Este es una nueva y primera sección de expresiones matemáticas, en esta ocasión estudiaremos las expresiones algebraicas, ya que nos servirá para describir de manera ordenada la teoría de polinomios en la próxima sección.

Detallaremos las diferentes expresiones como ningún otro tema álgebra elemental donde existen algunos conceptos un poco confusos que no se han tomado en cuenta y que de alguna manera me he dedicado darle un poco de sentido. Sin más que decir, comencemos.

¿Qué son las expresiones algebraicas?

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En álgebra elemental, se llama expresión algebraica a un conjunto de números y letras denominadas variables y asociadas de diversas maneras con las 6 operaciones algebraicas como son la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, tal que  no se admita variables ni números irracionales en los exponentes ni en los índices de los radicales, y no formen series infinitas.

Propiedades que deben de cumplir dichas expresiones

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Existen algunas propiedades algebraicas que resultan ser las mismas que las aritméticas, es decir, cumple igualmente en el álgebra elemental, me refiero a las propiedades de adición y multiplicación que se las presento en estos momentos:

• Propiedad conmutativa: \( a+b=b+c \), \( ab = ba \)
• Propiedad asociativa: \( a+(b+c) = (a+b)+c \), \( a(bc) = (ab)c \)
• Propiedad distributiva: \( a(b+c) = ab + ac \)
• Elemento neutro: \( a+0=a \), \( a\cdot 1 = a \)
• Elemento opuesto: \( a + (-a) = 0 \), \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \)

Estas son solo algunas propiedades de los números reales, aunque hay más propiedades, pero estas son las más fundamentales. Estas propiedades aplica a la parte literal, es decir, las variables, con base en esto te mostramos los siguientes ejemplos de una expresión algebraica.

Ejemplos

Las siguientes expresiones son expresiones algebraicas y cumple las propiedades de los números reales.

• \( 2x^{2} \cdot \sqrt[3]{ y^{7} } \)
• \( 3x^{2} y^{3} z^{-5} \)
• \( \frac{2}{3} \sqrt[5]{a} b^{2} c^{-3} \)
• \( \frac{3x}{y} + \sqrt[4]{ c^{3} } – 15 d^{3} \)

¿Qué son las funciones trascendentales?

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También se les denomina expresiones no algebraicas y no cumplen con la definición de una expresión algebraica, por esta razón se les llama funciones trascendentales, es decir, trasciende o va más allá de lo que definimos como expresión algebraica. Los siguientes operadores son funciones trascendentales:

• Funciones trigonométricas.
• Funciones logarítmicas.
• Funciones exponenciales.
• Sucesiones infinitesimales
• Que los exponentes sean irracionales
• Entre otros.

Si en una fórmula algebraica existe uno de estos operadores, entonces no pueden ser expresiones algebraicas.

Ejemplos:

• \( 3x^{x} y^{z} + 1 \)
• \( \sqrt[ x^{2} ]{y} + x^{ 4abc } – x^{ \sqrt{m} } \)
• \( \log { xy^{z} } + \ln { \sqrt{mnp} } – a^{2} \)
• \( \sin x^{3} + \ln { x^{xy} } \cos x^{ \frac{1}{2} } \)
• \( 1 – \frac{ x^{2} }{ 2! } + \frac{ x^{4} }{ 4! } – \frac{ x^{6} }{ 6! } + \cdots \infty \)
• \( 3x^{ \sqrt{3} } + y^{3} \)

¿Qué es un término algebraico?

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Si bien es cierto que no existe un debate, tampoco hay un acuerdo con el concepto de término algebraico, voy a mostrar una definición fuera de lo común para definir un término algebraico.

Para definir un término algebraico debemos tener en cuenta la jerarquía de las operaciones matemática teniendo en cuenta los paréntesis, veamos estos puntos en el siguiente apartado.

