2. Producto Cartesiano

Hola a todos, de nuevo aquí con una nueva sección de relaciones matemáticas, hoy describiremos la sexta operación de la teoría de conjuntos, nos referimos al producto cartesiano.

En la sección de operaciones de conjuntos no hice ninguna descripción previa del producto cartesiano, tan solo me limité a mencionarlo, pero en esta oportunidad nos tomaremos la molestia de detallar su concepto, propiedades y usos práctico para otras secciones de interés como las funciones.

En la sección par ordenado ya habíamos discutido su definición y concepto de dos maneras diferentes. En esta ocasiona realizaremos una definición mas conveniente, veamos la siguiente definición.

Definición de par ordenado

Llamamos par ordenado simbolizado por (a, b) formado por los elementos a como primera componente y b como segunda componente en ese orden tal que cumple la siguiente restricción:

(a, b (b, a) ↔ a  b

La definición anterior aclara inmediatamente una restricción con respecto al orden, cosa que es muy poco común definirlo de esta manera, generalmente tal restricción se menciona como consecuencia independiente de las 2 definiciones alternativas y muy usuales en la sección anterior de pares ordenados.

La primera definición de la sección anterior añade una condición, la condición de igualdad de pares ordenados, tal condición se transforma en axioma si consideramos la restricción (a, b (b, a) ↔ a ≠ b de la definición de par ordenado que acabamos de anunciar en esta sección.

El par ordenado en matemáticas tiene dos aspectos aun no decisivos, pero que no afecta al desarrollo del tema actual ni a los que vendrán mas adelante, tu puedes elegir el que mas guste. La manera como lo estoy tomando es cambiando la restricción de la primera definición de la sección anterior, este sería un tercer aspecto de las dos restantes, tal vez mas preciso que los dos primeros, pero tu serás el que me juzgues y lo aclares en la caja de comentarios al final de la sección.

Axioma de igualdad

Sean dos pares ordenados (a, b) y (c, d), tal que cumple la siguiente condición:

(a, b) = (c, d) a = c ∧ b = d

Tanto la definición como el axioma fue extraída del libro conceptos básicos de matemática moderna de la editorial Codex en Buenos Aires – Argentina pero con algunos cambios, por ejemplo, en su libro no se indica dicha restricción en su definición de par ordenado como lo hice mas arriba.

Aquella restricción era necesario para que la propiedad de la igualdad sea un axioma, pero sobre todo para fortalecer aun mas el concepto de orden y no confundirlo como un conjunto.

¿que es el Producto cartesiano?

También llamado no muy usualmente como conjunto producto y es el conjunto de todas combinaciones de pares ordenados de dos conjuntos dados tal que la primera componente pertenece a uno de los conjuntos y la segunda componente al siguiente conjunto. 

Se que es obvio pero igual vale mencionarlo (por si acaso), el producto cartesiano de dos conjuntos no tiene nada que ver con el producto de números naturales, excepto con su cardinal (numero de elementos) que indica cuantos pares ordenados hay en un producto cartesiano, pero esto ya lo veremos mas adelante.

Definición del producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano A×B al conjunto de pares ordenados (a,b) tal que a∈A y b∈B, esto es:

A×B={(a,b)|a∈A∧b∈B}O en la forma proposicional:

(a,b)∈A×B↔a∈A∧b∈B

Una consecuencia de esta definición es:

(a,b)∉A×B↔a∉A∨b∉BEn efecto, si un par ordenado (a,b) no pertenece al conjunto producto A×B es porque al menos existe un elemento que no pertenece al conjunto A o al conjunto B.

También lo podemos definir como un conjunto potencia si usamos como definición conjuntista de par ordenado (a, b) = {{a}, {a, b}}  que planteamos en la sección anterior, pero esta definición lo realizaremos al final de la sección actual para no traer confusiones al desarrollo del titulo.

Ejemplos del producto cartesiano

  1. Sea los conjuntos A={1,2} y B={a,b,c}, su  producto cartesiano es:
    A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}Lo podemos representar en un tablero de la siguiente manera:
    producto cartesiano ejemploUna forma un poco elemental para determinar los elementos de un conjunto.
  2. El producto cartesiano de A={1,2,3} y B={4,5,6} lo determinaremos con el siguiente tablero:
    producto cartesiano ejemploDel tablero, todos los pares ordenados del producto cartesiano es:
    A×B={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}Por lo menos el tablero nos ayuda a completar todos los pares ordenados sin olvidar alguno, aunque generalmente trabajaremos con variables que con números.

