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Suma y resta de polinomios

3. Suma y resta de polinomios

Las operaciones de suma y resta de polinomios es un tema muy sencillo, tan solo es sumar y/o restas aquellos términos semejantes entre polinomios involucrados bajo estas operaciones básicas.

Al final del capítulo de teoría de polinomios elementales ya habíamos dado un pequeño esbozo de estas operaciones de suma y resta donde centramos el estudio de una manera simplificada, es decir suma y restas de expresiones algebraicas y no necesariamente con polinomios.

En esta sección le daremos un sentido particularmente propio, ya que puede ser útil en capítulos posteriores. Comencemos definiendo los términos semejantes para polinomios.

Definición de término semejante


Llamamos término semejante, desde un ángulo polinómico, aquellos monomios que tiene en común la parte literal de dicho término.

En el enlace anterior ya habíamos definido que es un monomio para no andar repitiendo el concepto.

Ejemplo:

Sea los términos \( 3x^{2}y \), \( 5x^{2}y \) y \( 7y^{2} \). Si comparamos, los dos primeros monomios, nos damos cuenta que son semejantes:

\[ \underset{ \hspace{0.5cm} \begin{array}{ c } \text{ las partes } \\ \text{literales} \\ \text{son iguales} \end{array} }{ 3 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2} y } }, 5 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2}y } } } \]

Pero sin comparamos el ultimo con los dos primeros, resulta que no son semejantes:


\( \underset{ \hspace{0.5cm} \begin{array}{ c } \text{ las partes } \\ \text{literales} \\ \text{son diferentes} \end{array} }{ 5 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2} y } }, 7 \underset{ \downarrow }{ \color{blue}{ y^{2} } } } \) y \( \underset{ \hspace{0.5cm} \begin{array}{ c } \text{ las partes } \\ \text{literales} \\ \text{son diferentes} \end{array} }{ 3 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2} y } }, 7 \underset{ \downarrow }{ \color{blue}{ y^{2} } } } \)

Adición de polinomios (axioma)


La adición de dos o más polinomios nos da como resultado otro polinomio.

Estrictamente hablando, si un elemento con cierta propiedad se suma o resta con otro elemento de la misma propiedad, entonces el resultado debe tener también esta misma propiedad, esta peculiaridad se le conoce como axioma de cerradura para la suma.

Ejemplo:

Queremos sumar los polinomios \( x^2 + 3x +2 \) y \( 3 x^2 + x +1 \), lo haremos en el siguiente tablero:

\[ \begin{array}{ c } \underline{ \begin{array}{ c r c r c r } + & \color{red}{ x^{2} } & + & 3 \color{red}{ x } & + & 2 \\ + & 3 \color{red}{ x^{2} } & + & \color{red}{ x } & + & 1 \end{array} } \\ \begin{array}{ c r c r c r } + & 4 \color{red}{ x^{2} } & + & 4 \color{red}{ x } & + & 3 \end{array} \end{array} \]

No hace falta indicar que \( \color{red}{ x^{2} } = 1 \color{red}{ x^{2} } \) para indicar que la suma de \( 1 \color{red}{ x^{2} } + 3 \color{red}{ x^{2} } \) es \( 4 \color{red}{ x^{2} } \), la analogía es la misma como sumar manzanas con manzanas o peras con peras.

Describiendo el procedimiento anterior, lo que hicimos es colocar en cada columna los términos semejantes que ya definimos en dicho enlace de una manera más amplia, en esta oportunidad lo simplificaré para polinomios.

¿Como sumar monomios?

Dos puntos sencillos que debemos considerar:


  1. Si dos monomios son semejantes, sumar la parte numérica acompañada con la parte literal sin modificar.
  2. Si dos monomios son diferentes, es decir, no semejantes, simplemente dejar la suma tal cual sin ninguna modificación si se trata de simplificar los resultados.

Opcionalmente también ordenador de mayor a menor respecto a los exponentes de los monomios al finalizar la suma, el orden generalmente comienza de izquierda a derecha \( \Rightarrow \).

Ejemplo:

  • Si queremos sumar los monomios \( 4x^2 \), \( 6x^2 \) y \( 7x^3 \), primero identificamos su término semejante, es decir, la parte literal.

Rápidamente podemos notar que \( 4 \color{red}{ x^2 } \) y \( 6 \color{red}{ x^2} \) tienen en común el factor \( \color{red}{ x^2} \), pero si lo comparamos estos dos con el término \( 7 \color{blue}{ x^3 } \), resulta que su parte literal son diferentes \( \color{red}{ x^2} \neq \color{blue}{ x^3 } \).

Con base en esta simplificación, realizamos la siguiente operación:

\[ \underbrace{ 4 \color{red}{ x^2} + 6 \color{red}{ x^2 } }_{ (4+6) \color{red}{ x^2 } } + 7 \color{blue}{ x^3 } = \boxed{ 10 \color{red}{ x^2 } + 7 \color{blue}{ x^3 } } \]

Este sería la respuesta para esta sencilla suma.

