Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Niveles de los ejercicios:

Nivel avanzado

Es increíble verte de nuevo por aquí, al parecer quieres más dosis de dificultad, por esta razón he creado esta sección únicamente para ti. Los ejercicios que verás a continuación tiene una dificultad muy alta.

Te sugiero que comiences a resolver cada uno de estos problemas antes de ver la resolución, son un total de 28 ejercicios de nivel avanzado y debes en cuando usaremos algunas propiedades algebraicas que no están incluidas en este capítulo.

Sin mas que decir, comencemos con el ejercicio 74 que estoy seguro que para ti es solo un calentamiento.

Ejercicio 74

Averigüe el valor de \( x \) en base a la siguiente condición:

\[ (x+2) x^{ x^{2} } = 4 x^{ 4(3-x) } \]

Solución:


  1. Trabajaremos en el miembro derecho, del exponente \( 4(3 −x) \) se puede escribir como \( 12–4x \):
    \[ (x+2)x^{x^2} =4x^{12−4x} \]
  2. Por la propiedad de cociente de potencias \( a^{n−m} =a^n a^m \) en el miembro derecho:
    \[ (x+2)x^{x^2} = \frac{4x^{12}}{x^{4x}} \]
  3. Pasando \( x^{4x} \) al otro miembro:
    \[ (x+2) x^{ x^{2} } \cdot x^{4x} = 4 x^{12} \]
  4. Por la propiedad de producto de potencias \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \):
    \[ (x+2) x^{ x^{2} + 4x } = 4x^{12} \]
  5. Note que el exponente \( x^2+4x \) le falta un término para que sea un trinomio cuadrado perfecto (curso de producto notables que veremos más adelante) de la forma \( a2+2ab+b2 \), para ello, multiplicaremos a los dos miembros por \( x4 \), entonces:
    \[ (x+2) x^{ x^{2} + 4x } \cdot x^{4} = 4x^{12} \cdot x^{4} \]
  6. Por la propiedad de multiplicación de potencias \( a^n⋅a^m=a^(n+m) \):
    \[ (x+2) x^{ x^{2} + 4x + 4 } = 4 x^{12+4} = 4 x^{16} = 4x^{ 4^{2} } \]
  7. Donde \( x^{2} + 4x + 4 = (x+2)^{2} \), entonces:
    \[ (x+2) x^{ (x+2)^{2} } = 4x^{ 4^{2} } \]
  8. Note que por su semejanza, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} x+2 & = 4 \\ x & = \boxed{ \Large{ 2 } } \end{align} \]

Ejercicio 75

Resolver los valores de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ 3( 3^{x} + 1 ) = 10 { \sqrt{3} }^{x} \]

Solución:

  1. Comencemos eliminando la raíz elevando al cuadrado:
    \[ ( 3 ( 3^{x} + 1 ) )^{2} = ( 10 { \sqrt{3} }^{x} )^{2} \]
  2. Por la propiedad de potencia de un producto \( (ab)^2=a^2 b^2 \):
    \[ 3^{2} ( 3^{x} +1 )^{2} = 10^{2} ( { \sqrt{3} }^{x} )^{2} \]
  3. Donde \( ( 3^{x} + 1 )^{2} = 3^{2x} + 2 \cdot 3^{x} + 1 \) por ser un binomio al cuadrado (cosa que estudiaremos mas adelante) y resolviendo:
    \[ \begin{align} 3^{2} ( 3^{2x} + 2 \cdot 3^{x} + 1 ) & = 10^{2} ( { \sqrt{3} }^{2} )^{x} \\ 9( 3^{2x} + 2 \cdot 3^{x} + 1 ) & = 100 \cdot 3^{x} \\ 9 \cdot 3^{2x} + 18 \cdot 3^{2} + 9 & = 100 \cdot 3^{x} \\ 9 \cdot 3^{3x} – 82 \cdot 3^{x} + 9 & = 0 \end{align} \]
  4. Por el método de aspa simple (método para factorizar y que estudiaremos más adelante):
    \[ ( 9 \cdot 3^{x} – 1 )( 3^{x} – 1 ) = 0 \]
  5. Para que se cumpla la ecuación anterior, cualquiera de los factores puede ser \( 0 \), entonces:
    \[ 9 \cdot 3^{x} – 1 = 0 \ \text{ó} \ 3^{x} – 1 = 0 \\ 3^{x} = \frac{1}{9} = 3^{-2} \ \text{ó} \ 3^{x} = \underbrace{ 3^{0} }_{1} \]
  6. Entre estas dos ecuaciones como las bases son iguales, los exponentes son iguales, de esta manera los valores de \( x \) son:
    \[ \boxed{ \Large{ x = -2 } \ \text{ó} \ \Large{ x = 0 } } \]

Ejercicio 76

Resolver el valor de \( x \):

\[ 4^{ x^{2} – 3x } = \frac{ { \sqrt[3]{5} }^{x} }{5} \]

Solución:

  1. Por definición de radicación \( \sqrt[m]{ a^{n} } = a^{ \frac{n}{m} } \):
    \[ 4^{ x^{2} -3x } = \frac{ 5^{ \frac{x}{3} } }{5} \]
  2. Por la propiedad de cociente de potencia \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \):
    \[ 4^{ x^{2} – 3x } = 5^{ \frac{x}{3} – 1 } \]
  3. Elevando al cubo, resulta:
    \[ [ 4^{ x^{2} – 3x } ]^{3} = [ 5^{ \frac{x}{3} – 1 } ]^{3} \]
  4. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \) y como \( x^{2} – 3x = x( x-3 ) \):
    \[ \begin{align} 4^{ (x^{2} – 3x) \cdot 3 } & = 5^{ ( \frac{x}{3} – 1 ) \cdot 3 } \\ 4^{ 3x(x-3) } & = 5^{ x-3 } \\ ( 4^{3x} )^{x-3} & = 5^{ x-3 } \\ \frac{ ( 4^{3x} )^{x-3} }{ 5^{x-3} } & = 1 \end{align} \]
  5. Por la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ b^{n} } = ( \frac{a}{b} )^{n} \):
    \[ ( \frac{ 4^{3x} }{ 5 } )^{ x-3 } = 1 \]
  6. Por definición de exponente cero \( a^0=1 \), finalmente obtenemos:
    \[ x-3=0 \ x = \boxed{ \Large{3} } \]

Ejercicio 77

Resolver el valor de \( x \):


\[ 11^{ -3^{1331x} } = x \]

Solución:

  1. En el curso de ecuaciones exponenciales de matemática elemental tratamos solo cuando las bases de los miembros de la ecuación son iguales, por tal motivo, el valor de \( x \) debe ser en base \( 11 \), entonces existe un \( n \) tal que se cumpla \( x=11^n \), pero para hacerlo más sencillas las operaciones, para eliminar el signo negativo del miembro izquierdo de la ecuación, hacemos \( x=11^{−n} \), entonces:
    \[ 11^{ -3^{1331 (11^{-n}) } } = 11^{-n} \]
  2. Como las bases son iguales, los exponentes son iguales, resultando:
    \[ \begin{align} -3^{ 1331 (11^{-n}) } & = -n \\ 3^{1331 (11^{-n}) } & = n \end{align} \]
  3. Cómo \( 1331 = 11^{3} \), tenemos:
    \[ \begin{align} 3^{ 11^{3} \cdot 11^{-n} } & = n \\ ( 3^{ 11^{3} } )^{ 11^{-n} } & = n \\ ( 3^{ 11^{3} } )^{ \frac{1}{ 11^{n} } } & = n \end{align} \]
  4. Observe que por propiedad de exponente fraccionario se cumple que \( a^{ \frac{1}{x} } = b \Rightarrow a = b^{x} \), resulta:
    \[ 3^{ 11^{3} } = n^{ 11^{n} } \]
  5. Por simetría se cumple que \( n=3 \), como \( x=11^{−n} \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} x & = 11^{-3} \\ & = \frac{1}{ 11^{3} } \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{1331} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 78

Resolver los valores de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ x^{ x – x^{2} + 13 } = x^2 – 12 \]

Solución:

  1. Este ejercicio se resuelve de la siguiente manera: buscaremos en el exponente del miembro izquierdo un término igual al miembro derecho, esto es, de \( x^{2} –12 \), para ello, vamos a separarlo en dos factores el miembro izquierdo de la siguiente manera:
    \[ \begin{align} x^{x+1} \cdot x^{ -x^{2} +12 } & = x^{2} – 12 \\ x^{x+1} \cdot x^{ – ( x^{2} -12 ) } & = x^{2} – 12 \end{align} \]
  2. Por definición de exponente negativo \( a^{−n} = \frac{1}{a^n} \):
    \[ x^{x+1} \cdot \frac{ 1 }{ x^{ x^{2} – 12 } } = x^{2} – 12 \]
  3. Trasladando el término \( x^{x^2–12} \), entonces:
    \[ x^{x+1} = ( x^{2} – 12 ) x^{ x^{2} – 12 } \]
  4. Como \( x^{x+1} = x \cdot x^x \), entonces:
    \[ \color{red}{x} \cdot x^{ \color{red}{x} } = ( \color{red}{ x^2 – 12 } ) x^{ \color{red}{ x^{2} – 12 } } \]
  5. Por comparación o simetría, se cumple que:
    \[ x = x^{2} – 12 \]
  6. Resolviendo la ecuación, finalmente obtenemos los valores de \( x \):
    \[ \begin{align} x^{2} – x – 12 & = 0 \\ ( x-4 )( x+3 ) & = 0 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ { 4, -3 } } \\ \hline \end{array} \end{align} \]
  7. Esto quiere decir que \( x \) es \( 4 \) ó \( −3 \).

Ejercicio 79

Calcular el valor de \( xy \) si se cumple el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:

  1. \( (x+y)2^{y-x} = 3 \)
  2. \( \sqrt[x-y]{x+y} = 2 \sqrt{3} \)

Solución:


  1. Resolveremos los valores de \( x \) e \( y \), para ello, reemplazamos la ecuación 1 en 2, para ello, comenzaremos por la primera a la ecuación 1:
    \[ \begin{align} (x+y)2^{y-x} & = 3 \\ (x+y) & = \frac{3}{ 2^{y-x} } \\ x+y & = 3 \cdot 2^{ -(y-x) } \\ x+y & = 3 \cdot 2^{ x-y } \end{align} \]
  2. Ahora reemplazando en \( 2 \), resulta:
    \[ \begin{align} \sqrt[x-y]{ 3 \cdot 2^{x-y} } & = 2 \sqrt{3} \\ \sqrt[x-y]{3} \cdot \sqrt[x-y]{ 2^{x-y} } & = 2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt[x-y]{3} & = 2 \sqrt{3} \end{align} \\ \sqrt[x-y]{3} = \sqrt{3} \]
  3. Para que esta igualdad se cumpla, los indices de los radicales deben ser iguales, entonces:
    \[ x-y = 2 \cdots ( \alpha ) \]
  4. Reemplazando \( α \) a la ecuación \( 1 \):
    \[ \begin{align} (x+y)2^{ y-x } & = 3 \\ (x+y)2^{ -(x-y) } & = 3 \\ (x+y)2^{ -2 } & = 3 \\ (x+y) ( \frac{1}{2^2} ) & = 3 \\ x+y & = 3 \cdot 2^{2} \\ x+y & = 12 \end{align} \]
  5. De esta manera, obtenemos dos sistema de ecuaciones lineales (tema que estudiaremos en un curso de ecuaciones más adelante) y son:
    \[ x-y=2 \\ x+y = 12 \]
  6. Sumando las ecuaciones, resulta:
    \[ \begin{align} (x-y) + (x+y) & = 2 + 12 \\ 2x & = 14 \\ x & = 7 \end{align} \]
  7. Si restamos el sistema de ecuaciones dados, resulta:
    \[ \begin{align} (x+y) – (x-y) & = 12-2 \\ 2y & = 10 \\ y & = 5 \end{align} \]
  8. Finalmente, el producto de \( x \) e \( y \) es:
    \[ \begin{align} xy & = 7 \cdot 5 \\ xy & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 35 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 80

