Las operaciones de suma y resta de polinomios es un tema muy sencillo, tan solo es sumar y/o restas aquellos términos semejantes entre polinomios involucrados bajo estas operaciones básicas.

Al final del capítulo de teoría de polinomios elementales ya habíamos dado un pequeño esbozo de estas operaciones de suma y resta donde centramos el estudio de una manera simplificada, es decir, suma y restas de expresiones algebraicas y no necesariamente con polinomios.

En esta sección le daremos un sentido particularmente propio, ya que puede ser útil en capítulos posteriores. Comencemos definiendo los términos semejantes para polinomios.

Definición de término semejante

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Llamamos término semejante aquellos monomios que tiene en común la parte literal de dicho término.

En el enlace anterior ya habíamos definido que es un monomio para no andar repitiendo el concepto.

Ejemplo:

Sea los términos \( 3x^{2}y \), \( 5x^{2}y \) y \( 7y^{2} \). Si comparamos, los dos primeros monomios, nos damos cuenta que son semejantes:

\[ \underset{ \hspace{0.5cm} \begin{array}{ c } \text{ las partes } \\ \text{literales} \\ \text{son iguales} \end{array} }{ 3 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2} y } }, 5 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2}y } } } \]

Pero sin comparamos el ultimo con los dos primeros, resulta que no son semejantes:

\( \underset{ \hspace{0.5cm} \begin{array}{ c } \text{ las partes } \\ \text{literales} \\ \text{son diferentes} \end{array} }{ 5 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2} y } }, 7 \underset{ \downarrow }{ \color{blue}{ y^{2} } } } \) y \( \underset{ \hspace{0.5cm} \begin{array}{ c } \text{ las partes } \\ \text{literales} \\ \text{son diferentes} \end{array} }{ 3 \underset{ \downarrow }{ \color{red}{ x^{2} y } }, 7 \underset{ \downarrow }{ \color{blue}{ y^{2} } } } \)

Adición de polinomios (axioma)

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La adición de dos o más polinomios nos da como resultado otro polinomio.

Estrictamente hablando, si un elemento con cierta propiedad es sumado o restado con otro elemento de la misma propiedad, entonces el resultado debe tener también esta misma propiedad, esta peculiaridad se le conoce como axioma de cerradura para la suma.

Ejemplo:

Queremos sumar los polinomios \( x^2 + 3x +2 \) y \( 3 x^2 + x +1 \), lo haremos en el siguiente tablero:

\[ \begin{array}{ c } \underline{ \begin{array}{ c r c r c r } + & \color{red}{ x^{2} } & + & 3 \color{red}{ x } & + & 2 \\ + & 3 \color{red}{ x^{2} } & + & \color{red}{ x } & + & 1 \end{array} } \\ \begin{array}{ c r c r c r } + & 4 \color{red}{ x^{2} } & + & 4 \color{red}{ x } & + & 3 \end{array} \end{array} \]

No hace falta indicar que \( \color{red}{ x^{2} } = 1 \color{red}{ x^{2} } \) para indicar que la suma de \( 1 \color{red}{ x^{2} } + 3 \color{red}{ x^{2} } \) es \( 4 \color{red}{ x^{2} } \), la analogía es la misma como sumar manzanas con manzanas o peras con peras.

Describiendo el procedimiento anterior, lo que hicimos es colocar en cada columna los términos semejantes que ya definimos en dicho enlace de una manera más amplia, en esta oportunidad lo simplificaré para polinomios.

¿Como sumar monomios?

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Dos puntos sencillos que debemos considerar:

1. Si dos monomios son semejantes, sumar la parte numérica acompañada con la parte literal sin modificar.
2. Si dos monomios son diferentes, es decir, no semejantes, simplemente dejar la suma tal cual sin ninguna modificación.

Opcionalmente, también ordenar de mayor a menor respecto a los exponentes de los monomios al finalizar la suma, el orden generalmente comienza de izquierda a derecha.

