Demostración Matemática

8. Teoría de la demostración matemática

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Hola amigos, hoy les traigo una nueva entrada y una de las más importantes. Esta sección esta dedicada a la teoría de la demostración matemática donde estudiaremos los fundamentos de la demostración como también sus inconvenientes y paradojas que esta presenta, también resaltaremos una solución indeseable pero aceptado hasta la actualidad.

Demostraciones ambiguas


Desde los advenimientos del análisis matemático, las primeras demostraciones era un poco rudimentarias e inconsistentes, se intento remediar solucionando conceptos que no estaba bien definidos o se pasaban por alto buscando de alguna manera la rigurosidad en el proceso de la demostración.

Lo interesante es que muchas teorías lograron una muy buena consistencia en el proceso de la demostración y los pasos correctos de una prueba con justificaciones matemáticas muy bien definidas (hasta cierto punto).

Este intento de lograr una teoría completa, correcta y consistente se debe a que siempre se era consciente de la falta de rigurosidad de algunas teorías matemáticas con fundamentos no muy convincentes.

Se intentó muchas veces remediar este problema pero siempre aparecían algunos conceptos paradójicos y contradictorios donde obligaba a los matemáticos a replantear sus trabajos, esto es, la formalización estricta de sus teorías, pero este resultaba una serie de inconvenientes como veremos en el siguiente apartado.

El problema de la formalización


Uno de los principales objetivos de una demostración matemática es su formalización y la rigurosidad de una prueba de una propiedad de un objeto matemático bajo una serie de definiciones, axiomas u otras propiedades previamente demostradas.

Sin embargo, la formalizacion de una teoría matemática exigente, hasta incluso obsesiva ha presentado una serie de inconvenientes.

La existencia de lograr una teoría perfecta tuvo un final inesperado, los intento de lograr esta meta impulsiva fracasaron ya que se demostró que no existe una teoría matemática perfecta y esto de sebe gracias al principio de incompletitud de Gödel.

Esto obligó a los matemáticos a tomar intuitivamente ciertos conceptos sin definir como conceptos puramente primitivas (como el concepto de conjunto o el punto geométrico) para reconstruir la matemáticas como hoy lo conocemos.

El desarrollo de las demostraciones matemáticas


En el desarrollo de la teoría de la demostración, entendemos que el acto de demostrar por lo general suele ser lo mas formal posible, sino es así, muchas veces se puede caer en una prueba intuitiva (especulativa) y poco rigurosa.

Esto no indica que la conclusión de las demostraciones matemáticas sean incorrectas, sino la falta de rigor para plantear correctamente las premisas o inferencias y tener una muy buena descripción formal del proceso de la demostración.

Sin embargo, lo que ahora era riguroso, mañana puede ser intuitivo y falta de consistencia, esa es la evolución de las matemáticas.

Por ejemplo, para las demostraciones matemáticas de las derivadas del calculo infinitesimal, es necesario la teoría de limites, sin embargo, el concepto de limite vino después cuando nos limitamos a eliminar los términos infinitamente pequeños o tratarlos como diferenciales sin formalización alguna para nuestra teoría, incluso el concepto de integral fue antes de que la derivada.

Las teorías infinitesimales no se tomaron muy en cuenta desde inicios del siglo XIX, no existían estudios rigurosos para su formalización. Simplemente y en muchos casos son usados de manera informal en el calculo elemental que se estudia en áreas como la física, química, ingeniería, etc.

Pero como el análisis matemático (el aspecto formal del calculo) se buscó interesantes maneras para reducir este inconveniente ya que se podía demostrar los concepto de derivada e integral con la ayuda de las propiedades del axioma del supremo, por poner un ejemplo.

Pero cuando apareció un área que era capaz de formalizar los infinitesimales, me refiero al análisis no estándar, es donde la teoría del análisis matemático resultó una teoría casi formal (por no decir una teoría informal). Por tanto, la demostraciones del análisis no estándar resultó ser una teoría mas formal que el análisis matemático en si mismo.

En las próximas líneas veremos de porque tanto formalismo y porque poner tanto empeño en el rigor matemático para su formalización, pero que a su vez se demostró la imposibilidad de la misma. Comencemos describiendo brevemente los conceptos de deducción e inducción.

Razonamiento deductivo como método de demostración


El método del calculo deductivo es un proceso lógico del razonamiento humano cuando la conclusión se infiere, se prueba, se demuestra gracias a las premisas o antecedentes formuladas.

Por lo general, se piensa que la conclusión se encuentra implícita en las premisas, es por ello que la conclusión siempre es una consecuencia de las premisas.

Si las premisas no son suficientes, es decir, solo son necesarias pero incompletas, la conclusión resulta ser una creencia de suposiciones pero con cierto grado de fundamento, pero teórico. Lo que se suele decir como una idea no descabellada.

