Hola gente, les presento la primera lección del tema de teoría de exponentes de mi curso de álgebra elemental; esta lección está diseñado de tal manera que fundamente cada concepto de la potenciación y sus propiedades principales.

Para definir la potenciación, se establecen 3 elementos principales que la conforman, esto son, la base, el exponente y la potencia, donde el exponente se define en el campo de los números enteros, luego explicaré las 3 primeras propiedades. Las otras 2 hace referencia a la radicación que expliqué en otra sección; sin más que decir, comencemos.

¿Qué es la potenciación?

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La potenciación nos ayuda a resumir simbólicamente al escribir repetitivamente un número al multiplicarse varias veces y está determinado por 3 elementos principales, veamos su definición.

Definición

Ejemplos:

Veamos algunos ejemplos, veamos:

• \( \underbrace{ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ \color{red}{5} \ \text{factores} } \) lo escribimos como \( 2^{ \color{red}{5} } \).
• \( \underbrace{ 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 }_{ \color{red}{7} \ \text{factores} } \) lo escribimos como \( 5^{ \color{red}{7} } \).
• \( \underbrace{ 10 \times 10 \times 10 \cdots 10 }_{ \color{red}{20} \ \text{factores} } \) lo escribimos como \( 10^{ \color{red}{20} } \).
• \( \underbrace{2}_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \) se escribe como \( 2^{ \color{red}{1} } \), otros ejemplos sería \( a = a^{1} \) ó \( x = x^{1} \).

En el último ejemplo, donde encontramos que \( a=a^{1} \) ó \( x=x^{1} \), significa que el mínimo valor del exponente es 1 lo que significa que solo estamos multiplicando una única vez, aunque realmente no se esta multiplicando nada, solo aclaro este punto.

Aplicaciones de la potenciación

• Calcular el valor de \( 2^{6} \):
  Del concepto anterior, se puede escribir de la siguiente manera:
  \[ 2^{ \color{red}{6} } = \underbrace{ 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ \color{red}{6} \ \text{ veces } } = 64 \]
  Entonces, decimos que la potencia de \( 2^{ \color{red}{6} } \) es \( 64 \).

• Resolución \( 5^{4} \):
  \( 5^{ \color{red}{4} } = \underbrace{ 5 \times 5 \times 5 \times 5 }_{ \color{red}{4} \ \text{veces}} = 625\).

• Resolución \( 3^{6} \):
  \( 3^{ \color{red}{6} } = \underbrace{ 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 }_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } = 729 \).

• Resolución \( a^{2} \):
  \( a^{ \color{red}{2} } = \underbrace{ a \times a }_{ \color{red}{2} \ \text{veces} }\).

• Resolver \( a^{1} \)
  \( a^{ \color{red}{1} } = \underbrace{a}_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \).

• Resolver \( (-2)^{4} \)
  \( ( -2 )^{ \color{red}{4} } = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16 \)
• Resolución \( -2^{4} \)
  \( -2^{ \color{red}{4} } = – \underbrace{ 2 \times 2 \times 2 \times 2 }_{ \color{red}{ 4} \ \text{veces}}\).
• Resolución \( a \cdot a^{2} \cdot a^{3} \):
  \( \begin{align} a^{ \color{red}{1} } \times a^{ \color{red} {2} } \times a^{ \color{red}{3} } & = \underbrace{ a }_{ \color{red}{1} \ \text{vez} } \times \underbrace{ a \times a }_{ \color{red}{2} \ \text{veces} } \times \underbrace{ a \times a \times a }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } \ \ & = \underbrace{ a \times a \times a \times a \times a \times a }_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } = a^{ \color{red}{ 6} } \end{align} \).

en este último ejemplo de \( -2^{ \color{red}{4} } \), el exponente afecta a la base \( 2 \) pero no al símbolo de sustracción \( – \), veamos otros ejemplos.