Ejemplo:

• Si queremos sumar los monomios \( 4x^2 \), \( 6x^2 \) y \( 7x^3 \), primero identificamos el término semejante, es decir, la parte literal.

Rápidamente podemos notar que \( 4 \color{red}{ x^2 } \) y \( 6 \color{red}{ x^2} \) tienen en común el factor \( \color{red}{ x^2} \), pero si lo comparamos estos dos con el término \( 7 \color{blue}{ x^3 } \), resulta que su parte literal son diferentes \( \color{red}{ x^2} \neq \color{blue}{ x^3 } \).

Con base en esta simplificación, realizamos la siguiente operación:

\[ \underbrace{ 4 \color{red}{ x^2} + 6 \color{red}{ x^2 } }_{ (4+6) \color{red}{ x^2 } } + 7 \color{blue}{ x^3 } = \boxed{ 10 \color{red}{ x^2 } + 7 \color{blue}{ x^3 } } \]

Este sería la respuesta para esta sencilla suma.

• Queremos sumar \( 2x^3 \), \( 4y^4 \), \( 6x^3 \) y \( y^4 \), realizando la misma estrategia, identificamos los términos semejantes.

Los termino \( 2 \color{red}{ x^3 } \) y \( 6 \color{red}{ x^3 } \) tiene un término semejante con factor \( \color{red}{ x^3 } \), y los términos \( 4 \color{blue}{ y^4 } \) y \( \color{blue}{ y^4 } \) tienen en común al factor \( \color{blue}{ y^4 } \), ordenamos y sumamos:

\[ \underbrace{ 2 \color{red}{ x^3 } + 6 \color{red}{ x^3 } }_{ 8 \color{red}{ x^3 } } + \underbrace{ 4 \color{blue}{ y^4 } + \color{blue}{ y^4 } }_{ 5 \color{blue}{y^4} } = \boxed{ 8 \color{red}{ x^3 } + 5 \color{blue}{ y^4 } } \]

• Queremos sumar los monomios \( 3 \color{red}{ z^2 } \), \( – \color{red}{ z^2 } \) y \( 3 \color{blue}{ y } \), primero vemos que \( 3 \color{red}{ z^2 } \) y \( – \color{red}{ z^2 } \) tiene un factor en común \( \color{red}{ z^2 } \) pero diferente al factor literal del término \( 3 \color{blue}{ y } \), tenemos:

\[ 3 \color{red}{ z^2 } \underbrace{ + ( – \color{red}{ z^2 } ) }_{ – \color{red}{ z^2 } } + 3 \color{blue}{ y } = \underbrace{ 3 \color{red}{ z^2 } – \color{red}{ z^2 } }_{ 2 \color{red}{ z^2 } } + 3 \color{blue}{ y } = 2 \color{red}{ z^2 } + 3 \color{blue}{ y } \]

Tener en cuenta que siempre se cumple que \( + ( – a ) = – a \), de hecho, es un teorema, para más detalles visitar la sección de axiomas de los números reales.

Como podemos notar, la suma entre monomios puede formar monomios o polinomios, podemos ver que los ejemplos anteriores han formado binomios.

¿Como restar monomios?

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Restar monomios es sencillo y cumple con los mismos dos puntos anteriores que en el caso de la suma:

1. Si dos monomios son semejantes, restar la parte numérica acompañada con la parte literal sin modificar.
2. Si dos monomios son diferentes, es decir, no semejantes, simplemente dejar la resta tal cual sin ninguna modificación.

También si gustas, los resultados puede ordenarlo de mayor a menos de izquierda a derecha, explicaremos en otra ocasión porque es importante ordenador según el grado de los polinomios.

