4. Operaciones Entre Conjuntos

Hola a todos amigos, en esta nueva y  penúltima sección principal de teoría de conjuntos, desarrollaremos las operaciones entre conjuntos acompañada con algunos ejemplos como es de costumbre, junto con sus leyes y propiedades respectivas.

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El álgebra de conjuntos no es más que una serie de operaciones matemáticas entre conjuntos, en total podemos encontrar 6 operaciones fundamentales entre conjuntos, esto son, la unión, la intersección, la diferencia, el complemento, la diferencia simétrica y el producto cartesiano siendo las operaciones fundamentales de la teoria elemental de conjuntos. Este último lo veremos en un capítulo de relaciones binarias con mas detalle.

Conceptos previos de la teoría de conjuntos

Realizaremos un esbozo super breve de algunos conceptos previos de las secciones anteriores de conjuntos y sus relaciones. Esto nos ayudará a realizar algunas demostraciones matematicas cuando tratemos con cada una de sus propiedades de cada una de las operaciones de conjunto, aunque solo realizaremos algunas demostraciones ya que resultaria una seccion muy pero muy larga. Comencemos con el concepto de pertenencia:

Concepto de pertenencia

Para representar la pertenencia de un elemento \( x \) de un conjunto dado \( \mathrm{A} \), basta representarlo con el símbolo de pertenencia \( \in \) de la siguiente manera:

\( x \in \mathrm{A} \)

Se lee: “\( x \) pertenece al conjunto \( \mathrm{A} \)” o “\( x \) está contenido en el conjunto \( \mathrm{A} \)“, en caso contrario, si el elemento \( x \) no pertenece al conjunto dado, simplemente lo representamos con el símbolo de no pertenencia \( \notin \) de la siguiente manera:

\( x \notin \mathrm{A} \)

Si quieres más detalles puedes dirigirte a la sección del concepto de un conjunto.

Determinación Por comprensión de un conjunto

Todo conjuntos posee una propiedad que los elementos tienen en común, existen dos formas de representarlos pero una de ellas nos indica que propiedad cumple un conjunto dado segun los elementos que los contiene, esto es, la determinación por comprensión de un conjunto.

Si tenemos un elemento generalizado llamado \( x \) y este cumple una propiedad \( \mathrm{P}(x) \)entonces el conjunto \( \mathrm{A} \) está definido por la propiedad \( \mathrm{P}(x) \), tal que todos los valores de \( x \) contenidas en \( \mathrm{A} \) deben cumplir \( \mathrm{P}(x) \). Simbólicamente hablando, lo escribimos así:

\[ \mathrm{A} = \left \{ x|x \ \mathrm{ cumple } \ \mathrm{P} (x) \right \} \]

Se lee: “el conjunto de todos los elementos de \( x \) tal que \( x \) cumple la propiedad \( \mathrm{P}(x) \)“.

Si quieres encontrar mas ejemplos de este tipo de determinación por comprensión que acabamos de mencionar, dirigite a la sección del concepto de un conjunto.

igualdad de conjuntos

Se dice que dos conjuntos son iguales si tiene los mismos elementos, es decir, un elemento \( x \) que le pertenece al conjunto \( \mathrm{A} \) también le pertenece a \( \mathrm{B} \) condición suficiente para que \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) sean iguales. Simbólicamente lo podemos representar así:

\[ \mathrm{A}=\mathrm{B} ↔ (x \in \mathrm{A} ↔ x \in \mathrm{B} ) \]

En caso contrario, para representar que \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) no sean iguales, no debe existir un elemento \( x \) que pertenezca simultáneamente al conjunto \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \). Simbólicamente lo escribimos de la siguiente manera:

\[ \mathrm{A} \neq \mathrm{B} ↔ (x \in \mathrm{A} ↮  x \in \mathrm{B} ) \]

Subconjunto de un conjunto

Un conjunto es subconjunto de otro conjunto si los elementos del primer conjunto le pertenecen al segundo conjunto. Este concepto de subconjunto no indica ni da detalles si por coincidencia pueda que dichos conjuntos sean iguales y el hecho de indicar que un conjunto es subconjunto de otro nos daría una información muy limitada ya que si son iguales, el concepto de subconjunto no advertirá de este hecho.

Para diferenciarlo, hay que definir dos tipos de símbolos especiales para los subconjuntos, si por alguna razón, un conjunto no solo está incluido en otro, sino cabe la posibilidad que sea igual a tal conjunto, lo representamos así \( ⊆ \), sean los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), tenemos:

\[ \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \]

A nivel de los elementos de un conjunto donde existe un \( x \) tal que se cumple la siguiente definición:

\[ \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} ↔ (x \in \mathrm{A} → x \in \mathrm{B}) \]

Pero si lo queremos limitar a los conjuntos tal que \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) no sean iguales pero aun así los elementos de \( \mathrm{A} \) están incluidos en \( \mathrm{B} \), lo representaremos así:

\[ \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} \]

Existe dos maneras de indicar esta limitación de la siguiente manera:

\[ \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} = ( \mathrm{A} ⊂ \mathrm{B} ∧  \mathrm{A} ≠ \mathrm{B} ) \]

Pero como dejaremos de usar el simbolo \( \subset \) ya que aporta menos informacion que los simbolos \( \subseteq \) y \( \varsubsetneq \), por tanto, la manera correcta de escribir el concepto de subconjunto propio es:

\[ \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} = ( x ∈ \mathrm{A} → x ∉ \mathrm{B} ) \]

Se lee \( \mathrm{A} \) es subconjunto propio de \( \mathrm{B} \), se le dice subconjunto propio porque no existe la posibilidad de que \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) sean iguales ni remotamente. Esto indica que el número de elementos de \( \mathrm{A} \) es menor que el número de elementos de \( \mathrm{B} \). En el apartado de cardinalidad de un conjunto definiremos la manera correcta de subconjunto propio.

definición de la igualdad de conjuntos

Una definicion de la igualdad de conjuntos es usando el concepto de subconjunto con el símbolo de inclusión, en este caso para que dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) sean iguales, debe cumplir que el conjunto \( \mathrm{A} \) debe ser subconjunto de \( \mathrm{B} \) y a su vez \( \mathrm{B} \) debe ser subconjunto de \( \mathrm{A} \), simbólicamente lo podemos representar así:

  \( \mathrm{A} = \mathrm{B} ↔ ( \mathrm{A} ⊆ \mathrm{B} ∧ \mathrm{B} ⊆ \mathrm{A}  )  \)  

Por lo general, esta definición de la igualdad de dos conjuntos son usados comúnmente para demostrar otras propiedades de conjuntos y esto lo veremos cuando comencemos a relatar las primeras operaciones de conjuntos que veremos en los proximos apartados.