• \( \underbrace{ a \times a \times a \cdots a }_{ \color{red}{10} \ \text{veces} } = a^{ \color{red}{10} } \)

• \( \underbrace{ \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \cdots \sqrt{2} }_{ \color{red}{30} \ \text{veces} } = \sqrt{2}^{ \color{rojo}{30} } \)

• \( \underbrace{ x^{x} \cdot x^{x} \cdot x^{x} \cdots x^{x} }_{ \color{red}{15} \ \text{veces} } = ( x^{x} )^{ \color{rojo}{15} } \)

• \( \underbrace{ (-2)(-2)(-2) \cdots (-2) }_{ \color{red}{1000} \ \text{veces} } = (-2)^{ \color{red}{1000} } \)

Exponentes especiales

Existen exponentes que reciben un nombre especial, por ejemplo, la potencias del tipo \( a^{2} \) y \( a^{3} \) suele leerse como «\( a \) elevado al cuadrado» y «\( a \) elevado al cubo» respectivamente.

Existen otros que se les llama por su numeración como por ejemplo \( a^{4} \) y se lee «\( a \) elevado a la cuarta potencia», «\( a \) elevado a la cuarta» o simplemente «\( a \) a la cuarta».

Para \( a^{5} \) simplemente se leería «\( a \) a la quinta» o para \( a^{6} \) se leería «\( a \) a la sexta» y así sucesivamente.

Exponente de exponente

Llamamos exponente de exponente a las expresiones del tipo:

• \( 4^{ 3^{7} } \) donde su base es \( 4 \) y el exponente es \( 3^{7} \).
• \( 2^{ 3^{ 9^{5} } } \) donde su base es \( 2 \) y el exponente es \( 3^{ 9^{5} } \).
• \( 5^{ 6^{3} } \) donde su base es \( 5 \) y el exponente es \( 6^{3} \).

Veamos algunos ejemplos mas para diferenciar estos puntos.

Ejemplos:

• La potenciación \( { \color{blue}{2} }^{ \color{green}{9} } \) se puede escribir como \( { \color{blue}{2} }^{ \color{green}{ 3^{2} } } \).
  La base de \( { \color{blue}{2} }^{ \color{green}{ 3^{2} } } \) es \( 2 \) y su exponente es \( \color{green}{ 3^{2} } \).

• La igualdad \( { \color{red}{2} }^{16} = { \color{red}{2} }^{ 2^{4} } = { \color{red}{2} }^{ 2^{ 2^{2} } } \).
  La base de \( { \color{blue}{2} }^{ 2^{ \color{green}{ 2^{2} } } } \) es \( \color{blue}{2} \) y el exponente es \( 2^{ \color{green}{ 2^{2} } } = 16 \).

• La potenciación \( { \color{blue}{a} }^{ \color{green}{ x^{x} } } \) tiene como base el valor de \( \color{blue}{a} \) y su exponente es \( \color{green}{x^{x} } \).

Exponente sucesivo

Según los puntos anteriores, podemos establecer una regla, sean las variables \( x \), \( y \), \( z \), \( w \), \( m \), \( n \) se cumple que: \[ x^{ y^{ z^{ w } } } = x^{ y^{m} } = x^{ n } \] donde \( z^{w} = m \) y \( y^{m} = n \)

Ahora veamos las primeras 5 leyes, reglas o propiedades de la potenciación de números enteros siendo las primeras leyes fundamentales de la teoría de exponentes con sus respectivos ejemplos.

Leyes o Reglas de la potenciación

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Las leyes, reglas o propiedades de la potenciación son en total 5 y están definidas para exponentes en el campo de los números enteros y viene con sus respectivas demostraciones. Veamos cada una de estas propiedades con sus respectivos ejemplos.

Multiplicación de potencias de bases iguales (regla 1)

El producto de potencias de bases iguales resulta otra potencia con la misma base pero con los exponentes sumados.

\[ a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \]

No olvidar que \( m \) y \( n \) indican cuantas veces se debe de multiplicar la base \( a \), la base puede tomar cualquier valor que te imagines.

Este teorema es una de las primeras propiedades más básicas de la teoría de exponentes y es, junto con el resto de las siguientes propiedades, la que usaremos en todas las áreas relacionadas con las matemáticas, la propiedad se centra en el producto de dos factores de bases iguales y exponentes distintos, su demostración informal es la siguiente:

Demostración:

1. Por el concepto de potencia:
   \[ a^{ \color{red}{m} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{m} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \  \color{red}{ \text{y} } \  a^{ \color{red}{n} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \]
2. Multiplicando:
   \[ a^{ \color{red}{m} } \cdot a^{ \color{red}{n} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{m} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \cdot \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \]
3. Agrupando:
   \[ a^{ \color{red}{m} } \cdot a^{ \color{red}{n} } = \overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{m+n} \ \text{veces} } }^{ \text{Contando} } \]
4. Por el concepto de potencia:
   \[ a^{ \color{red}{m} } \cdot a^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{m+n} } \]

¿Sencillo no? todas las leyes que veremos más adelante se prueba usando el concepto de potencia, pero antes de comenzar con el resto de las propiedades, vayamos a ver algunas aplicaciones de nuestra primera ley.