Averigüe el valor de \( x \) en el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales siguientes:

  1. \( x^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } = y^{ \frac{8}{3} } \)
  2. \( y^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } = x^{ \frac{2}{3} } \)

Solución:

  1. Vamos a reemplazar el valor de \( x \) (solo la base) en la ecuación 1 desde la ecuación 2, para ello, vamos a elevar al exponente \( \frac{2}{3} \) a los dos miembros de la ecuación 1, resulta:
    \[ ( x^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } )^{ \frac{2}{3} } = ( y^{ \frac{8}{3} } )^{ \frac{2}{3} } \]
  2. Por la el teorema \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} = a^{nm} \), entonces:
    \[ \begin{align} ( x^{ \frac{2}{3} } )^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } & = y^{ \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} } \\ ( x^{ \frac{2}{3} } )^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } & = y^{ \frac{16}{9} } \end{align} \]
  3. Ahora si reemplazando 2 en 1:
    \[ \begin{align} ( y^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } )^{ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} } & = y^{ \frac{16}{8} } \\ y^{ ( \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} )^{2} } & = y^{ \frac{16}{9} } \end{align} \]
  4. Eliminando la base \( y \) en los dos miembros:
    \[ \begin{align} ( \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} )^{2} & = \frac{16}{9} \\ \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} … ( \alpha ) \end{align} \]
  5. Reemplazando el valor de \( α \) en \( 2 \), tenemos:
    \[ \begin{align} y^{ \frac{4}{3} } & = x^{ \frac{2}{3} } \\ y^{2} & = x \end{align} \]
  6. Reemplazando esta nueva ecuación en \( α \), resulta:
    \[ \begin{align} \sqrt[4]{x} + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ \sqrt[4]{ y^{2} } + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ \sqrt{y} + \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ 2 \sqrt{y} & = \frac{4}{3} \\ \sqrt{y} & = \frac{2}{3} \\ y & = \frac{4}{9} \end{align} \]
  7. Como \( x=y^2 \), resulta:
    \[ \begin{align} x & = ( \frac{4}{9} )^{2} \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{16}{81} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 81

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ x^{ x – \sqrt{x} – 1 } = \sqrt{x} + 2 \]

Solución:

  1. Por la propiedad de cociente de potencias:
    \[ \frac{ x^{x} }{ x^{ \sqrt{x} + 1 } } = \sqrt{x} + 2 \]
  2. Pasando el término \( x^{ \sqrt{x}+1 } \) al otro miembro:
    \[ x^{x} = ( \sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 1 } \]
  3. Multiplicando por \( x \) a los dos miembros, resulta:
    \[ \begin{align} x \cdot x^{x} & = (\sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 1 } \cdot x \\ x \cdot x^{x} & = ( \sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 1 + 1 } \\ x \cdot x^{x} & = ( \sqrt{x} + 2 ) x^{ \sqrt{x} + 2 } \end{align} \]
  4. Si comparamos los miembros de esta ecuación, podemos deducir que:
    \[ x = \sqrt{x} + 2 \cdots ( \alpha ) \\ x-2 = \sqrt{x} \\ (x-2)^{2} = x \\ x^{2} – 4x + 4 = x \\ x^{2} -5x + 4 = 0 \]
  5. Tenga en cuenta que \( (x−2)^2 = x^2–4x+4 \) (esta fórmula lo estudiaremos en una sección de productos notables), si factorizamos por aspa simple la última ecuación, quedando:
    \[ (x-4)(x-1) = 0 \]
  6. De esta manera obtenemos dos valores de xx y son:
    \[ x = 4 \ \text{y} \ x=1 \]
  7. Si reemplazamos estos valores en \( \alpha \), el único valor aceptable es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = 4 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 82

Averigüe el valor de \( x \) en la siguiente expresión:

\[ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x – 1 } + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x  + 1} = \frac{4}{ 2 – \sqrt{3} } \]


Solución:

Este ejercicio requiere de algunos conceptos de productos notables, en este caso usaremos sólo las propiedades de diferencia de cuadrados \( (a−b)(a+b)=a^2−b^2 \) y binomio al cuadrado \( (a±b)^2=a^2±2ab+b^2 \).

  1. Vamos a eliminar el \( 1 \) y \( −1 \) de los exponentes de las bases de \( 2+\sqrt{3} \) y \( 2– \sqrt{3} \) del miembro izquierdo de la siguiente manera:
    \[ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( 2 + \sqrt{3} ) + \frac{ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } }{ 2 – \sqrt{3} } = \frac{4}{ 2 – \sqrt{3} } \]
  2. Multiplicando a los dos miembros por \( 2 – \sqrt{3} \), resulta:
    \[ \require{cancel} \begin{align} ( ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \underbrace{ ( 2 + \sqrt{3} )( 2 – \sqrt{3} ) }_{ (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} } + \frac{ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } }{ \cancel{ 2 – \sqrt{3} } } \cdot ( \cancel{ 2 – \sqrt{3} } ) & = \frac{ 4 }{ \cancel{ 2 – \sqrt{3} } } \cdot ( \cancel{ 2 – \sqrt{3} } ) \\ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( \underbrace{ 2^{2} – { \sqrt{3} }^{2} }_{ 4-3 = 1 } ) + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 4 \\ ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 4 \end{align} \]
  3. Ahora la ecuación se ve menos espantosa por no decir más agradable, la siguiente estrategia para resolver el valor de \( x \) es multiplicando a los dos miembros por \( (2 – \sqrt{3} )^{ x^2–2x} \), el punto aquí es eliminar la base \( 2+\sqrt{3} \), tenemos:
    \[ \begin{align} ( 2 + \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } + ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2x} – 2x } ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \\ [ \underbrace{ ( 2 + \sqrt{3} )( 2 – \sqrt{3} ) }_{1} ]^{ x^{2} – 2x } + [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} & = 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \\ 1 + [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} & = 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } \\ [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} – 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = -1 \end{align} \]
  4. El punto aquí es buscar un trinomio cuadrado perfecto \( a^2 ± 2ab +b^2 = (a±b)^2 \), sumaremos a los dos miembros por \( 4 \), resulta:
    \[ \begin{align} [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} – 4( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } + 4 & = 4-1 \\ [ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ]^{2} – 2( ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } )(2) + 2^{2} & = 3 \\ ( ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } – 2 )^{2} & = 3 \end{align} \]
  5. Ahora la ecuación se ve mas agradable, por definición de radicación, resulta:
    \[ \begin{align} ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } – 2 & = \sqrt{3} \\ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} -2x } & = 2 + \sqrt{3} \end{align} \]
  6. Multiplicando a los dos miembros por \( 2 – \sqrt{3} \):
    \[ \begin{align} ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } ( 2 – \sqrt{3} ) & = \underbrace{ ( 2 + \sqrt{3} )( 2 – \sqrt{3} ) }_{ 4 – { \sqrt{3} }^{2} = 1 } \\ ( 2 – \sqrt{3} )^{ x^{2} – 2x } & = 1 \end{align} \]
  7. Por definición de exponente cero \( a^0=1 \), entonces el exponente de la base \( 2– \sqrt{3} \) es cero ( \( 0 \) ), quedando:
    \[ \begin{align} x^{2} – 2x & = 0 \\ x( x -2 ) & = 0 \end{align} \]
  8. Finalmente los valores de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x=0 } \ \text{ó} \ \Large{ x=2 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 83

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación exponencial:

\[ 2x+1 = \frac{3}{2} [ \sqrt{ \frac{1}{x} } ]^{4x-1} \]

Solución:

  1. Por propiedad de radicación \( \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \) y la definición de radicación \( \sqrt[n]{a} = b \Rightarrow a = b^n \) y realizando algunas operaciones:
    \[ \begin{align} 2x+1 & = \frac{3}{2} [ \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{x} } ]^{4x-1} \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} [ \frac{1}{ \sqrt{x} } ]^{4x-1} \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} [ \frac{1}{ x^{ \frac{1}{2} } } ]^{4x-1} \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} ( \frac{1}{ x^{ \frac{1}{2} \cdot (4x-1) } } ) \\ 2x+1 & = \frac{3}{2} ( \frac{1}{ x^{ 2x – \frac{1}{2} } } ) \end{align} \]
  2. Pasando el factor \( x^{ 2x – \frac{1}{2} } \) al otro miembro:
    \[ (2x+1) x^{ 2x – \frac{1}{2} } = \frac{3}{2} \]
  3. Multiplicando por \( x^{ \frac{3}{2} } \)  a los dos miembros:
    \[ \begin{align} (2x+1) x^{ 2x – \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{3}{2} } & = \frac{3}{2} \cdot x^{ \frac{3}{2} } \\ (2x+1) x^{ 2x – \frac{1}{2} + \frac{3}{2} } & = \frac{3}{2} x^{ \frac{3}{2} } \\ (2x+1) x^{ 2x + 1 } & = \frac{3}{2} x^{ \frac{3}{2} } \end{align} \]
  4. Por comparación, podemos decir que:
    \[ 2x+1= \frac{3}{2} \]
  5. Operando, obtenemos finalmente el valor de \( x \):
    \[ \begin{align} 2x & = \frac{3}{2} – 1 \\ 2x & = \frac{1}{2} \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{4} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 84

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} – 1 } = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \]


Solución:

  1. Si tienes la experiencia adecuada, este problema se resuelve de la siguiente manera: multiplicando a los dos miembros por \( \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \), resulta:
    \[ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} – 1 } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \]
  2. Por la propiedad de radicación \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \):
    \[ \begin{align} \sqrt[x-1]{ 1+ \sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{ \underbrace{ ( \sqrt{2} – 1 )( \sqrt{2} + 1 ) }_{ { \sqrt{2} }^{2} – 1{2} = 2-1 =1 } } & = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \\ \sqrt[x-1]{ 1 +\sqrt{2} } \cdot \sqrt[x+1]{1} & = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ \sqrt{2} + 1 } \\ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } & = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \cdot \sqrt[x+1]{ 1 + \sqrt{2} } \end{align} \]
  3. Pasando el factor \( \sqrt[x+1]{ 1 + \sqrt{2} } \) al otro miembro:
    \[ \frac{ \sqrt[x-1]{ 1 + \sqrt{2} } }{ \sqrt[x+1]{ 1 + \sqrt{2} } } = \sqrt[16]{ 17 + 6 \sqrt{8} } \]
  4. Por definición de radicación:
    \[ \begin{align} \frac{ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{ x-1 } } }{ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{x+1} } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{x-1} – \frac{1}{x+1} } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{ x+1 – (x-1) }{ (x-1)(x+1) } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{1}{ x^{2}  – 1 } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } … ( \alpha ) \end{align} \]
  5. La base del miembro izquierdo se puede escribir como \( 1 + \sqrt{2} = ( 1 + \sqrt{2} )^{ \frac{2}{2} } \), por propiedad de potencia de potencia:
    \[ 1 + \sqrt{2} = [ ( 1 + \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \]
  6. Como \( (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \):
    \[ \begin{align} 1 + \sqrt{2} & = ( 1^{2} + 2(1)( \sqrt{2} ) + { \sqrt{2} }^{2} )^{ \frac{1}{2} } \\ & = ( 1 + 2 \sqrt{2} + 2 )^{ \frac{1}{2} } \\ 1 + \sqrt{2} & = ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{ \frac{1}{2} } \end{align} \]
  7. La expresión \( 3 + 2 \sqrt{2} \) se puede escribir como \( [ ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} } \), entonces:
    \[ \begin{align} 1 + \sqrt{2} & = ( [ ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \\ & = [ ( 3 + 2 \sqrt{2} )^{2} ]^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} } \\ & = ( 3^{2} + 2(2) (3) ( \sqrt{2} ) + \underbrace{ ( 2 \sqrt{2} )^{2} }_{ 2^{2} \cdot 2 = 8 } )^{ \frac{1}{4} } \\ & = ( 9 + 8 + 6 \underbrace{(2)}_{ \sqrt{2^{2}} } \sqrt{2} )^{ \frac{1}{4} } \\ 1 + \sqrt{2} & = ( 17 + 6 \sqrt{2^{2}} \sqrt{2} )^{ \frac{1}{4} } \\ 1 + \sqrt{2} & = ( 17 + 6 \sqrt{ 2(2^{2}) } )^{ \frac{1}{4} } \\ 1 + \sqrt{2} & = ( 17 + 6 \sqrt{ 8 } )^{ \frac{1}{4} } \end{align} \]
  8. Reemplazando en \( α \), resulta:
    \[ \begin{align} [ ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{4} } ]^{ \frac{1}{ x^{2} – 1 } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \\ ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{ x^{2} – 1 } } & = ( 17 + 6 \sqrt{8} )^{ \frac{1}{16} } \end{align} \]
  9. Se pueden eliminar las bases por ser iguales, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{align} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{ x^{2} – 1 } & = \frac{1}{16} \\ \frac{1}{ 4( x^{2} – 1 ) } & = \frac{1}{16} \\ 4( x^{2} – 1 ) & = 16 \\ x^{2} – 1 & = 4 \\ x^{2} & = 5 \\ x & = \boxed{ -\sqrt{5} \ \text{ó} \ \sqrt{5} } \end{align} \]

Ejercicio 85

De la condición \( x^{ x^{ 1- x } } = { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } \), resolver el valor numérico de \( x^{ x^{ 1 + 2x } } \).

Solución:

  1. Comencemos por la condición, el exponente del miembro izquierdo se puede escribir como \( x^{1-x} = x \cdot x^{-x} \), entonces:
    \[ \begin{align} x^{ x \cdot x^{-x} } & = { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } \\ ( x^{x} )^{ x^{-x} } & = { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } \end{align} \]
  2. Elevando a la \( -1 \) a los dos miembros:
    \[ \begin{align} [ ( x^{x} )^{ x^{-x} } ]^{-1} & = ( { \sqrt[4]{2} }^{ \sqrt{2} } ){-1} \\ ( x^{ -x } )^{ x^{-x} } & = { \sqrt[4]{2} }^{ – \sqrt{2} } \end{align} \]
  3. La raíz \( \sqrt[4]{2} \) se puede escribir como \( \sqrt{2}^{ \frac{1}{2} } \), tenemos:
    \[ ( x^{-x} )^{ x^{-x} } = [ ( \sqrt{2} )^{ \frac{1}{2} } ]^{ – \sqrt{2} } \]
  4. Intercambiado exponentes en el miembro derecho y realizando algunos cálculos:
    \[ \begin{align} ( x^{-x} )^{ x^{-x} } & = [ ( \sqrt{2} )^{-1} ]^{ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} } \\ & = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } )^{ \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } } \\ & = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } )^{ \frac{ \sqrt{2} }{ { \sqrt{2} }^{2} } }  \\ ( x^{-x} )^{ x^{-x} } & = ( \frac{1}{ \sqrt{2} } )^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } \end{align} \]
  5. Por simetría, obtenemos:
    \[ \begin{align} x^{-x} & = \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ x^{-x} & = { \sqrt{2} }^{-1} \end{align} \]
  6. Elevando a los dos miembros a la \( -1\):
    \[ \begin{align} ( x^{-x} )^{-1} & = [ { \sqrt{2} }^{-1} ]^{-1} \\ x^{x} & = \sqrt{2} \end{align} \]
  7. Ahora vamos a calcular lo que nos pode, se tiene:
    \[ \begin{align} x^{ x^{1 + 2x} } & = x^{ x \cdot x^{2x} } \\ & = ( x^{x} )^{ x^{2x} } \\ x^{ x^{ 1+2x } }  & = ( x^{x} )^{ ( x^{x} )^{2} } \end{align} \]
  8. Cómo \( x^{x} = \sqrt{2} \), finalmente logramos obtener:
    \[ \begin{align} x^{ x^{ 1 + 2x } } & = ( \sqrt{2} )^{ ( \sqrt{2} )^{2} } \\ & = ( \sqrt{2} )^{2} \\ x^{ x^{ 1+2x } } & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 2 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 86

Despejar \( x \) en:

\[ x^{x} = \frac{ \sqrt[n]{4} }{ n^{x} } \]

Solución:

  1. Pasando el factor \( n^{x} \) al otro miembro:
    \[ x^{x} \cdot n^{x} = \sqrt[n]{4} \]
  2. Por la propiedad de potencia de un producto \( a^{n} b^{n} = (ab)^{n} \):
    \[ (xn)^{x} = \sqrt[n]{4} \]
  3. Por definición de radicación \( \sqrt[n]{a} = b \Rightarrow a = b^{n} \):
    \[ \begin{align} [ (xn)^{x} ]^{n} & = 4 \\ (xn)^{xn} & = 2^{2} \end{align} \]
  4. Por simetría, logramos obtener:
    \[ \begin{align} xn & = 2 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{2}{n} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 87

Resolver el valor de \( \frac{3x}{y} \) si se cumple:
\[ \sqrt[x+y]{ ( \frac{ \sqrt[x]{ xy^{-1} } }{ \sqrt[y]{ yx^{-1} } } )^{ x^{2} } } = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \]


Solución:

  1. Las expresiones \( xy^{-1} \) y \( yx^{-1} \) se puede escribir respectivamente en \( \sqrt[y]{ ( xy^{-1} )^{y} } \) y \( \sqrt[x]{ ( yx^{-1} )^{x} } \), tenemos:
    \[ \begin{align} \sqrt[x+y]{ ( \frac{ \sqrt[x]{ ( \sqrt[y]{ xy^{-1} } )^{y} } }{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ yx^{-1} } )^{x} } } )^{ x^{2} } } & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ \sqrt[x+y]{ ( \sqrt[xy]{ \frac{ ( xy^{-1} )^{y} }{ ( yx^{-1} )^{x} } } )^{ x^{2} } } & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  2. Aplicando las propiedades \( \sqrt[nk]{ a^{mk} } = \sqrt[n]{ a^{m} } \), entonces:
    \[ \begin{align} { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ ( xy^{-1} )^{y} }{ ( yx^{-1} )^{x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ x^{y} y^{-y} }{ y^{x} x^{-x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  3. Sabiendo que \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \) y \( \frac{1}{ b^{-m} } = b^{m} \), entonces:
    \[ \begin{align} { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ ( xy^{-1} )^{y} }{ ( yx^{-1} )^{x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ { \sqrt[ (x+y)y ]{ \frac{ x^{y} y^{-y} }{ y^{x} x^{-x} } } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  4. Simplificando \( x+y \) y por definición de radicación:
    \[ \begin{align} { \sqrt[y]{ \frac{x}{y} } }^{x} & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \\ ( \frac{x}{y} )^{ \frac{x}{y} } & = \frac{1}{ 3^{ \frac{1}{3} } } \\ ( \frac{x}{y} )^{ \frac{x}{y} } & = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{3} } \end{align} \]
  5. Por comparación o simetría, se cumple:
    \[ \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \]
  6. Por tanto, el valor de 3xy3xy es:
    \[ \begin{align} \frac{3x}{y} & = 3( \frac{x}{y} ) \\ & = 3( \frac{1}{3} ) \\ \frac{3x}{y}  & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 88

Sea la condición \( x^{ -4^{ 4^{-x} } } = 4 \), cuál es el valor numérico de \( x^{ x^{-1} } \).

Solución:

  1. Este ejercicio es interesante, para resolverlo, pasaremos el exponente de la base \( x \) al otro miembro, esto es se cumple que si \( a^{n} = b \), entonces \( a = b^{ \frac{1}{n} } \), resulta:
    \[ \begin{align} x & = 4^{ \frac{1}{ -4^{ 4^{ -x } } } } \\ x & = 4^{ – \frac{1}{ 4^{ 4^{ -x } } } } \end{align} \]
  2. Por definición de exponente negativo \( \frac{1}{ a^{n} } = a^{-n} \):
    \[ x = 4^{ – 4^{ -4^{-x} } } \]
  3. Por propiedad de potencia de potencia \( a^{nm} = ( a^{n} )^{m} \):
    \[ x = ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{x} } } \]
  4. Note que \( x \) se puede escribir como \( { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{x} } } \), entonces:
    \[ { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{ { \sqrt[x]{x} }^{x} } } = ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{ ( 4^{-1} )^{x} } } \]
  5. Por comparación o simetría, resulta:
    \[ \sqrt[x]{x} = 4^{-1} \]
  6. Nos piden \( x^{ x^{-1} } \), por tanto, el ejercicio esta resuelto por lo siguiente:
    \[ \begin{align} \sqrt[x]{x} & = \frac{1}{4} \\ x^{ \frac{1}{x} } & = \frac{1}{4} \\ x^{ x^{-1} } & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{4} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 89

Cual es el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ 4^{x} – 3^{ x – \frac{1}{2} } = 3^{ x + \frac{1}{2} } – 2^{2x-1} \]

Solución:

  1. Pasaremos los términos \( -3^{ x – \frac{1}{2} } \) y \( 2^{2x-1} \) al otro miembro y sabiendo que la base \( 2 \) se puede escribir como \( 2= 4^{ \frac{1}{2} } \) y realizando algunas operaciones:
    \[ \begin{align} 4^{x} + [ 4^{ \frac{1}{2} } ]^{ 2x – 1 } & = 3^{ x + \frac{1}{2} } + 3^{ x – \frac{1}{2} } \\ 4^{x} + 4^{ \frac{1}{2} ( 2x – 1 ) } & = 3^{ x + \frac{1}{2} } + 3^{ x – \frac{1}{2} } \\ 4^{x} + 4^{ x – \frac{1}{2} } & = 3^{x} \cdot 3^{ \frac{1}{2} } + 3^{x} \cdot 3^{ – \frac{1}{2} } \\ 4^{x} + 4^{x} \cdot 4^{ – \frac{1}{2} } & = 3^{x} ( 3^{ \frac{1}{2} } + 3^{ – \frac{1}{2} } ) \\ 4^{x} ( 1 + 4^{ – \frac{1}{2} } ) & = 3^{x} ( 3^{ \frac{1}{2} } + 3^{ – \frac{1}{2} } ) \\ 4^{x} ( 1 + \frac{1}{ 4^{ \frac{1}{2} } } ) & = 3^{x} ( 3^{ \frac{1}{2} } + \frac{1}{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \\ 4^{x} ( 1 + \frac{1}{2} ) & = 3^{x} ( \frac{ 3 + 1 }{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \\ 4^{x} ( \frac{ 1+2 }{2} ) & = 3^{x} ( \frac{ 4 }{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \\ 4^{x} ( \frac{3}{2} ) & = 3^{x} ( \frac{4}{ 3^{ \frac{1}{2} } } ) \end{align} \]
  2. Pasando \( 3^x \) y \( 3^2 \) al otro miembro, resulta:
    \[ \begin{align} \frac{ 4^{x} }{ 3^{x} } & = \frac{8}{ 3 \cdot 3^{ \frac{1}{2} } } \\ ( \frac{4}{3} )^{x} & = \frac{8}{ 3^{ 1 + \frac{1}{2} } } \\ ( \frac{4}{3} )^{x} & = \frac{ 8 }{ 3^{ \frac{3}{2} } } \end{align} \]
  3. Como \( 8 = 4^{ \frac{3}{2} } \), entonces:
    \[ \begin{align} ( \frac{4}{3} )^{x} & = \frac{ 4^{ \frac{3}{2} } }{ 3^{ \frac{3}{2} } } \\ ( \frac{4}{3} )^{x} & = ( \frac{4}{3} )^{ \frac{3}{2} } \end{align} \]
  4. Eliminando las bases, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = \frac{3}{2} } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 90

Reducir el siguiente radical:


\[ \mathrm{B} = \sqrt[1]{ \frac{ \sqrt[2]{ \frac{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt[4]{ \frac{ .^{ .^{ .^{ n \ \color{red}{ \text{radicales} } } } } }{ x^{ 4! } } } }{ x^{ 3! } } } }{ x^{ 2! } } } }{ x } } \]

Solución:

  1. La raíz uno de un número es el mismo número, aunque contradice la definición de radicación, lo aceptaremos por esta vez, la expresión quedaría:
    \[ \mathrm{B} =  \frac{ \sqrt[2]{ \frac{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt[4]{ \frac{ .^{ .^{ .^{ n-1 \ \color{red}{ \text{radicales} } } } } }{ x^{ 4! } } } }{ x^{ 3! } } } }{ x^{ 2! } } } }{ x } \]
  2. Ahora quedan \( n-1 \) radicales, tener en cuenta que el índice del radical con valor \( 2 \) se puede escribir como \( 1 \cdot 2 = 2! \), recordar la definición del factorial de un número queda definido como  \[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)n \] , entonces:
    \[ \mathrm{B} =  \frac{ \sqrt[ 2! ]{ \frac{ \sqrt[3]{ \frac{ \sqrt[4]{ \frac{ .^{ .^{ .^{ n-1 \ \color{red}{ \text{radicales} } } } } }{ x^{ 4! } } } }{ x^{ 3! } } } }{ x^{ 2! } } } }{ x } \]
  3. Para no entrar en confusión, usaremos la definición de exponente negativo donde \( \frac{1}{ x^{n} } = x^{-n} \) (aunque podía haberlo hecho desde un inicio, pero bueno), tenemos:
    \[ \mathrm{B} =  \underbrace{ x^{-1} }_{ 1 \ \text{factor} } \sqrt[ 2! ]{ x^{ -2! } \sqrt[3]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-1) \ \text{radicales} } } } \]
    Tenga en cuenta que \( \overbrace{1}^{ \text{factor} } + \overbrace{n-1}^{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \).
  4. Usando la propiedad \( \sqrt[n]{ ab } = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \):
    \[ \mathrm{B} =  x^{-1} \cdot \sqrt[ 2! ]{ x^{ -2! } } \sqrt[ 2! ]{ \sqrt[3]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } } \]
  5. Quedando \( n-2 \) radicales, por las propiedades \( \sqrt[n]{ a^{nk} } = a^{k} \) y \( \sqrt[n]{ \sqrt[m]{b} } = \sqrt[nm]{b} \), resulta:
    \[ \mathrm{B} =  \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 2 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 2! \cdot 3 ]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } \]
    Observe que \( \overbrace{2}^{ \text{factores} } + \overbrace{ n-2 }^{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \).
  6. Tener en cuenta una propiedad del factorial que nos dice \( n! = (n-1)! \cdot n \), entonces \( 2! \cdot 3 = 3! \), obteniendo:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & =  x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot \sqrt[ 3! ]{ x^{-3!} \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } \\ & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 3 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 3! ]{ \sqrt[4]{ x^{-4!} \cdots (n-2) \ \text{radicales} } } \\ & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 3 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 3! \cdot 4 ]{ x^{-4!} \cdots (n-3) \ \text{radicales} } \\ & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} }_{ 3 \ \text{factores} } \cdot \sqrt[ 4! ]{ x^{-4!} \cdots (n-3) \ \text{radicales} } \end{align} \]
    Note también que factores \( \overbrace{3}^{ \text{factores} } + \overbrace{n-3}^{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \), esto quiere decir que todos los radicales se pueden transformar en todos los factores tal que \( \underbrace{n}_{ \text{factores} } + \underbrace{0}_{ \text{radicales} } = n \ \text{radicales} \).
  7. En base a lo ultimo, nuestra expresión queda de la siguiente manera y último paso:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \underbrace{ x^{-1} \cdot x^{-1} \cdot x^{-1} \cdots x^{-1} }_{ n \ \text{ factores} } \\ &= ( x^{-1} )^{n} \\ \mathrm{B} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x^{-n} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 91

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ 3^{2x+5} – 28( 3^{x+1} – 2 ) = 55 \]

Solución:

  1. Aplicando las mismas propiedades habituales de potenciación, resulta:
    \[ \begin{align} 3^{2x} \cdot 3^{5} – 28 \cdot 3^{x} \cdot 3 + 56 & = 55 \\ 3^{5} \cdot 3^{2x} – 28 \cdot 3 \cdot 3^{x} + 56 – 55 & = 0 \\ 3^{5} \cdot 3^{2x} – 28 \cdot 3 \cdot 3^{x} + 1 & = 0 \end{align} \]
  2. Por el método del aspa simple (factorización), resulta:
    \[ \underbrace{ 3^{5} }_{ \begin{array}{ c } \color{red}{ 3^{4} } \\ \color{red}{ 3 } \end{array} } \cdot 3^{2x} \underbrace{ – 28 \cdot 3 }_{ ( \color{green}{-1} )( \color{red}{3^{4}} ) + ( \color{green}{-1} )( \color{red}{3} ) } \cdot 3^{x} + \underbrace{1}_{ \begin{array}{ c } \color{green}{-1} \\ \color{green}{-1} \end{array} } = 0 \]
  3. Nuestra ecuación exponencial se escribe de la siguiente manera:
    \[ ( 3^{4} \cdot 3^{x} – 1 )( 3 \cdot 3^{x} – 1 ) = 0 \]
  4. Los valores de 3x3x, para ser mas exactos, la de xx serían:
    \[ 3^{x} = \frac{1}{ 3^{4} } \vee 3^{x} = \frac{1}{3} \\ 3^{x} = 3^{-4} \vee 3^{x} = 3^{-1} \\ x = \begin{array}{ | c | } \hline -4 \\ \hline \end{array} \vee x = \begin{array}{ | c | } \hline -1 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 92

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ x^{2x} + x^{3} = ( x^{2} + x )x^{x} \]


Solución:

  1. Este ejercicio es similar como en el caso anterior, es decir, se puede realizar una factorización del tipo aspa simple, veamos:
    \[ \underbrace{ 1 }_{ \begin{array}{ c } \color{red}{1} \\ \color{red}{1} \end{array} } \cdot x^{2x} – ( \underbrace{ x^{2} + x }_{ – \color{red}{1} \cdot \color{green}{ x^{2} } – \color{red}{ 1 } \cdot \color{green}{ x } } ) x^{x} + \underbrace{ x^{3} }_{ \begin{array}{ c } \color{green}{ -x^{2} } \\ \color{green}{ -x } \end{array} } = 0 \]
  2. La ecuación quedaría así:
    \[ ( x^{x} – x^{2} )( x^{x} – x ) = 0 \]
  3. Obteniéndose:
    \[ x^{x} = x^{2} \vee x^{x} = x \]
  4. Eliminando las bases, finalmente obtenemos los dos valores de \( x \) tal que:
    \[ x = \begin{array}{ | c | } \hline 2 \\ \hline \end{array} \vee x = \begin{array}{ | c | } \hline 1 \\ \hline \end{array} \]
    Si reemplazamos cualquiera de estos dos valores en la ecuación \( x^{2x} + x^{3} = ( x^{2} + x )x^{x} \).

Ejercicio 93

Despeje el \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ a^{2x} ( a^{2} + 1 ) = ( a^{3x} + a^{x} )a \]

Solución:

  1. Este ejercicio también se puede realizar con aspa simple, veamos:
    \[ a^{2x} ( a^{2} + 1 ) = a \cdot a^{3x} + a \cdot a^{x} \\ \underbrace{ a \cdot a^{3x} }_{ \begin{array}{ c } \color{red}{a \cdot a^{2x} } \\ \color{red}{ a^{x} } \end{array} } \underbrace{ – ( a^{2} + 1 ) a^{2x} }_{ ( \color{green}{ -a } )( \color{red}{ a \cdot a^{2x} } ) + ( \color{green}{ -a^{x} } )( \color{red}{ a^{x} } ) } + \underbrace{ a \cdot a^{x} }_{ \begin{array}{ c } \color{green}{ -a^{x} } \\ \color{green}{ -a } \end{array} } = 0 \]
  2. Quedando:
    \[ ( a \cdot a^{2x} – a^{x} )( a^{x} – a ) = 0 \]
  3. Finalmente logramos obtener los valores de \( x \) en el siguiente y último desarrollo:
    \[ a \cdot a^{2x} = a^{x} \vee a^{x} = a \\ a \cdot a^{x} = 1 \vee x=1 \\ a^{x} = a^{-1} \vee x=1 \\ x = \begin{array}{ | c | } \hline -1 \\ \hline \end{array} \vee x = \begin{array}{ | c | } \hline 1 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 94

Averigüe los valores de \( x \) e \( y \) en el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ x^{x+y} = y^{x-y} \wedge x^{2} y = 1 \]

Solución:


  1. De la ecuación \( x^{2}y=1 \) donde debe cumplirse que \( x \neq 0 \) y \( y \neq 0 \) para que el resultado sea diferente de cero, despejando \( y \), resulta:
    \[ y = x^{-2} \cdots ( \mathrm{I} ) \]
  2. Este resultado lo reemplazamos en la otra ecuación, tenemos:
    \[ \begin{align} x^{ x+ x^{-2} } & = ( x^{-2} )^{ x – x^{-2} } \\ x^{ x + x^{-2} } & = x^{ -2( x – x^{-2} ) } \\ x^{ x + x^{-2} } & = x^{ -2x + 2x^{-2} } \end{align} \]
  3. De aquí se pueden eliminar las bases, sin embargo, se puede obtener una solución desde este mismo resultado, si hacemos \( x=1 \), la ecuación no tiene ninguna contradicción y la igualdad se cumple, si reemplazamos en \( x^{-2}y = 1 \), obtenemos \( y = 1 \), de esta manera obtenemos las primeras soluciones. Ahora eliminando las bases, la ecuación queda así:
    \[ \begin{align} x + x^{-2} & = 2x^{-2} -2x \\ 3x & = x^{-2} \\ x^{3} & = \frac{1}{3} \\ x & = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \end{align} \]
  4. Reemplazando en \( ( \mathrm{I} ) \), resulta:
    \[ \begin{align} y & = x^{-2} \\ &= ( \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } )^{-2} \\ y & = \sqrt[3]{9} \end{align} \]
  5. Por tanto, los valores de \( x \) e \( y \) son:
    \[ (x = 1 \wedge y = 1) \vee ( x = \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } \wedge y = \sqrt[3]{9} ) \]

Ejercicio 95

Resuelva el sistema de ecuaciones:

\[ \left. (x+y)^{x+y} = 8 – (x+y)^{x}  \atop (x+y)^{x-y} = 8 – 16(x+y)^{y-x} \right \} \]

donde \( x \) e \( y \) son dos enteros positivos.

