Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Niveles de los ejercicios:

Nivel intermedio

Si has llegado hasta aquí, te felicito, porque estoy seguro que quieres ampliar tus destrezas operativas, los ejercicios que mostramos en esta sección tiene un nivel ligeramente superior al nivel básico.

La mayoría de estos ejercicios fueron tomadas de ejercicios propuesto y resueltos para que disfrutes de su resolución, pero ojo, te sugerimos lograr resolver cada una de ellas antes de ver cómo y con qué métodos fueron resueltos.

Este nivel posee un total de 25 ejercicios de nivel intermedio muy bien desarrollados y ejecutados, espero que disfrutes de cada uno de ellos, gracias, que lo disfrutes.


Ejercicio 49

Sea la siguiente condición:

\[ \sqrt[n]{ \overline{abcd} } = n \]

Donde \( n \) es un natural y \( \overline{abcd} \) es un numero positivo de 4 dígitos, calcular el valor de \( a+b+c+d+n \).


Solución:

Este es un ejercicio que puede también encajar en un curso de numeración, aunque a primera vista parece complejo pero realmente es sencillo ya que este tipo de ejercicios se resuelven por tanteo, veamos.

  1. De la condición, por definición de radicación, se cumple:
    \[ \overline{abcd} = n^{n} \]
  2. Si damos valores a \( n \) obtenemos lo siguientes resultados:
    Para \( n = 3 \Rightarrow 3^{3} = 27 \)
    Para \( n = 4 \Rightarrow 4^{4} = 256 \)
    Para \( n = 5 \Rightarrow 5^{5} = 3125 \)
    Para \( n = 6 \Rightarrow 6^{6} = 46656 \)
  3. Entre todos estos casos, el único que cumple con cuatro dígitos es para \( n = 5 \), quedando:
    \[ \overline{abcd} = 3125 \Rightarrow a=3, b = 1, c = 2, d = 5 \]
  4. Finalmente logramos el resultado pedido:
    \[ a+b+c+d+n = 3+1+2+5+5= \boxed{ \Large{ 16 } } \]

Ejercicio 50

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación exponencial:

\[ { \sqrt{ 2x^{ 2 } } }^{x} = 2^{ \sqrt{2} } \]

Solución:

  1. Aplicando la propiedad \( { \sqrt[n]{ a } }^{m} = \sqrt[n]{ a^{m} } \), tenemos:
    \[ \sqrt{ [ 2x^{2} ]^{x} } = 2^{ \sqrt{2} } \]
  2. Por definición de radicación \( \sqrt[n]{x} = y \Rightarrow x = y^{n} \), resulta:
    \[ [ 2x^{2} ]^{x} = ( 2^{ \sqrt{2} } )^{2} \]
  3. Por la propiedad \( ( x^{n} )^{m} = ( x^{m} )^{n} \) para el miembro derecho:
    \[ ( 2x^{2} )^{x} = ( 2^{2} )^{ \sqrt{2} } = 4^{ \sqrt{2} } \]
  4. Tener en cuenta que \( 2 = { \sqrt{2} }^{2} \):
    \[ ( { \sqrt{2} }^{2} x^{2} )^{x} = 4^{ \sqrt{2} } \]
  5. Por la propiedad \( a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \):
    \[ ( ( \sqrt{2} x )^{2} )^{x} = 4^{ \sqrt{2} } \]
  6. Por el teorema \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ ( \sqrt{2} x )^{2x} = 4^{ \sqrt{2} } \]
  7. Para lograr la simetría, elevaremos a la \( \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \):
    \[ [ ( \sqrt{2} x )^{2x} ]^{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } = ( 4^{ \sqrt{2} } )^{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \]
  8. De nuevo por la propiedad \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} ( \sqrt{2} x )^{ \sqrt{2} x } & = 4^{ \frac{ { \sqrt{2} }^{2} }{2} } \\ & = 4^{ \frac{2}{2} } \\ & = 4 \\ ( \sqrt{2} x )^{ \sqrt{2} x } & = 2^{2} \end{align} \]
  9. Por simetría y sabiendo que \( 2 = ( \sqrt{2} )^{2} \), logramos obtener:
    \[ \begin{align} \sqrt{2} x & = 2 \\ & = \frac{2}{ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ { \sqrt{2} }^{2} }{ \sqrt{2} } \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt{2} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 51

Calcular el valor de \( xy \) luego de resolver el sistema de ecuaciones a continuación:

\[ \sqrt[y]{ 4^{x} } = 32 \sqrt[x]{ 8^{y} } \wedge \sqrt[y]{ 3^{x} } = 3 \sqrt[y]{ 9^{1-y} } \]


Solución:

  1. Este ejercicio es sencillo de resolver, pasemos todo a potencia de 2 y de 3 según respectivamente las condiciones como sigue:
    \[ \begin{align} ( 2^{2} )^{ \frac{x}{y} } & = 2^{5} \cdot ( 2^{3} )^{ \frac{y}{x} } \cdots ( \mathrm{I} ) \\ 3^{ \frac{x}{y} } &= 3 \cdot ( 3^{2} )^{ \frac{1-y}{y} } \cdots ( \mathrm{II} ) \end{align} \]
  2. Simplificando \( ( \mathrm{I} ) \), tenemos:
    \[ \begin{align} 2^{ \frac{2x}{y} } & = 2^{5} \cdot 2^{ \frac{3y}{x} } \\ 2^{ \frac{2x}{y} } & = 2^{ 5 + \frac{3y}{x} } \\ \frac{2x}{y} & = 5 + \frac{3y}{x} \\ 2x^{2} & = 5xy + 3y^{2} \\ 2x^{2} – 5xy – 3y^{2} & = 0  \end{align} \]
  3. Factorizando \( 2x^{2} – 5xy – 3y^{2} \) resulta \( ( 2x + y )( x-3y ) \), entonces:
    \[ (2x+y)(x-3y) = 0 \Rightarrow 2x=-y \vee x= 3y \cdots ( \alpha ) \]
  4. Simplifiquemos la condición \( ( \mathrm{II} ) \):
    \[ \begin{align} 3^{ \frac{x}{y} } & = 3 \cdot 3^{ \frac{ 2 – 2y }{y} } \\ 3^{ \frac{x}{y} } & = 3^{ 1 + \frac{2-2y}{y} } \\ \frac{x}{y} & = 1 + \frac{ 2 – 2y }{y} \\ y( \frac{x}{y} ) & = y( 1 + \frac{ 2 – 2y }{y} ) \\ x &= y +2-2y \\ y & = 2-x \end{align} \]
  5. Reemplazando en \( \alpha \), resulta:
    \[ 2x = -(2-x) \vee x = 3(2-x) \\ x = – 2 \vee x = \frac{3}{2} \]
  6. Cómo \( y = 2-x \), tenemos:
    \[ ( x = – 2 \rightarrow  y = 4 ) \vee ( x = \frac{3}{2} \rightarrow y = \frac{1}{2} ) \]
  7. Por tanto, encontramos dos valores para el producto de \( x \) e \( y \) y son:
    \[ xy = (-2)(4) = \boxed{ \Large{ -8 } } \vee xy = ( \frac{3}{2} )( \frac{1}{2} ) = \boxed{ \Large{ \frac{3}{4} } } \]

Ejercicio 52

Sean las siguientes condiciones \( a = x^{ \frac{1}{ 3-2x } } \) y \( b = x^{ \frac{x}{ 3-2x } } \), averigüe cómo están relacionadas las \( a \) y \( b \) eliminando la variable \( x \).

Solución:

  1. Elevando las expresiones \( a = x^{ \frac{1}{ 3-2x } } \) y \( b = x^{ \frac{x}{ 3-2x } } \) al cubo y al cuadrado respectivamente, resulta:
    \[ a^3 = ( x^{ \frac{1}{ 3-2x } } )^3 = a^3 \color{red}{ \text{ y } } b^2 = ( x^{ \frac{ x }{ 3-2x } } )^2 \]
  2. Dividiendo estas dos expresiones y aplicando la propiedad \( \frac{ a^n }{ x^m } = a^{ n-m } \) de la siguiente manera:
    \[ \begin{align} \frac{a^3}{b^2} & = \frac{ x^{ \frac{3}{3-2x} } }{ x^{ \frac{2x}{3-2x} } } \\ & = x^{ \frac{3}{3-2x} – \frac{2x}{3-2x} } \\ & = x^{ \frac{ 3-2x }{ 3-2x } } \\ \frac{ a^3 }{ b^2 } & = x … ( \alpha ) \end{align} \]
  3. Por otro lado, elevando a la \( x \) la expresión \( a = x^{ \frac{1}{3-2x} } \), tenemos:
    \[ \begin{align} a^{ x } & = ( x^{ \frac{1}{3-2x} } )^x \\ & = \overbrace{ x^{ \frac{x}{3-2x} } }^{b} \\ a^{x} & = b … ( \beta ) \end{align} \]
  4. Reemplazando \( \alpha \) en \( \beta \), finalmente obtenemos:
    \[ a^{ \frac{ a^{3} }{ b^{2} } } = b \]

Si usamos las propiedades de radicación ya que implícitamente los exponentes fraccionarios que tratamos en este ejercicio tiene que ver con radicación, lo podemos escribir así:

\[ \begin{array}{ | c | } \hline \large{ a^{ a^3 } = b^{ b^2 } } \\ \hline \end{array} \]

Esto es, hemos extraído la raíz de \( b^{2} \), quedando de esta manera finalizando el problema.


