Que es la condicional lógica

5. Condicional Lógica


En esta sección toca estudiar la condicional lógica o condicional material, un conectivo lógico un poco complejo ya que no tiene el mismo significado que la implicación lógica.

Otro punto interesante de la condicional es que no necesariamente dos proposiciones pueden forman una proposición condicional, también dos enunciados abiertos pueden formar una proposición condicional.

También existe una pequeña controversia y una incongruencia lógica cuando estudiamos ejemplos de casos ideales, pero esto lo veremos en el desarrollo de la sección actual, en las próximas líneas.

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¿Que es la condicional lógica?


La condicional lógica estudia las consecuencias de los argumentos, para lograr este cometido es necesario tener información previa para identificar dichas consecuencias y también deben estar incluidas en los argumentos.

La información previa de este tipo de argumentos la llamamos antecedentes y las consecuencias simplemente la llamaremos consecuente.

En la sección principal de lógica proposicional discutimos justamente este punto, hemos dicho que el fin de la lógica es llegar a una conclusión final, pero esta conclusión no existiría sino fuera por sus premisas causantes o antecedentes, una característica que se ajusta muy bien a la condicional lógica.


Definición de la condicional lógica

La condicional lógica, también llamada condicional material o simplemente condicional denotado con símbolo \( \rightarrow \) es un conectivo lógico que une dos proposiciones \( p \) llamado antecedente y \( q \) llamado consecuente formando una nueva proposición denotado por \( p \rightarrow q \) tal que su valor de verdad es falsa si el antecedente es verdadero y consecuente es falso, para otras combinaciones de valores de verdad de \( p \) y \( q \) resulta ser siempre verdadera.

Una proposición que tenga como conectivo lógico dominante a la condicional lógica, lo llamaremos proposición condicional.

Ejemplo

La proposición:

  • Si ella se porta bien, entonces la llevaré de paseo.

Lo podemos desglosar de la siguiente manera:

  • Ella se porta bien.
  • La llevaré de paseo.

Por si solos, resulta ser enunciados abiertos, también podemos ver que la oración lleva dos palabras principales, esto es “Si…., entonces….”, donde:

  • Siella se porta bien“, indica una afirmación de un precedente, en este caso, no importa quien puede ser ella.
  • Entoncesla llevaré de paseo“, indica una consecuencia, aquí no importa quien puede ser ella para llevarle de paseo.

Podemos decir que:

  • Ella se porta bien“, es la causa
  • La llevaré de paseo” es la consecuencia o la conclusión.

En base a esto, podemos encontrar 4 posibles combinaciones de verdad de un mismo enunciado:


  • \( \overbrace{ \textit{Si} \ \underbrace{ \textit{ella se porta bien} }_{ V }, \textit{entonces} \ \underbrace{ \textit{la llevaré de paseo} }_{V} }^{V} \)
  • \( \overbrace{ \textit{Si} \ \underbrace{ \textit{ella se porta bien} }_{ F }, \textit{entonces} \ \underbrace{ \textit{la llevaré de paseo} }_{V} }^{V} \)
  • \( \overbrace{ \textit{Si} \ \underbrace{ \textit{ella se porta bien} }_{ F }, \textit{entonces} \ \underbrace{ \textit{la llevaré de paseo} }_{F} }^{V} \)
  • \( \overbrace{ \textit{Si} \ \underbrace{ \textit{ella se porta bien} }_{ V }, \textit{entonces} \ \underbrace{ \textit{la llevaré de paseo} }_{F} }^{F} \)

Las 3 primeras proposiciones son verdaderas y la última es falsa.

Aquí “ella se porta bien” es el antecedente y “la llevaré de paseo” es el consecuente. Pero si el antecedente esta formado por dos enunciados como por ejemplo:

  • Los humanos tienen dos piernas.
  • Sergio es humano.
  • Por tanto, Sergio tiene dos piernas.

Linealmente se escribiría así:

  • Los humanos tienen dos piernas, Sergio es humano, entonces Sergio tiene dos piernas.

