3. Conjunción Lógica

Hola, como están amigos, de nuevo aquí en esta nueva y tercera sección del capítulo de lógica proposicional. En esta oportunidad discutiremos uno de los primeros conectores lógicos seguida de una definición clara y ejemplos, esto es, la conjunción lógica. Recuerden que la negación lógica no es exactamente un conectivo, esto ya lo expliqué en la sección anterior.

Este conectivo lógico es muy usado en teoría de conjuntos, en especial, en la definición de la intersección de conjuntos, es un conectivo de condiciones ya que debe cumplir ciertos requisitos simultáneamente para considerar el valor de verdad de un argumento. Sin mas, comencemos con la sección.

La conjunción lógica tiene como propiedad sumar condiciones obligatorias por medio del predicado al sujeto, el predicado puede tener muchos juicios de valor como expliqué en la sección de proposiciones, por ejemplo, si queremos que Pablo sea albañil, pero a su vez queremos que Pablo también sea un estudiante, usaremos el conectivo lógico “y“, escribiendo así “Pablo es un albañil y estudiante“.

Desde el punto de vista de una proposición, si se toman en cuenta estas condiciones, también debemos tomar en cuenta los valores de verdad de cada uno de los juicios de valor, para el caso del ejemplo de Pablo, los juicios de valor son “albañil” y “estudiante“, donde el sujeto es “Pablo” y el predicado es “albañil y estudiante

Todo esto nacion de unir dos proposiciones simples “Pablo es albañil” y “Pablo es estudiante” por medio de la conjunción lógica “y” formando una proposición compuesta “Pablo es albañil y estudiante”. Ahora veremos el significado de la conjunción lógica por medio de la siguiente definición, luego pasaremos a los ejemplos.

Definicion de conjuncion lógica

La conjunción lógica con símbolo ∧ es un conectivo lógico que conecta dos proposiciones p y q formando una nueva proposición p ∧ q tal que su valor de verdad resulta ser verdadera si las proposiciones p y q son verdaderas y falsa si por lo menos una proposición es falsa.

Las proposiciones del tipo p ∧ q de ahora en adelante lo llamaremos proposición conjuntiva. En lógica proposicional, omitiremos por lo general el significado de los argumentos de las proposiciones, aunque se usan como ejemplos para explicar la lógica de los conectivos lógicos, lo que impera mas son solo los valores de verdad de las proposiciones y no el significado de los argumentos de las proposiciones ya que es lo único que le importa a la lógica proposicional.

Por tanto, la regla lógica de una conjunción siempre es verdadera si las proposiciones que las conforman siempre son verdaderas en caso contrario siempre es falsa.

Es por eso que el concepto de la conjunción lógica esta relacionada con la intersección en teoría elemental de conjuntos ya que debe cumplir simultáneamente dos condiciones, si no cumple siquiera una condición, entonces no existe intersección, si quieres saber mas de relación entre la intersección y la conjunción lógica, puedes revisar la sección de operaciones de conjuntos.

Ejemplos de conjunción lógica

Sea los siguientes enunciados:

  1. El gato es un felino y la paloma es un ave.
  2. Los iPhone son celulares inteligentes y los fabrica Samsung.

Para el enunciado 1. Se puede desglosar así:

  • El gato es un felino.
  • La paloma es un ave.

Exactamente estas dos proposiciones simples son verdaderas y por la definición de la conjunción lógica, decimos que el enunciado 1 es verdadero, vayamos al siguiente enunciado.

Para el enunciado 2. Lo podemos separar así:

  • Los iPhone son celulares inteligentes.
  • Los iPhone los fabrica Samsung.

La primera proposición simple es verdadera porque un iPhone tiene todas las características de un smartphone que del inglés significa teléfonos inteligentes, pero la segunda es falsa porque los Iphone son fabricados por la compañía multimillonaria Apple y no por Samsung. Por tanto, por la definición de la conjunción lógica, basta que una proposición componente sea falsa para que el enunciado 2 sea completamente falsa.

Los enunciados 1 y 2 de las proposiciones compuestas del ejemplo ilustrativo 2 puede escribirse de la siguiente manera:

  • p ∧ q

Donde el enunciado 1, puede considerarse.

  • p = El gato es un felino. (verdadero)
  • q = La paloma es un ave. (verdadero)

y para el caso del enunciado 2, sería:

  • p = Los iPhone son celulares inteligentes. (verdadero)
  • q = Los iPhone son de Samsung. (falso)

Según la definición de la conjunción lógica el valor de verdad del enunciado 1 sería V(p ∧ q) = V y para el enunciado 2, sería V(p ∧ q) = F.

