definición de proposición tanto en lógica como en matemáticas como aquel enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambas a la vez.

En lógica proposicional lo único que importa son los valores de verdad de una proposición. Los argumentos que usaremos en esta sección solo servirán como ejemplo para entender este concepto.

Bajo esta limitación usualmente se representan por letras minúsculas y se les llama variables proposicionales, veremos estos puntos mas adelante. Aquí tienes algunos ejemplos de proposiciones:

Ejemplos

Los siguientes enunciados son proposiciones

  1. La tierra no es plana (verdadero).
  2. Los perros tienen pico en lugar de hocico (Falso).
  3. Los cuadernos sirven para escribir (verdadero).
  4. \( 2+2=5 \) (Falso).
  5. \( 4^3 = 64 \) (verdadero).

Valor de verdad de una proposición (lo único que importa)


Tenga en cuenta que los argumentos escritos gramaticalmente con respecto a los siguientes ejemplos no expresa ni representa nada para las matemáticas a menos que se definan correctamente dichos argumentos de las proposición por lo que nuestra interpretación es subjetiva para las matemáticas.


En lógica proposicional (pero no todo en lógica matemática) solo le concierne los valores de verdad de una proposición que la estructura del argumento en sí. Aclararemos este punto justo luego del siguiente ejemplo de proposiciones falsa y verdadera.

Ejemplo

Los siguientes ejemplos explican que enunciados son o no proposiciones:

  1. Todo perro tiene dos orejas (verdadero).
  2. Un escarabajo es un burro (Falso).
  3. ¡Estoy emocionado! (no es proposición).
  4. Aquella persona es una mujer (no es proposición).

Explicación de cada enunciado.

  1. El primer ejemplo se basa en nuestra experiencia visual, podemos comprobar que todo perro tiene dos orejas resultando una proposición verdadera.
  2. Sabemos según nuestra experiencia que un escarabajo no es un burro, la proposición es falsa.
  3. Una exclamación no indica que algo sea verdadero o falso, lo que implica que el enunciado no es una proposición.
  4. Este enunciado indica que una persona puede ser una mujer como tampoco serlo, es decir, no podemos decir que es verdadero o falso, entonces no es una proposición. Este tipo de enunciados se les llama funciones proposicionales por poseer variables desconocidas y es muy utilizado en lógica de primer orden.

Las matemáticas no sabe ni reconoce si este enunciado “Todo perro tiene dos orejas“, es verdadero o falso, no está definido en su vocabulario “perro” y “orejas”, de hecho cada palabra de todo este enunciado no esta definida por la matemáticas a menos que se realice una definición previa y las propiedades de cada parte de la oración e incluso el orden de cada palabra del enunciado.

La lógica proposicional solo se limita a extraer los valores de verdad sin importar los argumentos ya que no son mas que simples interpretaciones subjetivas para las matematicas.

Existe un rama de la lógica matemática que puede estudiar la estructura de las proposiciones pero es un tema que está fuera del alcance de este curso.


Conectivos lógicos


Si queremos estudiar correctamente los tipos de enunciados, hay que entender como se forman estas proposiciones, los primeros símbolos más importantes en toda lógica matemática, específicamente en lógica proposicional son los conectivos lógicos (o conectores lógicos), para ello vamos a enumerar ahora mismo en la siguiente lista con su respectivo símbolo lógico matemático:

ConectivoPalabraSímbolos
Negaciónno (y todas sus variaciones)\( \sim \)
Conjuncióny (y todas sus variaciones)\( \wedge \)
Disyunción (Inclusiva)o (y todas sus variaciones)\( \vee \)
Disyunción exclusivao….o…. (y todas sus variaciones)\( \bigtriangleup \)
CondicionalSi….entonces (y todas sus variaciones)\( \rightarrow \)
Bicondicional….si y solo si (y todas sus variaciones)\( \leftrightarrow \)

Ejemplos

Los siguientes enunciados son proposiciones formados por conectivos lógicos:

  1. Negación de una proposición.
    \( p \): Los perros tienen cola
    \( \sim p \): Los perros no tienen cola
  2. Conjunción de una proposición.
    \( p \wedge q \): Los perros y gatos tiene cola
  3. Disyunción de una proposición.
    \( p \vee q \): Las arañas o las hormigas tienen patas
  4. Disyunción exclusiva de una proposición.
    \( p \bigtriangleup q \): El foco de una luz o está prendida o está apagada.
  5. Condicional lógica de una proposición.
    \( p \rightarrow q \): Si el escarabajo es un insecto, entonces no es humano
  6. Bicondicional lógica de una proposición.
    \( p \leftrightarrow q \): Hace frío si y solo si la temperatura baja.

