4. Potenciación

La teoría de exponentes es una teoría agradable de la enseñanza media, muy fáciles de aplicar, pero lo que lo hace más interesante son la diversidad de ejercicios por resolver gracias a sus propiedades principales muy conocidas hoy en día.

Esta sección recapitula este tema de una manera más formal (por no decir que seremos estrictamente formales) donde demostramos las propiedades de potenciación para cuando el exponente es un número real, un punto que generalmente pasamos por alto por la falta de herramientas y dejando este concepto sin especificación.

Para lograrlo, desarrollaremos las propiedades de orden para la potenciación y junto con el principio de intervalos de encajados de Cantor de números racionales, podemos demostrar todas las propiedades para cuando el exponente es puramente real.

♠ Acordeón

Los conceptos que veremos en este acordeón, excepto la teoría de intervalos encajados estudiados anteriormente en la sección anterior, serán provisionales y puedes pasar tranquilamente de ellos, a continuación, lo que veremos en la pestaña de este acordeón será la imposibilidad de no dejar de usar puntos suspensivos para sucesiones y series, ya que estos no tiene una justificación precisa y se tomará de manera intuitiva, para la siguiente pestaña nos apoyaremos del principio de inducción matemática para justificar los puntos suspensivos.

Un matemático que intente buscar una teoría puramente formal, pronto se dará cuenta que estará en verdaderos aprietos. Esto puede reflejarse en el teorema de incompletitud de Gödel cosa que no explicaremos aquí, pero el teorema dice que cualquier intento de formalización sin errores, con una incertidumbre de 0% y catalogada como la teoría mas perfecta de todo el multiverso, ten por seguro que fracasará.

Te muestro un ejemplo sencillo para que tengas una mejor idea lo que intento decirte, se acostumbra definir la potenciación como la multiplicación repetitiva de un número real así:

a^n=⏟(a⋅a⋅a ⏞(…)┴█(Sin@definir) a)┬(n veces)

Donde a es la base que pertenece al conjunto de los números reales y n es el exponente que pertenece al conjunto de los números naturales. El punto aquí es la imposibilidad de definir los puntos suspensivos “...” en la definición. Podemos usar el símbolo de la productoria para definir a^n así:

a^n=∏_(i=1)^n▒a^i

Este símbolo puede especificarse de tal manera que el número real a debe multiplicarse n veces, sin embargo, al intentar de especificar o definir la productoria, ocurre lo siguiente:

∏_(i=1)^n▒f(i) =f(1)⋅f(2)⋅f(3) ⏞(…)┴█(Sin@definir) f(n)

Encontramos el mismo problema, pero podemos apoyarnos de la teoría de la recursión. Los puntos suspensivos son recursivos, un ejemplo de recursión es la función:

f(n)={█(1 ,n=1@f(n-1)+1 ,n≥2,n∈Z^+ )┤

Donde Z^+ representa a los enteros positivos. Dando valores a n, tenemos:

  •  f(1)=1
  •  f(2)=f(2-1)+1=f(1)+1=1+1=2
  •  f(3)=f(3-1)+1=f(2)+1=2+1=3
  • ├ ⋮} sin⁡ definir, este es un ejemplo de recursión.

De esta manera encontramos una posible regla repetitiva donde f(n)=n donde n∈Z^+, pero también los puntos suspensivos tienen un carácter persistente y también sin definir.

“Los puntos suspensivos” es meramente psicológico que matemático porque nos da una idea implícita según el campo o estructura de una función recursiva con que trabajemos, lo único que nos queda es apelar de nuestra intuición y reconocer el significado implícito que los puntos suspensivos nos quiere decir.

Para lidiar con este inconveniente, no queda otra opción que usar una propiedad de recursión que veremos en la siguiente pestaña del acordeón, aunque esto no significa que se elimine el carácter implícito de los “puntos suspensivos”.

Por otro lado, la función discreta f(n)  es, como ya dijimos, una sucesión recursiva o función recursiva donde se puede definir con su funciona antecesor f(n-1) para cuándo n∈N y como n-1∈N, entonces f(n-1) también queda definido por su antecesor f(n-2), para no incurrir a repeticiones innecesarias haremos eco de un principio.

Pero antes, usaremos el símbolo N para indicar que los números naturales no incluye al cero y  N_0  para indicar que los números naturales incluya al cero. Con estos puntos en mente, declaremos el siguiente principio en la siguiente pestaña.

Por desgracia, este principio es una demostración no constructiva, es decir, solo demuestra que el teorema es cierto sin llegar al objetivo que plantea el teorema, esto es, no está basado en antecedentes para llegar al objetivo, porque si fuera constructiva (que se demuestra previamente con otras definiciones, axiomas y otros teoremas establecidos previamente indicados), fácilmente eliminaríamos los puntos suspensivos de las sucesiones de recurrencia sea de suma o producto o cualquier operador repetitivo que implique recurrencia.

Por tal motivo y de la imposibilidad de separar lo intuitivo de lo formal queda demostrado por el teorema incompletitud de Gödel resulta ser cierta. No tenemos otra opción que usar el principio de inducción tal como se establece a continuación.

Principio de inducción completa, global o total

Sea una propiedad f(n) tal que n∈S, diremos entonces que f(n) es verdadera para todo n sí cumple las siguientes condiciones:

  • f(1) es verdadera si 1∈S.
  • Si asumimos f(k) es verdadera donde k∈S, entonces debe cumplirse también para f(k+1) tal que cumpla para k+1∈S.

Por tanto, esto prueba que f(n) lo que implica que S=N.


Podemos demostrar este principio desde la definición del principio de buen orden o desde la teoría de conjuntos bajo el concepto de conjunto inductivo.

La condición donde indicamos que “1∈S y k∈S, entonces k+1∈S, por tanto S=N” resulta ser uno de los axiomas condicionales de Peano para definir los números naturales y darle un sentido más amplio que simplemente mostrar el típico intuitivo conjunto de números naturales represado así:

N={1,2,3,4,…}

De esta manera podemos indicar que el símbolo de los puntos suspensivos “...” por lo menos tiene algo de sentido y no es ambiguo del todo siempre y cuando nos apoyemos del principio de inducción completa.

Ejemplo 1:

Sea la función numérica f(n)=n^3+2n, probar que es múltiplo de 3.

Demostración:

Comprobamos primero las dos condiciones del principio de inducción.

  • p_1: para n=1, resulta f(1)=(1)^3+2(1)=3, es múltiplo de 3, proposición verdadera.
  • p_2: para n=k, suponemos verdadera que  f(k)=k^3+2k es múltiplo de 3 (hipótesis), entonces debe resultar verdadera para f(k+1)=(k+1)^3+2(k+1) tal que sea múltiplo de 3, veamos si lo que se dice esta proposición es verdadera:
    f(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2f(k+1)=k^3+2k+3(k^2+k+1)El termino k^3+2k por hipótesis dijimos que es múltiplo de 3, y el resto 3(k^2+k+1) es múltiplo de 3 ya que contiene el factor 3, por tanto f(k+1) es múltiplo de 3.

Como p_1 y p_2 es verdadera, demostramos que f(n) es múltiplo de 3.

Ejemplo 2:

Sea 0<x<1, donde x es un número real, probar que para cualquier natural  n , se cumple la desigualdad 0<x^n<1.

Demostración:

Vamos a ver si los dos enunciados del principio de inducción es verdadera.

  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1484.png: Para n=1 resulta ser cierta ya que 0<x^1<1 resulta de la condición inicial establecida previamente.
  • p_2: Supongamos que para n=k es cierta la desigualdad 0<x^k<1 (hipótesis), entonces también debe cumplirse para n=k+1 tal que 0<x^(k+1)<1, veamos:
    0<x<10<x^k<1La primera es dato y la segunda es hipótesis verdadera, como estas desigualdades son positivas, bajo algunos conceptos de los axiomas de orden, podemos probar que multiplicar estas desigualdades de la siguiente manera es correcta:
    0⋅0<x^k⋅x<1⋅10<x^(k+1)<1siendo este enunciado verdadero.

Por tanto, de los enunciados p_1 y p_2 probamos que la desigualdad 0<x^n<1 es verdadera. Si te has leído la pestaña anterior, entenderás que una función recurrencia es inductivo, de esta manera queda justificada los puntos suspensivos “...” como función recursiva que cumple el principio de inducción. Dicho esto, comencemos con el tema central del curso que nos corresponde.

Índice De La Entrada

Potenciación con exponente natural

Ya habíamos desarrollado este concepto de manera elemental en la sección principal de teoría de exponentes, en esta ocasión seremos ligeramente formales para definir la potenciación de un exponente natural.

Definición de potenciación natural

Sea a la base de números reales R y C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1453.png el exponente de números naturales N, llamamos potenciación natural al producto que se obtiene al multiplicar n veces la base a y se denota por a^n donde:

a^n=⏞(a⋅a⋅a…a)┴(n veces)

Definir los puntos suspensivos es caer erróneamente en la incompletitud de Gödel, por tanto, los puntos suspensivos quedan determinados como conceptos primitivos, pero podemos justificarlo con el principio de inducción y lo puedes encontrar en el acordeón al inicio de la sección. En base a este punto, se establecen los siguientes 3 teoremas.

Teorema 1: Multiplicación de potencias de bases iguales.

El producto de dos potencias con la misma base, resulta ser igual a otra potencia de la misma base con los respectivos exponentes sumados. Simbólicamente:

a^n⋅a^m=a^(n+m)

Donde a∈R y n,m∈N.

