1. ¿Que Son Las Proposiciones?

Holas queridos amigos, esta es la primera sección del capítulo de lógica proposicional o lógica de enunciados. Esta sección será dedicada a las proposiciones lógicas pero desde la limitada perspectiva de la lógica proposicional.

En el transcurso de esta sección desarrollaré algunos ejemplos de enunciados con dos características importantes que estas adquieren para que pueden ser entendidas por nosotros, estas son, la semántica y la sintáctica.

Una proposición en matemáticas se pueden diferenciar en dos tipos, esto son, las proposiciones simples y compuestas. También describiré los valores de verdad de las proposiciones y finalmente veremos también de qué dependen sus valores de verdad de cada uno de estos enunciados.

♠ Acordeón

Los conceptos que veras a continuación es opcional, explicamos la anatematice (el significado del símbolo) y la sintáctica (el símbolo propiamente dicho) de una proposición, las oraciones aseverativas que es un tipo de proposición en gramática y el concepto de juicio de valor. No estas obligado a verlos, puedes pasar tranquilamente de todos ellos y seguir con el titulo que corresponde a la sección actual.

Los enunciados semánticos tiene un carácter intuitivo, la semántica de los enunciados refiere al significado, a la interpretación que le asignemos a los enunciados formados por símbolos y caracteres bien definidas de un lenguaje lingüístico.

Los enunciados que estudiaremos en mayor proporción son las proposiciones, estos adquieren una semántica tal que puede ser determinadas por ser verdaderos y falsos.

Podemos estudiar la semántica desde 3 ángulos, estas son, la semántica lingüística, la semántica lógica y la semántica de las ciencias cognitivas (psicología). Naturalmente estudiaremos desde punto de vista de la semántica lógica.

Por ejemplo, supongamos que no supieras leer, por lo que jamás podrías lograr entender estos párrafos, lo único que verás es un conjunto de caracteres extraños sin significado.

Pero si me lees hasta aquí es porque sabes lo que estoy diciendo, porque para que estas líneas sean inteligibles no sólo debemos de proveer de un significado estandarizado sino también deben tener un orden específico y también estandarizado para su comprensión, sin embargo, hay otros estándares que no lograrás comprender como el de un programador, ya que usamos los mismos caracteres para realizar programas y/o crear páginas web por código como esta imagen:

código fuente de la url de proposiciones

Este es un fragmento de código de la publicación del capítulo de proposiciones que estás comenzando a leer ahora mismo. Como puedes ver, usamos los mismos caracteres con algunos símbolos más para estructurar esta entrada. Lo que hace luego tu explorador web como Google Chrome, Mozilla, Opera o cualquier otro navegador web es “renderizarlo” para que lo puedas ver a tu idioma, tal como tu lenguaje lo entiendes.

Podemos decir entonces que la semántica es lo que tu interpretas según el lenguaje con que estás familiarizado, por lo general, para que la comunicación sea fluida y compartida entre todos, debe ser una semántica estandarizada.

En lógica proposicional es igual, tiene un estándar, aunque limitado, pero sirve para entender como se comportan las proposiciones por medio de los conectivos lógicos y los signos de agrupación, por lo general, las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas como pq y proposición r tal que pueden ser determinados como verdaderos  V y falsos F, estos valores de verdad son los únicos valores semánticos formalizados en lógica proposicional, en cuanto la semántica del significado de los argumentos de las proposiciones dadas se toman de manera intuitiva pero no son parte del estudio de la lógica proposicional pero si de la lógica de predicados aplicado solo para las matemáticas.

Vamos a estudiar algunos conceptos previos antes de estudiar las proposiciones. Debe tener en cuenta que dichos conceptos previos a nivel lingüístico no serán parte esencial del curso de lógica, sino su simbología, esto lo estaremos explicando mas adelante para que lo entienda mi intensión.

Las oraciones aseverativas son enunciados que justifican un hecho afirmativo o negativo llamadas predicados sobre el sujeto.

