El concepto de conjunto que presentaremos en esta primera sección de teoría de conjuntos será intuitivamente sencillo, sin formalidades abstractas rigurosas para un público general.

Trabajaremos con un concepto primitivo donde por lo general son aceptados sin una definición precisa de connjunto porque simplemente no la tiene.

En esta sección discutiremos el concepto de conjunto, de elemento y de relaciones entre conjuntos de manera muy primitiva, pero hay que reconocer que la falta de consistencia de los argumentos para definir las bases principales de conjuntos ayuda a entender la idea de conjunto, luego viene su fomalización.

La teoría tal cual la conocemos se le conoce como la teoría informal de conjuntos y es lo que trataremos en los siguientes apartados como en las secciones posteriores del capítulo. Comencemos esta seccion con el concepto de conjunto.

En matemáticas llamamos conjuntos a la colección o agrupación de elementos siempre y cuando exista una condición para que tales elementos pertenezcan a los conjuntos, los elementos del conjunto también se les denomina objetos del conjunto. Los conjuntos también son otro tipo de objeto pero de otra categoría, esto lo veremos en un capitulo mas avanzado de conjuntos.

Si bien, el concepto de conjunto se podría atribuir con objetos reales como una agrupación de animales, personas, países, capitales del mundo, tipos de palomas, en fin cualquier cosa que tenga algo en común en la vida real para agruparlos, no fue hasta el siglo XIX comenzo a aplicarse el concepto de conjunto como un objeto abstracto donde sus elementos se conformaban por ejemplo con números, otros conjuntos, agrupaciones de signos matemáticos, etc.

Por ejemplo, el conjunto de aves:

A={pelicano,gallina,tucan,gorrión}

El conjunto de marcas de smartphone:

C={Sony,Samsung,Apple,LG,Huawei}

O el conjunto de los números primos:

P={2,3,5,7,11…}

Los conjuntos numéricos a mediados del siglo XIX generó mucha controversia ya que trataban con conjuntos que se pensaba que era indefinibles y falto de sentido común aunque tarde o temprano fue superándose, pero eso es otra historia, sigamos.

Como pueden observar, los elementos de estos conjuntos tiene algo en común, los elementos del conjunto A son aves y del conjunto C son marcas de smartphone. Esto indica que cada conjunto tiene una propiedad específica que caracteriza a cada elemento y agruparlos convenientemente como el conjunto P donde indica que los números agrupados deben ser primos.

Esto significa que un conjunto queda definido por una propiedad que tiene en común los elementos que las contiene, lo que quiero decir es que no existe una definición precisa de conjunto, no creo que exista, pero se puede contemplar desde una perspectiva axiomática que veremos en otra oportunidad.

Notación de conjunto:

¿Y cómo se representan los conjuntos?. Por lo general los conjuntos son representados o simbolizan por letras mayúsculas como:

A, B, C, X, Y, Z

y sus elementos se representan con letras minúsculas para generalizar una variable que representen a los elementos de manera individual con la propiedad que lo caracteriza así:

a, b, c, x, y, z

Se dice habitualmente que el concepto de conjunto es un concepto bien definido por parte de sus elementos, esto se debe de una propiedad específica que caracteriza de manera particular a cada elemento para que que pueden ser agrupado en base a esta propiedad, por ello se dice que son conjuntos bien definidos.

Concepto de pertenencia De un conjunto

Para representar la relación de un elemento a perteneciente a un conjunto A, se encuentra denotado con el símbolo de pertenencia ∈ de la siguiente manera:

(elemento) símbolo de pertenencia (conjunto)

donde el elemento es el objeto a y el conjunto es el objeto A, quedando:

a símbolo de pertenencia A

y se lee “a pertenece a A” o a esta contenido a A“, si el elemento a no se encuentra en A, entonces lo escribimos así:

a ∉ A

y se lee a no pertenece a A“.