Solución:

  1. Comenzaremos por esta ecuación ya que a simple vista parece ser un trinomio cuadrado perfecto:
    \[ (x+y)^{x-y} = 8 – 16(x+y)^{y-x} \]
  2. Como \( (x+y)^{y-x} = \frac{1}{ (x+y)^{x-y} } \), tenemos:
    \[ (x+y)^{x-y} = 8 – \frac{16}{ (x+y)^{x-y} } \]
  3. Multiplicando por (x+y)x−y(x+y)x−y, entonces:
    \[ \begin{align} (x+y)^{ 2(x-y) } & = 8(x+y)^{x-y} – 16 \\ (x+y)^{ 2(x-y) } – 8(x+y)^{x-y} + 16 & = 0 \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( a^{2} + b^{2} + 2ab = (a+b)^{2} \), tenemos:
    \[ \begin{align} ( (x+y)^{x-y} – 4 )^{2} & = 0 \\ (x+y)^{x-y} – 4 = 0 \\ (x+y)^{x-y} & = 4 \end{align} \]
  5. Por el teorema \( a^{n-m} = \frac{ a^{n} }{ a^{m} } \):
    \[ \frac{ (x+y)^{x} }{ (x+y)^{y} } = 4 \\ (x+y)^{x} = 4(x+y)^{y} \cdots ( \mathrm{I} ) \]
  6. Reservando la ecuación \( ( \mathrm{I} ) \), vamos a  darle forma a la otra ecuación del sistema, por la propiedad \( a^{m+n} = a^{m} \cdot a^{n} \), la ecuación que no hemos tocado quedaría así:
    \[ (x+y)^{x} \cdot (x+y)^{y} = 8 – (x+y)^{x} \]
  7. De \( ( \mathrm{I} ) \), resulta:
    \[ 4(x+y)^{y} \cdot (x+y)^{y} = 8 – 4(x+y)^{y} \\ 4(x+y)^{2y} = 8 – 4(x+y)^{y} \\ (x+y)^{2y} + (x+y)^{x} = 2 \]
  8. Daremos forma al miembro izquierdo tal que sea un trinomio cuadrado perfecto \( a^{2} + b^{2} + 2ab = (a+b)^{2} \), tenemos:
    \[ (x+y)^{2y} + 2(x+y)^{x} ( \frac{1}{2} ) + ( \frac{1}{2} )^{2} = 2 + ( \frac{1}{2} )^{2} \\ ( (x+y)^{y} + \frac{1}{2} )^{2} = \frac{9}{4} \]
  9. Si \( z^{2} = a \), entonces \( z = a \vee z = -a \), resulta:
    \[ (x+y)^{y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vee (x+y)^{y} + \frac{1}{2} = – \frac{3}{2} \\ (x+y)^{y} = 1 \vee (x+y)^{y} = -2 \]
  10. De la ecuación  \( ( \mathrm{I} ) \):
    \[ ( (x+y)^{y} = 1 \wedge (x+y)^{x} = 4 ) \vee ( (x+y)^{y} = -2 \wedge (x+y)^{x} = -8 ) \]
  11. Comencemos por estas ecuaciones:
    \[ (x+y)^{y} = 1 \wedge (x+y)^{x} = 4 \]
  12. Observe que para que se cumpla \( (x+y)^{y} = 1 \), debe cumplirse que \( y = 1 \), este valor lo reemplazamos en \( (x+y)^{x} = 4 \), obtenemos que \( x = 2 \).
  13. Falta resolver la otra posibles variables de la ecuación \( (x+y)^{y} = -2 \wedge (x+y)^{x} = -8 \), sin embargo y para no alargar este ejercicio, los valores de \( x \) e \( y \) no existen para cuando \( x \) e ( y \) son enteros como lo indica este ejercicio, por tanto, por tanto los valores admitidos son:
    \[ x=2 \wedge y=0 \]

Ejercicio 96

Reducir la siguiente expresión:

\[ \mathrm{X} = \sqrt[ ( \sqrt{2} + 1 )^{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ [ ( \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{2} \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } } ]^{ \sqrt{2}^{n-1} } } } \]

Solución:


  1. Es posible que este ejercicio se algo intimidante, pero es mas fácil de lo que creen, volveremos a escribir esta ecuación coloreando de color rojo un fragmento de la expresión así:
    \[ \mathrm{X} = \sqrt[ ( \sqrt{2} + 1 )^{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ [ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{2} \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } } ]^{ \sqrt{2}^{n-1} } } } \]
  2. Llamemos \( \mathrm{Y} \) al fragmento rojo de la ecuación anterior así:
    \[ \color{red}{ \mathrm{Y} = \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{2} \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } } \]
  3. Como \( x^{2} \) se puede escribir como \( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{ 2 \sqrt{2} } } } \), entonces:
    \[ \begin{align} \color{red}{ \mathrm{Y} } & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{ 2 \sqrt{2} } } \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{x} } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2} ]{ x^{ 2 \sqrt{2} } \cdot x } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} ]{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ x \cdot \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt{ x^{2} } \cdot \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt{ x^{2} \cdot  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt{ x^{2} } \cdot \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{  \sqrt{ x^{2} \cdot x^{ 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{  \sqrt{  x^{ 2 + 2 \sqrt{2} +1 } } } } \\ & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{  \sqrt{  x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } } \\ \mathrm{Y} & = \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } \end{align} \]
  4. Reemplazando este resultado en \( \mathrm{X} \), resultando:
    \[ \mathrm{X} = \sqrt[ ( \sqrt{2} + 1 )^{2} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ [ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } } ]^{ \sqrt{2}^{n-1} } } } \]
  5. Note que \( ( \sqrt{2} + 1 )^{2} = \sqrt{2}^{2} + 2 \sqrt{2} + 1 = \color{red}{ 2 \sqrt{2} + 3 } \):
    \[ \mathrm{X} = \sqrt[ \color{red}{ 2 \sqrt{2} + 3 } ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ 2 \sqrt{2} +3 } } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } } \]
  6. La expresión \( \color{red}{ 2 \sqrt{2} + 3 } \) se puede simplificar sin problemas ya que no existe sumas y restas entre los radicandos, de esta manera, finalmente el valor de XX es después de una serie de operaciones en este momento:
    \[ \begin{align} \mathrm{X} & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x } } )^{ \sqrt[n]{ \sqrt{2}^{ n-2n^{2} } } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ ( \color{red}{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x } } )^{ \sqrt{2}^{ \frac{ n-2n^{2} }{n} } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x }^{ \sqrt{2}^{ 1-2n } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ \sqrt{2}^{ -2n-2 } \cdot \sqrt{2}^{n} \cdot 2 ]{ x^{ \sqrt{2}^{ 1-2n } \cdot \sqrt{2}^{n-1} } } \\ & = \sqrt[ ( \sqrt{2}^{2} )^{ -n-1 } \cdot 2 \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x^{ \sqrt{2}^{ 1-2n + n-1 } } } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n-1 } \cdot 2 \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x^{ \sqrt{2}^{ -n } } } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n-1 + 1 } \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x^{ \frac{1}{ \sqrt{2}^{n} } } } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ \sqrt[ \sqrt{2}^{n} ]{x} } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot \sqrt{2}^{n} \cdot \sqrt{2}^{n} ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot ( \sqrt{2}^{2} )^{n}  ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n } \cdot 2^{n} ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{ -n+n } ]{ x } \\ & = \sqrt[ 2^{0} ]{ x } \\ & = \sqrt[ 1 ]{ x } \\ \mathrm{X} & = \boxed{ \Large{x} } \end{align} \]

Ejercicio 97

Reduzca la siguiente expresión:

\[ \mathrm{T} = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y+2x} } – \sqrt[x]{ y^{2x} x^{y} } )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x+y)^{x-y} \cdot (x-y)^{x+y} } } \]

Solución:

  1. La expresión de TT se puede escribir de la siguiente manera:
    \[ \require{cancel} \begin{align} \mathrm{T} & = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y} \cdot x^{2x} } – \sqrt[x]{ y^{2x} x^{y} } )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x+y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x+y)^{ – \color{blue}{y} } \cdot (x-y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x-y)^{ \color{blue}{y} } } } \\ & = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y} } \cdot x^{2} – y^{2} \sqrt[x]{ x^{y} } )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x+y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x-y)^{ \color{red}{x} } \cdot (x+y)^{ – \color{blue}{y} } \cdot (x-y)^{ \color{blue}{y} } } } \\ & = \frac{ \sqrt[y]{ ( \sqrt[x]{ x^{y} } ( x^{2} – y^{2} ) )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x^{2}-y^{2} )^{ \color{red}{x} } \cdot \frac{1}{ (x+y)^{ \color{blue}{y} } } \cdot (x-y)^{ \color{blue}{y} } } } \\ & = \frac{ \sqrt[y]{ x^{y} ( x^{2} – y^{2} )^{x} } – y \cdot \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } }{ \sqrt[y]{ (x^{2}-y^{2} )^{ \color{red}{x} } \cdot \frac{ (x-y)^{ \color{blue}{y} } }{ (x+y)^{ \color{blue}{y} } } } } \\ & = \frac{ (x – y) \cancel{ \sqrt[y]{ (x^{2} – y^{2} )^{x} } } }{ \frac{ x-y }{ x+y } \cdot \cancel{ \sqrt[y]{ (x^{2}-y^{2} )^{ \color{red}{x} } } } } \\ & = \frac{ \cancel{ x – y } }{ \frac{ \cancel{ x-y } }{ x+y } } \\ & = \frac{ 1 }{ \frac{ 1 }{ x+y } } \\ & = [ (x+y)^{-1} ]^{-1} \\ & = (x+y)^{ (-1)(-1) } \\ & = (x+y)^{1} \\ \mathrm{T} & = \boxed{ \Large{ x+y } } \end{align} \]
    De esta manera el ejercicio queda reducido a su expresión más mínimo.