Jerarquía de las operaciones matemáticas

En matemática elemental, sabemos que primero se resuelven las operaciones de multiplicación y división y luego las sumas y restas. Por ejemplo, tenemos las siguientes operaciones numéricas:

1. \( \overbrace{ 3 \times 2 }^{ 6 } + 5 = 6 + 5 = 11  \)
   Para resolver esta sencilla operación, primero comenzamos por la multiplicación y finalizamos con la suma, de esta manera obtenemos el resultado deseado. Otra operación sería la siguiente:
2. \( (2+3) \times 5 = 5 \times 5 = 25 \)
   En este caso, primero es la suma antes de la multiplicación, eso debe a los paréntesis donde primero nos indica que debe resolverse primero la suma y luego la multiplicación. Veamos el siguiente ejemplo:
3. \( \frac{6}{2} – 6 = 3 – 6 = -3 \)
   En este caso, primero debemos de resolver la división para luego sumar y obtener el resultado deseado.
4. \( \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
   En este caso, primero debemos de sumar para luego dividir y obtener el resultado deseado.

Observe que los casos 1 y 3, los resultados finalizan con las operaciones de suma y resta, para el caso 2 y 4 finalizan con la multiplicación y división.

Llamaremos operaciones de mayor jerarquía si el resultado finaliza con algún operador determinado, por ejemplo, los casos 1 y 3 finalizan con la suma o resta, entonces estos operadores son de mayor jerarquía, pero si las operaciones finalizan con la división, multiplicación, potenciación o radicación, entonces estas operaciones son de mayor jerarquía.

Con este simple y sencillo concepto vamos a definir lo que es un término algebraico.

Definición de un término algebraico

Un término algebraico es una expresión algebraica tal que su operador de mayor jerarquía no es ni la suma ni resta en su estructura.

Ejemplos

• \( \frac{1}{ x^{2} + x + 1 } \), jerarquía: división.
• \( \frac{ xy }{ x^{2} + xy + y^{2} } \), jerarquía: división.
• \( xy^{2} z^{3} w^{4} \), jerarquía: multiplicación.
• \( \frac{ \sqrt{ a^{3} } }{ a+1 } \), jerarquía: división.
• \( \sqrt[7]{ a^{14} b^{-21} + c^{7} } \), jerarquía: raíz.
• \( \frac{ x+y }{ x-y } \), jerarquía: división.
• \( x^{-3} y^{2} \), jerarquía: multiplicación.
• \( \frac{1}{2} x^{ \frac{1}{3} } y^{ – \frac{3}{4} } z \), jerarquía: multiplicación.
• \( (a+b)^{3} \), jerarquía: potenciación.

Como ninguna de estas expresiones tiene como jerarquía ni la resta ni la suma, entonces son términos algebraicos.

Partes de un término algebraico

Ahora veremos las partes o elementos que determinan a un término algebraico, veamos un ejemplo visual para indicar cada una de sus partes en colores:

\[ \color{green}{-} \frac{ \color{purple}{ \sqrt[3]{7} } \color{red}{ abc }  }{ \ { \color{red}{a} }^{ \color{blue}{2} } \color{green}{+} 3 \color{red}{ a } \color{green}{-} \color{red}{b} } \]

1. Los signos negativo y positivo \( \color{green}{-} \) y \( \color{green}{+} \).
2. Las variables \( \color{red}{a} \), \( \color{red}{b} \) y \( \color{red}{c} \).
3. Constante numérica \( 3 \)
4. Coeficiente \( \color{purple}{ \sqrt[3]{7} } \).
5. Los exponentes \( \color{blue}{2} \) y \( \color{blue}{1} \).

Se sobreentiende que el exponente \( \color{blue}{1} \) se encuentra en las variables \( \color{red}{a} \), \( \color{red}{b} \) y \( \color{red}{c} \). Por tanto, esta expresión es un término algebraico, ya que el operador de mayor jerarquía es la división que separa las expresiones \( \sqrt[3]{7} abc \) y \( a^{2} + 3b  – c \).

Tenga en cuenta la diferencia entre constante y coeficiente, este último es un factor del término algebraico, para este ejemplo sería \( \sqrt[3]{7} \), pero el número \( 3 \) no es un factor, este término no puede eliminarse dividiéndose entre \( 3 \) a dicha expresión.

Términos semejantes

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Llamamos términos semejantes aquellos términos algebraicos que tiene un factor en común formado únicamente por variables, es decir, el único factor diferenciador sería solo el coeficiente del término algebraico.