Demostración:

  • Prueba constructiva: por definición de potenciación natural.
    a^n⋅a^m=⏟(a⋅a⋅a…a)┬(n veces)⋅⏟(a⋅a⋅a…a)┬(m veces)=⏟(a⋅a⋅a…a)┬(n+m)=a^(n+m)
    Como esta prueba es intuitiva, debemos asegurar los puntos suspensivos con el principio de inducción para que quede completamente justificado (véase acordeón más arriba donde indicamos el principio de inducción completa), veamos.
  • Prueba no constructiva: Tomaremos a m∈S, si se cumple para m=1∈S y por m=k∈S, entonces debe cumplirse también para m=k+1∈S, resulta que S=N.
    Caso 1m=1, de la definición, resulta que a^n⋅a^1=a^(n+1), probamos que 1∈S.
    Caso 2m=k, de la definición supondremos cierta que a^n⋅a^k=a^(n+k) donde k∈S, si es así, debemos probar para m=k+1∈S donde a^n⋅a^(k+1)=a^(n+(k+1) ). En efecto, partiendo del lado izquierdo de esta igualdad de color rojo, tenemos:
    a^n⋅⏟(a^(k+1) )┬(Del caso 1)=a^n⋅a^k⋅⏟(a^1 )┬█(Por@Definición)=a^n⋅a^k⋅a…(I)En (I) aplicamos la propiedad asociativa de la teoría axiomática de números reales, tenemos:
    a^n⋅a^(k+1)=(a^n⋅a^k )⋅aPor la hipótesis del caso (II) donde a^n⋅a^k=a^(n+k):
    a^n⋅a^(k+1)=a^(n+k)⋅aComo a=a^1 por definición:
    a^n⋅a^(k+1)=a^(n+k)⋅a^1Por el caso (I) donde, entonces:
    a^n⋅a^(k+1)=a^((n+k)+1)Por propiedad asociativa de la adición, finalmente logramos:
    a^n⋅a^(k+1)=a^(n+(k+1))

Entonces, como los casos (I) y (II) son verdaderos tal que 1∈S y k∈S por hipótesis, probamos que k+1∈S es cierta, por tanto S=N. De esta manera probamos que los puntos suspensivos “...” queda justificado por el principio de inducción y el teorema 1 cumple para cualquier valor de m entero positivo.

El resto de los teoremas se anuncian solo con demostración constructiva, te dejamos las demostraciones no constructivas como ejercicio.

Ejemplos

  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1531.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1533.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1535.png

Teorema 2: Potencia de potencia.

Sea la potencia a^n, si la elevamos a otro exponente m tal que (a^n )^m, esta expresión resulta ser igual a la potencia a^nm, simbólicamente se cumple:

(a^n )^m=a^nm

Donde a∈R  y n,m∈N.

Prueba constructiva:

Partiremos de (a^n )^m, por definición:
(a^n )^m=⏟(a^n⋅a^n⋅a^n…a^n )┬(m veces)=⏟(a^⏞(n+n+n+⋯+n)┴(m veces) )┬(Por el teorema 1)=a^nm

Te dejo como ejercicio la justificación de los puntos suspensivos con el principio de inducción.

Ejemplos

  •  (2^3 )^2=2^(3⋅2)=2^6
  •  (3^5 )^4=3^(5⋅4)=3^20
  •  (6^2 )^8=6^(2⋅8)=6^16

Teorema 3: Potencia de un producto.

La potencia de un producto resulta ser igual al producto de las potencias de los factores de un mismo exponente, simbólicamente:

(ab)^n=a^n b^n

Donde a,b∈R y n∈N.

Prueba constructiva:

Por definición de potencia natural, resulta:

(ab)^n=⏟((ab)(ab)(ab)…(ab))┬(n veces)=⏟(⏞((a⋅a⋅a…a) )┴(n veces) ⏞((b⋅b⋅b…b) )┴(n veces) )┬█(Propiedad asociativa@de la multiplicación)=a^n b^n

Te dejo como ejercicio justificar los puntos suspensivos con el principio de inducción:

Ejemplos

  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1547.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1548.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1549.png

Teorema 4:

Si a∈R y n∈N, se cumple:

(-a)^n={■(a^n ,si n es par@-(a^n ),si n es impar)┤

Demostración:

Si n es par, entonces debe ser de la forma n=2k donde k es un entero natural, resulta:

(-a)^n=(-a)^2k=⏟([(-a)^2 ]^k )┬(Teorema 2)=⏟([(-a)(-a)]^k )┬█(Teorema de@numeros reales@(-a)(-b)=ab)=[a^2 ]^k=a^2k=a^n

Si n es impar, debe ser de la forma n=2k+1 donde k es un entero natural, tenemos:

(-a)^n=(-a)^(2k+1)=⏟((-a)^2k⋅(-a)^1 )┬(Teorema 1)=⏟(a^2k⋅(-a) )┬█(Definición:@a^1=a)=⏟((-1)(a^2k⋅a) )┬█(Propiedad@asociativa@de la@Multiplicación)=⏟(-(a^(2k+1) ) )┬Definición=-(a^n)

De este teorema se desprenden los siguientes corolarios:

Corolario 1:

Sea a un número real diferente de cero y n un entero positivo par, entonces a^n siempre es positivo.

Demostración:

Se dividirá en dos casos cuando a>0 y a<0, comencemos por el primer caso:

Caso 1 cuando a>0. La prueba es inmediata, del teorema 4 cuando el exponente par, resulta:

(-a)^n=a^n

Como a>0, es lógico que a^n>0.

Caso 2 cuando a<0. Tenemos:

(-a)^n=a^n

Haciendo a=-b, entonces b>0, tenemos:

a^n=(-b)^n

Por el teorema 4 cuando n es par, resulta:

a^n=b^n

Como b>0 implica que b^n>0 para un entero positivo par n. Este último resultado podemos establecerlo como un nuevo corolario.

Corolario 2:

Sea dos números reales a,b∈R, si a=-b y n es un entero positivo par, se cumple:

a^n=b^n

El siguiente teorema es un resumen solo de los 3 primeros teoremas mencionados anteriormente ya que será usado como referencia para otros exponentes que no sean positivos.

Teorema fundamental de la potenciación de exponente natural (teorema 5):

Si para a,b∈R y dos números naturales n,m∈N, se demuestra que:

  •  a^n⋅a^m=a^(n+m)
  •  (a^n )^m=a^nm
  •  (ab)^n=a^n b^n

Estos teoremas son los más fundamentales, porque si definimos para cuando los exponentes n y m son enteros, racionales o reales, también deben satisfacer estas 3 principales propiedades, el resto de los teoremas para este tipo de exponentes son derivaciones de estas 3 propiedades junto con las nuevas definiciones de potenciación para exponentes no naturales que en breve veremos en los siguientes apartados.

Potenciación con exponente entero

Sea n∈N_0, es decir, n es un número natural que incluye al cero y sea la función:

f(x)=x^n…(∅)

Esta función se le llama función potencial de exponente natural, como las propiedades solo están definidas para enteros positivos n≥1, debemos extender la definición para cuando n=0, de la función potencial (∅) hacemos lo siguiente:

f(x)=x^(n+0)

Por el teorema 1 (recuerde que este teorema se limita para enteros n≥1, pero asumiremos que se cumple para n≥0):

f(x)=x^n⋅⏟(x^0 )┬█(No@definido)

De (∅), tenemos:

x^n=x^n⋅⏟(x^0 )┬█(No@definido)

x^0=x^n/x^n

x^0=1

El color rojo lo usamos para indicar que este resultado no está definido, lo indicamos de esta manera porque en ningún momento estamos demostrando lo que significa x^0 ya que la definición de potenciación natural solo aplica para exponentes enteros mayores e iguales a 1, esto es, al escribir la expresión x^(n+0)=x^n⋅x^0 es infringir la definición de potencia natural para exponentes enteros positivos.

Pero tenga en cuenta que solo estamos infringiendo mas no contradiciendo, esto es, la infracción no está negando lógicamente la definición, por tal motivo, si extendemos la definición para exponente cero, tal infracción resulta ser aceptada por la definición de potenciación natural. Con este criterio, establecemos la siguiente.

Definición de exponente cero

Todo número real diferente de cero elevado al exponente cero resulta ser la unidad, simbólicamente se expresa:

a^0=1

Para todo número real a≠0..

Ojo: Antes se creía que 0^0=1, sin embargo, existe muchas funciones diferentes del tipo [f(x)]^g(x)  donde si tomamos a las funciones f(x) y g(x) tan pequeños hasta anularse, pueden tomar diferentes valores, por ejemplo, si tomamos para el caso f(x)=g(x), o simplemente la potencia x^x, resulta que se acerca a 1 siempre y cuando x se aproxima cada vez a cero, pero como es un caso particular, existen otras funciones como f(x)=e^(-1/x) y g(x)=x  donde si x se aproxima cada vez a 0 donde f(x)  y g(x) se anulan, pero el valor de [f(x)]^g(x)  resulta ser 1/e.

Sin embargo, hemos supuesto el acercamiento para cuando x es positivo, es decir, aproximacion a 0 desde la derecha, si hacemos la aproximacion desde la izquierda de 0, encontarremos valores inexistentes para el caso x^x. Por tanto C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1594.png es indeterminado.

Ejemplos

  •  (-2)^0=1
  •  (x^2/(x+1))^0=1
  •  (1+2^2+3^3+4^4 )^0=1

Otro concepto es el exponente negativo que pretendemos definir. Los axiomas de números reales dicen que todo número real diferente de cero tiene un inverso multiplicativo. Para dos números reales x y y diferente de cero, se cumple:

xy=1…(∂)

Mi estrategia es la siguiente:

Sea x=a^n, donde n∈N_0, en (∂), tenemos:

a^n⋅y=1

Supongamos que y es de la forma a^m:

a^n⋅a^m=1…(ω)

Por el teorema 1, obtenemos:

a^(n+m)=1

Por la definición del exponente cero, resulta:

n+m=0

m=-n

Como n es un natural que incluye al cero, entonces m es un entero negativo que incluye al cero, los negativos aún no están definidos, remplazando este resultado en (ω):

a^n⋅⏟(a^(-n) )┬█(No@definido)=1

a^(-n)=1/a^n

El color rojo indica que el exponente a^(-n) no está definido porque no hemos definido potencias de exponente negativos, si bien es cierto que infringe la definición para exponentes n∈N_0, no la contradice, por tanto, resaltamos la siguiente definición.

Definición de exponente negativo

Sea la potencia a^n donde n∈N_0, entonces su inverso multiplicativo es a^(-n), simbólicamente se cumple:

a^(-n)=1/a^n

Para cualquier valor real de a≠0.

Ejemplos

  •  2^(-4)=1/2^4
  •  (-3+2^5 )^(-6)=1/(-3+2^5 )
  •  (6^(-3) )^(-7)=1/(6^(-3) )^7

Teorema 6

Sea  a  un número real diferente de  0  y  n  un entero cualquiera, se demuestra que:

a^(-n)=1/a^n

Demostración:

Probaremos para cuándo n=0 y cuando n es negativo ya que en la definición de exponente negativo ya incluye para cuando n es positivo. Si n=0, tenemos:

a^(-0)=1/a^0

En la sección de números reales se demuestra que -0=0:

a^0=1/a^0

Por definición de exponente cero:

1=1/1=1

Ahora probaremos para cuando n<0, sea n=-m, entonces m>0 donde a≠0, por definición de exponente negativo:

a^n=a^(-m)=1/a^m

Despejando a^m, resulta:

a^m=1/a^(-m)

Como n=-m, finalmente logramos:

a^(-n)=1/a^n

Quedando probado el teorema para cuando n es negativo.