Ejercicio 98

Dar el valor de \( \frac{x}{y} \) en términos de \( m \) y \( n \) luego de resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \left. (mx)^{ \sqrt[m]{x} } = \sqrt[ m^{ m^{-1} } ]{ m^{-1} } \atop ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} } = \sqrt[ m^{ m^{-2} } ]{ m^{-1} }  \right \} \]

Solución:

  1. Comencemos por esta ecuación:
    \[ (mx)^{ \sqrt[m]{x} } = \sqrt[ m^{ m^{-1} } ]{ m^{-1} } \]
  2. Para lograr una simetría exponencial, primero fíjense en \( m^{ m^{-1} } = m^{ \frac{1}{m} } = \sqrt[m]{m} \), lo que haremos es elevar las dos miembros a \( \sqrt[m]{m} \), resultando:
    \[ [ (mx)^{ \sqrt[m]{x} } ]^{ \sqrt[m]{m} } =  ( \sqrt[ { \sqrt[m]{x} } ]{ m^{-1} } )^{ \sqrt[m]{x} } \]
  3. Vea que \( \sqrt[m]{m} \) se elimina en el miembro derecho, quedando:
    \[ \begin{align} (mx)^{ \sqrt[m]{x} \cdot \sqrt[m]{m} } & =  m^{-1} \\ (mx)^{ \sqrt[m]{mx} } & = \frac{1}{m} \\ (mx)^{ (mx)^{ \frac{1}{m} } } & = \frac{1}{m} \end{align} \]
  4. En la teoría de ecuaciones exponenciales se había explicado desde el segundo ejercicio y siguientes que una expresión de la forma \( x^{ x^{ .^{ .^{ .^{ a } } } } } = a \) se cumplía sí \( x = \sqrt[a]{a} \), en nuestro ejercicio se cumple entonces que:
    \[ \begin{align} mx & = \sqrt[ \frac{1}{m} ]{ \frac{1}{m} } \end{align} \]
  5. Sepa qué \( \sqrt[ \frac{1}{y} ]{p} = p^{y} \), entonces:
    \[ \begin{align} mx & = ( \frac{1}{m} )^{m} \\ mx & = \frac{1}{ m^{m} } \\ x & = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{ m^{m} } \end{align} \]
  6. La ecuación anterior lo dejaremos así mientras tanto. Ahora tomemos la segunda ecuación:
    \[ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} } = \sqrt[ m^{ m^{-2} } ]{ m^{-1} } \]
  7. Aquí \( m^{ m^{-2} } = \sqrt[ m^{2} ]{m} \), elevando \( \sqrt[ m^{2} ]{m} \), a los dos miembros, quedaría así:
    \[ \begin{align} [ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} } ]^{ \sqrt[ m^{2} ]{m} } & = ( \sqrt[ { \sqrt[ m^{2} ]{m} } ]{ m^{-1} } )^{ \sqrt[ m^{2} ]{m} } \\ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{y} \cdot \sqrt[ m ]{ \sqrt[m]{m} } } & = m^{-1} \\ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \sqrt[m]{ \sqrt[m]{m} y }  } & = m^{-1} \\ ( \sqrt[m]{m} y )^{ ( \sqrt[m]{m} y )^{ \frac{1}{m} } } & = \frac{1}{m} \end{align} \]
  8. De aquí podemos concluir que:
    \[ \sqrt[m]{m} y = \sqrt[ \frac{1}{m} ]{ \frac{1}{m} } \\ \sqrt[m]{m} y = ( \frac{1}{m} )^{ \frac{1}{ \frac{1}{m} } } \\ \sqrt[m]{m} y = ( \frac{1}{m} )^{ m } \\ \sqrt[m]{m} y = \frac{1}{ m^{m} } \\ y = \frac{1}{ \sqrt[m]{m} } \cdot \frac{1}{ m^{m} } \]
  9. Ahora dividiendo \( x \) e \( y \), resulta:
    \[ \frac{x}{y} = \frac{ \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{ m^{m} } }{ \frac{1}{ \sqrt[m]{m} } \cdot \frac{1}{ m^{m} } } = \frac{x}{y} = \frac{ \frac{1}{m} }{ \frac{1}{ \sqrt[m]{m} } } \]
  10. Como \( \frac{ \frac{1}{p} }{ \frac{1}{q} } = \frac{q}{p} \), finalmente obtenemos la forma simplificada de \( \frac{x}{y} \) quedando:
    \[ \frac{x}{y} = \boxed{ \Large{ \frac{ \sqrt[m]{m} }{m} } } \]

Ejercicio 99

Simplifique la siguiente expresión:


\[ \mathrm{W} = \frac{ \sqrt[n]{ (n-1)! \cdots 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} \cdots ( \frac{1}{4} )^{4} \cdot ( \frac{1}{3} )^{3} \cdot ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]

Donde \( n! \) se llama “factorial de \( n \)” y se define como \( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)n \).

Solución:

  1. Ese ejercicio tiene su truco, vamos hacerlo por partes, sea \( \mathrm{W}_{2} \) tal que:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{2} & = \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{2} )^{2} } } \\ & = \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \frac{1}{ 2^{2} } } \\ \mathrm{W}_{2} & = \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \frac{1}{ \sqrt[n]{ 2^{2} } } } \end{align} \]
  2. Tenga en cuenta que \( \frac{1}{ \frac{1}{a} } = a \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ 2! } \cdot \sqrt[n]{ 2^{2} } \\ \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ 2! \cdot 2^{2} } \end{align} \]
  3. Como \( 2! = 1 \cdot 2 = 2 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ 2! \cdot ( 2! )^{2} } \\ \mathrm{W}_{2} & = \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \end{align} \]
  4. Por tanto para este caso particular, se cumple:
    \[ \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{2} )^{2} } } = \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \]
  5. Ahora definamos \( \mathrm{W}_{3} \) tal que:
    \[ \mathrm{W}_{3} = \frac{ \sqrt[n]{ 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{3} )^{3} \cdot ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]
  6. Se puede separar así:
    \[ \mathrm{W}_{3} = \frac{ \sqrt[n]{ 3! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{3} )^{3} } } \cdot \frac{ \sqrt[n]{ 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]
  7. De \( \mathrm{W}_{2} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{W}_{3} & = \frac{ \sqrt[n]{ 3! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{3} )^{3} } } \cdot \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \\ & = \frac{ \sqrt[n]{ 3! } }{ \frac{1}{ \sqrt[n]{ 3^{3} } } } \cdot \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \\ & = \sqrt[n]{ 3! } \sqrt[n]{ 3^{3} } \sqrt[n]{ ( 2! )^{3} } \\ & = \sqrt[n]{ 3! \cdot 3^{3} \cdot ( 2! )^{3} } \\ & =\sqrt[n]{ 3! ( 3 \cdot 2! )^{3} } \\ & = \sqrt[n]{ 3! ( 3! )^{3} } \\ \mathrm{W}_{3} & = \sqrt[n]{ ( 3! )^{4} } \end{align} \]
  8. Nos damos cuenta que esto se repite constantemente, si realizamos la misma dinámica para \( \mathrm{W}_{4} \), se cumple:
    \[ \mathrm{W}_{4} = \frac{ \sqrt[n]{ 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{4} )^{4} \cdot ( \frac{1}{3} )^{3} \cdot ( \frac{1}{2} )^{2} } } = \sqrt[n]{ ( 4! )^{5} } \]
  9. En base a este coincidencia, daremos forma a \( \mathrm{W} \) de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{W} = \frac{ \sqrt[n]{ (n-1)! \cdots 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} ( \frac{1}{n-1} )^{n-1} \cdots ( \frac{1}{4} )^{4} ( \frac{1}{3} )^{3} ( \frac{1}{2} )^{2} } } \]
  10. Lo escribiremos así:
    \[ \mathrm{W} = \frac{1}{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} } } \cdot \color{red}{ \frac{ \sqrt[n]{ (n-1)! \cdots 4! \cdot 3! \cdot 2! } }{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n-1} )^{n-1} \cdots ( \frac{1}{4} )^{4} ( \frac{1}{3} )^{3} ( \frac{1}{2} )^{2} } } } \]
  11. El fragmento de color rojo de \( \mathrm{W} \) debería ser \( \color{red}{ \sqrt[n]{ [ (n-1)! ]^{n} } } = (n-1)! \) y como \( \frac{1}{ \sqrt[n]{ ( \frac{1}{n} )^{n} } } = n \), por tanto, logramos reducir la expresión de  \( \mathrm{W} \), quedando:
    \[ \mathrm{W} = n \cdot (n-1)! = \boxed{ \large{ n! } } \]

Ejercicio 100

Tenemos la siguiente ecuación exponencial:

\[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } }{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]

Resolver el valor numérico de:

\[ \mathrm{P} = \frac{ x^{-4} – 4 }{ x^{-2} -2 } \]


Solución:

  1. Este ejercicio es muy sencillo, lo volveremos a haciendo énfasis un pedazo del ejercicio del miembro izquierdo:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } }{ \color{red}{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]
  2. Daremos forma al radical de color rojo, usaremos el método del factor multiplicando por \( -1 \) al exponente e índice de este radical de la siguiente manera:
    \[ \begin{align} \color{red}{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } } & = \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } (-1) ]{ ( \frac{1}{x} )^{ (-1) x^{-1} } } \\ & = \sqrt[ x^{ – \frac{1}{x} } ]{ [ ( \frac{1}{x} )^{-1} ]^{ x^{-1} } } \end{align} \]
  3. No olvidas que \( ( \frac{1}{x} )^{-1} = x \), esto ya se explicó en el tema de potenciación, quedaría:
    \[ \begin{align} \color{red}{ \sqrt[ -x^{ – \frac{1}{x} } ]{ ( \frac{1}{x} )^{ x^{-1} } } } & = \sqrt[ x^{ – \frac{1}{x} } ]{ x^{ x^{-1} } } \\ & = \sqrt[ ( x^{-1} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } \\ & = \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } \end{align} \]
  4. Esta expresión lo reemplazamos en nuestra ecuación exponencial y fíjense que hay otro igual en la misma ecuación, se darán cuenta cuando le ponga un color:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } \cdot \color{blue}{ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } }{ \color{blue}{ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } \cdot \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]
  5. Simplificando, la ecuación se reduce a:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{ x } + x^{x} ]{ \frac{ \sqrt[ x^{x} ]{ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } } }{ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} ]{ x^{ \frac{1}{x} } } } } = \frac{1}{4} \]
  6. Ahora pasaremos a exponentes los radicales del numerador y denominador quedando de la siguiente manera:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ \frac{ ( ( x^{-1} )^{ \frac{1}{x} } )^{ \frac{1}{ x^{x} } } }{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ \frac{1}{ ( \frac{1}{x} )^{x} } } } } = \frac{1}{4} \\ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ \frac{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ – \frac{1}{ x^{x} } } }{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ x^{x} } } } = \frac{1}{4} \]
  7. Fíjense que \[ \frac{1}{ ( \frac{1}{x} )^{x} } = \frac{1}{ ( x^{-1} )^{x} } = \frac{1}{ x^{-x} } = ( x^{ -x } )^{-1} = x^{x} \], por si no entienden este paso, ahora la ecuación quedaría así:
    \[ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ – \frac{1}{ x^{x} } – x^{x} } } = \frac{1}{4} \\ \sqrt[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} ]{ ( x^{ – \frac{1}{x} } )^{ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} } } = \frac{1}{4} \]
  8. Vemos que podemos eliminar \[ ( \frac{1}{x} )^{x} + x^{x} \], quedando en su forma reducida así:
    \[ x^{ – \frac{1}{x} } = \frac{1}{4} \\ ( x^{-1} )^{ \frac{1}{x} } = \frac{1}{4} \\ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = \frac{1}{4} \]
  9. Aquí en esta ecuación tan solo hay que darle forma:
    \[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = 4^{-1} \]
  10. Existe una propiedad exponencial que dice que \( a^{2} = ( -a )^{2} \), el número \( 4 \) puede escribirse así \( 4 = (2)^{2} = (-2)^{2} \). En este caso optamos por la base negativa, la ecuación quedaría así:
    \[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = [ (-2)^{2} ]^{-1} \\ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{x} } = (-2)^{-2} \]
  11. Por comparación, se supone que se cumple:
    \[ \frac{1}{x} = -2 \\ x = – \frac{1}{2} \]
  12. Con este resultado podemos resolver el valor de \( \mathrm{P} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = \frac{ x^{-4} – 4 }{ x^{-2} -2 } \\ & = \frac{ ( x^{-2} )^{2} – 2^{2} }{ x^{-2} – 2 } \\ & = \frac{ ( x^{-2} + 2 )( x^{-2} – 2 ) }{ x^{-2} – 2 } \\ \mathrm{P} & = x^{-2} + 2 \end{align} \]
  13. Reemplazando el valor de \( x \), finalmente logramos el siguiente resultado para \( \mathrm{P} \) y es:
    \[ \begin{align} \mathrm{P} & = ( – \frac{1}{2} )^{-2} + 2 \\ & = [ ( – \frac{1}{2} )^{-1} ]^{2} +2 \\ & = (-2)^{2} + 2 \\ \mathrm{P} & = \boxed{ \Large{6} } \end{align} \]

