7. Tabla De Verdad

Hola a todos mis queridos amigos, hoy les traigo una nueva entrada de lógica proposicionalEn esta oportunidad estudiaremos la tabla de verdad lógica de los conectivos lógicos, estas sirven para tener un mejor panorama de las posibles combinaciones de la validez de las proposiciones.

La negación y cada uno de los conectivos lógicos tienen un comportamiento diferente cuando lo plasmamos en tablas de verdad, aunque la implicación tiene un comportamiento diferente que la condicional lógica.

Tenga en cuenta que en todas las ramas de la lógica matemática excepto la lógica proposicional, el uso de las tablas de valores lógicas es innecesaria, en este capitulo se usa por cuestiones básicas de entendimiento al lector y dar a conocer todas todos los rincones de la lógica en todas las direcciones.

Para entender las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones, o mas precisamente, de las variables proposicionales donde involucramos los operadores lógicos plasmadas en una tabla de verdad, es importante el uso de dos constantes opuestas que les adherimos a las variables.

En lógica proposicional, los únicos valores semánticos formalizados para una proposición es el de verdadero y falso. Por lo general, se representan así:

  • V(p) = V
  • V(p) = F

Hay que indicar un punto importante en esta representación, las proposiciones pueden ser o verdaderos V o falsos F pero simultáneamente, por lo menos no en este mundo clasico.

En estas representaciones, el valor de p es una proposición, pero sera tratado como variable proposicional únicamente por los únicos 2 valores de verdad que posee, es por ello que también se le llama proposición bivalente por las razones que ya hemos explicado.

En electrónica, los valores de verdad se expresan con dos únicos dígitos diferenciadores así:

  • V(p) = V = 1
  • V(p) = F = 0

Estos dígitos son usados en circuitos electrónicos que indica que la corriente o información es representado con un interruptor cerrado donde el dígito 1 indica que la corriente pasa tranquilamente y 0 indica que el interruptor esta abierto y la información no pasa por el circuito lógico.

¿que es una Tabla de verdad?

La tabla de valores de verdad lógica nos ayuda tener una mejor vista del comportamiento de cada uno de los conectivos lógicos que tratamos en capítulos anteriores de lógica proposicional. Un ejemplo de una tabla de verdad lógica es la siguiente.

Ejemplo de una tabla de verdad

Sean dos proposiciones p y q, definimos un conector lógico cualquiera © con la siguiente tabla de verdad:

 pqp © q
VVF
VFF
FVF
FFV

Este es el comportamiento de la validez de la proposición p © q  con sus posibles valores de verdad que hemos definido personalmente como ejemplo.

El ejemplo anterior sirve como esquema de todas las posibles valores de verdad de un conector lógico específico como este © y cada uno de los conectores que hemos tratado en entradas anteriores junto con la negación, poseen comportamientos válidos diferentes.

Pero para ser más exactos, la tabla de verdad en lógica sirve para entender el comportamiento de las proposiciones lógicas usando los esquemas moleculares para simplificar los argumentos, naturalmente eso dependera los numerosos conectivos lógicos que tengan. Veamos la tabla de verdad de cada uno de los conectivos lógicos.

Tabla de verdad de los conectivos lógicos

Ahora mismo veremos los valores de verdad plasmadas en una tabla de verdad de todas las conectivas lógicas, de esta manera podemos ver el comportamiento de cada una de ellas, por lo general siempre se usan como mínimo dos variables proposicionales p y q con excepción de la negación.

Tabla de verdad de la negación.

Hemos dicho que la negación lógica tiene la propiedad de cambiar la validez de las proposiciones, lo única cosa que hace este operador es contradecir una proposición dada. La tabla de verdad de la negación seria la siguiente:

p~ p
VF
FV

Tabla de verdad de la conjunción

La conjunción lógica solo valora la validez afirmativa únicamente de las proposiciones, esto es, solo aquellas proposiciones que sean verdaderas, basta que una de ellas sea falsa para que la proposición conjuntiva sea falsa.

 pqp ∧ q
 VVV
VFF
FVF
FFF

Tabla de verdad de la disyunción inclusiva "o"

La disyunción inclusiva es más amable, para ella, una proposición es verdad si por lo menos una proposición componente es verdadera. Aquí la tabla.

pqp ∨ q
VVV
VFV
FVV
FFF

Tabla de verdad de la disyunción Exclusiva

A diferencia de la disyunción inclusiva, la disyunción exclusiva, solo una y solo una sola verdad en una de sus proposiciones componentes para que la proposición compuesta sea verdad. La tabla quedaría así.