Ejemplos

  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1625.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1626.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1627.png
Ahora veremos si el exponente negativo satisface el teorema fundamental, veamos.

Teorema fundamental de la potenciación de exponente entero (teorema 7):

Sea dos números reales a,b∈R y dos números n,m∈Z, se demuestra que:

  •  a^n⋅a^m=a^(n+m)
  •  (a^n )^m=a^nm
  •  (ab)^n=a^n b^n

Demostración:

El teorema fundamental ya ha sido demostrado para cuándo n y m son positivos en apartados anteriores, solo probaremos cuando los exponentes son nulos y negativos, aunque también probaremos para cuándo n y m son opuestos, veamos:

CASO 1: es fácil probar que a^n⋅a^m=a^(n+m) cuando n y m son nulos, veamos:

a^0⋅a^0=a^(0+0)

Como 0+0=0, tenemos:

a^0⋅a^0=a^0

1⋅1=1

1=1

Ahora probemos para enteros negativos, esto es, para n<0 y m<0. Lo podemos escribir así n=-p  y m=-q, entonces p>0 y q>0, tenemos:

a^n⋅a^m=a^(-p)⋅a^(-q)

Por definición de exponente negativo:

a^(-p)⋅a^(-q)=1/a^p ⋅1/a^q

a^(-p)⋅a^(-q)=1/(a^p⋅a^q )

Por el teorema 1 para exponentes naturales, resulta:

a^(-p)⋅a^(-q)=1/a^(p+q)

Por definición de exponente negativo:

a^(-p)⋅a^(-q)=a^(-(p+q) )=a^(-p-q)

Como n=-p  y m=-q, finalmente probamos que:

a^n⋅a^m=a^(n+m)

Ahora probaremos cuando los enteros n y m tienen signos opuestos, es decir, si n>0 y m<0. Podemos hacer que m=-q, entonces q>0, tenemos:

a^n⋅a^m=a^n⋅a^(-q)

Sea x tal que:

x=a^n⋅a^(-q)…(α^*)

Por definición de exponente negativo:

x=a^n⋅1/a^q

x⋅a^q=a^n…(α^(**))

Parte 1: Si comenzamos para cuando n>q, entonces la diferencia n-q es un numero natural, en base a esto, definamos y tal que:

y=a^(n-q)…(β^*)

Como q es positivo, multiplicaremos a los dos miembros por a^q:

y⋅a^q=a^(n-q)⋅a^q

Por el teorema 1 de exponentes naturales:

y⋅a^q=a^(n-q+q)

y⋅a^q=a^n…(β^(**))

Comparando (α^(**))  y (β^(**)), se obtiene:

x⋅a^q=y⋅a^q

Simplificando:

x=y

De (α^*)  y (β^*):

a^n⋅a^(-q)=a^(n-q)

Como -q=m, probamos que:

a^n⋅a^m=a^(n+m)

Parte 2: Falta probar para n<q, entonces q-n es un numero natural, definamos z tal que:

z=a^(n-q)…(φ)

Como n-q  es negativo, usaremos el teorema 6:

z=1/a^(q-n)

z⋅a^(q-n)=1

Multiplicaremos por a^n, tenga en cuenta que q-n y n son positivos, entonces:

z⋅a^(q-n)⋅a^n=a^n

Por el teorema 1 de exponente natural:

z⋅a^(q-n+n)=a^n

z⋅a^q=a^n

Despejando z:

z=a^n⋅1/a^q

Como q es positivo, por definición de exponente negativo:

z=a^n⋅a^(-q)

Comparando con (φ), resulta:

a^(n-q)=a^n⋅a^(-q)

Como -q=m, finalmente probamos que:

a^(n+m)=a^n⋅a^m

CASO 2Probaremos que (a^n )^m=a^nm para cuándo n y m son nulos, opuestos o simultáneamente negativos:

Si n=0m=0 y a≠0, la prueba es inmediata, en efecto:

(a^0 )^0=a^(0⋅0)

(1)^0=a^0

1=1

Probaremos para cuándo n y m son negativos, sea x tal que:

x=(a^n )^m

Sea m=-p entonces, p es positivo, resultando:

x=(a^n )^(-p)…(φ^*)

Por definición de exponente negativo:

x=1/(a^n )^p

Por definición de exponente natural:

x=1/⏟(a^n⋅a^n⋅a^n…a^n )┬(p veces)

Como n es negativo, usaremos el primer teorema fundamental de exponente entero que demostramos en el caso 1:

x=1/a^⏞(n+n+n+⋯+n)┴(p veces)

x=1/a^np

Como n es negativo y p es positivo, el producto np es negativo, por el teorema 6 para cualquier exponente entero, tenemos:

x=a^(-np)=a^(n(-p))

Comparando con (φ^*), obtenemos:

(a^n )^(-p)=a^(n(-p))

Como m=-p, , demostramos que:

(a^n )^m=a^nm

Te dejo de tarea para cuándo n y m son opuestos, no olvide justificar los puntos suspensivos con el principio de inducción, de la prueba anterior.

CASO 3Probaremos (ab)^n=a^n b^n  cuando n es nulo y negativo, ya que para n positivo ya esta probada. Cuando n=0 la prueba es inmediata:

(ab)^0=a^0 b^0

1=1⋅1

1=1

Probemos cuando n es negativo, sea n=-p, entonces p es positivo, tenemos:

(ab)^n=(ab)^(-p)

Por definición de exponente negativo:

(ab)^n=1/(ab)^p

Por definición de potencia natural:

(ab)^n=1/⏟((ab)(ab)(ab)…(ab))┬(p veces)

Por la propiedad asociativa de números reales:

(ab)^n=1/((⏟(a⋅a⋅a…a)┬(p veces))(⏟(b⋅b⋅b…b)┬(p veces)))

Por definición de potenciación natural:

(ab)^n=1/(a^p⋅b^p )=1/a^p ⋅1/b^p

Por definición de exponente negativo:

(ab)^n=a^(-p)⋅b^(-p)

Como n=-p, finalmente demostramos que:

(ab)^n=a^n b^n

De esta manera probamos que el teorema fundamental cumple también para cualquier exponente entero.

Corolario 1: Cociente de potencias de bases iguales

El cociente de dos potencias con la misma base resulta ser una potencia de la misma base con las diferencias de los exponentes de la potencia del dividendo y divisor. Simbólicamente:

a^n/a^m =a^(n-m)

Donde  a∈R   y  n,m∈Z .

Demostración:

Habíamos probado que a^n⋅a^p=a^(n+p) para cualquier exponente entero, si hacemos p=-m, tenemos:

a^n⋅a^(-m)=a^(n-m)…(ε)

Parte 2: probaremos para cuando m>1, por definición de exponente negativo en (ε):

a^n⋅1/a^m =a^(n-m)

a^n/a^m =a^(n-m)

Parte 1: Ahora probaremos para cuando m<1, sea x tal que:

x=a^(-m)

Si m=-q, entonces q>1, remplazando:

x=a^(-(-q) )=a^q=a^q⋅1

Despejando la unidad:

x⋅1/a^q =1

Por definición de potencia negativa:

x⋅a^(-q)=1

Como -q=m, resulta:

x⋅a^m=1

Despejando x:

x=1/a^m

Remplazando en (ε), finalmente tenemos:

a^n⋅1/a^m =a^(n-m)→a^n/a^m =a^(n-m)

Quedando demostrado el corolario para cualquier exponente entero.

Corolario 2: Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual a la división de potencias con el mismo exponente. Simbólicamente:

(a/b)^n=a^n/b^n

Donde a,b∈R  y n∈Z.

Demostración:

Habíamos probado para cualquier exponente entero que (ac)^n=a^n c^n, haciendo c=1/b, tenemos:

(a⋅1/b)^n=a^n (1/b)^n

(a/b)^n=a^n (b^(-1) )^n

Ya probamos que (x^p )^q=x^pq para cualquier entero, entonces:

(a/b)^n=a^n b^(-n)

Por el teorema 6 ya que n es un entero cualquiera:

(a/b)^n=a^n⋅1/b^n

(a/b)^n=a^n/b^n

Quedando probado el corolario.

Teorema 8:

Sea  a  un número real diferente de cero y  n  un entero negativo, se cumple:

a^n=⏟(a^(-1)⋅a^(-1)⋅a^(-1)…a^(-1) )┬(-n veces)

Demostración:

Como n<0, entonces:

a^n=a^(-1(-n))

Por el teorema fundamental para exponente enteros, resulta:

a^n=(a^(-1) )^(-n)

Como -n>0, por definición de potencia natural demostramos finalmente que:

a^n=⏟(a^(-1)⋅a^(-1)⋅a^(-1)…a^(-1) )┬(-n veces)

Te dejo de tarea justificar los puntos suspensivos con el principio de inducción.

Por fin terminamos con la potenciación de exponente entero, ahora vamos a desarrollar el exponente fraccionario y sus propiedades.

