3. Principio De Los Intervalos Encajados

Este concepto debe entenderse como aquel intervalo dentro de otros intervalos, como una especie de una caja dentro de otra caja, la utilidad de usar el Principio De Los Intervalos Encajados es un equivalente al axioma del supremo, pero para casos muchos más prácticos.

Un punto interesante a diferencia del axioma del supremo es que la estrategia de este método es buscar el mínimo intervalo que a su vez está dentro de otros intervalos, si buscamos el enésimo intervalo dentro de otros donde n→∞ entonces ese intervalo contendrá al menos un punto, se puede decir que el intervalo cada vez se va haciendo más pequeño.

Para que esto suceda, los intervalos deben ser cerrados, porque si fueran abiertos, el ultimo intervalo abierto 〈a,b〉 sería tan pequeño que algún momento ocurre que si a=b, entonces el intervalo 〈a,b〉 sería vacío, es decir,  〈a,b〉=ϕ, por tal razón, los intervalos deben ser cerrados.

Este sistema de continuidad de números reales es una alternativa del axioma del supremo y son equivalentes. No usaremos el axioma del supremo para demostrar este sistema, en el curso de números reales será tomada como conceptos independientes y solo nos limitaremos a indicar su equivalencia.

♠ Acordeón

Lo que verás en este acordeón son algunos conceptos básicos auxiliares lo que significa que puedes pasar tranquilamente de ellos y seguir con el tema central de la sección, aclarando este punto, tu elección depende de ti.

Definición:

Sea la desigualdad a≤b, entonces el conjunto {x∈R|a≤x≤b} se llama intervalo cerrado y se denota por [a,b]={x∈R|a≤x≤b}.

Axioma 1: (existencia)

Para todo intervalo cerrado de números reales [a,b], siempre existe un número real x tal que x∈[a,b].

Propiedad 1:

Un intervalo cerrado nunca es vacío.

Demostración:

Suficiente haciendo a=b, tenemos que:

[a,b]=[a,a]={x∈R|a≤x≤a}={x∈R|x=a}

El intervalo se reduce a un punto de la recta real, esto demuestra que no existe un intervalo cerrado vacío.

Propiedad 2:

Sea dos intervalos [a_1,b_1] y [a_2,b_2]  tal que [a_2,b_2 ]⊆[a_1,b_1], entonces b_2-a_2≤b_1-a_1.

Demostración:

Como [a_2,b_2 ]⊆[a_1,b_1], entonces se cumple que a_1≤a_2≤b_2≤b_1, gráficamente se puede entender mejor esta desigualdad:

Representación gráfica de dos intervalos encajados anidados en una recta numérica

separándolas, tenemos:

  •  a_1≤a_2
  •  b_2≤b_1

Sumándolas, resulta:

a_1+b_2≤a_2+b_1→b_2-a_2≤b_1-a_1

Las diferencias b_2-a_2 y b_1-a_1 de los intervalos [a_2,b_2 ] y [a_1,b_1] respectivamente se llama amplitud, esta definición lo puedes encontrar más abajo en el tema principal de la sección.

Nota: También podemos representar a b_2-a_2 y b_1-a_1 como L_2 y L_1 como las amplitudes de los intervalos [a_2,b_2 ] y [a_1,b_1] que a su vez lo podemos representar así I_2 e I_1. Decimos que si I_2⊆I_1, entonces L_2≤L_1.

Propiedad 3: (antes de ver la demostración, véase la propiedad 1 de la pestaña de “cuantificadores aplicado a las relaciones” de orden de este acordeón).

Sea [a_2,b_2 ]⊆[a_1,b_1]  y para todo ε>0 y ε^*>0  tal que a_2-a_1<ε y b_1-b_2<ε^*, entonces:

[a_2,b_2 ]=[a_1,b_1]

Demostración:

Véase la ilustración:

Representación gráfica de dos intervalos encajados anidados en una recta numérica donde se indican la distancia de los extremos izquierdos y los derechos de los intervalos

Observe que las distancias entre los puntos a_1 y a_2 es a_2-a_1 y para los puntos b_1 y b_2  es b_1-b_2, si estas distancias se hacen cada vez más pequeñas, entonces para todo ε>0 y ε^*>0, se cumple que a_2-a_1<ε y b_1-b_2<ε^*, entonces por la propiedad 1 que lo puedes encontrar en la siguiente pestaña de cuantificadores para las relaciones de orden que está más abajo, se cumple que a_2-a_1≤0  y b_1-b_2≤0, como a_2-a_1 y b_1-b_2 son longitudes, entonces no puede ser negativas (ver gráfico), resultando a_2-a_1=0 y b_1-b_2=0, aplicando en [a_2,b_2 ]⊆[a_1,b_1], demostramos que [a_2,b_2 ]=[a_1,b_1].

Ejemplo explicativo:

Sea el conjunto A={1,2,3,4,5}  y sea la desigualdad x<3, si decimos que x∈A, entonces encontramos tanto una falsedad como una verdad, veamos los siguientes casos:

I. Si x=1, entonces 1=x<3 es verdadera.

II. Si x=2, entonces 2=x<3 es verdadera.

III. Si x=3, entonces 3=x<3 es falso (un número no puede ser menor que si mismo).

IV. Si x=4, entonces 4=x<3 es falso.

V. Si x=5, entonces 5=x<3 es falso.

Cuando escribimos x∈A sin especificar el comportamiento de x, no podemos saber si es verdadero o falso, en este caso, decimos que x<3 es una función proposicional con valor de verdad indefinido.

Pero si escribimos literalmente que “Existe un x∈A tal que x<3”, entonces, semánticamente podemos saber que si existen valores de x∈A que cumple la desigualdad x<3 y son los casos I y II. La frase “Existe un” se denota por el símbolo ∃, en este caso, escribimos:

  • ∃x∈A tal que x<3” siendo una proposición verdadera.

Ahora, si escribimos literalmente que “Para todo x∈A tal que x<3”, entendemos que no todos los valores del conjunto A cumple con tal argumento ya que no se satisface para los casos III, IV y V, para indicar simbólicamente que no satisface para todos los casos, usamos la frase “Para todo” se denota por el símbolo ∀, nuestro nuevo argumento se escribe así:

  • ∀x∈A tal que x<3”, con lo explicado, esta proposición es falsa.

Los símbolos denotados por “∀” y “∃” con su significado explicado en párrafos anteriores se llaman cuantificadores y como verán, tiene la capacidad de elección y en base a eso, definir su valor de verdad.

Ahora, sea x∈R, si decimos ∀x>0 tal que 2x+3>7, resulta ser un enunciado falso, ¿por qué?, resolviendo la desigualdad, vemos que x>2, de aquí, contradice al enunciado ∀x>0 ya que significa que deben tomarse todos los reales desde el 0 (sin incluirlo) hasta el infinito, es decir, también toma valores entre cero 02, si tomamos por ejemplo x=1, contradice la desigualdad x>2.

Para entenderlo mejor, miremos los siguientes ejemplos:

  • Si x∈R, entonces ∀x>3 significa lo mismo que ∀x∈〈3,+∞〉. Si para este caso, suponemos que y<x, implica que y debe ser menor que todo el intervalo 〈3,+∞〉, en otras palabras, y siempre es menor e igual 3 (y≤3), digo igual porque si x no toma el numero 3, el valor de y sí lo puede tomar.
  • Si x∈Z^+, entonces ∀x<5 significa lo mismo que ∀x∈{1,2,3,4}, en este caso, si y>x, significa que C:\Users\sergi\Desktop\intervalos encajados imagenes\Intervalos encajados_archivos\image152.png debe ser mayor que toda la colección de enteros del conjunto {1,2,3,4}, en otras palabras, y siempre es mayor que 4 (y>4). En base a esto, determinamos las siguientes equivalencias:

Algunas Equivalencias:

Sea x∈R, se cumple las siguientes equivalencias:

1. Este enunciado ∀x>a|y<x es lo mismo que decir que y≤a.
Te lo explico, ∀x>a equivale a decir que ∀x∈〈a,+∞〉, ahora, si digo que y<x, es lo mismo que decir y es menor que todo el intervalo 〈a,+∞〉 (se encuentra de lado izquierdo del intervalo), entonces y puede estar en algún punto del intervalo ⟨-∞,a], lo que implica que y es menor o igual que a, entonces se cumple la desigualdad y≤a.

2. El enunciado ∀x>a|y≤x es lo mismo que decir que y≤a, la misma conclusión como en caso anterior, entonces y debe estar a la izquierda del intervalo 〈a,+∞〉, la misma lógica nos dice que y≤a. Por lo visto, no hay ninguna diferencia con las desigualdades y<x e y≤x.

Podemos diseñar más ejemplos para casos particulares como ∀x<0∀x≤3 o ∀x∈[-2,10⟩ donde x∈R, pero lo importante es que tu logres entender este punto. En base a los ejemplos anteriores, presentamos las siguientes propiedades que haremos uso en esta sección:

Propiedad 1:

Si ∀x>0 y a≤b+x, entonces a≤b.

Prueba:

Comencemos de la desigualdad a≤b+x, se deduce a-b≤x, como ∀x>0, de la equivalencia 2, se cumple que a-b≤0, por tanto, demostramos que a≤b. Esta propiedad la usaremos para demostrar algunos conceptos de la sección actual.

Propiedad 2:

Sea 3 números reales xy y z, sea la desigualdad x≤y≤x+z, para todo z>0, se cumple que x=y.