De nuevo el conjunto vacio

En la sección del concepto de conjunto representamos simplemente al conjunto vacío o nulo con el símbolo \( ϕ \) y significaba que este tipo de conjunto no tenia elementos, y podía representarse por extensión sin indicar ningún tipo de elementos enumerados así:

\( ϕ = \left \{ \right \} \)

En esta oportunidad, vamos a conceptualizar este concepto adecuadamente. En este caso, para todo elemento de \( x \) que pertenece a cualquier conjunto definido, se cumple simbólicamente lo siguiente:

\(  ∀x ∈ \mathrm{U} | x ∉ ϕ \)

Significa que para cualquier elemento de \( x \) que pertenece al conjunto universo \( \mathrm{U} \) tal que \( x \) nunca puede pertenecer al conjunto vacío, o dicho de otro modo, no existe un \( x \) tal que \( x \) pertenezca al conjunto vacío.

\(  ∄x∈ \mathrm{U} | x ∈ ϕ \)

Cualquiera de estas definiciones del conjunto vacio lo usaremos para las demostraciones de las propiedades de las operaciones de conjuntos.

Operaciones de conjuntos con ejemplos

Esta seccion desarrollará 5 de las 6 operaciones entre conjuntos, entre ellas tenemos a la union, interseccion, diferencia, diferencia simetrica, complemento de un conjunto y producto cartesiano, pero en esta ocasión no incluiremos en producto cartesiano, esto lo veremos en una seccion de relaciones binarias.

Cada una de estas operaciones realizadas entre conjuntos cumples una serie de leyes muy interesantes de cual solo realizaremos algunas pocas demostraciones ya que esto podria extender de manera imnecesaria la seccion actual, comencemos con la union de conjuntos.

Unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) se puede definir como un nuevo conjunto formado por los conjuntos que acabamos de mencionar con símbolo \( ∪ \) y expresado de la siguiente manera:

\( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} \)

Se lee: \( \mathrm{A} \) unido con \( \mathrm{B} \) o \( \mathrm{A} \) unión \( \mathrm{B} \), tal que la unión entre estos conjuntos deba cumplir la siguiente condición matemática:

\( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} = \left \{ x ∈ \mathrm{U} | x ∈ \mathrm{A} ∨ x ∈ \mathrm{B} \right \} \)

Donde \( \mathrm{U} \) es el conjunto universal para \( x \)  tal que \( x \) pertenece a al conjunto \( \mathrm{A} \) o \( x \) pertenece a al conjunto \( \mathrm{B} \). En consecuencia, también podemos representarlo proposicionalmente asi:

\( x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) ≡ ( x ∈ \mathrm{A} ∨ x ∈ \mathrm{B} ) \)

Si queremos indicar que \( x \) no pertenece a la unión de los conjuntos de \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), aplicaremos la ley de transposición de la bicondicional \( p ↔ q ≡ \sim p ↔ \sim q \)

\( \sim [x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) ≡ \sim [( x ∈ \mathrm{A} ∨ x ∈ \mathrm{B}] \)

Dónde:

  • Lado izquierdo \( \sim [x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B})] = [x ∉ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B})] \)
  • Lado derecho \( \sim [ x ∈ \mathrm{A} ∨ x ∈ \mathrm{B} ] = \sim ( x ∈ \mathrm{A} ∧ \sim ( x ∈ \mathrm{B} ) = x ∉ \mathrm{A} ∧ x ∉ \mathrm{B} \)

Igualando, obtenemos:

\( x ∉ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) ≡ x ∉ \mathrm{A} ∧ x ∉ \mathrm{B} \)

Veamos estas definiciones en los diagramas de Venn con algunas notas aclaratorias:

Diagrama de Venn de dos conjuntos intersectados

Imagen 1: \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son intersecantes.

  • \( x ∈ \mathrm{A} \Rightarrow x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
  • \( y ∈ \mathrm{A} ∧ y ∈ \mathrm{B} \rightarrow y ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
  • \( z ∈ \mathrm{B} \Rightarrow z ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
Diagramas de Venn de dos conjuntos A y B tal que

Imagen 2: \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son conjuntos disjuntos.

  • \( x ∈ \mathrm{A} \Rightarrow x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
  • \( z ∈ \mathrm{B} \Rightarrow z ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
Diagrama de Ven de dos conjuntos A y B tal que A esta incluido en B y

Imagen 3: \( \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} \)

  • \( x ∈ \mathrm{A} \Rightarrow x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
  • \( z ∈ \mathrm{B} \Rightarrow z ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
  • \( z \notin \mathrm{A} \wedge \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \Rightarrow z \in ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) \)

Lo que esta sombreado representa al conjunto \( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} \).

Ejemplo de la Unión de conjuntos

Definamos 3 conjuntos elementales \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2, 3 \right \} \); \( \mathrm{B} = \left \{ 4, 5, 6 \right \} \) y \( \mathrm{C} = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \right \} \) y hallaremos los valores de \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} \), \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{C} \) y \( \mathrm{B} ∪ \mathrm{C} \) con sus respectivos diagramas de Venn, veamos:

\( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} \)

Diagramas de Venn de los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}

\( \mathrm{A} ∪ \mathrm{C} \)

Diagramas de Venn de dos conjuntos A y C tal que A esta incluido en C y "A = {1, 2, 3}" y "C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}"

\( \mathrm{B} ∪ \mathrm{C} \)

Diagramas de Venn de dos conjuntos B y C tal que B = {4, 5, 6} y C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}

La unión de los diagramas de \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} \), \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{C} \) y \( \mathrm{B} ∪ \mathrm{C} \) son diferentes, esto es por la relación que pueden tener los conjuntos entre si.

Caso \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} \):

Para el caso de los elementos de los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) donde notamos que son disjuntos, la union de estos conjuntos resulta todos los elementos exclusivos de \( \mathrm{A} \) y los elementos exclusivos de \( \mathrm{B} \).

