Ejercicios resueltos de potenciación y radicación

4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación


Niveles de los ejercicios:

Nivel básico

Este es el nivel de dificultad mas básico, pero no implica que sea muy elemental como el nivel anterior. Lo que quiero decir con esta explicación es que no hacemos hincapié en algunas operaciones básicas y sus propiedades como la suma, resta multiplicación y división en el campo de los números naturales, enteros, racionales e incluso números irracionales, en fin, todo el conjunto de los números reales.

El nivel anterior junto con el nivel básico, sirven para lograr tener una buena noción al uso adecuado sobre las operaciones con los exponentes, no es una obligación ni tampoco es cierto que al no ser capaz de resolver ejercicios de mayor nivel, no implica el uso correcto de las definiciones y propiedades de esta corta materia.

Sin embargo, todo tiene una base y si quieres lograr mejores resultados con ejercicios con mayor dificultad, lo mejor es lograr un mejor uso de dichas propiedades en el nivel básico, de esta manera tendrás éxito en otros niveles superiores y sobre todo, disfrutar resolver ejercicios de esta índole.

Finalmente el nivel básico consta de 18 ejercicios lo suficientemente prácticos para comenzar a calentar tus habilidades operacionales. Sin mas que decir, comencemos con los ejercicios


Ejercicio 31

Cual es la expresión final de:

\[ \require{cancel} \mathrm{F} = ( \frac{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} }{ 2^{-x} + 3^{-x} + 4^{-x} + 5^{-x} } )^{ \frac{1}{x} } \]


Solución:

  1. Por definición de exponente negativo \( a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{F} = ( \frac{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} }{ \frac{1}{ 2^{x} } + \frac{1}{ 3^{x} } + \frac{1}{ 4^{x} } + \frac{1}{ 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \]
  2. Por la propiedad de fracciones heterogéneas, tenemos:
    \[ \mathrm{F} = ( \frac{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} }{ \frac{ 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} + 2^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} + 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 5^{x} + 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} }{ 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \]
  3. Por la propiedad \( a^{n} \cdot b^{n} \cdot c^{n} = (abc)^{n} \), tenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( \frac{ \cancel{ 24^{x} + 30^{x} + 40^{x} + 60^{x} } }{ \frac{ \cancel{ 60^{x} + 40^{x} + 30^{x} + 24^{x} } }{ 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \\ & = ( \frac{1}{ \frac{1}{ 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} } } )^{ \frac{1}{x} } \end{align} \]
  4. Recordar que \( \frac{ 1 }{ a } = a^{-1} \), entonces \( [ a^{-1} ]^{-1} = a^{ (-1)(-1) } = a \) y tener en cuenta que \( [ a^{y} ]^{ \frac{1}{y} } = a^{ y \cdot \frac{1}{ y } } = a \), finalmente logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{F} & = ( \frac{1}{ ( 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} )^{-1} } )^{ \frac{1}{x} } \\ & = \left \{ [ ( 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} )^{-1} ]^{-1} \right \}^{ \frac{1}{x} } \\ & = ( 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 4^{x} \cdot 5^{x} )^{ \frac{1}{x} } \\ & = [ ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 )^{x} ]^{ \frac{1}{x} } \\ & = ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 ) \\ \mathrm{F} & = \boxed{ \Large{ 120 } } \end{align} \]

Ejercicio 32

Cual es el valor de \( x \) en la siguiente ecuación:
\[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = 3 \]

Solución:

  1. Este ejercicio se resuelve por simetría, tenga en cuenta que exponente afecta solo a la variable \( x \) pero no al número \( 2 \) ya que no se podría aplicar la propiedad directamente \( a^{ a^{ a^{n} } } = n \) cumpliéndose que \( a = \sqrt[n]{n} \), para lograrlo, realizamos la siguiente estrategia con el número \( 3 \) de la siguiente manera:
    \[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = { \sqrt[6]{3} }^{6} \]
  2. El exponente \( 6 \) del miembro derecho se puede escribir como \( 6 = 2 \cdot 3 = 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{6} \), teniendo:
    \[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = { \sqrt[6]{3} }^{ 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{6} } \]
  3. Repitiendo el mismo proceso, método que puedes encontrar en la teoría y ejercicios de la sección de ecuaciones exponenciales, resulta:
    \[ x^{ 2x^{ 2x^{6} } } = { \sqrt[6]{3} }^{ 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{ 2 \cdot { \sqrt[6]{3} }^{6} } } \]
  4. Por simetría o comparación, podemos concluir que:
    \[ x = \boxed{ \Large{ \sqrt[6]{3} } } \]

Ejercicio 33

Calcular el valor numérico de \( x^{2}+y^{2} \), luego de resolver el siguiente sistema de ecuaciones trascendentales:

\[ 2^{x} \cdot 3^{y} = 24 \wedge 2^{y} \cdot 3^{x} = 54 \]

Solución:

  1. Este ejercicio se puede resolver hasta por tanteo, pero lo resolveremos por despeje, multiplicaremos las dos condiciones entre si de la siguiente manera:
    \[ 2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 2^{y} \cdot 3^{x} = 24 \cdot 54 \]
  2. Ordenando y aplicando la propiedades \( a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \) y \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} 2^{x} \cdot 3^{x} \cdot 2^{y} \cdot 3^{y} & = 24 \cdot 54 \\ ( 2 \cdot 3 )^{x} \cdot ( 2 \cdot 3^{y} ) & = 24 \cdot 54 \\ (2 \cdot 3)^{x+y} & = 24 \cdot 54 \\ 6^{x+y} & = 6^{4} \\ x+y & = 4 \end{align} \]
  3. Con este nueva resultado donde \( y = 4-x \), remplazaremos en cualquiera de las dos condiciones iniciales, tenemos:
    \[ \begin{align} 2^{y} \cdot 3^{x} & = 54 \ 2^{ 4-x} \cdot 3^{x} & = 54 \\ \frac{ 2^{4} }{ 2^{x} } \cdot 3^{x} & = 54 \\ \frac{ 3^{x} }{ 2^{x} } & = \frac{54}{ 2^{4} } \\ ( \frac{3}{2} )^{x} & = \frac{ 3^{3} \cdot 2 }{ 2^{4} } \\ ( \frac{3}{2} )^{x} & = \frac{ 3^{3} }{ 2^{4} } \\ ( \frac{3}{2} )^{x} & = ( \frac{3}{2} )^{2} \end{align} \]
  4. Eliminando las bases, el valor de \( x \) es \( 3 \), como \( x+y=4 \), entonces \( y \) es \( 1 \), por tanto, el valor numérico pedido de \( x^{2} + y^{2} \) es:
    \[ x^{2} + y^{2} = 3^{2} + 1^{2} = \boxed{ \Large{ 10 } } \]

Ejercicio 34

Simplifique la siguiente expresión:


\[ \mathrm{B} = \frac{ ( 49^{-1} x^{7} y^{ 4 } z^{ -5 } )^{5} ( x^{ 2 } y^{ 3 } )^{-4} }{ ( 7 x^{ -3 } y^{-1} z^{4} )^{ -9 } } \]

Solución:

  1. Por el teorema \( (ab)^{n} = a^{n} b^{n} \):
    \[ \mathrm{B} = \frac{ ( 49^{-1} )^{ 5 } ( x^{7} )^{5} ( y^{ 4 } )^{5} ( z^{ -5 } )^{5} ( x^{ 2 } )^{-4} ( y^{ 3 } )^{-4} }{ ( 7 )^{-9} ( x^{ -3 } )^{-9} ( y^{-1} )^{-9} z^{4} )^{ -9 } } \]
  2. Aplicando el teorema \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 49^{ (-1)5 } x^{ 7 \cdot 5 } y^{ 4 \cdot 5 } z^{ (-5 ) 5 } x^{ 2 ( -4 ) } y^{ 3 ( -4 ) } }{ 7^{ -9 } x^{ (-3)(-9) } y^{ (-1)(-9) } z^{ 4( -9 ) } } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{35} y^{20} z^{-25} x^{ -8 } y^{-12} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{ -36 } } \end{align} \]
  3. Ordenando y aplicando la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 49^{-5} x^{35} x^{ -8 } y^{20} y^{-12} z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{ -36 } } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{ 35+(-8) } y^{ 20+(-12) } z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{-36} } \\ & = \frac{ 49^{-5} x^{27} y^{8} z^{-25} }{ 7^{-9} x^{27} y^{9} z^{-36} } \end{align} \]
  4. Usando la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \) y no olvidar que \( 49^{-5} = 7^{ 2(-5) } = 7^{-10} \), logrando el siguiente resultado final:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ 7^{-10} }{ 7^{-9} } \cdot \frac{ x^{27} }{ x^{27} } \cdot \frac{ y^{8} }{ y^{9} } \cdot \frac{ z^{-25} }{ z^{ -36 } } \\ & = 7^{ -10 – (-9) } \cdot x^{ 27-27 } \cdot y^{ 8-9 } \cdot z^{ -25 -(-36) } \\ & = 7^{-1}x^{0} y^{-1} z^{11} \\ & = \boxed{ \Large{ \frac{ z^{11} }{7 y } } } \end{align} \]

Ejercicio 35

Simplifique la siguiente expresión:

\[ \mathrm{A} = \frac{ x \cdot x^{2} \cdot x^{3} … x^{n} }{ x^{2} \cdot x^{4} \cdot x^{6} … x^{2n} } \]

Solución:

  1. Por la propiedad \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ x^{ 1+2+3+…+n } }{ x^{ 2+4+6+…+2n } } \]
  2. Resolviendo la suma de la serie del exponente de la expresión \( x^{1+2+3+…+4} \) usando la siguiente estrategia:
    \[ \scriptsize{ \begin{array}{ c c c c c c c c c } & S_{n} = & 1 & + & 2 & + & 3 & +…+ & n \\ \textbf{ + } & S_{n} = & n & + & (n-1) & + & (n-2) & +…+ & 1 \\ \hline & 2S_{n} = & (n+1) & + & (n+1) & + & (n+1) & +…+ & (n+1) \end{array} } \]
  3. Como hay \( n \) sumandos de la nueva suma \( 2 S_{n} \), resulta:
    \[ \begin{align} 2S_{n} & = n(n+1) \\ \rightarrow S_{n} & = \frac{ n(n+1) }{2} … ( \alpha ) \end{align} \]
  4. Ahora resolveremos la suma de la serie del exponente de la expresión \( x^{2+4+6+…+2n} \) definido como \( S_{2n} \), realizando la siguiente estrategia:
    \[ \begin{align} S_{2n} & = 2+4+6+…+2n \\ \frac{ S_{2n} }{2} & = \frac{ 2+4+6+…+2n }{2} \\ \frac{ S_{2n} }{2} & = 1+2+3+…+n \end{align} \]
  5. De \( \alpha \) resulta:
    \[ \begin{align} \frac{ S_{2n} }{2} & = \frac{ n(n+1) }{2} \\ S_{2n} & = n(n+1) … ( \beta ) \end{align} \]
  6. Reemplazando \( \alpha \) y \( \beta \) en \( \mathrm{A} \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ x^{ \frac{ n(n+1) }{2} } }{ x^{ n(n+1) } } \]
  7. Por la propiedad \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \), finalmente logramos:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = x^{ \frac{ n(n+1) }{2} – n(n+1) } \\ & = \boxed{ \Large{ x^{ – \frac{ n(n+1) }{2} } } } \end{align} \]

Ejercicio 36

Reducir el valor de \( \mathrm{M} \):
\[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} }{ 3^{ -6x } + 3^{ -4x } + 3^{ -2x } } \]

Solución:


  1. Por definición de exponente negativo \( a^{ -n } = \frac{1}{a^{n}} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} }{ \frac{1}{ 3^{6x} } + \frac{1}{ 3^{4x} } + \frac{1}{ 3^{2x} } } \]
  2. Multiplicando el numerador y denominador por \( 3^{6x} \):
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{ 6x } (3^{2x} + 3^{4x} + 3^{6x} ) }{ 3^{6x} ( \frac{1}{ 3^{6x} } + \frac{1}{ 3^{4x} } + \frac{1}{ 3^{2x} } ) } \]
  3. Operando:
    \[ \mathrm{M} = \frac{ 3^{ 6x } \cdot 3^{2x} + 3^{ 6x } \cdot 3^{4x} + 3^{ 6x } \cdot 3^{6x} }{ \frac{ 3^{ 6x } }{ 3^{6x} } + \frac{ 3^{ 6x } }{ 3^{4x} } + \frac{ 3^{ 6x } }{ 3^{2x} } } \]
  4. Por el teorema \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{ M } = & \frac{ 3^{ 6x+2x } + 3^{ 6x + 4x } + 3^{ 6x + 6x } }{ 3^{ 6x-6x } + 3^{ 6x-4x } + 3^{ 6x-2x } } \\ & = \frac{ 3^{8x} + 3^{ 10x } + 3^{ 12x } }{ 3^{ 0 } + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } } \end{align} \]
  5. Factorizando \( 3^{8x} \) en el numerador y teniendo en cuenta que \( a^{0} = 1 \), entonces:
    \[ \mathrm{ M } = \frac{ 3^{8x} ( 1 + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } ) }{ 1 + 3^{2x} + 3^{ 4x } } \]
  6. Simplificando \( 1 + 3^{ 2x } + 3^{ 4x } \), finalmente logramos obtener:
    \[ \boxed{ \Large{ \mathrm{M} = 3^{8x} } } \]

Ejercicio 37

Si la base de \( x^{ x^{ x^{x} } } \) es \( x^{ x^{x} } \), ¿cual es su exponente?.

Solución:

  1. Llamemos \( y \) al exponente de la expresión de \( x^{ x^{ x^{x} } } \) con base \( x^{ x^{x} } \), entonces:
    \[ ( x^{ x^{ x } } )^{y} = x^{ x^{ x^{x} } } \]
  2. Por el teorema \( ( m^{n} )^{p} = m^{ np } \), resulta:
    \[ x^{ x^{x} y } = x^{ x^{ x^{ x } } } \]
  3. Por la propiedad del exponente sucesivo \( a^{ b^{c} } = a^{d} \) donde \( d = b^{c} \), se cumple:
    \[ x^{x} y = x^{ x^{x} } \]
  4. Despejando \( y \):
    \[ y = \frac{ x^{ x^{x} } }{ x^{x} } \]
  5. Por el teorema \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{ n-m } \) finalmente logramos:
    \[ \boxed{ \Large{ y = x^{ x^{x} – x } } } \]

Ejercicio 38

Determinar el valor de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{C} = \frac{ \left ( 6^{5^{x-2}} \right )^{ {15}^{2-x} } \cdot9^{3^{2-x} } }{ 3^{ 3^{3-x} } \cdot2^{ 3^{2-x} } } \]

Solución:

  1. Por la propiedad \( (a^n)^m = a^{nm} \) y teniendo en cuenta que \( 15 = 3 \cdot 5 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \) y \( 4-2x = 2(2-x) \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{ ( 3 \cdot 2 )^{5^{x-2} \cdot{ 3 \cdot 5 }^{2-x}} \cdot ( 3^2 )^{3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x}} \cdot2^{3^{2-x}}} \]
  2. Por las propiedades \( (ab)^{x} = a^{x} b^{x} \) y \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \), tenemos:
    \[ \mathrm{C} = \frac{ \left ( 3 \cdot 2 \right )^{5^{x-2} \cdot 3^{2-x} \cdot 5^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x }} \cdot 2^{3^{2-x}}} \]
  3. Ordenando los exponentes de la base \( 3 \cdot 2 \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{ \left (3 \cdot 2 \right )^{(5^{x-2} \cdot5^{2-x}) \cdot 3^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot3^{2-x}}}{3^{3^{ 3-x }} \cdot 2^{3^{2-x}}} \]
  4. Por el teorema \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{ \left( 3 \cdot 2 \right)^{5^{x-2+2-x} \cdot3^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot3^{2-x}}}{3^{3^{ 2 \left( 2- x \right )}} \cdot 2^{3^{2-x}}} \\ & = \frac{ \left ( 3 \cdot 2 \right )^{ \overbrace{ 5^0 }^{ 1 } \cdot 3^{2-x}} \cdot 3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{ 3^{3^{ 2 \left (2- x \right )}} \cdot 2^{ 3^{ 2-x}}} \\ & = \frac{ \left ( 3 \cdot 2 \right )^{3^{2-x}} \cdot3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{ 3^{ 3^{3-x}} \cdot 2^{3^{2-x}}} \end{align} \]
  5. Por el teorema \( (a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{3^{3^{2-x}} \cdot 2^{3^{2-x}} \cdot 3^{ 2 \cdot 3^{2-x}}}{ 3^{3^{3-x}} \cdot 2^{3^{2-x}}} \]
  6. Ordenando y por las propiedades \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \) y simplificando \( 2^{ 3^{2-x} } \):
    \[ \require{cancel} \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{3^{3^{2-x}} \cdot 3^{ 2 \cdot 3^{2-x}} \cancel{ \cdot 2^{3^{2-x}} } }{3^{3^{3-x}} \cancel{ \cdot2^{3^{2-x}} } } \\ & = \frac{3^{3^{2-x}+2 \cdot 3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}} } \\ & = \frac{3^{3 \cdot 3^{2-x}}}{3^{3^{3-x}}} \end{align} \]
  7. Finalmente, aplicando la propiedad \( a^{n} \cdot a^{ m } = a^{n+m} \), obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{3^{3^{1+2-x}}}{3^{3^{3-x}}} \\ & = \frac{3^{3^{3-x}}}{3^{3^{3-x}}} \\ & \mathrm{C} = \boxed{ \Large{ 1 } } \end{align} \]

Ejercicio 39

Si \( 1 < a < 11 \), calcular la siguiente multiplicación:

\[ \mathrm{H} = \underbrace{ a \cdot a \cdot a … a }_{ \frac{a}{2} + \frac{a}{3} \ \text{veces} } \]


Solución:

La expresión de la forma \( a \cdot a \cdot a … a \) solo esta definido para exponente natural, esto significa que \( \frac{ a }{2} + \frac{ a }{3} \) es un número natural ya que indica cuántas veces debe multiplicarse el factor \( a \).

Para que sea \( \frac{ a }{2} + \frac{ a }{3} \) natural, significa que \( a \) es múltiplo de \( 2 \) y \( 3 \), pero como \( a \) se encuentra entre \( 1 \) y \( 11 \), el único valor aceptable es \( a=6 \), entonces se cumple lo siguiente:

\[ \begin{align} \mathrm{H} & = \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 … 6 }_{ \frac{6}{2} + \frac{6}{3} \ \text{veces} } \\ & = \underbrace{ 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 }_{ 5 \ \text{veces} } = \begin{array}{ | c | } \hline \large{ 46656 } \\ \hline \end{array} \end{align} \]


Ejercicio 40

Calcular el valor de \( a+b \) si se cumple la siguiente relación:

\[ 6^{2} + 8^{2} + 25^2 = a^2+b^2 \]

Donde \( a \) y \( b \) son enteros positivos. (Ayuda: use los números pitagóricos)


Solución:

  1. Haciendo \( 6^{2} = ( 3 \cdot 2 )^2 = 3^{2} \cdot 2^{2} \), \( 8^{2} = ( 4 \cdot 2 )^{2} = 4^{2} \cdot 2^{2} \) y \( 25^2 = 24^2 + 7^2 \) (ver tabla de números pitagóricos), tenemos:
    \[ 3^{2} \cdot 2^{2} + 4^{2} \cdot 2^{2} + 24^{2} + 7^{2} = a^{2} +b^{2} \]
  2. Factorizando \( 2^{2} \):
    \[ 2^{2} ( 3^2 + 4^2 ) + 24^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  3. Como \( 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} \) por ser números pitagóricos y hacemos \( 24^{2} = ( 2 \cdot 12 )^{2} = 2^{2} \cdot 12^{2} \):
    \[ 2^{2} \cdot 5^{2} + 2^{2} \cdot 12^{2} +7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  4. Volviendo a factorizar \( 2^{2} \):
    \[ 2^{2} ( 5^{2} + 12^{2} ) +7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  5. De la tabla de números pitagóricos encontramos que \( 5^{2} + 12^{2} = 13^{2} \):
    \[ 2^{2} \cdot 13^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  6. Como \( 2^{2} \cdot 13^{2} = ( 2 \cdot 13 )^{2} = 26^{2} \), resulta:
    \[ 26^{2} + 7^{2} = a^{2} + b^{2} \]
  7. Como solo nos pide calcular la suma de \( a \) y \( b \), no importa si \( a=7 \), \( b=26 \) ó \( a=26 \), \( b=7 \) ya que la suma siempre es conmutativa, por tanto, la suma es:
    \[ a+b = 26+7 = 7+26= \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ 33 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 41

Comencemos con un ejercicio sencillo. Reducir el siguiente ejercicio:

\[ \mathrm{A} = ( \frac{ \sqrt[ a^2 ]{ x \cdot \sqrt[ a^2 ]{ x \cdot \sqrt[ a^2 ]{x} } } }{ \sqrt[ a^2 ]{ x \cdot \sqrt[ a^{4} ]{ x } } } )^{ a^6 } \]

Solución:

  1. Para hacerlo más sencillo, lo pasaremos en su forma exponencial, por definición de radicación \( \sqrt[n]{a} = a^{ \frac{1}{n} } \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = ( \frac{ ( x ( x ( x )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{ ( x ( x )^{ \frac{1}{a^4} } )^{ \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \\ & = ( \frac{ ( x ( x \cdot x^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{ ( x \cdot x^{ \frac{1}{a^4} } )^{ \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  2. Por la propiedad \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \):
    \[ \mathrm{A} = ( \frac{ ( x ( x^{ \frac{1}{a^2} +1 } )^{ \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{ ( x^{ \frac{1}{a^4} + 1 } )^{ \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} }  \]
  3. Por la propiedad de potencia de potencia \( ( a^n )^m = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = ( \frac{ ( x \cdot x^{ ( \frac{1}{a^2} +1 ) \frac{1}{a^2} } )^{ \frac{1}{a^2} } }{  x^{ ( \frac{1}{a^4} + 1 ) \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \\ & = ( \frac{ ( x \cdot x^{ \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^2}  } )^{ \frac{1}{a^2} } }{  x^{  \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^2}  } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  4. Por los teoremas \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \) y \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = ( \frac{ ( x^{ \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^2} + 1 } )^{ \frac{1}{a^2} } }{  x^{  \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^2}  } } )^{ a^{6} } \\ & = ( \frac{ x^{ \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^4} + \frac{1}{a^2} } }{ x^{ \frac{1}{a^6} + \frac{1}{a^2} } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  5. Por la propiedad de cociente de potencias \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \) y simplificando exponentes:
    \[ \require{cancel} \begin{align} \mathrm{A} & = ( x^{ \cancel{ \frac{1}{a^6} } + \frac{1}{a^4} + \cancel{ \frac{1}{a^2} } – \cancel{ \frac{1}{a^6} } – \cancel{ \frac{1}{a^2} } } )^{a^6} \\ & = ( x^{ \frac{1}{ a^{4} } } )^{ a^{6} } \end{align} \]
  6. Por el teorema de potencia de potencia \( ( a^{n} )^{m} \), finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = x^{ \frac{a^{6}}{a^{4}} } \\ & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x^{ a^{2} } } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 42