Tabla de verdad de la CONJUNCIÓN lógica

Con los ejemplos anteriores, queda claro el comportamiento de los conectivos conjuntivos y de estos podemos diseñar una tabla de verdad según la definición de la conjunción lógica para dos proposiciones p y q donde encontraremos 4 combinaciones de sus valores de verdad de p ∧ q.

pqp ∧ q
 VerdaderoVerdadero Verdadero
VerdaderoFalso  Falso 
Falso VerdaderoFalso 
Falso Falso Falso 

Algunas leyes de la CONJUNCIÓN lógica

La conjunción lógica también contempla una serie propiedades pero junto con el negador y el resto de los conectivos lógicos, puedes ver estas propiedades en la sección de las principales leyes lógicas. Pero aquí solo presentaré algunas leyes, veamos:

Sean las proposiciones p, q y r, tenemos:

  • Ley asociativa: p ∧ q ∧ r = p ∧ (q ∧ r).
  • Existencia del elemento neutro: V(p) ∧ V = V(p).
  • Ley conmutativa: p ∧ q = q ∧ p.
  • Existencia del elemento complementario: V( ~ p ∧ p ) = F.

Por mencionar solo algunas.

Otro punto más, la negación de una conjunción no es otra conjunción, esto es la negación de p ∧ q no es ~ p ∧ ~ q, su negación resulta ser equivalente a una proposición unida por una disyunción lógica, esto es ~ (p ∧ q) = ~ p ∨ ~ q, si quieres tener más información entre la relación de la conjunción y disyunción lógica, puedes dirigirte en la sección de la disyunción lógica.

Ejemplos de la CONJUNCIÓN lógica de dos o más proposiciones simples

  • Todos somos libres y felices.
  • Ella es hermosa y deberia ser modelo.
  • Todos son criminales pero con trastorno bipolar.
  • Vamos a la playa y luego a comer.
  • Los perros tienen cola, patas y hocico.

Como podrán ver en estos ejemplos, tanto la la letra “y” como la palabra “pero” e incluso las comas. según sea el contesto, pueden representados por la conjunción lógica, para el ejemplo del perro puede escribirse así p ∧ q ∧ r.

Diferencias del conjuntivo "y" en matemática y la teoría lingüística

El la teoría lingüística existen algunas diferencias en cuanto su definición, por ejemplos, cuando tratamos con oraciones subordinadas formadas por nexos que también la incluyen en el dominio de la conjunción, estos nexos son comocuandoqueporquepara que. Tomemos el ejemplo de la wiki, “dijo que vendría”, el nexo “que” para la lingüística es una conjunción, para este caso, una subordina a otra, la palabra “vendría” subordina a la palabra “dijo”, porque si no vendría (sea quien fuese, cosa que no importa), tal vez no se hubiera dicho (dijo) nada, ¿se entiende este punto?

En cambio, la conjunción en el área de las matemáticas que estamos tratando en la sección actual no tiene ninguna relación semántica entre dos proposiciones unidas por una conjunción lógica del tema que estamos tratando, es decir, no toma en cuenta el significado de los argumentos como en la teoría lingüística, los únicos valores que le importa a la lógica proposicional es el de verdadero o falso.

Pero existen otras variantes mas de la teoría lingüística, por lo general se les llaman a estos enunciados conjunciones, en lógica proposicional simplemente se les llama proposiciones conjuntivas, pero solo hace referencia a la conjunción lógica.

La conjunción en teoría de conjuntos

Los conectivos lógicos pueden construir los aspectos elementales de la teoría de conjuntos, como es la unión, intersección, etc. en este caso, la conjunción lógica en el ámbito de los conjuntos representa a la intersección.

Por ejemplo, si un elemento x se encuentra en el conjunto A simbolizado por x∈A, pero también se encuentra en el conjunto B simbolizado por x∈B, usamos el símbolo de la conjunción lógica “” para indicar que ese encuentra simultáneamente en a A y B, así:

x∈A∧x∈B

Su sinónimo usando el símbolo de intersección “∩“, y se representa así:x∈A∩B

Pero para unificar tanto la conjunción como la intersección en un mismo enunciado, lo escribiremos así:

A∩B={x∈U|x∈A∧x∈B}

Donde U representa el conjunto universo. Gráficamente se representa así:

conjunción lógica en teoría de conjuntos

Si quieres saber mas sobre este operador, visita mi sección de teoría de conjuntos llamado operaciones entre conjuntos.

Fin de la SECCIÓN número 3

De esta manera finalizamos el concepto de la conjunción lógica, la próxima sección discutiremos la disyunción lógica y su variante, la disyunción exclusiva. Y eso es todo amigos, nos vemos en la próxima sesión, bye.

Detalles
Fecha de Revision
Nombre De La Entrada
La conjunción lógica
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2018-08-10T00:47:17+00:00
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