Ejemplo:

• Queremos restar el monomio \( 4w^2x \) de \( 3w^2x \). Como tienen la parte literal semejante \( w^2x \), simplemente realizamos la operación de resta entre los valores numéricos.

\[ \underbrace{ \color{red}{ 4 }w^2x – \color{red}{ 3 }w^2x }_{ ( \color{red}{ 4-3 } )w^2x = \color{red}{ 1 }w^2x } = w^2x \]

• Supongamos que queremos restar este monomio \( 10ay \) y \( -5ay \). Como son semejantes, realizamos la operación:

\[ \color{red}{ 10 }ay \underbrace{ – ( – \color{red}{ 5 }ay ) }_{ \color{red}{ – }( \color{red}{ – } \text{valor} ) = \color{red}{ + } \text{valor} } = \color{red}{ 10 }ay + \color{red}{ 5 }ay = \color{red}{ 15 }ay \]

En este ejemplo se aplicó la propiedad \( -(-n) = +n \), de hecho, es un teorema que lo puedes encontrar demostrado en la sección de axioma de los números reales.

Ejercicio:

Calcular la diferencia entre los siguientes monomios semejantes \( 15mn^{2+k} \) y \( 2mn^{4-k} \).

Solución:

Si los monomios del ejercicio son semejantes, entonces los factores literales \( mn^{2+k} \) y \( mn^{4-k} \) son iguales, en este caso se cumple que:

\[ \begin{align} 2+k & = 4-k \\ k+k & = 4-2 \\ 2k & = 2 \\ k & = 1 \end{align} \]

Remplazando este valor en los monomios iniciales, resulta:

\( \begin{align} 15mn^{2+k} & = 15mn^{2+1} \\ & = 15mn^3 \end{align} \) y \( \begin{align} 2mn^{4-k} & = 2mn^{4-1} \\ & = 2mn^3 \end{align} \)

Luego restamos entre sí los monomios semejantes y finalmente obtenemos:

\[ 15mn^{3} – 2mn^{3} = \boxed{ 13mn^3 } \]

¿Como sumar polinomios?

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Los polinomios están formados por monomios por medio de las operaciones de suma y resta, por tanto, la suma de polinomios es la suma entre sus monomios de cada polinomio aplicando con las estrategias ya descritas anteriormente.

Ejemplo:

• Queremos sumar los polinomios \( 5b^2y^4 + 2ak – 3jt^{10} \), \( 5jt^{10} – 4ak – 2b^2y^4 \), \( 7ak +8b^2y^4 \), notamos que los 3 polinomios tienen términos semejantes, en este caso podemos agruparlos aquellos polinomios que tienen un mismo factor en común como \( b^2y^4 \), \( ak \) y \( jt^{10} \) entre paréntesis, tenemos:

\[ \begin{align} \text{ Polinomio } & = 5b^2y^4 + 2ak – 3jt^{10} \color{red}{ + } 5jt^{10} – 4ak – 2b^2y^4 \color{red}{ + } 7ak +8b^2y^4 \\ & = ( \underbrace{ 5b^2y^4 – 2b^2y^4 + 8b^2y^4 }_{ ( \color{red}{ 5-2+4 } ) b^2y^4 } ) + ( \underbrace{ 2ak – 4ak + 7ak }_{ ( \color{blue}{ 2 – 4 + 7 } ) ak } ) + ( \underbrace{ 3jt^{10} + 5jt^{10} }_{ ( \color{green}{ 3 + 5 } )jt^{10} } ) \\ & = \boxed{ \color{red}{ 7 } b^2y^4 + \color{blue}{ 5 } ak + \color{green}{ 8 } jt^{10} } \end{align} \]

