Hola amigos, hoy comienzo con un nuevo capitulo y por ende una nueva sección del curso de matemática básica, esta vez les presento el concepto de un par ordenado, esta será la primera sección del capitulo relaciones matemáticas.

El concepto de par ordenado tiene un significado un poco confuso si intentamos definirlo con precisión, pero a un nivel intuitivo resulta ser muy sencillo de entender, pero podemos identificarlo con algunas restricciones para diferenciarlo del concepto de conjunto ya que un par ordenado y un conjunto de dos elementos son dos cosas completamente diferentes, sin embargo, en la teoría axiomática de conjuntos define un par ordenado como un tipo de conjunto especial, ya que la teoría axiomática de conjuntos requiere que muchos objetos matemáticos sean representado por conjuntos.

Claro que no vamos a exponer la teoría axiomática de conjuntos con el tema actual, solo nos limitaremos a describir las dos maneras de definir un par ordenado ya que no pretenderemos afirmar que definición es la mejor y cual es la mas conveniente, creo que esta decisión depende del lector. Sin mas que decir, comencemos.

Un par ordenado o pareja ordenada es una representación de dos elementos matemáticos con un orden definido, este concepto (por no decir definición) esta determinado únicamente por su posición. Si tenemos un elemento a que pertenece al conjunto A y un elemento b del conjunto B, el par ordenado se representa así:

(a,b)

Donde a es el primer elemento o componente y b es el segundo elemento  o componente del par ordenado, es decir, el elemento a siempre esta a la izquierda del elemento b separado de una coma. Esto significa que si a≠b, implica que:

(a,b)≠(b,a)Esto lo diferencia del concepto de conjunto por extensión ya que un conjunto C formado por los elementos a y b no toma en cuenta el orden de sus elementos, simbólicamente podemos escribirlo así:

{a,b}={b,a}Esto indica que un par ordenado no se puede ser un conjunto (excepto en la teoría axiomática de conjuntos). Otro punto interesante es que si tanto el primer elemento y el segundo elemento del par ordenado son iguales, ¿que ocurre? Simple, para un par ordenado de dos elementos iguales siguen siendo dos elementos diferentes pero determinado por su posición pero no numéricamente hablando.

Me explico: si para un conjunto donde existen dos elementos iguales, la teoría de conjuntos lo toma como un único elemento, pero para un par ordenado, los elementos serán iguales pero siguen siendo dos elementos (algo así como gemelos).

Si a=b, para un par ordenado es:

(a,b)=(a,a)=(b,b)Pero para un conjunto sería:

{a,b}={a}={b}Por tanto, los paréntesis será de uso común para representar a las parejas ordenadas e identificar las componentes en un plano cartesiano que veremos en la próxima sección. Apartados mas abajo encontrará una introducción del plano cartesiano.

Ejemplos de par ordenado

Sea los siguientes grupos de pares ordenados:

(amarillo, 1), (verde, 2) y (azul, 3)

Las primeras componentes de estos pares están determinados por 3 colores y son “amarillo, verde y azul” y las segundas componentes son los 3 primeros números contables y son “1, 2 y 3”. Si intercambiamos el orden de estos pares, obtendríamos:

(1, amarillo), (2, verde) y (3, azul)

En este caso, la primera componente son los primeros 3 números contables y la segunda componente esta determinada por 3 colores que acabamos de ejemplificar. Lo que intento decir con este ejemplo es que lo que importa aquí es el orden.

Lo que veremos en el siguiente apartado son dos definiciones alternativas del par ordenado, veamos.

Definiciones del par ordenado

En la historia de las matemáticas, al parecer el significado del par ordenado ha tenido algunas cuantas definiciones según otros autores, pero aquí te muestro la mas usuales. La primera definición de par ordenado viene dado al comparar los pares ordenados de la siguiente manera:

Primera definición

Se llama par ordenado (a, b) si cumple la siguiente condición:

Si dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si sus primeras y segundas componentes son iguales respectivamente, esto es:

(a, b) = (c, d) ⟺ a = cb = d

Algunos autores toman en cuenta esta definición de par ordenado, la relación de orden de la condición:

(ab) = (cd) ⟺ a = c ∧ b = d

es intuitiva, no podría considerarse un axioma, resulta mas una condición de orden, aunque muchos pensarían que podría ser un concepto incompleto porque la definición no menciona que (a, b) ≠ (b, a) si a b, pero es posible demostrar lo contrario, este punto lo dejaremos como ejercicio resuelto.

Segunda definición SEGÚN la TEORÍA AXIOMÁTICA de conjuntos

Llamamos par ordenado (a, b) si y solo si cumple la relación conjuntista:

(a, b) = {{a}, {a, b}}

Este concepto nos dice que un par ordenado puede expresarse en términos de conjunto, esta forma de definir el par ordenado es llamado par de Kuratowski, esta segunda definición transforma a la primera definición en un teorema y por si fuera poco, también es posible demostrar que (a, b) ≠ (b, a) si a b.