Ejemplos:

Para nuestro propósito que ya verán a continuación, realizaremos 4 sencillos pasos, tomaremos los valores de \( a^{2} \) y \( a^{3} \) como ejemplos, tenemos lo siguiente.

1.  Por el concepto de potencia:
   \[ a^{2} = \underbrace{ a \cdot a }_{ 2 \ \text{veces} }  \ \color{red}{ \text{ y } } \  a^{3} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ 3 \ \text{veces} } \]
2. Multiplicando:
   \[ a^{2} \cdot a^{3} = \underbrace{ a \cdot a }_{ 2 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ 3 \ \text{veces} } \]
3. Agrupando:
   \[ a^{2} \cdot a^{3} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a }_{ 2+3 \ \text{veces} } \]
4. Por el concepto de potencia:
   \[ a^{2} \cdot a^{3} = a^{2+3} \]

Si tienes problemas con las leyes de exponentes, te sugiero que visualices bien la lógica de cada una de los ejemplos, de esta manera lo entenderás mejor.

1. \( 2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3+2} = 2^{5} \)
2. \( 2^{a} \cdot 2^{b} = 2^{a+b} \)
3. \( 3^{2} \cdot 3^{4} \cdot 3^{6} = 3^{ 2+4+6 } \)
4. \( 5^{1} \cdot 5^{2} \cdot 5^{3} \cdot 5^{4} = 5^{1+2+3+4} = 5^{10} \)
5. \( a^{1} \cdot a^{3} \cdot a^{6} = a^{1+3+6} = a^{10} \)
6. Probar que \( 2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5} \)
   Solución: \( 2^{3} \cdot 2^{2} = \underbrace{ 2 \cdot 2 \cdot 2 }_{ 3 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ 2 \cdot 2 }_{ 2 \ \text{veces} } = 2 \cdot 2 \)
7. \( 4^{a} \cdot 4^{b} = 4^{a+b} \)
8. \( 3^{n} \cdot 3^{m} = 3^{n+m} \)
9. \( 7^{n+m} = 7^{n} \cdot 7^{m} \)
10. \( 10^{a+b+c} = 10^{a} \cdot 10^{b} \cdot 10^{c} \)

Note que los puntos 9 y 10 son dos operaciones de la primera ley enunciada pero calculada al revés, la ley dice que \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \), también se puede escribir así \( a^{ \color{red}{n+m} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } \).

El resto de las propiedades de la potenciación se demostrarán y ejemplificarán del mismo modo como la primera ley de potencia que acabamos de finalizar.

Potencia de un producto (regla 2)

La potencia de un producto bajo un exponente es igual a la multiplicación de los factores del producto con el mismo exponente. \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{n} } \] Aquí el exponente \( n \) afecta por separado a los valores de \( a \) y \( b \), el producto se realiza con bases diferentes pero con el mismo exponente.

Demostración:

1. Por el concepto de potencia:
   \[ (ab)^{n} = \underbrace{ (ab)(ab)(ab) \cdots (ab) }_{ n \ \text{veces} } \]
2. Ordenando términos según la propiedad asociativa para la multiplicación:
   \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ b \cdot b \cdot b \cdots b }_{ \color{red}{n} \ \text{veces} } \]
3. Por el concepto de potencia, finalmente logramos:
   \[ (ab)^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } \]

Como acabamos de ver, la prueba de la potencia de un producto es muy sencilla. No olvidar que la ley de potencia de un producto se puede escribir al revés así \( a^{ \color{red}{n} } \cdot b^{ \color{red}{n} } = (ab)^{ \color{red}{n} } \).