Ejemplos del concepto de pertenencia

Si el conjunto A representa al conjunto de algunos colores como el amarillo, azul, rojo y verde, la relación de pertenencia lo escribiremos así:

  • amarillo símbolo de pertenencia A
  • azul símbolo de pertenencia A
  • rojo símbolo de pertenencia A
  • verde símbolo de pertenencia A

Luego, al conjunto A se puede escribir encerrando sus elementos entre llaves así:

A={amarillo,azul,rojo,verde}

Si en esta colección de colores enumerados por comas no encontramos otros colores como el naranja o el violeta, lo escribiremos simplemente así:

  • naranja ∉ A
  • violeta ∉ A
O también, definimos el conjunto B de aquellos números de un solo dígito, la relación de pertenencia lo escribiremos así:
  • 0 símbolo de pertenencia B
  • 1 símbolo de pertenencia B
  • 2 símbolo de pertenencia B
  • 3 símbolo de pertenencia B
  • 4 símbolo de pertenencia B
  • 5 símbolo de pertenencia B
  • 6 símbolo de pertenencia B
  • 7 símbolo de pertenencia B
  • 8 símbolo de pertenencia B
  • 9 símbolo de pertenencia B
Donde el conjunto B se puede escribir literalmente con todos sus elementos numéricos de un solo dígito encerrado entre llaves así:
B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
De la misma manera, como este conjunto no admite números de dos dígitos como el 15 o el 20, lo escribiremos simplemente así:
  • 15 ∉ B
  • 20 ∉ B

Diagramas de venn - Euler

Los diagramas de Venn son el modo infinitamente intuitiva para entender lo que significa una colección de conjuntos por medios visuales, para ello usamos representaciones gráficas, los diagramas de Venn pueden tomar formas de líneas cerradas formando figuras colectivas para nuestros elementos que cumplan con una propiedad específica.

diagramas de venn 1
diagramas de venn 2
diagramas de venn 3
diagramas de venn 4

Para el caso de los ejemplos de los conjuntos definidos de los colores y de los números de un solo dígito del apartado anterior, lo representamos así:

agrupación de colores
agrupación de números

Aunque la forma de los diagramas de Venn son irrelevante para el estudio de la teoría de conjuntos, por lo menos es util como única función intuitiva informal de entender lo que es un conjunto según sus elementos que las contiene según la propiedad en común que las satisface.

Como ven, son sencillos gráficos de líneas cerradas porque los diagramas de ven solo son eso, diagramas, simples ilustraciones como ayuda visual para entender este concepto tan sencillo como lo que es un conjunto. Pero lo que me sorprende más son las interminables búsquedas en google que se acercan en casi 10 mil veces con frases ¿como hacer un diagrama de Venn?, ¿es tan dificil?

Determinación de conjuntos

Hasta ahora me sigo preguntando ¿cuáles de las de-ambigüedades de la palabra “determinación” es usado para este apartado y en los libros académicos donde se imparte este capítulo?, supongo para especificar las dos formas de representar el concepto de conjunto. Aunque creo que es otra manera de decir “definición” o tipos de diferente de definición o tipos de representación para una misma cosa con el mismo objetivo en cuanto a su definición, pero bueno, eso no importa ahora.

El caso es que el concepto intuitivo de conjunto que hemos planteado se puede representar (representar) en dos formas diferentes, una es por extensión y la otra es por comprensión.

Conjuntos por extensión

Los conjuntos por extensión son sencillamente una lista de los elementos del conjunto dado por comas como ya hemos visto en ejemplos anteriores. Algunos ejemplos de conjuntos por extensión son:

El conjunto de números primos no mayores de 10:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ 2, 3, 5, 7, 9 \right \} \)

El conjunto de números múltiplos de 3 menores de 20:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18 \right \} \)

Este forma de indicar los elementos entre corchetes y separación de comas también se le llama determinación explicita.

Conjuntos por comprensión

Los conjuntos por comprensión se definen literalmente con un argumento, es decir, se usa una variable que represente a los elementos especificando una propiedad que cumpla dicha variable que caracteriza a los elementos sobreentendidos del conjunto. Algunos ejemplos de conjuntos por comprensión son:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ x|x \ \mathrm{es \ una \ constante \ del \ lenguaje \ español} \right \} \); se lee: ” \( \mathrm{A} \) es el conjunto de los elementos representados por \( x \) tal que la variable \( x \) es una consonante de la lengua española”.
  • \( \mathrm{A} = \left \{ x|x \ \mathrm{es \ un \ numero \ primo \ menor \ que \ 10 } \right \} \); se lee: “ \( \mathrm{A} \) es el conjunto de los elementos representados por \( x \) tal que la variable \( x \) es un número primo menor que 10″.