Caso \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{C} \):

Si nos fijamos en los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{C} \) vemos que los elementos de \( \mathrm{A} \) no son exclusivos únicamente para \( \mathrm{A} \), estos estan contenidos en \( \mathrm{C} \), por tanto, la union de conjuntos representa unicamente a \( \mathrm{C} \). Tengan en cuenta que los mismos elementos repetidos indica a un mimo y unico elemento.

Caso \( \mathrm{B} ∪ \mathrm{C} \):

La union de los conjuntos \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{C} \) tiene un poco de todo de los dos casos anteriores, estos tiene elementos en comun, el 4 y el 5, al unirse, estos dos unicos numeros se mantiene sumado con el resto de los  elementos que no son comunes que le acompañan, es decir, del numero 4 que le pertenece solo y unicamente a \( B\) y los numeros 1, 2, 3, 7, 8 y 9 que le pertenecen unicamente al conjunto \( \mathrm{C} \).

Propiedades de la unión de conjuntos

Para dos conjuntos \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{C} \) no vacíos sea cual sea y el conjunto universal \( \mathrm{U} \), se cumplen las siguientes propiedades:

  1. \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} = \mathrm{A} \) (idempotencia)
  2. \( \mathrm{A} ∪ ϕ = \mathrm{A} \) (propiedad del elemento neutro)
  3. \( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} = \phi \Leftrightarrow \mathrm{A} = \phi \wedge \mathrm{B} = \phi \)
  4. \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{U} = \mathrm{U} \)
  5. \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} = \mathrm{B} ∪ \mathrm{A}  \) (ley conmutativa)
  6. \( ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) ∪  \mathrm{C} = \mathrm{B} ∪ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{C} ) \) (ley asociativa).
  7. \( \forall \mathrm{A}, \mathrm{B} \), se cumple \( \mathrm{A} ⊆ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \) ó \( \mathrm{B} ⊆ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} ) \)
  8. \( \mathrm{A} ⊆ \mathrm{C} ∧ \mathrm{B} ⊆ \mathrm{C} → ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{B}) ⊆ \mathrm{C} \)
  9. \( ∀ \mathrm{C}, \mathrm{A} ⊆ \mathrm{B} → ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{C} ) ⊆ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{C} ) \)
  10. \( \mathrm{A} ⊆ \mathrm{B} \Leftrightarrow \mathrm{A} ∪ \mathrm{B} = \mathrm{B} \)

Demostraciones de algunas propiedades:

1. Primero demostraremos \( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} = \mathrm{A} \)por la definición de igualdad de conjuntos debemos demostrar que \( ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} ) ⊆ \mathrm{A} \) y \( \mathrm{A} ⊆ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} ) \), veamos:

(a) Para demostrar \( ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} ) ⊆ \mathrm{A} \), debe existir un \( x \) tal que:

\( x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} ) → x ∈ \mathrm{A} ∨ x ∈ \mathrm{A} \)

(1) Por la propiedad de la idempotencia lógica:

\( p ∨ p ≡ p \) donde \( p = x  ∈ \mathrm{A} \)

(2) De (a) y (1) se cumple lo siguiente:

\( x ∈ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} ) → x ∈ \mathrm{A} \)

(3) Por la definición de subconjunto \( \mathrm{B} ⊆ \mathrm{A} ↔ [ x ∈ \mathrm{B} → x ∈ \mathrm{A} ] \), obtenemos:

\( ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} ) ⊆ \mathrm{A} \)

(b) Ahora demostraremos \(  \mathrm{A} ⊆ ( \mathrm{A} ∪ \mathrm{A} \), en efecto, debe existir un \( x \) tal que:

\( x \in \mathrm{A} \)

(4) Cómo \( p ∨ p ≡ p \) es una equivalencia, lo podemos escribir así \( p ≡ p ∨ p \) tal que \( p = x ∈ \mathrm{A} \), tenemos:

\( x \in \mathrm{A} \Rightarrow ( x \in \mathrm{A} \vee x \in \mathrm{A} ) \)

(5) Por el concepto de la unión de conjuntos \( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathrm{U} | x \in \mathrm{A} \vee x \in \mathrm{B} \right \} \), tenemos:

\( x \in \mathrm{A} \rightarrow [x \in ( \mathrm{A} \cup \mathrm{A} ) ] \)

(6) Por la definición de subconjunto \( \mathrm{B} \subseteq \mathrm{A} \leftrightarrow [ x \in \mathrm{B} \rightarrow x \in \mathrm{A} ] \), obtenemos:

\( \mathrm{A} \subseteq ( \mathrm{A} \cup \mathrm{A} ) \)

(7) Por la definición de igualdad para (3) y (6) se logra demostrar que:

\( \mathrm{A} \cup \mathrm{A} = \mathrm{A} \)

2. Ahora demostraremos \( \mathrm{A} \cup \phi = \mathrm{A} \), por la definición de igualdad, debemos demostrar por separado a las expresiones \( ( \mathrm{A} \cup \phi ) \subseteq \mathrm{A} \) y \( ( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{A} ) \cup \phi \). El método de demostración es similar como en caso anterior, veamos:

(a) Demostremos primero \( ( \mathrm{A} \cup \phi ) \subseteq \mathrm{A} \), entonces, existe un \( x \) tal que:

\( x \in ( \mathrm{A} \cup \phi ) \)

(1) Por la definición unión de conjuntos, obtenemos:

\( x \in ( \mathrm{A} \cup \phi ) \Rightarrow x \in \mathrm{A} \vee x \in \phi \)

(2) Por las ley lógica contradictorias para la disyunción \( \textbf{P} \vee \textbf{F} \equiv \textbf{P} \), donde \( \textbf{P} \) es una proposición contingente y \( \textbf{F} \) es una proposición falsa, tal que \( \text{P} = x \vee \mathrm{A} \) y \( \textbf{F} = x \vee \phi \) ya que contradice a la definición de conjunto vacío que nos dice que \( \nexists x \in \mathrm{U} | x \vee \phi \), entonces:

\( x \in \mathrm{A} \vee x \in \phi = x \in \mathrm{A} \)

(3) de (1) y (2), se tiene:

\( x \in ( \mathrm{A} \cup \phi ) \Rightarrow x \in \mathrm{A} \)