No conmutatividad

Del ejemplo 1, si realizamos la multiplicación B×A, el orden de las componentes cambian de posición:

B×A={(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2)}

Si lo comparamos con A×B:

A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

Notamos que son completamente diferentes, por tanto, el producto cartesiano no es conmutativo, simbólicamente se expresa así:

A×B≠B×ASin embargo, la manera correcta de escribirlo es así:

A×B≠B×A↔A≠B

Producto cartesiano de conjuntos iguales

El producto cartesiano A×B=B×A es únicamente posible si A=B. Para estos casos simplemente escribirnos A×A=A^2.

Ejemplos

  • Sea el conjunto A={a,b,c}, plasmando los pares ordenados de A^2 en el siguiente tablero, tenemos:
    Producto cartesiano de dos conjuntos iguales

Diagonal del producto cartesiano

Note el tablero de arriba para el ejemplo del conjunto A^2, vemos que existen unos conjuntos de pares ordenados coloreados en celeste, forman una diagonal y tanto el primero como su segunda componente son iguales. Para este caso particular la diagonal de A^2 es (a,a)(b,b) y (c,c). Lo podemos generalizar en la siguiente definición:

Definición de diagonal:

La diagonal del producto A^2 del conjunto A es el conjunto de todos los pares ordenados (x,x) simbolizado por D(A) tal que D(A)={(x,x)|x∈A}

Por tanto, los elementos del conjunto de la diagonal D(A) están contenidos al conjunto A^2, es decir:

D(A)⊆A^2La igualdad del símbolo ⊆ solo cumple para aquellos casos donde el conjunto A tiene un elemento únicamente.

Propiedades del producto cartesiano

Sean los siguientes conjuntos ABC y D, se cumplen las siguientes propiedades para el conjunto producto:

  • A≠B∧A×B≠ϕ→A×B≠B×A ( no conmutativa)
  • (A×B=B×A)↔(A=ϕ∨B=ϕ∨A=B)
  • A×ϕ=ϕ×A=ϕ (propiedad absorbente)
  • A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
  • A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
  • A×(B-C)=(A×B)-(A×C)
    Las 3 ultimas anteriores son propiedades distributivas.
  • (A×B)×C≠A×(B×C) (No es asociativa)
  • ∀C∧(A⊆B→A×C⊆B×C) (Monotonía)
  • [A⊆C∧B⊆D]→[(A×B)⊆(C×D)] (Monotonía)
  • (A^'×B^' )⊆(A×B)^'
  • ∀C≠ϕ,(A×C=B×C)→A=B
  • (A≠ϕ,A×B⊆A×C)→B⊆C
  • A×B=ϕ↔A=ϕ∨B=ϕ

Cardinal del producto cartesiano

El cardinal no es mas que el numero de elementos de un conjunto como ya explicamos en un curso de teoría de conjuntos en la sección operaciones entre conjuntos. Sean el cardinal de dos conjuntos A y B denotados por n(A) y n(B) respectivamente, el cardinal del producto cartesiano denotado por n(A×B) se calcula de la siguiente manera:

n(A×B)=n(A)⋅n(B)Es decir, el cardinal del producto cartesiano de dos conjuntos es igual a la multiplicación de los cardinales de cada conjunto. Es cierto que el producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo si los conjuntos no son iguales, pero su cardinal. En efecto, para dos conjuntos A y B diferentes entre si y con productos cartesianos no vacíos, se cumple:

n(A×B)=n(B×A)Y es fácilmente demostrable ya que los cardinales son números naturales y el producto de dos números naturales es conmutativa.

Ejemplo

Sean los conjuntos A={4,5,6} y B={d,e}, su producto cartesiano de A×B y B×A son:

A×B={(4,d),(4,e),(5,d),(5,e),(6,d),(6,e)}

B×A={(d,4),(d,5),(d,6),(e,4),(e,5),(e,6)}

El cardinal de A y B son  y n(B)=2 respectivamente. Si contamos los pares ordenados de los productos A×B y B×A, resulta que tiene el mismo cardinal, es decir:

n(A×B)=n(B×A)=6

Y si multiplicamos los cardinales de A y B, resulta, notamos lo siguiente:

n(A)⋅n(B)=3⋅2=6=n(A×B)

De esta manera comprobamos de manera indirecta que n(A×B)=n(A)⋅n(B) es cierta, generalmente es tomado como axioma.

Representación gráfica del producto cartesiano

Se puede usar la teoría de grafos para representar el producto cartesiano pero solo nos limitaremos a las gráficas. Sean los ejemplos A={1,2,3} y B={1,2,3,4}. se pueden usar puntos para ubicar el producto cartesiano en el siguiente diagrama cartesiano:

representación gráfica del producto cartesiano

Donde: A×B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}

Su cardinal es:
 n(A×B)=n(A)⋅n(B)=3⋅4=12

Como podrán darse cuenta, el conjunto A esta representado por sus elementos en la recta horizontal, esta linea se le llama abscisa y el conjunto B esta representada por una recta vertical, esta linea se llama ordenada. Si cruzamos las lineas verticales que parten de los elementos de A con las lineas horizontales que parten de los elementos de B, encontramos unas intersección que nos permite determinar un sistema de coordenadas sobre este plano. 