Ejemplo De Oraciones Aseverativas

  1. Mi arroz con pollo es muy rico. 
  2. Déjame en paz. 
  3. Existe un x ∈ símbolo de los números reales  tal que x Símbolo del menor que 7.
  4. Tu madre biológica es mujer.
  5. Los perros no tiene cuatro patas. (Naturalmente es falsa, pero no deja de ser una proposicion).
  6. Las gallinas tiene pico.
  7. Caminemos en los parques del centro de lima.
  8. Todos los cuervos son negros.
  9. ¿Que es el universo?.
  10. La pista estaba vacía.
Las oraciones 2 y 9 son las únicas que no son oraciones aseverativas, la primera es un mandato y la segunda es una interrogación.

Un juicio de valor es una y solo una característica y/o condición de algo, alguien, o a un suceso en particular donde realizamos afirmaciones y negaciones. el conjunto de juicios de valor determinan el predicado una oración aseverativa.

Un juicio de valor justifica algo, alguien o un suceso y nosotros somos responsables de decidir la validez de tal justificación si resulta ser posible. Un juicio de valor determina una y solo una características para identificar algo o alguien como por ejemplo “Lucho es arquitecto“, aquí arquitecto es la característica, lo que identifica a Lucho para reconocer su existencia como arquitecto, ahora, depende de la circunstancias si realmente Lucho es arquitecto o no.

La fragmento “es arquitecto” se le llama predicado. Sin embargo, el predicado a nivel matemático es un poco diferente de lo que se enseña en lingüística. Por ejemplo “La Luna es más pequeña que la tierra”, aquí para lógica matemática, el predicado sólo sería “es más pequeña que” y los sujetos serían “La Luna” y “La Tierra“.

Esto se puede ver en un curso de lógica de primer orden o lógica de predicados que no expondremos aquí en este momento y es un área de la lógica matemática muy extensa y solo me centraré en la lógica proposicional.

Volvamos con Lucho, tomemos como ejemplo “si Lucho es arquitecto entonces sabe diseñar planos“, podemos ver que hay 3 juicios de valor, dos de ellas indican las características de Lucho, es decir, “Lucho es arquitecto” y “Lucho sabe diseñar planos”, y la tercera es la condición “si Lucho es arquitecto”, lo cual le da valor a “entonces sabe diseñar planos”, este tipo justificaciones nos dan la posibilidad de negar o afirmar un enunciado, si es que se da el caso.

Una proposición en matemáticas es aquel enunciado que puede ser afirmativa o negativa y tiene un valor de verdad definido, esto es, puede ser verdadero o falso según la interpretación que le asignemos. Bajo este punto, el significado de una proposición puede definirse de la siguiente manera:

Definición de proposición

Una proposición es un enunciado (oración aseverativa) que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez.

El concepto de oración aseverativa lo puedes ver en el acordeón de conceptos opcionales al inicio de la sección.

Las proposiciones lógicas siempre admite un contenido semántico e intuitivo, por lo general no formalizado, donde solo se puede decir que son verdaderas o falsas. Los argumentos que encontramos en las proposiciones sólo se toman de manera intuitiva pero no forman parte de la lógica proposicional, por lo menos de manera no estricta.

Las proposiciones en matemáticas son tomados como proposiciones bivalentes, es decir, no existe otro valor semántico formalizado que no sean el de ser verdadero o falso. Se podría decir que son las únicas propiedades de las proposiciones por si solas.

Otra cosa que debemos tomar en cuenta, es que en lógica proposicional es indiferente del idioma como el de nosotros, el español, ya que aquí solo importa las representaciones matemáticas; el aspecto gramatical solo sirve para explicar la lógica del curso actual, por tanto, el idioma de las proposiciones se toman por alto, los símbolos son lo que imperan mas en el área de las matemáticas.

Y hablando de símbolos, los valores de verdad de las proposiciones son los únicos valores semánticos formalizados donde se le admite una simbolización, esta son el de verdadera V y falsa F.

Ejemplos de proposiciones lógicas
  • p: Todos los perros tienen cuatro patas. (Verdadero)
  • q: Una gallina es un perro. (Falso)
  • proposición r: La gallina tiene cuatro patas. (Falso)
  • s: ∫_a^b x dx=b^2/2-a^2/2   (Verdadero)

Como vemos p, q, proposición r y s son proposiciones, donde pueden ser verdaderas o falsas. Esta restricción se puede catalogar como un conjunto definido de proposiciones para definir un universo de discurso válido.