Ejercicio 53

Si se cumple que \( c^{ d^{ e } } = a \), \( e^{ d^{-e} } = c^{ b^{a} } \) y \( e=2 \) calcular el valor de la siguiente expresión:


\[ \mathrm{E} = a^{ b^{ c^{ d^{ e } } } } \]

Solución:

  1. Usando la condición \( c^{ d^{ e } } = a \) en \( \mathrm{E} \):
    \[ \mathrm{E} = { \color{red}{ a } }^{ b^{a} } \]
  2. Sin embargo, usaremos la misma condición \( c^{ d^{ e } } = \color{red}{ a } \) pero en la base de color rojo de \( \mathrm{E} \), entonces:
    \[ \mathrm{E} = ( c^{ \color{blue}{ d^{ e } } } )^{ \color{green}{ b^{a} } } \]
  3. Aplicando la propiedad \( ( x^{ \color{blue}{ y } } )^{ \color{green}{ z } } = x^{yz} = ( x^{ \color{green}{ z } } )^{ \color{blue}{ x } } \), esto es, intercambiado exponentes, resulta:
    \[ \mathrm{E} = ( c^{ \color{green}{ b^{a} } } )^{ \color{blue}{ d^{e} } } \]
  4. Usando la condición \( e^{ d^{ -e } } = c^{ b^{a} } \):
    \[ \mathrm{E} = ( e^{ d^{ -e } } )^{ d^{e} } \]
  5. Usando la propiedad \( ( x^{y} )^{z} = x^{yz} \):
    \[ \mathrm{E} = e^{ d^{-e} \cdot d^{e} } = e^{ d^{e-e} } = e^{ \overbrace{ d^0 }^{ 1 } } = e \]
  6. Como \( e=2 \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \mathrm{E} = 2 \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 54

Resolver el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{X} = ( x^y y^x – \frac{x^y}{x^y-1} – \frac{x^y}{y^x} )^{x+x^{2}+x^{3}} \]

Si se cumple \( \frac{1}{x^y} + \frac{1}{y^x} =1 \).

Solución:

  1. De la condición, se cumple:
    \[ \frac{1}{x^y} + \frac{1}{y^x} = \frac{ 1 \cdot y^{x} + 1 \cdot x^{y} }{ x^{y} \cdot y^{x} } = \frac{ y^{x} + x^{y} }{ x^{y} \cdot y^{x} } = 1 \]
  2. Despejando \( x^{y} \cdot y^{x} \):
    \[ y^{x} + x^{y} = x^{y} y^{x} … ( \alpha ) \]
  3. Factorizando \( x^{y} \) de dos términos de los 3 de la base de \( \mathrm{X} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{X} & = ( x^y y^x – \frac{x^y}{x^y-1} – \frac{x^y}{y^x} )^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – x^{y} ( \frac{1}{ x^{y} – 1 } + \frac{1}{ y^{x} } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – x^y ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ ( x^y – 1 ) y^x } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – x^y ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ x^y y^x – y^x } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}}  \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( \alpha \) en el denominador:
    \[ \begin{align} \require{cancel} \mathrm{X} & = [ x^y y^x – x^y ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ x^y + \cancel{ y^x } – \cancel{ y^x } } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – \cancel{ x^y } ( \frac{ y^x + x^y – 1 }{ \cancel{ x^y } } ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = [ x^y y^x – ( y^x + x^y – 1  ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \end{align} \]
  5. De la condición \( \alpha \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{X} & = [ \cancel{ x^y y^x } – ( \cancel{ y^x x^y } – 1  ) ]^{x+x^{2}+x^{3}} \\ & = 1^{x+x^{2}+x^{3}} \\ \mathrm{X} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{1} \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 55

Demuestre la siguiente relación:


\[ \underbrace{ \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x … \sqrt[n]{x} } } } }_{ m \ \text{veces} } = x^{ \frac{ n^m-1 }{ n^m (n-1) } } \]

Una propiedad parcialmente conocida.

Solución:

  1. Comencemos por el lado de los radicales con el nombre \( \mathrm{A}_m \), donde:
    \[ \mathrm{A}_m = \underbrace{ \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x … \sqrt[n]{x} } } } }_{ m \ \text{veces} } \]
  2. Comencemos cuando \( m=1 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{A}_1 & = \sqrt[n]{x} \\ \mathrm{A}_1 & = x^{ \frac{1}{n} } \end{align} \]
  3. Para cuando \( m=2 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A}_2 & = \sqrt[n]{ x \sqrt[n]{x} } \\ & = ( x \cdot x^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{n} } \\ & = x^{ ( 1 + \frac{1}{n} ) \frac{1}{n} } \\ \mathrm{A}_2 & = x^{ \frac{1}{ n } + \frac{1}{ n^{2} } } \end{align} \]
  4. Para cuando \( m=3 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A}_3 & = \sqrt[n]{ x \sqrt[n]{ x \sqrt[n]{x} } } \\ & = ( x \cdot ( x^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{n} } \\ \mathrm{A}_3 & = x^{ \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } } \end{align} \]
  5. Note que existe un patrón repetitivo, de esta manera para \( m \) radicales, podemos generalizar el expresión de \( \mathrm{A}_m \) de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{A}_m = x^{ \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m} } } \]
  6. Ahora resolveremos la serie del exponente de \( x \) en \( \mathrm{A}_m \), lo llamaremos \( \mathrm{S}_m \), tal que \( \mathrm{A}_m = x^{ \mathrm{S}_m } \), entonces:
    \[ \mathrm{S}_m = \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m} } \]
  7. Factorizando \( \frac{1}{n} \), resulta:
    \[ \mathrm{S}_m = \frac{1}{n} ( 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m-1} } ) \]
  8. La siguiente estrategia para resolver esta serie es sumando y restando el término \( \frac{1}{ n^{m} } \) y encontramos la siguiente coincidencia:
    \[ \begin{align} \mathrm{S}_m & = \frac{1}{n} ( 1 + \overbrace{ \frac{1}{n} + \frac{1}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } + … + \frac{1}{ n^{m-1} } + \frac{1}{ n^{m} } }^{ \mathrm{S}_m } – \frac{1}{ n^{m} }  ) \\ \mathrm{S}_m & = \frac{1}{n} ( 1 + \mathrm{S}_m – \frac{1}{ n^{m} } ) \end{align} \]
  9. Aquí nos queda resolver el valor de \( \mathrm{S}_m \), esto es, despejarlo, veamos:
    \[ \begin{align} n \mathrm{S}_m & = 1 + \mathrm{S}_m – \frac{1}{ n^{m} } \\ n \mathrm{S}_m – \mathrm{S}_m & = 1 – \frac{1}{ n^{m} } \\ \mathrm{S}_m (n-1) & = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m} } \\ \mathrm{S}_m & = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m} (n-1) } \end{align} \]
  10. Como \( \mathrm{A}_m = x^{ \mathrm{S}_m } \), entonces:
    \[ \mathrm{A}_m = x^{ \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m} (n-1) } } \]
  11. Finalmente demostramos que:
    \[ \underbrace{ \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x \cdot \sqrt[n]{ x … \sqrt[n]{x} } } } }_{ m \ \text{veces} } = \boxed{ \Large{ x^{ \frac{ n^m-1 }{ n^m (n-1) } } } } \]

Ejercicio 56

Reducir la expresión:

\[ \mathrm{E} = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{ m+n } + nx^{2n} }{ nx^{m+n} +mx^{2m} } } \]

Este ejercicio lo encontré por Internet, si tiene la suerte de buscarlo, bien por ustedes, eso sí, lo encontré sin resolver.

Solución:


  1. Para resolver este ejercicio, tan solo debemos buscar exponentes en el radicando que sea múltiplo del índice \( m-n \), analizando el ejercicio, multiplicaremos en el numerador y denominador por el factor \( x^{-2n} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[m-n]{ \frac{ ( mx^{m+n} + nx^{2n} ) x^{-2n} }{ ( nx^{m+n} + mx^{2m} ) x^{-2n} } } \\ & = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{m+n} x^{-2n} + nx^{2n} x^{-2n} }{ nx^{m+n} x^{-2n} + mx^{2m} x^{-2n} } } \end{align} \]
  2. Por la propiedad de producto de potencias \( a^x a^y = a^{x+y} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{ m+n-2n } + nx^{2n-2n} }{ nx^{m+n-2n} + mx^{2m-2n} } } \\ & = \sqrt[m-n]{ \frac{ mx^{m-n} + nx^{0} }{ nx^{m-n} + mx^{m-n} x^{m-n} } } \end{align} \]
  3. Donde \( x^{0} = 1 \) y factorizando \( x^{m-n} \) en el denominador del radicando, resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[m-n]{ \frac{ \cancel{ mx^{m-n} + n } }{ x^{m-n} ( \cancel{ n + mx^{m-n} } ) } } \\ & = \sqrt[m-n]{ \frac{1}{ x^{m-n} } } \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \) logrando finalmente:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ \sqrt[m-n]{1} }{ \sqrt[m-n]{ x^{m-n} } } \\ \mathrm{E} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{ x } } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Tenga en cuenta que \( \sqrt[x]{1} = 1 \) y \( \sqrt[x]{ a^n } = a \) solo para cuando \( n \) es impar, pero si \( n \) es par, se debe escribir \( \sqrt[x]{ a^{n} } = |a| \).