Los conjuntos por comprensión son mas específicos y explicitan la propiedad \( \mathrm{P} \) que cumple la variable \( x \), por lo general tiene la siguiente forma:

\( \mathrm{A} = \left \{ x|x \ \mathrm{ cumple } \ \mathrm{P} \right \} \)

Aquí \( \mathrm{P} \) es una proposición verdadera que satisface las leyes de la lógica proposicional, el valor \( \mathrm{P} \) será la que determinará las caracteristicas que la variable \( x \) y por ende, el conjunto dado \( \mathrm{A} \) se comporta de determinada forma según la proposición dada \( \mathrm{P} \). 

A este caso se le llama determinación implícita, esto se entenderá poco a poco a medida que avancemos en el transcurso del capítulo.ahora viene las clases o clasificación de conjuntos a continuación:

Igualdad de conjuntos

Se dice que dos conjuntos son iguales si sus elementos también lo son, esto obliga a que los conjuntos tengan el mismo numero de elementos.

Para dos conjuntos A y B, la igualdad se representa así:

A=B

En teoría axiomática de conjuntos, denominamos a esta relación como axioma de extensionalidad. Pero esto lo veremos al final de la sección. En otra sección llamada relaciones de conjuntos describo con mas detalle como puede representarse por medio de sus elementos la igualdad entre dos conjuntos. Aquí viene algunos ejemplos.

Ejemplos

Los conjuntos A y B que veras a continuación son iguales:

A={■(rojo,&amarillo,&naranja,@verde,&cian,&azul,@violeta&&)}

es igual a

B={colores del arcoiris}

A={2,2+2,2+2+2}

es igual a

B={2,4,6}

A={4,5,6}

es igual a

B={4,5,6,4,6}

A={a,e,i,o,u}

es igual a

B={letras de las vocales}

A={p,n,m}

es igual a

B={m,n,p}

A={-3,-2,-1,0,1,2,3}

es igual a

B={x∈Z|x^2

Subconjunto

Se llama subconjunto al conjunto que tiene algunos elementos de otro conjunto, la relación simbólica entre un subconjunto y el conjunto con el cual tiene vinculo con sus elementos se denota con el símbolo  “⊂“, de esta manera, para pare representar que los elementos de un conjunto A están contenidos en B, se representa así:

A⊂B

En otras palabras si un elemento x pertenece a A, también pertenecerá a B.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos presentan conjuntos A y B tal que A⊂B y se lee “A esta incluido en B” o “A es subconjunto de B“, veamos:

A={1,2,3}

esta incluido en

B={1,2,3,4,5}

A={a,b,c}

esta incluido en

B={a,b,c,d,e,f}

A={x|x∈Z}

esta incluido en

B={x|x∈R}

A={x∈Z|x^2

esta incluido en

B={x∈R|x^2

Los símbolos Z y R representan a los números enteros y reales respectivamente, tener en cuenta que Z ⊂ R, estos números son mencionados en apartados mas abajo.

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, una manera de definir es algo así:

x∈A→x∉B

El enunciado anterior significa que si un elemento x pertenece al conjunto A , entonces no pertenece al conjunto B y viceversa.

Ejemplos

No hay mucho que mostrar si ponemos este ejemplo:

  • A={a,b,c} y B={1,2,3,4,5} son dos conjuntos disjuntos. No tiene ningún elemento en común.

Clasificación de conjuntos

Sería imposible clasificar los conjuntos si no fuera sus elementos que lo contiene y según la propiedad que cumple cada elemento para agruparlos en una sola categoría (conjunto). Gracias a ello, podemos conceptualizar los siguientes tipos o clases de conjuntos:

Conjuntos finitos

Un conjunto finito es aquel conjunto que tiene un número limitado de elementos y que a su vez se puede contar, es decir, es contable. Aquí algunos ejemplos de conjuntos finitos:

  • \( \left \{ 2, 4, 6, 8, 10 \right \} \)
  • \( \left \{ \mathrm{ taza, cuchara, tenedor, plato, olla } \right \} \)

Los conjuntos finitos tiene unas propiedades que describiré en la secciones de operaciones de conjuntos.