• Sumaremos los polinomios \( -3pq^7 + 4c^2v^9 \), \( -7c^2v^9 + 2pq^7 \), vemos que estos polinomios tienen dos términos semejantes diferentes con factores \( \color{red}{ pq^7 } \) y \( \color{blue}{ c^2v^9 } \), tenemos:

\[ \begin{align} \text{Polinomio} & = -3 \color{red}{ pq^7 } + 4 \color{blue}{ c^2v^9 } \underbrace{ + ( -7 \color{blue}{ c^2v^9 } + \color{red}{ 2pq^7 } ) }_{ \text{ propiedad: } \ +(-m+n) = -m+n } \\ & = -3 \color{red}{ pq^7 } +2 \color{red}{ pq^7 } + 4 \color{blue}{ c^2v^9 } – 7 \color{blue}{ c^2v^9 } \\ & = \boxed{ – \color{red}{ pq^7 } – 3 \color{blue}{ c^2v^9 } } \end{align} \]

¿Como restar polinomios?

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La resta de dos polinomios es otro polinomio y se desarrolla con la resta entre los monomios de cada polinomio, sin embargo, si se trata operaciones básicas como suma o resta, no hay mucha diferencia entre este tipo de operaciones.

Ejemplo:

• Queremos restar al polinomio \( 4x^2 + 3x^3 \) el polinomio \( 2x^2 +x^3 \), sabiendo cuáles son los términos semejantes, tenemos:

\[ \begin{align} \text{Polinomio} & = 4x^2 + 3x^3 \underbrace{ – ( 2x^2 + x^3 ) }_{ – (m+n) = -m-n } \\ & = 4 \color{red}{ x^2 } + 3 \color{blue}{ x^3 } – 2 \color{red}{ x^2 } – \color{blue}{ x^3 } \\ & = 4 \color{red}{ x^2 } – 2 \color{red}{ x^2 } + 3 \color{blue}{ x^3 } – \color{blue}{ x^3 } \\ & = \boxed{ 2 \color{red}{ x^2 } + 2 \color{blue}{ x^3 } } \end{align} \]

• Calculares la diferencia entre estos dos polinomios \( se^7 – 3xy^4 \) y \( -4xy^4 + 2se^7 \), resulta:

\[ \begin{align} \text{Polinomio} & = se^7 – 3xy^4 \underbrace{ – ( -4xy^4 + 2se^7 ) }_{ -( – m + n ) = m – n } \\ & = \color{red}{ se^7 } – 3 \color{blue}{ xy^4 } + 4 \color{blue}{ xy^4 } – 2 \color{red}{ se^7 } \\ & = \color{red}{ se^7 } – 2 \color{red}{ se^7 } – 3 \color{blue}{ xy^4 } +4 \color{blue}{ xy^4 } \\ & = \boxed{ – \color{red}{ se^7 } + \color{blue}{ xy^4 } } \end{align} \]

De esta manera terminamos este sencillo concepto, el próximo capítulo nos detendremos a estudiar la multiplicación entre polinomios.

Suma y resta de polinomios

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Para realizar suma y resta de polinomios, es necesario usar los axiomas como la conmutativa y asociativa que explicamos en un curso básico de números reales.

1. Conmutativa: \( a+b = b+a \)
2. Asociativa: \( a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c \)

Esto sería los dos axiomas adicionales aparte del axioma de cerradura ya indicada casi al inicio de esta sección y que deben cumplir estrictamente a la hora de realizar operaciones de sumas y restas combinadas de polinomios. Veamos un ejemplo rápido.

Ejemplo:

Queremos reducir \( (-6x^2 + 15xy^7 – ab^3) + (4xy^7 + 2ab^3 + 13x^2) – ( -7ab^3 + 15x^2 – 9xy^7 ) \).