Por tanto, existe una correspondencia entre enunciados y su respectivo valor de verdad y se puede ilustrar de la siguiente manera:

Correspondencia de proposiciones y valores de verdad

Existe una correspondencia f de a V.

Si existe un conjunto de proposiciones = {p1, p2, p3, … pn} y un conjunto de valores de verdad V = {V representa el conjunto de valores de verdad, f mayúscula, se usa también para indicar que una proposición es falsa.}, entonces la relación entre los elementos de los conjuntos  y V es:

f(p_n )={█(V si p_n es verdadera@F si p_n es falsa)┤

Donde pn puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Las proposiciones lógicas se clasifican únicamente en dos tipos y simplemente se llaman proposiciones simples y compuestas, también son llamados (no muy a menudo) como proposiciones particulares y universales. No confundir con otros tipo de clasificaciones en lingüística ya que este tiene otro tipo de connotación importante para el capítulo de lógica.

Aunque no hay mucha diferencia entre estos dos tipos ya que una contiene a la otra, esto es, las proposiciones compuestas son un conjunto de proposiciones simples, aunque también podemos encontrar enunciados abiertos en las proposiciones compuestas, pero esto solo ocurre cuando tratamos con los conectivos lógicos como la condicional y bicondicional únicamente, pero esto lo veremos en secciones posteriores.

¿Que es un Enunciado abierto y su diferencia con una proposición?

Vamos a aclarar las diferencias entre enunciado y proposiciones. Los enunciados son un acto de habla expresado por medio de una oración y no son oraciones propiamente dicha, los enunciados dependen en qué contexto se hable, porque las oraciones son únicamente “un conjunto de palabras que expresa un juicio (si es que existe) con sentido completo y autonomía sintáctica”, es decir, un conjunto de palabras que dicen algo y nosotros somos lo que le damos una interpretación.

Una oración puede significar diferentes enunciados según el contexto que esté, por ejemplo:

  • La oración x Símbolo del menor que 7. no sabemos si el valor de x es un número real, un número complejo, incluso un grupo de personas, animales o cualquier otra cosa porque no se especificó el valor de x.

Y al revés, diferentes oraciones pueden significar el mismo enunciado, por ejemplo:

  • ¿Cual es el valor de x?
  • Hallar el valor de x.
  • Averiguar el valor de x.
  • ¿Cual sería el valor de x?

Tomemos como ejemplo al siguiente enunciado x Símbolo del menor que 7esta es una oración aseverativa que afirma que x es menor que 7. Estas afirmaciones son dudosas porque no hay más datos que reafirman que el valor de x sea menor que 7, simplemente no se sabe si es verdadero o falso. En base a esto, realizamos la siguiente definición.

Definición de Enunciado abierto

Un enunciado abierto es una oración aseverativa que no se sabe si es verdadero o falso.

Como se habrán dado cuenta, la definición habitual de enunciado abierto es completamente diferente del que acabo de definir. Por lo general, se dice que un enunciado abierto tiene como sujeto una variable o incógnita, pero no siempre es así hay enunciados con variables donde podemos decir que son verdaderos o falsas.

Ejemplo de enunciado abierto
  • x Símbolo del menor que 7 es un enunciado abierto.
  • ∀ x Símbolo del menor que 7 es una proposición.

En efecto, el primero es un enunciado abierto porque no sabemos que valor pueda ser x para indicar la falsedad o verdad del enunciado, pero el segundo, el símbolo ∀ que significa “para todo”, nos dice que el  valor de x debe cumplir siempre la condición x Símbolo del menor que 7 sin importar cual sea. Mas ejemplos:

  • Ella es muy bella. (“Ella” es una variable desconocida)
  • Estos números son impares. (“Números” es una variable desconocida)
  • Mi vecina esta loca. (“Vecina” es otra variable desconocida)

Como hemos visto en este último ejemplo, un enunciado abierto es un juicio sin tener la certeza de saber si es verdadero o falso, al no saber de que pista están relacionadas con el sujeto, en este caso con x, no podemos decir si es verdadera o falsa.

