Hola amigos, esta es la sección 9 de lógica y vamos a tratar el tema de los signos de agrupación en el curso de lógica proposicional, aunque la manera correcta debería ser símbolos de agrupación.

Los signos de agrupación sirven para no caer en ambigüedades cuando realizamos muchas combinaciones de proposiciones y conectivos lógicos, esto obliga simbólicamente a definir una jerarquía en las proposiciones y el orden de como debe de desarrollarse un esquema molecular cuando tratamos con las tablas de verdad.

También explicaremos todas combinaciones posibles de los valores de verdad para mas de dos proposiciones cualesquiera de una proposición general o matriz. Comencemos.

Correcta escritura de los argumentos lógicos


La lógica matemática, el objetivo primordial es buscar el correcto orden de los argumentos, es por ello que va por fases, una de ellas es la mas básica, es decir, la lógica proposicional donde se centra en la estructura de las proposiciones solo por medio de los conectivos lógicos.

Este tipo de lógica toma los argumentos y los simboliza de manera muy general estudiando una estructura básica de estas, es decir, toma en cuenta su relación sintáctica entre las proposiciones por medio de los conectivos lógicos (en otras palabras, no interesa el significado de una proposición, solo su valor de verdad).

En otras palabras, simbolizar los enunciados significa transformar la estructura de los argumentos en el lenguaje de los símbolos.

Esto ayuda a tener una visión más general del comportamiento de las proposiciones, pero no explica la estructura de cada proposición, es decir, no se toma en cuenta los argumentos propiamente dicho antes de visualizarlos.

Para un estudio más detallado de los argumentos, debe consultarse un curso de lógica de primer orden o lógica de predicados.

Si un argumento es correctamente escrito, a nivel simbólico debe considerarse también la simbolización de las restricciones de un argumento para saber que hace que un argumento se encuentre muy bien escrito, este tipo de orden en lógica se les llama formulas bien formadas.

Por lo general en un curso de lógica proposicional estas restricciones están determinadas por los signos de agrupación, conectivos lógicos y variables proposicionales.

Los signos de agrupación


Los signos de agrupación son un conjuntos de símbolos especiales (paréntesis, corchetes, llaves) con la finalidad de realizar simple agrupaciones de proposiciones (variables proposicionales) junto con los conectivos lógicos, pero son infinitamente necesarias para no caer en ambigüedades cuando intentamos combinar los conectivos lógicos con otras variables proposicionales. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

La proposición:

  • Si mañana deja de llover, iré de compras y visitaré a mi madre.

Si observan bien esta proposición, el antecedente es:

  • Mañana deja de llover.

Le llamaremos proposición \( p \), luego, el consecuente de la proposición es:

  • Iré de compras y visitaré a mi madre

Esta última es una conjunción y puede escribirse como \( q \wedge r \). Para que \( q \wedge r \) se cumpla donde \( q \) es “iré de compras” y \( r \) es “visitaré a mi madre“, tiene que ocurrir la proposición \( p \) que resulta ser nuestro antecedente escribiéndose de la siguiente manera:

  • \( p \rightarrow ( q \wedge r ) \)

Esta es la manera correcta de escribir una proposición compuesta con más de 2 proposiciones simples, aunque no necesariamente deberían de ser simples.

El ejemplo anterior sirve para ilustrar la manera correcta de escribir lo que comúnmente se llama esquema molecular con los conectivos lógicos anteriormente ya definidos.

Si un fragmento de un esquema molecular se encuentra con signos de agrupación como pueden ser corchetes, paréntesis, llaves, entonces se debe de calcular primero los valores de verdad del fragmento de proposición encerrado por los signos de agrupación.

Si el siguiente esquema \( p \rightarrow ( q \wedge r ) \) se escribiera quitando los paréntesis quedando \( p \rightarrow q \wedge r \), no se podría saber si primero debe calcularse los valores de verdad de \( p \rightarrow q \) o de \( q \wedge r \)  ya que la validez de \( p \rightarrow ( q \wedge r ) \) y \( ( p \rightarrow q ) wedge r \) en una tabla de verdad son completamente diferentes. Es por ello la importancia de los signos de agrupación.