Prueba:

De la desigualdad x≤y≤x+z, la escribimos así 0≤y-x≤z, cómo debe cumplirse para todo z>0, de la equivalencia 2, se sabe que y-x≤0, pero como también se cumple 0≤y-x, entonces y-x=0, por tanto x=y.

Propiedad 3:

Sea x∈R, si ∀x>0 se cumple una propiedad p(x), también debe cumplir ∀1/x>0.

Prueba:

Como x>0, entonces 1/x>0 (esta propiedad de orden se demuestra por el método del absurdo), lo que implica que {x,1/x}⊆⟨0,+∞], y como x debe cumplir para todos los valores del intervalo ⟨0,+∞] para la propiedad p(x), también debe cumplir para todo 1/x la misma propiedad p(x) ya que 1/x∈⟨0,+∞].

Si gustas, puedes revisar la sección de relación de equivalencia del curso de relaciones matemáticas que tratamos anteriormente, en este acordeón presentaremos un esbozo para el tema actual.

Sea un conjunto A={a_1,a_2,a_3,…,a_n }, se dice que los elementos de este conjunto son equivalentes si cumplen 3 propiedades. Para dos elementos del conjunto A, digamos a_i y a_j tal que i,j∈Z^+, son equivalentes y se denota por a_i≈a_j, cumpliéndose las siguientes condiciones:

  • Reflexiva: a_i≈a_i, un elemento del conjunto  A  está relacionado consigo mismo.
  • Simétrico: a_i≈a_j∧a_j≈a_ia_i está relacionado con a_j y a_j está relacionado a_i.
  • Transitiva: a_i≈a_j∧a_j≈a_k⇒a_i≈a_k, Si a_i está relacionado a_j y a_j está relacionado a_k, entonces a_i está relacionado a_k.

Sugerimos que estudie la sección de relaciones de equivalencia ya que usaremos algunas propiedades en esta sección.

Otro concepto que debemos tener en cuenta es la partición de un conjunto. Por ejemplo, la partición de un conjunto B es un conjunto de subconjuntos disjuntos de B que forman a B. Veamos un ejemplo rápido, sea el conjunto:

B=B_1∪B_2∪B_3

Donde B_1B_2 ni B_3 no tiene elementos en común, es decir, que son disjuntos de dos en dos B_1∩B_2=ϕB_2∩B_3=ϕ y B_1∩B_3=ϕ, entonces el conjunto C={B_1,B_2,B_3 } es una partición y la unión de todas ellas siempre es el conjunto de origen B. Cuando estos conjuntos son disjuntos, en lugar de usar el símbolo de unión “∪”, usaremos el símbolo suma “+” para indicar que estamos uniendo subconjuntos disjuntos así:

B=B_1+B_2+B_3

Cuando queremos aproximar una sucesión a un número fijo para números reales siempre y cuando la sucesión sea convergente (que la sucesión no crezca indefinidamente a medida que se le da valores enteros positivos hasta el infinito), realizamos la siguiente estrategia:

Sea la sucesión finita {a_n }={a_1,a_2,a_3,…,a_n }  donde n∈Z^+, si a_n se hace más pequeño a medida que n crece, se acercará cada vez más a un número desconocido al que queremos averiguar, llamémoslo x, tenemos las siguientes diferencias:

  • x-a_1, pequeño
  • x-a_2, más pequeño
  • x-a_3, mucho más pequeño
  • ⋮
  • x-a_n, super pequeño

Si en algún momento hacemos que n tienda al infinito, entonces x-a_n=0, por lo que estas diferencias no se cumplen para todo n  (~∀n∈Z^+), solo para cuando n se hace infinitamente grande. Si has estudiado los conceptos de “cuantificadores para las relaciones de orden” más arriba en este acordeón, entenderás lo que haré en este momento:

Sea N∈Z^+ y tenemos la siguiente desigualdad n>N, para mandar al infinito a n, decimos que la desigualdad n>N se cumple para todo N (∀N∈Z^+), de esta manera solo tomamos el único valor n cuando crece indefinidamente y se excluye para otros valores finitos de n, de esta manera la sucesión {a_n } logra acercarse a x con facilidad, cuando una sucesión se acerca a x, decimos que la sucesión converge a x, si es así, decimos también que la sucesión es convergente.

Para indicar que x-a_n se está haciendo muy pequeño cuando n crece indefinidamente, debemos “empujar” la desigualdad x-a_n hasta cero, sea la desigualdad:

x-a_n<ε

Para que x-a_n se haga lo suficientemente pequeño, usamos el cuantificador universal aplicado a ε, así:

∀ε>0,x-a_n<ε

Esto implica que x-a_n no puede tomar los valores de ε>0, como explicamos mas arriba del acordeón de cuantificadores. Por último, como no sabemos si la {a_n } se acerca por la derecha o la izquierda de x, la diferencia x-a_n puede ser negativa o positiva, Este pequeño inconveniente lo podemos solucionar con el valor absoluto, así:

∀ε>0,|x-a_n |<ε

Con estas correcciones, planteamos la siguiente definición:

Definición de sucesión convergente:

Una sucesión {a_n } es convergente tal que para todo ε>0 de números reales, existe un x tal que para todo N∈Z^+ donde n>N, se cumple la desigualdad:

|a_n-x|<ε

En el infinito se cumple que:

a_(n→∞)=x

Con todo esto, podemos comenzar con la sección actual que nos corresponde.

Índice De La Entrada

sistema de segmentos encajados (definición)

Llamamos sistema de segmentos encajados al conjunto de intervalos cerrados de números reales {I_1,I_2,I_3,…I_i…}  simbolizado por {I_i }_(i∈Z^+ ) tal que para todo i∈Z^+ se cumple que I_(i+1)⊆I_i, esto es, el intervalo siguiente está incluido en el anterior, por tal motivo, decimos que I_i es un segmento encajado.

Nota: La razón de usar el símbolo del conjunto de los enteros positivos Z^+ y no el símbolo del conjunto de los números naturales N es porque aún no hay acuerdo si los naturales deben incluir el número cero (0) o no, por tal motivo, nos quedamos con Z^+.

La definición nos dice que debe existir una familia de conjuntos de números reales {I_1,I_2,I_3,…I_i,I_(i+1)…} para todo i∈Z^+ tal que intuitivamente cumpla lo siguiente:

⏟(⋯I_(i+1)⊆I_i⊆⋯⊆I_4⊆I_3⊆I_2 )┬(⟵ {█(Intervalos cada@vez mas pequeños)} )⊆⏟(I_1 )┬█(Intervalo@mas@grande)…(I)

Originalmente Cantor usó esta teoría con extremos racionales a y b de un intervalo dado I=[a,b]  para definir los números reales por medio de un conjunto de intervalos encajados que convergen a un único punto dado, esto lo veremos más adelante, asumiremos mientras tanto que los segmentos encajados son subconjuntos de números reales.

La sucesión inclusiva de segmentos encajados que acabamos de ver en (I) implica una reducción sucesiva de intervalos subsiguientes con respecto al anterior, es decir, un intervalo contiene al otro, podemos visualizarlo mejor en una recta real:

Representación gráfica de los segmentos encajados en una recta real

Los intervalos con índice mayor se van reduciendo, por ejemplo, para dos intervalos particulares I_3 y I_4 del gráfico, sabemos que I_4⊆I_3, si definimos los intervalos como I_3=[a_3,b_3 ] e I_4=[a_4,b_4 ], , entonces se cumple:

a_3≤a_4≤b_4≤b_3

Observe que esta desigualdad es el mismo del gráfico que ilustramos más arriba en color azul. De manera general, para dos intervalos I_n=[a_n,b_n ] y I_(n+1)=[a_(n+1),b_(n+1) ] donde I_(n+1)⊆I_n se cumple:

a_n≤a_(n+1)≤b_(n+1)≤b_n

O su equivalente

[a_(n+1),b_(n+1) ]⊆[a_n,b_n ]

Para todo n∈Z^+.

Ejemplo 1

Sea el intervalo I_n=[2-1/2^n ,2+1/2^n ], tomemos los intervalos I_1I_2I_3 y I_4, tenemos:

  •  I_1=[2-1/2,2+1/2]=[1.5,2.5]
  •  I_2=[2-1/2^2 ,2+1/2^2 ]=[1.75,2.25]
  •  I_3=[2-1/2^3 ,2+1/2^3 ]=[1.875,2.125]
  •  I_4=[2-1/2^4 ,2+1/2^4 ]=[1.9375,2.0625]

Todos estos valores son exactos, observe que se cumple la desigualdad:

1.5≤1.75≤1.875≤1.9375≤2.5≤2.25≤2.125≤2.0625

De hecho, para el intervalo I_(n+1)=[2-1/2^(n+1) ,2+1/2^(n+1) ], fácilmente se puede probar con algunas operaciones algebraicas obteniéndose:

2-1/2^(n+1) ≤2-1/2^n ≤2+1/2^(n+1) ≤2+1/2^n

Decimos entonces que el intervalo I_n=[2-1/2^n ,2+1/2^n ] define un sistema de segmentos encajados {[2-1/2^n ,2+1/2^n ]}_(n∈Z^+ ), por tanto, I_n es un segmento encajado como establece la definición.

Amplitud de un segmento encajado (definición)

Sea un segmento encajado I_n=[a_n,b_n], definimos amplitud (también llamado elemento de separación o frontera) a la longitud del intervalo denotado por L_n tal que L_n=b_n-a_n. Es decir, la amplitud es la diferencia del extremo superior y el extremo inferior de un intervalo dado.