Conjuntos infinitos

Los conjuntos infinitos son aquellos conjuntos que no tiene límite de elementos y pueden extenderse sin fin. Los típicos ejemplos de conjuntos infinitos que más se conocen son los números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, números reales y números complejos.

Aquí algunos ejemplos de conjuntos infinitos

  • \( \left \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … \right \} \)

O los números múltiplos de 3:

  • \( \left \{3, 6, 9, 12, 15, 18, … \right \} \)

O los números múltiplos de 3:

Conjuntos numéricos

Prácticamente, la matemáticas se construye gracias a una serie de números que se pueden clasificar convenientemente por sus propiedades particulares que cada clase de números posea, y digo practicamente porque existe conjuntos no numericos que las matemáticas usan y son llamadas anillos que está formado por un conjunto no vacío y dos operaciones matemáticas llamada suma y producto (pero eso es otra historia).

Los conjuntos numéricos junto con las operaciones matemáticas y el concepto de pertenencia es inclusión se puede construir buena parte de las matemáticas que conocemos hoy en día. Los conjuntos numéricos clásicos que vamos a presentar son los siguientes:

Conjunto de los números naturales

El conjunto de los números naturales son aquellos números que se usaron para contar, naturalmente esto no indica que nacieron solo para contar una colección de elementos de un conjunto o categoría en particular, también son usados en operaciones matemáticas con las típicas operaciones matemáticas y otras mas complejas.

Tipicamente los numeros naturales se define por extension así:

\( \mathbb{N} = \left \{ 1, 2, 3, 4, … \right \} \)

Los números naturales se encuentran ordenados de tal manera que sus números adyacentes siempre es su antes o su después, es decir, los vecinos del número 5 es el 4 (su antes o anterior) y el 6 (su despues o siguiente), es por ello que se dice que los números naturales son ordenados e infinitos.

Aunque dependiendo del contexto matemático también es habitual usar el 0 como número natural como sigue:

\( \mathbb{N} = \left \{ 0, 1, 2, 3, 4, … \right \} \)

Pero eso es otra historia que lo veremos en mi blog de ciencias como articulo y no como seccion del capitulo de teoria de conjuntos.

Conjunto de los números enteros

El conjunto de los números enteros son aquellos numeros que incluye a los numeros naturales, a los numeros enteros negativos (los inversos aditivos de los naturales) y el número cero y están representados con la letra Z así:

\( \mathbb{Z} = \left \{ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … \right \} \)

La letra \( \mathbb{Z} \) proviene del vocablo aleman Zahlen que simplemente significa números. Los enteros negativos tiene la misma propiedad axiomática de los números naturales, es decir, se pueden aplicar las típicas 4 operaciones matemáticas y sus principales leyes operacionales como los naturales, solo hay que tener en cuenta el signos de los enteros negativos. Por último, el conjunto de los números enteros es infinito numerable.

Conjunto de los números racionales

¿Han escuchando una vez “toma tu ración” que es lo mismo que “toma tu parte“? pues, un número racional es un cociente de dos números enteros y la palabra racional alude una parte o un fragmento de algo.

Este conjunto se simboliza con la letra Q con la fuente negrita de pizarra así:

\( \mathbb{Q} = \left \{ …, – \frac{a}{b}, …, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, …, \frac{a}{b}, … \right \} \)

Esta es una manera imprecisa de representarlo ya que puede existir fracciones entre los números 1 y \( \frac{1}{2} \), la manera más adecuada de definirlo es por comprensión, asi:

\( \mathbb{Q} = \left \{ x | ax+b=0, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, a \neq 0 \in  \right \} \)

Esta forma, indica que se incluyen incluso los racionales equivalentes, esto es, aquellos numeros racionales  que son iguales entre si como por ejemplo \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \), naturalmente se considera como un solo elemento.

Conjunto de los números irracionales

El conjunto de los números racionales son aquellos que no pueden representarse como un número racional, es decir, no se puede representar como el cociente de dos números enteros. Los números irracionales tiene una larga cola decimal infinita y periódica.