Proposiciones combinadas


¿Cuantos valores de verdad tiene una proposición?, naturalmente dos, estos son:

\( p \)
\( V \)
\( F \)

¿Pero cuántas combinaciones de todos los valores de verdad se pueden encontrar de dos proposiciones \( p \) y \( q \)?, esto se puede ver en una sencilla tabla de verdad sin conectivos lógicos:

 \( p \) \( q \)
\( V \) \( V \)
\( V \) \( F \)
\( F \) \( V \)
\( F \) \( F \)

Con dos proposiciones, tenemos 4 combinaciones posibles de los valores de verdad de dos proposiciones. ¿Y para 3 proposiciones?, la tabla sería de la siguiente manera:

\( p \) \( q \) \( r \)
\( V \) \( V \) \( V \)
\( V \) \( V \) \( F \)
\( V \) \( F \) \( V \)
\( V \) \( F \) \( F \)
\( F \) \( V \) \( V \)
\( F \) \( V \) \( F \)
\( F \) \( F \) \( V \)
\( F \) \( F \) \( F \)

Las combinaciones de 3 proposiciones diferentes nos da como resultado 8 posibles combinaciones de los valores de verdad de las mismas.

Si observamos todas las combinaciones de los valores de verdad y la relación que tiene con el número de proposiciones existentes, encontramos un comportamiento fácil de detectar:

  • \( 1 \) proposición, tenemos \( 2^{1} \) combinaciones posibles.
  • \( 2 \) proposiciones, tenemos \( 2^{2} \) combinaciones posibles.
  • \( 3 \) proposiciones, tenemos \( 2^{3} \) combinaciones posibles.

por generalidad, podemos concluir de manera inductiva que:

  • Para \( n \) proposiciones, tenemos \( 2^{n} \) combinaciones posibles.

Esta fórmula se puede demostrar por el principio de inducción en un curso de teoría combinatoria. Lo veremos en su momento en un curso de inducción matemática.

Jerarquía de signos de agrupación de los esquemas moleculares


Para calcular la validez de un esquema molecular, hay que tener en cuenta siempre la existencia de un operador principal, es decir, un conectivo lógico principal donde se calculará finalmente la validez de la proposición matriz.

Vayamos con un ejemplo para explicar las diferentes tablas de verdad para diferentes esquemas moleculares, de esta manera sabrás como agrupar correctamente los conectivos lógicos junto con las proposiciones simbólicas.

Ejemplo de la jerarquía de los signos de agrupación

Si deseamos calcular todas los valores de verdad en una tabla de verdad de la siguiente fórmula proposicional:

\[ p \wedge ( q \rightarrow p ) \]

Debemos saber todos los posibles valores de verdad de \( p \) y de \( q \rightarrow p \), de aquí, el símbolo conjuntivo \( wedge \) es de mayor jerarquía y esto es así porque fue restringido por los signos de agrupación de nuestra fórmula proposicional.

Primero necesitamos calcular todos los valores de verdad de \( q \rightarrow p \) y como estamos tratando con dos proposiciones, entonces trabajaremos tan solo con \( 2^{2} = 4 \) combinaciones posibles de los valores de verdad de \( p \) y \( q \), nuestra tabla quedaría así.

\( p \) \( q \) \( p \wedge ( q \rightarrow p ) \)
\( V \) \( V \) \( \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{V} \ \ \) 
\( V \) \( F \) \( \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{V} \ \ \) 
\( F \) \( V \) \( \color{red}{F} \ \ \ \ \ \color{blue}{F} \ \ \) 
\( F \) \( F \) \( \color{red}{F} \ \ \ \ \ \color{blue}{V} \ \ \) 
    \( \color{red}{2} \ \ \ \ \ \color{blue}{1} \ \ \) 

El color azul indica que primero tenemos que calcular todos los valores de verdad de \( q \rightarrow p \) con los valores de verdad conocidos de \( p \) y \( q \), luego, los valores de verdad de color rojo indica que ahora tenemos que calcular todos los valores de verdad entre \( p \) y \( q \rightarrow p \) anteriormente calculados.

Del ejemplo ilustrativo anterior, los enumeré con 1 y 2 para indicar que fragmento de la proposición matriz se deben de calcular. El número 1 significa que \( q \rightarrow p \) se calcula primero y 2 significa que se calcula finalmente la conjunción de \( p \wedge ( q \rightarrow p ) \) y cómo la conjunción es la de mayor jerarquía, decimos entonces que \( p \wedge ( q \rightarrow p ) \) es una proposición conjuntiva.