Ejemplos

• \( \frac{3}{4} x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ – 3 \sqrt{7} } \), \( -3 x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ – 3 \sqrt{7} } \), \( – \sqrt{3} x^{3} y^{ \frac{1}{7} } x^{ – 3 \sqrt{7} } \)
• \( 4 a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \), \( \frac{1}{2} a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \), \( – \sqrt{7} a^{2} b^{3} c^{ \frac{4}{3} } \)
• \( 5amz \), \( – \frac{10}{3} amz \), \( 2amz \)
• \( \frac{ 2 \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x – 1 } \), \( \frac{ \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x – 1 } \), \( \frac{ 4 \sqrt{3} x^{2} }{ \sqrt[3]{ x^{5} } + 2x – 1 } \)

Clasificación de las operaciones algebraicas

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Existen varios tipos de expresiones algebraicas y se pueden clasificar en dos grupos, esto es, en racionales e irracionales.

Expresión algebraica racional (EAR)

Llamamos expresión algebraica racional cuando sus exponentes de las variables son números enteros, de estas se puede subdividir en expresión algebraica racional entera y fraccionaria.

Racional entera (EARE)

Llamamos expresión algebraica racional entera cuando sus exponentes de las variables son enteros positivos y no admite las operaciones de división entre variables. Veamos algunos ejemplos.

1. \( -4a^{2} b^{3} c^{4} + 2a – 3bc^{3} – \sqrt{3} \)
2. \( \sqrt{5} y w^{3} – 3x^{2} w + 3 \)
3. \( 3(a+b)^{2} + 5abc \)
4. \( 13 x^{2} z + \frac{1}{3} abc \)

Aclaración: No toda EARE es un polinomio, pero todo polinomio si es una EARE, sin embargo, aquellas EARE que no lo son polinomios, puede transformarse en polinomios.

Me explico, los ejemplos 1, 2, 4 son polinomios, pero el ejemplo 3 no lo es, sin embargo, a pesar de ser una EARE, se puede transformar en un polinomio así:

\[ 3(a+b)^{2} + 5abc = 3a^{2} + 6ab + b^{2} + 5abc \]

Lo único que hicimos es usar la fórmula del binomio al cuadrado para expresarlo así, de esta manera dicha expresión si resulta ser un polinomio y solos los polinomios tienen términos tal que su mayor jerarquía sean solo la multiplicación donde las jerarquías inferiores de cada término no se admiten la suma, resta, ni la división.

Nota: un numero real o constante numérica diferente de cero por si sola es una expresión algebraica racional entera, es decir, es de exponente nulo de una variable cualquiera diferente de cero como \( 3 = 3x^{0} = 3a^{0}b^{0} \).

Este tipo de expresiones algebraicas se les puede clasificar según el número de términos así:

• Monomios: Un solo termino algebraico.
• Binomios: Dos términos algebraicos.
• Trinomios: tres términos algebraicos.
• Polinomios: varios términos algebraicos.

Los polinomios serán estudiados con mayor detalle en la siguiente sección.

Racional fraccionaria

Llamamos expresión algebraica racional fraccionaria cuando por lo menos existe una variable con exponente negativo o una fracción donde se admita por lo menos una variable en el denominador. Veamos algunos ejemplos:

• \( 4x^{-2} + 5x^{-1} + 3 \)
• \( \frac{3}{5} abc^{-6} + \frac{b}{a+c} – \frac{1}{ c^{2} – 1 } \)
• \( \frac{ x^{2} }{ x+1 } – \frac{ x^{3} }{ x^{2} + 1 } + \frac{ x^{4} }{ x^{3} + 1 } \)

Expresión algebraica irracional

Llamamos expresión algebraica irracional si existe por lo menos una variable con exponente fraccionario o un radical. Veamos algunos ejemplos:

• \( 3 \sqrt{x} yz – x^{2} + yz \)
• \( -3 a^{ \frac{1}{2} } b^{3} + a \)
• \( 2x + 3x^{2} + \frac{1}{2} x^{ \frac{2}{3} } \)
• \( \sqrt[7]{ a^{14} b^{-21} + c^{7} } \)

Expresión matemática

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Las expresiones matemáticas engloba tanto las expresiones algebraicas y no algebraicas o trascendentales. En el siguiente diagrama podemos clasificar por el diagrama del árbol de la siguiente manera:

Como se puede ver en esta ilustración, una expresión matemática se puede clasificar en expresiones algebraicas y funciones trascendentales. En la primera se puede dividir en expresión algebraica racional entera, fraccionaria e irracional y en la segunda podemos encontrar expresiones como funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, series infinitas, hiperbólicas, entre otros.