(4) Por la definición de subconjunto \( \mathrm{B} \subset \mathrm{A} \leftrightarrow [ x \in \mathrm{B} \rightarrow x \in \mathrm{A} ] \) , obtenemos:

\( ( \mathrm{A} \cup \phi ) \subseteq \mathrm{A} \)

(b) Ahora demostraremos que \( \mathrm{A} \subset ( \mathrm{A} \cup \phi ) \), debe existir un \( x \) x tal que:

\( x \in \mathrm{A} \)

(5) Por la propiedad de reflexividad \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{A} \) y por la definición de subconjunto:

\( x \in \mathrm{A} \Rightarrow x \in \mathrm{A} \)

(6) Por la ley de la adición de lógica que nos dice \( p \Rightarrow p \vee q \), tal que \( p = x \in \mathrm{A} \) y \( q = x \in \phi \), tenemos:

\( x \in \mathrm{A} \Rightarrow x \in \mathrm{A} \vee x \in \phi \)

(7) Por la definición de unión de conjuntos \( x \in ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) \equiv x \in \mathrm{A} \vee x \in \mathrm{B} ) \), vemos que

\( x \in \mathrm{A} \Rightarrow x \in ( \mathrm{A} \cup \phi ) \)

(8) y por la definición de subconjunto \( \mathrm{B} \subset \mathrm{A} \leftrightarrow [ x \in \mathrm{B} \rightarrow x \in \mathrm{A} ] \), obtenemos:

\( \mathrm{A} \subseteq ( \mathrm{A} \cup \phi ) \)

(9)Finalmente de (4) y (8) demostramos que:

\( \mathrm{A} \cup \phi = \mathrm{A} \)

Para no alargar mucho esta seccion, solo mencionaremos a partir de ahora las propiedades del resto de las operaciones de conjuntos sin demostrar. Sigamos con el siguiente operador para conjuntos.

Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) esta definido como aquel conjunto representado por los elementos comunes entres \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), en otras palabras, es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto al conjunto \( \mathrm{A} \) como al conjunto \( \mathrm{B} \) simultáneamente. Simbólicamente lo representamos así:

\( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \)

Se lee: \( \mathrm{A} \) intersección \( \mathrm{B} \) y debe cumplir la siguiente condición:

\( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \left \{ x | x \in \mathrm{A} \wedge x \in \mathrm{B} \right \} \)

Proposicionalmente también podemos escribir así:

\( x \in ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \leftrightarrow ( x \in \mathrm{A} \wedge x \in \mathrm{B} ) \)

La imagen sombreada de un color intenso indica la intersección de conjuntos entre \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) para los 3 casos, tenemos los siguientes diagramas de Venn:

Diagrama de Ven de la interseccion de los conjuntos A y B.

Imagen 4: \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son intersecantes.

  • \( x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} \Rightarrow x \notin ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \)
  • \( y \in \mathrm{A} \wedge y \in \mathrm{B} \Rightarrow y \in ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \)
  • \( z \in \mathrm{B} \wedge z \notin \mathrm{A} \rightarrow z \notin ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \)
Diagramas de Venn de la interseccion de los conjuntos disjuntos A y B, donde la interseccion es en consecuencia el conjunto vacio

Imagen 5: \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son conjuntos disjuntos.

  • \( x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} \Rightarrow x \notin ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B}) \)
  • \( y \in \mathrm{B} \wedge y \notin \mathrm{A} \Rightarrow x \notin ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \)
  • \( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \phi \)
Diagrama de Venn de la Interseccion de conjuntos A y B tal que A esta incluido en B. por tanto, la inerseccion es el conjunto A

Imagen 6: \( \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} \)

  • \( x \in \mathrm{A} \wedge \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} \Rightarrow x \in ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \)
  • \( z \in \mathrm{B} \wedge z \notin \mathrm{A} \Rightarrow z \notin ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \)
  • \( z \notin \mathrm{A} \wedge \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} \Rightarrow z \notin ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \)
  • Ademas \( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \mathrm{A} \)

Ejemplo de la intersección de conjuntos

Tomaremos los mismos conjuntos del ejemplo de la unión de conjuntos \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2, 3 \right \} \); \( \mathrm{B} = \left \{ 4, 5, 6 \right \} \) y \( \mathrm{C} = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \right \} \), para este caso hallaremos las siguientes intersecciones \( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \), \( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} \) y \( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} \) con cada uno de sus respectivos diagramas de Venn:

\( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \)

el conjunto A tiene los elementos 1, 2 y 3, y el conjunto B tiene los elementos 4, 5 y 6.

\( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} \)

Diagramas de Venn de la interseccion de los conjuntos A = {1, 2, 3} y C = {4, 5, 7, 8, 9}

\( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} \)

el conjunto B tiene los elementos 4, 5 y 6, y el conjunto C tiene los elementos 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, y 9.

Caso \( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \).

La intersección entre dos conjuntos se encuentran sombreados en color azul, para los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), no existe intersección alguna porque no tiene elementos comunes y su intersección es el conjunto vacío. Si \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{C} \) son dos conjuntos disjuntos, se cumple:

\( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \phi \)

Caso \( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} \).

Para los conjuntos \( \mathrm {A} \) y \( \mathrm{C} \), existe una intersección y es el mismo conjunto \( \mathrm {A} \) y a su vez está contenido en el conjunto \( \mathrm{C} \). Esto ocurre únicamente porque el conjunto \( \mathrm{A} \) está contenido en \( \mathrm{C} \), esto es, \( \mathrm{A} \subset \mathrm{C} \), proposicionalmente lo escribimos de la siguiente manera:

\( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{C} \Rightarrow ( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} = \mathrm{A} ) \)

Caso \( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} \).