Proposición simple o atómica

Si bien, las proposiciones atómicas son la unidad mínima en lógica proposicional, no tiene una definición simbólica pero si un definición semántica como veremos ahora:

Definición de proposición simple

Son enunciados con un sujeto y un predicado (un solo juicio de valor) que pueden ser verdaderas o falsas.

Una proposición simple (la proposición más básica, también llamado no usualmente como proposiciones particulares) es una oración que siempre llevará un sujeto y un predicado, contrariamente de los enunciados abiertos no necesariamente llevan un sujeto para afirmar o negar algo, sin embargo, trabajar en matemáticas obliga que las proposiciones como los enunciados abiertos tengan un sujeto y predicado.

Ejemplos de proposiciones simples o atómicas

Aquí hay mas de 10 ejemplos de proposiciones simples donde diferenciamos los sujetos con rojo.

  • Bolivia es un país.
  • La capital de Perú es Lima. (en lógica de primer orden, Lima también es un sujeto)
  • Los cerdos tiene 4 patas.
  • Los seres humanos tiene cerebro (jajaja).
  • El lunes es el primer día de la semana.
  • Los libros son para leer.

Existe otras proposiciones donde la verificación depende únicamente del espectador, es decir, de la experiencia misma, algunas de ellas viene con sujeto y sin sujeto, veamos algunos ejemplos:

  • Natalia cerró la puerta ayer. (con sujeto)
  • Ayer hizo frío. (sin sujeto)
  • Todos han salido libres. (con sujeto)
  • llueve mucho. (sin sujeto)
  • Mi perro se comió mi almuerzo. (con sujeto)
  • Mañana será lunes. (sin sujeto)

Aquellas proposiciones que no tiene sujeto suelen usarse en las proposiciones compuestas del tipo condicional. Pero las proposiciones simples en matemáticas siempre suelen llevar un sujeto y un predicado, pero ahora no describiremos este detalle.

Proposición compuesta o molecular

Ahora veremos otro tipo de enunciados que por lo general están compuestos de proposiciones simples y en base a estas simple estructura, adoptan el nombre de proposiciones compuestas y lo definiremos de la siguiente manera:

Definición de proposición compuesta

Una proposición compuesta son aquellos enunciados donde admiten más de un sujeto y/o juicio de valor pero con la certeza de saber si son verdaderas o falsas.

Luego del ejemplo siguiente explicaré porque lo definí de esta manera.

Ejemplos de proposiciones moleculares

Sea el siguiente enunciado

  • Enunciado 0: Si x ∈ símbolo de los números reales, entonces x es un número.
La proposición compuesta se puede separar en dos proposiciones simples:
  • Enunciado 1: x ∈ símbolo de los números reales
  • Enunciado 2: x es un numero.
Los enunciados por separado son enunciados abiertos y no proposiciones, pero el enunciado 0 es una proposición. El fragmento “Si x ∈ símbolo de los números realessignifica que x sería en tiempo futuro, es decir, que x debe “ser” y la palabra “ser” indica la hipótesis del enunciado, luego viene el siguiente fragmento “entonces x es un número“, significa que  si “x ∈ símbolo de los números reales“, efectivamente “x sería un número“.

Los condicionales relaciona el antecedente (enunciado 1) con el consecuente (enunciado 2), aunque esto es mas aplicable a la implicación lógica, para el caso de la condicional que acabamos de ver es un poco distinto. Lo importante aquí es que puedan notar que una proposición también puede estar formadas por enunciados abiertos compuestos. 

Lo anterior solo fue una aclaración, veamos mas ejemplos de proposiciones compuestas:

  • Mis perros y gatos tiene cuatro patas.
    Se puede separar en “Mi perro tie cuatro patas” y “Mi gato tiene cuatro patas“.
  • Mi loro es un ave y tiene dos patas.
    Se puede separar en “Mi loro es un ave” y “Mi loro tiene dos patas“.

No es posible definir una proposición compuesta donde generalmente se plantea que están formada por mas de una proposición simple, ya hemos visto que las proposiciones compuestas como “Si x ∈ símbolo de los números reales, entonces x es un numero” esta formada por enunciados abiertos, es por ello que la definición de proposición compuesta intenta no caer en estas ambigüedades y ser la mas precisa posible.