Estos conectivos lógicos nos ayudarán a resumir los diferentes tipos de enunciados que presentamos a continuación.

Tipos de enunciados


Existen dos tipos de enunciados en el área de lógica matemática y son el enunciado abierto y la proposición, esta ultima se pueden dividir dos tipos o clases de proposiciones y son la proposición simple y compuesta. Veamos cada una de ellas.

Enunciado abierto

Los enunciados abiertos también llamados funciones proposicionales son aquellos enunciados que no se tiene datos si algo es verdadero o falso, es decir afirman o niegan sin saber si es verdadero o falso.

Aunque existen otras palabras especiales (con símbolo matemático propio) que al ser añadido a los enunciados abiertos, se transforman en proposiciones, esto lo veremos el curso de teoría de conjuntos.


Ejemplos

Los siguientes ejemplos son enunciados abiertos

  • Ella tiene un polo color azul.
  • \( x>4 \).
  • La casa tiene dos puertas..
  • \( y^2 + z^2 <5 \).

La palabra “Ella” que resulta ser el sujeto de la oración es una variable, igualmente con las letras “\( x \)”, \( y \), \( z \) y “casa” son variables. Como no tenemos conocimiento de sus valores, implica que las oraciones anteriores son enunciados abiertos.

Proposición simple o atómica

Es aquella proposición que simplemente no está formado por ningún conectivo lógico.

Ejemplo

  • La hoja del papel es plana
  • \( 5 > 3 \)

Proposición compuesta o molecular

Es aquella proposición que esta formada por lo menos por un conectivo lógico.

Ejemplo


  • Los humanos no tiene cola y ni patas.
  • 3 y 6 son divisibles por 3.

Si quieres entender un poco mejor con un poco de practica, puedes visitas el capitulo 14 de lógica proposicional donde muestro como ejercicios a proposiciones simples y compuesta. Todos los capítulos lo encuentras en el lado izquierdo en ordenador o al final de esta sección si estas en tu teléfono donde tenemos todos los capítulos de lógica proposicional enumerados.

Relación de una proposición y su valor de verdad


Sean 4 proposiciones \( p \), \( q \), \( r \) y \( s \) que representa el conjunto de las proposiciones \( \mathrm{P} \) donde pueden ser verdadero \( V \) o falso \( F \) que representa al conjunto de valores de verdad \( \mathrm{V} \), entonces existe una relación entre proposición y valor de verdad tal como mostramos en el siguiente diagrama:

Esquema de la relación entre las proposiciones y sus valores de verdad en un diagrama de Venn

En base a este diagrama, podemos decir que existe un numero determinados de proposiciones \( \mathrm{P} = \{ p_{1}, \ p_{2}, \cdots p_{i}, \cdots p_{n} \} \) y conjuntos de valores de verdad \( \mathrm{V} = \{ V, \ F \} \), simbólicamente se representa así:

\[ f( p_{i} ) = \left \{ \begin{array}{ l } V, \ \text{si} \ p_{i} \ \text{es verdadera} \\ F, \ \text{si} \ p_{i} \ \text{es falsa} \end{array} \right. \]

Donde \( i \) representa a los números enteros positivos. Esto no es mas que una condición que deben cumplir el conjunto de las proposiciones según la propiedad \( f \), es decir, la de ser verdadero o falso.

Representación matemática de las proposiciones


Las proposiciones se pueden representar matemáticamente, pero debemos identificar las partes de una proposición, entre ellas tenemos, las variables proposicionales, los conectivos lógicos y los signos de agrupación, veamos cada una de ellas:

Variables proposicionales

Son aquellas proposiciones representadas por letras minúsculas generalmente por las letras \( p \), \( q \), \( r\), sin embargo, se puede representar con cualquier letra minúsculas siempre y cuando se indique que es una variable proposicional.