Por ejemplo, si \( x \) es igual a \( 2 \), entonces \( x^{2} \) es par. Su demostración es muy sencilla, tan solo reemplazando el valor de \( x \) en \( x^{2} \), nuestro resultado sería \( 4 \) y vemos que este número es divisible por \( 2 \) y se concluye que es un número par.

Las premisas en este caso sería \( x = 2 \) y la conclusión sería \( x^{2} = 4 \), tener en cuenta que en una deducción, se considera el valor de \( x = 2 \) como un resultado general, es decir, se pueden extraer una serie de conclusiones bajo la misma premisa.

Sin embargo, la manera correcta de hacer una deducción es cuando por lo menos existen dos premisas, porque si buscamos la respuesta de algo que no se formuló, por ejemplo \( x = 2 \) no indica que pensemos en \( x^{2} = 4 \), pudo haber sido cualquier otro resultado como \( x^{3} = 8 \), a menos que exista una premisa con la pregunta ¿cuál es el valor de \( x^{2} \) ?, la cosa cambiaría.

Por ejemplo, si decimos que “todos los peruanos son bajos“, y una segunda premisa diga “Sergio es peruano“, se puede concluir bajo estas dos premisas de que “Sergio es bajo“. La conclusión aquí es directa y definitiva, porque nos conduce mentalmente a concluir este tipo de consecuentes.

Por tanto, el método deductivo es directo e inmediato y por lo general se puede sacar muchas, pocas o incluso una conclusión bajo una serie de premisas.

Para el caso de un crimen, necesitas más evidencias, con pocas evidencias puedes sacar muchas conclusiones hipotéticas por demostrar, pero mientras mas evidencias, menos conclusiones hipotéticas podrás procesar.

Es por ello que con estos ejemplos del método deductivo se dice que puedes comenzar de una o más premisas como argumento general a una serie de conclusiones particulares

Es por eso que con el método deductivo es mucho mas simple y directo ya que con tan solo unas cuantas hipótesis probadas, puedes llegar al resultado deseado de manera definitiva.

Razonamiento inductivo como método de demostración


Un ejemplo super sencillo de inducción sería examinar los números naturales múltiplos de 4 y que forma generalizada deberían tener para saber siempre que son múltiplos de 4.

Si analizamos la serie de los números naturales, vemos que cada 4 números contados desde el número 4 son divisibles o múltiplos de 4.

Los números encontrados a medida que vayamos contando los son 4, 8, 12, 16 …, al contar de 4 en 4 y dividimos cada número entre 4, asumimos que los números subsiguientes contados de 4 en 4 serán siempre números múltiplos de 4.

Este es el razonamiento inductivo, debemos tomar muchos casos particulares para lograr un caso general, por lo general, este tipo de casos son aproximaciones porque nunca podremos contar hasta el infinito.

Aunque fácilmente se puede generalizar con la formulación \( 4n \), donde para cualquier valor natural de \( n \), \( 4n \) siempre será múltiplo de de \( 4 \), y es fácilmente comprobable realizando la sencilla operación de división \( \frac{ 4n }{4} = n \), donde se prueba que \( 4n \) es divisible por 4.

Sin embargo, ¿como demostrar que \( n^{3} + 2n \) es múltiplo de \( 3 \)? este resultado puede ser fácilmente demostrado por un teorema sin necesidad de comprobar para cada valor natural de \( n \), ya que su infinitud nos impide realizar esta acción, es por ello que se requiere del llamado principio de inducción matemática.

Gracias a este método, no es necesario probar cada secuencia de valor de \( n \), ya que esta fundamentado en otras propiedades o teoremas como el principio del buen orden y que a su vez este principio se puede demostrar con el método del absurdo.

Si bien, en la inducción matemática existen propiedades especiales para comprobar estas series de números que siguen un ritmo específico, en las ciencias experimentales donde tratamos con objetos reales, se pierde una generalidad absoluta y solo se toma por un supuesto al caso general de todos las premisas particulares.

Como por ejemplo, no se tiene la certeza de cuantas veces debemos demostrar un experimento para que esta sea valida, esto se le llama problema de inducción donde la inducción no puede ser validada. De aquí que se desprende dos métodos inductivos como la inducción débil y fuerte, pero eso es otro tema de estudio.

El siguiente apartado muestra un problema con el razonamiento inductivo, una paradoja muy interesante, veamos.

La paradoja del cuervo


La paradoja del cuervo muestra una contradicción entre la premisa y una conclusión que a nivel de principio de lógica, son meramente equivalentes. Veamos:

La premisa:

  • Todos los cuervos son negros

La conclusión:

  • Todas las cosas no-negras son no-cuervos.