Los 12 puntos coloreados representan los pares ordenados del producto A×B. Para cuando entremos en el capitulo de funciones, usaremos plano cartesiano de números reales similar a este plano, solo que se representaran por dos ejes representados simplemente por X e Y interceptado visualmente en un punto medio de un par ordenado llamado centro (0,0).

Ahora veremos que pasa si consideramos el concepto conjuntivo del par ordenado que explicamos en la sección anterior para el producto cartesiano.

Teoría conjuntista

Antes, vamos hacer un pequeño recordatorio del conjunto potencia que estudiamos en la sección de operaciones de conjuntos. Dijimos que el conjunto potencia P(A) de un conjunto A es el conjunto de todos los subconjuntos de A, ejemplo:

Sea el conjunto C={1,2}, el conjunto potencia sería:

P(C)={ϕ,{1},{2},{1,2}}Vemos que por ejemplo los conjuntos {1} y {1,2} son elementos de P(C), pero a su vez son subconjuntos de C, es decir:

  • {1}∈P(C)∧{1,2}∈P(C)
  • {1}⊆C∧{1,2}⊆C

Si sacamos el conjunto potencia de P(C) que en total serian 16 elementos, pero lo vamos a resumir con puntos suspensivos porque no vamos a colocar todos elementos, el conjunto quedaría de la siguiente manera:

P(P(C))={ϕ,{ϕ},{{1}},{{2}},{{1,2}},…,{{1},{1,2}}}Note el conjunto {{1},{1,2}}, es un elemento de P(P(C)), pero a su vez es un subconjunto de P(C), es decir:

  • {{1},{1,2}}∈P(P(C))
  • {{1},{1,2}}⊆P(C) (Recordatorio)

¿Porque hacemos énfasis a este caso particular?, porque cuando definimos el par ordenado como (a,b)={{a},{a,b}} visto en la sección anterior, el producto cartesiano se puede expresar en términos del conjunto potencia P(P(A∪B)) donde a∈A y b∈B.

Nota: Para que no entres en confusión, recuerda siempre que si un elemento x pertenece al conjunto X, es decir x∈X, entonces {x}⊆X.

Volviendo a la teoría:

Si a∈A y b∈B entonces se cumple que a∈A∪B y b∈A∪B pero también sabemos que {a}⊆A∪B{b}⊆A∪B y {a,b}⊆A∪B, esto significa que {a} y {a,b} son elementos del conjunto potencia P(A∪B), significa que el conjunto {{a},{a,b}} es subconjunto de P(A∪B) y como explicamos en el ejemplo anterior del recordatorio, se cumple:

{{a},{a,b}}∈P(P(A∪B))

Por la segunda definición del par ordenado (a,b)={{a},{a,b}} , logramos:

(a,b)∈P(P(A∪B))

Con este resultado podemos definir alternativamente el producto cartesiano de la siguiente manera:

Definición conjuntista del producto cartesiano

Sean los conjuntos A y B, el producto cartesiano de los conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tal que a∈A y b∈B es:

A×B={(a,b)∈P(P(A∪B))|a∈A∧b∈B}

Si omitimos el conjunto P(P(A∪B)) de la definición conjuntista, resulta la primera definición del producto cartesiano apartados mas atrás de esta misma sección, se puede decir que es lo mismo que nada y es verdad. Muchas formulaciones matemáticas son algunas veces innecesarias, pero resulta divertido resaltarlo por cuestiones matemáticamente culturales.

Fin de la sección 2

Fin de la sección del producto cartesiano y en lo personal, ha sido una sección interesante, por lo menos para mi si lo fue, ¿y para ti?. Mas adelante actualizaremos esta misma sección con una serie de ejercicios resueltos para agilizar nuestras habilidades operacionales junto con algunas demostraciones de las propiedades de la sección actual, agregaremos también un apartado para productos cartesianos para 3 conjuntos.

La próxima sección esta dirigida a las relaciones binarias dividida en algunas sección por ser un tema muy largo, esto ayudará tener buen entendimiento el siguiente curso llamada funciones matemáticas. Ha sido un placer desarrollar este tema contigo, nos vemos en la próxima sección, hasta pronto, bye.

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Producto Cartesiano
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2018-07-14T23:41:56+00:00