 pqp ∆ q
VVF
VFV
FVV
FFF

Tabla de verdad de la condicional material

La condicional lógica sólo es falsa cuando su antecedente es verdadero y su consecuente es falso, en el resto de los casos, es verdadero. Con la tabla de verdad quedaría mucho mejor reflejada así.

pqp → q
VVV
VFF
FVV
FFV

Tabla de verdad de la IMPLICACIÓN

Para el caso de la implicación lógica, su tabla de verdad es siempre verdadera, la condicional material solo trabaja con los valores de verdad de las proposiciones sin importar el argumento de la misma, en cambio, la implicación trabaja con al semántica de las proposiciones, una debe deducirse de la otra.

Esta diferencias lo explique en la sección la condicional material, pero si quieres saber como es una tabla de verdad de la implicación lógica, tendría esta única forma:

pqp ⇒ q
VVV
FFV

La implicación lógica no se limita simplemente a sus valores de verdad, también en su argumento, pero formalizar los argumentos solo en el lenguaje matemático sería entrar en el terreno de la lógica de primer orden.

Por otro lado, la implicación lógica ni siquiera debería tener tabla de verdad, solo se usa para relacionar argumentos, como el signo igual, es decir, no es un operador propiamente dicho. Solo los conectivos lógicos excepto la implicación y la equivalencia lógica tienen tablas de verdad, aunque mas abajo muestro una tabla de verdad para la implicacion, pero con limitaciones, sirve para indicar que cosa implica y que no implica cuando se compara esquemas moleculares.

Tabla de verdad de la bicondicional

La bicondicional intenta ser más recíproca entre sus proposiciones componentes, en este caso, solo es verdadera si sus proposiciones componentes son de la misma validez y falsa si la validez de sus proposiciones componentes son opuestas. Esto se refleja mucho mejor en una tabla de verdad para la bicondicional

pqp ↔ q
 VVV
VFF
FVF
FFV

COMBINACIONES de variables proposicionales

Para cualquier esquema molecular, el número de combinación depende de cuantas variables proposicionales tenga tal esquema, como por ejemplo este:

{ [ ( ~ p ∨ q ) → ( q ∧ p ) ] ↔ [( r → p ) ↔ ( p ∆ q )] } → [ ( r ∨ q ) ↔ ( r ∧ q ) ] … (A)

Entonces, debemos contabilizar cuántas variables proposicionales tiene, para este caso, notamos que tiene 3 variables proposicionales y son p, q y r.

Luego debemos obtener todas las combinaciones posibles de los valores de verdad entres las variables identificadas de cada una de los conectivos lógicos que las vincula. Por ejemplo, para una sola variable proposicional p, tenemos:

p
V
F

2 combinaciones para la variable p.

Para dos variables proposicionales p y q:

pq
VV
VF
FV
FF

4 combinaciones posibles  para las variable p y q.

Para 3 proposiciones p, q y r.

pqr
VVV
VVF
VFV
VFF
VVV
FVF
FFV
FFF

8 combinaciones posibles  para las variable p, q y r.

Si lo han notado, el numero combinaciones de valores de verdad para “n” variables proposicionales resulta “2n” combinaciones posibles, es decir, para 4 variables proposicionales p, q, r y s sería 24 =16. Todo parece bonito pero veamos que nos dice el siguiente apartado.

El problema de desarrollar una tabla de verdad de una proposición:

Considerando las 3 variables proposicionales para desarrollar la tabla de verdad del esquema molecular (A) al inicio del apartado anterior, resultará muy aburrido. Tan solo contemos cuantos conectivos lógicos tiene este esquema, tiene un total de 12 conectivos lógicos incluido la negación lógica y como son 8 filas de los valores de verdad de las 3 variables proposicionales, deberíamos de realizar 8 x 12 = 96 operaciones solo para saber el comportamiento del valor de verdad del esquema (A). ¿Aburrido no?.

Y como se habrán dado cuenta, el problema surge cuando queremos hallar los posibles valores de verdad de hasta 4 variables proposicionales, pues las posibles combinaciones que también explico en la sección “Signos de agrupación de lógica proposicional” resulta ser cada vez más tedioso y cansado y depende de qué tipo de esquema molecular se refiere.

En el siguiente apartado realizó un ejemplo sencillo de cómo operar una tabla de verdad con esquemas simples y sencillos para tener una idea de su uso.