Por ejemplo, los número irracionales mas conocidas son:

  • \( \pi  = 3.14159265358979323846264338327950288419… \)
  • \( \sqrt{2} = 1.4142135623730950488016887242096980785… \)

Podriamos escribir de manera muy imprecisa el conjunto de los números naturales así:

\( \mathbb{I} = \left \{ …, – \pi, – e, – \sqrt{2}, 0, \sqrt{2}, e, \pi, …   \right \} \)

Esto es solo para tener una noción de los numeros irracionales, en este conjunto, el valor e es llamado también número de Euler (no confundir con la constante de Euler) y también es un número irracional que usaremos muy seguido en otras secciones de proximos capitulos, actualmente su valor aproximado es:

  • \( e = 2.718281828459045235360… \)

Naturalmente existen otros irracionales como por ejemplo entre los valores de \( e \) y \( \pi \), por lo que la manera alternativa de definir el conjunto de los números irracionales la siguiente.

\( \mathbb{I} = \left \{ x \in \mathbb{R} | x \notin \mathbb{Q}  \right \} \)

Este conjunto significa que el conjunto de los números irracionales representa a todos los números existentes de la recta real (números reales representado por el conjunto \( \mathbb{R} \), que ya veremos a continuación) sin tomar en cuenta el conjunto de los números racionales.

Conjunto de los números reales

Los números reales \( \mathbb{R} \) no es más que el conjunto de los números irracionales \( \mathbb{I} \) y los racional \( \mathbb{Q} \). De la misma manera como los irracionales y racionales, no se puede escribir por extensión de manera visual. A lo mucho, podemos decir escribirlo como la unión de dos conjuntos así:

\( \mathbb{R} = \mathbb{I} \cup \mathbb{Q} \)

Aunque realmente no hemos definido nada ya que usamos el símbolo \( \mathbb{R} \) para definir a los números irracionales \( \mathbb{I} \)La unión \( \cup \) de conjuntos es una operación matemática del álgebra de conjuntos que ya lo iremos viendo en secciones posteriores. La idea es que por lo menos se tenga una noción de lo que es un número real porque esta notacion elemental intuitiva lo iremos usando a lo largo de capítulos y cursos posteriores.

Conjunto de los números complejos

Los números complejos nace por la necesidad de completar o no dejar huecos en la resolución de problemas de ecuaciones de segundo grado y superiores.

Para el caso de ecuaciones de segundo grado, se podían encontrar soluciones de ecuaciones no reales como estos:

  • \( 4 + 5 \sqrt{ -1 } \)
  • \( 2 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{ -1 } \)

El problema con estas ecuaciones es que el valor \( \sqrt{ -1 } \) no existe como tal, no es un número real ya que no existen dos numeros iguales que al multiplicarse nos de un número negativo, siempre es positivo. Por cuestiones practicas a estas soluciones no reales, este valor inexistente se le dio el nombre de imaginario y se denota así:

  • \( i = \sqrt{ -1 } \)

Por tanto, las expresiones anteriores se escribirían así:

  • \( 4 + 5i \)
  • \( 2+ \sqrt{5} i \)

Estos numeros se les ha denominado numeros complejos y tiene una forma general así:

  • \( a+bi \)

Donde \( a \) y \( b \) pertenecen a los números reales \( \mathbb{R} \), por tanto, el conjunto de los números complejos se puede escribir unicamente por compresión así:

\( \mathbb{C} = \left \{ a+bi | a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{ -1 } \right \} \)

Luego, existen otros conjuntos de números llamados hipercomplejos pero esto es una extensión innecesaria del capítulo y no quiero hacer relleno. Además, estos conjuntos numericos expuestos hasta ahora son los que haremos un mayor uso en próximos capítulos.

Conjuntos especiales

También existen otros conjuntos que vale la pena nombrar aquí que se usarán como sistema referencial y de limite para indicar el comportamiento de otros conjuntos en general.