Sin olvidar la propiedad demostrable \( -(-n + m) = +n – m \) y aplicado a la expresión \( – ( -7ab^3 + 15x^2 – 9xy^7 ) \) resulta ser equivalente a \( + 7ab^3 – 15x^2 + 9xy^7 \). Identificamos los términos semejantes, siendo \( \color{red}{x^2} \), \( \color{blue}{ xy^7 } \) y \( \color{green}{ ab^3 } \) como factores comunes, tenemos:

\[ \begin{align} & = \color{red}{ -6x^2 + 13x^2 – 15x^2 } \color{blue}{ + 15xy^7 + 4xy^7 + 9xy^7 } \color{green}{ -ab^3 + 2ab^3 + 7ab^3 } \\ & = \color{red}{ ( -6 + 13 – 15 ) x^{2} } + \color{blue}{ ( 15 + 4 + 9 ) xy^{7} } + \color{green}{ ( -1 + 2 + 7 ) ab^{3} } \\ & = \color{red}{ -8x^2 } + \color{blue}{ 28xy^7 } + \color{green}{ 8ab^3 } \end{align} \]

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• \( 3x^2y^3z \), la suma de sus exponentes es \( 3+1+1 = 5 \)
• \( – 5xyz^2 \), la suma de sus exponentes es \( 1+1+2 = 4 \)
• \( 2xy^2z^2 \), la suma de sus exponentes es \( 1 + 2 + 2 = 5 \)
• \( 7x^2z \), la suma de sus exponentes es \( 2+1=3 \)

Escogemos el mayor valor de estos resultados, en este caso el mayor valor es el \( 5 \), por tanto, decimos que el grado absoluto del polinomio de 4 términos es \( 5 \). Representamos el grado absoluto con el simbolo \( \mathrm{GA} \) de la siguiente manera:

\[ \mathrm{ GA[P] } = 5 \]

\[ \begin{align} \mathrm{ P } (x,y) + \mathrm{ Q } (x,y) & = (3x^2y + 4xy + 5x + 7) + (2x^3y + 4xy^2 + 6y + 8) \\ & = 2x^3y + 3x^2y + 4xy^2 + 5x + 6y + 15 \end{align} \]

Si sumamos todos los exponentes de cada término de \( \mathrm{ P } (x,y) + \mathrm{ Q } (x,y) \), notamos que el mayor valor se lo gana el término \( 2x^3y \) con un valor de 4, en este caso el grado absoluto de esta suma es \( \mathrm{ GA[P+Q] } = 4 \), vemos que también tiene el mismo grado que \( \mathrm{ GA[Q] } = 4 \).

Supongamos que queremos restar los polinomios \( \mathrm{ P } (x,y) \) y \( \mathrm{ Q } (x,y) \), tenemos:

\[ \begin{align} \mathrm{ P } (x,y) – \mathrm{ Q } (x,y) & = (3x^2y + 4xy + 5x + 7) – (2x^3y + 4xy^2 + 6y + 8) \\ & = 3x^2y – 2x^3y + 4xy – 4xy^2 + 5x – 6y -1 \end{align} \]

Vemos que el término \( -2x^3y \) de esta resta tiene como valor máximo la suma de sus exponentes que el resto de sus términos de \( \mathrm{P} – \mathrm{Q} \), además su valor es \( 4 \), es decir, el mismo valor que \( \mathrm{ GA[Q] } = 4 \).

Estos casos particulares se pueden generalizar en el siguiente teorema que viene a continuación.

Teorema del grado absoluto de la suma o resta de polinomios

Sean dos polinomios \( \mathrm{P} \) y \( \mathrm{Q} \) de una misma variable tal que sus grados absolutos cumplan la desigualdad \( \mathrm{ GA[P] } \geq \mathrm{ GA[Q] } \), entonces se cumple que el grado absoluto de \( \mathrm{P \pm Q} \) es \( \mathrm{ GA[P] } \).