Ejemplos de tablas de verdad de los esquemas moleculares (CÓMO realizar una tabla de verdad)

Para realizar diferentes tablas de verdad, deben tener en cuenta los signos de agrupación en lógica para cualquier tipo de proposiciones compuestas, ¿por qué?, porque es incorrecto escribir proposiciones de la siguiente manera:

  1. p ↔ q ∆ s
  2. p → s ∨ q

La manera correcta de escribirlas es así:

  1. ( p ↔ q ) ∆ s ó p ↔ ( q ∆ s)
  2. ( p → s) ∨ q ó p → ( s ∨ q )

Estas proposiciones simbólicas se les llama esquemas moleculares y es la típica “tabla de verdad pqr” (coloquialmente hablando). Para realizar una tabla de verdad de estos esquemas primero debemos desarrollar lo que está encerrado entre paréntesis. Veamos un ejemplo:

Primero calculamos los valores de verdad de la bicondicional porque se encuentra entre paréntesis

Luego calculamos los valores de verdad en color rojo de la bicondicional con s conectada por la disyunción exclusiva, omitimos las columnas p y q para no entrar en confusiones visuales.

s p ↔ q  ) ∆ s
V      V       F 
F      V       V 
V      F       V 
F      F       F 
V      F       F 
F      F       F 
V      V       F 
F      V       V 

Repito, note que estamos calculando la columna de los valores de verdad de color rojo de  (p ↔ q) con la columna de s de color negro, el resultado sería la columna de color verde de la disyunción exclusiva ∆.

Tipos de tablas de verdad

Existen 3 tipos de tablas de verdad según el tipo de esquema molecular que se trate, esta son, la contingencia, la tautológica y la contradictoria, veamos cada una de ellas.

LA CONTINGENCIA

Un esquema molecular es contingente si como mínimo encontramos en su tabla de verdad una falsedad y una verdad, aquí un ejemplo:

p   q   sp ∧ ( q ∨ s )

 V   V   V

 V   V   F

 V   F   V

 V   F   F

 F   V   V

 F   V   F

 F   F   V

 F   F   F

V           

V           

V           

F           

F           

F           

F           

F           

Para el esquema p ∧ ( q ∨ s ), encontramos como mínimo una falsedad (F) y una verdad (V), por tanto, este esquema molecular es contingente. Cuando un esquema molecular es contingente, se representa de la siguiente manera p ∧ ( q ∨ s ) ≡ C. Vayamos con el siguiente.

LA TAUTOLÓGICA

Un esquema molecular es tautológica si todos los valores de verdad en una tabla de verdad son verdaderas, aquí un sencillo ejemplo visual.

p   q(p → q) ↔ ~ (p ∧ ~ q) \)

V   V

V   F

F   V

F   F

V           

V           

V           

V           

 

Como la proposición (p → q) ↔ ~ (p ∧ ~ q) \) tiene todos sus valores de verdad verdaderos, entonces es tautológica y se representa así (p → q) ↔ ~ (p ∧ ~ q) \) ≡ T.

La tautología lo usaremos en la próxima entrada cuando tratemos sobre proposiciones equivalentes y la implicación lógica que ya explique muy brevemente en la entrada de la condicional material. Terminemos con el último tipo de esquema molecular.

CONTRADICTORIA

Un esquema molecular es contradictorio si todos los valores de verdad son falsas, claramente lo podemos ver con un ejemplo:

p   q(p ↔ q) ↔ ~ [(p → ~ q) ∧ (q → p)]

V   V

V   F

F   V

F   F

F                               

F                               

F                               

F                               

Como el esquema (p ↔ q) ↔ ~ [(p → ~ q) ∧ (q → p)] tiene todos los valores de verdad falsos en una tabla de verdad, entonces se dice que es contradictoria y es representado de la siguiente manera así (p ↔ q) ↔ ~ [(p → ~ q) ∧ (q → p)] = F

Fin de la sección número 7

Y de esta manera finalizamos la séptima sección de la tablas de verdad de cada una de los conectivos lógicos, en cuanto a la implicación, no es necesaria una tabla de verdad ya que siempre lo que afirma o se niega siempre sera una verdad definitiva.

En la próxima entrada trataremos algunos cuantos usos de la condicional y ejemplos aclaratorios. Esto es todo amigos, que tengan un dia fenomenal, hasta pronto, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
¿Que es una tabla de verdad?
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2018-04-19T20:21:05+00:00