Ejemplos:

Vamos a coprobar que \( ( 5 \cdot 6 )^{3} = 5^{3} \cdot 6^{3} \)

1.  Por el concepto de potencia:
   \[ (5 \cdot 6  )^3 = \underbrace{ ( 5 \cdot 6 )( 5 \cdot 6 )( 5 \cdot 6 ) }_{ 3 \ \text{veces} } \]
2. Ordenando términos:
   \[ ( 5 \cdot 6 )^{3} = \underbrace{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }_{ 3 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 }_{ 3 \ \text{veces} } \]
3. Por definición de potencia:
   \[ ( 5 \cdot 6 )^{3} = 5^{3} \cdot 6^{3} \]

Más ejemplos:

• \( (ab) = a^{3} \cdot b^{3} \)
• \( (mnp)^{5} = m^{5} \cdot n^{5} \cdot p^{5} \)
• \( ( 2 \cdot 7 \cdot 9 )^{4} = 2^{4} \cdot 7^{4} \cdot 9^{4} \)
• Demuestre que \((ab)^{3} = a^{3} \cdot b^{3}\).
  Solución:
  \( \begin{align}(ab)^{3} & = \underbrace{(ab)(ab)(ab) }_{ 3 \ \text{veces}} \\ & = \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ 3 \ \text{veces} } \cdot \underbrace{ b \cdot b \cdot b }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = a^{3} b^ {3}\end{align}\)

¿Qué te pareció?, ¿sencillo no?, si has leído detenidamente desde el inicio de esta sección hasta ahora, te será muy fácil entender las próximas propiedades, vayamos a la siguiente ley de teoría de exponentes.

Potencia de potencia (regla 3)

Una potencia con exponente dado al ser elevado a otro exponente, resulta una potencia con los exponentes multiplicados.

\[ ( a^{ \color{red}{m} } )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{mn} } \]

Cómo ven, los exponentes \( m \) y \( n \) se multiplican al quitar los signos de agrupación.

Demostración:

1. Por el concepto de potencia:
   \[ ( a^{n} )^{m} = \underbrace{ ( a^{n} )( a^{n} )( a^{n} ) \cdots ( a^{n} ) }_{ m \ \text{veces} } \]
2. Por la propiedad \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \):
   \[ ( a^{n} )^{m} = a^{ \overbrace{ n+n+n+ \cdots + n }^{ m \ \text{veces} } } \]
3. Resultando:
   \[ ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \]

Ejemplo:

Veamos los siguientes ejemplos, comenzaremos con la expresión \( ( 5^{2} )^{3} \):

1. Por la definición de potencia:
   \[ ( 5^{2} )^{3} = \underbrace{ 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} }_{ 3 \ \text{veces} } \]
2. Por la propiedad de producto de potencias de bases iguales \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \):
   \[ ( 5^{2} )^{3} = \underbrace{ 5^{2} \cdot 5^{2} \cdot 5^{2} }_{ 3 \ \text{veces} } \]
3. Finalmente obtenemos:
   \[ ( 5^{2} )^{3} = 5^{ 2 \cdot 3 } \]

Más ejemplos:

• \( ( a^{3} )^{2} = a^{ 3 \cdot 2 } = a^{6} \)
• \( [ ( b^{2} )^{3} ]^{5} = [ b^{ 3 \cdot 2 } ]^{5} = b^{ 3 \cdot 2 \cdot 5 } \)
• Demostrar que \( ( a^{2} )^{3} = a^{6} \)
  Solución:
  \( \begin{align} ( a^{2} )^{3} & = \underbrace{ ( a ^{2} ) ( a^{2} ) ( a^{2} ) }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = a^{ \overbrace{ 2+2+2 }^{ 3 \ \text{veces} } } \\ & = a^{ 2 \cdot 3 } \ ( a^{2} )^{3} \\ & = a^{6} \end{align} \)

El concepto de potenciación que establecimos al inicio de esta sección sirve únicamente para números naturales que indica cuántas veces debe de multiplicarse la base, pero para definir el concepto de potenciación de números enteros, debemos definir otros dos tipos de potencias, esto son, el exponente cero y el exponente negativo. y esto es lo que discutiremos en los siguientes apartados.

Exponente cero

El valor mínimo de un exponente para \( a^{ \color{red}{n} } \) es cuando \( n=1 \) según la definición de potenciación que ya hemos propuesto. Si queremos saber el valor de \( a^{0} \), esto es, el exponente cero para cualquier valor real de \( a \), realizaremos la siguiente operación matemática.