Potenciación con exponente fraccionario

El origen de este tipo de potenciación con exponente fraccionario viene de resolver el valor real de x de la ecuación:

x^n=a…(1)

Donde n∈Z  y a,x∈R, con la condición de que si x≠0, entonces n es negativo. Antes de sacar conclusiones apresuradas, debemos tomar en cuenta algunas consideraciones, veamos algunos ejemplos:

  •  (-2)^2=(-2)(-2)=4
  •  (2)^2=2⋅2=4
  •  (3)^5=3⋅3⋅3⋅3⋅3=243
  •  (-3)^5=(-3)(-3)(-3)(-3)(-3)=-243

Como (-2)^2=(2)^2=4  implica que si n es par en x^n=a, entonces x puede ser tanto negativo como positivo. Tenga en cuenta que n es cualquier entero, es decir, para los ejemplos anteriores, también se cumple que:

  •  (-2)^(-2)=[(-2)^2 ]^(-1)=4^(-1)
  •  2^(-2)=(2^2 )^(-1)=4^(-1)
  •  3^(-5)=(3^5 )^(-1)=〖243〗^(-1)
  •  (-3)^(-5)=[(-3)^5 ]^(-1)=(-243)^(-1)=(-1)^(-1)⋅〖243〗^(-1)=1/(-1)⋅〖243〗^(-1)=-〖243〗^(-1)

Estas operaciones están justificadas en los teoremas demostramos en el apartado de exponente entero. Ahora calculemos el valor de x en (1) cuando n es impar, luego veremos para el caso donde n es par. Elevemos la expresión (1) a la potencia y, tenemos:

(x^n )^y=a^y

No hemos definido en que campo numérico se encuentra y, pero asumamos que cumple el teorema fundamental, entonces debe cumplirse lo siguiente:

x^ny=a^y

Para resolver x hacemos ny=1, entonces y=1/n, tenemos:

x=⏟(a^(1/n) )┬█(No@definido)

EL exponente 1/n no está establecido ya que hemos definido solamente para potencias con exponente entero, tenga en cuenta que n es impar, de los ejemplos anteriores, podemos escribir los resultados también así:

  •  3^5=243→3=〖243〗^(1/5)
  •  (-3)^5=-243→-3=(-243)^(1/5)
  •  3^(-5)=(3^5 )^(-1)=〖243〗^(-1)→3=(〖243〗^(-1) )^(1/(-5))
  •  (-3)^(-5)=[(-3)^5 ]^(-1)=〖(-243)〗^(-1)→-3=(-〖243〗^(-1) )^(1/(-5))

El problema surge cuando intentamos el mismo proceso cuando n es par ya que pueden suceder estos ejemplos respecto a los casos anteriores:

  •  (-2)^2=4→-2=4^(1/2)
  •  2^2=4→2=4^(1/2)
  •  (-2)^(-2)=4^(-1)→-2=(4^(-1) )^(1/(-2))
  •  2^(-2)=4^(-1)→2=(4^(-1) )^(1/(-2))

Para los dos casos donde se obtiene 4^(1/2)  o (4^(-1) )^(1/(-2)), al compararse, puede cometerse este grave error:

-2=2 (?)

Para solucionar este problema, las expresiones  4^(1/2)   y  (4^(-1) )^(1/(-2))   deben tener un único valor y no dos, por convención, cuando n es par, se acostumbra igualar a su valor positivo y si es negativo, tomamos su valor absoluto para volverlo positivo, pero este punto lo veremos masa delante. De los ejemplos anteriores, se escribirá así:

  • 4^(1/2)=2 … convención.
  • 2=(4^(-1) )^(1/(-2)) … convención.

Con esto en mente, te manifiesto la siguiente definición:

Definición de potenciación fraccionaria

Sea b^n=a, donde a,b∈R  y n un entero diferente de 0, definimos la potencia fraccionaria b denotado por a^(1/n), tal que cumple los siguientes criterios:

  1. a^(1/n)=b, si n es impar.
  2. a^(1/n)=b>0, si n es par y a>0.
  3. 0^(1/n)=0, si n>0.

Ejemplos

  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1771.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1772.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1773.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1774.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1775.png
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1776.png, no está definido, no cumple los requerimientos de la definición. Este resultado viene de resolver la ecuación C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1777.png, lo cual es absurdo ya que todo número real elevado a un exponente entero par siempre es positivo.
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1778.png, no está definido, no cumple la definición de exponente fraccionario. Observe que este caso viene de resolver la ecuación C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1779.png, no existe C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1766.png que cumple la solución de esta ecuación.

Un caso particular de esta definición es la raíz enésima de un número real y está definido cuando n es un número natural mayor que 1, veamos.

Definición de raíz enésima de un número real

Sea b^n=a donde a y b son dos números reales y n un entero positivo mayor que 1, llamamos raíz enésima denotado por √(n&a), si cumple los siguientes criterios:

  1. √(n&a)=b, si n es impar.
  2. √(n&a)=b>0, si a>0  y n es par.
  3. √(n&0)=0.

Ahora estudiaremos las soluciones de b^n=a donde a y b son números reales y n un entero cualquiera diferente de cero.

Si queremos resolver los valores que produce, por ejemplo, el resultado de ejemplos anteriores4^(1/2) donde establecimos como positivo su valor resultante, es decir 4^(1/2)=2, usaremos la definición de valor absoluto para cualquier real x y dice así:

Definición de valor absoluto

Si  C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1497.png  es un número real cualquiera, definimos el valor absoluto denotado por  C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1786.png , tal que:

C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1787.png

Ejemplo

  • Si x=-2<0, entonces |-2|=-(-2)=2 y si x=2≥0, entonces |2|=2.

Una propiedad de valor absoluto dice que si |x|=a, entonces se cumple que:

x=a∨a=-a

Con este criterio, podemos resolver el valor de x tal que cumple la ecuación x^n=a  cuando n es par, lo calcularemos de la siguiente manera:

|x|=a^(1/n)

De esta manera, obtenemos los dos valores de x tal que:

x=-a^(1/n)∨x=a^(1/n)

En base a esto, definimos la solución enésima de x a continuación.

Definición de solución enésima

Sea la ecuación x^n=a tal que n es un entero cualquiera diferente de cero y a un número real positivo, llamamos a x como la solución enésima de a, sí cumple los siguientes casos:

  • x=a^(1/n), si  n  es impar.
  • |x|=a^(1/n), si  n  es par.

Donde a^(1/n) es una potencia fraccionaria.

Veamos un ejemplo sencillo:

Ejemplo

Calcular el valor de  x  de la ecuación:

x^(-2)=16

Solución:

De la definición de solución enésima, resulta:

|x|=〖16〗^(1/(-2))

|x|=4^(-1)

Resolviendo, obtenemos:

x=-4^(-1)∨x=4^(-1)

Verificando:

  •  (-4)^(-2)=〖16〗^(-1)
  •  4^(-2)=〖16〗^(-1)

Teorema 9

Sea a un número real y dos enteros n y m, se cumple la siguiente relación:

(a^(1/n) )^(1/m)=a^(1/nm)

Con la condición de que a>0 si n o m es par.

Demostración:

Parte 1: Comencemos cuando n y m es impar, sea x tal que:

x=(a^(1/n) )^(1/m)…(2)

Por definición de potenciación fraccionaria

x^m=a^(1/n)

De nuevo por potenciación fraccionaria:

(x^m )^n=a

Por el teorema de potencia de potencia del teorema fundamental para exponentes enteros:

x^nm=a

Por definición de potencia fraccionaria:

x=a^(1/nm)

Comparando con (2), probamos que:

(a^(1/n) )^(1/m)=a^(1/nm)

Parte 2: Ahora probaremos cuando n y m son pares, entonces de la ecuación (2) debe cumplirse para cuándo x>0  y a>0 según la definición de potencia fraccionaria, tenemos:

x^n=a^(1/m)

Como x^n>0 y a>0 y m un entero par, se cumple por definición:

(x^n )^m=a

Por el teorema fundamental para exponente enteros:

x^nm=a

Como nm es par, por la definición de solución enésima:

|x|=a^(1/nm)

Pero como x>0, entonces |x|=x, resulta:

x=a^(1/nm)

De (2), se prueba que:

(x^(1/n) )^(1/m)=a^(1/nm)

Parte 3: Probaremos cuando n es par y m es impar, de la ecuación 2, por definición de exponente fraccionario, se cumple:

x^m=a^(1/n)

Si  n  es par, entonces debe cumplirse la restricción a>0, lo que implica que x^m>0, como m es impar, también se cumple que x>0, por definición de exponente fraccionario, resulta:

(x^m )^n=a

Por el teorema fundamental para exponente enteros:

x^nm=a

Como mn es par, por la definición de solución enésima, verificamos:

|x|=a^(1/nm)

Como probamos que x>0, entonces:

x=a^(1/nm)

De (2), demostramos finalmente para todos los casos que:

(a^(1/n) )^(1/m)=a^(1/nm)

De este teorema se desprende el siguiente corolario para exponente enteros positivos:

Corolario 3: Raíz de raíz

Si n y m son dos enteros positivos mayores a 1 y a es un número real, se cumple que:

√(m&√(n&a))=√(nm&a)

Con la condición de que si n o m son pares, entonces a es positivo.

Teorema 10

Sea n un número entero y dos números reales a y b, se cumple que:

a^(1/n)⋅b^(1/n)=(ab)^(1/n)

Siempre y cuando a y b son positivos si n es par.

Demostración:

Sea x e y tal que:

x=a^(1/n)∧y=b^(1/n)… (3)

Probaremos para n impar, por definición:

x^n=a∧y^n=b

Multiplicando:

x^n⋅y^n=ab

Por el teorema fundamental para potencia entera:

(xy)^n=ab

Por definición de potencia fraccionaria:

xy=(ab)^(1/n)

De (3), demostramos que:

a^(1/n)⋅b^(1/n)=(ab)^(1/n)

Probaremos cuando n es par, comenzando de (3), entonces a>0  y b>0, además lo indica el teorema, por definición, resulta:

x^n=a∧y^n=b

x^n⋅y^n=ab

(xy)^n=ab

Por definición de solución enésima por ser n es par, tenemos:

|xy|=(ab)^(1/n)…(4)

De (3), como a>0 y b>0 por definición de potenciación fraccionaria cuando n es par se cumple que x>0 y y>0, entonces |xy|=xy, tenemos:

xy=(ab)^(1/n)

De (3), finalmente se prueba:

a^(1/n)⋅b^(1/n)=(ab)^(1/n)

Un caso particular de estas expresiones para raíz enésima son los siguientes corolarios:

Corolario 4: raíz de un producto

Sea n un número natural mayor que 1 y dos números reales a y b, se cumple lo siguiente:

√(n&a)⋅√(n&b)=√(n&ab)

Con la condición de que a y b son dos números reales positivos si n es par.

Ahora extendemos la definición particular de potencia fraccionaria para exponentes del tipo m/n, sin embargo, hay que tener cuidado con las expresiones (a^m )^(1/n) y a^(m/n)  ya que no siempre son iguales, es decir, puede ocurrir que:

〖(a^m)〗^(1/n)≠a^(m/n)

Y sucede cuando m y n son pares y a un real negativo, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo

  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1838.png , resulta una contradicción.
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1839.png , la expresión  C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1840.png  no cumple con la definición exponente fraccionario.
  • C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1841.png , vemos que en este caso no hay ningún problema.