Por tanto, el valor de verdad de las proposiciones compuestas no depende únicamente de sus proposiciones o enunciados abiertos por separado, sino por su relación entre ellas, esto solo ocurre con la implicación lógica mas no con la condicional material, la condicional material solo relaciona los valores de verdad de las proposiciones, mas no los argumentos de las proposiciones en si o de los enunciados abiertos como ya habíamos mencionado anteriormente.

Tipos de proposiciones lógicas

Aquí mostramos algunos ejemplos de proposiciones compuestas de las cuales podemos encontrar 6 tipos de proposiciones lógicas que describiremos en las 4 siguientes secciones de conectivos lógicos donde comenzamos por la negación lógica. Por lo pronto veamos algunos ejemplos de estos conectivos lógicos gramaticalmente.

Ejemplos de los 6 tipos proposiciones compuestas

El álgebra de proposiciones que trabajaremos en el área de matemáticas son una combinación de 6 tipos o clases de proposiciones compuestas porque están relacionadas con 6 conectivos lógicos únicamente, aquí unos ejemplos:

Como notarán, sólo es posible clasificaros de esta manera cuando tratamos con proposiciones moleculares, sin embargo, en el transcurso de la simbolización de las proposiciones del capítulo de lógica, no existe una diferencia entre una proposición atómica y una molecular, esto lo explicamos en el siguiente apartado.

Representación matemática de las proposiciones simples y compuestas

La lógica de proposiciones a nivel simbólico es pobre, porque en los ejemplos anteriores no se ocupa de la estructura de los argumentos, tampoco una simbolización de una proposición que no hace ninguna diferencia si se trata  de una proposición atómica o molecular.

Ejemplos de la representación simbólica de las proposiciones

  • p: mi loro es verde
  • q: mi perro tiene cuatro patas
  • proposición r: mi loro es verde y mi perro tiene cuatro patas p y q.

La última proposición, escribirlo simplemente como proposición r no indica si nuestra proposición es simple o compuesta ya que escribirlo como proposición r = p y q,  no demuestra que p y q por si solos sean simples, también pueden ser compuestas.

Aquí, proposición r = p y q, se ha creado una proposición con otras proposiciones por medio del nexo “y“, este se llama conectivo conjuntivo, conjuntiva lógica o conjunción lógica. Este tipo de conectivos sirven para crear todo tipo de proposiciones más complejas.

Pero hay algo que si es seguro, por su naturaleza bivalente (dos únicas propiedades de verdadero y falso), las proposiciones solo pueden afirmar o negar algo, luego sería probar si la proposición es verdadera o falsa. Existen casos donde las proposiciones pueden ser trivalente, pero este no es el caso.

Proposiciones equivalentes

Habíamos dicho en un apartado anterior de enunciados abiertos que un enunciado puede escribirse en diferentes maneras, es decir, diferentes oraciones con el mismo significado, las proposiciones también poseen esta propiedad.

Ejemplos de proposiciones equivalentes

  • El numero 4 es un numero par ≡ Es falso que el numero 4 no sea par.
  • Si hoy llueve, entonces el piso se mojará ≡ Si el piso no se ha mojado, entonces hoy no ha llovido.
  • Si como mucho dulce, entonces me saldrá sarro ≡ Es falso que coma mucho dulce o me saldrá sarro.

Si analizamos el segundo caso, veremos que tiene mucho sentido, nos dice que si se alimenta de mucho dulce, es posible que le salga sarro y su equivalente, nos dice que que es falso que coma mucho dulce o en cuyo caso, le saldría mucho sarro. Podríamos decir que la primera es una conclusión de la segunda y viceversa.

La proposición en otros contextos

La proposición en otros contextos tiene significados diferentes y marca muchas diferencias según el contexto con que se trabaje.

Etimología

La proposición viene del latín “propositio” y literalmente hablando significa a favor o acción de proponer, al parecer, indica una propuesta de algo a alguien.

La proposición en el contexto coloquial

En este contexto, una proposición puede referirse a la idea misma que expresar una situación que previamente habíamos pensado, es decir, decidido.

  • En ello tenemos una propuesta de una idea a alguien
  • O una autopropuesta a notros mismos, es decir, proponernos un determinado fin.