Reducir la siguiente expresión:

\[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 9^{3n+8} + 2^{3n+11} \cdot 3^{6n+14} } } \]

Solución:


  1. El factor \( 9^{3n+8} \) lo podemos escribir como \( 9^{3n+8} = ( 3^{2} )^{3n+8} = 3^{ 2(3n+8) } = 3^{ 6n+16 } \), reemplazando en \( \mathrm{B} \):
    \[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 3^{ 6n+16 } + 2^{3n+11} \cdot 3^{6n+14} } } \]
  2. Si hacemos \( 3^{ 6n+16 } = 3^{ 6n+14+2 } = 3^{6n+14} \cdot 3^2 \) y \( 2^{3n+11} = 2^{3n+7+4} = 2^{3n+7} \cdot 2^4 \), tenemos:
    \[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} \cdot 3^2 + 2^{3n+7} \cdot 2^4 \cdot 3^{6n+14} } } \]
  3. Factorizando \( 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} \):
    \[ \mathrm{B} = \sqrt[3n+7]{ \frac{25}{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} ( 3^2 + \cdot 2^4 ) } } \]
  4. Como \( 3^2 + 2^4 = 25 \), entonces:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \sqrt[3n+7]{ \frac{ \cancel{25} }{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} \cdot \cancel{25} } } \\ & = \sqrt[3n+7]{ \frac{ 1 }{ 2^{3n+7} \cdot 3^{6n+14} } } \end{align} \]
  5. Como \( 3^{6n+14} = 3^{ 2(3n+7) } = ( 3^{2} )^{3n+7} = 9^{3n+7} \) y por la propiedad de raíz de un cociente \( \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } = \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & = \frac{ \sqrt[3n+7]{1} }{ \sqrt[3n+7]{ 2^{3n+7} \cdot 9^{3n+7} } } \\ & =  \frac{ 1 }{ \sqrt[3n+7]{ 2^{3n+7} \cdot 9^{3n+7} } } \end{align} \]
  6. Por la propiedad de raíz de un producto \( \sqrt[x]{ab} = \sqrt[x]{a} \cdot \sqrt[x]{b} \) y simplificando, logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{B} & =  \frac{ 1 }{ \sqrt[  3n+7 ]{ 2^{ 3n+7 } } \cdot \sqrt[ 3n+7 ]{ 9^{ 3n+7 } } } \\ & = \frac{1}{ 2 \cdot 9 } = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \frac{1}{18} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 43

Si \( abc=3 \), calcular el valor numérico de la siguiente expresión:

\[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ 3^{n} + b^{2n} c^{n} + b^{n} c^{2n} }{ 3^{-n} + a^{-2n} b^{-n} + a^{-2n} c^{-n} } } \]

Solución:

  1. Por dato del ejercicio, remplazaremos el número \( 3 \) por las variables \( abc \) en \( \mathrm{C} \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ (abc)^{n} + b^{2n} c^{n} + b^{n} c^{2n} }{ (abc)^{-n} + a^{-2n} b^{-n} + a^{-2n} c^{-n} } } \]
  2. Por la propiedad de la potencia de un producto \( (xy)^{m} = x^{m} y^{m} \):
    \[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} b^{n} c^{n} + b^{2n} c^{n} + b^{n} c^{2n} }{ a^{-n} b^{-n} c^{-n} + a^{-2n} b^{-n} + a^{-2n} c^{-n} } } \]
  3. Factorizando \( b^{n} c^{n} \) y \( a^{-n} \) en el numerador y denominador respectivamente en el radicando:
    \[ \mathrm{C} = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ b^{n} c^{n} ( a^{n} + b^{n} + c^{n} ) }{ a^{-n} ( b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} ) } } \]
  4. Sabiendo que \( \frac{1}{ a^{-n} } = ( a^{-n} )^{-1} = a^{n} \) y por la propiedad de la raíz de un producto \( \sqrt[m]{ xy } = \sqrt[m]{ x } \sqrt[m]{y} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} b^{n} c^{n} ( a^{n} + b^{n} + c^{n} ) }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \\ & = \frac{1}{abc} \sqrt[n]{ a^{n} } \sqrt[n]{ b^{n} } \sqrt[n]{ c^{n} } \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} + b^{n} + c^{n} }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \\ & = \frac{1}{ \cancel{abc} } \cdot \cancel{abc} \cdot \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} + b^{n} + c^{n} }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \\ & = \sqrt[n]{ \frac{ a^{n} + b^{n} + c^{n} }{ b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n} } } \end{align} \]
  5. Para reducir operaciones innecesarias, vamos a multiplicar el factor \( a^n b^n c^n \) en el numerador y denominador en el radicando y simplificando:
    \[ \begin{align} \mathrm{C} & = \sqrt[n]{ \frac{ (a^{n} + b^{n} + c^{n}) a^{n} b^{n} c^{n} }{ (b^{-n} c^{-n} + a^{-n} b^{-n} + a^{-n} c^{-n}) a^{n} b^{n} c^{n} } } \\ & = \sqrt[n]{ \frac{ (a^{n} + b^{n} + c^{n}) a^{n} b^{n} c^{n} }{ \cancel{ b^{-n} } \cancel{ c^{-n} } a^{n} \cancel{ b^{n} } \cancel{ c^{n} } + \cancel{ a^{-n} } \cancel{ b^{-n} } \cancel{ a^{n} } \cancel{ b^{n} } c^{n} + \cancel{ a^{-n} } \cancel{ c^{-n} } \cancel{ a^{n} } b^{n} \cancel{ c^{n} } } } \\ & = \sqrt[n]{ \frac{ ( \cancel{ a^{n} + b^{n} + c^{n} } ) a^{n} b^{n} c^{n} }{ \cancel{ a^{n} +b^{n} + c^{n} } } } \\ & = \sqrt[n]{ a^{n} b^{n} c^{n} } \\ & = abc \end{align} \]
  6. Por dato \( abc=3 \), finalmente logramos resolver el valor de \( \mathrm{C} \):
    \[ \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \mathrm{C} = 3 } \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 44

Simplificar la siguiente expresión

\[ \mathrm{D} = \frac{ \sqrt[a-b+c]{ 25^{5a+2b} } + 15 \cdot \sqrt[a-b+c]{ 25^{ 4a + 3b – c } } + 75 \cdot \sqrt[a-b+c]{ 5^{7a+7b+c} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a+5b-c} } } \]

Solución:

  1. Separando la expresión en sumandos:
    \[ \mathrm{D} = \frac{ \sqrt[a-b+c]{ 25^{5a+2b} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a+5b-c} } } + \frac{ 15 \sqrt[a-b+c]{ 25^{4a+3b-c} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a + 5b – c} } } + \frac{ 75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{7a+7b+c} } }{ \sqrt[a-b+c]{ 5^{9a+5b-c} } } \]
  2. Como \( 25 = 5^{2} \) y por la propiedades de raíz de un cociente \( \frac{ \sqrt[n]{a} }{ \sqrt[n]{b} } = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } \) y potencia de potencia \( ( x^{n} )^{m} = x^{nm} \) aplicado en el valor \( 5^{2} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{D} & = \sqrt[a-b+c]{ \frac{ (5^{2})^{5a+2b} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 15 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ (5^{2})^{4a+3b-c} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 75 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{ 7a+7b+c } }{ 5^{9a+5b-c} } } \\ & = \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{10a+4b} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 15 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{8a+6b-2c} }{ 5^{9a+5b-c} } } + 75 \cdot \sqrt[a-b+c]{ \frac{ 5^{ 7a+7b+c } }{ 5^{9a+5b-c} } } \end{align} \]
  3. Por la propiedad cociente de potencias \( \frac{ a^{n} }{ a^{m} } = a^{n-m} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{D} & = \sqrt[a-b+c]{ 5^{ 10a + 4b – 9a – 5b +c } } + 15 \sqrt[a-b+c]{ 5^{8a+6b-2c -9a -5b+c} } + 75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{7a+7b+c -9a-5b+c} } \\ & = \sqrt[a-b+c]{ 5^{a-b+c} } + 15 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -a+b-c } } + 75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -2a + 2b + 2c } } \\ & = \sqrt[a-b+c]{ 5^{a-b+c} } + 15 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -1(a-b+c) } } +75 \sqrt[a-b+c]{ 5^{ -2(a-b+c) } } \end{align} \]
  4. Simplificando el índice y el exponente \( a-b+c \), finalmente obtenemos el resultado deseado:
    \[ \begin{align} \mathrm{D} & = 5 + 15 \cdot 5^{-1} + 75 \cdot 5^{-2} \\ & = 5 + 15 \cdot \frac{1}{5} + 75 \cdot \frac{1}{ 5^{2} } \\ & = 5 + \frac{15}{5} + \frac{75}{25} \\ & = 5 + 3 + 3 = \begin{array}{ | c | } \hline 11 \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 45

Reducir la siguiente expresión:


\[ \require{cancel} \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^4 \cdot \sqrt{x^5}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]

Solución:

  1. Como \( x^{4} = \sqrt{ x^{ 4 \cdot 2 } } = \sqrt{ x^{8} } \), entonces:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{8} } \cdot \sqrt{x^5}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  2. Por la propiedad \( \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{y} = \sqrt[a]{xy} \), resulta:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{8} \cdot x^{5}}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  3. Por el teorema \( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{8+5}}}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[3]{ \sqrt{ x^{13} }}}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  4. Por la propiedad de raíz de raíz \( \sqrt[n]{ \sqrt[m]{a} } = \sqrt[nm]{a} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt[ 3 \cdot 2 ]{  x^{13} }}} }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ x^3 \cdot \sqrt[6]{  x^{13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  5. Como \( x^{3} = \sqrt[6]{ x^{ 3 \cdot 6 } } = \sqrt[6]{ x^{18} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{18} } \cdot \sqrt[6]{  x^{13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  6. De nuevo por la propiedad \( \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{y} = \sqrt[a]{xy} \):
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{18} \cdot x^{13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{18+13} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{31} } } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  7. Como \( \sqrt[4]{ \sqrt[6]{ x^{31} } } = \sqrt[ 4 \cdot  6 ]{ x^{31} } = \sqrt[24]{ x^{31} } \), tenemos:
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{x^2 \cdot \sqrt[24]{ x^{31} } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  8. Haciendo \( x^{2} = \sqrt[ 24 ]{ x^{ 2 \cdot 24 } } = \sqrt[24]{ x^{48} } \):
    \[ \mathrm{A} = \frac{ \sqrt[5]{ \sqrt[24]{ x^{48} } \cdot \sqrt[24]{ x^{31} } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \]
  9. Como \( \sqrt[24]{ x^{48} } \cdot \sqrt[24]{ x^{31} } = \sqrt[24]{ x^{48} \cdot x^{31} } = \sqrt[24]{ x^{48+31} } = \sqrt[24]{ x^{79} } \):
    \[ \begin{align} \frac{ \sqrt[5]{ \sqrt[24]{ x^{79} } } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } & = \frac{ \sqrt[ 5 \cdot 24 ]{ x^{79} } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \frac{ \sqrt[120]{ x^{79} } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \end{align} \]
  10. Por la propiedad \( \frac{ \sqrt[n]{x} }{ \sqrt[n]{y} } = \sqrt[n]{ \frac{x}{y} } \), finalmente logramos obtener:
    \[ \begin{align} \mathrm{A} & = \frac{ \sqrt[120]{ x^{79} } }{ \sqrt[120]{ x^{19} } } \\ & = \sqrt[120]{ \frac{ x^{79} }{ x^{19} } } \\ & = \sqrt[ 120 ]{ x^{79-19} } \\ & = \sqrt[120]{ x^{60} } \\ \mathrm{A} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ \sqrt{x} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 46

Simplifique la siguiente expresión:

\[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot \sqrt{ x \sqrt{2}} \cdot \sqrt{x \sqrt{3}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{4}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{5}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{6}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{7}} \cdot \sqrt{ x \sqrt{8}} }{ \sqrt[4]{ 70 \cdot 18 \cdot 32 } x^{ \frac{5}{2} } } \]

Solución:

  1. Para reducir cálculos y no hacerla tan larga como en caso anterior, pasaremos todos los radicales a exponentes de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot ( x \cdot 2^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 3^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 4^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 5^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 6^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 7^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } \cdot ( x \cdot 8^{ \frac{1}{2} } )^{ \frac{1}{2} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \]
  2. Por las propiedades \( ( ab )^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \) y \( ( a^{n} )^{m} = a^{nm} \), tenemos:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 3^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 4^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 5^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 6^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 7^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 8^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \]
  3. Ordenando factores según la propiedad asociativa de la multiplicación, resulta:
    \[ \mathrm{E} = \frac{ x \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{1}{4} } \cdot 3^{ \frac{1}{4} } \cdot 4^{ \frac{1}{4} } \cdot 5^{ \frac{1}{4} } \cdot 6^{ \frac{1}{4} } \cdot 7^{ \frac{1}{4} } \cdot 8^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \]
  4. Por las propiedades \( a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \) y \( a^{n} \cdot b^{n} = (ab)^{n} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ x^{ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} } \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot  6 \cdot 7 \cdot 8 )^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \\ & = \frac{ x^{ \frac{9}{2} } \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 )^{ \frac{1}{4} } }{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \end{align} \]
  5. Tenga en cuenta que es fácil comprobar que \( 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 70 \cdot 18 \cdot 32 \), Finalmente obtenemos:
    \[ \begin{align} \mathrm{E} & = \frac{ \cancel{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } } \cdot x^{ \frac{9}{2} } }{ \cancel{ ( 70 \cdot 18 \cdot 32 )^{ \frac{1}{4} } } \cdot x^{ \frac{5}{2} } } \\ & = \frac{ x^{ \frac{9}{2} } }{ x^{ \frac{5}{2} } } \\ & = x^{ \frac{9}{2} – \frac{5}{2} } \\ & = x^{ \frac{4}{2} } \\ \mathrm{E} & = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{ x^{2} } \\ \hline \end{array} \end{align} \]

Ejercicio 47

Simplifique a lo mas mínimo la siguiente expresión:

\[ \mathrm{S} = ( \sqrt[ 81^{ 3^{n} } ]{ \sqrt[3]{ 216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } } )^{ 3^{ 3^{n} } } \]


Solución:

  1. Este ejercicio es rápido, por la propiedad \( \sqrt[n]{ \sqrt[m]{x} } = \sqrt[nm]{x} \) y sabiendo que \( 81 = 3^{4} \):
    \[ \mathrm{S} = ( \sqrt[ ( 3^{4} )^{ 3^{n} } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } )^{ 3^{ 3^{n} } } \]
  2. Tener en cuenta que \( ( a^{n} )^{m} = ( a^{m} )^{n} \) aplicado al indice de la raíz:
    \[ \mathrm{S} = ( \sqrt[ ( 3^{ 3^{n} } )^{ 4 } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } )^{ 3^{ 3^{n} } } \]
  3. Simplificando índice y exponente según la propiedad \( { \sqrt[nk]{a} }^{mk} = { \sqrt[n]{a} }^{m} \):
    \[ \mathrm{S} = \sqrt[ ( 3^{ 3^{n} } )^{ 3 } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } \]
    Note que se ha simplificado el factor \( 3^{ 3^{n} } \) en el indice y en el exponente.
  4. Como \( ( 3^{ 3^{n} } )^{ 3 } = 3^{ 3^{n} \cdot 3 } = 3^{ 3^{n+1} }  \), resulta:
    \[ \mathrm{S} = \sqrt[ 3^{ 3^{n+1} } \cdot 3 ]{  216^{ 3^{ 3^{n+1} } } } \]
  5. Simplificando \( 3^{ 3^{n+1} } \) en el índice y en el exponente del radicando, finalmente logramos obtener lo siguiente:
    \[ \mathrm{S} = \sqrt[3]{ 216 } = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{6} \\ \hline \end{array} \]

Ejercicio 48

Simplificar la siguiente expresión:

\[ \mathrm{U} = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[ 5n+1 ]{4} \cdot \sqrt[ 5n-1 ]{ 2^{-1} } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \]

Solución:

  1. Intentaremos que esta expresión se exprese en un mismo radicando, aplicaremos la propiedad \( \sqrt[n]{ a^{m} } = \sqrt[nk]{ a^{mk} } \) de la siguiente manera:
    \[ \mathrm{U} = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[ (5n+1)( \color{red}{ 5n-1 } ) ]{ 4^{ \color{red}{5n-1} } } \cdot \sqrt[ (5n-1)( \color{green}{5n+1} ) ]{ 2^{ -1( \color{green}{5n+1} ) } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \]
  2. Por propiedad de diferencia de cuadrados estudiado en el curso de productos notables que nos dice \( (a+b)(a-b) = a^{2} – b^{2} \), tenemos:
    \[ \mathrm{U} = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ 4^{ 5n-1 } } \cdot \sqrt[ (5n)^{2} – 1^{2} ]{ 2^{ -5n-1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \]
  3. Por la propiedad \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \) y ademas \( 4 = 2^{2} \), resulta:
    \[ \begin{align} \mathrm{U} & = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ ( 2^{2} )^{ 5n-1 } \cdot 2^{ -5n-1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \\ & = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ 2^{ 10n-2 } \cdot 2^{ -5n-1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \\ & = ( \sqrt[ 10n-6 ]{ \sqrt[(5n)^{2} – 1^{2} ]{ 2^{ 10n-2 – 5n – 1 } } } )^{ 8( 25n^{2}-1 ) } \\ & = ( \sqrt[ 2( \color{red}{5n-3} ) ]{ \sqrt[ \color{blue}{25n^{2} – 1} ]{ 2^{ \color{red}{5n-3} } } } )^{ 8( \color{blue}{25n^{2}-1} ) } \end{align} \]
  4. Simplificando, finalmente logramos:
    \[ \mathrm{U} = { \sqrt{2} }^{8} = 2^{4} = \begin{array}{ | c | } \hline \Large{16} \\ \hline \end{array} \]

Ahora subiremos el nivel, los siguientes ejercicios tiene una dificultad intermedia, espero que te encante porque son un total de 25 ejercicios de nivel intermedio y se que lo disfrutarás, te veo en dicha sección.

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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
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Ejercicios resueltos de potenciación y radicación
Descripción
Presentamos un total de 73 ejercicios resueltos tanto de potenciación como de radicación, estos ejercicios son útiles para lograr la destreza al uso de las propiedades de las leyes de exponentes.
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35 comentarios en “4. Ejercicios resueltos de potenciación y radicación”

  1. Hola, tengo una duda en el ejercicio 51, en la segunda ecuación base 3, al simplificar se agrega Y en los dos lados de la ecuación, en el caso de X la Y elimina al denominador Y, pero en el otro lado Y denominador no se puede eliminar sin embargo pasa el texto como si le haya hecho.

    1. Sergio Cohaguila

      Hola Livic, te explico, lo que pasa es que debes tener en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación \( c(a+b) = ca + cb \), en este caso para la ecuación «II» \( c = y \), \( a = 1 \) y \( b = \frac{2 – 2y}{y} \), resultando lo siguiente: \( y \cdot 1 + y \cdot \frac{2 – 2y}{y} \). Si te fijas bien, aquí ya se puede cancelar el valor de \( y \) en el expresión \( y( \frac{2 – 2y}{y} ) = 2- 2y \), finalmente se realiza las operaciones de suma y resta y la ecuación queda completamente resuelta. Espero haber logrado despejar tus dudas. Gracias por tus comentarios, saludos.

  2. Gracias Profesor, si tengo mas preguntas,en el ejercicio 84 nivel avanzado,en 7. binomio 3+2. raiz 2 se eleva al 2. un cuarto y desarrolla el binomio de la forma a cuadrado + 2 ab+ b cuadrado pero me parece que al desarrollar (3+2.raiz 2)al cuadrado deberia ser 3“2 + 2( 3. 2. raiz 2) +( 2. raiz2)al cuadrado en su respuesta sale 9+ 6. raiz de 2+ 8 = 17+6. raiz2, pero deberia ser 17+ 12. raiz de 2, porque 2ab en este caso es 2. 3. 2 raiz 2 y es igual a 12 raiz de 2 no entiendo porque el 6raiz de 2?

    1. Sergio Cohaguila

      Livic, tienes razón, voy a corregir todo ese fragmento, dame tiempo primero para responderte el resto de los mensajes que aun no te respondo, gracias por la observación….en ese caso tendría que corregir todo el ejercicio…., bueno, una parte para que se acomode a los resultados. Que te valla bien y cualquier observación hazme saber, gracias.
      PD: Pronto responder; el resto de tus comentarios.

  3. Profesor otra pregunta que tengo dudas, ejercicio 55, sumas sucesivas, estoy familiarizada con la suma de Gauss y demas N,pares, impares, etc pero este ejercicio de suma sucesivas en radizacion no lo comprendo del todo, supongo es diferente formula a la de numero naturales.
    m=1 y de alli m=2 hasta llegar a n^m entonces vemos una secuencia de 1/n que se incrementa pero al momento de sumar y resolver la formula

    Sm= ( 1/n +1/n^2 + 1/n^3…..1/n^m) se factoriza 1/n y esto deja con un termino menos y por eso queda 1/n^m-1 pero porque luego agrega ese termino (+1/n – 1/n)ambos se eliminan para no afectar la ecuacion pero es decir volvemos a introducir el termino 1/n que hemos factorizado y ahora tenemos ademas el – 1/n .
    Sm=1/n(1 +Sm – 1/n) del Sm
    Gauss= 1 + 2 +3…+n = n(n+1)/2 entiendo esta suma de primeros numeros naturales porque para obtener el resultado de todas las sumas, se duplica el numero de numeros sucesivos y se divide por 2 porque es como multiplicar base por altura en un rectangulo, pero no entiendo como seria una suma sucesiva en radicacion.