Ejercicio 101

Luego de resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ x^{ x^{ \sqrt{3} ( x^{3} + \sqrt{3} ) } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \]

Cual es el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{M} = \frac{ ( x^{3} + 1 )^{2} + ( x^{3} – 1 )^{2} }{ ( x^{3} + 1 )^{2} – ( x^{3} – 1 )^{2} } \]

Solución:

  1. Daremos forma a esta ecuación, el punto es buscar la simetría, comencemos por el miembro izquierdo:
    \[ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} + ( \sqrt{3} )^{2} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} + 3 } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ x^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} } \cdot x^{3} } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ x^{ \sqrt{3} x^{3} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \]
  2. Ahora daremos forma al miembro derecho:
    \[ \begin{align} ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } & = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} – 2 } } \\ & = 3^{ -3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} } \cdot 3^{-2} } \\ & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ 3^{ – \frac{ \sqrt{3} }{9} } } \\ & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ 3^{ – 3^{-2} \cdot \sqrt{3} } } \\ ( x^{ x^{3} } )^{ ( x^{3} )^{ \sqrt{3} } } & = ( 3^{ -3^{-2} } )^{ ( 3^{ – 3^{-2} } )^{ \sqrt{3} } } \end{align} \]
  3. Por simetría, se cumple que:
    \[ x^{ x^{3} } = 3^{ -3^{-2} } \]
  4. Elevando al cubo, tenemos:
    \[ [ x^{ x^{3} } ]^{3} = [ 3^{ -3^{-2} } ]^{3} \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = 3^{ -3^{-2} \cdot 3 } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( 3^{-1} )^{ 3^{-2+1} } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( \frac{1}{3} )^{ 3^{-1} } \\ ( 3^{-1} )^{ 3^{-2+1} } \\ ( x^{3} )^{ x^{3} } = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{3} } \]
  5. Resultando:
    \[ x^{3} = \frac{1}{3} \]
  6. No es necesario despejar \( x \) ya que necesitamos el valor de \( x^{3} \) para resolver el valor de \( \mathrm{M} \), antes de reemplazar el valor de \( x^{3} \), vamos a reducir el valor de \( \mathrm{M} \), Por las propiedades de productos notables \( (a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2( a^{2} + b^{2} ) \) y \( (a+b)^{2} – (a-b)^{2} = 4ab \), entonces:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2[ ( x^{3} )^{2} + 1^{2} ] }{ 4( x^{3} )(1) } \]
  7. Reemplazando el valor de \( x^{3} \), finalmente resulta:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 2[ ( \frac{1}{3} )^{2} + 1 ] }{ 4( \frac{1}{3} )(1) } = \boxed{ \Large{ \frac{5}{3} } } \]

De esta manera finalizamos con el curso elemental de teoría de exponentes, sin embargo y para tu sorpresa, este tema no termina aquí ya que existen niveles más avanzados sobre esta teoría y conceptos nuevos.


Solo ten en cuenta que este curso apenas está comenzando, mientras tanto, puedes seguir con el siguiente curso que corresponde a la teoría de exponente, esto es, las operaciones algebraicas.

De esta manera finalizamos temporalmente el curso actual.

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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
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Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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35 comentarios en “4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación”

  1. Hola, tengo una duda en el ejercicio 51, en la segunda ecuación base 3, al simplificar se agrega Y en los dos lados de la ecuación, en el caso de X la Y elimina al denominador Y, pero en el otro lado Y denominador no se puede eliminar sin embargo pasa el texto como si le haya hecho.

    1. Sergio Cohaguila

      Hola Livic, te explico, lo que pasa es que debes tener en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación \( c(a+b) = ca + cb \), en este caso para la ecuación «II» \( c = y \), \( a = 1 \) y \( b = \frac{2 – 2y}{y} \), resultando lo siguiente: \( y \cdot 1 + y \cdot \frac{2 – 2y}{y} \). Si te fijas bien, aquí ya se puede cancelar el valor de \( y \) en el expresión \( y( \frac{2 – 2y}{y} ) = 2- 2y \), finalmente se realiza las operaciones de suma y resta y la ecuación queda completamente resuelta. Espero haber logrado despejar tus dudas. Gracias por tus comentarios, saludos.

  2. Gracias Profesor, si tengo mas preguntas,en el ejercicio 84 nivel avanzado,en 7. binomio 3+2. raiz 2 se eleva al 2. un cuarto y desarrolla el binomio de la forma a cuadrado + 2 ab+ b cuadrado pero me parece que al desarrollar (3+2.raiz 2)al cuadrado deberia ser 3“2 + 2( 3. 2. raiz 2) +( 2. raiz2)al cuadrado en su respuesta sale 9+ 6. raiz de 2+ 8 = 17+6. raiz2, pero deberia ser 17+ 12. raiz de 2, porque 2ab en este caso es 2. 3. 2 raiz 2 y es igual a 12 raiz de 2 no entiendo porque el 6raiz de 2?

    1. Sergio Cohaguila

      Livic, tienes razón, voy a corregir todo ese fragmento, dame tiempo primero para responderte el resto de los mensajes que aun no te respondo, gracias por la observación….en ese caso tendría que corregir todo el ejercicio…., bueno, una parte para que se acomode a los resultados. Que te valla bien y cualquier observación hazme saber, gracias.
      PD: Pronto responder; el resto de tus comentarios.

  3. Profesor otra pregunta que tengo dudas, ejercicio 55, sumas sucesivas, estoy familiarizada con la suma de Gauss y demas N,pares, impares, etc pero este ejercicio de suma sucesivas en radizacion no lo comprendo del todo, supongo es diferente formula a la de numero naturales.
    m=1 y de alli m=2 hasta llegar a n^m entonces vemos una secuencia de 1/n que se incrementa pero al momento de sumar y resolver la formula

    Sm= ( 1/n +1/n^2 + 1/n^3…..1/n^m) se factoriza 1/n y esto deja con un termino menos y por eso queda 1/n^m-1 pero porque luego agrega ese termino (+1/n – 1/n)ambos se eliminan para no afectar la ecuacion pero es decir volvemos a introducir el termino 1/n que hemos factorizado y ahora tenemos ademas el – 1/n .
    Sm=1/n(1 +Sm – 1/n) del Sm
    Gauss= 1 + 2 +3…+n = n(n+1)/2 entiendo esta suma de primeros numeros naturales porque para obtener el resultado de todas las sumas, se duplica el numero de numeros sucesivos y se divide por 2 porque es como multiplicar base por altura en un rectangulo, pero no entiendo como seria una suma sucesiva en radicacion.

      1. Sergio Cohaguila

        Lo puedes encontrar en un libro de matemática básica de Figueroa, en tema de «sumatorias» o «inducción matemática», pero tiene que ver con suma de series o algo por el estilo, no recuerdo bien el titulo, pero la propiedad está ahí con una serie de ejercicios. Tambien lo puedes encontrar en un libro llamado Análisis Matemático de Haaser, creo que el primer volumen en inducción matemática. Ahí puedes encontrar dicha propiedad con sus propiedades.

    1. Sergio Cohaguila

      Hay varias ecuaciones en series de potencias negativas que se pruebas así, le agregas un termino (el mismo ultimo termino antes de factorizar) y le restas el mismo termino, osea el objetivo es buscar siempre una serie igual a la serie iniciar que quieres simplificar. La formula de las primeras sumas de los números naturales naturalmente es sencillo porque puedes tomar: \( \mathrm{S} = 1 + 2 + 3 \cdots +n \) con \( n \) y está colocado de menor a mayor y le vuelves a sumar la misma suma pero de mayor a menor \( \mathrm{S} = {n + n-1 + n-2 + \cdots + 1 \) con \( n \) términos porque es la misma suma. El resultado que obtienes es \(
      2 \mathrm{S} = (1 + n) + (2 + n – 1) + (3 + n-2) + \cdots + (n+1) \), resultando \( 2 \mathrm{S} = (1+n) + (1+n) + (1+n) + \cdots (1+n) \) y también con \( n \) agrupaciones y finalmente obtienes \( 2 \mathrm{S} = n(n+1) \) y bueno, ya sabes cual es el resultado final. En el fondo es suma bases con potencias negativas.

    2. Sergio Cohaguila

      Si existe una manera, la propiedad telescopio en una de sus formas dice \[ \sum_{i=k}^{q} [ f(i) – f(i+1) ] = f(k) – f(q+1) \]. En este caso tenemos \( \mathrm{T}_{i} = \frac{1}{ n^{i} } \) donde quieres calcular la suma \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \) que representa esa serie de potencias negativas. Por la propiedad telescopio, haces lo siguiente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} = \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), si resuelves o reduces \( \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), sale \( \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), entonces \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} – \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \). Aquí viene la magia, mira lo que voy hacer, usando las propiedades elementales de sumatorias, \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m+1} } \), como el termino con su signo negativo a continuación del miembro izquierdo se puede escribir de la siguiente manera: \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i+1}} ] = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \). En la ecuación anterior queda \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{ n^{m} -1 }{ n^{m+1} } \). Factorizando la sumatoria, resulta: \( ( 1 – \frac{1}{n} ) \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), resolviendo \( \frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m} – 1}{n^{m+1}} \), finalmente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). Recuerda que la serie que querías calcular es \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). De esta manera te demuestro que el resultado es lo mismo con la serie telescópica.

      1. Gracias profesor he estado leyendo mas sobre Sumatorias, y una duda que casi nadie menciona, por ejemplo en la suma Sigma de los primeros números naturales para sacar la formula se pone un binomio al cuadrado, por que? de una suma 1+2+3+…+n hay que poner un binomio (n+1)al cuadrado _ n al cuadrado , etc es como si se tuviera que extender otra dimension a la suma que se busca la formula.