Representación simbólica de una expresión algebraica según sus variables

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Es importante representar las expresiones algebraicas por letras mayúsculas indicando que variables se están usando para dichas expresiones, veamos algunos ejemplos:

• \( \mathrm{F} (x,y,z) = x^{ \frac{1}{2} } + y^{ \frac{1}{3} } + z^{ \frac{1}{4} } \)
• \( \mathrm{H} (a,b) = \frac{ ab }{ a+b } – \frac{ a+b }{ ab } \)
• \( \mathrm{G} (m,n,p) = m^{2} n + mn + mn^{2} – mnp \)

Aunque esta representación no excluye a las funciones trascendentales.

Grado algebraico

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El grado es una característica de la potenciación de una expresión algebraica y se mide desde sus exponentes de las variables, existen dos tipos, una es el grado relativo y el grado absoluto.

Si tenemos una expresión algebraica \( \mathrm{F} (x,y,z) \), el grado se denota así \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{F} (x,y,z) ] \), la medida del grado algebraico depende también de las operaciones que se involucre en la expresión algebraica, este último lo veremos en un recuadro más adelante.

Grado relativo

El grado relativo de una expresión algebraica se mide desde una variable seleccionada. Si tenemos una expresión algebraica \( \mathrm{F} (x,y,z) \), y queremos medir el grado de la variable \( y \), lo representamos así \( \mathrm{Gr}_{y} [ \mathrm{F} (x,y,z) ] \) o simplemente \( \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] \). Ahora veamos el grado relativo de un término algebraico y luego de una expresión algebraica.

Grado relativo de un término algebraico

El grado relativo de un término algebraico se mide según el exponente respecto a la variable seleccionada del término algebraico. A modo de ejemplo, sea el siguiente expresión:

\[ \mathrm{F} (x,y,z) = x^{2} y^{ \frac{3}{2} } z^{-4} \]

El grado relativo con respecto a \( x \), \( y \) y \( z \) son:

• \( \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = 2 \)
• \( \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{3}{2} \)
• \( \mathrm{Gr}_z [ \mathrm{F} ] = -4 \)

Sin embargo, el grado relativo depende si existen operadores implicados en un término algebraico, veamos los siguientes casos con sus respectivos ejemplos:

Termino algebraico	Método	Resultado
\[ \mathrm{F} (x,y) = x^{2} y^{ \frac{1}{2} } \]	Exponente de la variable.	\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{1}{2} \] \[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = 2 \]
\[ \mathrm{F} (x,y) = \frac{ \color{red}{ x^{5} } \color{green}{ y^{4} } }{ 2 \color{red}{ x^{3} } + \color{green}{ y^{2} } + 2 } \]	Los exponentes se restas si existe división entre variables.	\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ 5-3 = 2 } \] \[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \color{green}{ 4-2 = 2 } \]
\[ \mathrm{F} (x,y) = ( \color{red}{ x^{-3} } \color{purple}{ y^{ \frac{1}{3} } } )^{ \color{green}{ 2}  } \]	Los exponentes se multiplican si un termino algebraico es elevado a una potencia dada.	\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = ( \color{red}{ -3 } ) \cdot \color{green}{ 2 } = -6 \] \[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = ( \color{purple}{ \frac{1}{3} } ) \cdot \color{green}{ 2 } = \frac{2}{3} \]
\[ \mathrm{F} (x,y,z) = \sqrt[ \color{maroon}{7} ]{ \color{red}{ x^{14} } \color{purple}{ y^{-21} } + \color{blue}{ x^{7} } } \]	Los exponentes se dividen por la presencia de radicales.	\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{red}{ 14 } }{ \color{maroon}{7} } = 2 \]\[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{purple}{ -21 } }{ \color{maroon}{ 7 } } = -3 \] \[ \mathrm{Gr}_z [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{blue}{7} }{ \color{maroon}{7} } = 1 \]