      1. Sergio Cohaguila

        Lo puedes encontrar en un libro de matemática básica de Figueroa, en tema de «sumatorias» o «inducción matemática», pero tiene que ver con suma de series o algo por el estilo, no recuerdo bien el titulo, pero la propiedad está ahí con una serie de ejercicios. Tambien lo puedes encontrar en un libro llamado Análisis Matemático de Haaser, creo que el primer volumen en inducción matemática. Ahí puedes encontrar dicha propiedad con sus propiedades.

    1. Sergio Cohaguila

      Hay varias ecuaciones en series de potencias negativas que se pruebas así, le agregas un termino (el mismo ultimo termino antes de factorizar) y le restas el mismo termino, osea el objetivo es buscar siempre una serie igual a la serie iniciar que quieres simplificar. La formula de las primeras sumas de los números naturales naturalmente es sencillo porque puedes tomar: \( \mathrm{S} = 1 + 2 + 3 \cdots +n \) con \( n \) y está colocado de menor a mayor y le vuelves a sumar la misma suma pero de mayor a menor \( \mathrm{S} = {n + n-1 + n-2 + \cdots + 1 \) con \( n \) términos porque es la misma suma. El resultado que obtienes es \(
      2 \mathrm{S} = (1 + n) + (2 + n – 1) + (3 + n-2) + \cdots + (n+1) \), resultando \( 2 \mathrm{S} = (1+n) + (1+n) + (1+n) + \cdots (1+n) \) y también con \( n \) agrupaciones y finalmente obtienes \( 2 \mathrm{S} = n(n+1) \) y bueno, ya sabes cual es el resultado final. En el fondo es suma bases con potencias negativas.

    2. Sergio Cohaguila

      Si existe una manera, la propiedad telescopio en una de sus formas dice \[ \sum_{i=k}^{q} [ f(i) – f(i+1) ] = f(k) – f(q+1) \]. En este caso tenemos \( \mathrm{T}_{i} = \frac{1}{ n^{i} } \) donde quieres calcular la suma \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \) que representa esa serie de potencias negativas. Por la propiedad telescopio, haces lo siguiente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} = \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), si resuelves o reduces \( \frac{1}{n^{1}} – \frac{1}{ n^{m+1} } \), sale \( \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), entonces \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} – \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \). Aquí viene la magia, mira lo que voy hacer, usando las propiedades elementales de sumatorias, \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i+1} } ] = \frac{ n^{m} – 1 }{ n^{m+1} } \), como el termino con su signo negativo a continuación del miembro izquierdo se puede escribir de la siguiente manera: \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i+1}} ] = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] \). En la ecuación anterior queda \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] – \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{ n^{m} -1 }{ n^{m+1} } \). Factorizando la sumatoria, resulta: \( ( 1 – \frac{1}{n} ) \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m+1}} \), resolviendo \( \frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m} – 1}{n^{m+1}} \), finalmente \( \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{n^{i}} ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). Recuerda que la serie que querías calcular es \( \mathrm{S}_{m} = \sum_{i=1}^{m} [ \frac{1}{ n^{i} } ] = \frac{n^{m}-1}{n^{m} (n-1)} \). De esta manera te demuestro que el resultado es lo mismo con la serie telescópica.

      1. Gracias profesor he estado leyendo mas sobre Sumatorias, y una duda que casi nadie menciona, por ejemplo en la suma Sigma de los primeros números naturales para sacar la formula se pone un binomio al cuadrado, por que? de una suma 1+2+3+…+n hay que poner un binomio (n+1)al cuadrado _ n al cuadrado , etc es como si se tuviera que extender otra dimension a la suma que se busca la formula.

        1. Sergio Cohaguila

          La cosa es que se intenta buscar \( f(i+1) – f(i) = i \), si usas potencias cubicas o cuartas o potencias negativas, es mas complejo que solo usar potencias cuadradas, si usas potencias igual a la unidad quedaría así \( i+1 – i = 1 \neq i \) y no tiene sentido….. porque estas asumiendo \( i \) es variable y cambia con valores enteros de \( 1 \) a \( n \) donde \( n, i \in \mathbb{Z}^+ \), es decir que pertenece a los enteros positivos. En otras palabras, la telescopio funciona cuando por descarte.

          1. Gracias profesor, por ahora entiendo y he realizado las potencias al cubo, a la cuarta, impares, pares, con la propiedad telescópica, espero usted haga un curso sobre este tema también.

            Saludos

          2. Sergio Cohaguila

            Si, tengo que hacerlo, solo que estoy en trabajos de diseño web, pero bueno, el tema de la telescopio lo haré cuando me centre en la teoría elemental de sucesiones y series. Todo lo relacionado a series es un tema relativamente extenso. De hecho, si hablamos por ejemplo sobre teoría de exponentes, es un tema exageradamente extenso, solo mira el resumen de Wikipedia sobre «Exponenciacion» (no confundir con potenciación) tal cual, es exageradamente extenso porque ya entra temas mas complejos y muy abstractos de la matemática, solo leyendo su definición en wiki ya es para romperse la cabeza jaja. Cuando llegue a ese tema de sumatorias, probaré todas las propiedades incluida las dos versiones de la telescopio, lo estaré desarrollando bien bonito, y nada más, que te valla todo bien y gracias por tus mensajes, saludos.

    3. Sergio Cohaguila

      Por ultimo, ten en cuenta que cuando incrementa \( m \) para un valor numérico de \( n \) mayor a 1, \( n^{m} \) incrementa, pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) se hace mas pequeño, si \( n \) disminuye en valor diferente de los negativos, el valor de \( n^{m} \) decrece pero \( \frac{1}{ n^{m} } \) incrementa.

        1. Sergio Cohaguila

          Gracias Livic, aun mi sitio presenta fallas por ejemplo tengo que corregir unas teorías en una de las secciones de expresiones matemáticas, desde hace más de un año que no he tocado el sitio web, pero hace días si quiera estoy escribiendo (realmente corrigiendo un grave problema que tuve con la primera sección de «proposiciones» de un tema de lógica elemental) un tema y para comenzar luego otros, por el momento tengo que terminar todo lo relacionado expresiones matemáticas y previamente corregir algunos anteriores…. Espero terminar todo lo que es álgebra elemental, luego pasaré a otros cursos avanzados de álgebra. Que tengas un buen día, bye.

  4. Saludos Profesor, tengo una duda porque para encontrar la formula de la Suma de los primeros n términos de una serie Geométrica se realiza restando la primera Sm – Sm multiplicada por razón,(Sm – Sm.r) y porque en la serie Aritmética es lo contrario se suman ambas para encontrar la formula (Sm + Sm)? hasta ahora he leído varios libros y ninguno explica el porque.

    1. Sergio Cohaguila

      Cuando demuestras una propiedad, tiene una forma definida, no es que inventes la formula y por eso tienen esa forma… no se si habas visto la prueba de los n primeros términos geométricos y aritméticos, es decir, la formula que me has presentado. es sencilla de probar.

  5. Sm – Sm.r = a. ( 1- r^n) En la progresión serie geométrica finita, mi duda es
    (1 – r) bajo que razón se resta y no suma para llegar a esta
    formula.
    Sm= a.r^o + a.r^1 + a.r^2……..a.r^n-1
    Sm.r= a.r^1 + a.r^2 + a.r^3……..a.r^n
    Cuando vi este proceso mi primera impresión era la de sumar ambos para llegar a la formula, supongo pensé era lo mismo que la serie Aritméticas.