Ahora cambiemos los papeles, de la proposición anterior \( p \wedge ( q \rightarrow p ) \), tomemos a la condicional \( \rightarrow \) con mayor jerarquía, nuestra fórmula proposicional sería \( ( p \wedge q ) \rightarrow p \), diseñemos su tabla de verdad para el nuevo ejemplo:

La tabla de verdad de \( ( p \wedge q ) \rightarrow p \) sería:

\( p \) \( q \) \( ( p \wedge q ) \rightarrow p \)
\( V \) \( V \) \( \color{red}{V} \ \ \ \ \color{blue}{V} \)
\( V \) \( F \) \( \color{red}{F} \ \ \ \ \color{blue}{V} \)
\( F \) \( V \) \( \color{red}{F} \ \ \ \ \color{blue}{V} \)
\( F \) \( F \) \( \color{red}{F} \ \ \ \ \color{blue}{V} \)
    \( \color{red}{1} \ \ \ \ \color{blue}{2} \)

Primero se calcula \( p \wedge q \) ya que es un conectivo lógico de menor jerarquía por los signos de agrupación que le hemos colocado, luego calculamos la condicional de \( ( p \wedge q ) \rightarrow p \)  por ser de mayor jerarquía, los números 1 y 2 indican que conectivo lógico se tuvo que calcular primero.

De estos dos ejemplos, vemos que las fórmulas proposicionales de \( p \wedge ( q \rightarrow p ) \) y de \( ( p \wedge q ) \rightarrow p \) tienen comportamientos distintos, esto indica que el esquema molecular \( p \wedge q \rightarrow p \) sin corchetes es ambigua.

Desarrollo de esquemas moleculares por tablas de verdad


Un esquema molecular puede estar compuestas por muchas proposiciones y conectivos lógicos combinadas que estas tengan, sin embargo, sean cual fuese la combinación, siempre existirá una jerarquía (con algunas excepciones) de algún conectivo lógico.

Dependiendo de la jerarquía de una formula proposicional, esta puede ser una proposición conjuntiva, disyuntiva, etc, incluyendo la negación que tiene la propiedad de cambiar como por ejemplo a una proposición conjuntiva a una disyuntiva.

Y no solo hay una sola jerarquía, un esquema molecular puede contener combinaciones de conectivos lógicos incluida la negación tal que podemos encontrar conectivos de menor a mayor jerarquía. Obviamente siempre se comienza calculando aquellos conectivos lógicos de menor jerarquía hasta llegar a la ultima jerarquía.

Vayamos con un ejemplo más extenso de 3 proposiciones \( p \), \( q \) y \( r \).

Ejemplo de un esquema molecular de 3 variables

Sea el siguiente esquema molecular

\[ ( p \rightarrow q ) \vee ( r \wedge p ) \]

Fíjense que este esquema tiene como mayor jerarquía a una disyunción inclusiva, por tanto, tenemos que resolver primero lo que está encerrado en paréntesis.

Como tenemos 3 proposiciones diferentes, entonces se calculan \( 2^{3} = 8 \) posibles combinaciones de valores de verdad para nuestro esquema. La tabla de verdad quedaría de la siguiente manera:

\( p \) \( q \) \( r \) \( ( p \rightarrow q ) \vee ( r \wedge q ) \)

\( V \)

\( V \)

\( V \)

\( V \)

\( F \)

\( F \)

\( F \)

\( F \)

\( V \)

\( V \)

\( F \)

\( F \)

\( V \)

\( V \)

\( F \)

\( F \)

\( V \)

\( F \)

\( V \)

\( F \)

\( V \)

\( F \)

\( V \)

\( F \)

\( \ \color{blue}{V} \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{V} \)

\( \ \color{blue}{V} \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{F} \)

\( \ \color{blue}{F} \ \ \ \ \ \color{red}{F} \ \ \ \ \ \color{blue}{F} \)

\( \ \color{blue}{F} \ \ \ \ \ \color{red}{F} \ \ \ \ \ \color{blue}{F} \)

\( \ \color{blue}{V} \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{V} \)

\( \ \color{blue}{V} \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{F} \)

\( \ \color{blue}{V} \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{F} \)

\( \ \color{blue}{V} \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{blue}{F} \)

 

 

 

\( \ \color{blue}{1} \ \ \ \ \ \color{red}{2} \ \ \ \ \ \color{blue}{1} \)


Las columnas de los valores de verdad de color azul con el número 1 debajo de cada columna significa que son los primeros conectivos lógicos a calcularse y la columna de valores de color rojo con el número 2, significa que es el siguiente y último a calcularse.