• Tenemos: \( a^{n} = a^{n} \).
• Lo escribimos así: \( a^{n} = a^{n+0} \), realizaremos un supuesto matemático que viola la definición y las 3 propiedades explicadas hasta ahora donde solo es posible para exponentes enteros positivos iguales y mayores que \( 1 \).
• Aplicando \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \) donde supondremos que cumple (viola) para \( m=0 \), tenemos: \( a^{n} = a^{n} \cdot a^{0} \cdots ( \mathrm{I} ) \)
• Pero cómo sabemos que \( a^{n} = a^{n} \cdot 1 \), de \( \mathrm{I} \) resulta que: \( a^{n} \cdot 1 = a^{n} \cdot a^{0} \).
• Cancelando \( a^{n} \), finalmente obtenemos: \( a^{0} = 1 \).

Téngase en cuenta que no estamos demostrando nada, la definición de potenciación se ha determinado para cuando el exponente es \( n=1 \), por tanto, no está definido para \( n=0 \) por lo que estaría violando la definición de potenciación, pero no la está contradiciendo.

Y como no existe contradicción, se puede añadir como una nueva definición, cabe destacar que las operaciones anteriores solo sirvieron para averiguar la forma de \( a^{0} \) realizando un supuesto \( m=0 \).

Este nuevo concepto nos puede ayudar a extender la teoría de exponentes para potencias con exponente cero, por ello, lo anunciamos como una nueva definición.

Definición

Toda base elevado al exponente \( 0 \), nos da como resultado 1, matemáticamente se expresa así:

\[ a^{0} = 1 \]

donde \( a \neq 0 \).

Indicamos porque \( a \neq 0 \) no existe, ya que no está definido para \( 0^{0} \), de hecho, antes se aceptaba sin demostración que \( 0^{0} = 1 \), puesto que numéricamente la base y el exponente con valores pequeños se acercaban cada vez a \( 1 \).

Actualmente, se ha demostrado que esto no es cierto y pueden tener varios valores distintos cuando la base y su exponente se acercan a cero y no cuando son exactamente igual cero. Este tipo de expresiones se le conoce como indeterminadas, ya que no tiene un valor fijo o determinado por aproximación.

Ejemplo

• \( 2^{0} = 1 \)
• \( 5^{0} = 1 \)
• \( (-8)^{0} = 1 \)
• \( -7^{0} = -1 \), si el signo negativo no esta encerrado en signos de agrupación, no es afectado por el exponente cero.
• \( ( 2^{6} + 3^{4} )^{0} = 1 \)

Exponente negativo

Supongamos que queremos dividir \( a^{6} \) con \( a^{3} \), por definición de potencia, resulta:

\[ \require{cancel} \frac{ a^{ \color{red}{6} } }{ a^{ \color{red}{3} } } = \frac{ \overbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ a \cdot a \cdot a } }^{ \color{red}{6} \ \text{veces} } }{ \underbrace{ \cancel{ a \cdot a \cdot a } }_{ \color{red}{3} \ \text{veces} } } \]

Usando el concepto de potenciación vemos que podemos eliminar términos, en este caso el numerador y denominador tienen en común el producto  \( a \cdot a \cdot a \), nos quedaría:

\[ \begin{align} \frac{ a^{6} }{ a^{3} } & = \overbrace{ a \cdot a \cdot a }^{ \color{red}{6-3} \ \text{veces} } \ & = a^{ \color{red}{6-3} } = a^{ \color{red}{3} } \end{align} \]

Por lo visto, este resultado no es nada del otro mundo, pero es la primera vez que existe una resta en nuestro exponente. Pero si cambiamos las posiciones de los términos de nuestra división de \( a^{6} \) y \( a^{3} \) quedaría así:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{ \overbrace{ \cancel{ a \cdot a \cdot a } }^{ \color{red}{3} \ \text{veces} } }{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{ a \cdot a \cdot a } }_{ \color{red}{6} \ \text{veces} } } \]

Vemos que podemos quitarle al denominador los términos \( a \cdot a \cdot a \) de lo que hay en el numerador resultando:

\[ \begin{align} \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } & = \frac{ 1 }{ \underbrace{ a \cdot a \cdot a }_{ \color{red}{6-3} \ \text{veces} } } \ \frac{ a^{ \color{red}{6} } }{ a^{ \color{red}{6} } } & = \frac{1}{ a^{3} } \end{align} \]

Por lo visto, este resultado no lo podemos expresar en forma de potencia, recordar que el exponente \( n \) de la potencia \( a^{n} \) indica cuántas veces debe de multiplicarse la base, entonces \( \frac{1}{ a^{n} } \) no nos dice ni se puede colocar como una potencia que nos indique cuantas veces debe multiplicarse la base \( a \). Por ello, necesitamos un nuevo concepto del exponente negativo, para averiguarlo, tomaremos el concepto del exponente cero de la siguiente manera.