Para solucionar esta situación, usaremos la definición de valor absoluto que tratamos brevemente en apartados anteriores. Tenemos la expresión (a^m )^(1/n), si a es cualquier número real negativo y los enteros  n  y  m  son números pares, la expresión (a^m )^(1/n) se puede escribir de la siguiente manera:

(a^m )^(1/n)=|a|^(m/n)…(8)

Por ejemplo:

[(-9)^4 ]^(1/8)=|-9|^(4/8)→[6561]^(1/8)=9^(4/8)→3=9^(1/2)→3=3

Aunque claro, si trabajaos con [(-9)^8 ]^(1/4)=(-9)^(8/4), no encontramos ninguna contradicción y seria innecesario escribir la expresión así [(-9)^8 ]^(1/4)=|-9|^(8/4), sin embargo, no clasificaremos para que tipos de pares m y n simultáneamente debe cumplirse estos casos, motivo por el cual usaremos el valor absoluto para que la igualdad de (8) se satisfaga.

Sea  x=(a^m )^(1/n) , en  (8) , se cumple:

x=|a|^(m/n)

Tengase en cuenta que aún no hemos definido esta expresión, pero tal como te la presento, aun se encuentra mal formulada y más adelante te lo indicaré con algunos ejemplos, pero iremos por partes, comenzaremos por definir la potenciación racional a^(m/n) cuando sus exponentes no son simultáneamente pares y luego cuando son exponentes pares simultáneos. No olvide que el color rojo indica que este tipo de potenciación no está definido.

Definición potenciación racional

Sea a y b dos números reales y dos enteros n y m, tal que b^n=a^m, definimos la potencia racional denotado por a^(m/n), tal que:

  • a^(m/n)=b, si n es impar.
  • a^(m/n)=b>0, si a>0m es impar y n es par.
  • 0^(m/n)=0, si m>0 y n>0.

Esta definición se satisface sin problemas cuando m y n no son pares simultáneamente.

Ejemplo

  • 3^(4/3)  cumple con la definición.
  • (-3)^(6/7)  cumple con la definición.
  • 4^(5/4)  cumple con la definición.
  • (-4)^(5/4)  no cumple la definición.
  • (-6)^(4/6)  no cumple con la definición, no es lo mismo  C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1858.png  que  C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1859.png , ya que, si operamos sin simplificar los exponentes, resulta que  C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1860.png , quedando descartado este caso.

Teorema 11

Sea a un número real y dos enteros n y m, si a^(m/n) define una potenciación racional, se prueba que:

a^(m/n)=(a^m )^(1/n)∨a^(m/n)=(a^(1/n) )^m

Demostración:

Parte 1: para n impar.

Sea b^n=a^m, por definición de potenciación fraccionaria (no confundir con potenciación racional), se cumple:

b=〖(a^m)〗^(1/n)

Comencemos por el caso m>0, Por definición de potencia natural, resulta:

b=〖(⏟(a⋅a⋅a…a)┬(m veces))〗^(1/n)

Por el teorema 10:

b=⏟(a^(1/n)⋅a^(1/n)⋅a^(1/n)…a^(1/n) )┬(m veces)

Por definición de potencia natural:

b=(a^(1/n) )^m…(9)

Te dejo como ejercicio justificar los puntos suspensivos con el principio de inducción. Observe que de la ecuación (9) probamos que:

(a^m )^(1/n)=(a^(1/n) )^m…(10)

Si cualquiera de estos dos miembros de la ecuación (10) probamos que son iguales a a^(m/n), basta con probar uno de los miembros y con la propiedad transitiva estaría probada el teorema, la propiedad transitiva de números reales es:

a=b∧b=c→a=c

De 10, definimos x tal que:

x=a^(1/n)…(11)

Como n es impar, por definición de potencia fraccionaria:

x^n=a

Elevando a la m, tenemos:

(x^n )^m=a^m

Por conmutatividad para exponentes enteros:

(x^m )^n=a^m

Por definición de potencia racional:

x^m=a^(m/n)…(12)

Elevando a la m a la ecuación (11), resulta:

x^m=(a^(1/n) )^m

Comparando con 12, probamos que:

a^(m/n)=(a^(1/n) )^m

Por transitividad en (10) demostramos también que:

a^(m/n)=(a^m )^(1/n)

Parte 2: Teniendo en cuenta desde un principio que n es impar, probaremos para cuando m<0, de la ecuación:

b=〖(a^m)〗^(1/n)…(13)

De la definición de potencia fraccionaria, la ecuación (13) viene de resolver la ecuación:

b^n=a^m

Elevando a la -1 y por el teorema fundamental de exponente entero:

b^(-n)=a^(-m)

Por definición de potencia fraccionaria:

b=(a^(-m) )^(1/(-n))…(14)

Si comparamos con (13), resulta:

b=〖(a^m)〗^(1/n)=(a^(-m) )^(1/(-n))…(15)

Dejemos reservado esta ecuación, de (14), como -m>0, por definición de potenciación natural:

b=〖(⏟(a⋅a⋅a…a)┬(-m veces))〗^(1/(-n))

Por el teorema 10:

b=⏟(a^(1/(-n))⋅a^(1/(-n))⋅a^(1/(-n))…a^(1/(-n)) )┬(-m veces)

Por definición de potenciación natural:

b=(a^(1/(-n)) )^(-m)…(16)

De (15) hemos logrado que:

b=(a^(1/(-n)) )^(-m)=〖(a^m)〗^(1/n)=(a^(-m) )^(1/(-n))…(17)

Reservemos esta ecuación, de (17) sea x tal que:

x=a^(1/(-n))…(18)

Por definición de potencia fraccionaria:

x^(-n)=a

Elevando a la -m:

(x^(-n) )^(-m)=a^(-m)

Por conmutatividad de exponentes:

(x^(-m) )^(-n)=a^(-m)

Como n es impar, -n también lo es, por definición de potencia racional, resulta:

x^(-m)=a^((-m)/(-n))

x^(-m)=a^(m/n)

De (18), tenemos:

(a^(1/(-n)) )^(-m)=a^(m/n)

Si lo comparamos con (17), probamos que:

a^(m/n)=〖(a^m)〗^(1/n)…(19)

Falta probar que a^(m/n)=〖(a^(1/n))〗^m, tenga en cuenta que n es impar, sea x tal que:

x=a^(1/n)…(20)

Elevando a la m:

x^m=(a^(1/n) )^m…(21)

Reservando la ecuación, de (21), por definición de potenciación fraccionaria en (20):

x^n=a

Elevando a la m:

(x^n )^m=a^m

Por conmutatividad:

(x^m )^n=a^m

Como n es impar, por definición de potencia racional:

x^m=a^(m/n)

Comparando con (21), finalmente probamos que:

a^(m/n)=(a^(1/n) )^m

Te dejo como ejercicio para cuando n es par, m impar y a>0  lo que implica que b>0, pero ten por seguro que en próximas actualizaciones presentaremos esta demostración para no dejarte con la duda.

Teorema 12

Sea  n  un número entero y dos números reales  a  y  b≠0 , se cumple que:

a^(1/n)/b^(1/n) =(a/b)^(1/n)

Con la condición de que  a  y  b  son positivos si  n  es par.

Demostración:

Del teorema 10, en lugar de b, lo remplazaremos por b^(-1), tenemos:

a^(1/n)⋅(b^(-1) )^(1/n)=(ab^(-1) )^(1/n)

a^(1/n)⋅(b^(-1) )^(1/n)=(a/b)^(1/n)

Por el teorema 11, donde (x^m )^(1/n)=〖(x^(1/n))〗^m, resulta:

a^(1/n)⋅(b^(1/n) )^(-1)=(a/b)^(1/n)

Por definición de exponente negativo:

a^(1/n)⋅1/b^(1/n) =(a/b)^(1/n)

a^(1/n)/b^(1/n) =(a/b)^(1/n)

Quedando demostrado el teorema, en base a esto, se manifiesta el siguiente corolario.

Corolario: raíz de un cociente

Sea  n  un número natural mayor que 1 y dos números reales a y b, se cumple lo siguiente:

√(n&a)/√(n&b)=√(n&a/b)

Con la condición de que a y b son dos números reales positivos si n es par.

Ahora realizaremos algunos ejemplos para indicar algunos puntos importantes, explicamos anteriormente sin definir que para enteros pares m y n debe escribirse para un real a cualquiera que:

x=|a|^(m/n)

Sin embargo, esta expresión no es correcta, sea la ecuación:

x^n=a^m

Por definición de solución enésima:

|x|=(a^m )^(1/n)

Si n y m son enteros pares simultáneos y como ya vimos en los ejemplos anteriores justo después de corolario de raíz de un producto, la manera correcta de escribir la expresión (a^m )^(1/n) es así |a|^(m/n), quedando de esta manera ecuación:

|x|=|a|^(m/n)

El color rojo indica que es una potenciación no definida y es lo que pretendemos definir ahora mismo.

Definición de solución racional

Sea a y b dos números reales y dos enteros m y n tal que b^n=a^m, definimos la solución racional tal que cumple las siguientes condiciones:

  • a^(m/n)=b si a^(m/n)  define una potenciación racional.
  • |a|^(m/n)=|b|, si m y n son pares.

Con esta definición, te presento el siguiente teorema.

Teorema 13

Sean a y b dos números reales y dos enteros pares tal que b^n=a^m, se cumple que:

  • (a^m )^(1/n)=|a|^(m/n), donde n≠0.
  • (a^(1/n) )^m=a^(m/n), si a>0.

Demostración:

CASO 1: Sea b^n=a^m, si n y m son pares, por definición de solución racional, tenemos:

|b|=|a|^(m/n)…(σ^*)

Volviendo a la ecuación b^n=a^m, por definición de solución enésima (no confundir con solución racional), resulta:

|b|=(a^m )^(1/n)

Comparando con (σ^*), demostramos que:

(a^m )^(1/n)=|a|^(m/n)

Quedando probado el caso 1.

CASO 2: Para este caso, partiremos de lo demostrado en el caso 1.