Los conjuntos \( \mathrm {B} \) y \( \mathrm{C} \) de los ejemplos de los diagramas de arriba también se le llaman conjuntos intersecantes, esto es cuando los conjuntos dados tienen al menos un elemento en común y no se contienen mutuamente entre ellas. Para que los conjuntos \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{C} \) sean intersecantes, debe cumplirse la siguiente proposición:

\( \mathrm{B}\) y \( \mathrm{C}\) son intersecantes si y sólo si \(  ( \mathrm{B} \nsubseteq \mathrm{C} ) \wedge ( \mathrm{C} \nsubseteq \mathrm{B} ) \wedge ( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) \)

Propiedades de la intersección de conjuntos

Sean los conjuntos \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{A} \) no vacíos y el conjunto universal \( \mathrm{U} \), se cumplen las siguientes propiedades:

  • \( \mathrm{A} \cap \mathrm{A} \) (Idempotencia)
  • \( \mathrm{A} \cap \phi = \phi \)
  • \( \mathrm{A} \cap \mathrm{U} = \mathrm{A} \) (Elemento neutro)
  • \( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \mathrm{B} \cap \mathrm{A} \) (conmutativa)
  • \( ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \cap \mathrm{C} = \mathrm{A} \cap ( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) \) (asociativa)
  • \( ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \subseteq \mathrm{A} \) y \( ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \subseteq \mathrm{B} \)
  • \( \forall \mathrm{C} \), \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \Rightarrow ( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} ) \subseteq ( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) \)
  • \( ( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{C} ) \wedge ( \mathrm{B} \subseteq \mathrm{D} ) \Rightarrow (\mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \subseteq ( \mathrm{C} \cap \mathrm{D} )  \)
  • \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \leftrightarrow ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \mathrm{A} ) \)
  • \( \mathrm{P} ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) = \mathrm{P} ( \mathrm{A} ) \cap \mathrm{P} ( \mathrm{B} ) \), \( \mathrm{P} \) significa el conjunto potencia de un conjunto dado.

Leyes Distributivas Para La Union E Interseccion De Conjuntos

  • \( \mathrm{A} \cup ( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) = ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) \cap ( \mathrm{A} \cup \mathrm{C} ) \)
  • \( \mathrm{A} \cap ( \mathrm{B} \cup \mathrm{C} ) = ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \cup ( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} ) \)

Leyes De Absorción

  • \( \mathrm{A} \cup ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) = \mathrm{A} \)
  • \( \mathrm{A} \cap ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) = \mathrm{A} \)

Diferencia de conjuntos

La diferencia de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) esta definido como el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto \( \mathrm{A} \) pero no pertenecen al conjunto \( \mathrm{B} \), esta denotado como \( \mathrm{A} – \mathrm{B} \) y simbolicamente cumple la propiedad ya espuesta:

\( \mathrm{A} – \mathrm{B} = \left \{x | x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} \right\} \)

Proposicionalmente lo podemos escribir así:

\( x \in ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \Leftrightarrow x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} \)

Con la ayuda del diagrama de Venn, podemos notar visualmente el comportamiento de la diferencia de los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) en las partes sombreadas del diagrama:

Diagramas de Venn de la diferencia de conjuntos de dos conjuntos intersecantes A y B

Imagen 7: \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son intersecantes.

  • \( x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} \Rightarrow x \in ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \)
  • \( y \in \mathrm{A} \wedge y \in \mathrm{B} \Rightarrow y \notin ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \)
  • \( z \in \mathrm{B} \wedge z \notin \mathrm{A} \Rightarrow x \notin ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \)
Diagramas de Venn de la diferencia de dos conjuntos disjuntos A y B

Imagen 8: \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son disjuntos.

  • \( x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} \Rightarrow x \in ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \)
  • \( z \in \mathrm{B} \wedge z \notin \mathrm{A} \Rightarrow z \notin ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \)
Diagramas de Venn de la diferencia de dos conjuntos A y B tal que A esta incluido en B

Imagen 9: \( \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} \)

  • \( \mathrm{A} \varsubsetneq \mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{A} – \mathrm{B} = \phi \)

Ejemplo de la diferencia de conjunos

Volvamos a tomar los mismos ejemplos que usamos para la union e interseccion de conjuntos, estos son \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2, 3 \right \} \); \( \mathrm{B} = \left \{ 4, 5, 6 \right \} \) y \( \mathrm{C} = \left \{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 \right \} \). Hallaremos y graficaremos los conjuntos \( \mathrm{A} – \mathrm{B} \), \( \mathrm{B} – \mathrm{C} \) y \( \mathrm{A} – \mathrm{C} \), veamos:

\( \mathrm{A} – \mathrm{B} \)

Diagrama de Venn de la diferencia de los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}

\( \mathrm{A} – \mathrm{C} \)

Diagramas de Venn de la diferencia de los conjuntos A = {1, 2, 3} y C = {4, 5, 7, 8, 9}

\( \mathrm{B} – \mathrm{C} \)

Diagrama de Venn de la diferencia de los conjuntos B = {4, 5, 6} y C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}

Caso \( \mathrm{A} – \mathrm{B} \)

La diferencia de los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) es unicamente el conjunto \( \mathrm{A} \) tal como se encuentra sombreado, la razon es sencilla, el conjunto \( \mathrm{B} \) no tiene ningun elemento con que quitarle al conjunto \( \mathrm{A} \).

Caso \( \mathrm{A} – \mathrm{C} \)

Para este caso, la diferencia de los conjuntos de \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{C} \) resulta ser el conjunto vacio, ya que todos los elementos de \( \mathrm{A} \) los tiene \( \mathrm{C} \) y tranquilamente se los puede quitar todos sus elementos quedando el conjunto vacio \( \phi \).

Caso \( \mathrm{B} – \mathrm{C} \)

Aquí vemos que los elementos de \( \mathrm{B} \) no son completamente eliminados por \( \mathrm{C} \) ya que algunos elementos de \( \mathrm{B} \) le pertenecen a \( \mathrm{C} \), es por ello que la diferencia entre \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{C} \) no es total y quedan algo de \( \mathrm{B} \), esto es, el elemento numerico 6 que no le pertenece a \( \mathrm{C} \).

Pero si invertimos la posicion de los conjuntos de las diferencias de \( \mathrm{A} – \mathrm{B} \), \( \mathrm{A} – \mathrm{C} \) y \( \mathrm{B} – \mathrm{C} \) en \( \mathrm{B} – \mathrm{A} \), \( \mathrm{C} – \mathrm{A} \) y \( \mathrm{C} – \mathrm{B} \) respectivamente, los diagramas de Venn tomarian la siguiente forma:

\( \mathrm{B} – \mathrm{A} \)

Diagrama de Venn de la diferencia de conjuntos de B y A tal que B = {4, 5, 6} y A = {1, 2, 3}

\( \mathrm{C} – \mathrm{A} \)

Diagrama de Ven de la diferencia de los conjuntos C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} y A = {1, 2, 3}

\( \mathrm{C} – \mathrm{B} \)

Ahora veamos las propiedades de la diferencia de conjuntos en el siguiente apartado.