Si la premisa resulta ser verdadera, entonces la conclusión también es verdadera. Esto sería una demostración por deducción y también por inducción si lo analizamos desde otra perspectiva, esto lo explicaré en breve.

Nuestra experiencia nos dice de que si vemos cada vez un cuervos de color negro (esto sería el aspecto inductivo), siempre quedará en nuestra mente de que el cuervo será siempre negro, si por lo largo de nuestras vidas seguimos viendo cuervos negros, asumimos para siempre, que los cuervos serán negros de manera definitiva. Entonces sí la conclusión siguiente es verdadera:

  • Todas las cosas no-negras son no-cuervos.

Se supone que resulta ser verdadera, entonces la proposición original:

  • Todos los cuervos son negros

También tendría que ser verdadera sin necesidad de examinarlo, que una cosa no negra como una manzana, resulta ser un no cuervo, entonces este argumento debe confirmar como una nueva experiencia para que la premisa “todos los cuervos son negros” sea verdadera.

Decimos entonces que una manzana roja es una cosa no negra y por tanto, es un no cuervo, en otras palabras ¿que la proposición “Todos los cuervos son negros” puede ser probablemente más cierta si vemos como experiencia propia y como prueba irrefutable ver una manzana roja que es no-negra?

Y por el principio de inducción, si vemos muchos objetos que no sean negros como la luz blanca, un casaca celeste, un anillo de plata, etc que resulta ser todas ellas cosas no negras donde resulta ser cierta, por tanto, debería reforzar la creencia de que “todos los cuervos son negros” sea verdadera.

¿Ven la inconsistencia?, esta paradoja fue propuesta por el filósofo alemán Carl Hempel ilustrando un grave problema del razonamiento inductivo, también se le conoce como la paradoja de Hempel y este es uno de los inconvenientes del razonamiento inductivo, pero existen otras paradojas mas con este razonamiento, veamos.

Sherlock Holmes y el problema de la infinitud


Cuando han sido descartadas todas las explicaciones imposibles, la que queda, por inverosímil que parezca, tiene que ser la verdadera”, palabras de Sherlock Holmes.

Naturalmente podemos ver que es una estrategia de investigacion muy razonable, pero llevado al campo de la lógica matemática a un nivel mas estricto resulta ser contradictorio y fuera de lugar.

Supongamos el caso de un niño asesinado en un cuarto de un quinto piso donde podemos ver al niño boca abajo. Observando el crimen detenidamente (caso hipotético), podemos ver que dentro del cuarto, hay artículos como un sofá, una silla, una televisión, una estufa, encontramos también pastillas para el dolor, un zapato que según la apariencia parece ser que es usado por una persona de la tercera edad.

Vemos que el niño tiene el rostro con algunas mordidas, la muñeca izquierda le huele a alcohol y una serie de evidencias donde se puede sacar conclusiones no muy concluyentes ya que siempre se necesita mas datos de lo habitual como cualquier caso de criminalistica.

Todas las preguntas que se formulan sospechosamente siempre tiene relación con todas las evidencias del caso, sin embargo, llevado esto a la lógica matemática puramente estricta y tomando en cuenta cuando Sherlock dice “Cuando han sido descartadas todas las explicaciones imposibles“, la frase “todas esas explicaciones imposibles” o explicaciones que al final no llegaron ser concluyentes en el caso y por último, ser descartados, para la lógica estricta cualquier explicación imposible puede ser cualquier cosa incluso que no esté relacionada con el caso, es decir, una explicación imposible o descartado puede ser algún evento que ocurrió en el satélite Ganímedes del Planeta Júpiter.

Intuitivamente sabemos que cualquier evento que ocurra en el satélite Ganímedes, no tiene nada que ver con el caso del niño muerto, pero ello no descarta que también es considerado como explicación imposible para este caso porque que resulta ser valida.

Esto significa que podemos tomar infinitos sucesos que no tengan nada que ver con el caso del niño muerto en el cuarto y ser considerado una explicación imposible para resolver dicho caso, en conclusión, se puede descartar infinitos casos imposibles para resolver el caso.

Y aun así, nunca acabar en resolver el caso planteado y no lograr averiguar realmente quien asesinó al niño o si resultó ser un suicidio o un accidente.

De cualquier forma, la paradoja muestra que demostrar la teoría usando de manera indirecta cambiando la equivalencia de la proposición planteada, resulta ser muy poco fiable.

La necesidad de tener una teoría más formal


Volviendo a la teoría de las demostraciones matemáticas, estas son solo una simple herramienta más para muchos ingenieros, físicos, químicos, economistas, etc.