Aquí, el antecedente es “Los humanos tiene dos piernas y Sergio es humano” formado por dos premisas donde “Los humanos tiene dos piernas” es la premisa mayor y “Sergio es humano” es la premisa menor y el consecuente es “entonces, Sergio tiene dos piernas“.

Regla: Para tomar los valores de verdad del enunciado anterior, primero debemos tomar los valores de verdad formada por el antecedente donde encontramos una conjunción lógica “y” que uno a las dos premisas del enunciado, luego tomamos la validez entre el antecedente y consecuente conectados por la condicional.

Generalmente, el estudio de este tipo de proposiciones es necesario el uso de paréntesis para indicar que conector lógico tiene mayor jerarquía y cuales no.

Tener en cuenta que las premisas son aquellas oraciones que anteceden a la conclusión.


Tabla de verdad de la condicional


En base a la definición y el primer ejemplo de la condicional lógica, la siguiente tabla de verdad es:

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \rightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \end{array} \]

Pero si observamos bien la tabla, 3 de las 4 combinaciones son verdaderas donde encontramos un punto controvertido, si el antecedente es falso y consecuente es verdadero, la condicional resulta ser verdadera.

Si no me entiendes, te lo explico de la siguiente manera: puedo decir fundamentos falsos y a pesar de que la conclusión es verdadera, la condicional sigue siendo verdadera, o mas bien, te puedo dar una conclusión verdadera con premisas falsas. Esta pequeña controversia lo veremos mas adelante como contenido auxiliar.

Tipos de proposiciones condicionales


Las proposiciones condicionales que presentaremos ahora son derivadas de la proposición del tipo \( p \rightarrow q \), estas se clasifican en recíproca, inversa y contrarrecíproca. Comencemos con la primera.

Proposición recíproca

Literalmente hablando, la proposición recíproca es cuando se intercambian las posiciones del antecedente y el consecuente en una proposición condicional.

Definición de proposición reciproca

De la proposición condicional \( p \rightarrow q \) se le llama proposición reciproca a la proposición \( q \rightarrow p \).

Ejemplo


Caso 1: Sea la siguiente proposición condicional:

  • \( p \) = Si sale el sol, entonces saldré de casa.

La palabra “Sale el sol” por si solo es una afirmación, pero no demostrable, no puedes hacer que salga el sol porque simplemente se diga “Sale el sol“, no tienes voluntad sobre las estaciones climatológicas y de los astros.

Pero la expresión “Si sale el sol” es un pronóstico, donde se puede decir que es verdadero o falso según la circunstancias. Simbolizando “\( r \) = sale el sol” donde este sería el antecedente de la proposición \( p \).

La expresión “Saldré de casa”  es tan solo una orden, una acción, pero la expresión “entonces, saldré de casa” es una consecuencia, una posible conclusión de una causa. Simbolizando “\( s \) = saldré de casa” donde este sería el consecuente de la proposición \( p \).

Nuestra proposición condicional quedaría así:

  • \( p = r \rightarrow s \)

Y su proposición recíproca esta representada así:

  • \( p = s \rightarrow r \)

La nueva proposición recíproca sería:


  • Si salgo de casa, entonces saldrá el sol.

Como vemos, esta es una proposición condicional absurda, no necesitamos analizar tanto para saber que nuestro sentido común indica lo ilógico que es esta proposición. Por tanto, la proposición condicional \( p \) que definimos no tiene una proposición recíproca.

Caso 2: Sea la proposición condicional

  • Si \( x \) es un número par, entonces es divisible por \( 2 \).

Su proposición recíproca sería:

  • Si \( x \) es divisible por \( 2 \), entonces es un numero par.

Lo cual tiene sentido, esto es, tanto \( r \rightarrow s \) como \( s \rightarrow r \) son verdaderos, donde \(r\) = “\( x \) es un numero real” y \( s \) = “\( x \) es divisible por 2″.