Tenemos dos polinomios de \( \mathrm{ P } (x) \) y \( \mathrm{ Q } (x) \) de grado absoluto \( m \) y \( n \) , respectivamente, donde \( m \geq n \) tal que:

• \( \mathrm{ P } (x) = a_mx^m + a_{m-1} x^{m-1} + \dots + a_1x + a_0 \)
• \( \mathrm{ Q } (x) = b_nx^n + b_{n-1} x^{n-1} + … + b_1 x + b_0 \)

Donde \( a_i \) y \( b_i \) son los coeficientes de estos polinomios para todo número natural \( i \), sumando los polinomios y lo ordenamos de manera descendente, tenemos:

\[ \begin{align} \mathrm{ P } (x) + \mathrm{ Q }(x) & = ( a_mx^m + a_{m-1} x^{m-1} + … + a_1x + a_0 ) \pm ( b_nx^n + b_{n-1} x^{n-1} + … + b_1x + b_0 ) \\ & = a_m x^m \pm b_n x^n + \dots + a_0 \pm b_0 \end{align} \]

Este orden se debe porque como \( m \geq n \), entonces el grado absoluto de \( \mathrm{P+Q} \) es \( m \), probando que \( \mathrm{ GA[P \pm Q] } = \mathrm{ GA[P] } \)

Entendiendo este concepto, ahora vamos a estudiar la aplicación del grado relativo en este capítulo.

El grado relativo hace referencia al máximo exponente de una de las variables de un término de un polinomio de varias variables.

Ejemplo:

Sea el polinomio de 6 términos de dos variables:

\[ \mathrm{P}(x,y) = 3x^2y^4 – 2xy^3 + x^3y^2 + 5x^2y – 4xy^2 + 2x + 1 \]

Si buscamos el mayor exponente de la variable \( x \), vemos que se encuentra en el término \( x^3y^2 \) con un valor de \( 3 \), este sería el grado relativo de \( x \) y se representa así:

\[ \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [P] } = 3 \]

Si ubicamos el mayor valor del exponente de la variable \( y \) de uno de los términos del polinomio \( \mathrm{P} \), el término sería \( 3x^2y^4 \) y su valor es \( 4 \), representaríamos el grado relativo del \( y \) así:

\[ \mathrm{ GR }_y \mathrm{ [P] } = 4 \]

Aclarado este punto, enseguida explicaremos el grado relativo de la suma y resta de polinomios.

La explicación es similar al grado absoluto de la suma de dos polinomios, solo que en este caso no centramos en una variable de un término de la suma de polinomios de varias variables.

Sí, tenemos dos polinomios de dos variables \( \mathrm{ P } (x,y) \) y \( \mathrm{Q} (x,y) \) con su respectivo grado relativo \( n \) y \( m \) respecto a \( x \) cumpliéndose que \( n \geq m \), entonces el grado relativo respecto a \( x \) de la suma del polinomio es \( \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [P + Q] } =n \).

Ejemplo:

Tenemos los siguientes polinomios de 3 términos con solo dos variables \( \mathrm{ P }(x,y) = 3x^2y – 4xy + 2 \) y \( \mathrm{ Q }(x,y) = 5x^3 – 2y^2 + 7 \), su grado relativo respecto a la variable \( x \) de cada polinomio es \( \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [P] } = 2 \) y \( \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [Q] } = 3 \). Sumando o restando estos polinomios, tenemos:

• \[ \mathrm{ P }(x,y) + \mathrm{ Q }(x,y) = (3x^2y – 4xy + 2) + (5x^3 – 2y^2 + 7) = 5x^3 + 3x^2y – 4xy – 2y^2 + 9 \]
• \[ \mathrm{ P }(x,y) – \mathrm{ Q }(x,y) = (3x^2y – 4xy + 2) – (5x^3 – 2y^2 + 7) = -5x^3 + 3x^2y + 4xy – 2y^2 – 5 \]

La pregunta es, ¿cuál es el mayor exponte respecto a la variable \( x \) de esta suma o resta?, vemos que sería \( 3 \) tomado del término \( 5x^3 \), por tanto, el grado relativo respecto a \( x \) de esta suma o resta es \( \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [P \pm Q] } = 3 \) cumpliéndose \( \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [ P \pm Q ] } = \mathrm{ GR_x [Q] } \).