    1. Sergio Cohaguila

      De hecho, si se puede sumar, sumemos \( S_{m} + S_{m} r = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} + ar^{n} \) … (X), el punto es que si vez una serie nueva, debes buscar una variable que sea igual a \( S_{m} \), multiplica esta serie por 2, resulta: \( 2S_{m} = 2ar^{0} + \cdots + 2ar^{n-1} \), pero también se puede escribir así \( 2S_{m} – ar^{0} = ar^{0} + 2ar^{1} + \cdots + 2ar^{n-1} \), esta serie no se parece una fragmento de la formula (X)?, osea reemplazando, obtienes \( S_{m} – S_{m} r = 2S_{m} – ar^{0} + ar^{n} \), operando llegas a un mismo resultado.

  6. Probar no es problema, sino el razonamiento para llegar a esa formula, la suma indicada representa la suma de todos los términos menos el primero: a.r^2 + a.r^3……..a.r^n-1. la suma de todos los términos de la progresión menos el primero a1.
    y por el otro lado de la igualdad es la suma de todos los términos menos el último an.
    por lo que Sm- a1 = r factor común(Sm – an) , entonces Sm-a1= rSm- ran
    Sm-rSm= a1- an.r
    Sm(r-1)= a1- an.r
    Sm= a1- an.r/ (r-1) entonces la resta viene de que ambas sumas de la igualdad geométrica carecen de un termino entonces el numero 1 es el termino menos de cada suma y la resta viene de que ambas carecen de un termino, es muy diferente a la suma aritmética.

    1. Sergio Cohaguila

      En la multiplicación alteras los términos, en la suma los términos siguen siendo los mismos, el punto es buscar los términos semejantes, al sumar varios términos, no alteas los términos semejantes, pero al multiplicar términos, alteas los términos semejantes, el punto es que cuando trabajas con series, alterar con la multiplicación una igualdad haces que falte y por otro lado sobre un termino, el punto es eliminar esos términos. Por otro lado \( 1-r \) es un factor común de \( a – ar^{n-1} \). Ademas, en la progresión geométrica tiene exponentes números naturales «lineales», es decir, sus exponentes son de la forma \( n = pm+q \), donde \( p \), \( m \) y \( q \) naturales, si fueran cuadráticas, la multiplicación con un factor de la forma \( r^{x} \) ya no tendría sentido, no funciona la misma estrategia \( S_{n} – S_{n} r \), ya no funcionaría.

  7. Gracias por la paciencia profe, ya casi comprendo del todo, entonces al multiplicar la razón a la suma geométrica aumenta el termino primero a1 y el ultimo an, lo que trato de entender es en forma visual, tengo muy claro en el caso de las progresiones aritméticas de los primeros N= n veces por n+1 y dividido entre dos, porque Gauss sumo dos veces la suma y obtuvo el resultado n +1 un por n veces y dividió entre dos porque son los pares para sacar el resultado de la formula, así mismo en forma gráfica es un cuadrado de base n x (n+1), lo que no comprendo del todo en las series geométricas es que no puedes hacer lo mismo, toca multiplicar por r es decir alteras la suma y de allí obtener los términos, restarlos y dividirlo entre 1- razón, trato de visualizar en figuras esta formula general.

    1. Sergio Cohaguila

      En la gráfica de una serie geométrica es una curva y la curva depende de dos puntos, el exponente y la base, pero mas de la base ya que asumimos que los exponentes incrementan en progresión aritmética de 1 en 1 comenzando de 0 (termino independiente), osea exponentes lineales, pero si la base se encuentra entre 0 (sin incluirlo) y 1 ó entre 1 para arriba, la gráfica de una serie geométrica cambia drasticamente, en el primero, la gráfica de la progresión es una curva de base de 0 a 1 disminuye hasta que en el infinito es una constante (mas bien crece pero el crecimiento se va desacelerando hasta que ya deja de crecer), pero si la base es de 1 para arriba, la progresión es una curva que se va hasta el infinito, busca en Google «gráfica de una ecuación geométrica» y verás. En resumen, una aritmética es fácil, su gráfica es lineal, pero una progresión aritmética es una curva y depende de su base, y eso que no hablamos de base negativa……

  8. Claro que las progresiones aritméticas es la suma a1 + la diferencia, en la geométricas es la multiplicación de a1 x la razón tal vez por ese lado debes alterar multiplicando por r las sumas geométricas.

    1. Sergio Cohaguila

      No alteras el orden, alteras los termino del orden, en la aritmética no se altera nada, si le sumas o le quietas un termino, el resto de los términos siguen siendo los mismos en las mismas posiciones.

  9. Series convergentes y divergentes, después de esta formula finita voy a estudiar esas.
    SG
    a2 = a1.r
    a3 = a2.r
    an = an-1.r
    ————————————————–
    a2+a3+a4+……an= a1.r + a2.r +a3.r…..an-1.r
    Sm- a1 = r( a1 + a2. +a3…..an-1.)
    Sm- a1 = r( Sm- an)
    Sm- a1 = Smr- anr Sm-Sm.r= a1- an.r a1 – a1.rn\ 1 -r
    La razón es el factor común de la suma y ambos lados de la igualdad carece de un termino a1= an

    1. Sergio Cohaguila

      Me has hecho acordar a las sucesiones recurrentes como la que mencionas \( a_{n}=ra_{n-1} \), sabes, algo curioso? existe algunos casos donde una sucesiones recurrentes convergentes como este ejemplo \( f(n) = ( 1 + \frac{1}{n} )^n \), para \( n \) entero positivo ocurre que \( f(n) \) es obviamente un racional (que se puede escribir como la division de dos enteros, pero cuando \( n \) es infinito, resulta que \( f(n) \) es un numero irracional, es decir, simplemente no existe una division entre dos enteros que represente a \(
      f(n) \). Se dice que los irracionales se pueden definir de los racionales.
      Con este modelo se puede demostrar por ejemplo los casos \( a^{n+m} = a^n+a^m \), cuando \( n \) y \( m \) son irracionales ya que la definicion de \( a^n = a•a•a \cdots a \) solo aplica para \( n \) naturales. Intentalo, veras que no encontraras forma.

  10. Ese proceso lo encontré en una pagina web, lo que me confundió es que an = an-1.r, porque no puso an= a1.r.n-1 aunque es lo mismo, esta formula series geométricas me molesta no poder entenderla 100% es que no me cuadra que a1 termino primero menos! termino ultimo a1 por r^n dividido entre 1 menos r, en primer lugar la razón e n no es n-1 como debería ser el termino enésimo, si lo que hace es restar el primer termino con el enésimo y porque restar y no sumar acaso no es una Suma de progresiones, no es como la formula de series aritmética que una formula con armonía tiene sentido en cada parte Sa= a1 + d(n-1)n dividido entre 2, cada una de las formula de la series aritméticas la entiendo pero esta serie geométrica me molesta.

  11. Hasta donde se no podria no se puede dividir mas ya que es el resultado de la resta de x^3| x-y menos y^3| x-y , si fuera multiplicacion x^3.y^3| xy alli si se podria dividir y saldria x^2.y^2. 🙁

    1. Sergio Cohaguila

      jeje, si se puede, sale \( x^{2} + xy + y^{2} \), no te has dado cuenta que en las progresiones geométricas son también divisiones del tipo \( \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \), su resultado es de la forma \( x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^{2} + \cdots + xy^{n-2} + y^{n-1} \), la progresión geométrica que tratamos es solo cuando \( y=1 \), te das cuenta?, el tema de la división de la forma \frac{ x^{n} – y^{n} }{ x-y } \) lo estudio en el capitulo de cocientes notables: https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/cocientes-notables/
      En el fondo son progresiones geométricas, aunque en ese capitulo no lo indico, pero son formas de progresión geométrica.

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