Sin embargo, para las matemáticas resultó ser un área muy delicado porque comenzaron aparecer una serie de paradojas como la de Hempel y como la teoría de conjuntos desarrollado por  Georg Cantor cuando se tuvo que desarrollar aquellos objetos matemáticos de lo infinitamente grande.

Cuando Cantor publico su teoría de conjuntos, se encontraron con unos pequeños problemas lógicos en cuando su formalización y una de ellas fue:

\[ \mathbb{R} = \left \{ x|x \notin \mathbb{R}  \right \} \]

Esta contradicción se le conoce como la paradoja de Russell, y nos dice que existe un elemento \( x \) que pertenece a \( \mathbb{R} \), tal que \( x \) no pertenece a \( \mathbb{R} \), lo cual es paradójico y contradictorio.

Este tipo de ejemplos paradójicos como también innumerables teorías donde se toparon con múltiples contradicciones, fue llamado la crisis funcional de las matemáticas que generaba acalorados debates al intentar solucionar este tipo de incertidumbres.

David Hilbert intentó resolver estos problemas junto con sus colaboradores una teoría que sea lo más formal posible, evadiendo toda contradicción e incertidumbre. Ya con su teoría completa, se creía o por lo menos se esperaba que la teoría no cayera en contradicciones.

Pero vino Gödel y lo estropeó todo


Pero apareció Gödel y tumbo la teoría de Hilbert y esto es gracias a los teoremas de incompletitud de Gödel, pero incluso antes de estos teoremas, al intentar formalizar las teorías matemáticas como en el caso de la teoria de numeros, resultó ser un trabajo donde el mismo Gödel era participe y creían en una teoría consistente y perfecta para demostraciones futuras y bien formalizadas.

Sin embargo, cada vez parecía que dichas teorías se resisten a buscar una teoría perfecta de las matemáticas. Pero Gödel formuló una teoría chocante, donde tumbó por completo las teorías puramente formales y fuera de contradicciones con una teoría capaz de resonar en las mentes de todos los matemáticos.

Podríamos decir que la teoría de Gödel en el área de las matemáticas era como la famosa expresión  de Sócrates que decía “Solo sé que nada sé”, donde existía una conjetura, una contradicción, donde si Sócrates sabía una sola cosa y al mismo tiempo no sabía nada. En vista esta conjetura, no se podía demostrar si Sócrates sabía o no algo, por lo visto, una referencia no se puede demostrarse por si misma.

Los matemáticos intentaron buscar que toda teoría y sobre todo, las teorías axiomáticas sean libre de toda contradicción. Aquí Gödel se da cuenta de la contradicción, porque para que un axioma esté libre de contradicciones, debe existir un argumento o antecedente lógico no demostrables (otros axiomas ) que indique que dicho axioma no contradice nada, ni así misma, ni a otros axiomas.

Argumento suficiente para demostrar prácticamente que un axioma deja de ser axioma por tener un antecedente o argumento que mencione que dichas contradicciones no existen.

Pero para ser mas exactos, Gödel demostró que si dichos axiomas podían crear un sistema matemático en base a estos axiomas, este sistema era incapaz de demostrar que tales axiomas eran correctas o factibles en si mismas. Algunos puntos de este subtítulo viene de esta referencia.

Por tanto, una conclusión de un sistema deductivo no se puede demostrar que lo verdadero sea “verdadero o falso” y lo falso sea “falso o verdadero”. En definitiva, Gödel, dio un golpe bajo a los matemáticos de los cuales, incluso hasta los nuevos no serán capaces de superarlo y esto lo hizo con el principio de incompetitud de Gödel, un principio que muy complejo de explicar pero que lo veremos en otra oportunidad.

Punto final

Por fin, llegamos al final de esta sección, espero que no les haya resultado muy pesada. Quería mostrarle una impresión diferente sobre la teoría de la demostración y porque las matemáticas intenta formalizar tales teorías.

La formalización de una teoría matemática no logró tal perfección porque al intentar ser estricto, se encontramos con múltiples incongruencias cuando se formularon nuevas teorías axiomáticas para no caer en tales contradicción. 

Por lo visto, gracias a las teorías de Gödel, vimos la imposibilidad de encontrar una teoría perfecta y completa como base para otras teorías matemáticas.

Para la próxima entrada, veremos de que manera combinar múltiples conectivos lógicos con ayuda a los signos de agrupación, porque sin ellos, encontraremos resultados ilógicos e inconsistentes.

Y eso es todo amigos, espero que sigan cada una de mis publicaciones de lógica proposicional, nos vemos en la próxima entrada, gracias, bye.

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Teoría de la demostración matemática
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Teoría de la demostración matemática
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La teoría de las demostraciones matemáticas (o teoría de la prueba) es una rama de la matemática que trata a las demostraciones como objetos formales.
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