Las variables proposicionales pueden ayudar a crear proposiciones más complejas, el único inconveniente es que estas variables no identifica si resulta ser una proposición compuesta o simple, simplemente no lo sabemos, aunque en lógica proposicional no es algo que importe del todo, solo es usado como mencion teórica.

Regresando con los conectivos lógicos

Los conectivos lógicos nos da mayor información de una proposición, de hecho, lo enriquece ya que conecta la información de las variables proposicionales entre ellas, ampliando su significado y también su estructura.

Ya indicamos una tabla de valores de verdad más arriba, en base a eso, se pueden crear nuevas proposiciones complejas.

Ejemplo:

Sean dos proposiciones \( p \) y \( q \):

  • \( p \vee q \)
  • \( q \wedge p \)
  • \( p \rightarrow q \)
  • \( \sim q \)
  • \( p \leftrightarrow q \)
  • \( p \bigtriangleup q \)

Signos de agrupación

Los signos de agrupación nos ayuda a conectar proposiciones formadas a su vez por variables proposicionales y conectivos lógicos, sin estas, una proposición tendría significado distintos, hasta ser en algunas ocasiones verdadera y falsa a la vez si se opera incorrectamente, y es lo que se quiere evitar.

Los más usados son los paréntesis “()”, los corchetes “[]” y las llaves “{}”, estos signos nos ayuda a evitar caer en ambigüedades y mantiene el significado como el valor de verdad de estas proposiciones formadas por signos de agrupación.


Ejemplo:

Sea la proposición \( p \vee q \rightarrow r \), usando los signos, sería:

  • \( ( p \vee q ) \rightarrow r \)
  • \( p \vee ( q \rightarrow r ) \)

Estas dos proposiciones tiene no solo dos significados distintos, sino también valores de verdad diferentes, pero esto lo veremos más adelante cuando estudiemos la tabla de verdad de una proposición.

Esquemas moleculares

De manera informal, es la representación matemática de las proposiciones formadas por las variables proposicionales, conectivos lógicos y algunas veces los signos de agrupación.

Ejemplos:

Sea 3 variables proposicionales \( p \), \( q \), \( r \), algunos ejemplos de esquemas moleculares son:

  • \( ( p \vee q ) \rightarrow r \)
  • \( r \wedge [ \sim q \vee p ] \)
  • \( \sim q \leftrightarrow { p \bigtriangleup ( r \rightarrow \sim q ) } \)

Proposiciones equivalentes


Son aquellas proposiciones donde pueden ser alteradas tal que no tengan los mismos conectivos lógicos o tener conectivos lógicos y variables proposicionales ordenadas de manera distinta pero con la misma información y por ende, con el mismo valor de verdad.


Ejemplo

  • Sea el enunciado “los perros ladran“, un equivalente es:
  • No es cierto que los perros no ladren

Estos dos enunciados son equivalentes y simbólicamente se representa así:

  • \( p \equiv \sim ( \sim p ) \)

En este caso la variable \( p \) es “los perros ladran“. En secciones posteriores explicaremos porque son equivalentes o dicen exactamente lo mismo, aunque a nivel lingüístico y de sentido común sabemos que dicen lo mismo, solo que queremos darle un sustento matemático a estos detalles, veamos otro ejemplo.

  • Sea el enunciado “los perros y gatos son animales de cuatro patas“, un equivalente es:
  • los gatos y perros son animales de cuatro patas

Simbólicamente se representaría así:

  • \( p \wedge q \equiv q \wedge p \)

Aquí la variable \( p \) es “los perros son animales de cuatro patas” y \( q \) es “los gatos son animales de cuatro patas“, es decir, las proposiciones equivalentes hablan, expresan lo mismo y por ende, su valor de verdad también.

Esto es todo en cuanto material informal se refiere, pero en un estudio completo y refinado como en cursos avanzados de lógica matemática, las proposiciones son de menor importancia con respecto a las variables, me refiero a los enunciados abiertos donde se le da mas énfasis en su estructura, es decir, las funciones proposicionales son de mayor interés de estudio.

También puedes practicar en esta sección algunos ejercicios de proposiciones matemáticas junto con otros temas relacionados a la lógica proposicional, los primeros ejercicios se basan en este primer capitulo, así que aprovéchalo. De esta manera finalizamos esta sección, será actualizada pronto ya que existen algunos puntos interesantes (por no decir importantes) que debemos recalcar respecto a esta sección.


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