2. Los Cuantificadores

Esta es una extensión del capítulo de lógica proposicional, pero será una sección principal del capitulo de teoría de conjuntos. La razón es muy sencilla, cuando trabajamos con teoría de conjuntos, es necesario especificar cantidades de un conjunto dado, los términos que nos ayudarán a especificar la cantidad se llaman cuantificadores.

Es por ello que vamos a tomar algunos conceptos de lógica de predicados y estar preparados para secciones posteriores del curso actual.

Lo que veremos en breve son aquellos argumentos que indican cantidad de algo, pueden ser mencionados tanto en lo plural o singular y como tal, trabajaremos siempre a nivel proposicional, este tipo de argumentos proposicionales que indican cantidad se les llama proposiciones categorías.

De las proposiciones categóricas se puede desprender dos tipos de cuantificadores, esto son, los cuantificadores universales y existenciales que transforman a las funciones proposicionales en proposiciones.

Antes de comenzar a estudiar los cuantificadores lógicos, esbozaremos el concepto proposiciones categóricas para enriquecer esta sección no solo darle un sentido mas amplio a la sección actual sino también para mejorar las herramientas matemáticas para posteriores sesiones tanto de esta sección como próximos capítulos de esta web. Dicho todo esto, comencemos.

Las proposiciones categóricas son frases o términos que indica una cantidad en los argumentos del tipo proposicional donde pueden denotar una pluralidad o singularidad de una proposición dada, es decir, puede indicar la afirmación o la negación de todos o algunos de algo.

Por lo general, las proposiciones categorías consta de un sujeto y un predicado para indicar la cantidad sobre el sujeto, una cantidad que puede denotar “todos, algunos o ningunos“.

Aristóteles ya estudiaba este tipo de proposiciones donde pudo clasificar 4 tipos de proposiciones categóricas con nombres memotécnicos de A, E, I, O y son:

  • Todo S es P – Proposición universal afirmativa.
  • Ningún S es P – Proposicion universal negativa.
  • Algún S es P – Proposicion particular afirmativa.
  • Algún S no es P – Proposición particular negativa.

Donde S es el sujeto y P es el predicado.

Ejemplos de proposiciones categóricas

  • Ejemplos de proposición universal afirmativa.
  1. Todos los niños tienen piernas.
  2. Todos los leones son carnívoros.
  3. Todos los que nacen en Perú son terrícolas.
  • Ejemplos de proposición universal negativa.
  1. Ningún niño es un gato.
  2. Ningún león es humano.
  3. Ningún peruano es de Marte.
  • Ejemplos de proposición particular afirmativa.
  1. Algunos fantasmas son poltergeist.
  2. Algunos niños peruanos son de Lima.
  3. Algunas ratas son negras.
  • Ejemplos de proposición particular negativa.
  1. Algunos computadores no tiene cuatro nucleos reales en su microprocesador.
  2. Algunos joyas no son de plata.
  3. Algunas mujeres no son de Europa.

Todas las proposiciones presentados aquí son categóricas si y solo encontramos la frase “todos“, “ninguno” o “algunos“. Estas palabras especiales se les llama cuantificadores y este es el tema central de la sección del curso de teoría de conjuntos. Pero existe un inconveniente con el cuantificador “algunos“, y lo veremos ahora mismo en el siguiente apartado.

Controversia con el cuantificador particular "Algunos"

En lógica, el cuantificador “algunos”, no da ninguna información específica de la cantidad que hace referencia al sujeto según la justificación del predicado.

Este inconveniente puede tener como resultado una redundancia cuando se justifica un pequeño grupo de elementos sin indicar la cantidad especifica, por ejemplo, si decimos:

  • Algunas parejas van al cine.

Este es una proposición categórica afirmativa, pero de esta proposición se puede concluir sin necesidad de negar tal proposición lo siguiente:

  • Algunas parejas no van al cine.

Esto se puede escribir así:

  • Algunas parejas van al cine, por tanto, algunas parejas no van al cine.

Esto significa que la conclusión se deduce de la premisa. Si negamos la premisa, nos da como resultado la conclusión y esto es una contradicción. porque deben indicar información opuesta una tiene que contradecir a la otra, tal que una no sea conclusión de la otra.

Por tanto, “Algunas parejas van al cine” no es la negación de “Algunas parejas no van al cine“. Si bien, esto es válido para la condicional material, no lo es para implicación lógica, aunque en apariencia, indiquen lo mismo. Pero veamos esto con el cuantificador universal.