Ejemplo 2

Del ejemplo 1, la amplitud del segmento encajado I_n=[2-1/2^n ,2+1/2^n ] es:

L_n=2+1/2^n -(2-1/2^n )=2/2^n

Si n tiende al infinito (n→∞), entonces L_n tiende cada vez a cero (L_n→0). si usamos el cuantificador “para todo” simbolizado por ∀, podemos escribirlo este último paso así ∀N∈Z^+ tal que n>N implica que L_n→0. Observe ∀N∈Z^+ donde n>N es similar (pero no igual) que n→∞, El uso del cuantificador “∀” para sucesiones lo explico en el acordeón introductorio al inicio de la sección, sugerimos que estudie ese punto.

Volviendo del ejemplo, el intervalo [2-1/2^n ,2+1/2^n ] se hace tan pequeño que los extremos logran ser iguales, esto es:

2-1/2^n =2+1/2^n

Si intentamos resolver esta ecuación, n resulta ser muy grande, es decir, n tiende al infinito, de hecho, el intervalo 2-1/2^n =2+1/2^n  se aproxima a un único elemento {2} ya que 1/2^n →0, simbólicamente:

[2-1/2^n ,2+1/2^n ]→[2,2]={2}

Pero no siempre un segmento encajado tiene longitud igual a cero a medida que n crece, veamos un ejemplo particular.

Ejemplo 3

Sea el segmento encajado I_n=[2-1/2^n ,3+1/2^n ], se cumple que I_(n+1)⊆I_n, su amplitud es:

L_n=3+1/2^n -(2-1/2^n )=1+2/2^n

Observe que si n crece hasta el infinito, entonces L_n→1 ya que 2/2^n →0. Note también que del intervalo I_n=[2-1/2^n ,3+1/2^n ] cuando n crece hasta el infinito ocurre que I_n→[2,3] donde este intervalo tiene amplitud 1 igual a la amplitud L_n  cuando n tiende al infinito. Los segmentos encajados cumplen una propiedad de relación de orden, este concepto lo puedes ver en la sección de relaciones binarias, veamos lo que trata este punto.

Teorema 1

Sea una familia de segmentos encajados {I_i }_(i∈Z^+ ), entonces para todo ε>0 existe una longitud L tal que n>N para todo N∈Z^+ se cumple que L_n-L<ε.

Este teorema dice que L es el menor de todas las amplitudes de I_i. (si no comprendes la razón de esta desigualdad n>N, consulta la última pestaña del acordeón, allí entenderás adecuadamente el concepto).

Demostración:

Sea un segmento encajado I_n=[a_n,b_n], por definición de intervalo cerrado (ver acordeón) se cumple siempre que a_n≤b_n para todo N∈Z^+ tal que n>N, como I_n es un segmento encajado, deben existe dos números reales a y b tal que a_n≤a y b≤b_n a medida que I_n se hace más pequeño cuando n crece, de la propiedad 3 de intervalos (ver acordeón) se cumple que para todo ε_1>0 y ε_2>0, entonces a-a_n<ε_1 y b_n-b<ε_2. Sumando estas desigualdades, resulta:

(b_n-b)+(a-a_n )<ε_2+ε_1

(b_n-a_n )┬(L_n )-⏟((b-a) )┬L<ε_2+ε_1

L_n-L<ε_2+ε_1=ε

Y como debe cumplirse para todo N∈Z^+ tal que n>N, demostramos que existe un L que cumple L_n-L<ε y además es el menor de todos. Tenga en cuenta que L≤L_n ya que I⊆I_n para todo n∈Z^+.

Teorema 2

Para todo i∈Z^+, el segmento encajado I_i nunca es vacía.

Demostración:

De la propiedad 2 de intervalos (ver acordeón), dice que no existe un intervalo cerrado vacío, como el segmento encajado I_i es un intervalo cerrado para todo i∈Z^+, entonces I_i nunca es vacía.

Relación de orden respecto a la inclusión de una familia de segmentos encajados

Tomemos el intervalo I_n=[2-1/2^n ,3+1/2^n ]  de ejemplos anteriores, sabemos que I_(n+1)⊆I_n, entonces I_(n+1)∩I_n=I_(n+1). Significa que la intersección de un intervalo grande I_n con un intervalo pequeño I_(n+1) resulta ser el intervalo pequeño I_(n+1) si I_(n+1)⊆I_n.

Ya habíamos estudiado el concepto de relación de orden en la sección de relaciones binarias, una relación de orden es cuando cumple la propiedad reflexiva, antisimétrica y transitiva.

  • Es reflexiva porque un elemento está relacionado consigo mismo, en el caso de los segmentos encajados, un intervalo está incluido a sí mismo, es decir:
    I_n⊆I_n Esto es lógico porque se trata del mismo conjunto.
  • Es antisimétrica porque si I_(n+1)⊆I_n entonces I_n⊈I_(n+1), aunque la relación antisimétrica dice que si a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a=b. Para el caso de dos intervalos I_a  y I_b definidos por un segmento encajado y suponiendo que ocurra I_a⊆I_b y I_b⊆I_a, entonces I_a=I_b por definición de segmentos encajados. Esto significa que un segmento más grande no puede ser subconjunto de un segmento más pequeño, es absurdo.
  • Es transitiva porque si I_a⊆I_b y I_b⊆I_c, entonces I_a⊆I_c, el más pequeño siempre está incluido en cualquier segmento más grande por ser segmentos encajados.

Por tanto, un segmento encajado cumple una relación de orden con respecto a la inclusión. Sin embargo, también puede cumplir una relación de equivalencia (Hasta podría decirse que es más importante que la relación de orden), pero esto lo veremos en apartados más adelante y que usaremos para definir los números reales de una manera mas inteligente.

Intersección de segmentos encajados

Sea I_n y I_(n+k) dos intervalos definidos por una familia de segmentos encajados donde n,k∈Z^+, se cumple:

I_(n+k)⊆I_n⇔I_(n+k)∩I_n=I_(n+k)

Ejemplo 4

Tomemos el intervalo [2-1/2^n ,3+1/2^n ], entonces para el intervalo [2-1/2^(n+3) ,3+1/2^(n+3) ], fácilmente se puede comprobar que:

⏟([2-1/2^(n+3) ,3+1/2^(n+3) ] )┬(El mas pequeño)∩⏟([2-1/2^n ,3+1/2^n ] )┬(El mas grande)=⏟([2-1/2^(n+3) ,3+1/2^(n+3) ] )┬█(La intersección@del mas pequeño)

Tan solo es probar que 2-1/2^n ≤2-1/2^(n+3)  y 3+1/2^(n+3) ≤3+1/2^n  y la intersección resulta ser correcta. Por otro lado, si hacemos n→∞ entonces [2-1/2^n ,3+1/2^n ]→[2,3], lo que significa que:

[2,3]∩[2-1/2^n ,3+1/2^n ]=[2,3]

Esta intersección cumple para todo n∈Z^+. Esta demás decir que si n→∞ para indicar que 1/2^n →0 (la teoría de sucesiones y series lo estudiaremos en un capítulo especializado). Con este ejemplo en mente, definimos lo siguiente.

Definición del segmento mínimo

Sea L_n la amplitud de un segmento encajado, si para todo ε>0, existe un L tal que L_n-L<ε para todo N∈Z^+ donde n>N, entonces el segmento de L se llamará segmento mínimo.

Ya habíamos demostrado la existencia de la amplitud mínima L en el teorema 1, aquí solo le estamos dando un nombre adecuado para definir el principio de Cantor más adelante.

Teorema 3

El segmento mínimo I es única.

Demostración:

Supongamos que existe dos segmentos mínimos I e I^*, por definición, debe cumplirse que:

  •  ∀n∈Z^+,∃I|I_n∩I=I
  •  ∀n∈Z^+,∃I|I_n∩I^*=I^*

De aquí, si I es amplitud mínima para todas las familias de segmentos encajados, entonces I⊆I^*, de la misma manera, si I^* es amplitud mínima para todas las familias de segmentos encajados, también debe cumplirse que I^*⊆I. Por tanto, de I⊆I^* y I^*⊆I se cumple que I=I^*. De esta manera, se prueba que el segmento mínimo es único.

El Conjunto de intervalos encajados (definición)

Sea I_i un segmento encajado, llamamos al conjunto {I_i }_(i∈Z^+ ) intervalos encajados, familia de intervalos encajados o encaje de intervalos si la amplitud del segmento mínimo I es 0.

Ejemplo 5

Sea el segmento encajado I_n=[3-(n+1)/n,1+2^(1/√n)], si n→∞, ocurre lo siguiente:

[3-(n+1)/n,1+2^(1/√n) ]→[3-1,1+1]=[2,2]

Tenga en cuenta que (n+1)/n→1 y 2^(1/√n)→1 cuando n→∞ (también se dice ∀n∈Z^+), además el intervalo  [2,2] es un único elemento que representa conjunto {2}, es decir:

2∈[3-(n+1)/n,1+2^(1/√n) ],∀n∈Z^+

Observe que la amplitud de [2,2] es L=2-2=0, con respecto a este ejemplo, anunciamos el siguiente principio.

Principio de intervalos encajados de Cantor (teorema 4)

Si I_i⊆R define una familia de intervalos encajados, entonces existe un único punto x que esta contenida en I_i para todo i∈Z^+. Simbólicamente:

∀i∈Z^+,∃!x∈R|x∈I_i

Es decir, existe un punto en común que todas las familias de intervalos encajados comparten y es único. Si es así, entonces diremos que el segmento I_i converge a x y además diremos que I_i es convergente si y solo si cumple tal principio.