Por tanto, no todas las proposiciones condicionales puede tener una proposición recíproca, del ejemplo anterior del caso 1, observe también que \( r \) y \( s \) no son proposiciones, son enunciados abiertos.

Las proposiciones condicionales también pueden tener antecedentes y consecuentes como enunciados abiertos, esta peculiaridad solo pasa con los condicionales y bicondicionales.

Sea absurda o no, desde el punto de vista de la inferencia lógica, la reciproca de una proposición es condición necesaria pero no suficiente para que sean equivalentes, es decir \( p \rightarrow q \neq q \rightarrow p \).


Es muy fácil comprobarlo desde la tabla de verdad, se sabe que para la condicional se cumple que \( \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{F} = \mathrm{F} \), sin embargo, no ocurre lo mismo si invertimos el antecedente y consecuente \( \mathrm{F} \rightarrow \mathrm{V} = \mathrm{V} \).

Proposición inversa

Una proposición inversa es la negación del antecedente y consecuente de una proposición condicional. Como en el caso anterior, no siempre una proposición inversa se puede inferirse una proposición condicional.

Definición de proposición inversa

Sea la proposición condicional \( p \rightarrow q \) llamamos proposición inversa a la proposición \( \sim p \rightarrow \sim q \).

Ejemplo

Dada la proposición del tipo \( p \rightarrow q \):

  • Si camino, entonces avanzó.

Su proposición inversa \( \sim p \rightarrow \sim q \), sería:

  • Si no camino, entonces no avanzo.

Como vemos, tanto la proposición \( p \rightarrow q \) y \( \sim p \rightarrow \sim q \) son verdaderas.

De la misma manera como la proposición recíproca, la inversa no es equivalente con la proposición condicional. Sabemos que \( \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{F} = \mathrm{F} \) y su inversa que resulta negando el anteceden y consecuente resulta \( \mathrm{F} \rightarrow \mathrm{V} = \mathrm{V} \).


Vemos que ocurre lo mismo con la reciproca, lo interesante y curioso es que tanto la proposición reciproca y la inversa si son mutuamente equivalentes.

Proposición contrarrecíproca

Una proposición contrarrecíproca de una proposición condicional es como una proposición recíproca pero con el antecedente y el consecuente negado, veamos su definición formal.

Definición de proposición contrarrecíproca

Sea la proposición condicional \( p \rightarrow q \) se le llama proposición contrarreciproca a la proposición \( \sim q \rightarrow \sim p \).

Ejemplo

Veamos la siguiente proposición del tipo \( p \rightarrow q \) y son:

  • Si las cifras de \( x \) suman números múltiplos de 3, entonces \( x \) es múltiplo de 3.

Su proposición contrarrecíproca \( \sim q \rightarrow \sim p \), sería:

  • Si \( x \) no es múltiplo de 3, entonces las cifras de \( x \) no suman números múltiplos de 3.

Tanto la proposición condicional original del tipo \( p \rightarrow q \) y su contrarrecíproca \( \sim q \rightarrow \sim p \) son verdaderas y no contradictorias.

Las dos primeras proposiciones condicionales como la recíproca, la inversa no siempre existen y no pueden derivarse de la condicional material cosa que ya explicamos en ejemplos anteriores.

Si embargo, la proposición contrarrecíproca es la única que pasa la prueba de condición suficiente y necesaria, si realizamos una tabla de verdad de la bicondicional entre la proposición condicional y de su contrarrecíproco, resulta ser una tautología y por tanto logra ser una equivalencia lógica, como son equivalentes, se escribe así:


\[ p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \]

Se le conoce como ley de transposición y por lo general es usado como demostración indirecta. Existen diferentes tipos de demostraciones matemáticas pero solo trataremos la que hemos planteado para una próxima entrada.