• Tenemos
  \[ a^{0} = a^{0} \]
• Como \( n-n = 0 \) y por la definición del exponente cero, resulta:
  \[ a^{n-n} = a^{0} = 1 \]
• Por la propiedad \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \):
  \[ a^{n} \cdot a^{-n} = 1 \]
• Logramos finalmente:
  \[ a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \]

El exponente \( a^{-n} \) no puede expresarse con el concepto de potenciación, esto es, no se puede hacer \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{-n} \), simplemente no existe.

Esto se debe que la definición de potenciación no admite exponentes negativos pero tampoco lo contradice (razón por el cual no estamos demostrando nada), por tal motivo extenderemos este concepto como una nueva definición.

Definición

Toda base elevado al exponente negativo \( n \), nos dará como resultado lo siguiente:

\[ a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \]

donde \( a \neq 0 \)

Ejemplo:

Veamos algunas aplicaciones sencillas del exponente negativo:

• \( 2^{-5} = \frac{1}{ 2^{5} } \)
• \( 3^{-7} = \frac{1}{ 3^{7} } \)
• \( (-4)^{-2} = \frac{1}{ (-4)^{2} } \)
• \( (-2)^{-3} = \frac{1}{ (-2)^{3} } \)
• \( \frac{1}{ 4^{2} } = 4^{-2} \)
• \( \frac{1}{4} = \frac{1}{ 4^{1} } = 4^{-1} \)

Ahora gracias a los conceptos del exponente cero y el exponente negativo podemos anunciar las siguientes 2 leyes clásicas de la teoría exponentes.

División de potencias de bases iguales (regla 4)

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevado a la diferencia de los exponentes de dichas potencias.

\[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \]

Si \( a \neq 0 \).

¿Recuerdan este caso?:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = \frac{1}{ a^{ \color{red}{6-3} } } = \frac{1}{ a^{ \color{red}{3} } } \]

Por la ley de la división de potencia de bases iguales, resulta:

\[ \frac{ a^{ \color{red}{3} } }{ a^{ \color{red}{6} } } = a^{ \color{red}{3-6} } = a^{ \color{red}{-3} } \]

Ya no habría problema con el resultado anterior con respecto al exponente negativo ya que hemos definido \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \), donde \( n=3 \). Ahora demostremos la ley actual.

Demostración:

1. Tenemos:
   \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } \]
2. Por la propiedad \( \frac{a}{ \color{red}{b} } = a \cdot \color{red}{ \frac{1}{b} } \):
   \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ – \color{red}{m} }  \]
3. Por la propiedad de exponente negativo \( \frac{1}{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ – \color{red}{m} } \):
   \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ – \color{red}{m} } \]
4. Donde \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ – \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n} + ( – \color{red}{m} ) } = a^{ n – m } \), finalmente logramos:
   \[ \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ a^{ \color{red}{m} } } = a^{ \color{red}{n-m} } \]

Quedando demostrada la cuarta ley de la teoría de exponentes. Antes de ir a la siguiente ley, veamos los siguientes ejemplos ilustrativos.