Ejercicio 57

Se cumple la siguiente condición \( n^{n} = n+1 \)

\[ \mathrm{F} = \sqrt[ n^n ]{ n \sqrt[n]{n} } \cdot \sqrt[n]{ \frac{n+1}{n} } \]

Este ejercicio también lo encontré en la web como ejercicio propuesto.

Solución:

  1. Del dato del ejercicio \( n+1 = n^{n} \), escribimos \( \mathrm{F} \) así:
    \[ \mathrm{F} = \sqrt[ n^{n} ]{ n \sqrt[n]{n} } \cdot  \sqrt[n]{ \frac{ n^{n} }{n} } \]
  2. Para hacerlo más fácil, lo escribiremos en su forma exponencial de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{F} = ( n \cdot n^{ \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot ( \frac{ n^{n} }{n} )^{ \frac{1}{n} } \]
  3. Por las propiedades de productos de potencias \( x^{y} x^{z} = x^{y+z} \) y cociente de potencias \( ( \frac{x}{y} )^{z} = \frac{ x^{z} }{ y^{z} } \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( n^{ 1 + \frac{1}{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot ( n^{ n-1 } )^{ \frac{1}{n} } \\ & = ( n^{ \frac{n+1}{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot ( n^{n-1} )^{ \frac{1}{n} } \end{align} \]
  4. Como \( n+1 = n^{n} \) y por la propiedad de potencia de potencia \( ( x^{y} )^{z} = x^{yz} \) y simplificando, finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( n^{ \frac{ n^{n} }{n} } )^{ \frac{1}{ n^{n} } } \cdot n^{ \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{  n^{n} }{n} \cdot \frac{1}{ n^{n}  } } \cdot n^{ \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{1}{n} } \cdot n^{ \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{1}{n} + \frac{n-1}{n} } \\ & = n^{ \frac{ 1+n-1 }{n} } \\ & = n^{ \frac{n}{n} } \\ & = n^{1} \\ \mathrm{F} & = \begin{array}{ | c | } \hline n \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 58

Averigüe el valor numérico de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{G} = \frac{ \sqrt[x]{ 3^{y+z} } + \sqrt[y]{ 3^{z+x} } + \sqrt[z]{ 3^{x+y} } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \]


Siempre y cuando se cumpla que \( x + y + z = xyz \)

Solución:

  1. Pasando en su forma exponencial a la expresión de \( \mathrm{G} \):
    \[ \mathrm{G} = \frac{ 3^{ \frac{y+z}{x} } + 3^{ \frac{z+x}{y} } + 3^{ \frac{x+y}{z} } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \]
  2. Del dato, sabemos que \( y+z = xyz-x \), \( z+x = xyz – y \) y \( x+y = xyz – z \), reemplazando y realizando algunas simplificaciones:
    \[ \begin{align} \mathrm{G} & = \frac{ 3^{ \frac{xyz – x}{x} } + 3^{ \frac{xyz-y}{y} } + 3^{ \frac{xyz-z}{z} } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \\ & = \frac{ 3^{ yz-1 } + 3^{ zx-1 } + 3^{ xy-1 } }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \end{align} \]
  3. Por el teorema \( a^{n+m} = a^{n} \cdot a^{m} \), simplificando y resolviendo, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{G} & = \frac{ 3^{yz} \cdot 3^{-1} + 3^{zx} \cdot 3^{-1} + 3^{xy} \cdot 3^{-1} }{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } \\ & = \frac{ 3^{-1} ( \cancel{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } ) }{ \cancel{ 3^{yz} + 3^{zx} + 3^{xy} } } \\ & = 3^{-1} = \begin{array}{ | c | } \hline \frac{1}{3} \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 59

Simplifique \( \mathrm{ H } \) en la siguiente expresión:

\[ \mathrm{H} = \frac{ \frac{ \sqrt[x-y]{ x^{x} } }{ \sqrt[y-x]{ x^{a} } } + \frac{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} } } }{ \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{ x^{ -a^{2} } } } + \frac{ \sqrt[y-a]{ x^{x} } }{ \sqrt[a-y]{ x^{-a} } } }{ \frac{1}{ { \sqrt[y-x]{x} }^{y+a} } + \frac{1}{ { \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{ x } }^{ y^{2} – a^{2} } } + \frac{1}{ { \sqrt[a-y]{x} }^{x-y} } } \]

Solución:

  1. Aplicando una propiedad llamada factor de multiplicación para radicales \( \sqrt[ n ]{ x^{m} } = \sqrt[ nk ]{ x^{mk} } \) donde \( k=-1 \) y por definición de exponente negativo \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{H} & = \frac{ \frac{ \sqrt[x-y]{ x^{x} } }{ \sqrt[ (y-x)(-1) ]{ x^{ a(-1) } } } + \frac{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} } } }{ \sqrt[ ( y^{2} – x^{2} )(-1) ]{ x^{ -a^{2} (-1) } } } + \frac{ \sqrt[ y-a ]{ x^{x} } }{ \sqrt[ (a-y)(-1) ]{ x^{ -a(-1) } } } }{ ( { \sqrt[ y-x ]{ x } }^{y+a} )^{-1} + ( { \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x} }^{ y^{2} – a^{2} } )^{-1} + ( { \sqrt[a-y]{x} }^{x-y} )^{-1} } \\ & =  \frac{ \frac{ \sqrt[x-y]{ x^{x} } }{ \sqrt[ x-y ]{ x^{ -a } } } + \frac{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} } } }{ \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ a^{2} } } } + \frac{ \sqrt[ y-a ]{ x^{x} } }{ \sqrt[ y-a ]{ x^{ a } } } }{ ( { \sqrt[ y-x ]{ x } }^{y+a} )^{-1} + ( { \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x} }^{ y^{2} – a^{2} } )^{-1} + ( { \sqrt[a-y]{x} }^{x-y} )^{-1} } \end{align} \]
  2. Aplicando las siguientes propiedades \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \), \( \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } = \sqrt[ n ]{ \frac{a}{b} } \) y \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \) donde el primero es para el denominador y los dos segundos para el numerador, resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{H} & = \frac{ \sqrt[x-y]{ \frac{ x^{x} }{ x^{-a} } } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ \frac{ x^{ x^{2} } }{ x^{ a^{2} } } } + \sqrt[y-a]{ \frac{ x^{x} }{ x^{a} } } }{ ( \sqrt[y-x]{x}^{-1} )^{y+a} + ( \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x}^{-1} )^{ y^{2} – a^{2} } + ( \sqrt[a-y]{x}^{-1} )^{x-y} } \\ & = \frac{ \sqrt[ x-y ]{ x^{x+a} } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} – a^{2} } } + \sqrt[y-a]{ x^{x-a} } }{ ( \sqrt[y-x]{x}^{-1} )^{y+a} + ( \sqrt[ y^{2} – x^{2} ]{x}^{-1} )^{ y^{2} – a^{2} } + ( \sqrt[a-y]{x}^{-1} )^{x-y} } \end{align} \]
  3. Por la propiedad del factor de multiplicación para radicales \( \sqrt[n]{ a }^{m} = \sqrt[nk]{ a }^{mk} \), donde \( k=-1 \) aplicado al denominador, logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{H} & = \frac{ \sqrt[ x-y ]{ x^{x+a} } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} – a^{2} } } + \sqrt[y-a]{ x^{x-a} } }{ ( \sqrt[ (y-x)(-1) ]{x}^{ (-1)(-1) } )^{y+a} + ( \sqrt[ ( y^{2} – x^{2} )(-1) ]{x}^{ (-1)(-1) } )^{ y^{2} – a^{2} } + ( \sqrt[ ( a-y )(-1) ]{x}^{ (-1)(-1) } )^{x-y} } \\ & = \frac{ \cancel{ \sqrt[ x-y ]{ x^{x+a} } + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{ x^{ x^{2} – a^{2} } } + \sqrt[y-a]{ x^{x-a} } } }{ \cancel{ \sqrt[ x-y ]{x}^{ y+a }  + \sqrt[ x^{2} – y^{2} ]{x}^{ y^{2} – a^{2} } + \sqrt[ y-a ]{x}^{x-y} } } \\ \mathrm{H} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 60

Busque una fórmula general para la siguiente expresión:

\[ \mathrm{I}_n = \sqrt{ x^{n} \cdot \sqrt{ x^{n-1} \cdot \sqrt{ x^{n-2} … \sqrt{ x^2 \sqrt{x} } } } } \]


Solución:

  1. Comencemos por partes, sea \( n=1 \), tenemos:
    \[ \mathrm{I}_1 = \sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2} } \]
  2. Para \( n=2 \):
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_2 & = \sqrt{ x^{2} \sqrt{x} } \\ & = ( x^{2} \cdot x^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \\ & = ( x^{ 2 + \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \\ \mathrm{H}_2 & = x^{ \frac{2}{2} + \frac{1}{ 2^{2} } } \end{align} \]
  3. Para \( n=3 \) y resumiendo operaciones:
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_3 & = \sqrt{ x^{3} \sqrt{ x^{2} \sqrt{x} } } \\ \mathrm{I}_3 & = x^{ \frac{3}{2} + \frac{2}{ 2^{2} } + \frac{1}{ 2^{3} } } \end{align} \]
  4. En general, para cualquier valor de \( n \), tenemos que:
    \[ \mathrm{I}_n = x^{ \frac{n}{2} + \frac{n-1}{ 2^{2} } + \frac{ n-2 }{ 2^{3} } + … + \frac{1}{ 2^{n} } } \]
  5. Multiplicando y dividiendo por \( 2^n \) al exponente de la base \( x \) de la expresión de \( \mathrm{H}_n \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_n & = x^{ \frac{ 2^{n} ( \frac{n}{2} + \frac{n-1}{ 2^{2} } + \frac{ n-2 }{ 2^{3} } + … + \frac{1}{ 2^{n} } ) }{ 2^n } } \\ & = x^{ \frac{ n2^{n-1} + (n-1)2^{n-2} + (n-2)2^{n-3} +…+ 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 }{ 2^{n} } } \end{align} \]
  6. Llamaremos \( \mathrm{S}_n \) a la serie del numerador del exponente de base \( 2 \) de la expresión \( \mathrm{I}_n \) tal que \( \mathrm{I}_n = x^{ \frac{ \mathrm{S}_n }{ 2^{n} } } \), resulta:
    \[ \mathrm{S}_n = n2^{n-1} + (n-1)2^{n-2} + (n-2)2^{n-3} +…+ 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
  7. Pero la escribiremos así:
    \[ \mathrm{S}_n = 1 + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + … + (n-2)2^{n-3} + (n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} … ( \alpha ) \]
  8. El método que mostraremos para resolver esta serie, deriva de un teorema llamada «propiedad telescópica de series finitas». Usaremos de una manera indirecta esta propiedad sin explicación alguna, si quieres saber porque y con qué razón usamos este método, puedes buscar por Google esta propiedad y sabrás las razones del método de resolución. En fin, Sumamos y restamos \( (n+1)2^{n} \) en la serie, quedando así:
    \[ \mathrm{S}_n = 1 + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + … + (n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} + (n+1)2^{n} – (n+1)2^{n} \]
  9. Ordenaremos la serie convenientemente de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{S}_n = ( 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + … + (n-1)2^{n-2} + n2^{n-1} + (n+1)2^{n} ) + \color{red}{ 1 – (n+1)2^n } \]
  10. Ahora buscaremos en la nueva serie dentro del paréntesis otra serie igual a la serie \( ( \alpha ) \), para ello, factorizando \( 2 \), tenemos:
    \[ \mathrm{S}_n = 2( 2 \cdot 2^{0} + 3 \cdot 2^{1} + … + (n-1)2^{n-3} + n2^{n-2} + (n+1)2^{n-1} ) + \color{red}{ 1-(n+1)2^{n} } \]
  11. Ahora realizaremos la siguiente estrategia matemática magistral:
    \[ \scriptsize{ \begin{align} \mathrm{S}_n & = 2( (1+1) \cdot 2^{0} + (2+1) \cdot 2^{1} + (3+1) \cdot 2^{2} + …+ (n-2+1)2^{n-3} + (n-1+1)2^{n-2} + (n+1)2^{n-1} ) + \color{red}{ 1-(n+1)2^{n} } \\ & = 2( \color{blue}{ 2^{0} }  + 2^{0} + \color{blue}{ 2 \cdot 2^{1} } + 2^{1} + \color{blue}{ 3 \cdot 2^{2} } + 2^{2} + … + 2^{n-4} + \color{blue}{ (n-2)2^{n-3} } + 2^{n-3} + \color{blue}{ (n-1)2^{n-2} } + 2^{n-2} + \color{blue}{ n2^{n-1} } + 2^{n-1} ) + \color{red}{ 1 – (n+1)2^{n} } \end{align} } \]
  12. Si observa detenidamente, los términos de color azul, resulta ser igual a la serie \( ( \alpha ) \), y también la podemos escribir como \( \mathrm{S}_n \), tener en cuenta que \( 2^{0} = 1 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{S}_n & = 2( \mathrm{S}_n + 1+2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + … + 2^{n-1} ) + 1-(n+1)2^{n} \\ & = 2 \mathrm{S}_n + \underbrace{ 2^{1} +2^{2}+2^{3} + … + 2^{n} + 1}_{ \frac{ 2^{n+1}-1 }{2-1} }-(n+1)2^{n} \end{align} \]
  13. Aplicando una propiedad de series de potencias \( 1+a^{1}+a^{2}+2^{3}…+a^{n}= \frac{ a^{n+1} }{a-1} \) (y que explicaremos en un curso de cocientes notables y en otro llamado serie de potencias) para cuando \( a=2 \), resulta:
    \[ \mathrm{S}_n = 2 \mathrm{S}_n + \frac{ 2^{n+1} – 1}{2-1} – (n+1)2^{n} \]
  14. Despejando \( \mathrm{S}_n \):
    \[ \begin{align} \mathrm{S}_n & = (n+1)2^{n} – 2^{n+1} + 1 \\ \mathrm{S}_n & = (n-1)2^{n} + 1 \end{align} \]
  15. Como sabemos \( \mathrm{I}_n = x^{ \frac{ \mathrm{S}_n }{ 2^{n} } } \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{I}_n & = x^{ \frac{ (n-1)2^{n} + 1 }{ 2^{n} } } \\ & = x^{ n-1+2^{-n} } \\ \mathrm{I}_n & = x^{ 2^{-n} + n -1 } \end{align} \]
  16. Por tanto, se cumple que:
    \[ \sqrt{ x^{n} \cdot \sqrt{ x^{n-1} \cdot \sqrt{ x^{n-2} … \sqrt{ x^2 \sqrt{x} } } } } = \boxed{ \Large{ x^{ 2^{-n} + n -1 } } } \]

Ejercicio 61

Resolver el valor de \( x \) en \( 3^{2x} + 9 = 10 ( 3^{x} ) \):

Solución:

  1. Ordenando:
    \[ 3^{2x} – 10( 3^{x} ) + 9 = 0 \]
  2. Por el método de factorización de aspa simple (lo estudiaremos mas adelante), resulta:
    \[ ( 3^{x} -9 )( 3^{x} – 1 ) = 0 \]
  3. Para que esta igualdad sea 0, debe cumplirse que:
    \[ 3^{x} – 9 = 0 \ \text{ó} \ 3^{x} – 1 = 0 \]
  4. Entonces:
    \( \begin{array}{  c  } \color{red}{ 3^{x} = 9 } \\ \color{red}{ 3^{x} = 3^{2} } \end{array} \) ó \( \begin{array}{  c  } \color{green}{ 3^{x} = 1 } \\ \color{green}{ 3^{x} = 3^{0} } \end{array} \)
  5. Obteniéndose finalmente dos posibles valores \( x = 2 \) y \( x = 0 \).

Ejercicio 62

Resolver la siguiente ecuación:

\[ x^{ ( \sqrt{2} x )^{-1} } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]

Solución:

  1. Daremos forma al primer miembro, por definición de exponente negativo \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \):
    \[ x^{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} x } } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  2. Por la propiedad de multiplicación de fracciones \( \frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \):
    \[ x^{ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  3. Por la propiedad de potencia de potencia:
    \[ ( x^{ \frac{1}{x} } )^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  4. Por definición de radicación \(  a^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a} \):
    \[ \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt[x]{x} } = \sqrt[ { \sqrt{2} } ]{ \sqrt{2} } \]
  5. Por semejanza, logramos obtener que:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = 2 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 63

Resolver la siguiente ecuación exponencial:


\[ x^{ \sqrt{x} } = \sqrt{ x^{x} } \]

Solución:

  1. Por definición de radicación para el segundo miembro \( \sqrt[n]{ a^{m} } = a^{ \frac{m}{n} } \):
    \[ x^{ \sqrt{x} } = x^{ \frac{x}{2} } \]
  2. Como las bases son iguales, los exponentes son iguales, entonces:
    \[ \sqrt{x} = \frac{x}{2} \]
  3. Elevando al cuadrado y resolviendo:
    \[ \begin{align} { \sqrt{x} }^{2} & = ( \frac{x}{2} )^{2} \\ x & = \frac{ x^{2} }{4} \\ x^{2} – 4x & = 0 \\ x ( x-4 ) & = 0 \end{align} \]
  4. De la última igualdad, obtenemos dos valores distintos y son:
    \[ \Large{ x = 0 } \ \text{ ó } \ \Large{ x = 4 } \]
  5. Sin embargo, el único valor aceptable es \( \color{red}{ x = 2 } \), ya que para \( x=0 \), el valor de de \( x^{x} \) que encontramos en el radicando del segundo miembro del ejercicio \( x^{ \sqrt{x} } = \sqrt{ \color{red}{ x^{x} } } \) es indeterminado, es decir, el valor de \( 0^{0} \) no está definido ya que existen funciones que cumplen esta indeterminación obtienen distintos valores, esto lo veremos en un curso de límites de funciones indeterminadas más adelante.