Propiedades de la condicional material


Estas propiedades se encuentran relacionadas con la implicación lógica de manera simbólica para que puedan diferenciarse como la lógica de la condicional actúa sobre si misma. Sean las proposiciones \( p \), \( q \) y \( r \), tenemos:

  • Ley distributiva: \( p \rightarrow ( q \rightarrow r ) \Rightarrow ( p \rightarrow q ) \rightarrow ( p \rightarrow r ) \).
  • Transitividad: \( ( p \rightarrow q) \rightarrow ( q \rightarrow r ) = p \rightarrow r \).
  • Conmutatividad del antecedente: \( p \rightarrow ( q \rightarrow r ) = q \rightarrow ( p \rightarrow r ) \).
  • Ley de identidad: \( p \rightarrow p \).
  • \( p \rightarrow q = \sim p \vee q \), podríamos decir que la condicional lógica es un tipo de disyunción.
  • \( \sim ( p \rightarrow q ) = p \wedge \sim q \), la negación de la condicional es un tipo de conjunción.

Finalizamos el contenido principal, sin embargo, puede que te interese un contenido auxiliar de la condicional material, sus falencias y la diferencia que existe con al implicación lógica, con esto cerraría la sección actual.

Contenido auxiliar, si gustas, puedes ignorar este apartado.

¿Qué problema hay con la condicional material?


La condicional material tiene una propiedad débil, ya que si bien es cierto que el antecedente no se cumple (Del ejemplo anterior: “Si ella no se porta bien“), es posible que el consecuente se cumpla (“entonces de todas maneras la llevaré de paseo“).

Decimos entonces que la proposición compuesta es verdadera porque a pesar de no cumplir con lo indicado, la promesa igualmente se cumplió.


Si el antecedente, es decir, la premisa causante resulta ser falsa, y el consecuente es verdadera, entonces ¿deberíamos de concluir que la proposición compuesta debe ser verdadera porque no se cumplió con el antecedente?, ¿es razón suficiente para ser verdadera?. Pongamos un ejemplo concreto muy interesante, veamos:

Un ejemplo peculiar

Sea \( \phi \) el conjunto vacío, \( \mathrm{A} \) cualquier conjunto del Universo \( \mathrm{U} \) y \( x \) cualquier elemento de \( \mathrm{U} \). Probar que:

  • \( x \in \phi \rightarrow x \in \mathrm{A} \)

Como \( \phi \) es el conjunto vacío, significa que no tiene elemento alguno y como \( x \) es un elemento, entonces \( \phi \in \phi \) es falso, pero para \( x \in \mathrm{A} \) puede ser falso como también verdadera, es decir, pueda que \( x \) pertenezca o no al conjunto \( \mathrm{A} \). Sea cual fuese el caso, la condición de \( x \in \phi \rightarrow x \in \mathrm{A} \) siempre será verdadera. Resumiendo:

  • La proposición es verdadera porque el antecedente es falso y el consecuente falso
  • La proposición  es verdadera porque el antecedente es falso y el consecuente verdadero.

Por tanto antecedente no es prueba legitima para el consecuente, en base este problema, podemos decir que ¿la condicional material tal como la estamos tratando merece ser aplicada para fundamentar argumentos sólidos?,  no del todo. Antes de ver este pequeño inconveniente, no hay que olvidar la tabla de verdad de la condicional lógica o material.

La controversia de la condicional material


El conectivo lógico más controversial y más dificil de comprender, la condicional lógica tal como se la conoce, tiene puntos flacos para el estudio de las ciencias, se podría pensar que no importa que tan fundamentada podrá construirse una teoría, según este tipo de conectivos a nivel argumentativo, las conclusiones de muchos documentos académicos de todas las bibliotecas del mundo pueden ser correctas y su desarrollo teórico incorrecto o falso.

O dicho de otra manera, no importa que tan explicada este bien una teoría, incluso no ser verdaderas, lo que importa es la veracidad de sus conclusiones reales.