Ejemplos:

Veamos algunas aplicaciones sencillas del de esta propiedad:

• \( \frac{ 5^{7} }{ 5^{5} } = 5^{ 7-5 } = 5^{2} \)
• \( \frac{ 3^{5} }{ 3^{3} } = 3^{5-3} = 3^{2} \)
• \( \frac{ 7^{-2} }{ 7^{3} } = 7^{ -2-3 } = 7^{-6} \)
• \( \frac{ x^{200} }{ x^{100} } = x^{200-100} = x^{100} \)
• Probar que \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2^{2} \)
  Solución: por el concepto de potencia.
  \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = \frac{ \overbrace{ 2 \cdot 2 \cdot \cancel{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } }^{ 7 \text{veces} } }{ \underbrace{ \cancel{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } }_{ 5 \text{veces} } } \)
  Simplificando:
  \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2 \cdot 2 = 2^{2} \)
  El resultado sería lo mismo por la cuarta ley o regla:
  \( \frac{ 2^{7} }{ 2^{5} } = 2^{ 7-5 } = 2^{2} \)

Potencia de un cociente (regla 5)

La potencia de un cociente es igual al cociente de potencias con el mismo exponente.

\[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \]

donde \( b \neq 0 \).

Demostración:

1. Tenemos:
   \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } \]
2. Sabiendo que \( \frac{a}{b} = ab^{-1} \):
   \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = ( ab^{-1} )^{ \color{red}{n} } \]
3. Como \( ( ab^{-1} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } \):
   \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } \]
4. Donde \( ( b^{-1} )^{ \color{red}{n} } = b^{ – \color{red}{n} } \):
   \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } b^{ – \color{red}{n} } \]
5. Como \( b^{ – \color{red}{n} } = \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } \), resulta:
   \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = a^{ \color{red}{n} } \cdot \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } \]
6. Donde \( a^{ \color{red}{n} } \cdot \frac{1}{ b^{ \color{red}{n} } } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \), finalmente obtenemos:
   \[ ( \frac{a}{b} )^{ \color{red}{n} } = \frac{ a^{ \color{red}{n} } }{ b^{ \color{red}{n} } } \]

De esta manera, queda demostrada la ley de potencia de un cociente, ahora aquí viene algunas aplicaciones de esta ley.

Ejemplo:

• \( ( \frac{m}{n} )^{3} = \frac{ m^{3} }{ n^{3} } \)
• \( ( \frac{p}{q} )^{7} = \frac{ p^{7} }{ q^{7} } \)
• \( ( \frac{2}{3} )^{12} = \frac{ 2^{12} }{ 3^{12} } \)
• Demostrar que: \( ( \frac{m}{n} )^{3} = \frac{ m^{3} }{ n^{3} } \)
  Solución: Por el concepto de potencia: 
  \( \begin{align} ( \frac{m}{n} )^{3} & = \underbrace{ ( \frac{m}{n} )( \frac{m}{n} )( \frac{m}{n } ) }_{ 3 \ \text{veces} } \\ & = \frac{ m \cdot m \cdot m }{ n \cdot n \cdot n } \\ & = \frac{ m^{3} }{ n^{3}} \end{align} \)
• \( ( \frac{ a^{2} }{ b^{3} } )^{5} = \frac{ a^{ 2 \cdot 5 } }{ b^{ 3 \cdot 5 } } = \frac { un^{10} }{ b^{15} } \)
• \( ( \frac{ 2^{3} }{ 3^{4} } )^{5} = \frac{ 2^{ 3 \cdot 5 } }{ 3^{ 4 \cdot 5 } } = \frac { un^{15} }{ b^{20} } \)

Veremos una propiedad que es consecuencia de la ley de potencia de un cociente, veamos que nos dice esta propiedad.

Potencia negativa de un cociente (corolario)

Nos dice que:

\[ ( \frac{a}{b} )^{-n} = ( \frac{b}{a} )^{n} = \frac{ b^{n} }{ a^{n} } \]

Donde \( ab \neq 0 \), esta propiedad es solo una consecuencia de la ley de potencia de un cociente, su prueba es muy sencilla, te dejo la demostración como ejercicio.

Ejemplos:

• \( ( \frac{x}{y} )^{-2} = ( \frac{y}{x} )^{2} \)
• \( ( \frac{m}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{m} )^{5} \)

• \( ( \frac{7}{9} )^{-2} = ( \frac{9}{7} )^{2} \)

• \( ( \frac{1}{n} )^{-5} = ( \frac{n}{1} )^{5} = n^{5} \)
• \( ( \frac{1}{2} )^{-3} = ( \frac{2}{1} )^{3} = 2^{3} \)

La demostración de esta propiedad es muy sencilla, pero lo dejaremos para los ejercicios resueltos después de la sección de radicales o de exponente fraccionario.

Tabla de potencias

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Aquí te dejo una tabla de potencias de los 12 primeros números naturales elevados del 1 al 12.