  • Todas las parejas van al cine.

De aquí se puede deducir que:

  • Ninguna pareja no va al cine (negación de la negación)

Pero si negamos “Todas las parejas van al cine” quedando:

  • Todas las parejas no van al cine.

De aquí se puede deducir:

  • Ninguna pareja va al cine.

Con un simple análisis de los cuantificadores universales “Todas la parejas van al cine” y “todas las parejas no van al cine” son opuestas y contrarias y sus respectivas conclusiones también, por lo que una no se puede deducir de la otra. Cosa contraria con el cuantificador particular, la negación de su argumento original se deduce del argumento original, lo cual no es una contradicción. Lo que se debe de entender es que una negación indica que deben tener significados contrarios, opuestos y que una no se pueda deducir de la otra, ni mas, ni menos.

CORRECCIÓN De la PROPOSICIÓN CATEGORÍA "algunos"

La manera correcta de corregir este inconveniente es de la siguiente manera, sea la siguiente proposición categórica:

  • Algunas parejas van al cine.

La manera correcta de negadlo sería así:

  • No es verdad que algunas parejas van al cine.

De aquí se concluye que:

  • Ninguna pareja va al cine

Negar su existencia de algo es lo mismo que su inexistencia, la negación es una proposición que niega lo que se firma de manera estricta, por tanto, la negación de “Algunas parejas van al cine.” es “Ninguna pareja va al cine”.

Con esto, estamos preparados para comenzar con la simbolización de los cuantificadores, primero vamos a resaltar una definición para los cuantificadores ahora mismo.

Cuantificadores lógicos

Los cuantificadores en lógica son muy usado en teoría de conjuntos y son frases que indican una cantidad, sea plural o singular sobre el sujeto incógnito de una función proposicional (enunciado abierto) que cumple una propiedad determinada.

Los cuantificadores se clasifican en cuantificador universal con símbolo \( \forall \) y cuantificador existencial con símbolo \( \exists \) y son lógicamente opuestas.

Tenga en cuenta que trabajaremos con enunciados abiertos ya que cuando tratamos con un conjunto de elementos, necesitamos simbolizarlo con una variable específica, hay que tener en cuenta que el predicado de una proposición debe justificar al sujeto, en caso que el sujeto sea una variable y el predicado intenta justificar a los elementos de la variable, entonces es un enunciado abierto, pero si intenta justificar a la propiedad de la variable de todos los elementos, entonces es una proposición.

Pero hay que entender un punto mas aquí, aquella propiedad que el predicado juzga, resulta ser el mismo predicado. En la sección de proposiciones ya había definido de una manera diferente lo que es un enunciado abierto pero no explique estas pequeñas diferencias.

Por ejemplo:

  • Ella tiene la nariz roja.

La palabra “ella” es una variable y puede representar cualquier mujer como María, Lucia, etc, aquí, el predicado “nariz roja” justifica a un elemento específico desconocido del sujeto-variable “ella” ya que el mismo predicado puede justificar también a “ellos”. Aquí, el predicado es indiferente del sexo, una propiedad que el sujeto “ella” tiene.

  • Ella es mujer.

Si bien la palabra “Ella” puede ser María, Lucia, etc. son una variable, todas ellas tiene una característica, es que todas son mujeres y por tanto, este enunciado es una proposición, el predicado justifica una propiedad de la variable y no a los elementos que la puedan representar, ademas, esta justificación es el mismo predicado.

Sin embargo, un enunciado abierto puede transformarse en una proposición sin necesidad de asignarle valores a las variables y esto es gracias a los cuantificadores, para explicar este punto, comencemos con el concepto de función proposicional.

función proposicional

Una función proposicional es un enunciado abierto, pero por cuestiones prácticas y porque estamos trabajando en matemáticas diremos que una función proposicional \( p(x) \) es aquel predicado que justifica a una variable de \( x \) sin justificar su propiedad. Todos los elementos que representan a la variable \( x \) se le llama dominio \( \mathrm{D} \) y usando la definición de pertenencia de conjunto, diremos que \( x \) pertenece a \( \mathrm{D} \) simbolizado así \( x \in \mathrm{D} \).