Según Friedman, dice que: “Para ser importante, por lo tanto, una hipótesis deberá ser descriptivamente falsa en sus supuestos; no tomar en cuenta ninguna de las numerosas circunstancias contingentes porque su éxito mismo revela que carecen de pertinencia para los fenómenos que trata de explicar

En este punto, el tratamiento de esta conectiva resulta ser un tema de debate y lo fue durante un tiempo regular y también un tema de mucha confusión y contradicción ya que para resolver este punto, se ha definido un condicional más fuerte, pero a menudo se confunde con el condicional material, nos referimos a la implicación.

Pero antes de hablar de la implicación, el condicional material, tal y como lo planteamos, significa que también las afirmaciones son válidas para los siguientes ejemplos.

Ejemplos ilógicos que la condicional material toma como verdaderas

  • Si me como una manzana, entonces hoy hará calor
  • Me convertiré en una rana cuando comience la tercera guerra mundial.
  • Si los elefantes vuelan, entonces yo soy gorila.
  • Si 1+1=2, entonces 3+5=8.

La proposición “1+1=2, entonces 3+5=8” es verdadera, pero no porque el consecuente “3+5=8” y el antecedente “1+1=2” sean verdaderas, sino que no tiene relación alguna a nivel semántico, es decir, el consecuente no se pueda deducir del antecedente en si sino por su valor de verdad de esta, en otras palabras, la condicional tan solo es una función de verdad binaria. solo juega con los valores de verdad del antecedente y el consecuente.

Esto quiere decir que se excluye el contenido de la proposición, es decir, el argumento, esto solo aplica a la lógica proposicional ya que una proposición condicional se simboliza a secas así \( p \rightarrow q \), lo que prima, lo que vale es solo su validez y nada mas.

En vista de este pequeño detalle, se diferenció dos tipos condicionales, una de ellas ya la estudiamos y la llamamos condicional material, la otra, la que vamos a referirnos a continuación es la implicación.


Por tanto, la condicional material concluye su valor de verdad desde los valores de verdad de las proposiciones que la conforman y no desde su argumento.

Tengan en cuenta que la lógica proposicional solo se centra en los valores de verdad de las proposiciones de manera exclusiva, única limitación de la lógica proposicional.

Diferencia entre implicación y condicional material


Claro que existe una diferencia entre la condicional material y la implicación lógica a pesar de su sutileza; para comenzar, hay que entender que la implicación es una afirmación contundente no probabilística, la condicional es lo contrario, habla de lo que podría ocurrir o suceder, más no afirmar si ocurrirá algo con total seguridad, es por ello que se le asignan diferentes valores de verdad.

También existe otro punto a considerar, la condicional material se expresa a nivel sintáctico con respecto a los argumentos (solo en lógica proposicional) y sus únicos valores semánticos serían el de ser verdadero o falso.

En cambio, la implicación se centra más en el aspecto semántico (tiene en cuenta literalmente los argumentos, esto se estudia como mayor amplitud en lógica de predicados), es decir, se tiene muy en cuenta el significado tanto la premisas como las conclusiones, por ejemplo: “Si me como una manzana, entonces hoy hará calor”, sería un sin sentido para la implicación.

Por último, para la implicación debe existir una causa para un efecto, esto no pasa con la condicional material, si bien es cierto que la causa puede ser falsa y el efecto verdadero, significa que la conclusión no ocurrió según las premisas, entonces , ¿Qué lo ha generado?, esto significa que debe existir alguna premisa causante para que la conclusión se de por sentado, lo que significa que faltan datos.

En base al párrafo anterior decimos entonces que la condicional material es incompleta, por lo visto, este tipo de conectivos lógicos le faltan datos para afirmar la razón de ser de la conclusión tal cual es. Veamos de estas diferencias.


Ejemplo

Sean las siguientes proposiciones:

  1. Si mañana es año nuevo, entonces me iré de paseo.
  2. Mañana es año nuevo, por tanto me iré de paseo.

La primera proposición pronostica un suceso, un evento, la segunda confirma algo, nos dice que es obvio, que la conclusión ocurre por culpa de la premisa.