Propiedades de la diferencia de conjunos

Las siguientes propiedades de la diferencia de conjuntos que presentaremos a continuacion vendran conjunto con la union e interseccion de conjuntos. Sean los conjuntos \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{C} \), se cumples las siguientes propiedades:

  1. \( \mathrm{A} – \mathrm{A} = \phi \)
  2. \( \mathrm{A} – \phi = \mathrm{A} \)
  3. \( \phi – \mathrm{A} = \phi \)
  4. \( ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \subseteq \mathrm{A} \)
  5. \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \Rightarrow \mathrm{A} – \mathrm{B} = \phi \)
  6. \( \mathrm{B} \cap ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) = \phi \)
  7. \( \mathrm{A} – \mathrm{B} = ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) – \mathrm{B} = \mathrm{A} – ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) \)
  8. \( \mathrm{A} – \mathrm{B} \neq \mathrm{B} – \mathrm{A} \)
  9. \( \mathrm{A} – ( \mathrm{B} \cup \mathrm{C} ) = ( \mathrm{A} – \mathrm{B} )  \cap ( \mathrm{A} – \mathrm{C} ) \)
  10. \( \mathrm{A} – ( \mathrm{B} \cup \mathrm{C} ) = ( \mathrm{A} – \mathrm{B} )  \cup ( \mathrm{A} – \mathrm{C} ) \)
  11. \( ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) – \mathrm{C} = ( \mathrm{A} – \mathrm{C} ) \cup ( \mathrm{B} – \mathrm{C} ) \)
  12. \( ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) – \mathrm{C} = ( \mathrm{A} – \mathrm{C} ) – \mathrm{B} \)
  13. \( \mathrm{A} \cap ( \mathrm{B} -\mathrm{C} ) = ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) – ( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} ) \)
  14. \( \forall \mathrm{C}, \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \Leftrightarrow ( \mathrm{A} – \mathrm{C} ) \subseteq ( \mathrm{B} – \mathrm{C} ) \)

Complemento de un conjuntos

El complemento de un conjunto \( \mathrm{A} \) respecto a otro conjunto \( \mathrm{B} \) que lo contiene, resulta ser lo que le falta al conjunto \( \mathrm{A} \) para ser igual a \( \mathrm{B} \). Sea los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) tal que \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \), definimos el complemento denotado por \( C_{ \mathrm{B} }^{ \mathrm{A} } \) de la siguiente manera:

\( C_{ \mathrm{B} } \mathrm{A} = \mathrm{B} – \mathrm{A} \)

Por comprensión, lo podemos escribir así:

\( C_{ \mathrm{B} } \mathrm{A} = \left \{ x \in \mathrm{B} | x \in ( \mathrm{B} – \mathrm{A} ) \wedge \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \right \} \)

Proposicionalmente lo podemos escribir así:

\( x \in C_{ \mathrm{B} } \mathrm{A} \Leftrightarrow x \in ( \mathrm{B} – \mathrm{A} ) \wedge \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \)

Cuando indicamos el complemento de un conjunto sin indicar ningun conjunto respectivo, entonces se hace referencia al conjunto universal. Sea el conjunto \( \mathrm{A} \) y el conjunto universal \( \mathrm{U} \). definimos el complemento de un conjunto representado por \( C ( \mathrm{A} ) = \mathrm{A}^{´} = \mathrm{A}^c \) de la siguiente manera:

\( \mathrm{A}^{´} = \mathrm{U} – \mathrm{A} \)

Apartir de ahora, usaremos la notacion \( \mathrm{A}^{´} \) para referirnos al complemento de un conjunto respecto al universo, tener en cuenta que \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{U} \). Veamos los diagramas de Venn del complemento de un conjunto \( \mathrm{A} \) sombreados en los siguientes diagramas de Venn:

Diagrama de Venn del complemento del conjunto a respecto al conjunto universo.

Imagen 10: \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{U} \)

  • \( x \in \mathrm{A} \Rightarrow x \notin \mathrm{A}^{´} \)
  • \( y \notin \mathrm{A} \Rightarrow y \in \mathrm{A}^{´} \)

El siguiente diagrama esta determinado el complemento del conjunto \( \mathrm{A} \) respecto al conjunto \( \mathrm{B} \), el diagrama de Venn para \( C_{ \mathrm{B} }{ \mathrm{A} } \) es:

Digrama de Venn del complemento de A respecto a B

Imagen 11: \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \)

  • \( x \in \mathrm{A} \Rightarrow x \notin C_{ \mathrm{B} }{ \mathrm{A} } \)
  • \( y \in \mathrm{B} \Rightarrow y \notin C_{ \mathrm{B} }{ \mathrm{A} } \)

Por lo general, el complemento de un conjunto respecto a otro conjunto es lo mismo que tratar con la diferencia entre dos conjuntos por lo que no haremos ejemplos de este tipo por ser un asunto repetitivo con respecto al apartado anterior.

Realizaremos un ejemplo solo para el complemento de un conjunto \( \mathrm{A} \) respecto al universo \( \mathrm{U} \) simbolizado por \( \mathrm{A}^{´} \). Tener en cuenta que \( C_{ \mathrm{U} }{ \mathrm{A} = \mathrm{A}^{´} } \), donde \( \mathrm{U} \) es el conjunto universal.

Ejemplo del complemento de un conjunto

Sea el conjunto universal definido por \( \mathrm{U} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right \}  \) y el conjunto \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2, 3 \right \} \), Como \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{U} \), el complemento de \( \mathrm{A} \) es:

complemento del conjunto A respecto al conjunto universo U

\( \mathrm{A}^{´} = \mathrm{U} – \mathrm{A} \)

\( \mathrm{A}^{´} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right \} – \left \{ 1, 2, 3 \right \} \)

\( \mathrm{A}^{´} = \left \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \right \} \)

El conjunto \( \mathrm{A}^{´} \) es la parte sombreada del diagrama.

