Hola a todos amigos, hoy les traigo la siguiente sección del capítulo de lógica proposicional, es la continuación de la sección llamada condicional lógica, en esta ocasión discutiremos un nuevo conector lógico y la última de las operadores, nos referimos a la bicondicional lógica.
El concepto matemático de la bicondicional es de doble filo, aquellas donde dos proposiciones siempre van de la mano, una depende de la otra y viceversa, es un concepto intuitivo que vamos a tratar en breve.
También está relacionado con la condicional, la conjunción, disyunción lógica y se pueden usar como definiciones alternativas, esto lo veremos al final de la entrada.
Definición de la bicondicional
La biciondicional es un conectivo lógico denotado por \( \leftrightarrow \) que conecta dos proposiciones \( p \) y \( q \) formando una nueva proposición \( p \leftrightarrow q \) tal que su validez es verdadera si sus proposiciones que la componen tiene el mismo valor de verdad y falsa si tiene valores de verdad opuestos.
Para dos proposiciones \( p \) y \( q \) conectados por una bicondicional pueden depender mutuamente entre si. Aquí \( p \) puede ser antecedente de \( q \) como también \( q \) puede ser el antecedente de \( p \).
Como dos proposiciones bajo este conector son mutuamente dependientes, no existe jerarquía entre las dos.
Desde ahora, cuando nos refiramos a una proposición formada jerárquicamente con este conectivo, lo llamaremos proposición bicondicional.
Otro punto a tener en cuenta es que este conector es conmutativo, esto es, se cumple la siguiente equivalencia \( p \leftrightarrow q \equiv q \leftrightarrow p \).
El significado literal de la bicondicional lógica entre dos proposiciones o enunciados abiertos es «Si y solo si«, en este caso, la proposición \( p \leftrightarrow q \) se lee «\( p \) si y solo si \( q \)».
No siempre dos proposiciones pueden conectarse literalmente de esta manera para darle sentido a una nueva proposición aunque si a nivel simbólico como ( p \leftrightarrow q ), veamos un ejemplo para explicar esta detalle.
Ejemplo
Caso 1: Sea la proposición:
- Saldré de casa si y sólo si anochece.
No toda proposición puede ser una bicondicional ya que la proposición anterior puede escribirse así:
- Anochece si y solo si salgo de casa.
Es imposible que anochezca por arte de magia porque simplemente se salga de casa, por el cual, la proposición es inviable, veamos otro caso.
Caso 2: Sea la siguiente proposición:
- Saldré de casa siempre y cuando mi madre compre un chocolate
Esta proposición se puede escribir de manera invertida así:
- Mi madre comprará un chocolate siempre y cuando yo salga de casa
Como podemos ver, este tipo de proposiciones tiene mas coherencia que el caso 1, sin embargo, en lógica proposicional, no se tomará en cuenta el significado de los argumentos restringiendo solo y únicamente a sus valores de verdad que ya veremos en una tabla de verdad en breve.
Pero el punto aquí es que en el caso 2 de este ejemplo se usó la palabra «siempre y cuando» que resulta ser equivalente a «si y solo si«.
Relación con la condicional y conjunción lógica
Como dije anteriormente, la bicondicional es sencilla de entender, no hay mucha magia en su explicación. Existe una conexión entra la condicional material y la conjunción lógica que puede ser relacionado con la bicondicional. Esto ya lo vimos con el ejemplo anterior del caso 2 donde las proposiciones eran conmutables (intercambiables).
Dos proposiciones que dependen mutuamente entre ellos significa que cualquiera de ellas puede ser el antecedente del otro y viceversa, lo cual se cumple que \( p \leftrightarrow q \) como también \( q \leftrightarrow p \) y como cualquiera de estas combinaciones es verdadera resulta que la bicondicional también es verdadera, por tanto, logramos una nueva relación entre bicondicional con la conjunción lógica y condicional material de la siguiente manera:
\[ ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \equiv p \leftrightarrow q \]
Tabla de verdad de La bicondicional Lógica
Esta tabla nos indica que tanto el antecedente como el consecuente tiene que ser o verdaderas o falsas para que la proposición bicondicional sea verdadera. La siguiente tabla de verdad para la bicondicional muestra esta característica.