  • Queremos sumar \( 2x^3 \), \( 4y^4 \), \( 6x^3 \) y \( y^4 \), realizando la misma estrategia, identificamos los términos semejantes.

Los termino \( 2 \color{red}{ x^3 } \) y \( 6 \color{red}{ x^3 } \) tiene un término semejante con factor \( \color{red}{ x^3 } \), y los términos \( 4 \color{blue}{ y^4 } \) y \( \color{blue}{ y^4 } \) tienen en común al factor \( \color{blue}{ y^4 } \), ordenamos y sumamos:

\[ \underbrace{ 2 \color{red}{ x^3 } + 6 \color{red}{ x^3 } }_{ 8 \color{red}{ x^3 } } + \underbrace{ 4 \color{blue}{ y^4 } + \color{blue}{ y^4 } }_{ 5 \color{blue}{y^4} } = \boxed{ 8 \color{red}{ x^3 } + 5 \color{blue}{ y^4 } } \]


  • Queremos sumar los monomios \( 3 \color{red}{ z^2 } \), \( – \color{red}{ z^2 } \) y \( 3 \color{blue}{ y } \), pienso aclarar un punto con este ejemplo cuando involucramos monomios con signo negativo, primero vemos que \( 3 \color{red}{ z^2 } \) y \( – \color{red}{ z^2 } \) tiene un factor en común \( \color{red}{ z^2 } \) pero diferente al factor literal del término \( 3 \color{blue}{ y } \), tenemos:

\[ 3 \color{red}{ z^2 } \underbrace{ + ( – \color{red}{ z^2 } ) }_{ – \color{red}{ z^2 } } + 3 \color{blue}{ y } = \underbrace{ 3 \color{red}{ z^2 } – \color{red}{ z^2 } }_{ 2 \color{red}{ z^2 } } + 3 \color{blue}{ y } = 2 \color{red}{ z^2 } + 3 \color{blue}{ y } \]

Tener en cuenta que siempre se cumple que \( + ( – a ) = – a \), de hecho, es un teorema, para más detalles visitar la sección de axiomas de los números reales.

Como podemos notar, la suma entre monomios puede formar monomios o polinomios, por el momento, los ejemplos anteriores mientras tanto han formado binomios.

¿Como restar monomios?

Restar monomios es sencillo y cumple con los mismos dos puntos anteriores que en el caso de la suma:

  1. Si dos monomios son semejantes, restar la parte numérica acompañada con la parte literal sin modificar.
  2. Si dos monomios son diferentes, es decir, no semejantes, simplemente dejar la resta tal cual sin ninguna modificación si se trata de simplificar los resultados.

También si gusta, los resultados puede ordenarlo de mayor a menos de izquierda a derecha \( \Rightarrow \), explicaremos en otra ocasión porque es importante ordenador según el grado de los polinomios.

Ejemplo:

  • Queremos restar el monomio \( 4w^2x \) de \( 3w^2x \). Como tienen la parte literal semejante \( w^2x \), simplemente realizamos la operación de resta entre los valores numéricos.

\[ \underbrace{ \color{red}{ 4 }w^2x – \color{red}{ 3 }w^2x }_{ ( \color{red}{ 4-3 } )w^2x = \color{red}{ 1 }w^2x } = w^2x \]

  • Supongamos que queremos restar este monomio \( 10ay \) y \( -5ay \). Como son semejantes, realizamos la operación:

\[ \color{red}{ 10 }ay \underbrace{ – ( – \color{red}{ 5 }ay ) }_{ \color{red}{ – }( \color{red}{ – } \text{valor} ) = \color{red}{ + } \text{valor} } = \color{red}{ 10 }ay + \color{red}{ 5 }ay = \color{red}{ 15 }ay \]


En este ejemplo se aplicó la propiedad \( -(-n) = +n \), de hecho, es un teorema que lo puedes encontrar demostrado en la sección de axioma de los números reales.

Ejercicio:

Calcular la diferencia entre los siguientes monomios semejantes \( 15mn^{2+k} \) y \( 2mn^{4-k} \).

Solución:

Si los monomios del ejercicio son semejantes, entonces los factores literales \( mn^{2+k} \) y \( mn^{4-k} \) son iguales, en este caso se cumple que:

\[ \begin{align} 2+k & = 4-k \\ k+k & = 4-2 \\ 2k & = 2 \\ k & = 1 \end{align} \]

Remplazando este valor en los monomios iniciales, resulta:

\( \begin{align} 15mn^{2+k} & = 15mn^{2+1} \\ & = 15mn^3 \end{align} \) y \( \begin{align} 2mn^{4-k} & = 2mn^{4-1} \\ & = 2mn^3 \end{align} \)


Luego restamos entre sí los monomios semejantes y finalmente obtenemos:

\[ 15mn^{3} – 2mn^{3} = \boxed{ 13mn^3 } \]

¿Como sumar polinomios?