Ejercicio 64

\[ \sqrt[x]{ \frac{2}{x+1} } = (x+1)^{x+2} \]

Solución:

  1. Este ejercicio es sencillo, elevando a los dos miembros por \( x \) y simplificando:
    \[ \begin{align} { \sqrt[x]{ \frac{2}{x+1} } } & = { (x+1)^{x+2} }^{x} \\ \frac{2}{x+1} & = (x+1)^{ x(x+2) } \\ \frac{2}{x+1} & = (x+1)^{ x^{2} + 2x } \end{align} \]
  2. Pasando el factor \( x+1 \) del denominador del primer miembro:
    \[ 2 = (x+1)^{ x^{2} + 2x } (x+1) \]
  3. Por la propiedad de producto de potencias \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ 2 = (x+1)^{ x^{2} + 2x + 1 } \]
  4. El exponente \( x^{2} + 2x + 1 \) es un producto notable (que lo estudiaremos más adelante) que se puede escribir como \( (x+1)^{2} \), entonces:
    \[ 2 = (x+1)^{ (x+1)^{2} } \]
  5. En ejercicios anteriores ya habíamos explicado más de una vez que el número ( 2 ) se puede escribir como \( { \sqrt{2} }^{ { \sqrt{2} }^{2} } \), tenemos:
    \[ { \sqrt{2} }^{ { \sqrt{2} }^{2} } = (x+1)^{ (x+1)^{2} } \]
  6. Por simetría, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \sqrt{2} & = x+1 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt{2} – 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 65

Averigüe el valor de \( x \) si \( x>1 \) en:

\[ ( \frac{1}{ x^{3} } )^{ \frac{1}{ x^{4} } } = ( \frac{1}{ \sqrt[3x]{x} } )^{ \frac{1}{x} } \]

Solución:


  1. El punto aquí es lograr que como mínimo la ecuación se encuentre en una misma base, como \( \frac{1}{ a^{n} } = ( \frac{1}{a} )^{n} \) para el miembro izquierdo y \( \sqrt[3x]{x} = x^{ \frac{1}{3x} } \) en el miembro derecho:
    \[ \begin{align} [ ( \frac{1}{x} )^{3} ]^{ \frac{1}{ x^{4} } } & = ( \frac{1}{ x^{ \frac{1}{3x} } } )^{ \frac{1}{x} } \\ & = [ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{3x} } ]^{ \frac{1}{x} } \end{align} \]
  2. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ ( \frac{1}{x} )^{ \frac{3}{ x^{4} } } = ( \frac{1}{x} )^{ \frac{1}{3x^{2}} } \]
  3. Si las bases son iguales, entonces los exponentes son iguales, tenemos:
    \[ \frac{3}{ x^{4} } = \frac{1}{ 3x^{2} } \]
  4. Resolviendo:
    \[ \begin{align} 3 ( 3x^{2} ) & = x^{4} \\ 9x^{2} – x^{4} & = 0 \\ x^{2} (  9 – x^{2} ) & = 0 \\ x^{2} ( 3 – x ) (3 + x) & = 0 \end{align} \]
  5. De esta última ecuación, se puede encontrar 3 valores y son:
    \[ x= -3, x = 0 \ \text{y} \ x=3 \]
  6. Como \( x>1 \), por tanto, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x=3 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 66

Averigüe \( \mathrm{E} = \sqrt[ab]{ \frac{y}{x} } \)

\[ \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[b]{y} = a^{a+b} \cdot b^{a} \color{red}{ \wedge } xy = a^{2ab} \cdot b^{ab} \]

Solución:

  1. Comenzaremos por esta ecuación \( xy = a^{2ab} \cdot b^{ab} \cdots ( \alpha ) \), despejando \( x \) y extrayendo la raíz de indice \( a \), resulta:
    \[ \begin{align} x & = \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{y} \\ \sqrt[a]{x} & = \sqrt[a]{ \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{y} } \\ \sqrt[a]{x} & = \frac{ \sqrt[a]{ a^{2ab} \cdot b^{ab} } }{ \sqrt[a]{y} } \\ \sqrt[a]{x} & = \frac{ a^{2b} \cdot b^{b} }{ \sqrt[a]{y} } \end{align} \]
  2. Reemplazando en la otra ecuación, tenemos:
    \[ \begin{align} \frac{ a^{2b} \cdot b^{b} }{ \sqrt[a]{y} } \cdot \sqrt[b]{y} & = a^{a+b} \cdot b^{a} \\ \frac{ \sqrt[b]{y} }{ \sqrt[a]{y} } & = \frac{ a^{a+b} b^{a} }{ a^{2b} b^{b} } \\ \sqrt[ab]{ \frac{ y^{a} }{ y^{b} } } & = a^{a-b} b^{a-b} \\ \sqrt[ab]{ y^{a-b} } & = (ab)^{a-b} \\ \sqrt[ab]{y} & = ab \\ y & = (ab)^{ab} \end{align} \]
  3. Reemplazar en \( \alpha \), tenemos:
    \[ \begin{align} x \cdot (ab)^{ab} & = a^{2ab} \cdot b^{ab} \\ x & = \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{ (ab)^{ab} } \\ x & = \frac{ a^{2ab} \cdot b^{ab} }{ a^{ab} \cdot b^{ab} } \\ x & = a^{ab} \end{align} \]
  4. Finalmente reemplazando en \( \mathrm{E} \), logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \sqrt[ab]{ \frac{y}{x} } \\ & = \sqrt[ab]{ \frac{ (ab)^{ab} }{ a^{ab} } } \\ & = \sqrt[ab]{ \frac{ a^{ab} b^{ab} }{ a^{ab} } } \\ & = \sqrt[ab]{ b^{ab} } \\ \mathrm{E} & = \boxed{ \Large{b} } \end{align} \]

Ejercicio 67

Simplificar:

\[ \mathrm{A} = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ \sqrt[x]{ 32^{ x^{2} } } } } ]^{x+2} \]

Solución:

  1. Resolveremos primero el denominador del radicando, por definición de raíz \( \sqrt[m]{ a^{n} } = a^{ \frac{m}{n} } \) y sabiendo que \( 32 = 2^{5} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ 32^{ \frac{ ( 2^{5} )^{2} }{x} } } } ]^{x+2} \\ & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ ( 2^{5} )^{x} } } ]^{x+2} \end{align} \]
  2. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \) y luego por la propiedad de potencia de cocientes \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), en el denominador del radicando:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ \frac{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 } }{ 2^{5x} } } ]^{x+2} \\ & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ x^{2} + 3x + 4 – 5x } } ]^{x+2} \\ & = [ \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ x^{2} -2x + 4 } } ]^{x+2} \end{align} \]
  3. Sabiendo que \( { \sqrt[n]{ a } }^{m} = \sqrt[n]{ a^{m} } \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ ( x^{2} – 2x + 4 )(x+2) } } \]
  4. Como \( ( x^{2} -2x +4 )( x+2 ) = x^{3} + 8 \), un producto notable que estudiaremos más adelante, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \sqrt[ x^{3} + 8 ]{ 2^{ x^{3} + 8 } } \\ \mathrm{A} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 2 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 68

Resolver la siguiente ecuación exponencial:


\[ x^{ x^{x} } = 3^{ – \frac{ \sqrt[3]{9} }{3} } \]

Solución:

  1. Este ejercicio se resuelve por racionalización (este método sirve para eliminar radicales en los denominadores), como \( \sqrt[3]{9} = { \sqrt[3]{3} }^{2} \) y \( 3 = { \sqrt[3]{3} }^{3} \), entonces:
    \[ x^{ x^{x} } = 3^{ – \frac{ { \sqrt[3]{3} }^{2} }{ { \sqrt[3]{3} }^{3} } } \]
  2. Simplificando \( { \sqrt[3]{3} }^{2} \) y realizando algunas operaciones:
    \[ \begin{align} x^{ x^{x} } & = 3^{ – \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{3} } } \\ & = 3^{ -1 ( \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } ) } \\ & = ( 3^{-1} )^{ \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } } \\ x^{ x^{x} } & = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } } \end{align} \]
  3. Como \( \sqrt[3]{3} = 3^{ \frac{1}{3} } \):
    \[ x^{ x^{x} } = ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{ 3^{ \frac{1}{3} } } } \]
  4. Como \( \frac{ 1 }{ a^{n} } = ( \frac{1}{a} )^{n} \):
    \[ x^{ x^{x} } = ( \frac{1}{3} )^{ ( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{3} } } \]
  5. Por comparación, el valor de \( x \) es:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = \frac{1}{3} } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 69

Cual es el valor de \( x \):

\[ \sqrt[x-13]{ \frac{ x^{x} – x^{13} }{ x^{37} – x^{x} } } = \frac{1}{x} \]

Solución:

  1. Por definición de radicación \( \sqrt[n]{ a } = b \Rightarrow a = b^{n} \), entonces:
    \[ \frac{ x^{x} – x^{13} }{ x^{37} – x^{x} } = ( \frac{1}{x} )^{ x-13 } \]
  2. Como sabemos que \( ( \frac{1}{a} )^{n} = \frac{ 1 }{ a^{n} } \):
    \[ \frac{ x^{x} – x^{13} }{ x^{37} – x^{x} } = \frac{ 1 }{ x^{x-13} } \]
  3. Pasando los factores \( x^{37} – x^{x} \) y \( x^{ x-13 } \) al otro miembro, entonces:
    \[ \begin{align} ( x^{x} – x^{13}  ) x^{ x-13 } & = x^{37} – x^{x} \\ x^{x} \cdot x^{x-13} – x^{13} \cdot x^{x-13} & = x^{37} – x^{x} \end{align} \]
  4. Por la propiedad de multiplicación de potencias \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} x^{ x + x-13 } – x^{ 13 + x-13 } & = x^{37} – x^{x} \\ x^{-13} – x^{x} & = x^{37} – x^{x} \\ x^{-13} & = x^{37} \end{align} \]
  5. Multiplicando por \( x^{13} \) en cada miembro, finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} x^{-13} \cdot x^{13} & = x^{37} \cdot x^{13} \\ x^{-13 + 13} & = x^{37+13} \\ x^{0} & = x^{50} \\ 1 & = x^{50} \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 1 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 70

Resolver el valor de \( x \):

\[ \sqrt{x} = \sqrt[ 2 \cdot { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } ]{25} \]


Solución:

  1. Elevando al exponente \( { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } \), resulta:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = { \sqrt[ 2 \cdot { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } ]{25} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } \]
  2. Simplificando \( { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } \) en el miembro derecho de la igualdad, resulta:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = \sqrt[2]{25} \]
  3. Como \( \sqrt[2]{25} = 5 \), resulta:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = 5 \]
  4. Como \( 5 = { \sqrt[5]{5} }^{5} = { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{5} } = { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{5} } } \), entonces:
    \[ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{ { \sqrt{x} }^{5} } } = { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{ { \sqrt[5]{5} }^{5} } } \]
  5. Por simetría, se cumple que:
    \[ \sqrt{x} = \sqrt[5]{5} \]
  6. Despejando \( x \), finalmente logramos:
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x = { \sqrt[5]{5} }^{2} } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 71

Resolver el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:

\[ x^{ x^{110} } = 10^{ 10^{10} } \]

Solución:

  1. Este ejercicio se resuelve por simetría, para lograrlo, elevaremos a la \( 110 \) en cada miembro:
    \[ ( x^{ x^{110} } )^{110} = ( 10^{ 10^{10} } )^{110} \]
  2. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \) en los dos miembros:
    \[ ( x^{110} )^{ x^{110} } = ( 10^{110} )^{ 10^{10} } \]
  3. Como \( 110 = 11 \cdot 10 \):
    \[ ( x^{110} )^{ x^{110} } = ( 10^{ 11 \cdot 10 } )^{ 10^{10} } \]
  4. Por la propiedad \( ( a^{kn} )^{ m } = ( a^{k} )^{nm} \) en el miembro derecho:
    \[ \begin{align} ( x^{110} )^{ x^{110} } & = ( 10^{11} )^{ 10 \cdot 10^{10} } \\ ( x^{110} )^{ x^{110} } & = ( 10^{11} )^{ 10^{11} } \end{align} \]
  5. Por comparación, resulta:
    \[ \begin{align} x^{110} & = 10^{11} \\ x^{ 10 \cdot 11 } & = 10^{11} \end{align} \]
  6. Extrayendo la raíz de índice \( 11 \), y por definición de radicación, finalmente resulta:
    \[ \begin{align} \sqrt[11]{ x^{ 10 \cdot 11 } } & = \sqrt[ 11 ]{ 10^{11} } \\ x^{10} & = 10 \\ x & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt[10]{10} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 72

Si \( \frac{m+n}{m} + \frac{m+n}{n} = 1 \), simplificar la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = ( \frac{ \sqrt[m+n]{a} }{ \sqrt[m]{a} } )^{n} + ( \frac{ \sqrt[m+n]{a} }{ \sqrt[n]{a} } )^{m} \]

Solución:


  1. Primero daremos forma a \( \mathrm{E} \), tomemos primero el término izquierdo y lo pasaremos a una sola base \( a \), entonces:
    \[ \begin{align} ( \frac{ \sqrt[m+n]{a} }{ \sqrt[m]{a} } )^{n} & = ( \frac{ \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{m} } }{ \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{m+n} } } )^{n} \\ & = ( \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{ m-m-n } } )^{n} \\ & = ( \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{-n} } )^{n} \\ & = \sqrt[ (m+n)m ]{ a^{ -n^{2} } } \\ & = a^{ – \frac{ n^{2} }{ (m+n)m } } \end{align} \]
  2. El mismo procedimiento aplica para el término derecho de \( \mathrm{E} \), quedando:
    \[ \mathrm{E} = a^{ – \frac{ n^{2} }{ ( m+n )m } } + a^{ – \frac{ m^{2} }{ (m+n)n } } \]
  3. Para averiguar el valor de los exponentes de estos dos términos, comenzaremos a manipular la condición del ejercicio, tenemos:
    \[ \begin{align} \frac{m+n}{m} + \frac{m+n}{n} & = 1 \\ \frac{ (m+n)n }{mn} + \frac{ (m+n)m }{mn} & = 1 \\ \frac{ (m+n)n + (m+n)m }{mn} & = 1 \\ \frac{ (m+n)(m+n) }{mn} & = 1 \\ \frac{ (m+n)^{2} }{mn} & = 1 \\ (m+n)^{2} & = mn \\ m^{2} + 2mn + n^{2} & = mn \\ m^{2} + mn & = – n^{2} \\ m( m+n ) & = – n^{2} \\ – \frac{ n^{2} }{ (m+n)m } & = 1 \end{align} \]
  4. De esta manera logramos resolver uno de los exponentes de los términos de \( \mathrm{E} \) con base \( a \), el otro término se resuelve de manera análoga, esto es, también se cumple que \( – \frac{ m^{2} }{ (m+n)n } = 1 \), reemplazando en \( \mathrm{E} \), obtenemos finalmente:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = a^{1} + a^{1} \\ & = a + a \\ \mathrm{E} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 2a } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 73

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

\[ \frac{ 2^{x+1} – 3^{x+1} }{ 3^{x} } = 1,5 \]

Solución:

  1. Como \( 1,5 = \frac{3}{2} \), entonces:
    \[ \begin{align} \frac{ 2^{x+1} – 3^{x+1} }{ 3^{x} } & = \frac{3}{2} \\ 2( 2^{x+1}  – 3^{x+1} ) & = 3 \cdot 3^{x} \\ 2^{x+2} – 2 \cdot 3^{x+1} & = 3^{x+1} \end{align} \]
  2. Pasando el término \( 2 \cdot 3^{x+1} \) en el miembro derecho:
    \[ 2^{x+2} = 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{x+1} \]
  3. Factorizando \( 3^{x+1} \), tenemos:
    \[ \begin{align} 2^{x+2} & = 3^{x+1} (2+1) \\ 2^{x+2} & = 3^{x+1} \cdot 3 \\ 2^{x+2} & = 3^{x+2} \\ \frac{ 2^{x+2} }{ 3^{x+2} } & = 1 \end{align} \]
  4. Por la propiedad \( \frac{ a^{x} }{ b^{x} } = ( \frac{a}{b} )^{x} \):
    \[ ( \frac{2}{3} )^{x+2} = 1 \]
  5. Por definición de exponente negativo \( x^{0} = 1 \), resulta:
    \[ \begin{align} x+2 & = 0 \\ x & = \begin{array}{ | c| } \hline \Large{ -2 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Si estos ejercicios no te fueron suficientes, entonces subiremos el grado de dificultad aun más que antes, te va a gustar porque son un total 28 ejercicios de nivel avanzado, disfrutalo y te veo en esa sección.

Detalles Del Capitulo
Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Descripción
Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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37 comentarios en “4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación”

  1. Hola, tengo una duda en el ejercicio 51, en la segunda ecuación base 3, al simplificar se agrega Y en los dos lados de la ecuación, en el caso de X la Y elimina al denominador Y, pero en el otro lado Y denominador no se puede eliminar sin embargo pasa el texto como si le haya hecho.

    1. Sergio Cohaguila

      Hola Livic, te explico, lo que pasa es que debes tener en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación \( c(a+b) = ca + cb \), en este caso para la ecuación «II» \( c = y \), \( a = 1 \) y \( b = \frac{2 – 2y}{y} \), resultando lo siguiente: \( y \cdot 1 + y \cdot \frac{2 – 2y}{y} \). Si te fijas bien, aquí ya se puede cancelar el valor de \( y \) en el expresión \( y( \frac{2 – 2y}{y} ) = 2- 2y \), finalmente se realiza las operaciones de suma y resta y la ecuación queda completamente resuelta. Espero haber logrado despejar tus dudas. Gracias por tus comentarios, saludos.

  2. Gracias Profesor, si tengo mas preguntas,en el ejercicio 84 nivel avanzado,en 7. binomio 3+2. raiz 2 se eleva al 2. un cuarto y desarrolla el binomio de la forma a cuadrado + 2 ab+ b cuadrado pero me parece que al desarrollar (3+2.raiz 2)al cuadrado deberia ser 3“2 + 2( 3. 2. raiz 2) +( 2. raiz2)al cuadrado en su respuesta sale 9+ 6. raiz de 2+ 8 = 17+6. raiz2, pero deberia ser 17+ 12. raiz de 2, porque 2ab en este caso es 2. 3. 2 raiz 2 y es igual a 12 raiz de 2 no entiendo porque el 6raiz de 2?