Demostración:

Como I_i define una familia de intervalos encajados, entonces la amplitud del segmento mínimo es L=0. Sea el intervalo I=[a,b] como el segmento mínimo de L, entonces:

L=b-a=0⇒a=b

Por consiguiente:

I=[a,b]={a}

Por la propiedad 1 de existencia del apartado de intervalos del acordeón, existe un x tal que:

x∈[a,b]={a}⇒x=a

Entonces I={x}, esto prueba que existe un punto convergente, como I es segmento mínimo, del teorema 3, resulta que es único, esto prueba el principio anunciado por Cantor (aunque él originalmente lo anunció con intervalos de números racionales)

En el ejemplo 5 ya explica particularmente este teorema. Por otro lado, este principio es equivalente al axioma del supremo, sirve para darle existencia a los números irracionales e indicar que los números reales es un sistema completo. Véase el siguiente apartado.

Los números racionales e irracionales

Con este principio podemos clasificar los racionales de los irracionales, se puede comprobar que no siempre existe un único punto convergente hacia un número racional, pero si tal punto existe en Q, entonces definimos a ese punto como un número racional propiamente dicho, en caso contrario, si no existe en Q, entonces definimos ese punto como numero irracional, bajo este criterio, determinamos la existencia del conjunto de números irracionales representado por el símbolo I.

Si los intervalos encajados de Cantor con extremos racionales son capaces de determinar racionales como puntos inexistentes no racionales llamados irracionales, entonces este sistema puede ser útil para determinar el campo de los números reales con las operaciones de campo y orden.

Originalmente Cantor definió los intervalos encajados con extremos racionales, pero antes de ello estudió las sucesiones de números racionales convergentes (la sucesiones y series lo estudiaremos en un curso aparte) y encontró algo peculiar, había series de números racionales que se aproximaban a otros números que no existían en C:\Users\sergi\Desktop\intervalos encajados imagenes\Intervalos encajados_archivos\image548.png, esto es, los números irracionales. Te presento los ejemplos inmediatamente después de la siguiente definición para este propósito.

Definición de Intervalos encajados con extremos racionales.

Llamamos intervalos encajados de extremos racionales {I_i }_(i∈Z^+ ) si el segmento encajado I_i para todo i∈Z^+ es un subconjunto de números racionales Q.

La razón de usar este método (mas no el único) que Cantor ideo después de estudiar las sucesiones convergentes, fue para definir los números reales ya que los irracionales que lo contenía era un sistema complejo de definir desde que los pitagóricos lo descubrieron sin saber cómo lidiar con ellos, primero veamos un ejemplo de intervalos encajados de extremos racionales cuando se aproxima cada vez a un racional y luego a un irracional como √2  (para ser más preciso, realmente no estamos definiendo nada, eso lo explico casi al final de la sección).

Ejemplo 6

El intervalo de ejemplos anteriores como [2-1/2^n ,2+1/2^n ] para cualquier valor de n contiene valores con extremos racionales, pero el punto aquí es que como el segmento debe ser solo subconjunto de racionales, entonces para cualquier n∈Z^+ debe existir algún x tal que x∈[2-1/2^n ,2+1/2^n ]  donde se supone que x debe ser racional.

En efecto, sabemos que el segmento [2-1/2^n ,2+1/2^n ]  convergen a 2, sin embargo, puede existir diferentes segmentos encajados que convergen al mismo punto 2, por ejemplo, el intervalo:

[3-(n+1)/n,2+n!/n^n ]

Cuando n crece hasta el infinito, entonces (n+1)/n se aproxima a  1 y n!/n^n  se aproxima a 0 (todo ello lo estudiaremos en un curso de sucesiones y series) por lo que este nuevo segmento converge también a 2:

[3-(n+1)/n,2+n!/n^n ]_(n→∞)=[3-1,2-0]=[2,2]={2}

Por tanto, para todo n∈Z^+, se cumple lo siguiente:

  •  [2-1/2^n ,2+1/2^n ] ∩{2}={2}
  •  [3-(n+1)/n,2+n!/n^n ]∩{2}={2}

Como acabamos de ver, estos dos segmentos de extremos racionales convergen a al número 2 que también es racional y es único, esto quiere decir que pueden existir infinitas familias de intervalos encajados que converjan a 2. Sin embargo, no siempre la convergencia hacia un número debe ser racional, esto es, que no exista, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7

¿Pero si por algún motivo, tal racional como único punto no existe?, como en el caso de la ecuación x^2=2 donde x no es racional, por este motivo, Cantor intento definir este número irracional por aproximaciones racionales sucesivas. Por ejemplo, si queremos aproximarnos a √2 usando números racionales, tendríamos una sucesión de segmentos encajados que debe converger a √2 de la siguiente manera:

[1,2]

[1.4,1.5]

[1.41,1.42]

[1.414,1.415]

[1.4142,1.4142]

Observe que estos segmentos se acercan cada vez más a √2, sin embargo, √2 no es un racional y tal punto no existiría para esta familia de intervalos encajados.

Una sucesión que se aproxima cada vez a  √2  dándole valores numéricos de enteros positivos según la siguiente función numérica es:

∀n∈Z^+ |a_n={■(a_1=1@1+1/(1+a_(n-1) ),n≥2)┤

Si comenzamos a darle valores a n, obtenemos los siguientes resultados:

  •  a_1=1
  •  a_2=1.5
  •  a_3=1.4
  •  a_4=1.4.16
  • a_5=1.4137 y así sigue indefinidamente y cada vez se acerca a √2. Con teoría de sucesiones, se puede demostrar que esta sucesión convergente.

Si n crece hasta el infinito, entonces ocurrirá que tanto a_n  y  a_(n-1) se acercarán tanto que serán iguales, si sucede tal caso, entonces a_n=a_(n-1)=x, tenemos:

a_n=1+1/(1+a_(n-1) )⇒x=1+1/(1+x)

Si resolvemos esta ecuación encontraremos que x=√2. Por tanto, si para cualquier valor de n que no tienda al infinito será un número racional, sin embargo, esta misma ecuación termina siendo un número no racional cuando n tiende al infinito.

Este punto lo hizo pensar a Cantor en lo siguiente: si no existe un racional como un único punto que comparten una familia de intervalos encajados racionales, entonces podemos definir a ese punto como numero irracional por aproximaciones racionales.

Pero como vimos en el ejemplo 6 que dos segmentos encajados diferentes convergen hacia un único punto, debemos también tener en cuenta que infinitos segmentos encajados definen un numero irracional, para solucionar este inconveniente, usaremos las propiedades de la relación de equivalencia en la siguiente sección.

Relación de equivalencia de intervalos encajados

Debemos establecer una equivalencia de dos sucesiones de intervalos encajados diferentes que convergen a un mismo punto, para lograrlo, debemos encontrar una relación matemática entre estas dos familias diferentes que comparten una misma convergencia.

Nota: Téngase muy en cuenta que todos los intervalos encajados que trabajaremos en este apartado son subconjuntos del campo de los números racionales Q ya que estas serán usadas estratégicamente para definir los números reales en su totalidad.

Sea dos segmentos encajados diferentes I_i y I_j y convergentes, si para todo ∀i,j∈Z^+ se cumple:

  •  ∀i∈Z^+ |I_i∩I=I
  •  ∀i∈Z^+ |I_j∩I=I

Como estamos trabajando con intervalos encajados, entonces, el segmento mínimo es un punto I={x} y sean los segmentos I_i=[a_i,b_i] e I_j=[a_j,b_j], para todo i,j∈Z^+, gráficamente tenemos:

Relación de equivalencia de dos intervalos encajados representados en una recta numerica

La estrategia aquí es que para que los segmentos I_i y I_j sea convergentes para un mismo punto C:\Users\sergi\Desktop\intervalos encajados imagenes\Intervalos encajados_archivos\image018.png definimos las siguientes condiciones (guiarse de los colores del diagrama de arriba):

  • a_i≤b_j   … (I)
  • a_j≤b_i   … (II)

Estas condiciones obligan que los segmentos I_i y I_j converjan al mismo punto x, es decir, que tengan una misma intersección en común, no olvide que debe cumplirse para todo i∈Z^+.

Para indicar que I_i y I_j convergen a un mismo punto x, lo denotamos por el símbolo I_i≈I_j, tal que cumpla la condiciones (I) y (II), teniendo:

I_i≈I_j⇔a_i≤b_j∧a_j≤b_i

Aunque la manera correcta de escribirlo es la siguiente:

[a_i,b_i]≈[a_j,b_j ]⇔a_i≤b_j∧a_j≤b_i

Sin olvidar (y lo repetiré mil veces) que debe cumplirse para todo i,j∈Z^+.

Note que el símbolo “≈” es el mismo símbolo que usamos para definir las relaciones de equivalencia en el curso de relaciones matemáticas (puedes ver en el acordeón un esbozo de este tema).