(a^m )^(1/n)=|a|^(m/n)

Primero probemos para cuando m es un entero positivo, por definición de potenciación natural:

⏟((a⋅a⋅a…a) )┬(m veces)^(1/n)=|a|^(m/n)

Como a es positivo, entonces |a|=a y por el teorema 10:

⏟(a^(1/n)⋅a^(1/n)⋅a^(1/n)…a^(1/n) )┬(m veces)=a^(m/n)

Por definición de potenciación natural:

(a^(1/n) )^m=a^(m/n)

Quedando probado para m positivo. Ahora probaremos para m negativo, partiendo de esta misma ecuación:

(a^m )^(1/n)=|a|^(m/n)

(a^((-m)(-1)) )^(1/n)=a^(m/n)

Por el teorema fundamental de exponente entero:

((a^(-m) )^(-1) )^(1/n)=a^(m/n)

Por el teorema 11:

(a^(-m) )^((-1)/n)=a^(m/n)

(a^(-m) )^(1/(-n))

Como m<0, entonces -m>0, por definición de potenciación natural:

⏟((a⋅a⋅a…a) )┬(-m veces)^(1/(-n))=a^(m/n)

Por el teorema 10:

⏟(a^(1/(-n))⋅a^(1/(-n))⋅a^(1/(-n))…a^(1/(-n)) )┬(-m veces)=a^(m/n)

Por definición de potenciación natural:

(a^(1/(-n)) )^(-m)=a^(m/n)…(α^(**))

Sea x tal que:

x=(a^(1/(-n)) )^(-m)

Tenga en cuenta que si a>0, entonces x>0, por definición de potenciación fraccionaria:

x^(1/(-m))=a^(1/(-n))

x^((-1)/m)=a^((-1)/n)

Por el teorema 11:

(x^(1/m) )^(-1)=(a^(1/n) )^(-1)

Si elevamos a estos dos miembros a la (-1) y aplicamos el teorema fundamental para exponente entero, resulta:

x^(1/m)=a^(1/n)

Como x>0, por definición de potenciación fraccionaria:

x=(a^(1/n) )^m

En (α^(**)), finalmente se demuestra que:

(a^(1/n) )^m=a^(m/n)

Finalizando de esta manera la demostración.

Ejemplo

  •  [(-4)^2 ]^(1/4) =|-4|^(2/4)=4^(1/2)=2
  •  [(-81)^4 ]^(1/4)=|-8|^(4/4)=8

Los teoremas y definiciones ya expuestos son suficientes para demostrar el teorema fundamental

Teorema fundamental de la potenciación para exponente racional (teorema 15)

Sea dos números reales a,b y dos números racionales n y m, si a^na^m  y  definen una potenciación racional, se demuestra que:

  •  a^n⋅a^m=a^(n+m)
  •  (a^n )^m=a^nm
  •  (ab)^n=a^n b^n

Demostración:

CASO 1: deseamos probar a^n⋅a^m=a^(n+m), sea n=p/q y m=r/s, entonces:

a^(p/q)⋅a^(r/s)=a^(p/q+r/s)

Como los términos a^n y a^m son potenciaciones racionales, probemos primero para un q y s impar, se cumple lo siguiente:

a^(p/q)⋅a^(r/s)=a^(ps/qs)⋅a^(qr/qs)

Por el teorema 11:

a^(p/q)⋅a^(r/s)=(a^ps )^(1/qs)⋅(a^qr )^(1/qs)

Por el teorema 10:

a^(p/q)⋅a^(r/s)=(a^ps⋅a^qr )^(1/qs)

Por el teorema fundamental para exponentes enteros:

a^(p/q)⋅a^(r/s)=(a^(ps+qr) )^(1/qs)

Por el teorema 10, queda probada el teorema:

a^(p/q)⋅a^(r/s)=a^((ps+qr)/qs)=a^(p/q+r/s)

Ahora probaremos para el caso donde q y s son pares cuando p y r es son impares con la condición de que a>0.

No podemos usar la misma lógica del caso anterior ya que encontramos en el proceso de prueba números racionales con dividendo y divisor enteros pares donde tendremos que implicar el valor absoluto por definición de solución racional, sin embargo, como a>0, felizmente podemos omitir el valor absoluto del desarrollo.

Sea x e y tal que:

x=a^(p/q)∧y=a^(r/s)…(**)

Como a>0, también lo son x>0 y y>0, por definición de potenciación racional:

x^q=a^p∧y^s=a^r

Elevando a la s y q de la siguiente manera:

(x^q )^s=(a^p )^s∧(y^s )^q=(a^r )^q

Por el teorema fundamental de exponente entero:

x^qs=a^ps∧y^qs=a^rq

Multiplicando:

x^qs y^qs=a^ps⋅a^rq

Por el teorema fundamental de exponente entero:

(xy)^qs=a^(ps+rq)

Como qs es par, por la definición solución racional:

|xy|=|a|^((ps+rq)/qs)

Felizmente xy y a son positivos, resulta:

xy=a^((ps+rq)/qs)=a^(p/q+r/s)

De (**), demostramos que:

a^(p/q)⋅a^(r/s)=a^(p/q+r/s)

Falta probar para cuando p/q  es tal que q sea impar y r/s  es tal que s  par, r impar y C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1556.png, te lo dejo como ejercicio.

CASO 2: Probaremos (a^n )^m=a^nm para cuándo n y m son fracciones, sea n=p/q  y m=r/s, y sea x tal que:

x=(a^(p/q) )^(r/s)…(***)

Supongamos que p/q y r/s tal que q y s sean impares.

Por el teorema 11:

x=(((a^p )^(1/q) )^r )^(1/s)

De nuevo por el teorema 11:

x=(((a^p )^r )^(1/q) )^(1/s)

Por el teorema fundamental de exponente entero y por el teorema 10:

x=(a^pr )^(1/qs)

Otra vez el teorema 11:

x=a^(pr/qs)

x=a^(p/q⋅r/s)

De  (***), se cumple:

(a^(p/q) )^(r/s)=a^(p/q⋅r/s)→(a^n )^m=a^nm

Quedando demostrado el teorema. Te dejo de tarea probar para cuándo q y s son pares, p y r son impares si a>0 como también cuando q es par, p impar si a>0 y cuando C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1958.png  es impar.

CASO 3: probaremos (ab)^n=a^n b^n si n=p/q, solo demostraremos para q impar, el resto de los casos te lo dejo de tarea, sea  x  tal que:

(ab)^n=(ab)^(p/q)

Por el teorema 11:

(ab)^n=[(ab)^p ]^(1/q)

Por el teorema fundamental de exponente entero:

(ab)^n=[a^p b^p ]^(1/q)

Por el teorema 10:

(ab)^n=(a^p )^(1/q) (b^p )^(1/q)

Por el teorema 11:

(ab)^n=a^(p/q)⋅b^(p/q)

Probamos que:

(ab)^n=a^n⋅b^n

De esta manera queda demostrado el teorema fundamental de exponente racional, antes de pasar para el caso donde el exponente es real, es necesario estudiar las relaciones de orden para potenciación.

Relaciones de orden aplicados a la potenciación:

La razón de estudiar este tema es porque para desarrollar la potenciación con exponentes reales y probar el teorema fundamental para exponente real, usaremos una teoría llamada Principio de los intervalos encajados de Cantor, este principio usa las desigualdades que aun no lo hemos estudiado con la potenciación y es lo que haremos en este momento. Sin más dilación, sea la desigualdad:

0<x<1…(1^*)

Entonces x es positivo, su multiplicamos por x a esta desigualdad, obtenemos:

0<x^2<x

Pero de (1^*), resulta:

0<x^2<x<1

Si volvemos a multiplicar por x por segunda vez, tenemos:

0<x^3<x^2<x<1

Donde podemos sospechar de manera secuencial que se cumple que:

0<x^n<x^(n-1)<x^(n-2)<⋯<x^2<x<1…(2^*)

Concluyendo que:

0<x^n<1…(3^*)

Esto ocurre solo si 0<x<1  y  n un entero positivo. Para matar la sospecha, es preferible probarlo con el principio de inducción, pero no haré este proceso aquí, la prueba lo puedes ver al principio del acordeón.

También notamos que en (2^*), la potenciación x^n se hace cada vez más pequeño a medida que n crece, pero este punto lo veremos luego. Ahora dividiremos a (3^*)  entre x^n, veamos:

0/x^n <x^n/x^n <1/x^n

0<1<x^(-n)

Observe que x^(-n) es mayor que 1, de hecho, se puede probar que x^(-n) crece a medida que el entero positivo n crece indefinidamente (te lo dejo de tarea), de esta manera te presento el siguiente teorema:

Teorema 16

Sea  x  un numero real y un número natural  n , si  0<x<1 , se prueba que:

  •  0<x^n<1
  •  1<x^(-n)

De la desigualdad (2^*) extraemos un fragmento de la desigualdad quedando:

0<x^n<x^(n-1)<1

Multiplicando a todos los miembros por x^(-2n):

0<x^(-n)<x^(-n-1)<x^(-2n)

Las conclusiones anteriores también son importantes para cálculos posteriores, lo cual lo presentaremos como teorema.

Teorema 17

Sea 0<x<1 un número real tal que 0<x<1 y k un número natural, se cumple siempre que:

  1.  0<x^k<x^(k-1)<1
  2.  1<x^(-k)<x^(-k-1)

Del teorema 17 deducimos entonces que dos enteros positivos n y m diferentes de 1 tal que n<m  y un número real x tal que 0<x<1, entonces:

0<x^m<x^n<1

Lo que significa que a medida que n crece, entonces x^n se hace más pequeño y cada vez más próximo a cero. Te presento otro teorema para dos números reales como base.

Teorema 18

Sea a y b dos números reales tal que 0<a<b y un entero positivo n, se cumple:

0<a^n<b^n

Demostración:

De la condición 0<a<b, la dividiremos entre b, resulta:

0<a/b<1

Por el teorema 16:

0<(a/b)^n<1

Por el corolario 1:

0<a^n/b^n <1

Multiplicando por b^n, demostramos que:

0<a^n<b^n

Teorema 19

Sea a y b, dos números reales tal que a<b<0 y entero positivo n, se cumple que:

  • 0<b^n<a^n si n es par.
  • a^n<b^n<0 si n es impar.

Demostración:

Por los teoremas de los axiomas de orden de números reales, al multiplicar por -1 a la desigualdad a<b<0, resulta:

0<-b<-a

Por el teorema 18 para un n entero positivo, resulta:

0<(-b)^n<(-a)^n

Si n es par:

0<b^n<a^n

Si n es impar:

0<-b^n<-a^n

Multiplicado por (-1), finalmente demostramos:

a^n<b^n<0

Ahora estudiaremos la relación de orden con la potenciación fraccionaria, sea la siguiente desigualdad:

0<x^n<x^m<1…(4^*)

Donde x es un número real positivo y dos enteros positivos n y m, por el teorema 17, sabemos que:

m<n

Siempre y cuando 0<x<1. Ahora realizaremos la siguiente estrategia matemática, sea x tal que:

x=y^(1/nm)

Remplazando en (4^*):

0<(y^(1/nm) )^n<(y^(1/nm) )^m<1

Por el teorema 11 y/o teorema 13, resulta:

0<y^(1/m)<y^(1/n)<1

Esto significa que si n se hace cada vez más pequeño, la potenciación y^(1/n) se acerca cada vez más a  0 , si  n  cada vez se hace mas grande, la potenciación y^(1/n)  se acerca más a 1 justificado por la desigualdad m<n.