De esta manera, se calcula según la jerarquía de los conectivos lógicos de tales esquemas de todos los valores de verdad posibles que se tengan. Vayamos con otro último ejemplo mas para su mejor comprensión.

\[ \sim ( p \wedge \sim q ) \rightarrow [ q \vee ( r \leftrightarrow p ) ] \]

Calculando todos los posibles valores de verdad, obtenemos que la siguiente tabla de verdad tiene 4 tipos de jerarquías enumerados del 1 al 4:

\( p \) \( q \) \( r \) \( \sim ( p \wedge \sim q ) \rightarrow [ q \vee ( r \leftrightarrow p ) ] \)

\( V \)

\( V \)

\( V \)

\( V \)

\( F \)

\( F \)

\( F \)

\( F \)

\( V \)

\( V \)

\( F \)

\( F \)

\( V \)

\( V \)

\( F \)

\( F \)

\( V \)

\( F \)

\( V \)

\( V \)

\( F \)

\( V \)

\( F \)

\( V \)

\( \color{blue}{V} \ \ \ \ \color{green}{F} \ \ \color{magenta}{F} \ \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{brown}{V} \ \ \ \ \ \color{orange}{V} \ \ \ \ \ \ \)

\( \color{blue}{V} \ \ \ \ \color{green}{F} \ \ \color{magenta}{F} \ \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{brown}{V} \ \ \ \ \ \color{orange}{F} \ \ \ \ \ \ \)

\( \color{blue}{F} \ \ \ \ \color{green}{V} \ \ \color{magenta}{V} \ \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{brown}{V} \ \ \ \ \ \color{orange}{V} \ \ \ \ \ \ \)

\( \color{blue}{F} \ \ \ \ \color{green}{V} \ \ \color{magenta}{V} \ \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{brown}{F} \ \ \ \ \ \color{orange}{F} \ \ \ \ \ \ \)

\( \color{blue}{V} \ \ \ \ \color{green}{F} \ \ \color{magenta}{F} \ \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{brown}{V} \ \ \ \ \ \color{orange}{F} \ \ \ \ \ \ \)

\( \color{blue}{V} \ \ \ \ \color{green}{F} \ \ \color{magenta}{F} \ \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{brown}{V} \ \ \ \ \ \color{orange}{V} \ \ \ \ \ \ \)

\( \color{blue}{V} \ \ \ \ \color{green}{F} \ \ \color{magenta}{V} \ \ \ \ \ \ \color{red}{F} \ \ \ \ \ \color{brown}{F} \ \ \ \ \ \color{orange}{F} \ \ \ \ \ \ \)

\( \color{blue}{V} \ \ \ \ \color{green}{F} \ \ \color{magenta}{V} \ \ \ \ \ \ \color{red}{V} \ \ \ \ \ \color{brown}{V} \ \ \ \ \ \color{orange}{V} \ \ \ \ \ \ \)

 

 

 

\( \color{blue}{3} \ \ \ \ \ \color{green}{2} \ \ \ \color{magenta}{1} \ \ \ \ \ \ \ \color{red}{4} \ \ \ \ \ \ \color{brown}{2} \ \ \ \ \ \ \color{orange}{1} \ \ \ \ \ \ \)

 

Las columnas con el número \( 1 \) son los primeros en calcularse, en este caso son \( \sim q \) y \( r \leftrightarrow p \), luego le sigue la columnas con el número \( 2 \), estas son \( p \wedge \sim q \) y \( q \vee ( r \leftrightarrow p ) \), luego tenemos la columna número 3 como penúltima jerarquía a calcular (\( \sim ( p \wedge \sim q ) \) y por ultimo, calculamos los valores de verdad de la condicional de la columna número 4 de \( \sim ( p \wedge \sim q ) \rightarrow [ q \vee ( r \leftrightarrow p ) ] \).

Con estos dos últimos ejemplos, podemos asegurarnos que los lectores tengan la seguridad de como debemos de calcular los valores de verdad siguiendo estas pautas “lógicas”, de lo contrario, encontraremos situaciones sin ningún sentido “lógico”.