LA PROPOSICIÓN EN EL CONTEXTO GRAMATICAL​

En gramática, una proposición es una oración con sujeto y predicado, con la capacidad de lograr otros significados similares o distintos si le añadimos o quitamos palabras (complementos) sin que pierda su significa particular.

De hecho, puede relacionarse con otras proposiciones para formar una oración mas grande, es decir, oraciones compuestas.

Ejemplo: “La mayoría de mis amigos se van de paseo al cuzco en un tren que resulta ser super rápido y acampar allí para comer tallarin verde junto con sus madres”. Las siguientes proposiciones de esta oración pueden ser las siguientes.

  • La mayoría de mis amigos se van del paseo.
  • Mis amigos se van de paseo.
  • Mis amigos se van acampar allí
  • Un tren que resulta ser super rápido.
  • Mis amigos comerán junto con sus madres.
  • Comerán tallarin verde junto con sus madres.
Creo que ya se entendido la idea.

La proposición en el contexto Lógico

Siendo este tipo de proposición el tema central de la sección actual, decimos entonces que una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso.

Por tal razón, una proposición debe tener una estructura bien formalizada que de cuenta de la lógica de la realidad como la lógica de lo abstracto (como las matemáticas).

Cuando decimos una lógica bien formalizada, esta recae sobre el lenguaje que expresamos, sin importar el idioma o formas de comunicación que la designemos, es decir, que este libre de contradicciones o si bien tiene contradicciones, que sea explicito y sea identificado en la misma proposición.

La proposición en el contexto filosófico

En el contexto filosófico, una proposición es un juicio de valor que expresa algo (predicado) sobre un sujeto de la oración, en otras palabras afirma o niega algo. Ojo, no se ha dicho nada si la negación o afirmación es verdadera o falsa.

En este caso, la proposición no es mas que una emision una información de un juicio por medio de una oración sea verbal o escrita.

La proposición en lógica proposicional u orden cero

La proposición en la lógica proposicional resulta ser una variable de dos valores, no se toma en cuenta o no interesa si la proposición tenga sentido lógico o no, lo que importa es que solo sea verdadero o falso, por esta misma razón se le llama variable proposicional.

En gramática este tipo de proposiciones tiene otro contexto pero se les puede buscar como oraciones aseverativas y que tiene el mismo significado de proposición en el campo de las matemáticas.

La proposición en lógica de primer orden

En la lógica de primer orden o lógica de predicados no solo se toma en cuenta el valor de verdad de la proposición, sino también al sujeto y predicado de las mismas, sin embargo, en el terreno de la lógica de primer orden también toma en cuenta el sujeto y predicado de los enunciados abiertos, estos son llamados funciones proposicionales y se les asigna un valor especifico para transformarlos en variables proposicionales.

Fin de la entrada número 1

Y aquí terminamos con el concepto de proposición donde hemos visto que una proposición también se puede formar únicamente con enunciados abiertos.

También explicamos que las proposiciones en lógica proposicional o lógica de enunciados se restringen solo a símbolos, una proposición simbólicamente se presenta por letras minúsculas, el único inconveniente es que no se puede diferenciar entre una proposición simple o compuesta, lo importante aquí son sus valores de verdad obviando completamente el significado de los argumentos.

El limite de la lógica proposicional esta determinado en la imposibilidad de aplicar argumentos con sentido semántico del lenguaje humano, a menos que se este trabajando en el área de la lógica modal o un tipo de la misma como la lógica deóntica, pero estas secciones están fuera del alcance del curso actual.

Esto sería todo amigos, las próximas secciones nos dedicaremos a los conectivos lógicos comenzando por la negación lógica. Gracias y hasta la próxima entrada.

Referencias

  • Lógica – Matemática básica | novena edición – Ricardo Figueroa.
  • Nociones de lógica – Matemática básica | novena edición – Moisés Lázaro
  • Introducción de la lógica matemática – Lógica Matemática | Carlos Ivorra.
  • Lógica proposicional, proposición, enunciado abierto, semántica – wikipedia y wikiversity
Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Proposiciones - lógica
Clasificación
51star1star1star1star1star
2018-08-07T00:00:55+00:00
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