    1. Sergio Cohaguila

      Livic, tienes razón, voy a corregir todo ese fragmento, dame tiempo primero para responderte el resto de los mensajes que aun no te respondo, gracias por la observación….en ese caso tendría que corregir todo el ejercicio…., bueno, una parte para que se acomode a los resultados. Que te valla bien y cualquier observación hazme saber, gracias.
      PD: Pronto responder; el resto de tus comentarios.

  3. Profesor otra pregunta que tengo dudas, ejercicio 55, sumas sucesivas, estoy familiarizada con la suma de Gauss y demas N,pares, impares, etc pero este ejercicio de suma sucesivas en radizacion no lo comprendo del todo, supongo es diferente formula a la de numero naturales.
    m=1 y de alli m=2 hasta llegar a n^m entonces vemos una secuencia de 1/n que se incrementa pero al momento de sumar y resolver la formula

    Sm= ( 1/n +1/n^2 + 1/n^3…..1/n^m) se factoriza 1/n y esto deja con un termino menos y por eso queda 1/n^m-1 pero porque luego agrega ese termino (+1/n – 1/n)ambos se eliminan para no afectar la ecuacion pero es decir volvemos a introducir el termino 1/n que hemos factorizado y ahora tenemos ademas el – 1/n .
    Sm=1/n(1 +Sm – 1/n) del Sm
    Gauss= 1 + 2 +3…+n = n(n+1)/2 entiendo esta suma de primeros numeros naturales porque para obtener el resultado de todas las sumas, se duplica el numero de numeros sucesivos y se divide por 2 porque es como multiplicar base por altura en un rectangulo, pero no entiendo como seria una suma sucesiva en radicacion.

      1. Sergio Cohaguila

        Lo puedes encontrar en un libro de matemática básica de Figueroa, en tema de «sumatorias» o «inducción matemática», pero tiene que ver con suma de series o algo por el estilo, no recuerdo bien el titulo, pero la propiedad está ahí con una serie de ejercicios. Tambien lo puedes encontrar en un libro llamado Análisis Matemático de Haaser, creo que el primer volumen en inducción matemática. Ahí puedes encontrar dicha propiedad con sus propiedades.

    1. Sergio Cohaguila

      Hay varias ecuaciones en series de potencias negativas que se pruebas así, le agregas un termino (el mismo ultimo termino antes de factorizar) y le restas el mismo termino, osea el objetivo es buscar siempre una serie igual a la serie iniciar que quieres simplificar. La formula de las primeras sumas de los números naturales naturalmente es sencillo porque puedes tomar: \( \mathrm{S} = 1 + 2 + 3 \cdots +n \) con \( n \) y está colocado de menor a mayor y le vuelves a sumar la misma suma pero de mayor a menor \( \mathrm{S} = {n + n-1 + n-2 + \cdots + 1 \) con \( n \) términos porque es la misma suma. El resultado que obtienes es \(
      2 \mathrm{S} = (1 + n) + (2 + n – 1) + (3 + n-2) + \cdots + (n+1) \), resultando \( 2 \mathrm{S} = (1+n) + (1+n) + (1+n) + \cdots (1+n) \) y también con \( n \) agrupaciones y finalmente obtienes \( 2 \mathrm{S} = n(n+1) \) y bueno, ya sabes cual es el resultado final. En el fondo es suma bases con potencias negativas.

    2. Sergio Cohaguila

      Si existe una manera, la propiedad telescopio en una de sus formas dice \[ \sum_{i=k}^{q} [ f(i) – f(i+1) ] = f(k) – f(q+1) \]. En este caso tenemos \( \mathrm{T}_{i} = \frac{1}{ n^{i} } \) donde quieres calcular la suma \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \) que representa esa serie de potencias negativas. Por la propiedad telescopio, haces lo siguiente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} = \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), si resuelves o reduces \( \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), sale \( \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), entonces \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} – \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \). Aquí viene la magia, mira lo que voy hacer, usando las propiedades elementales de sumatorias, \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m+1} } \), como el termino con su signo negativo a continuación del miembro izquierdo se puede escribir de la siguiente manera: \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i+1}} ] = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \). En la ecuación anterior queda \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{ n^{m} -1 }{ n^{m+1} } \). Factorizando la sumatoria, resulta: \( ( 1 – \frac{1}{n} ) \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), resolviendo \( \frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m} – 1}{n^{m+1}} \), finalmente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). Recuerda que la serie que querías calcular es \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). De esta manera te demuestro que el resultado es lo mismo con la serie telescópica.

      1. Gracias profesor he estado leyendo mas sobre Sumatorias, y una duda que casi nadie menciona, por ejemplo en la suma Sigma de los primeros números naturales para sacar la formula se pone un binomio al cuadrado, por que? de una suma 1+2+3+…+n hay que poner un binomio (n+1)al cuadrado _ n al cuadrado , etc es como si se tuviera que extender otra dimension a la suma que se busca la formula.

        1. Sergio Cohaguila

          La cosa es que se intenta buscar \( f(i+1) – f(i) = i \), si usas potencias cubicas o cuartas o potencias negativas, es mas complejo que solo usar potencias cuadradas, si usas potencias igual a la unidad quedaría así \( i+1 – i = 1 \neq i \) y no tiene sentido….. porque estas asumiendo \( i \) es variable y cambia con valores enteros de \( 1 \) a \( n \) donde \( n, i \in \mathbb{Z}^+ \), es decir que pertenece a los enteros positivos. En otras palabras, la telescopio funciona cuando por descarte.

          1. Gracias profesor, por ahora entiendo y he realizado las potencias al cubo, a la cuarta, impares, pares, con la propiedad telescópica, espero usted haga un curso sobre este tema también.

            Saludos

          2. Sergio Cohaguila

            Si, tengo que hacerlo, solo que estoy en trabajos de diseño web, pero bueno, el tema de la telescopio lo haré cuando me centre en la teoría elemental de sucesiones y series. Todo lo relacionado a series es un tema relativamente extenso. De hecho, si hablamos por ejemplo sobre teoría de exponentes, es un tema exageradamente extenso, solo mira el resumen de Wikipedia sobre «Exponenciacion» (no confundir con potenciación) tal cual, es exageradamente extenso porque ya entra temas mas complejos y muy abstractos de la matemática, solo leyendo su definición en wiki ya es para romperse la cabeza jaja. Cuando llegue a ese tema de sumatorias, probaré todas las propiedades incluida las dos versiones de la telescopio, lo estaré desarrollando bien bonito, y nada más, que te valla todo bien y gracias por tus mensajes, saludos.

    3. Sergio Cohaguila

      Por ultimo, ten en cuenta que cuando incrementa \( m \) para un valor numérico de \( n \) mayor a 1, \( n^{m} \) incrementa, pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) se hace mas pequeño, si \( n \) disminuye en valor diferente de los negativos, el valor de \( n^{m} \) decrece pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) incrementa.

        1. Sergio Cohaguila

          Gracias Livic, aun mi sitio presenta fallas por ejemplo tengo que corregir unas teorías en una de las secciones de expresiones matemáticas, desde hace más de un año que no he tocado el sitio web, pero hace días si quiera estoy escribiendo (realmente corrigiendo un grave problema que tuve con la primera sección de «proposiciones» de un tema de lógica elemental) un tema y para comenzar luego otros, por el momento tengo que terminar todo lo relacionado expresiones matemáticas y previamente corregir algunos anteriores…. Espero terminar todo lo que es álgebra elemental, luego pasaré a otros cursos avanzados de álgebra. Que tengas un buen día, bye.

  4. Saludos Profesor, tengo una duda porque para encontrar la formula de la Suma de los primeros n términos de una serie Geométrica se realiza restando la primera Sm – Sm multiplicada por razón,(Sm – Sm.r) y porque en la serie Aritmética es lo contrario se suman ambas para encontrar la formula (Sm + Sm)? hasta ahora he leído varios libros y ninguno explica el porque.

    1. Sergio Cohaguila

      Cuando demuestras una propiedad, tiene una forma definida, no es que inventes la formula y por eso tienen esa forma… no se si habas visto la prueba de los n primeros términos geométricos y aritméticos, es decir, la formula que me has presentado. es sencilla de probar.

  5. Sm – Sm.r = a. ( 1- r^n) En la progresión serie geométrica finita, mi duda es
    (1 – r) bajo que razón se resta y no suma para llegar a esta
    formula.
    Sm= a.r^o + a.r^1 + a.r^2……..a.r^n-1
    Sm.r= a.r^1 + a.r^2 + a.r^3……..a.r^n
    Cuando vi este proceso mi primera impresión era la de sumar ambos para llegar a la formula, supongo pensé era lo mismo que la serie Aritméticas.