La razón es simple, es que los segmentos [a_i,b_i ]  y [a_i^*,b_i^*] cumplen una relación de equivalencia y por definición, esta debe ser reflexivasimétrica y transitiva esto es:

  • Es reflexiva, porque un segmento encajado convergente es equivalente consigo mismo:
    ⏟([a_i,b_i ] )┬(I_i )≈⏟([a_i,b_i ] )┬(I_i )⇔⏟(a_i≤b_i∧a_i≤b_i )┬█(Es la misma@Desigualdad) Para todo i∈Z^+.
  • Es simétrica, porque no solo debe cumplirse la equivalencia [a_i,b_i]≈[a_j,b_j], sino también esta otra [a_j,b_j ]=[a_i,b_i], en efecto, desde la definición de equivalencia:
    ⏟([a_i,b_i])┬(I_i )≈⏟([a_j,b_j])┬(I_j )⇔a_i≤b_j∧a_j≤b_icomo  a_i≤b_j∧a_j≤b_i  se puede escribir así  a_j≤b_i∧a_i≤b_j, entonces:
    a_j≤b_i∧a_i≤b_j⇔⏟([a_j,b_j])┬(I_j )≈⏟([a_i,b_i])┬(I_i )Para todo i∈Z^+.
  • Es transitiva, porque si I_i≈I_j y I_j≈I_k, entonces I_i≈I_k, comprobémoslo:
    Sea la equivalencia:
    ⏟([a_i,b_i])┬(I_i )≈⏟([a_j,b_j])┬(I_j )⇔a_i≤b_j∧a_j≤b_iy también:
    ⏟([a_j,b_j])┬(I_j )≈⏟([a_k,b_k])┬(I_k )⇔a_j≤b_k∧a_k≤b_jSi I_j define una familia de intervalos encajados, entonces converge a x, pero como I_i≈I_j y I_j≈I_k, es decir, es equivalente tanto con I_i como con I_k, implica también que convergen a x, tenemos:
    a_i≤x≤b_ia_j≤x≤b_ja_k≤x≤b_k Y debe cumplirse para todo i,j,k∈Z^+. De las desigualdades a_i≤x  y  x≤b_k se deduce que a_i≤b_k y de las desigualdades a_k≤x  y  x≤b_i se deduce que a_k≤b_i, esto implica lo siguiente:
    a_i≤b_k∧a_k≤b_i⇔⏟([a_i,b_i])┬(I_i )≈⏟([a_k,b_k])┬(I_k ) Y como siempre, cumple para todo i,j,k∈Z^+, una condición que nunca debe faltar. De esta manera queda probada la transitividad entre 3 segmentos encajados que convergen a un único y mismo punto x.

Bajo estos criterios que acabamos de descubrir, podemos definir el conjunto de múltiples segmentos encajados de números racionales diferentes que convergen a un punto x_m, sea el conjunto:

A={I_(i_1 ),I_(i_2 ),I_(i_3 ),…,I_(i_n ),…}

Escrito por comprensión, sería:

A={I_(i_m )⊆Q|m,i_m∈Z^+ }

Note que en el conjunto A pueden existir infinitos segmentos encajados, si cada I_(i_m ) convergen a sus puntos respectivos, entonces cada una de ellas define su propia familia de intervalos encajados, pero no necesariamente todos deben tener una misma convergencia, por ejemplo, puede suceder que:

  • I_(i_3 )≈I_(i_5 ), lo que significa que I_(i_3 ) y I_(i_5 ) pueden definir dos familias diferentes y convergen al punto x.
  • I_(i_30 )≈I_(i_17 ), donde su convergencia es y.
  • I_(i_17 )≈I_(i_65 ), y en este otro puede ser un z.

Decimos entonces que I_(i_3 )I_(i_30 ) y I_(i_17 ) son equivalentes con I_(i_5 )I_(i_17 ) y I_(i_65 ) respectivamente, donde los puntos x,  y y z asumiremos que son puntos diferentes, esto también significa que si I_(i_3 ) tiene un punto de aproximación distinto de I_(i_65 ), implica que  I_(i_3 ) no es equivalente a I_(i_65 ), simbólicamente lo escribimos I_(i_3 )≉I_(i_65 ) y no cumple las 3 propiedades como son, la reflexiva, simétrica y transitiva (bueno, con respecto a la propiedad reflexiva si es posible ya que cada segmento es equivalente consigo mismo).

Entonces existe un subconjunto R llamada relación de equivalencia donde los segmentos encajados que convergen a un punto x_m son equivalentes entre si tal que:

R={(I_(i_m ),I_(i_n ) )∈Q×Q|I_(i_m )≈I_(i_n ) }

No olvide que estamos trabajando con el conjunto de los números racionales. Si tomamos el segmento I_(i_m ), entonces esta debe estar relacionada con otros segmentos diferentes incluido el mismo segmento I_(i_m ), esto es, que estén relacionadas con otras familias de intervalos encajados que tengan como intersección al segmento mínimo I={x_m }. Por ejemplo, los puntos en común de I_(i_1 )I_(i_2 ) y I_(i_3 ) son x_1x_2 y x_3 respectivamente.

Clase de equivalencia y conjunto cociente de intervalos encajados convergentes.

Nuestra intensión ahora es reunir todos los segmentos que estén relacionados con I_(i_m )  incluido el mismo segmento que converge a x_m, este conjunto lo denotaremos por [I_(i_m ) ]^(x_m ) y se llama clase de equivalencia, simbólicamente:

[I_(i_m ) ]^(x_m )={Y_m∈A|Y_m≈I_(i_m ) }

El segmento Y_m es cualquier segmento encajado del conjunto A que es equivalente con I_(i_m ) y que converge a x_m.

Pero si queremos reunir todas clases de equivalencias definidas por [I_(i_m ) ]^(x_m ) en un único conjunto donde x_m es cualquier punto de aproximación que los segmentos I_(i_m )  quieren aproximarse más y más, este conjunto se llamará conjunto cociente de A (ver la sección de relaciones de equivalencia) y se simboliza así:

A/≈={[I_(i_m ) ]^(x_m ) |I_(i_m )∈A}

Existe un teorema fundamental en la sección de relaciones de equivalencia y dice que todo conjunto cociente es una partición como también toda partición es un conjunto cociente (ver la pestaña de relaciones de equivalencia del acordeón).

Si A/≈ resulta ser una partición, entonces se cumple lo siguiente:

A=[I_(i_1 ) ]^(x_1 )+[I_(i_2 ) ]^(x_2 )+[I_(i_3 ) ]^(x_3 )+⋯

A=∑_(m=1)^∞▒[I_(i_m ) ]^(x_m )

El símbolo “+” para el conjunto A significa lo mismo que el operador unión de conjuntos “∪”, El uso del símbolo “+” se debe a que la clase de equivalencia [I_(i_m ) ]^(x_m ) es un conjunto disjunto con el resto de las clases de equivalencias (esto también lo justificamos en el acordeón).

Repito, el conjunto [I_(i_m ) ]^(x_m ), que llamamos clase de equivalencia, representan a todos los segmentos encajados Y_m∈A  que estén relacionados o son equivalentes con I_(i_m ) y que convergen a un mismo y único punto x_m, no olvidar que este conjunto incluye también al mismo I_(i_m ).

Me explico, si el segmento I_(i_m )=[a_(i_m ),b_(i_m )] define una familia de intervalos encajados, tal que:

a_(i_m )≤x_m≤b_(i_m )

Para todo i_m∈Z^+, también debe cumplirse para algún segmento equivalente Y_m=[y_m,y_m^'] tal que:

y_m≤x_m≤y_m^'

Vuelvo a indicar, el conjunto de todos los segmentos convergen a un punto definido x_m son equivalentes entre sí, este conjunto es [I_(i_m ) ]^(x_m ) y se llama clase de equivalencia donde m,i_m∈Z^+. De la sumatoria A=∑_(m=1)^∞▒[I_(i_m ) ]^(x_m ) , podemos decir que:

[I_(i_m ) ]^(x_m )⊆A,∀m∈Z^+

Recuerda que m∈Z^+ indica diferentes intervalos encajados y, por ende, puntos de aproximación x_m diferentes, en cambio, i_m∈Z^+ representa a la familia de intervalos encajados de un único segmento I_(i_m ) que cada vez se va a aproximando al punto x_m. Ahora podemos definir los números irracionales y el campo de los números reales.

Definición del número irracional

Sea la clase de equivalencia [I_(i_m ) ]^(x_m )  donde m,i_m∈Z^+, si la convergencia x_m no existe en Q, el punto x_m se llamará número irracional y si existe en Q, se llamará número racional.

Esto implica que el conjunto A=∑_(m=1)^∞▒[I_(i_m ) ]^(x_m )  contendrá puntos de x_m que serán tanto racionales como irracionales, pero observe que siempre el segmento encajado I_(i_m ) es un subconjunto de números racionales.

Definición del número real

Para todo m∈Z^+ y I_(i_m )⊆Q, la clase de equivalencia [I_(i_m ) ]^(x_m ) que converge a x_m es llamado número real y de denota así:
x_m=[I_(i_m )]

Esta definición es a lo que quería llegar Cantor (aunque un poco diferente en la actualidad), su estrategia era definir los números reales por aproximaciones de números racionales.

Por tanto, cualquier numero real esta determinado por la clase de equivalencia [I_(i_m ) ]^(x_m )  de intervalos encajados de números racionales, pero si reunimos todas las clases de equivalencias que resulta ser A, es reunir también a todos los números reales x_m=[I_(i_m )] esto es, A define al conjunto de los números reales R, determinado por la relación:

A=∑_(m=1)^∞▒[I_(i_m ) ]^(x_m )

De esta manera, definimos el campo de los números reales como sigue.