Propiedades del complemento de un conjunto

Para dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) tal que \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \) y el conjunto universal \( \mathrm{U} \), se satisface las siguientes propiedades para el complemento de un conjunto dado:

  • \( ( \mathrm{A}^{´} )^{´} = \mathrm{A} \)
  • \( \mathrm{A} \cup \mathrm{A}^{´} = \mathrm{U} \)
  • \( \mathrm{U}^{´} = \phi \)
  • \( \phi^{´} = \mathrm{U} \)
  • \( \mathrm{A} \cap \mathrm{A}^{´} = \phi \)
  • \( \mathrm{A} – \mathrm{B} = \mathrm{A} \cap \mathrm{B}^{´} \)
  • \( \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \Leftrightarrow \mathrm{B}^{´} \subseteq \mathrm{A}^{´} \)
  • \( C_{ \mathrm{B} } \mathrm{A} \subseteq \mathrm{B} \)
  • \( \mathrm{A} \cup C_{ \mathrm{B} } \mathrm{A} = \mathrm{B} \)
  • \( \mathrm{A} \cap C_{ \mathrm{B} } \mathrm{A} = \phi \)
  • \( \mathrm{B} \cap C_{ \mathrm{B} }{ \mathrm{A} } = \mathrm{B} – {A} \)
  • \( C_{ \mathrm{A} } \mathrm{A} = \phi \)
  • \( C_{ \mathrm{A} } \phi = \mathrm{A} \)
  • \( C_{ \mathrm{B} } ( C_{ \mathrm{B} } ) \mathrm{A} = \mathrm{A} \)

Leyes de morgan para el complemento de conjuntos:

  • \( ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} )^{´} = \mathrm{A}^{´} \cap \mathrm{B}^{´} \)
  • \( ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} )^{´} = \mathrm{A}^{´} \cup \mathrm{B}^{´} \)

Diferencia simétrica de un conjuntos

La diferencia simetrica de dos conjuntos \(\mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) simbolizado por \( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} \) se define como la union de los conjuntos diferencia \( \mathrm{A} – \mathrm{B} \) y \( \mathrm{B} – \mathrm{A} \), formalmente se representa así:

 \( \mathrm{B} \bigtriangleup \mathrm{A} = ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \cup ( \mathrm{B} – \mathrm{A} ) \)

Tambien se puede definir como la la union de los conjuntos \(\mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) menos la interseccion de las mismas, osea:

 \( \mathrm{B} \bigtriangleup \mathrm{A} = ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) – ( \mathrm{B} \cap \mathrm{A} ) \)

Para verlo con mas claridad, nos apoyaremos como es de costumbre con los diagramas de Venn. Sean los conjuntos intersecantes \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), el diagrama de Ven de la diferencia simetrica \( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} \) es:

diferencia simetrica de A y B

\( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) son conjuntos intersecantes.

  • \( x \in \mathrm{A}  \wedge x \notin \mathrm{B} \Rightarrow x \in ( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} ) \)
  • \( y \in \mathrm{A} \wedge y \in \mathrm{B} \Rightarrow y \notin ( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} )  \)

Fijense en la parte sobreada para los conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) lo cual representa la diferencia simetrica \( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} \), y esta representados por las diferencias \( \mathrm{A} – \mathrm{B} \) y \( \mathrm{B} – \mathrm{A} \). Dado un elemento \( x \), por comprension lo podemos escribir así:

\( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} = \left \{ x | ( x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} ) \vee ( x \in \mathrm{B} \wedge x \notin \mathrm{A} ) \right \} \)

Proposicionalmente lo podemos escribir así:

\( x \in ( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} ) \leftrightarrow ( x \in \mathrm{A} \wedge x \notin \mathrm{B} ) \vee ( x \in \mathrm{B} \wedge x \notin \mathrm{A} ) \)

Ejemplo de la diferencia simetrica de un conjunto

No necesariamente los conjuntos deben ser intersecantes para realizar cualquier tipo de ejemplo, usamos conuntos intersecantes para visualizar el comportamiento de la diferencia simetrica de dos conjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), definamos estos conjuntos así \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ 3, 4, 5, 6 \right \} \), la diferencia simetrica de estos dos conjuntos con su diagrama de Venn, sería:

Diagrama de Venn de la diferencia simetrica de los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}

\( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} = ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) \cup ( \mathrm{B} – \mathrm{A}  ) \)
\( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} = \left \{ 1, 2 \right \} – \left \{ 5, 6 \right \} \)
\( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} = \left \{ 1, 2, 5, 6 \right \} \)

Propiedades de la diferencia simetrica de un conjunto

Para los conjuntos no vacios \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) y \( \mathrm{C} \) cuales quiera, se cumplen las siguientes propiedades:

  • \( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{A} = \phi \)
  • \( \mathrm{A} \bigtriangleup \phi = \mathrm{A} \) (propiedad del elemento neutro)
  • \( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} = \mathrm{B} \bigtriangleup \mathrm{A} \) (propiedad comutativa)
  • \( ( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} ) \bigtriangleup \mathrm{C} = \mathrm{A} \bigtriangleup ( \mathrm{B} \bigtriangleup \mathrm{C} ) \) (propiedad asociativa)
  • \( ( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} ) \cap \mathrm{C} = ( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} ) \bigtriangleup ( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) \) (propiedad distributiva)
  • \( ( \mathrm{A} \bigtriangleup \mathrm{B} ) \cup ( \mathrm{B} \bigtriangleup \mathrm{C} ) = ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C} ) – ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) \)

Con esto estariamos terminando con todas las propiedades de las operaciones entre conjuntos. en el siguiente aparatado trabajaremos con el numero de elementos de un conjunto dado y sus propiedades.

Cardinal de un conjuntos

El cardinal de un conjunto \( \mathrm{A} \) se define como el numero de elementos de un conjunto \( \mathrm{A} \) y se representa simbolicaamente así:

\( Card ( \mathrm{A} ) \) ó \( n ( \mathrm{A} ) \) ó \( | \mathrm{A} | \)

Se lee: “cardinal del conjunto \( \mathrm{A} \)” o “numero de elementos del conjunto \( \mathrm{A} \)”

Ejemplos del cardinal de conjuntos

Sean los conjuntos \( \mathrm{A} = \left \{ 2, 4, 6, 8, 10 \right \} \) y \( \mathrm{B} = \left \{ x, y, z \right \} \), el cardinal de estos conjuntos es solo el numero de elementos de estos conjuntos y son \( n ( \mathrm{A} ) = 5 \) y \( n ( \mathrm{B} ) = 3 \).