Escribamos la proposición 1 de la siguiente manera:

  • \( \overbrace{ \text{Si} \ \underbrace{ \text{mañana es año nuevo} }_{F}, \text{entonces} \ \underbrace{ \text{me iré de paseo} }_{V} }^{V} \)

Para la implicación, siempre resulta ser verdadera por que afirma o niega sin rodeos una proposición de la siguiente manera:

  • \( \text{ Mañana es año nuevo, por tanto, me iré de paseo } \)

La implicación simplemente afirma, no se le puede dar valores de verdad a ciegas como verdadero o falso, simplemente si digo que si “sale el sol”, por tanto y obligatoriamente “tendré que salir de paseo” es un suceso inevitable.

Falacia de la condicional material: negación del consecuente


En el ejemplo anterior, la conclusión depende únicamente de la premisa, porque si negamos la premisa, también negamos la conclusión y por tanto, la proposición siempre será verdadera, pero no se puede hacer lo mismo con la condicional material, negar la premisa no implica que siempre sea verdadera la conclusión, pero muchas veces se cree que si.


Esta falacia se llama negación del consecuente y resulta que la conclusión pueden darse incluso cuando el antecedente es falso, pero solo es posible si tratamos a la condicional material desde la perspectiva semántica de sus argumentos y no solamente desde sus valores de verdad (pero eso es otro tema a tratar).

Por lo que la conclusión siempre dependerá de la premisas causantes y eso es lo que pretende la implicación lógica.

También se dice que en una implicación, el antecedente lleva la verdad del consecuente por lo que siempre sera una verdad definitiva sin contradicciones.

Por ello, la implicación es la base de los teoremas matemáticas, porque siempre hay una hipótesis y una tesis, donde hipótesis lleva la verdad de la tesis. 

Cosa contraria que podría ocurrir con la condicional material, ya que cualquier prueba falsa o verdadera de un antecedente puede dar como resultado una conclusión siempre verdadera, por tanto, elegimos la implicación como base principal para cualquier demostración matemática.

En la sección donde trato la inferencia lógica describo con mayor detalles estas diferencias, con ello, terminaría la confusión que existen entre estas dos.

Pero hay que tener cuidado cuando usamos la condicional material coloquialmente (donde siempre es inevitable la semántica de los argumentos), ya lo expliqué en el ejemplo de la diferencia entre la condicional y la implicación donde menciono que este tipo de argumentos pueden ser una falacia que muchas veces se puede pasar desapercibido.

Representación simbólica de la implicación


Para dos proposiciones \( p \) y \( q \), la representación simbólica de la implicación es \( p \Rightarrow q \) donde resulta ser únicamente verdadera. por tanto, su tabla de verdad sería la siguiente:

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \Rightarrow q \\ \hline V & V & V \\ F & F & V \end{array} \]

Si encontramos dos proposiciones moleculares con una condicional material dominante donde vemos que todos los valores de verdad son verdaderas, decimos que es una tautología, entonces la condicional material podría cumplir los valores de verdad de la implicación lógica.

Aunque considerarlo como tautología también puede presentar un problema ya que tendríamos que aceptar la combinación “Falso \( \Rightarrow \) Verdadero = Verdadero“.

Esta relación tampoco dice nada si el significado de los argumentos están considerados o no. Por cuestiones practicas, la implicación lógica se transformaría en la condicional material solo por cuestione operacionales pero manteniendo la semántica de los argumentos de la proposición original.

La única manera para que dos proposiciones formen una condicional material y sea una implicación lógica (tomando en cuenta sus argumentos), es que la condicional deben ser siempre verdadera siempre y cuando no encontremos la combinación “Falso \( \Rightarrow \) Verdadero = Verdadero“. Esto sería todo por hoy.

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La condicional lógica
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La condicional lógica
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La condicional lógica o condicional material o simplemente condicional, es un conectivo lógico que une dos proposiciones donde una es llamada antecedente y el otro consecuente donde si el consecuente es falso y el antecedente es verdadero entonces la condicional es falsa, para el resto de los casos es verdadera.
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