Conjunto vacío o nulo

También llamado conjunto nulo, es aquel conjunto que simplemente no tiene elementos, pero tiene una representación simbólica matemática. Su representación simbólica es \( \phi \), es una letra derivada de la danesa y noruega y se escribe extensivamente así:

\( \phi = \left \{ \right \} \)

Este símbolo por lo general es usado indicar algunas propiedades de conjuntos deben o no deben ser vacios segun lo requiera. El conjunto tiene algunas propiedades (que son obvias por el sentido común) que presentaremos próximas secciones del capitulo de teoria de conjuntos.

Algunos ejemplos del conjunto vacio por comprensión seria las siguientes:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ x \in \mathbb{N} | x^2 = 2 \right \} \), este conjunto es vacío porque no existe un numero natural que al elevarse al cuadrado nos de como resultado el numero 2.
  • \( \mathrm{B} = \left \{ x \in \mathbb{Z} | x = { \mathrm{ Dr } }^{ -1 }, \mathrm{D \ es \ el \ diametro \ de \ la \ circunferencia, r \ es \ el \ radio \ de \ la \ circunferencia  } \right \} \), este conjunto es vacío porque \( \mathrm{ Dr^{ -1 } } \) es el cociente entre el diametro y el radio de una circunferencia \( C \) que nos da como valor \( \pi \), este valor es irracional contradiciendo a \( x \in \mathbb{Z} \).

Un mejor concepto del conjunto vacio lo puedes encontrar en la seccion de operaciones entre conjuntos.

Conjunto Unitario

Es el conjunto que simple y sencillamente tiene un único elemento, no hay nada nuevo con este conjunto. Pero muchas veces es mejor aclarar algunas cuestiones importantes para no tener inconvenientes. Veamos algunos ejemplos de conjuntos unitarios:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ x \right \}  \)
  • \( \mathrm{B} = \left \{ 4 \right \} \)

Estos también son conjuntos unitarios:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ x, \sqrt[ 3x-x ]{ x^{2x} } \right \} \)
  • \( \mathrm{B} = \left \{ 4, \frac{8}{4} \right \} \)

Para el conjunto \( \mathrm{A} \), el valor de \( \sqrt[3x-x]{ x^{ 2x } } \) es lo mismo que \( x \) y para el conjunto \( \mathrm{B} \), el valor \( \frac{8}{2} \) es lo mismo que 4, remplazando estos valores, nuestros conjuntos quedarian así:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ x, x \right \} \)
  • \( \mathrm{B} = \left \{ 4, 4 \right \} \)

Los conjuntos que tiene números o variables repetidas en la forma extensiva resulta ser el mismo elemento, para estos casos, simplemente escribimos estos conjuntos sin repetir sus elementos. Sencillamente quedaria así:

  • \( \mathrm{A} = \left \{ x \right \} \)
  • \( \mathrm{B} = \left \{ 4 \right \} \)

Y esto no es exclusivo para los conjuntos unitarios, si encontramos un conjunto así:

  • \( \mathrm{E} = \left \{ x, 4, x, 4  \right \} \)

Es lo mismo que escribirlo así:

  • \( \mathrm{E} = \left \{ x, 4  \right \} \)
  • E = {xnúmero 4}

Conjunto Universal

Es un conjunto referencial para “medir” otros conjuntos que se encuentran en el conjunto universal, se nota con la letra mayúscula \( \mathrm{U} \) y sirve que tipo de conjunto recibirá las restricciones de una propiedad especifica \( \mathrm{P} \). Los conjuntos universales más usados son los conjuntos numéricos que ya mencionamos anteriormente.

Aquí tenemos algunos ejemplos del conjunto universal.

  • \( \mathrm{E} = \left \{ x \in \mathbb{Z} | -2 < x < 5 \right \} \)

Aquí, el conjunto \( \mathrm{E} \) es un conjunto que esta contenido en otro conjunto más grande, en este caso, el conjunto de los números enteros \( \mathrm{Z} \), esto significa que \( \mathrm{E} \) también debe ser entero, donde los valores de \( \mathrm{E} \) comprenden los valores que satisface la desigualdad \( -2 < x < 5 \). Por extensión, el conjunto \( \mathrm{E} \) sería:

  • \( \mathrm{E} = \left \{ -1, 0, 1, 2, 3, 4 \right \} \)

Los conjuntos tambien se relacionan pero esto lo veremos en la seccion de relaciones de conjuntos como la igualdad de conjunto, subconjunto de un conjunto, conjunto potencia, etc, pero sera despues de la proxima seccion de cuantificadores. y finalizamos con la seccion de operaciones entre conjuntos, fin del capitulo actual.