Grado relativo de una expresión algebraica

Llamamos grado relativo de una expresión algebraica al máximo grado relativo de uno de los términos de dicha expresión algebraica según la variable seleccionada. Veamos los siguientes casos:

Termino algebraico	Método	Resultado
\[ \mathrm{F} = \color{purple}{ x^{2} } y + x \color{red}{ y^{ \frac{9}{2} } } – \sqrt[3]{ xyz+1 } \]	El mayor exponente de uno de los términos de una variable.	\[ \mathrm{Gr}_x [ \mathrm{F} ] = \color{purple}{ 2 } \] \[ \mathrm{Gr}_y [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ \frac{9}{2} } \]
\[ \mathrm{ F } (a,b) = 3a+2b+ \frac{ \color{red}{ 4a^{7} } b^{4} }{ \color{red}{ a^{2} } + 2ab^{3} } – \frac{ 5a^{4} \color{purple}{ b^{5} } }{ 1+a+3 \color{purple}{b} } \]	La máxima diferencia entre exponente de una variable si existe una división entre variables.	\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = \color{red}{ 7-2 } =5 \] \[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = \color{purple}{ 5-1 } = 4 \]
\[ \mathrm{F} (a,b) = ( \color{red}{ a^{-4} } b^{2} )^{ \color{green}{5} } + ( a^{-7} \color{purple}{ b^{4} } )^{ \color{green}{3} } – 4 \]	Es el máximo producto entre los exponentes de uno de los términos de una variable.	\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = ( \color{red}{-4} ) \color{green}{5} = -20 \] \[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = ( \color{purple}{4} ) \color{green}{3} = 12 \]
\[ \mathrm{F} = \sqrt[ \color{green}{4} ]{ \color{red}{ a^{16} } \color{purple}{ b^{12} } + 2 } – a^{3} b + \sqrt{ a^{4} + b^{2} + 4 } \]	Es la máxima división entre exponentes de uno de los términos de una variable.	\[ \mathrm{Gr}_a [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{red}{16} }{ \color{green}{4} } = 4 \] \[ \mathrm{Gr}_b [ \mathrm{F} ] = \frac{ \color{green}{12} }{ \color{green}{4} } = 3 \]

Grado absoluto

El grado absoluto es la máxima suma de los exponentes de uno de los términos de una expresión algebraica y no es específico a una sola variable.

Sin embargo, solo es aplicable para términos algebraicos donde no se admiten en su estructura las operaciones de adición y sustracción como jerarquía inferior.

Grado absoluto de un término algebraico

El grado absoluto es la suma resultante de todas los exponentes de las variables del término algebraico. Veamos algunos ejemplos:

• \( \mathrm{F} (a,b,c) = x^{2} y^{3} z^{-4} \), su grado absoluto es \( \mathrm{Gr}( \mathrm{F} ) = 2+3-4 = 1 \)
• \( \mathrm{F} (x,y,z) = (x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } )^{ – \frac{3}{2} } \), su grado absoluto es \( \mathrm{Gr} [F] = ( -3 + 5 + \frac{1}{3} )( – \frac{3}{2} ) = – \frac{7}{2} \)

Grado absoluto de una expresión algebraica

Es el mayor grado absoluto de uno de los términos de una expresión algebraica. Por ejemplo, si sumamos los términos anteriores del ejemplo anterior, resulta:

\[ \mathrm{F} (x,y,z) = ( x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } ) + x^{2} y^{3} z^{-4} \]

El grado absoluto sería:

\[ \mathrm{Gr} [ \mathrm{F} ] = 1 \]

Se elige el mayor grado absoluto de uno de los términos \( ( x^{-3} y^{5} z^{ \frac{1}{3} } )^{ – \frac{3}{2} } \) y \( x^{2} y^{3} z^{-4} \).