\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \leftrightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \end{array} \]
Esto significa que la proposición \( q \) es condición suficiente y necesaria para \( p \), pero estos puntos lo veremos con la equivalencia lógica que muchas veces se confunden con la bicondicional propiamente dicha.
Relación entre la disyunción exclusiva
En al sección de la disyunción lógica, mencionamos que la disyunción exclusiva es opuesta a la bicondicional. Veamos primero la tabla de verdad de la disyunción exclusiva:
\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \bigtriangleup q \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \end{array} \]
Según estas tabla de valores de verdad, podemos escribir una relación entre la bicondicional lógica y la disyunción exclusiva de la siguiente manera:
\[ p \leftrightarrow q \equiv \sim ( p \bigtriangleup q ) \]
Aunque también podríamos haberlo escrito así:
\[ p \leftrightarrow q \equiv \sim ( p \nleftrightarrow q ) \]
Donde el símbolo \( \nleftrightarrow \) representa también a la disyunción exclusiva.
Algunas leyes lógicas de la bicondicional
Esto ya lo vimos en apartados mas arriba pero lo repetiré de nuevo. Para la bicondicional de dos proposiciones \( p \) y \( q \) implica que \( p \) sea antecedente del consecuente \( q \) y simétricamente también \( q \) sea antecedente del consecuente \( p \), simbólicamente debe cumplirse las dos siguientes relaciones
- \( p \rightarrow q \)
- \( q \rightarrow p \)
Estas dos proposiciones condicionales debe cumplirse simultáneamente para que sean mutuamente dependientes, por tanto requiere de una conjunción lógica entre ellas dos, entonces la bicondicional lógica de \( p \) y \( q \) seria:
\[ ( p \leftrightarrow q ) \equiv ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \]
Otras dos propiedades mas son:
\[ p \leftrightarrow q \equiv ( p \wedge q ) \vee ( \sim p \wedge \sim q ) \\ p \leftrightarrow q \equiv \sim ( p \bigtriangleup q ) \]
En la sección de las principales leyes lógicas encontramos algunas leyes mas de este conector lógico.
Diferencias entre la bicondicional y equivalencia lógica
Estas diferencias si bien no son notorias, podemos decir que la bicondicional es un operador lógico, como las cuatro operaciones matemáticas y la equivalencia lógica es análoga a signo de igualdad ( \( = \) ), no es precisamente un operador lógico, lo que hace es relacionar dos proposiciones. Aquí sus símbolos:
- Bicondicional material, símbolo: \( \leftrightarrow \)
- Equivalencia lógica, símbolo: \( \equiv \)
Las diferencias que podemos encontrar entre estas dos son:
| Bicondicional material | Equivalencia Lógica |
|---|---|
| 1. El conectivo bicondicional entre dos proposiciones es otra proposición. | 1. La equivalencia lógica es la igualdad entre dos proposiciones afirmativas. |
| 2. No siempre una proposición bicondicional es verdadera. | 2. La equivalencia lógica entre dos proposiciones siempre es verdadera. |
| 3. La bicondicional de dos proposiciones \( p \) y \( q \) puede expresarse como una identidad del tipo \( ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \). | 3. La equivalencia lógica no solo no puede expresarse como \( ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \), tampoco lo permite porque no es una proposición. |
En al sección de la equivalencia, implicación e inferencia lógica trato con mayor detalle el uso adecuado de la equivalencia lógica.
Ejemplos
Estos ejemplos hablan por si solo sin ninguna explicación.
- \( x \) es par si y sólo si es múltiplo de \( 2 \).
- La rana salta si y sólo si se impulsa.
- Hace frío si y sólo si la temperatura baja.
- \( a^{3} \) es impar si y sólo si a no es divisible por \( 2 \).
Esta sección llegó a su fin, hemos visto que no hay mucho que explicar con respecto a este conectivo, no encontramos contradicciones ni paradojas en cuanto su análisis y tampoco hay mucho que decir.
Para la próxima entrada, por fin nos centraremos en la tabla de verdad de cada uno de los conectivos lógicos y eso es todo amigos, nos vemos en la próxima entrada, hasta pronto.
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