Operaciones entre conjuntos (introducción)

Existe una serie de operaciones que podemos realizar entre conjuntos, incluso combinarlas, veamos brevemente cada una de ellas:

Unión de conjuntos

La unión entre dos conjuntos resulta otro conjunto mas grande, se representa con el símbolo “∪” y se coloca entre dos conjuntos A y B de la siguiente manera:

A∪B

por comprensión se escribe así:

A∪B={w∈U|w∈A∨w∈B}

Donde U representa el conjunto universal. Gráficamente se presenta así

Diagrama de Venn de dos conjuntos intersectados

De aquí, podemos sacar las siguientes conclusiones:

  • x∈A⇒x∈(A∪B)
  • y∈A∧y∈B→y∈(A∪B)
  • z∈B⇒z∈(A∪B)

Ahora, si un elemento esta en cualquiera de estas 3 regiones pero no en ambas a la vez, entonces podemos decir que se encuentra en toda región combinada de A y B, equivalentemente podemos decir que si dos regiones comparten una región (en este caso la intersección), podemos decir que el elemento puede estar en A o B o en ambas (en la intersección), razón por el cual se usa el símbolo de la disyunción inclusiva ∨ al escribir w∈A∨w∈B en la definición de unión A∪B={w∈U|w∈A∨w∈B}. Tenga en cuenta que wpuede ser una y solo una de las variables xy y z.

Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos resulta el conjunto que tiene términos en común entre los conjuntos iniciales si es que existe, se representa con el símbolo “∩“, para representar al conjunto que solo guarda relación en común con dos conjuntos A y B, se escribe:

A∩B

Por comprensión, se escribe así:

A∩B={w|w∈A∧w∈B}

Gráficamente se representa así:

Diagrama de Ven de la interseccion de los conjuntos A y B.

De aquí deducimos lo siguiente:

  • x∈A∧x∉B⇒x∉(A∩B)
  • y∈A∧y∈B⇒y∈(A∩B)
  • z∈B∧z∉A→z∉(A∩B)
De estas ultimas afirmaciones deducimos que w es el elemento y.

Diferencia de conjuntos

Se denomina diferencia de conjuntos si los elementos de un conjunto no pertenecen a un segundo conjunto, se representa con el símbolo “-“, tal que para dos conjuntos A y B se representa de la siguiente manera:

A-B

Por comprensión, se escribe así:

A–B={w|w∈A∧w∉B}

Con un diagrama sagital se puede visualizar mucho mejor:

Diagramas de Venn de la diferencia de conjuntos de dos conjuntos intersecantes A y B

Analizando:

  • x∈A∧x∉B⇒x∈(A–B)
  • y∈A∧y∈B⇒y∉(A–B)
  • z∈B∧z∉A⇒x∉(A–B)

De los casos anteriores, vemos que solo w es x.

Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A respecto a otro conjunto B que lo contiene, resulta ser lo que le falta al conjunto A para ser igual a B. Para representarlo, generalmente el conjunto A debe estar incluido en el conjunto B, es decir, A⊆B, definimos el complemento denotado por C_B A tal que:

C_B A=B–A

Por comprensión, tenemos:

C_B A={w∈B|w∈(B–A)∧A⊆B}

Si lo representamos por medio de un diagrama, se vería algo así:

Digrama de Venn del complemento de A respecto a B

Analizando el gráfico:

  • x∈A⇒x∉C_B A
  • y∈B⇒y∈C_B A

Para este caso w es y.