Los polinomios están formados por monomios por medio de las operaciones de suma y resta, por tanto, la suma de polinomios es la suma entre sus monomios de cada polinomio aplicando con las estrategias ya descritas anteriormente.

Ejemplo:

  • Queremos sumar los polinomios \( 5b^2y^4 + 2ak – 3jt^{10} \), \( 5jt^{10} – 4ak – 2b^2y^4 \), \( 7ak +8b^2y^4 \), notamos que los 3 polinomios tienen términos semejantes, en este caso podemos agruparlos aquellos polinomios que tienen un mismo factor en común como \( b^2y^4 \), \( ak \) y \( jt^{10} \) entre paréntesis, tenemos:

\[ \begin{align} \text{ Polinomio } & = 5b^2y^4 + 2ak – 3jt^{10} \color{red}{ + } 5jt^{10} – 4ak – 2b^2y^4 \color{red}{ + } 7ak +8b^2y^4 \\ & = ( \underbrace{ 5b^2y^4 – 2b^2y^4 + 8b^2y^4 }_{ ( \color{red}{ 5-2+4 } ) b^2y^4 } ) + ( \underbrace{ 2ak – 4ak + 7ak }_{ ( \color{blue}{ 2 – 4 + 7 } ) ak } ) + ( \underbrace{ 3jt^{10} + 5jt^{10} }_{ ( \color{green}{ 3 + 5 } )jt^{10} } ) \\ & = \boxed{ \color{red}{ 7 } b^2y^4 + \color{blue}{ 5 } ak + \color{green}{ 8 } jt^{10} } \end{align} \]

  • Sumaremos los polinomios \( -3pq^7 + 4c^2v^9 \), \( -7c^2v^9 + 2pq^7 \), vemos que estos polinomios tienen dos términos semejantes diferentes con factores \( \color{red}{ pq^7 } \) y \( \color{blue}{ c^2v^9 } \), tenemos:

\[ \begin{align} \text{Polinomio} & = -3 \color{red}{ pq^7 } + 4 \color{blue}{ c^2v^9 } \underbrace{ + ( -7 \color{blue}{ c^2v^9 } + \color{red}{ 2pq^7 } ) }_{ \text{ propiedad: } \ +(-m+n) = -m+n } \\ & = -3 \color{red}{ pq^7 } +2 \color{red}{ pq^7 } + 4 \color{blue}{ c^2v^9 } – 7 \color{blue}{ c^2v^9 } \\ & = \boxed{ – \color{red}{ pq^7 } – 3 \color{blue}{ c^2v^9 } } \end{align} \]

¿Como restar polinomios?

La resta de dos polinomios es otro polinomio y se desarrolla con la resta entre los monomios de cada polinomio, sin embargo, si se trata operaciones básicas como suma o resta, no hay mucha diferencia entre este tipo de operaciones.

Ejemplo:


  • Queremos restar al polinomio \( 4x^2 + 3x^3 \) el polinomio \( 2x^2 +x^3 \), sabiendo cuáles son los términos semejantes, tenemos:

\[ \begin{align} \text{Polinomio} & = 4x^2 + 3x^3 \underbrace{ – ( 2x^2 + x^3 ) }_{ – (m+n) = -m-n } \\ & = 4 \color{red}{ x^2 } + 3 \color{blue}{ x^3 } – 2 \color{red}{ x^2 } – \color{blue}{ x^3 } \\ & = 4 \color{red}{ x^2 } – 2 \color{red}{ x^2 } + 3 \color{blue}{ x^3 } – \color{blue}{ x^3 } \\ & = \boxed{ 2 \color{red}{ x^2 } + 2 \color{blue}{ x^3 } } \end{align} \]

  • Calculares la diferencia entre estos dos polinomios \( se^7 – 3xy^4 \) y \( -4xy^4 + 2se^7 \), resulta:

\[ \begin{align} \text{Polinomio} & = se^7 – 3xy^4 \underbrace{ – ( -4xy^4 + 2se^7 ) }_{ -( – m + n ) = m – n } \\ & = \color{red}{ se^7 } – 3 \color{blue}{ xy^4 } + 4 \color{blue}{ xy^4 } – 2 \color{red}{ se^7 } \\ & = \color{red}{ se^7 } – 2 \color{red}{ se^7 } – 3 \color{blue}{ xy^4 } +4 \color{blue}{ xy^4 } \\ & = \boxed{ – \color{red}{ se^7 } + \color{blue}{ xy^4 } } \end{align} \]

De esta manera terminamos este sencillo concepto, el próximo capítulo nos detendremos a estudiar la multiplicación entre polinomios.

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