En este último ejemplo se usó corchetes y dentro de ellas unos paréntesis, por lo general las llaves encierran a los corchetes, y los corchetes encierran a los paréntesis, pero esto es sólo convencional, puedes usarlos como quieras.

En cuanto a los signos de agrupación, no todas los esquemas moleculares depende de estos signos, esto lo veremos a continuación.

Algunas Excepciones Con Los Signos De Agrupación


Existen algunas excepciones cuando trabajamos con signos de agrupación, ya que estas mismas resultan ser opcionales en ciertos casos especiales.

Por ejemplo, el esquema molecular \( p \wedge q \wedge r \) no es ambigua y puede escribirse así:

\[ p \wedge q \wedge r = ( p \wedge q ) \wedge r = p \wedge ( q \wedge r ) \]

Si calculamos la tabla de verdad de \( ( p \wedge q ) \wedge r \) y de \( p \wedge ( q \wedge r ) \) resulta que tiene los mismos valores de verdad y en un mismo orden.

También ocurre lo mismo con la disyunción inclusiva y tranquilamente lo podemos escribir así:

\[ p \vee q \vee r = ( p \vee q ) \vee r = p \vee ( q \vee r ) \]

La bicondicional también tiene esta propiedad cuando se usan más de 2 proposiciones a la vez en un esquema molecular, se registra sin contradicciones en el siguiente esquema:

\[ p \leftrightarrow q \leftrightarrow r = ( p \leftrightarrow q ) \leftrightarrow r = p \leftrightarrow ( q \leftrightarrow r ) \]

La disyunción exclusiva también goza de esta propiedad:

\[ p \bigtriangleup q \bigtriangleup r = ( p \bigtriangleup q ) \bigtriangleup r = p \bigtriangleup ( q \bigtriangleup r ) \]

La única que no goza de esta propiedad es la condicional material donde:

\[ ( p \rightarrow q ) \rightarrow r \neq p \rightarrow ( q \rightarrow r ) \]

Por lo que el esquema \( p \rightarrow q \rightarrow r \) es ambigua, por tanto, la conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva y bicondicional cumplen con la propiedad asociativa.

Estas propiedades tan solo son un esbozo de todas las identidades notables que se conocen hasta ahora. Dicho todo lo anterior, sabrás la manera correcta de agrupar proposiciones simbólicamente y  resolver las tablas de verdad de un esquema molecular.

Los Signos En Lógica

En lógica proposicional y en cualquier área de las matemáticas, los signos representan a los significados de los símbolos, los símbolos no tiene significado, solo están representados por caracteres especiales como por ejemplo la negación que sería el signo del símbolo “símbolo de negación “.

 Aquí una tabla de los principales signos lógicos de este curso.

Nombre Signo (significado) Simbolo
Negación No  ~, ¬,
Conjunción y  ∧
Disyunción Inclusiva o
Disyunción Exclusiva O bien …. o bien ∆, ⊻, ↮
Condicional Material Si … entonces ..
Bicondicional Material Si y solo si
Implicación lógica Por tanto
Proposición lógica Argumento aseverativo  p, q, r 
Signos De Agrupación Paréntesis, corchetes, llaves (), [], { }
Verdadero V
Falso F

La simbolización de proposiciones propiamente dicha son únicamente con letras minúsculas \( p \), \( q \) y \( r \), lamentablemente la simbolización no indica qué proposición sea simple o compuesta, un símbolo como por ejemplo \( p \) puede representar un esquema molecular con todos los signos como pueden ser variables proposicionales, conectivos lógicos, paréntesis y propia extenderse a otros símbolos más si tratamos con la lógica de primer orden.

En la sección de proposiciones lógicas mencionó desde un inicio que un signo siempre está representado por un símbolo, lo que entendemos como signo se le llama semántica y como símbolo se llama sintáctica, luego estos caracteres o símbolos deben tener un orden definido para luego comenzar entender todo el álgebra de los esquemas moleculares y sus leyes principales, este orden se llama fórmulas bien formadas, pero de ello lo hablaremos en su momento.

Finalizando

Llegamos al final de la sección de signos de agrupación y jerarquía de los conectores lógicos, espero que les sea una entrada útil y de mucho provecho. Esto sería todo, gracias por llegar hasta aquí, saludos.

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Signos De Agrupación En Lógica Proposicional
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