Definimos una variable proposicional \( p(c) \) si un \( x \) es una constante \( c \) conocida donde la variable \( p(c) \) puede ser verdadera o falsa para todo \( c \in \mathrm{D} \). Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de funciones proposicionales

Ejemplo 1

  • \( p(x) = x+3>4 \)

Nos restringiremos en nuestro ámbito matemático porque el valor de x puede incluso una variable no numérica, es decir, pueden ser personas, animales o cosas. Si suponemos que x símbolo de pertenencia conjunto de los números naturales, decimos lo siguiente:

  • Si \( x = 2 \), entonces \( p(2): 2+3>4 \), es una proposición verdadera.
  • Si \( x = 1 \), entonces \( p(1): 1+3>4 \) (4 no puede ser mayor que si mismo), es una proposición falsa.

Ejemplo 2

  • \( q(x): 2x+3 = -5 \)

Si suponemos que \( x \in \mathbb{Z} \), decimos lo siguiente:

  • Si \( x = 4 \), entonces \( p(4): 2(4)+3 = 11 \neq -5 \), es una proposición falsa.
  • Si \( x = -4 \), entonces \( p(-4): 2(-4)+3 = -5 \), es una proposición verdadera.

Como se habrán dado cuenta, un enunciado abierto puede transformarse en una proposición si se le asigna una constante a la variable del enunciado abierto, eso si, siempre y cuando el predicado del enunciado abierto justifique a los elementos con una característica no común de las mismas como lo explique anteriormente.

Cuantificador universal

Otra manera de transformar una función proposicional a una variable proposicional es anteponiendo cuantificadores en el sujeto de la función, una ellas es el cuantificador universal y sirve para indicar que todos los elementos de la variable-sujeto (el conjunto de sus elementos) cumplen una determinada propiedad.

Este tipo de proposiciones con variables tiene la siguiente forma:

Cuantificador Universal + función proposicional = variable proposicional

El cuantificador universal se simboliza con una letra “A” mayúscula de cabeza así \( \forall \), la proposición con una variable-sujeto quedaría así:

\( \forall x: p(x) \)

Y se lee “para todo \( x \), se verifica \( p(x) \)“, este tipo de proposiciones las denominaremos a partir de ahora, proposiciones universales. Ahora, explicamos porque los cuantificadores transforman a las funciones proposicionales en variables proposicionales.

La razón es muy sencilla, para un enunciado abierto, el predicado justifica a un elemento o grupo de elementos de todo el conjunto del sujeto, pero no sabemos cuales son. Sin embargo, cuando anteponemos el cuantificador universal en el sujeto, indica que el predicado afecta a todos los elementos, es decir, la propiedad ya no afecta a un grupo pequeño del sujeto-variable, sino a todo el conjunto, esto indica que ya no nos importa que elemento cumple con la propiedad sino el conjunto en sí.

En otras palabras, nos importa mas si el conjunto cumple con la propiedad y ya no específicamente a cada uno de sus elementos, esto transforma nuestro función proposicional en una variable proposicional. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplos de cuantificadores universales

Ejemplo 3

Sea la siguiente función proposicional:

  • \( x \in \mathrm{N}: 1 < x+3 < 8 \).

En esta función no sabemos que valor de \( x \) cumple \( 1 < x+3 < 8 \), pero si anteponemos un cuantificador universal de la siguiente manera:

  • \( \forall x \in \mathbb{N}: 1 < x+3 < 8 \).

Resulta que ser una variable proposicional, además es falsa, porque no puede cumplir para todos los valores de \( x \in \mathbb{N} \), por ejemplo para \( x=6 \), no cumple la desigualdad.

Pero si restringimos los valores de x para un conjunto dado tal que \( x \in \mathrm{A} \) donde \( \mathrm{A} = \left \{ 1, 2, 3, 4 \right \} \), la proposición seria así:

  • \( \forall x \in \mathrm{A}: 1 < x+3 < 8  \).

Esta proposición resulta ser verdadera porque la desigualdad cumple para todos los valores del conjunto \( \mathrm{A} \).

Ejemplo 4

Sea la siguiente proposición categórica

  • \( \forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0 \).

Esta proposición es verdadera porque para cualquier valor real x, siempre sera un real positivo mayor que cero.

Cuantificador existencial o particular

A diferencia del cuantificador universal, el cuantificador existencial transforma una función proposicional a una variable proposicional de tal manera que por lo menos existe un elemento de la variable-sujeto (por lo menos un elemento del conjunto) que cumple una propiedad determinada.