Definición del campo de los números reales

Si A=∑_(m=1)^∞▒[I_(i_m ) ]^(x_m )  representa a la reunión de todas clases de equivalencias cada una con su propia convergencia x_m=[I_(i_m )], entonces el conjunto de todos los números reales [I_(i_m )] se llama campo de números reales R definido por A tal que:

R={[I_(i_m ) ]|[I_(i_m ) ]^(x_m )⊆A}

También existe una definición alternativa para el conjunto de números reales, podemos usar el conjunto cociente:

A/≈={[I_(i_m ) ]^(x_m ) |I_(i_m )∈A}

Observe que en este caso, la clase  [I_(i_m ) ]^(x_m )  es un elemento de  A/≈ , nuestra segunda definición sería algo así:

Segunda definición del campo de los números reales.

Sea  A/≈  el conjunto cociente donde  [I_(i_m ) ]^(x_m )∈A/≈  tal que  [I_(i_m ) ]^(x_m )  define a un número real  [I_(i_m ) ] , entonces el conjunto de todos los números reales de la forma  [I_(i_m ) ]  se llama campo de los números reales denotado por  R  y definido por  A/≈  tal que:

R={[I_(i_m ) ]|[I_(i_m ) ]^(x_m )∈A/≈}

Si los axiomas de campo (suma y multiplicación) y orden que estudiamos anteriormente se definiesen únicamente para los números racionales, debemos demostrar que los intervalos encajados satisface estos axiomas.

Operaciones con intervalos encajados

Estas operaciones son muy importantes si queremos demostrar otras teorías que generalmente se dejan implícito y sin explicación alguna, por ejemplo, cuando queremos demostrar las propiedades de teoría de exponentes cuando el exponente es real, el principio de intervalos encajados resulta ser de gran ayuda.

Antes de realizar las siguientes definiciones de campo para intervalos encajados, la notación para definir los números reales  x_m=[I_(i_m )]  será reescrita así  x=[I_i]   ya que no necesitaremos usar más otros conjuntos de clases de equivalencias que definirán a los números reales, si en caso queremos comparar con una segunda familia de intervalos encajados, entonces un segundo segmento convergente sería I_i^', este segmento tendría su equivalencia con otros segmentos definida por el conjunto [I_i^' ]^(x^' ) y que determina su propio número real x^'=[I_i^' ], pero como [I_i^' ]^(x^' ) y [I_i ]^x son subconjuntos del conjunto cociente A/≈, entonces tanto x y x^' pertenecen a R. Aunque también en lugar de usar I_i^' podemos usar I_j.

Suma de intervalos encajados

Sea los segmentos encajados convergentes I_i=[a_i,b_i] e I_j=[a_j,b_j], tenemos:

  •  I_i=[a_i,b_i ]↔a_i<b_i
  •  I_j=[a_j,b_j ]↔a_j<b_j

Si sumamos estas desigualdades, resulta:

a_i+a_j<b_i+b_j↔[a_i+a_j,b_i+b_j]

Tenga en cuenta que [a_i,b_i ]+[a_j,b_j ]  no es igual a [a_i+a_j,b_i+b_j], no confundir suma de números reales con unión de dos conjuntos como son [a_i,b_i ]  y  [a_j,b_j ], el símbolo “C:\Users\sergi\Desktop\intervalos encajados imagenes\Intervalos encajados_archivos\image272.png” se ha usado anteriormente para unir conjuntos disjuntos (como en la partición de un conjunto que explicamos brevemente más arriba y en la sección de relaciones de equivalencia para explicar este mismo punto), pero no justifica que el símbolo “+” no deje de representar a la unión de conjuntos representado por el símbolo “∪”.

Por esta misma razón, usaremos otro símbolo para representar la suma numérica entre intervalos, sea la siguiente definición:

Definición de suma de intervalos encajados

Sea los segmentos encajados convergentes [a_i,b_i] y [a_j,b_j], definimos la ley de composición interna determinada por el símbolo aditivo ⊕  en A, tal que:

[a_i,b_i ]⊕[a_j,b_j ]=[a_i+a_j,b_i+b_j ]

Para todo i,j∈Z^+.

La explicación de la ley de composición interna lo puedes encontrar en el acordeón de la sección de números reales, recuerde que A={I_(i_1 ),I_(i_2 ),I_(i_3 ),…,I_(i_n ),…}.

Ejemplo 8

Sean los segmentos encajados convergentes [1-1/n,1+1/n]  y [1-1/2n,1+1/2n], la suma de estos segmentos sería:

[1-1/n,1+1/n]⊕[1-1/2n,1+1/2n]=[1-1/n+1-1/2n,1+1/n+1+1/2n]

[1-1/n,1+1/n]⊕[1-1/2n,1+1/2n]=[2-3/2n,2+3/2n]

Es una suma muy simple, veamos cómo sería con la multiplicación de segmentos encajados convergentes.

Conmutatividad de la suma de segmentos encajados convergentes

Sabemos que [a_i,b_i ]⊕[a_j,b_j ]=[a_i+a_j,b_i+b_j ], entonces:

[a_i+a_j,b_i+b_j ]=[a_j+a_i,b_j+b_i ]=[a_j,b_j ]⊕[a_i,b_i ]

Por tanto, se cumple que la igualdad [a_i,b_i ]⊕[a_j,b_j ]=[a_j,b_j ]⊕[a_i,b_i ] es conmutativo.

Asociatividad de la suma de segmentos encajados convergentes

Sea [a_i,b_i ]⊕[a_j,b_j ]=[a_i+a_j,b_i+b_j ], sumándole esta igualdad con [a_k,b_k], tenemos:

([a_i,b_i ]⊕[a_j,b_j ])⊕[a_k,b_k ]=[(a_i+a_j )+a_k,(b_i+b_j )+b_k ]

[(a_i+a_j )+a_k,(b_i+b_j )+b_k ]=[a_i+(a_j+a_k ),b_i+(b_j+b_k )]

[a_i+(a_j+a_k ),b_i+(b_j+b_k )]=[a_i,b_i ]⊕[a_j+a_k,b_j+b_k ]

[a_i,b_i ]⊕[a_j+a_k,b_j+b_k ]=[a_i,b_i ]⊕([a_j,b_j ]⊕[a_k,b_k ])

Donde:

([a_i,b_i ]⊕[a_j,b_j ])⊕[a_k,b_k ]=[a_i,b_i ]⊕([a_j,b_j ]⊕[a_k,b_k ])

De esta manera, queda demostrada la asociatividad entre segmentos encajados convergentes.

Teorema 5

Sea dos segmentos encajados diferentes I_i e I_i^' que convergen a x y x^' respectivamente, entonces la suma I_i⊕I_i^' converge a x+x^'.

Demostración (sugerimos ver la última pestaña del acordeón para comprender las siguientes desigualdades):

Sea I_i=[a_i,b_i], entonces para todo ε_1>0ε_2>0 de números racionalesN∈Z^+ tal que i>N, se cumple:

x-a_i<ε_1∧b_i-x<ε_2…(I)

Sea I_i^'=[a_i^',b_i^'], también debe cumplirse que para todo ε_1^'>0ε_2^'>0  de números racionalesN∈Z^+ tal que i>N, se cumple:

x^'-a_i^'<ε_1^'∧b_i^'-x^'<ε_2^'…(II)

Sumando (I) y (II) según el color correspondiente, tenemos:

x+x^'-(a_i+a_i^' )<ε_1+ε_1^'∧b_i+b_i^'-(x+x^')<ε_2+ε_2^'

Si hacemos ε_1+ε_1^'=ε>0 y ε_2+ε_2^'=ε^'>0, resulta:

x+x^'-(a_i+a_i^' )<ε∧b_i+b_i^'-(x+x^')<ε^'

Como debe cumplirse para todo N∈Z^+ tal que i>N, de la esta última desigualdad deducimos que [a_i+a_i^',b_i+b_i^'] converge a x+x^', por la definición de suma de dos segmentos encajados convergentes, el segmento [a_i+a_i^',b_i+b_i^'] se puede escribir como [a_i,b_i]⊕[a_i^',b_i^'], de esta manera queda demostrado que la suma I_i⊕I_i^' converge a x+x^'.

Por último, tenga en cuenta que las diferencias x-a_i ,  x^'-a_i^'b_i-x y b_i^'-x^' son positivos y sencillamente comprobables.

Multiplicación de intervalos encajados

Sea los segmentos encajados convergentes I_i=[a_i,b_i] e I_j=[a_j,b_j], entonces:

  •  I_i=[a_i,b_i ]↔a_i<b_i
  •  I_j=[a_j,b_j ]↔a_j<b_j

Cuando multiplicamos números reales, por ejemplo, de dos números x e y, sí son del mismo signo, entonces la multiplicación siempre es positiva, si es de signo contrario, la multiplicación es negativa, estas condiciones también deben aplicarse a los intervalos encajados.

Si queremos una multiplicación de segmentos encajados del mismo signo, se aplica las siguientes condiciones:

  •  I_i=[a_i,b_i ]↔0<a_i<b_i
  •  I_j=[a_j,b_j ]↔0<a_j<b_j

Esta condición nos dice que los intervalos I_i y I_j son positivos, realizando la multiplicación obtenemos:

0<a_i a_j<b_i b_j↔[a_i a_j,b_i b_j ],0<a_i a_j

Tenga en cuenta que la multiplicación de las desigualdades 0<a_i<b_i y 0<a_j<b_j que resulta 0<a_i a_j<b_i b_j es demostrable con los axiomas de orden.