Ahora tomemos el grado relativo de respecto a \( y \), de los polinomios mencionados, como también de la suma o resta de los mismos, serían \( \mathrm{ GR }_y \mathrm{ [P] } = 1 \), \( \mathrm{ GR }_y \mathrm{ [Q] } = 2 \) y \( \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [P + Q] } = 2 \). Concluimos que \( \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [P+Q] } = \mathrm{ GR }_x \mathrm{ [Q] } \).

Particularmente probamos que el grado relativo de la suma o resta de polinomios respecto de cualquier variable siempre es el mayor grado relativo respecto a esa misma variable de uno de los polinomios a sumar.

Teorema del grado relativo de la suma o resta de polinomios

Sea los polinomios \( \mathrm{P} \) y \( \mathrm{Q} \) tal que el grado relativo de \( \mathrm{P} \) sea mayor o igual a \( \mathrm{Q} \) respecto a cualquier variable seleccionada, se cumple que el grado relativo de la suma \( \mathrm{P+Q} \) es igual al mayor grado relativo o igual a \( \mathrm{P} \), es decir, se cumple que \( \mathrm{ GR }_i \mathrm {[P+Q] } = \mathrm{ GR }_i \mathrm{ [P] } \), donde \( i \) es cualquier variable seleccionada de los polinomios \( \mathrm{P} \) y \( \mathrm{Q} \).

Demostración:

Sabemos que los grados relativos respecto a una variable de los polinomios \( \mathrm{P} \) y \( \mathrm{Q} \) cumple la condición \( \mathrm{GR}_i \mathrm{ [P] } \geq \mathrm{GR}_i \mathrm{ [Q] } \). Sean \( \mathrm{GR}_i \mathrm{ [P] } = n \) y \( \mathrm{GR}_i \mathrm{ [Q] } = m \). Sea también \( \mathrm{GR}_i \mathrm{ [P + Q] } = p \).

1. Comencemos por \( \mathrm{GR}_i \mathrm{ [P] } = \mathrm{GR}_i \mathrm{ [Q] } \), es decir \( m=n \), como \( \mathrm{ P + Q } \) comparten dos términos con la misma variable \( i \) como único máximo exponente \( m=n \) de \( \mathrm{ P } \) y \( \mathrm{ Q } \) respectivamente y como \( p \) también es el único máximo exponente de un término de \( \mathrm{ [P+Q] } \), entonces se cumple que \( m=n=p \), para este caso probamos que \( \mathrm{ GR }_i \mathrm{ [P+Q] } = \mathrm{ GR }_i \mathrm{ [P] } \), de esta manera probamos la igualdad.
2. Tomando \( \mathrm{GR}_i \mathrm{ [P] } > \mathrm{GR}_i \mathrm{ [Q] } \), es decir \( m>n \), como el polinomio \( \mathrm{ P + Q } \) comparten dos términos con la misma variable \( i \) donde \( m \) y \( n \) resulta ser exponentes de máximo valor de \( \mathrm{P} \) y \( \mathrm{Q} \) respectivamente, pero como \( p \) también es un máximo de \( \mathrm{ P+Q } \), entonces se cumple que \( m=p \) para un único valor máximo, ya que \( n \) es inferior a \( m \) en \( \mathrm{ P+Q } \), para este caso, probamos que \( \mathrm{ GR }_i \mathrm{ [P+Q] } = \mathrm{ GR }_i \mathrm{ [P] } \).

De los dos casos anteriores, se demuestra que \( \mathrm{ GR }_i \mathrm{ [P+Q] } = \mathrm{ GR }_i \mathrm{ [P] } \) para la desigualdad \( \mathrm{GR}_i \mathrm{ [P] } \geq \mathrm{GR}_i \mathrm{ [Q] } \).

Actualizaremos este capítulo para agregar ejercicios resueltos adicionales, por lo pronto disfruta del desarrollo teórico, gracias por llegar hasta aquí.