11=1 12=1 13=1 14=1 15=1 16=1 17=1 18=1 19=1 110=1 111=1 112=1	21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 211=2048 212=4096
31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729 37=2187 38=6165 39=19683 310=59049 311=177147 312=531441	41=4 42=16 43=64 44=256 45=1024 46=4096 47=16387 48=65536 49=262144 410=1048576 411=4192304 412=16777216
51=5 52=25 53=125 54=625 15=3125 56=15625 57=78125 58=390625 59=1953125 510=9765625 511=48828125 512=244140625	61=6 62=36 63=216 64=1292 65=7776 66=46656 67=279936 68=1679616 69=10077696 610=60466176 611=362797056 612=2176782336
71=7 72=49 73=343 74=2401 75=16807 76=117649 77=823543 78=5764801 79=40353607 710=282475249 711=1977326743 712=13841287201	81 = 8 82 = 64 83 = 512 84 = 4096 85 = 32768 86 = 262144 87 = 2097152 88 = 16777216 89 = 134217728 810 = 1073741824 811 = 8589934592 812 = 68719476736
91 = 9 92 = 81 93 = 729 94 = 6561 95 = 59049 96 = 531441 97 = 4782969 98 = 43046721 99 = 387420489 910 = 3486784401 911 = 31381059609 912 = 282429536481	101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000 105 = 100000 106 = 1000000 107 = 10000000 108 = 100000000 109 = 1000000000 1010 = 10000000000 1011 = 100000000000 1012 = 1000000000000
111 = 11 112 = 121 113 = 1331 114 = 14641 115 = 161051 116 = 1771561 117 = 19487171 118 = 214358881 119 = 2357947691 1110 = 25937424601 1111 = 285311670611 1112 = 3138428376721	121 = 12 122 = 144 123 = 1728 124 = 20736 125 = 248832 126 = 2985984 127 = 35831808 128 = 429981696 129 = 5159780352 1210 = 61917364224 1211 = 743008370688 1212 = 8916100448256

Potencia de un número

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La potencia de un número sirve para indicar sobre qué base se está trabajando para cálculos numéricos muy grandes o para números ultra pequeños, por ejemplo, en química, la definición de una unidad molar es «1 mol = 6,022045 x 10²³ partículas«, el número grande recibe el nombre de constante de avogadro con el valor de «6,022045 x 10²³«; en física cuántica, la constante de Planck es «h = 6,63 x 10^-34 J·s«; la constante de gravitación universal es «6,674 x 10^-11 Nm²/kg²«. Si se fijan bien, cada una de estas expresiones están expresadas en potencias de base 10.

Un ejemplo de números en potencias de base 5 es la tabla del apartado anterior con exponentes del 1 al 12, con este terminamos la sección actual.

Leyes de los signos para la multiplicación

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La multiplicación entre signos iguales resulta ser positivo, y signos contrarios resulta ser negativo.

• \( (+)(+) = (+) \)
• \( (-)(-) = (+) \)
• \( (+)(-) = (-) \)
• \( (-)(+) = (-) \)

Leyes de los signos para la división

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La división entre signos iguales resulta ser positivo, y signos contrarios resulta ser negativo.

• \( \frac{(+)}{(+)} = (+) \)
• \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \)
• \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \)
• \( \frac{(-)}{(+)} = (-) \)

Leyes de los signos para la potenciación

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Aquí no importa si el exponente es un número entero o natural, sino cuando es par o impar. Cuando una base es elevado a un exponente par, siempre será positivo, pero si el exponente es impar, la potencia hereda el signo de la base.

• \( (+)^{ \text{par} } = (+) \)
• \( (-)^{ \text{ par } } = (+) \)
• \( (+)^{ \text{impar} } = (+) \)
• \( (-)^{ \text{impar} } = (-) \)

Y eso sería todo queridos amigos, solo he desarrollado las 5 primeras leyes muy fáciles de entender para el capítulo de teoría de exponentes restringida únicamente para el exponente entero, la próxima sección me dedicaré a la definición radicación junto con sus leyes, luego comenzaremos con los ejercicios de potenciación y radicación terminando de esta manera el capítulo de teoría de exponentes.

Y eso sería todo queridos amigos, nos vemos en la próxima sección, gracias, bye.