Ahora probaremos que y cumple también la desigualdad 0<y<1, sabemos que:

0<x<1

Como x=y^(1/nm):

0<y^(1/nm)<1

Por el teorema 16, elevamos a la nm:

0<(y^(1/nm) )^nm<1

0<y<1

Por tanto, con estos resultados, te presento los siguientes teoremas.

Teorema 20

Sea x un número real tal que 0<x<1 y n un entero positivo, entonces:

0<x^(1/n)<1

Teorema 21

Sea x un numero real tal que 0<x<1 y dos enteros positivos n y m tal que n<m, entonces:

0<x^(1/n)<x^(1/m)<1

Del teorema 18 y teorema 20 concluimos que si un entero positivo n se hace cada vez mayor tal que 0<x<1, entonces x^n se hace cada vez más pequeño, esto es, se aproxima más al 0 y si n se hace cada vez más pequeño, entonces x^(1/n) se hace cada vez más grande, esto es, se aproxima más a 1. Veamos otro teorema.

Teorema 22

Sea dos números reales a y b tal que 0<a<b  y n un entero positivo, se cumple:

0<a^(1/n)<b^(1/n)

Demostración:

De la desigualdad 0<a<b, dividiendo por b a cada miembro:

0<a/b<1

Por el teorema 20:

0<(a/b)^(1/n)<1

Por el teorema 12:

0<a^(1/n)/b^(1/n) <1

Probando finalmente que:

0<a^(1/n)<b^(1/n)

Ahora aplicaremos la relación de orden para potenciación racional. Sabemos que de la desigualdad 0<x<1 donde x es un número real se cumple para un entero n positivo que:

0<x^(1/n)<1

Si lo elevamos a un exponente positivo m, resulta:

0<(x^(1/n) )^m=x^(m/n)<1

Con los teoremas de relación de orden para la potenciación fraccionaria y racional, sacamos las siguientes conclusiones:

  • Si m crece o n disminuye lo que significa que m/n crece, entonces f(x) se acerca cada vez más a 0.
  • Si m disminuye o n crece lo que significa que m/n disminuye, entonces f(x) se acerca cada vez más a 1.

Con estos puntos en mente, se establecen otros dos teoremas más:

Teorema 23

Sea  x  un número real tal que  0<x<1  y dos enteros positivos  m  y  n , entonces:

0<x^(m/n)<1

Teorema 24

Sean x un número real tal que 0<x<1 y los enteros positivos n_1n_2m_1 y m_2, tal que m_1/n_1 <m_2/n_2 , entonces:

0<x^(m_2/n_2 )<x^(m_1/n_1 )<1

Demostración:

De la desigualdad m_1/n_1 <m_2/n_2  , se deduce:

m_1 n_2<n_1 m_2

Como m_1 n_2  y  n_1 m_2 son enteros positivos, por el teorema 17, se cumple:

0<x^(n_1 m_2 )<x^(m_1 n_2 )<1

Por el teorema 22, podemos elevar a la 1/n_1 n_2  sin problemas, quedando:

0<(x^(n_1 m_2 ) )^(1/(n_1 n_2 ))<(x^(m_1 n_2 ) )^(1/(n_1 n_2 ))<1

Por el teorema 11 y/o teorema 13, resulta:

0<x^((n_1 m_2)/(n_1 n_2 ))<x^((m_1 n_2)/(n_1 n_2 ))<1

Simplificando, demostramos lo pedido:

0<x^(m_2/n_2 )<x^(m_1/n_1 )<1

Por último, finalizamos este apartado con el siguiente teorema faltante.

Teorema 25

Sea dos números reales  x  e  y  tal que  0<x<y  y dos enteros  m  y  n  positivos tal que:

0<x^(m/n)<y^(m/n)

Demostración:

Su demostración es muy sencilla, partiendo de la desigualdad 0<x<y, del teorema 21, podemos elevarlo a la 1/n, resultando:

0<x^(1/n)<y^(1/n)

Del teorema 18, podemos elevarlo a la m, obteniendo:

0<(x^(1/n) )^m<(y^(1/n) )^m

Demostrando que:

0<x^(m/n)<y^(m/n)

Por fin terminamos con los apartados para exponentes naturales, enteros racionales y las propiedades de relación de orden solo para exponente positivos, aunque llegaríamos a conclusiones similares para exponentes negativos, pero para no alargar la sección de lo que ya es, me centraré únicamente para exponentes positivos para el próximo apartado, te dejo de tarea el análisis del exponente negativo, ahora le toca el turno para exponentes reales, espero te agrade el siguiente apartado.

Potenciación con exponente real

Uno de los inconvenientes al desarrollar la teoría de la potenciación para exponentes reales se hace presente cuando intentamos demostrar la teoría fundamental de la potenciación para este tipo de números, por ejemplo, para 3 números reales xa y b tal que:

x^a⋅x^b=x^(a+b)

El uso de los teoremas anteriores queda insuficiente para estos casos, sin embargo, existe un método para lograr esta hazaña, nos apoyaremos de una teoría llamada “principio de los intervalos encajados”, este principio viene con una serie de propiedades donde por medio de sucesiones de números racionales podemos acercarnos tanto un número especifico que muchas veces suelen ser también números irracionales.

George Cantor fue el que descubrió que existe sucesiones de números racionales que puede acercarse a números irracionales y de esta manera poder definir un número real por medio de aproximaciones de sucesiones racionales.

Ojo: Ten en cuenta que los siguientes apartados serán un poco técnicos, pero te sugiero que le des una leída a este principio en la sección que corresponde, también usaremos el concepto de equivalencia y clase de equivalencia que lo puedes encontrar en la sección de relación de equivalencia.

Definición formal de un número real por intervalos encajados

Sea i∈Z^+ y un segmento encajado I_i∈Q  que define una familia de intervalos encajados de números racionales, existe una clase de clase de equivalencia [I_i ]^x donde I_i converge a x y se le llama número real y se denota así:

x=[I_i]

Sabemos que el intervalo I_i=[q_i,q_i^* ] tiene extremos racionales y a medida que i crece, el intervalo I_i se hace más pequeño hasta converger en un punto  x , como pueden existir diferentes familias de intervalos encajados que pueden converger a  x , conviene representar a todos en un conjunto denotado por [I_i ]^x  cosa que ya indicamos anteriormente en la definición aunque de manera implícita, este conjunto se llama, clase de equivalencia tal que todos sus elementos (que también son otras segmentos encajados convergentes) son equivalentes con I_i.

El segmento encajado I_i=[q_i,q_i^* ] que converge a un número real x significa lo mismo que la igualdad:

q_i≤x≤q_i^*

Y debe suceder lo mismo con todos los elementos del conjunto [I_i ]^x  que son equivalentes a I_i y debe cumplir para todo i∈Z^+. Ahora sea la función:

f(x)=a^x

Donde x es un número real, a debe ser un número real positivo ¿por qué?, supongamos un número racional de la siguiente forma:

a_n=(1+1/n)^n

En el infinito, el valor a_n converge al número de Euler e que es puramente irracional. Pero nos detendremos en los 3 primeros valores n=1n=2 y n=3, entonces:

  •  a_1=(1+1/1)^1=2
  •  a_2=(1+1/2)^2=9/4
  •  a_3=(1+1/3)^3=64/27

Si estos valores resultan ser los exponentes de un número negativo como base, por ejemplo, el número -2, ocurre lo siguiente:

  • (-2)^2 , está definido.
  • (-2)^(9/4) , no está definido.
  • (-2)^(64/27) , está definido.
  • Para  n=4  tampoco está definido.

Por tanto, no se cumple para todos los valores de a_n si tratamos con una base negativa, bajo este inconveniente, debemos definir la base como un número real positivo. De la función potenciación:

f(x)=a^x

Donde a es un número real positivo y x es un número real cualquiera, por la definición formal de números reales, lo podemos escribir así:

f(x)=a^([I_i])

Por cuestiones prácticas, trabajaremos únicamente para exponentes positivos y por ende, para intervalos encajados positivos ya que usaremos las propiedades de relación de orden para números positivos que estudiamos en el apartado anterior, aunque te dejo de tarea el análisis para exponente negativo aplicado a las propiedades de relación de orden y para exponente real negativo, de este último, puedes guiarte para el desarrollo de exponente real positivo que te mostraré en este momento.

Sea el segmento encajado de números racionales I_i=[q_i,q_i^*] que converge a x=[I_i], entonces se cumple:

q_i≤x≤q_i^*

Por el teorema 25, resulta:

a^(q_i )≤y^x≤a^(q_i^* )…(∅^*)

Colocamos y>0 en lugar de a ya que el teorema 25 se cumple solo para exponentes racionales y como x es un número real, no está admitido en el teorema, el propositivo aquí es probar que y=a.

Por el principio de los intervalos encajados, el número real x es único (está demostrado en la sección de este principio) para un intervalo encajado I_i=[q_i,q_i^*] si cumple para todo N∈Z^+ tal que i>N, entonces de la desigualdad (∅^*) se cumple para todo ε_1>0  y ε_2>0 tal que:

y^x-a_i^(q_i )<ε_1∧a^(q_i^* )-y^x<ε_2

Note que las desigualdades de color guinda son positivos según la desigualdad (∅^*). Como q_i y q_i^* son sucesiones que convergen a x siempre y cuando se cumpla para todo N∈Z^+  tal que i>N, resulta que:

y^x-a^x<ε_1∧a^x-y^x<ε_2

Donde q_(i→∞)=x  y q_(i→∞)^*=x, este resultado lo puedes encontrar explicado en el acordeón de la sección del principio de intervalos encajados en la pestaña “algunos conceptos sobre sucesiones”. Despejando y^x y a^x, tenemos:

y^x<ε_1+a^x∧a^x<y^x+ε_2…(∅^(**))

Hay un teorema que dice que para todo ε>0 tal que m≤n+ε ó m<n+ε, se cumple que m=n, la prueba lo puedes encontrar en el acordeón de la sección del principio de los intervalos encajados en la pestaña de “cuantificadores aplicados a las relaciones de orden”.