Si por algún motivo encontramos que las componentes del par ordenado son iguales en un plano cartesiano, según la definición de Kuratowski encontramos:

(a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}}

La pregunta es, ¿donde ubicamos la primera y segunda componente en el plano cartesiano si solo tenemos el conjunto {{a}} como ubicación de un punto? Simple, este conjunto indica que las primera y segundas componentes para el plano cartesiano son iguales, pero por cuestiones practicas siempre se usa la notación habitual de par ordenado (a, a).

Al parecer algunos autores matemáticos indican que la definición (a, b) = {{a}, {a, b}} solo sirve para probar (ab) = (cd) ⟺ a = c ∧ b = d para luego nunca usarse jamas, aunque he notado que algunos autores le dan algunos usos interesantes.

Controversias con la definición de par ordenado

Nunca he revisado la teoría de Kazimierz Kuratowski, no soy un matemático puro y no entiendo porque razón Kuratowski lo definió de esta manera, hasta incluso el autor de libros de descarga gratis Carlos Ivorra considera la definición como un concepto superfluo en su libro Lógica y Teoría de conjuntos, sin embargo, deja de mencionarlo de esta manera en su versión mejorada Lógica matemática.

Otro autor al que probablemente no se siente cómodo con esta definición es Patrick Suppes en su libro Teoría Axiomática de Conjuntos donde dice que “sería imposible desarrollar una teoría de relaciones con la segunda definición a menos que se tome la noción de par ordenado como concepto primitivo” (es decir, tomarlo a nivel intuitivo evadiendo la segunda definición).

Otro autor llamado Paul R. Halmos menciona que este concepto es una definición caprichosa en su libro teoría intuitiva de conjuntos, menciona que si bien se puede demostrar las propiedades mencionadas con esta definición, tampoco constituye un precio demasiado alto al definirlo de esa manera, tal vez el autor lo determina así porque no se han encontrado contradicciones con tal definición y finaliza que cualquiera de estas dos definiciones son cuestión de gustos y colores.

También podemos hacer mencion del autor Mukres del libro Topologia donde dice textualmente:

“En honor a la verdad, hay que decir que la mayoría de los matemáticos piensan en un par ordenado como un concepto primitivo que como una colección de conjuntos”

Tuplas ordenadas

Se llaman tuplas a un conjunto ordenado de objetos matemáticos. Por ejemplo, el par ordenado (a, b) de dos elementos es una dupla (2-tupla), para una terna o  triada que representa a 3 elementos ordenados es una tripla (3-tupla), para cuatro es una cuádrupla y así de manera general para n objetos ordenados se llama n-tupla. Se puede representar de la siguiente manera:

(a1, a2, a3, … , an)

Para que cumpla el concepto de orden, puede extenderse de la primera definición de par ordenado así:

(a1a2a3, … , an) = (b1b2b3, … , bn⟺ ab1 ∧ ab2 ∧ ab3 ∧ … ∧ an bn

Existe otra definición para una n-tupla pero no lo vamos a exponer aquí para no traer confusión con la definición anterior.

Operaciones con pares ordenados

Las operaciones que realizamos en pares ordenados como la adición y multiplicación de un numero por un par ordenado son las mas básicas, intuitivas y es completamente compatible con la geometría analítica a nivel visual.

Existe otras operaciones como el producto escalar y producto vectorial pero tiene un significado distinto y son definiciones no intuitivas pero necesarias para simplificar operaciones matemáticas. Estas operaciones se trabajan cuando los pares ordenados se extienden a espacios vectoriales. Un espacio vectorial es un concepto semejante pero no igual al concepto de vector en física ya que este tiene un significa particular.

Un vector en un espacio vectorial puede usarse en diferentes ámbitos como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, matrices, resolución de ecuaciones diferenciales, entre otras aplicaciones, esto quiere decir que un vector de un espacio vectorial no se limita únicamente al concepto físico de vector, es decir, de su dirección y sentido como es de costumbre.

En los siguientes apartados veremos dos operaciones muy básicas y sencillas, vamos a ello.

Adición de pares ordenados

Las operaciones mas básicas con pares ordenados se realizar sin el mas mínimo esfuerzo con la suma y resta entre ellas y es compatible con los conceptos del plano cartesiano y la geometría analítica cuando queremos cambiar una ubicación de un punto geométrico a otro.

Gracias a esta simplicidad, los pares ordenados obedecen a los axiomas de adición de números reales como la conmutativa, asociativa, etc. si definimos a los componentes bajo el conjunto de los reales.