Este tipo de proposiciones tiene la misma forma como el cuantificador universal en cuanta escritura y se puede escribir igualmente así:

Cuantificador Existencial + función proposicional = variable proposicional

El símbolo del cuantificador existencial es una letra \( \exists \) mayúscula volteada así \( \exists \), la proposición categórica quedaría así:

\( \exists x : p(x) \)

Se lee “Existe por lo menos un \( x \) tal que verifica \( p(x) \)“, desde este momento este tipo de proposiciones se llaman proposiciones existenciales. Explicando brevemente el uso de este cuantificador, de ninguna manera indica qué elemento de la variable-sujeto debe cumplirsees suficiente saber que por lo menos algún elemento (no importa cual) verifica \( p(x) \). Aquí algunos ejemplos aclaratorios:

Ejemplos de cuantificadores existenciales

Ejemplo 5

  • \( \exists x : x \) es un número primo.

Si eliminamos la variable \( x \), podríamos decir “existe por lo menos algún número primo”, naturalmente esta proposición es verdadera.

Ejemplo 6

  • \( \exists x \in \mathbb{R}: x^2 +x + 1 = 0 \).

Si resolvemos las raíces de esta ecuación, nos encontraremos con números complejos, por lo que nuestra proposición es falsa.

Ejemplo 7

Sea el conjunto \( \mathrm{A}= \left \{ 1, 6, 8, 17 \right \} \).

  • \( \exists x \in \mathrm{A}: x \) es multiplo de 3.

Esta proposición nos dice que por lo menos existe un \( x \in \mathrm{A} \) que es múltiplo de \( 3 \), esta proposición es verdadera porque existe un elemento del conjunto \( \mathrm{A} \) que es múltiplo de 3 y es \( 6 \in \mathrm{A} \).

Cuantificador EXISTENCIAL ÚNICA

Pueden existir casos donde el cuantificador existencial pueda hacer referencia solo a uno y tan solo un elemento del conjunto, se representa con el símbolo \( \exists ! \), para una función proposicional, la proposición se escribiría así:

\( \exists ! x: p(x) \)

y se lee:

  • Existe un único valor de \( x \) tal que \( p(x) \) es verdadera.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 7

Si por lo menos existe dos elementos, entonces la este cuantificador es falso. Por ejemplo:

  • \( \exists ! x \in \mathbb{Z} : 0 < x < 2 \).

Es verdadera porque el único valor que cumple para esta proposición es para \( x=1 \).

Ejemplo 8

  • \( \exists ! x \in \mathbb{R}: x^2 – 4x + 4 = 0 \).

Este también es verdadera por que cumple para un único valor \( x=2 \).

Ejemplo 8

  • \( \exists ! x \in \mathbb{N}: x^2 – 5x + 6 = 0 \).

Esta proposición es falsa porque existe mas de un valor para esta proposición y son \( x=2 \) y \( x= 3 \).

NEGACIÓN de los cuantificadores (equivalencias)

La negación de los cuantificadores de una función proposicional es otro cuantificador de la misma función proposicional negada, pero lo interesante aquí es que se crea una relación de equivalencia entre un cuantificador universal y un cuantificador existencial, de hecho, son proposiciones de valores opuestos.

Sea la siguiente función proposicional:

  • \( p(x): x \) es un animal que tiene cola.

Por tanto, la proposición \( \forall x : p(x) \) es lógicamente falsa, creo que no necesito explicar el porque, para corregir esto, simplemente lo negamos, quedaría así:

  • \( \sim [ \forall x : p(x) ] \)

Su lectura es:

  • No es cierto que para todo \( x \), \( x \) es un animal que tiene cola.

O su equivalente:

  • No todos los animales tiene cola.

O bien:

  • Existe por lo menos un animal que no tiene cola.

Como se habrán dado cuenta, esta última proposición es viene con un cuantificador existencial con una función proposicional negada \( \sim p(x) \) que simbólicamente quedaría así:

  • \( [ \exists x : \sim p(x) ] \)

NEGACIÓN de una DECLARACIÓN universal

Bajo estas consideraciones podemos remitir la siguiente propiedad:

Propiedad 1: La negación de un cuantificador universal de una función proposicional es equivalente a la afirmación del cuantificador existencial de la negación de una función proposicional, y se escribe:

\( \sim [ \forall x : p(x) ] \equiv \exists x : \sim p(x) \)

NEGACIÓN de una DECLARACIÓN existencial

Igualmente ocurre cuando negamos un cuantificador existencial, no explicaré con ejemplos esa equivalencia porque se explica de la misma manera como en el caso de los ejemplos anteriores, la segunda propiedad nos dice:

Propiedad 2: La negación de un cuantificador existencial de una función proposicional es equivalente a la afirmación del cuantificador universal de la negación de una función proposicional, y se escribe:

\( \sim [ \exists x : p(x) ] \equiv \forall x : \sim p(x) \)

Tengan en cuenta que solo se intercambió las posiciones de \( \exists \) y \( \forall \), Observe que esto se puede extender de manera correcta para un conjunto cualquiera \( \mathrm{A} \) tal que \( x \in \mathrm{A} \), las dos propiedades anteriores se escribirán de la siguiente manera:

Propiedad 3: \( \sim [ \forall x \in \mathrm{A} : p(x) ] \equiv \exists x \in \mathrm{A}: \sim p(x) \).

Este propiedad nos dice que:

  • No es verdad que para \( x \in \mathrm{A} \), \( p(x) \) es verdadera.

O bien:

  • Existe un \( x \in \mathrm{A} \) tal que \( p(x) \) es falso.

Y su análogo de la propiedad 2 sería:

Propiedad 4:  \( \sim [ \exists x \in \mathrm{A}: p(x) ] \equiv \forall x \in \mathrm{A}: \sim p(x) \).

Su lectura es:

  • No existe un \( x \in \mathrm{A} \) tal que \( p(x) \) es verdadero.

O también:

  • Para todo \( x \in \mathrm{A} \), \( p(x) \) es falso.

funciones proposicionales de mas de una variable

En los apartados anteriores, trabajamos con cuantificadores monádicos, es decir, que operan sobre una sola variable, hoy trabajaremos con cuantificadores generales, es decir aquellas proposiciones categóricas que tiene mas de una variable.

Lo que debe entenderse a continuación es que si existe \( n \) variables para una función proposicional, entonces deben existir \( n \) cuantificadores (sea existencial o universal) para que nuestro enunciado sea una proposición.

Si por lo menos existe una variable del resto de variables de la función proposicional sin un cuantificador entonces no es una proposición categórica, es decir, tan solo es una función proposicional o simplemente un enunciado abierto. Veamos ejemplos de funciones proposicionales de mas de una variable antes de realizar la aplicación de los cuantificadores.

Ejemplo 9

Veamos la siguiente función proposicional:

  • \( x \) supo que \( y \) viajó a Japón y visitó a su amigo \( z \).

Esta es una función proposicional de 3 variables \( x \), \( x \), \( x \), como también:

  • \( x+y+z = 10 \)

Aplicación de los cuantificadores a las funciones proposicionales de MÁS de una variable

Como dije en el apartado anterior, para que una función proposicional de varias variables sea una proposición se debe anteponer a cada variable su propio cuantificador respectivo, si por lo menos una variable le resta un cuantificador, entonces seguirá siendo una función proposicional. Usaremos como ejemplo a \( x+y+z = 10 \) para explicar este punto.

Un cuantificador universal para \( x \) resulta:

  • \( \forall x: x+y+z = 10 \)

Esta sigue siendo una función proposicional de variables \( y, z \). Si le agregamos un cuantificador universal a \( y \), sería:

  • \( \forall y : \forall x : x+y+z=10 \)

Este enunciado sigue siendo una función proposicional de variable \( z \), si a esta misma variable le colocamos un cuantificador existencial, resulta:

  • \( \exists z : \forall y : \forall z: x+y+z=10 \)

Por fin tenemos nuestra proposición donde podemos justificar si es verdadera o falsa, Si fijamos un posible valor para \( z=4 \), la proposición se reduce a:

Caso 1

  • \( \forall y : \forall x : x+y = 6 \)

Esta proposición es falsa, porque para cualquier valor de \( x \) e \( y \), por ejemplo \( x=7 \) e \( y = 5 \), resulta:

  • \( x+y = 7+5 = 12 \neq 6 \)

Por tanto, la proposición \( \exists z : \forall y : \forall x : x+y+z = 10 \) es falsa. Ahora cambiemos el orden de los cuantificadores con sus respectivas variables

Caso 2

  • \( \forall y : \exists z \forall x : x+y+z = 10 \)

Hemos mantenido la posición del cuantificador \( \forall x \), veamos si esta proposición es verdadera o falsa. Nos dice primero que podemos escoger cualquier valor para \( y \), supongamos \( y=4 \) y un único \( z=2 \) fijo, la proposición queda de la siguiente manera:

  • \( \forall x : x=4 \)