Aplicando esta propiedad en (∅^(**)), resulta:

y^x=a^x

Por la definición de solución racional, fácilmente se prueba que y=a, demostrando que:

a^(q_i )≤a^x≤a^(q_i^* )

Donde probamos que también a^x  es único (ya que x es único) y cumple para todo N∈Z^+ tal que i>N. Entonces tenemos el siguiente teorema:

Teorema 26

Sea a y x dos números reales positivos tal que x=[I_i]  y donde I=[q_i,q_i^*]  es un segmento encajado convergente de números racionales, entonces para todo i∈Z^+, se cumple:

a^(q_i )≤a^x≤a^(q_i^* )

De este teorema, deducimos el siguiente corolario.

Corolario de existencia

Sea un segmento encajado de números racionales positivos I_i=[q_i,q_i^*]  convergente a un número real x de signo positivo, entonces para todo número real positivo a, existe un único a^x tal que:

a^(q_i )≤a^x≤a^(q_i^* )

Estas propiedades son suficientes para demostrar el teorema fundamental para exponentes reales, te lo anuncio a continuación.

Teorema fundamental de la potenciación para exponente real (teorema 27)

Sean 4 números reales a>0b>0x e y, se cumple las siguientes propiedades:

  •  a^x a^y=a^(x+y)
  •  (a^x )^y=a^xy
  •  a^x b^x=(ab)^x

Con la condición de que si x e y son números racionales, entonces se satisface el teorema fundamental de la potenciación para exponente racional donde a y b no necesariamente son positivos.

Demostración:

CASO 1: comencemos por dos funciones potenciales f(x)=a^x y f(y)=a^y, entonces por el corolario se cumple:

a^(q_i )≤a^x≤a^(q_i^* )

a^(k_i )≤a^y≤a^(k_i^* )

Donde q y k son dos números racionales positivos donde las funciones potenciales a^x y a^y son únicos, ahora como estas desigualdades trabajan con valores positivos, se puede multiplicar tranquilamente miembro a miembro tal que:

a^(q_i )⋅a^(k_i )≤a^x⋅a^y≤a^(q_i^* )⋅a^(k_i^* )

Esta multiplicación es fácilmente demostrable con los axiomas de orden de números reales (inténtalo). Por el teorema fundamental para exponentes racionales, se cumple:

a^(q_i+k_i )≤a^x⋅a^y≤a^(q_i^*+k_i^* )…(∆)

Como q_i+k_i y q_i^*+k_i^* son dos números racionales positivos, el corolario de existencia nos dice que debe existir una función potencial a^z donde z es positivo, tal que:

a^(q_i+k_i )≤a^z≤a^(q_i^*+k_i^* )…(∆^*)

Como a^xa^y y a^z  son únicos, entonces de (∆)  y (∆^*) debe cumplirse que:

a^x⋅a^y=a^z…(∆^(**))

Para probar que z=x+y, procedemos de la siguiente manera, sabemos que:

I_i=[q_i,q_i^*]

J_i=[k_i,k_i^*]

De la definición de suma de intervalos encajados explicada en la sección del principio de intervalos encajados se cumple:

I_i⊕J_i=[q_i+k_i,q_i^*+k_i^*]

El teorema 5 de la sección de este principio (visitar sección), dice que si I_i converge a x y J_i converge a C:\Users\sergi\Desktop\potenciacion\Potenciación_archivos\image1598.png, entonces la suma I_i⊕J_i converge a x+y  y es único, por tanto, debe cumplirse que:

q_i+k_i≤x+y≤q_i^*+k_i^*

Por el teorema 26 y una base real positiva a, se cumple:

a^(q_i+k_i )≤a^(x+y)≤a^(q_i^*+k_i^* )

Como a^(x+y) es único, entonces de (∆^*), resulta:

a^z=a^(x+y)

De la ecuación (∆^(**)), demostramos finalmente que:

a^x⋅a^y=a^(x+y)

CASO 2: Ahora probaremos el segundo teorema fundamental, sea f(x)=(a^x )^y  donde a es un número real positivo y dos números reales x e y positivos, debemos probar que (a^x )^y=a^xy.

Por definición x=[I_i]  y y=[J_i] donde I_i=[q_i,q_i^*]  y J_i=[k_i,k_i^*], se cumple la siguiente desigualdad:

a^(q_i )≤a^x≤a^(q_i^* )

Elevando a la k_i y k_i^* por separado y según el teorema 25, obtenemos las siguientes desigualdades:

(a^(q_i ) )^(k_i )≤(a^x )^(k_i )≤(a^(q_i^* ) )^(k_i )∧(a^(q_i ) )^(k_i^* )≤(a^x )^(k_i^* )≤(a^(q_i^* ) )^(k_i^* )…(∋)

Reserve la desigualdad de color guinda. Sabemos que del intervalo J_i=[k_i,k_i^*]  implica que k_i≤k_i^*, entonces para cualquier número real a^x, se cumple por el teorema 25 que:

(a^x )^(k_i )≤(a^x )^(k_i^* )

Por el corolario de existencia, existe una potenciación (a^x )^y, cumpliéndose:

(a^x )^(k_i )≤(a^x )^y≤(a^x )^(k_i^* )

Ya que el intervalo encajado [k_i,k_i^*] converge a y. De la desigualdad (∋) se cumple:

(a^(q_i ) )^(k_i )≤(a^x )^(k_i )≤(a^x )^y≤(a^x )^(k_i^* )≤(a^(q_i^* ) )^(k_i^* )

Omitiremos los términos (a^x )^(k_i )  y (a^x )^(k_i^* )  ya que no lo necesitaremos más en nuestra desigualdad, reduciéndose a:

(a^(q_i ) )^(k_i )≤(a^x )^y≤(a^(q_i^* ) )^(k_i^* )

Como x e y son únicos, entonces (a^x )^y  también es único, por el teorema fundamental de exponentes racionales se cumple:

a^(q_i k_i )≤(a^x )^y≤a^(q_i k_i^* )…(°)

Por definición de multiplicación para dos intervalos encajados (ver sección) I_i=[q_i,q_i^* ]  y J_i=[k_i,k_i^* ]  simbolizado por [q_i,q_i^* ]⊙[k_i,k_i^* ] tal que:

[q_i,q_i^* ]⊙[k_i,k_i^* ] ={■([q_i k_i,q_i^* k_i^* ]⇔(q_i>0∧k_i>0),∀i∈Z^+@[q_i^* k_i^*,q_i k_i^* ]⇔(q_i^*<0∧k_i^*<0),∀i∈Z^+@[k_i q_i^*,q_i k_i^* ]⇔(0<q_i∧k_i^*<0),∀i∈Z^+@[k_i,k_i^* ]⇔[k_i,k_i^* ]≈[-1/n,1/n] )┤

Donde el símbolo ≈ representa a la relación de equivalencia entre dos intervalos. No te preocupes, no volverás esta monstruosidad de ecuación más adelante, pero como estamos trabajando únicamente para exponentes reales positivos e intervalos racionales positivos, entonces el producto [q_i,q_i^* ]⊙[k_i,k_i^* ] se reduce a:

[q_i,q_i^* ]⊙[k_i,k_i^* ]=[q_i k_i,q_i^* k_i^* ]

De esta definición existe un teorema que dice que si [q_i,q_i^* ]  converge a x y [k_i,k_i^* ] converge a y, entonces el producto [q_i k_i,q_i^* k_i^* ] converge a xy, por el corolario de existencia implica que para un número real a, existe una potenciación a^xy, tal que:

a^(q_i k_i )<a^xy<a^(q_i^* k_i^* )

Como el principio de intervalos encajados dice que xy es único, entonces a^xy  es único, por tanto, de la desigualdad (°), demostramos que:

(a^x )^y=a^xy

CASO 3: Por último, demostraremos ahora la propiedad (ab)^x=a^x b^x para cuando ab y x son números reales positivos. Sea x=[I_i] donde I_i=[q_i,q_i^*] es un intervalo de racionales positivos, entonces para dos números reales positivos a y b se cumple:

a^(q_i )≤a^x≤a^(q_i^* )∧b^(q_i )≤b^x≤b^(q_i^* )

Por los axiomas de las propiedades de orden de números reales, es demostrable la siguiente multiplicación si a es positivo, entonces:

a^(q_i ) b^(q_i )≤a^x b^x≤a^(q_i^* ) b^(q_i^* )

Por el teorema fundamental para exponentes racionales, se cumple:

(ab)^(q_i )≤a^x b^x≤(ab)^(q_i^* )…(±)

Por el corolario de existencia para un real positivo ab donde [q_i,q_i^*]  converge a x, se cumple:

(ab)^(q_i )≤(ab)^x≤(ab)^(q_i^* )

Si x es único para el intervalo encajado [q_i,q_i^*], entonces a^x b^x también es único, pero como (ab)^x también es único, de (±), demostramos fácilmente que:

a^x b^x=(ab)^x

De esta manera, demostramos el teorema fundamental para exponentes de números reales. También podemos probar para exponentes negativos, pero llegaríamos a los mismos resultados, te lo dejo como ejercicio estos pasos ya que no quiero extender más la teoría, fin.

Referencias

  • De los números naturales a los complejos – Los números naturales | Dr. Matías Graña, Dra. Gabriela Jeronimo, Dr. Ariel Pacetti, Dra. Alejandra P. Jancsa, Dr. Alejandro Petrovich.
  • Matemática básica – Inducción matemática | Ricardo Figueroa Garcia.
  • Análisis matemático Vol. 1 – Inducción matemática | Norman B. Haaser, Joseph P. La Salle, Joseph A. Sullivan.
  • Algebra y trigonometría con geometría analítica | Louis Leithold

Gracias por llegar hasta aquí, si que ha sido una larga sección y espero que te halla gustado el tema y lograr encontrar la respuesta a las pruebas del teorema fundamental para exponentes reales.

La teoría de la potenciación se puede demostrar usando sucesiones de Cauchy, ya que el principio de los intervalos encajados en lo personal, resulta tedioso y repetitivo, digo repetitivo ya que un intervalo encajado trata con dos sucesiones de Cauchy cuando solo basta con uno solo, sin embargo, lo hice por amor a las matemáticas y espero que a ti también.

Las próximas secciones trataremos con temas muchos mas ligeros y digeribles como, el concepto de intervalo, valor absoluto, máximo entero (también llamado parte entera), resolución de ecuaciones e inecuaciones.

Nos vemos en la próxima sección, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
Potenciación Matemática
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2018-09-27T01:14:38+00:00