Pero cuando tratamos estos axiomas en los pares ordenados como por ejemplo la ley conmutativa, esto se realiza solo a nivel de los valores de las componentes y no del orden de las componentes, me explico:

A nivel de orden, un par ordenado no es conmutativo (a, b≠ (b,a) pero si lo es a nivel de los valores de las componentes cuando existe un segundo par ordenado, es decir:

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

Cumpliéndose a + c = c + a y b + d = d + b. Podría considerarse esta propiedad como un teorema si tomamos en cuenta la primera definición de par ordenado pero también puede tomarse como un axioma. Estos puntos no lo vamos a estudiar aquí y lo desarrollaremos en un curso de álgebra lineal en una sección llamada espacios vectoriales.

Multiplicación de un numero por un par ordenado

Generalmente un número que multiplica a un par ordenado se llama escalar, mientras tanto lo llamaremos simplemente número. Sea un número k y un par ordenado (a, b), la multiplicación de un numero por un par ordenado se denota de la siguiente manera:

k(a, b) = (ka, kb)

Este concepto también viene cargado con una serie teoremas pero no lo vamos a realizar aquí. Un desarrollo mas abstracto y a su vez generalizado lo podemos encontrar en un curso de espacios vectoriales, curso que desarrollaremos mas adelante.

Pares ordenados en el Plano cartesiano

Los pares ordenados sirve generalmente para ubicar puntos abstractos en un plano cartesiano. Un plano cartesiano puede representarse con pares ordenados como el siguiente ejemplo:

Ubicación de 3 pares ordenados en un plano cartesianoEn este gráfico mostramos el plano cartesiano con 3 pares ordenados que  representan la ubicación de los puntos de color celeste, estos puntos se les llama coordenadas cartesianas o simplemente coordenadas. Por ejemplo el par ordenado (1, 2) indica la posición de un punto en el plano cartesiano. El 1 que es la primera componente del par, significa que se encuentra al lado derecho del 0 del eje X y el 2 es la segunda componente del par, significa que se encuentra arriba del 0 del eje Y.

Fundamentalmente los pares ordenados se usan principalmente para indicar puntos en el espacio de 2 dimensiones. Otros usos importantes lo podemos encontrar con el concepto de vector como también en la teoría de números complejos.

El conjunto de las parejas ordenadas se puede definir con el concepto de producto cartesiano aplicado para dos conjuntos y esta destinada para la siguiente sección.

Representación gráfica de la suma de dos pares ordenados

Si representamos la suma de dos pares ordenados en un plano cartesiano, vemos que cumple la ley del paralelogramo cuando cuando se tratan con vectores. Por ejemplo para dos pares ordenados (1, 4) y (2, 1), si sumamos tenemos (1, 4) + (2, 1) = (3, 5), gráficamente tenemos:

gráfica de la suma de dos pares ordenados

Los segmentos de color azul definidos por los pares (0, 0), (1, 4) y (2, 1), (3, 5) son paralelas, de la misma manera sucede con los segmentos de color rojo definidos por los pares (1, 4), (3, 5) y (0, 0), (2, 1). En teoría de vectores se les conoce como la ley del paralelogramo.

Representación gráfica del producto de un par ordenado con numero

Cuando multiplicamos un par ordenado medido desde el origen por un numero, este se extiende paralelamente desde el origen, por ejemplo, si multiplicamos el par (1, 2) y el 4, resulta (1, 2) ⋅ 4 = (4, 8), gráficamente vemos lo siguiente:

gráfica del producto de un par ordenado y numero

El segmento de color rojo esta formado por los pares (0, 0), (1, 2), y el segmento mas grande desde el origen representa 4 veces su tamaño y esta formado por los pares (0, 0) y (4, 8).

Fin de la sección 1

Esta sección es un comienzo para el tratamiento de producto cartesiano que desarrollaremos en la próxima publicación del curso relaciones matemáticasEl producto cartesiano es la sexta operación de la teoría de conjuntos y servirá para plantear algunas propiedades importantes que nos ayudará a describir con facilidad la sección de relaciones binarias. En la sección actual también será actualizada para algunos cuantos ejercicios que generalmente lo encontramos de manera teoría en obras especializadas en relaciones y funciones.

Es cierto que concepto de par ordenado se ha enseñado desde que eramos niños en las escuelas primarias, esto incluye el plano cartesiano, el concepto de coordenadas cartesianas, etc, pero de una manera muy sencilla y básica comenzando con múltiples ejemplos numéricos y dibujos didácticos. Lo que quiero decir es que si has logrado entender esos conceptos primarios, no tendrás problemas al entender estos mismos conceptos pero de una manera mas generalizada.

Espero haber sido útil de mi parte al desarrollar estos conceptos y gracias por llegar hasta el final. Esto sería todo, nos vemos en la próxima sección, que tengan un buen día, bye.

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Par Ordenado
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2018-07-19T02:04:11+00:00