Esta proposición es falsa por que no puede cumplirse para cualquier valor de \( x \), por ejemplo \( x=5 \). Pero como nos indica que podemos que podemos escoger cualquier \( y \), digamos \( y=0 \) para un único zeta fijo \( z=2 \), la proposición \( \forall x : x=8 \) seguirá siendo falsa. Volvamos intercambiar el orden de los cuantificadores para el siguiente caso:

Caso 3

  • \( \forall y : \forall x : \exists z : x+y+z=10 \)

Esta proposición nos dice que para cualquier valor de \( x \) e \( y \) cumple para un único valor \( z \). En efecto, por que si escogemos cualquier \( x=1 \) e \( y=7 \), existe un \( z=2 \) fijo o para otros valores cualquiera \( x=-2 \) e \( y=-3 \), existe un \( z=15 \).

Por tanto, la proposición \( \forall y : \forall x : \exists z : x+y+z = 10 \) es verdadera.

Con este ejemplo, se demuestra que el orden de los cuantificadores altera el valor de verdad de la proposición. Una generalidad para 3 variables-sujetos de una función proposicional \( p(x, y, z) \), las proposiciones son:

  • \( \forall y : \forall x : \exists z : p(x, y, z) \)
  • \( \forall y : \exists x : \forall z : p(x, y, z) \)
  • \( \exists y : \forall x : \forall z : p(x, y, z) \)

Y cualquiera de sus otras combinaciones (son otras 6 mas), algunas veces tendrán valores de verdad distintas entre ellas y otras similares.

Negación de los cuantificadores de las funciones proposicionales de MÁS de una variable

La negación de una proposición con con múltiples cuantificadores se realiza en orden y debe tenerse en cuenta las propiedades de cuantificadores expuesto arriba.

Tener en cuenta que negar un cuantificador universal nos da un cuantificador existencial y negar un cuantificador existencial nos da como resultado un cuantificador universal. Por ejemplo, tenemos la siguiente proposición cuantificacional.

\( \exists z : \forall y : \forall x : p(x, y, z) \)

Lo negamos:

\( \sim [ \exists z : \forall y : \forall x : p(x, y, z) ] \)

Tenga en cuenta que el símbolo de la negación afecta primero a \( \exists z \), al ser afectada, este cambio a \( \forall z \) y el símbolo de la negación afecta a \( \forall y \), quedando así:

\( \forall z : [ \sim [ \forall y : \forall x : p(x, y, z) ] ] \)

Como la negación afecta a \( \forall y \), se transforma en \( \exists y \) afectando dicha negación a \( \forall x \), tenemos:

\( \forall z : [ \exists y : [ \sim [ \forall x : p(x, y, z) ] ] ] \)

Por último, la negación de \( \forall x \) es \( \exists x \), pero con la función proposicional negada quedando:

\( \forall z : [ \exists y : [ \exists x : \sim p(x, y, z) ] ] \)

O simplemente escribimos lo escribimos así:

\( \forall z : \exists y : \exists x : \sim p(x, y, z) \)

De aquí, logramos la siguiente equivalencia:

\( \sim [ \exists z : \forall y : \forall x : p(x, y, z) ] =  \forall z : \exists y : \exists x : \sim p(x, y, z) \)

Si se me da la oportunidad, me dedicaré a un pequeño curso de lógica de primer orden para amplificar con otros nuevos conceptos que incluyen los cuantificadores que hemos trabajado en esta sección, aquí terminamos.

Fin de la sección 2

Esta sección tratamos de manera muy breve sobre la estructura de una proposición simple, que por lo general esta formado de un sujeto y un predicado, vimos que al agregarle un cuantificador, se transformada en una proposición categórica, sin embargo, cuando tratamos el apartado de cuantificadores, no resaltamos quien pudo haber sido el sujeto y predicado.

Lo único que hemos hecho es limitar la sección de los cuantificadores a la lógica proposicional independientemente del tipo de función proposicional (enunciado abierto) que definamos.

Por lo pronto, estos conceptos básicos son necesarios para dedicarnos al resto del capítulo de teoría de conjuntos, en este caso, las secciones de relación de conjuntos y álgebra de conjuntos.

Espero que les guste mi contenido, eso sería todo, gracias por llegar hasta aquí queridos amigos, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Los cuantificadores - lógica
Clasificación
51star1star1star1star1star
2018-07-14T23:15:00+00:00
This website uses cookies and third party services. Ok