Pero cuando los intervalos son negativos, las condiciones son las siguientes:

  •  I_i=[a_i,b_i ]↔a_i<b_i<0
  •  I_j=[a_j,b_j ]↔a_j<b_j<0

Realizando algunos ajustes:

  • a_i<b_i<0→-a_i>-b_i>0
  • a_j<b_j<0→-a_j>-b_j>0

Como son positivos, realizamos la multiplicación:

a_i a_j>b_i b_j>0→0<b_i b_j<a_i a_j

0<b_i b_j<a_i a_j↔[b_i b_j,a_i a_j ],0<b_i b_j

Observe que cuando los segmentos eran positivos, la multiplicación tiene esta forma [a_i a_j,b_i b_j], pero cuando son negativos, toma esta forma [b_i b_j,a_i a_j]. Veamos ahora cuando los segmentos encajados son opuestos, sean las siguientes condiciones:

  •  I_i=[a_i,b_i ]↔0<a_i<b_i
  •  I_j=[a_j,b_j ]↔a_j<b_j<0

De la desigualdad a_j<b_j<0, invirtiendo los signos, resulta -a_j>-b_j>0, multiplicando con la otra desigualdad, resulta:

├ ■(0<-b_j<-a_j@0<a_i<b_i )}0<-a_i b_j<-a_j b_i

Invirtiendo los signos:

a_j b_i<a_i b_j<0↔[a_j b_i,a_i b_j ],a_i b_j<0

Esta es la multiplicación de un segmento positivo I_i con otro negativo I_j, para una multiplicación de un negativo con otro positivo, tan solo realizamos el mismo proceso intercambiando la posición de los segmentos de I_iI_j por I_j , I_i y el resultado es el mismo, por esta razón, emitimos este proceso repetitivo.

Sin embargo, hasta ahora no hemos utilizado el cero en la multiplicación con las desigualdades anteriores, la intensión aquí es incluir el cero en la multiplicación, lo realizamos de la siguiente manera:

Usaremos el segmento encajado [-1/n,1/n] para representar al cero, ya que este segmento converge a cero, nota que los extremos del intervalo son de signos opuestos, el punto aquí es buscar una multiplicación que cumpla la condición a⋅0=0, como algo así:

El segmento [a_n,b_n ] multiplicado por el segmento [-1/n,1/n] resulta el segmento [-1/n,1/n] (comparece con a⋅0=0 ). Es cierto que podemos usar muchos segmentos encajados que converjan a cero como [-1/2^n ,1/2^n ] o este [-1/n!,1/n!], por lo que resulta ser equivalentes [-1/n,1/n]≈[-1/2^n ,1/2^n ] ó [-1/n,1/n]≈[-1/n!,1/n!], por tanto, cualquier segmento encajado de extremos opuestos [a_n,b_n ] se puede representar por cero si es equivalente con [-1/n,1/n], esto es [a_n,b_n ]≈[-1/n,1/n], en base a este punto, definimos la multiplicación entre segmentos encajados convergentes.

Definición de multiplicación de intervalos encajados

Sea los segmentos encajados convergentes [a_i,b_i] y [a_j,b_j], definimos la ley de composición interna determinada por el símbolo multiplicativo ⨀ en A, tal que:

[a_i,b_i ]⨀[a_j,b_j ]={■([a_i a_j,b_i b_j ]⇔(a_i>0∧a_j>0),∀i,iZ^+@[b_i b_j,a_i a_j ]⇔(b_i<0∧b_j<0),∀i,iZ^+@[a_j b_i,a_i b_j ]⇔(0<a_i∧b_j<0) ∀i,iZ^+@[a_j,b_j ]⇔[a_j,b_j ]≈[-1/n,1/n])┤

Ejemplo 9

Tomaremos los segmentos encajados convergentes del ejemplo 8 con los valores enteros cambiados a 2 y son [2-1/n,2+1/n] y [2-1/2n,2+1/2n], el cambio se debe a que el extremo izquierdo tomaba el cero, y queremos multiplicar segmentos encajados positivos incluyendo sus extremos, esto es para respetar la definición. Realizando la multiplicación, se tiene:

[2-1/n,2+1/n]⨀[2-1/2n,2+1/2n]=[(2-1/n)(2-1/2n),(2+1/n)(2+1/2n)]

[2-1/n,2+1/n]⨀[2-1/2n,2+1/2n]=[4-3/n+1/(2n^2 ),4+3/n+1/(2n^2 )]

Ahora necesitamos saber si adición y multiplicación cumplen con las relaciones de equivalencia, la razón de la necesidad de este apartado lo explico a continuación:

Teorema 6

Sea dos segmentos encajados diferentes I_i e I_i^' que convergen a x y x^' respectivamente, entonces la multiplicación  I_i⨀I_i^' converge a xx^'.

Demostración:

Demostraremos para el caso de segmentos convergentes positivos, el resto te lo dejo como tarea. De los segmentos convergentes I_i=[a_i,b_i] e I_i^'=[a_i^',b_i^'], se cumple las desigualdades:

x-a_i<ε_1∧b_i-x<ε_2…(I)

x^'-a_i^'<ε_1^'∧b_i^'-x^'<ε_2^'…(II)

Siempre y cuando se cumple para todo ε_1>0ε_2>0ε_1^'>0ε_2^'>0 de números racionalesN∈Z^+ tal que i>N. Despejando las variables  xx^' en la desigualdad de color purpura, y b_ib_i^' de la desigualdad de color verde en (I) y (II), tenemos:

x<ε_1+a_i∧b_i<ε_2+x

x^'<ε_1^'+a_i^'∧b_i^'<ε_2^'+x^'

Como xx^'b_i y b_i^' son positivos, podemos realizar la multiplicación de estas desigualdades según el color que les corresponde:

xx^'<(ε_1+a_i )(ε_1^'+a_i^' )∧b_i b_i^'<(ε_2+x)(ε_2^'+x^' )

xx^'<ε_1 ε_1^'+a_i ε_1^'+a_i^' ε_1+a_i a_i^'∧b_i b_i^'<ε_2 ε_2^'+ε_2 x^'+ε_2^' x+xx^'

xx^'-a_i a_i^'<ε_1 ε_1^'+a_i ε_1^'+a_i^' ε_1∧b_i b_i^'-xx^'<ε_2 ε_2^'+ε_2 x^'+ε_2^' x

De las expresiones ε=ε_1 ε_1^'+a_i ε_1^'+a_i^' ε_1 y ε^'=ε_2 ε_2^'+ε_2 x^'+ε_2^' x, fácilmente se puede demostrar que  ε>0 y ε^'>0 desde las desigualdades principales ε_1>0ε_2>0ε_1^'>0 y ε_2^'>0, quedando de la siguiente manera la expresión:

xx^'-a_i a_i^'<ε∧b_i b_i^'-xx^'<ε^'…(III)

Falta probar que xx^'-a_i a_i^' y b_i b_i^'-xx^' no son negativos, en efecto, sabemos que:

0≤a_i≤x≤b_i

0≤a_i^'≤x^'≤b_i^'

Multiplicando:
0≤a_i a_i^'≤xx^'≤b_i b_i^'

De aquí fácilmente se deduce que las diferencias xx^'-a_i a_i^' y b_i b_i^'-xx^' no son negativas, de (III), tenemos:

0≤xx^'-a_i a_i^'<ε∧0≤b_i b_i^'-xx^'<ε^'

De esta desigualdad logramos comprobar que [a_i a_i^',b_i b_i^'] converge a xx^' para todo ε>0ε^'>0  y N∈Z^+ tal que i>N. Por definición de producto de dos segmentos convergentes positivos [a_i,b_i ]⨀[b_i,b_i^' ]=[a_i a_i^',b_i b_i^'] donde I_i=[a_i,b_i] y I_i^'=[a_i^',b_i^'], demostramos que el producto I_i⨀I_i^' converge a xx^'.

Ahora vamos ver en el siguiente apartado la importancia de la compatibilidad de relaciones de equivalencia con la suma y producto de segmentos encajados convergentes.

Conmutatividad de la multiplicación de segmentos encajados convergentes

Probaremos para cuando los segmentos convergentes son positivos, tenemos el producto [a_i,b_i ]⨀[a_j,b_j ]=[a_i a_j,b_i b_j ], entonces:

[a_i a_j,b_i b_j ]=[a_j a_i,b_j b_i ]=[a_j,b_j ]⨀[a_i,b_i ]

Donde:

[a_i,b_i ]⨀[a_j,b_j ]=[a_j,b_j ]⨀[a_i,b_i ]

Quedando probado la propiedad.

Asociatividad de la multiplicación de segmentos encajados convergentes

Sea [a_i,b_i ]⨀[a_j,b_j ]=[a_i a_j,b_i b_j ], si lo multiplicamos con el segmento convergente positivo [a_k,b_k], resulta:

[a_i a_j,b_i b_j ]⨀[a_k,b_k ]=[(a_i a_j ) a_k,(b_i b_j ) b_k ]

[(a_i a_j ) a_k,(b_i b_j ) b_k ]=[a_i (a_j a_k ),b_i (b_j b_k )]

[a_i (a_j a_k ),b_i (b_j b_k )]=[a_i,b_i ]⨀[a_j a_k,b_j b_k ]

[a_i,b_i ]⨀[a_j a_k,b_j b_k ]=[a_i,b_i ]⨀([a_j,b_j ]⨀[a_k,b_k])

Donde:

([a_i,b_i ]⨀[a_j,b_j ])⨀[a_k,b_k ]=[a_i,b_i ]⨀([a_j,b_j ]⨀[a_k,b_k])

De esta manera queda probada la propiedad asociativa de segmentos encajados convergentes.