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B simbolizado por A△B se define como la unión de los conjuntos diferencia A-B y B–A, formalmente se representa así:

A△B=(A–B)∪(B–A)

Por comprensión:

A△B={w|(w∈A∧w∉B)∨(w∈B∧w∉A)}

Gráficamente:

diferencia simetrica de A y B

Analizando:

  • x∈A∧x∉B⇒x∈(A△B)
  • y∈A∧y∈B⇒y∉(A△B)
  • z∉A∧z∈B⇒z∈(A△B)

De aquí deducimos que w puede ser x o z, pero no simultáneamente.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano denotado por A×B al conjunto de pares ordenados (a,b) tal que a∈A y b∈B, esto es:

Tenga en cuenta que los pares ordenados (a,b) respetan un orden, esto esta basado a la restricción (a,b)≠(b,a), esto obliga que: 

(a, b)=(c,d)↔a=c∧b=d

De aquí, los elementos a y c se les llama primera componente y los elementos b y d segunda componente.

TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS (INTRODUCCIÓN)​

Esta teoría (entre otras muchas) fue desarrollada por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, se le conoce como los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Ante todo, debemos entender que el concepto de conjunto es tan primitivo y elemental que no existe una definición satisfactoria, en vista de esta dificultad, solo es posible describir sus propiedades aceptando la existencia del concepto de conjunto sin definición preliminar.

Los axiomas que vendrán a continuación, requieren del estudio que realizamos en la sección de cuantificadores, dicho esto, tomamos como conceptos primitivos el conjunto y pertenencia, de aquí se desarrollan algunos axiomas de Zamelo axiomas:

Dos conjuntos A y B se dice que son iguales representado por A=B si y solo si tiene los mismos elementos, simbólicamente:

A=B⇔∀x|x∈A↔x∈B

Se denomina conjunto vació con símbolo ϕ al conjunto que no tiene elementos, en otras palabras:

∃ϕ∀a|a∉ϕ

Es decir, para cualquier elemento a sea el conjunto que sea, no puede pertenecer al conjunto vació, o su equivalente:

∃ϕ∄a|a∈ϕ

No existe un elemento existente que pertenezca al conjunto vació.

Este axioma dice si existe un par de conjuntos A y B, entonces debe existir un conjunto determinados exactamente con dichos conjuntos, simbólicamente:

∀A,B ∃Z ∀X|X∈Z⇔X=A∨X=B

Este axioma es nos dice que si para cualquier conjunto A que este formado por otros conjuntos, debe existir un conjunto Z que este formado por los elementos de los conjuntos del conjunto A (cabe destacar tales elementos puede ser otros conjuntos), simbólicamente se representa así:

∀X ∃Y ∀U(U∈Y↔∃V(U∈V∧V∈X))

Este axioma nos dice que si para cualquier conjunto dado, existe un segundo conjunto que cumple una propiedad sobre los elementos del primer conjunto dado, en otras palabras, si tenemos una función proposicional (una propiedad) p aplicado sobre el elemento t de algún conjunto dado, entonces debe existir un conjunto que contengan al elemento t que cumple la propiedad p, simbólicamente:

∀x ∃y (∀t (t∈x∧ϕ(t))↔t∈y)

Este axioma dice que para cualquier conjunto dado, existe un segundo conjunto que representa a todos los subconjuntos de dicho primer conjunto mencionado, es decir, sea el conjunto A, existe un conjunto Z que es exactamente el conjunto formado por los subconjuntos de A, simbólicamente:

∀A ∃Y ∀Z( Z∈Y↔Z⊆A )

Estas y otras teorías avanzas de la teoría axiomática de conjuntos serán desarrolladas posteriormente en otras secciones especializadas, el motivo de la presentación de estos axiomas es solo por cuestiones publicitarias y de motivación. Esto sería todo por el momento.

Fin de la seccion de conjuntos

Esta es la primera sección de teoría de conjuntos, he intentado no ser muy complejo pero tampoco muy básico en cuanto explicación argumento de la teoría. El objetivo aquí es lograr un entendimiento basicamente para un público mas general.

La próxima sección nos dedicaremos a discutir la importancia de los cuantificadores, esto sería una extensión basica de la lógica proposicional pero que seria de mucha ayuda en algunas terminologias que haremos en la seccion de relaciones entre conjuntos.

Y esto sería todo amigos, espero que les halla gustado esta nueva sección del segundo capitulo de curso de matemática básica, hasta pronto, bye.

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2018-07-31T04:04:58+00:00