        1. Sergio Cohaguila

          La cosa es que se intenta buscar \( f(i+1) – f(i) = i \), si usas potencias cubicas o cuartas o potencias negativas, es mas complejo que solo usar potencias cuadradas, si usas potencias igual a la unidad quedaría así \( i+1 – i = 1 \neq i \) y no tiene sentido….. porque estas asumiendo \( i \) es variable y cambia con valores enteros de \( 1 \) a \( n \) donde \( n, i \in \mathbb{Z}^+ \), es decir que pertenece a los enteros positivos. En otras palabras, la telescopio funciona cuando por descarte.

          1. Gracias profesor, por ahora entiendo y he realizado las potencias al cubo, a la cuarta, impares, pares, con la propiedad telescópica, espero usted haga un curso sobre este tema también.

            Saludos

          2. Sergio Cohaguila

            Si, tengo que hacerlo, solo que estoy en trabajos de diseño web, pero bueno, el tema de la telescopio lo haré cuando me centre en la teoría elemental de sucesiones y series. Todo lo relacionado a series es un tema relativamente extenso. De hecho, si hablamos por ejemplo sobre teoría de exponentes, es un tema exageradamente extenso, solo mira el resumen de Wikipedia sobre «Exponenciacion» (no confundir con potenciación) tal cual, es exageradamente extenso porque ya entra temas mas complejos y muy abstractos de la matemática, solo leyendo su definición en wiki ya es para romperse la cabeza jaja. Cuando llegue a ese tema de sumatorias, probaré todas las propiedades incluida las dos versiones de la telescopio, lo estaré desarrollando bien bonito, y nada más, que te valla todo bien y gracias por tus mensajes, saludos.

    3. Sergio Cohaguila

      Por ultimo, ten en cuenta que cuando incrementa \( m \) para un valor numérico de \( n \) mayor a 1, \( n^{m} \) incrementa, pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) se hace mas pequeño, si \( n \) disminuye en valor diferente de los negativos, el valor de \( n^{m} \) decrece pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) incrementa.

        1. Sergio Cohaguila

          Gracias Livic, aun mi sitio presenta fallas por ejemplo tengo que corregir unas teorías en una de las secciones de expresiones matemáticas, desde hace más de un año que no he tocado el sitio web, pero hace días si quiera estoy escribiendo (realmente corrigiendo un grave problema que tuve con la primera sección de «proposiciones» de un tema de lógica elemental) un tema y para comenzar luego otros, por el momento tengo que terminar todo lo relacionado expresiones matemáticas y previamente corregir algunos anteriores…. Espero terminar todo lo que es álgebra elemental, luego pasaré a otros cursos avanzados de álgebra. Que tengas un buen día, bye.

  4. Saludos Profesor, tengo una duda porque para encontrar la formula de la Suma de los primeros n términos de una serie Geométrica se realiza restando la primera Sm – Sm multiplicada por razón,(Sm – Sm.r) y porque en la serie Aritmética es lo contrario se suman ambas para encontrar la formula (Sm + Sm)? hasta ahora he leído varios libros y ninguno explica el porque.

    1. Sergio Cohaguila

      Cuando demuestras una propiedad, tiene una forma definida, no es que inventes la formula y por eso tienen esa forma… no se si habas visto la prueba de los n primeros términos geométricos y aritméticos, es decir, la formula que me has presentado. es sencilla de probar.

  5. Sm – Sm.r = a. ( 1- r^n) En la progresión serie geométrica finita, mi duda es
    (1 – r) bajo que razón se resta y no suma para llegar a esta
    formula.
    Sm= a.r^o + a.r^1 + a.r^2……..a.r^n-1
    Sm.r= a.r^1 + a.r^2 + a.r^3……..a.r^n
    Cuando vi este proceso mi primera impresión era la de sumar ambos para llegar a la formula, supongo pensé era lo mismo que la serie Aritméticas.

    1. Sergio Cohaguila

      De hecho, si se puede sumar, sumemos \( S_{m} + S_{m} r = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} + ar^{n} \) … (X), el punto es que si vez una serie nueva, debes buscar una variable que sea igual a \( S_{m} \), multiplica esta serie por 2, resulta: \( 2S_{m} = 2ar^{0} + \cdots + 2ar^{n-1} \), pero también se puede escribir así \( 2S_{m} – ar^{0} = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} \), esta serie no se parece una fragmento de la formula (X)?, osea reemplazando, obtienes \( S_{m} – S_{m} r = 2S_{m} – ar^{0} + ar^{n} \), operando llegas a un mismo resultado.

  6. Probar no es problema, sino el razonamiento para llegar a esa formula, la suma indicada representa la suma de todos los términos menos el primero: a.r^2 + a.r^3……..a.r^n-1. la suma de todos los términos de la progresión menos el primero a1.
    y por el otro lado de la igualdad es la suma de todos los términos menos el último an.
    por lo que Sm- a1 = r factor común(Sm – an) , entonces Sm-a1= rSm- ran
    Sm-rSm= a1- an.r
    Sm(r-1)= a1- an.r
    Sm= a1- an.r/ (r-1) entonces la resta viene de que ambas sumas de la igualdad geométrica carecen de un termino entonces el numero 1 es el termino menos de cada suma y la resta viene de que ambas carecen de un termino, es muy diferente a la suma aritmética.

    1. Sergio Cohaguila

      En la multiplicación alteras los términos, en la suma los términos siguen siendo los mismos, el punto es buscar los términos semejantes, al sumar varios términos, no alteas los términos semejantes, pero al multiplicar términos, alteas los términos semejantes, el punto es que cuando trabajas con series, alterar con la multiplicación una igualdad haces que falte y por otro lado sobre un termino, el punto es eliminar esos términos. Por otro lado \( 1-r \) es un factor común de \( a – ar^{n-1} \). Ademas, en la progresión geométrica tiene exponentes números naturales «lineales», es decir, sus exponentes son de la forma \( n = pm+q \), donde \( p \), \( m \) y \( q \) naturales, si fueran cuadráticas, la multiplicación con un factor de la forma \( r^{x} \) ya no tendría sentido, no funciona la misma estrategia \( S_{n} – S_{n} r \), ya no funcionaría.

  7. Gracias por la paciencia profe, ya casi comprendo del todo, entonces al multiplicar la razón a la suma geométrica aumenta el termino primero a1 y el ultimo an, lo que trato de entender es en forma visual, tengo muy claro en el caso de las progresiones aritméticas de los primeros N= n veces por n+1 y dividido entre dos, porque Gauss sumo dos veces la suma y obtuvo el resultado n +1 un por n veces y dividió entre dos porque son los pares para sacar el resultado de la formula, así mismo en forma gráfica es un cuadrado de base n x (n+1), lo que no comprendo del todo en las series geométricas es que no puedes hacer lo mismo, toca multiplicar por r es decir alteras la suma y de allí obtener los términos, restarlos y dividirlo entre 1- razón, trato de visualizar en figuras esta formula general.

    1. Sergio Cohaguila

      En la gráfica de una serie geométrica es una curva y la curva depende de dos puntos, el exponente y la base, pero mas de la base ya que asumimos que los exponentes incrementan en progresión aritmética de 1 en 1 comenzando de 0 (termino independiente), osea exponentes lineales, pero si la base se encuentra entre 0 (sin incluirlo) y 1 ó entre 1 para arriba, la gráfica de una serie geométrica cambia drasticamente, en el primero, la gráfica de la progresión es una curva de base de 0 a 1 disminuye hasta que en el infinito es una constante (mas bien crece pero el crecimiento se va desacelerando hasta que ya deja de crecer), pero si la base es de 1 para arriba, la progresión es una curva que se va hasta el infinito, busca en Google «gráfica de una ecuación geométrica» y verás. En resumen, una aritmética es fácil, su gráfica es lineal, pero una progresión aritmética es una curva y depende de su base, y eso que no hablamos de base negativa……

  8. Claro que las progresiones aritméticas es la suma a1 + la diferencia, en la geométricas es la multiplicación de a1 x la razón tal vez por ese lado debes alterar multiplicando por r las sumas geométricas.

    1. Sergio Cohaguila

      No alteras el orden, alteras los termino del orden, en la aritmética no se altera nada, si le sumas o le quietas un termino, el resto de los términos siguen siendo los mismos en las mismas posiciones.

  9. Series convergentes y divergentes, después de esta formula finita voy a estudiar esas.
    SG
    a2 = a1.r
    a3 = a2.r
    an = an-1.r
    ————————————————–
    a2+a3+a4+……an= a1.r + a2.r +a3.r…..an-1.r
    Sm- a1 = r( a1 + a2. +a3…..an-1.)
    Sm- a1 = r( Sm- an)
    Sm- a1 = Smr- anr Sm-Sm.r= a1- an.r a1 – a1.rn\ 1 -r
    La razón es el factor común de la suma y ambos lados de la igualdad carece de un termino a1= an

    1. Sergio Cohaguila

      Me has hecho acordar a las sucesiones recurrentes como la que mencionas \( a_{n}=ra_{n-1} \), sabes, algo curioso? existe algunos casos donde una sucesiones recurrentes convergentes como este ejemplo \( f(n) = ( 1 + \frac{1}{n} )^n \), para \( n \) entero positivo ocurre que \( f(n) \) es obviamente un racional (que se puede escribir como la division de dos enteros, pero cuando \( n \) es infinito, resulta que \( f(n) \) es un numero irracional, es decir, simplemente no existe una division entre dos enteros que represente a \(
      f(n) \). Se dice que los irracionales se pueden definir de los racionales.
      Con este modelo se puede demostrar por ejemplo los casos \( a^{n+m} = a^n+a^m \), cuando \( n \) y \( m \) son irracionales ya que la definicion de \( a^n = a•a•a \cdots a \) solo aplica para \( n \) naturales. Intentalo, veras que no encontraras forma.

  10. Ese proceso lo encontré en una pagina web, lo que me confundió es que an = an-1.r, porque no puso an= a1.r.n-1 aunque es lo mismo, esta formula series geométricas me molesta no poder entenderla 100% es que no me cuadra que a1 termino primero menos! termino ultimo a1 por r^n dividido entre 1 menos r, en primer lugar la razón e n no es n-1 como debería ser el termino enésimo, si lo que hace es restar el primer termino con el enésimo y porque restar y no sumar acaso no es una Suma de progresiones, no es como la formula de series aritmética que una formula con armonía tiene sentido en cada parte Sa= a1 + d(n-1)n dividido entre 2, cada una de las formula de la series aritméticas la entiendo pero esta serie geométrica me molesta.

  11. Hasta donde se no podria no se puede dividir mas ya que es el resultado de la resta de x^3| x-y menos y^3| x-y , si fuera multiplicacion x^3.y^3| xy alli si se podria dividir y saldria x^2.y^2. 🙁

    1. Sergio Cohaguila

      jeje, si se puede, sale \( x^{2} + xy + y^{2} \), no te has dado cuenta que en las progresiones geométricas son también divisiones del tipo \( \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \), su resultado es de la forma \( x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1} \), la progresión geométrica que tratamos es solo cuando \( y=1 \), te das cuenta?, el tema de la división de la forma \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \) lo estudio en el capitulo de cocientes notables: https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/cocientes-notables/
      En el fondo son progresiones geométricas, aunque en ese capitulo no lo indico, pero son formas de progresión geométrica.

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