    1. Sergio Cohaguila

      De hecho, si se puede sumar, sumemos \( S_{m} + S_{m} r = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} + ar^{n} \) … (X), el punto es que si vez una serie nueva, debes buscar una variable que sea igual a \( S_{m} \), multiplica esta serie por 2, resulta: \( 2S_{m} = 2ar^{0} + \cdots + 2ar^{n-1} \), pero también se puede escribir así \( 2S_{m} – ar^{0} = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} \), esta serie no se parece una fragmento de la formula (X)?, osea reemplazando, obtienes \( S_{m} – S_{m} r = 2S_{m} – ar^{0} + ar^{n} \), operando llegas a un mismo resultado.

  6. Probar no es problema, sino el razonamiento para llegar a esa formula, la suma indicada representa la suma de todos los términos menos el primero: a.r^2 + a.r^3……..a.r^n-1. la suma de todos los términos de la progresión menos el primero a1.
    y por el otro lado de la igualdad es la suma de todos los términos menos el último an.
    por lo que Sm- a1 = r factor común(Sm – an) , entonces Sm-a1= rSm- ran
    Sm-rSm= a1- an.r
    Sm(r-1)= a1- an.r
    Sm= a1- an.r/ (r-1) entonces la resta viene de que ambas sumas de la igualdad geométrica carecen de un termino entonces el numero 1 es el termino menos de cada suma y la resta viene de que ambas carecen de un termino, es muy diferente a la suma aritmética.

    1. Sergio Cohaguila

      En la multiplicación alteras los términos, en la suma los términos siguen siendo los mismos, el punto es buscar los términos semejantes, al sumar varios términos, no alteas los términos semejantes, pero al multiplicar términos, alteas los términos semejantes, el punto es que cuando trabajas con series, alterar con la multiplicación una igualdad haces que falte y por otro lado sobre un termino, el punto es eliminar esos términos. Por otro lado \( 1-r \) es un factor común de \( a – ar^{n-1} \). Ademas, en la progresión geométrica tiene exponentes números naturales «lineales», es decir, sus exponentes son de la forma \( n = pm+q \), donde \( p \), \( m \) y \( q \) naturales, si fueran cuadráticas, la multiplicación con un factor de la forma \( r^{x} \) ya no tendría sentido, no funciona la misma estrategia \( S_{n} – S_{n} r \), ya no funcionaría.

  7. Gracias por la paciencia profe, ya casi comprendo del todo, entonces al multiplicar la razón a la suma geométrica aumenta el termino primero a1 y el ultimo an, lo que trato de entender es en forma visual, tengo muy claro en el caso de las progresiones aritméticas de los primeros N= n veces por n+1 y dividido entre dos, porque Gauss sumo dos veces la suma y obtuvo el resultado n +1 un por n veces y dividió entre dos porque son los pares para sacar el resultado de la formula, así mismo en forma gráfica es un cuadrado de base n x (n+1), lo que no comprendo del todo en las series geométricas es que no puedes hacer lo mismo, toca multiplicar por r es decir alteras la suma y de allí obtener los términos, restarlos y dividirlo entre 1- razón, trato de visualizar en figuras esta formula general.

    1. Sergio Cohaguila

      En la gráfica de una serie geométrica es una curva y la curva depende de dos puntos, el exponente y la base, pero mas de la base ya que asumimos que los exponentes incrementan en progresión aritmética de 1 en 1 comenzando de 0 (termino independiente), osea exponentes lineales, pero si la base se encuentra entre 0 (sin incluirlo) y 1 ó entre 1 para arriba, la gráfica de una serie geométrica cambia drasticamente, en el primero, la gráfica de la progresión es una curva de base de 0 a 1 disminuye hasta que en el infinito es una constante (mas bien crece pero el crecimiento se va desacelerando hasta que ya deja de crecer), pero si la base es de 1 para arriba, la progresión es una curva que se va hasta el infinito, busca en Google «gráfica de una ecuación geométrica» y verás. En resumen, una aritmética es fácil, su gráfica es lineal, pero una progresión aritmética es una curva y depende de su base, y eso que no hablamos de base negativa……

  8. Claro que las progresiones aritméticas es la suma a1 + la diferencia, en la geométricas es la multiplicación de a1 x la razón tal vez por ese lado debes alterar multiplicando por r las sumas geométricas.

    1. Sergio Cohaguila

      No alteras el orden, alteras los termino del orden, en la aritmética no se altera nada, si le sumas o le quietas un termino, el resto de los términos siguen siendo los mismos en las mismas posiciones.

  9. Series convergentes y divergentes, después de esta formula finita voy a estudiar esas.
    SG
    a2 = a1.r
    a3 = a2.r
    an = an-1.r
    ————————————————–
    a2+a3+a4+……an= a1.r + a2.r +a3.r…..an-1.r
    Sm- a1 = r( a1 + a2. +a3…..an-1.)
    Sm- a1 = r( Sm- an)
    Sm- a1 = Smr- anr Sm-Sm.r= a1- an.r a1 – a1.rn\ 1 -r
    La razón es el factor común de la suma y ambos lados de la igualdad carece de un termino a1= an

    1. Sergio Cohaguila

      Me has hecho acordar a las sucesiones recurrentes como la que mencionas \( a_{n}=ra_{n-1} \), sabes, algo curioso? existe algunos casos donde una sucesiones recurrentes convergentes como este ejemplo \( f(n) = ( 1 + \frac{1}{n} )^n \), para \( n \) entero positivo ocurre que \( f(n) \) es obviamente un racional (que se puede escribir como la division de dos enteros, pero cuando \( n \) es infinito, resulta que \( f(n) \) es un numero irracional, es decir, simplemente no existe una division entre dos enteros que represente a \(
      f(n) \). Se dice que los irracionales se pueden definir de los racionales.
      Con este modelo se puede demostrar por ejemplo los casos \( a^{n+m} = a^n+a^m \), cuando \( n \) y \( m \) son irracionales ya que la definicion de \( a^n = a•a•a \cdots a \) solo aplica para \( n \) naturales. Intentalo, veras que no encontraras forma.

  10. Ese proceso lo encontré en una pagina web, lo que me confundió es que an = an-1.r, porque no puso an= a1.r.n-1 aunque es lo mismo, esta formula series geométricas me molesta no poder entenderla 100% es que no me cuadra que a1 termino primero menos! termino ultimo a1 por r^n dividido entre 1 menos r, en primer lugar la razón e n no es n-1 como debería ser el termino enésimo, si lo que hace es restar el primer termino con el enésimo y porque restar y no sumar acaso no es una Suma de progresiones, no es como la formula de series aritmética que una formula con armonía tiene sentido en cada parte Sa= a1 + d(n-1)n dividido entre 2, cada una de las formula de la series aritméticas la entiendo pero esta serie geométrica me molesta.

  11. Hasta donde se no podria no se puede dividir mas ya que es el resultado de la resta de x^3| x-y menos y^3| x-y , si fuera multiplicacion x^3.y^3| xy alli si se podria dividir y saldria x^2.y^2. 🙁

    1. Sergio Cohaguila

      jeje, si se puede, sale \( x^{2} + xy + y^{2} \), no te has dado cuenta que en las progresiones geométricas son también divisiones del tipo \( \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \), su resultado es de la forma \( x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1} \), la progresión geométrica que tratamos es solo cuando \( y=1 \), te das cuenta?, el tema de la división de la forma \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \) lo estudio en el capitulo de cocientes notables: https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/cocientes-notables/
      En el fondo son progresiones geométricas, aunque en ese capitulo no lo indico, pero son formas de progresión geométrica.

  12. Gracias Profe ese capitulo es desconocido para mi creo que lo vi muy poco tengo que estudiarlo, analizando las series geométricas creo que ya la entendí, imaginando en
    una suma de solo tres términos base 2 y razón 2, yo sumando el termino 1 y el termino n, no me dan la suma total de la series de tres términos, pero cuando resto termino 1 menos termino n+1 es decir el cuarto termino de la suma de tres términos es decir es 2 – 2. 2^3 me sale 28 y como esta dividió entre 2 menos 1 es 1 entonces el resultado queda 28 es decir la suma de esos tres términos, ahora entiendo porque tuvieron que aumentar el termino n+1 de la series y restarlo al primer termino, pero esto se pone difícil cuando la razón es 1, estuve haciendo lo mismo y con la razón 1 esta formula no me da el resultado, esta sumando una series de base 2 por razón 1 y es de tres términos mire 2.1+2.1+2.1= 8 si usamos esta formula a1-a1.r^n|1-r sale 2 y no 8 entonces, de allí que hay reglas si la razón es igual o menos a 1, etc.

    1. Sergio Cohaguila

      La formula es \( \mathrm{S} = a_{1} ( \frac{ 1 – r^{n} }{1-r} ) \) solo aplica cuando \( r \neq 1 \), ya que te vas encontrate con esto \(
      \frac{ 1^{r} }{ 1 – 1 } = \frac{1}{0} \), no está definido, no existe números que al ser divididos por cero te den un valor determinado, a nivel de teoría de limite si es posible, y se define como infinito, pero eso es un tema avanzado calculo o análisis matemático sobre los valores super pequeños o super grandes. La formula de progresión geométrica que conoces solo aplica para razones distinto de 1, por otro lado \( 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1^{1} + 2 \) resulta 6 y no 8. Si es con base 2 y razón 2 no hay problema con la formula.

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