Grado absoluto con operaciones algebraicas

Para obtener el grado entre operaciones algebraicas, seguiremos una regla general cuando admitimos operaciones entre dos expresiones algebraicas.

Como estamos tratando solo con grados absolutos, debemos tener en cuenta que los términos de la expresión algebraica no se admitan las operaciones de suma y resta.

Sean dos expresiones algebraicas \( \mathrm{P} (x,y,z) \) y \( \mathrm{Q} (x,y,z) \) y dos grados absolutos \( \mathrm{Gr} [P] \) y \( \mathrm{Gr} [Q] \) y tal que \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] > \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \), se cumple las siguientes propiedades:

• Suma: \( \mathrm{P} (x,y,z) + \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
• Resta: \( \mathrm{P} (x,y,z) – \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
• Multiplicación: \( \mathrm{P} (x,y,z) \cdot \mathrm{Q} \), su grado es \( \mathrm{ Gr } [ \mathrm{P} ] + \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
• División: \( \mathrm{P} (x,y,z) / \mathrm{Q} (x,y,z) \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] – \mathrm{Gr} [ \mathrm{Q} ] \).
• Potenciación: \( [ \mathrm{P} ]^{n} \), su grado es \( n \cdot \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] \).
• Radicación: \( \sqrt[n]{ \mathrm{P} (x,y,z) } \), su grado es \( \mathrm{Gr} [ \mathrm{P} ] / n \).

Valor numérico de una expresión algebraica

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Es un valor que toma una expresión algebraica cuando le asignamos valores específicos numéricos a sus variables.

Por ejemplo, sea la siguiente expresión de una sola variable:

\[ \mathrm{P} (x) = 2x^{2} – 3x + 4 \]

Si le asignamos valores numéricos a la variable \( x \) de los primeros 4 valores de los números naturales, obtenemos los siguientes resultados:

• Para \( x=1 \), se obtiene \( \mathrm{P} (1) = 2(1)^{2} – 3(1) + 4 =3 \).
• Para \( x=2 \), se obtiene \( \mathrm{P} (2) = 2(2)^{2} – 3(2) + 4 \).
• Para \( x=3 \), se obtiene \( \mathrm{P} (3) = 2(3)^{2} – 3(3) +4 \).
• Para \( x=4 \), se obtiene \( \mathrm{P} (4) = 2(4)^{2} – 3(4) + 4 \).

Operaciones con expresiones algebraicas

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Solo trataremos un resumen básico de las 4 operaciones aplicado a las expresiones algebraicas, veamos cada una de ellas.

Suma algebraica

Si la mayor jerarquía de una expresión algebraica es la adicción, estamos tratando con la suma algebraica.

Ejemplos

Usando términos con la parte literal diferente

Cuando los términos no son semejantes, generalmente se deja denotado tal como esta.

• \( a^{2} \color{red}{+} b^{2} \)
• \( x \color{red}{+} y \color{red}{+} z \)
• \( \sqrt[3]{ x^{3} \color{red}{+} y^{2} \color{red}{+} z} \)

Con términos semejantes

Cuando los términos son semejantes, podemos efectuar la suma dependiendo del signo de los coeficientes, veamos:

• \( 2a + 3a = (2+3)a = 5a \)
• \( \frac{ -6x }{ab+c} + \frac{ 4x }{ab+c} = (-6+3) ( \frac{ x }{ ab+c } ) =\frac{ -3x }{ab+c} \)
• \( 4\sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + x^{2} } – 2 \sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + x^{2} } = (4-2) \sqrt[6]{ x^{2} + y^{2} + z^{2} } \)

Resta algebraica

La resta es una operación opuesta a la suma, su objetivo de este operador es quitar en lugar de añadir, sin embargo, desde el punto de vista de álgebra elemental, hay situaciones donde sumar es quitar y restar es sumar y esto se debe al resultante de los términos semejantes, veamos su representación simbólica:

Ejemplos

Con términos con la parte literal diferente

Como en el caso anterior, el símbolo de sustracción se mantiene cuando no es posible realizar la resta entre términos no semejantes, se deja tal como está, veamos algunos ejemplos:

• \( a \color{red}{-} b \)
• \( \frac{ \sqrt{x} + \sqrt{y} }{ \sqrt{z} } \color{red}{-} \sqrt{abc} \)
• \( \sqrt[4]{ x^{2} + y^{3} + z^{4} } \color{red}{-} \sqrt[3]{x+y+z} \)

Con términos semejantes

Cuando los términos son semejantes, es posible realizar las operaciones correspondientes, aplicar la operación de sustracción es posible cuando los términos algebraicos tiene factores semejantes, veamos:

• \( 14x – 15x = (14-15)x = -x \)
• \( 6a \sqrt{x+y} – 3a \sqrt{x+y} = 3a \sqrt{x+y} \)
• \( \frac{ 7x^{2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } – \frac{ 3x^{2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{y} } \)

Multiplicación algebraica

Aquí deben aplicarse las propiedades de teoría de exponentes junto con los axiomas asociativa y distributiva que indicamos al inicio de la sección actual, también deben respetarse la ley de los signos para la multiplicación.

Leyes de potenciación para la multiplicación

\[ a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m} \]

\[ ( ab )^{n} = a^{n} \cdot a^{m} \]

Ley de signos para la multiplicación

\[ (+)(+) = + \]

\[ (-)(-) = – \]

\[ (+)(-) = – \]

\[ (-)(+) = – \]

Ejemplos

• \( 2x \cdot 3x^{2} = ( 2 \cdot 3 )( x \cdot x^{2} ) =6 x^{1+2} = 6x^{3} \)
• \( 3x^{3} y^{2} \cdot \frac{ 4x^{2} y }{z} = \frac{ 3 x^{3} \cdot 4x^{2} }{z} = \frac{ ( 3 \cdot 4 ) ( x^{3} \cdot x^{2} ) }{z} = \frac{ 12 x^{3+2} }{z} = \frac{ 12x^{5} }{z} \)
• \( \frac{ x^{2} }{ y^{3} } \cdot \frac{ y }{ x } = \frac{ x^{2} \cdot y }{ y^{3} \cdot x } = \frac{ x^{2} \cdot y }{ x \cdot y^{3} } = \frac{ x^{2} }{x} \cdot \frac{ y }{ y^{3} } = x^{2-1} \cdot \frac{1}{ y^{3-1} } = x \cdot \frac{1}{ y^{2} } = \frac{x}{ y^{2} } \)
• \( ( x+y )z = x \cdot z + y \cdot z = xz+yz \)
• \( (x^{2} +y)(z+x) = (x^{2} + y)z + (x^{2} + y)x = x^{2}z + yz + \overbrace{ x^{2} \cdot x }^{ x^{2+1} } + yx = x^{2} z + yz + x^{3} + yx \)
• \( (-2y) (4y^{4}) = ( -2 \cdot 4 ) y^{ y \cdot y^{4} } = -8 \)

División algebraica

Existe cierto grado de dificultad al dividir expresiones algebraicas y es un tema que lo veremos en secciones posteriores, aquí solo realizaremos divisiones sencillas.

Tener en cuenta las propiedades de las leyes de exponentes y la ley de signos para la división. Solo mostraremos ejemplos sencillos:

Ejemplos

\( \require{cancel} \frac{m \cancel{n} }{ \cancel{n} } = m \)

\( \frac{ x^{2} + xy }{x} = \frac{ x^{2} }{x} + \frac{ \cancel{x} y }{ \cancel{x} } = x^{2-1} + y = x+y \)

\( \frac{ -a^{2} b + a^{3} }{ -a^{2} } = \frac{ -a^{2} b }{ -a^{2} } + \frac{ a^{3} }{ -a^{2} } = \underbrace{ \frac{-1}{-1} }_{ 1 } \cdot \frac{ \cancel{ a^{2} } b }{ \cancel{ a^{2} } } + \underbrace{ \frac{ 1 }{ -1 } }_{ -1 } \cdot \frac{ a^{3} }{ a^{2} } = (1)ab \underbrace{ + (-1) }_{ -1 } a^{3-2} = ab – a \)

Aquí finaliza la sección actual, la próxima sección está dedicada los polinomios, gracias por todo, que tengan un buen día.