Axiomas del cardinal de un conjunto

En teoria de conjuntos, por lo general se admite el numero cero en el conjunto de los numeros naturales, estos numeros sirve generalmente para contar y determinarle un orden a los elementos de un conjunto; al estudiar el cardinal de un conjunto e indicar el numero de elementos.

Estamos afirmando que el cardinal de un conjunto es un numero natural, esto es, \( Card ( \mathrm{A} ) \in \mathbb{N} \) para un conjunto \( \mathrm{A} \) dado ( a partir de ahora usaremos la notacion \( n ( \mathrm{A} ) \) ), bajo este punto, establecemos los siguientes axiomas de conjuntos.

  • \( n ( \mathrm{A} ) \geq 0  \)
  • \( n ( \phi = 0  ) \)
  • Sean los conjuntos finitos  tal que \( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \phi \), entonces \( n ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) = n ( \mathrm{A} ) + n ( \mathrm{B} ) \), en la proxima seccion explicaré porque este axioma no puede ser una propiedad a demostrarse.

Propiedades del cardinal de un conjunto

  • Sean los conjuntos disjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), entonces, el cardinal de la union de estos conjuntos es:
    \( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \phi \Rightarrow n ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) =  n ( \mathrm{A} ) + n ( \mathrm{B} ) \)
  • Para todo conjunto \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \) se cumple la siguiente propiedad:
    \( n ( \mathrm{A} – \mathrm{B} ) = n ( \mathrm{A} ) – n ( \mathrm{B} )  \)
  • Sean dos conjuntos no disjuntos \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), entonces, el cardinal de la union de conjuntos se representa así:
    \( n ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} ) = n ( \mathrm{A} ) + \mathrm{B} – n ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} )  \)
  • Para 3 conjuntos \( \mathrm{A} \), \( \mathrm{B} \) y \mathrm{C} no disjuntos entre si, entonces, el cardinal  de la union de conjuntos \( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}  \) es:
    \( n ( \mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C} ) = n ( \mathrm{A} ) + n ( \mathrm{B} ) + n ( \mathrm{C} ) – n ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} ) – n ( \mathrm{B} \cap \mathrm{C} ) – n ( \mathrm{A} \cap \mathrm{C} ) + n ( \mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C} )   \)

Conjunto potencia

Ya habiamos tocado el conjunto potencia en la seccion de relaciones entre conjuntos, en esta ocacion lo volveremos a retomar con algunas propiedades mas pero esta vez relacionadas con las operaciones de conjuntos que acabamos de estudiar en apartados anteriores.

Definimos el conjunto potencia \( \mathrm{P (A)} \) de un conjunto \( \mathrm{A} \) de la siguiente manera:

\( \mathrm{P (A) = \left \{ X | X \subseteq A \right \} } \)

Donde el conjunto \( \mathrm{X} \) es un subconjunto del conjunto \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{P (A)} \) representa el conjunto de todos los subconjuntos de \( \mathrm{A} \), es decir, de \( \mathrm{X} \). Proposicionalmente se puede escribir así:

\( \mathrm{X \in P (A) \leftrightarrow X \subseteq A} \)

Tengan en cuenta que el conjunto vacio \( \phi \) tambien es elemento del conjunto potencia ya que \( \phi \) es subconjunto de \( \mathrm{A} \), de hecho, es conjunto de cualquier conjunto dado, incluso de si mismo.

Ejemplo del conjunto potencia

Sean el conjunto \( \mathrm{A} = \left \{ 0, 1, 2, \right \} \), si extraemos todos los subconjuntos de \( \mathrm{A} \), tenemos el conjunto potencia representado por todos estos subconjuntos de \( \mathrm{A} \) así:

\( \mathrm{P (A) } = \left \{ \phi, \left \{ 0 \right \}, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 2 \right \}, \left \{ 0, 1 \right \}, \left \{ 0, 2 \right \}, \left \{ 1, 2 \right \}, \mathrm{A} \right \} \)

En total encontramos 8 subconjuntos para \( \mathrm{P (A)} \) de 3 elementos de \( \mathrm{A} \), esto es, \( n ( \mathrm{P (A)} ) = 8 \Leftrightarrow n ( \mathrm{A} ) = 3 \).

Propiedades del conjunto potencia

Las 3 primeras propiedades ya lo habiamos mencionado en la seccion de relaciones de conjuntos y son:

  • \( \mathrm{A \subseteq B \Leftrightarrow P (A) \subseteq P (B)  } \)
  • \( \mathrm{ X \in P(A) \Leftrightarrow X \subseteq A } \)
  • \( \mathrm{A = B \Leftrightarrow P(A) = P(B)} \)

La siguientes estan relacionadas con las teorias subsiguientes que ya hemos estudiado y son:

  • \( \mathrm{B \subseteq A \Leftrightarrow B \in P(A) } \)
  • \( \mathrm{P(A \cap B) = P(A) \cap P(B) } \)
  • \( \mathrm{P(A) \cup P(B) \subseteq P(A \cap B) } \)
  • \( n ( \mathrm{A} ) = k \Leftrightarrow n ( \mathrm{P(A)} ) = 2^{k} \)

Existe otra operacion entre conjuntos llama producto cartesiano, esta operacion lo veremos en el siguiente capitulo de relaciones binarias, por lo pronto, dejaremos esta seccion inconclusa y por actualizar ya que se añadiran un nuevo apartado llamado “familia de conjuntos”, fin de la seccion.

Fin de la seccion 4

Por fin finalizamos la ultima seccion de teoria de conjuntos, aun nos falta actualizar uno nuevo apartado de la familia de conjuntos para la union e interseccion para \( n \) conjuntos y sus respectivas propiedades, por lo pronto, dejaremos esta seccion con las teorias necesarias que usaremos en capitulos posteriores.

Si has logrado llegar hasta aquí, te agradesco mucho tu paciencia, estos contenidos lo hago con cariño para ti, nos vemos en la ultima seccion de la teoria de conjuntos, esto es, ejercicios resueltos de la teoria de conjuntos, bye, que tengas buen día.

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Nombre De La Entrada
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51star1star1star1star1star
2018-06-21T00:15:38+00:00