La adición y multiplicación compatibles con las relaciones de equivalencia

Es muy necesario hacer énfasis la compatibilidad de la adición y multiplicación con las relaciones de equivalencia, ya que servirá para definir la suma y el producto de números reales por aproximaciones de segmentos encajados convergentes de números racionales, veamos cada una de ellas.

Compatibilidad con la suma

Sean los segmentos encajados Y_i=[y_i,y_i^*]  e  Y_j=[y_j,y_j^*] equivalentes con I_i=[a_i,b_i] e I_j=[a_j,b_j] respectivamente, esto es:

  • [y_i,y_i^* ]≈[a_i,b_i ]⇔y_i<b_i∧a_i<y_i^*
  •  [y_j,y_j^* ]≈[a_j,b_j ]⇔y_j<b_j∧a_j<y_j^*

Sumando las desigualdades correspondientes a su color, tenemos:

y_i+y_j<b_i+b_j∧a_i+a_j<y_i^*+y_j^*⇔[y_i+y_j,y_i^*+y_j^* ]≈[a_i+a_j,b_i+b_j ]

Por la definición de suma de intervalos encajados:

y_i+y_j<b_i+b_j∧a_i+a_j<y_i^*+y_j^*⇔[y_i,y_i^* ]⊕[y_j,y_j^* ]≈[a_i,b_i ]⊕[a_j,b_j ]

Lo que significa que la suma de intervalos encajados es compatible con la relación de equivalencia. Estos resultados son importantes para determinar la suma entre números reales definidos por sus respectivas clases de equivalencias de todos los segmentos encajados convergentes a sus respectivos puntos.

Compatibilidad con la multiplicación

Probaremos para el caso donde los segmentos encajados son positivos, el resto te lo dejo como tarea (aunque existe la posibilidad de que nunca lo hagas). Sean las siguientes relaciones de equivalencias para dos segmentos encajados convergentes diferentes:

  •  [y_i,y_i^* ]≈[a_i,b_i ]⇔y_i<b_i∧a_i<y_i^*
  •  [y_j,y_j^* ]≈[a_j,b_j ]⇔y_j<b_j∧a_j<y_j^*

Como son positivos, debemos escribirlo así:

  •  [y_i,y_i^* ]≈[a_i,b_i ]⇔0<y_i<b_i∧0<a_i<y_i^*
  •  [y_j,y_j^* ]≈[a_j,b_j ]⇔0<y_j<b_j∧0<a_j<y_j^*

Multiplicando según su color respectivo, resulta:

0<y_i y_j<b_i b_j∧0<a_i a_j<y_i^* y_j^*⇔[y_i y_j,b_i b_j ]≈[a_i a_j,y_i^* y_j^* ]

Por definición de multiplicación de dos segmentos encajados, resulta:

[y_i,y_i^* ]⊙[y_j,y_j^* ]≈[a_i,b_i ]⊙[a_j,b_j ]

Estos resultados serán necesarios para implicar la adición y multiplicación con las clases de equivalencias de segmentos encajados convergentes.

Operaciones con clases de equivalencias:

Las clases de equivalencias son las que definen a los números reales por aproximaciones de números racionales, es por ello que tenemos que indicar la suma y el producto entre clases de equivalencias. Sea dos segmentos encajados convergentes Y y Y^' que pertenecen a las siguientes clases de equivalencias:

  •  Y∈[I_i ]^x
  •  Y^'∈[I_i^' ]^(x^' )

Por definición de clase de equivalencia se cumple:

  • Y≈I_i donde su convergencia es x.
  • Y^'≈I_i^' y aquí es x^'.

Aplicando la compatibilidad de las relaciones de equivalencia para la suma, resulta:

Y⊕Y^'≈I_i⊕I_i^'…(IV)

Del teorema 5 sabemos que I_i⊕I_i^' converge a x+x^', como el segmento convergente I_i⊕I_i^' es equivalente para cualquier  Y⊕Y^'∈A donde A es la colección de todos los segmentos encajados convergentes que ya definimos previamente más arriba, por lo que la operación I_i⊕I_i^' forma una clase de equivalencia  [I_i⊕I_i^' ]^(x+x^' ), de  (IV)  resulta:

Y⊕Y^'∈[I_i⊕I_i^' ]^(x+x^' )…(V)

Lo que implica que Y⊕Y^' converge también a x+x^'.

Para el caso de la multiplicación, resulta:

Y⨀Y^'≈I_i⨀I_i^'…(VI)

Del teorema 6, el producto I_i⨀I_i^' converge a xx^', como Y⨀Y^' es cualquier segmento convergente equivalente con I_i⨀I_i^' donde Y⨀Y^'∈A, de (VI) se cumple también que:

Y⨀Y^'∈[I_i⨀I_i^' ]^(xx^' )…(VII)

Donde deducimos que Y⨀Y^' converge a xx^'.

Operaciones de números reales con intervalos encajados

Por último, vamos a demostrar que la adición y multiplicación de números reales también son aproximaciones de intervalos encajados de números racionales, en otras palabras, vamos a probar que los intervalos encajados es compatible con la propiedad de la cerradura de la suma y multiplicación para números reales, por tanto, se puede demostrar la compatibilidad con el resto de los axioma de números reales con este principio.

Solo mostraremos la prueba con la cerradura de la adicción y multiplicación y en próximas actualizaciones veremos la compatibilidad con el resto de algunas propiedades de números reales como los axiomas de campo y de orden sin olvidar la equivalencia con el axioma del supremo.

Teorema fundamental de la suma de números reales (teorema 7)

Sea los números reales x=[I_i] y x^'=[I_i^' ], entonces se cumple la propiedad aditiva +x^'=[I_i⊕I_i^'] donde los segmentos encajados convergentes I_i e I_i^' son subconjuntos del campo de números racionales.

Esto implica que si [I_i ],[I_i^' ]∈R, entonces [I_i ]+[I_i^' ]∈R, cumple la propiedad de cerradura para la adición.

Demostración:

Tenemos x=[I_i ] y x^'=[I_i^' ], si sumamos resulta:

x+x^'=[I_i ]+[I_i^' ]

La cosa aquí es probar que [I_i ]+[I_i^' ]=[I_i⊕I_i^'], sabemos que:

  • x=[I_i ]↔Y∈[I_i ]^x para todo  Y∈A .
  • x^'=[I_i^' ]↔Y^'∈[I_i^' ]^(x^' ) para todo Y^'∈A.

De (V) sabemos que Y⊕Y^'∈[I_i⊕I_i^' ]^(x+x^' ) para todo Y⊕Y^'∈A, por la definición de número real, resulta x+x^'=[I_i⊕I_i^'], quedando así demostrada la compatibilidad de la cerradura para la adición de números reales con aproximaciones de números racionales.

Teorema fundamental para la multiplicación de números reales (teorema 8)

Sea los números reales x=[I_i] y x^'=[I_i^' ], se cumple la propiedad multiplicativa xx^'=[I_i⊙I_i^'] donde los segmentos encajados convergentes I_i e I_i^' son subconjuntos del campo de números racionales.

Lo que implica que si [I_i ],[I_i^' ]∈R, entonces [I_i ]⋅[I_i^' ]∈R, cumpliendo la propiedad de cerradura para la multiplicación.

Demostración:

Tenemos x=[I_i ] y x^'=[I_i^' ], si multiplicamos resulta:

xx^'=[I_i ][I_i^' ]

Debemos demostrar [I_i ][I_i^' ]=[I_i⊙I_i^'], sabemos que:

  • x=[I_i ]↔Y∈[I_i ]^x para todo Y∈A.
  • x^'=[I_i^' ]↔Y^'∈[I_i^' ]^(x^' ) para todo Y^'∈A.

De (VII) se cumple que Y⨀Y^'∈[I_i⨀I_i^' ]^(xx^' ) para todo Y⨀Y^'∈A, por definición de número real, obtenemos que xx^'=[I_i⨀I_i^' ] demostrando de esta manera el teorema fundamental para la multiplicación de números reales.

Para la próxima sección demostraremos las propiedades de potenciación del tipo a^x donde el exponente x es un número real, ya que las propiedades para exponente entero positivo, negativo y racionales son sumamente fáciles de comprobar, pero para números reales, la teoría elemental de potenciación queda completamente corto, los intervalos encajados convergentes de números racionales serán de gran ayuda para este propósito, pero si gustas, puedes ver el curso de teoría de exponentes explicado de manera muy elemental.

Gracias por llegar hasta aquí, por favor, deja tu comentario en la caja de comentarios de facebook para saber si te gustó, te disgustó, o quieres informarme de alguna corrección. Eso es todo amigos, que tengan un buen día, nos vemos en la próxima sección de potenciación, bye.

Referencias

  • Principios de los intervalos encajados | Wikipedia.
  • Algebra I – Números reales | Armando I. Rojo.
  • Curso de análisis matemático I – Conjuntos numéricos – Números reales | Kudriavtsev.
  • Sucesiones y series infinitas | Eduardo Espinoza Ramos.
  • Diferentes construcciones del número real | Néstor Octavio Calderón Ramos.
  • Revista de la universidad de Ingeniería – Reseña histórica de los números reales | Lucio Rojas Cortes.
  • ¿Donde están los números reales? – Construcción de R por sucesiones de Cauchy de numeros racionales | José Omar Rico Trejo.
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Principio De Los Intervalos Encajados
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2018-09-20T00:38:22+00:00