Hola, como están amigos, de nuevo aquí en esta nueva y tercera sección del capítulo de lógica proposicional. En esta oportunidad discutiremos uno de los primeros conectores lógicos junto con una definición clara y algunos ejemplos, esto es, la conjunción lógica.

Es un conectivo lógico muy usado en teoría de conjuntos, en especial, en la definición de la intersección entre conjuntos, se puede decir que es un conectivo de condiciones ya que debe cumplir ciertos requisitos simultáneos para considerar el valor de verdad de un argumento. Vamos a explicarlo mucho mejor en los siguientes apartados.

¿Que es la conjunción lógica?


La conjunción lógica tiene como propiedad sumar condiciones obligatorias por medio del predicado aplicado al sujeto, por ejemplo, si queremos que Pablo sea albañil, pero a su vez queremos que Pablo también sea un estudiante, usaremos el conectivo lógico “y“, escribiendo así “Pablo es un albañil y estudiante“.

En este caso, si se toman en cuenta estas dos condiciones para “Pablo“, también debemos tomar en cuenta los valores de verdad de dichas condiciones.

Es decir, si es verdadero que Pablo sea albañil y también es verdadera que Pablo sea estudiante, por tanto, la proposición “Pablo es albañil y estudiante” también es verdadera.

Ahora veremos el significado de la conjunción lógica por medio de la siguiente definición en base a este ejemplo aclaratorio, luego pasaremos a los ejemplos.

Definición de conjunción lógica

La conjunción lógica con símbolo \( \wedge \) es un conectivo lógico que conecta dos proposiciones \( p \) y \( q \) formando una nueva proposición \( p \wedge q \) tal que su validez resulta ser verdadera si las proposiciones \( p \) y \( q \) son verdaderas y falsa si por lo menos una de estas proposiciones son verdaderas.

Las proposiciones del tipo \( p \wedge q \) de ahora en adelante lo llamaremos proposición conjuntiva. En lógica proposicional, omitiremos por lo general el significado de los argumentos de las proposiciones, aunque se usan como ejemplos para explicar la lógica de este conectivo, lo que impera mas son solo los valores de verdad de las proposiciones y no el significado de los argumentos de las proposiciones ya que es lo único que le importa a la lógica proposicional.

Por tanto, la regla lógica de una conjunción siempre es verdadera si las proposiciones que las conforman siempre son verdaderas en caso contrario siempre es falsa.

Es por eso que el concepto de la conjunción lógica esta relacionada con la intersección en teoría elemental de conjuntos ya que debe cumplir simultáneamente dos condiciones, si no cumple siquiera una condición, entonces no existe intersección, si quieres saber mas de relación entre la intersección y la conjunción lógica, puedes revisar la sección de operaciones de conjuntos.

Ejemplos

Sea los siguientes enunciados:

  1. El gato es un felino y la paloma es un ave.
  2. Los iPhone son celulares inteligentes y los fabrica Samsung.

Para el enunciado 1. Se puede desglosar así:

  • El gato es un felino.
  • La paloma es un ave.

Exactamente estas dos proposiciones simples son verdaderas y por la definición de la conjunción lógica, decimos que el enunciado 1 es verdadero, vayamos al siguiente enunciado.

Para el enunciado 2. Lo podemos separar así:

  • Los iPhone son celulares inteligentes.
  • Los iPhone los fabrica Samsung.

La primera proposición simple es verdadera porque un iPhone tiene todas las características de un smartphone que del inglés significa teléfonos inteligentes, pero la segunda es falsa porque los Iphone son fabricados por la compañía multimillonaria Apple y no por Samsung.

Por tanto, por la definición de la conjunción lógica, basta que una proposición componente sea falsa para que el enunciado 2 sea completamente falsa.

Los enunciados 1 y 2 de las proposiciones compuestas del ejemplo ilustrativo 2 puede escribirse de la siguiente manera:

  • \( p \wedge q \)

Donde el enunciado 1, puede considerarse.

  • \( p \) = El gato es un felino. (verdadero)
  • \( q \) = La paloma es un ave. (verdadero)

y para el caso del enunciado 2, sería:

  • \( p \) = Los iPhone son celulares inteligentes. (verdadero).
  • \( q \) = Los iPhone son de Samsung. (falso).

Según la definición de la conjunción lógica el valor de verdad del enunciado 1 sería verdadera, simbólicamente:

\[ \mathrm{V} ( p \wedge q) = V \]

Y para el enunciado 2, sería falsa, simbólicamente:

\[ \mathrm{V} (p wedge q) = F \].

Tabla de verdad de la conjunción lógica


Con los ejemplos anteriores, queda claro el comportamiento de los conectivos conjuntivos y de estos podemos diseñar una tabla de verdad según la definición dada para dos proposiciones \( p \) y \( q \) donde encontraremos 4 combinaciones de sus valores de verdad de \( p \wedge q \). La tabla es:

\( p \) \( q \) \( p \wedge q \)
 \( V \) \( V \) \( V \)
\( V \) \( F \) \( F \)
\( F \)  \( V \) \( F \)
\( F \) \( F \) \( F \)

Algunas leyes de la conjunción lógica


La conjunción lógica también contempla una serie propiedades pero junto con el negador y el resto de los conectivos lógicos, puedes ver estas propiedades en la sección de las principales leyes lógicas.

Aquí solo presentaré algunas de estas leyes, veamos:

Sean las proposiciones \( p \), \( q \) y \( r \), tenemos:

  • Ley asociativa: \( p \wedge q \wedge r = p \wedge ( q \wedge r ) \).
  • Existencia del elemento neutro: \( \mathrm{V} (p) \wedge V = V \).
  • Ley conmutativa: \( p \wedge q = q \wedge p \).
  • Existencia del elemento complementario: \( \mathrm{V} ( \sim p \wedge p ) = F \). Significa que una proposición no se puede contradecirse a si misma.

Por mencionar solo algunas.

Otro punto importante, la negación de una conjunción no es otra conjunción, es decir, la negación de \( p \wedge q \) no es \( \sim p \wedge \sim q \), su negación resulta ser equivalente a una proposición unida por una disyunción lógica, esto es \( \sim ( p \wedge q ) = \sim p \vee \sim q \), si quieres tener más información entre entre estos dos conectivos lógicos, puedes dirigirte en la sección de disyunción lógica.

Ejemplo

  • Todos somos libres y felices.
  • Ella es hermosa y debería ser modelo.
  • Todos son criminales pero con trastorno bipolar.
  • Vamos a la playa y luego a comer.
  • Los perros tienen cola, patas y hocico.

Como podrán ver en estos ejemplos, tanto la la letra “y” como la palabra “pero” e incluso las comas según sea el contesto, pueden representarse por la conjunción lógica, para el ejemplo del perro podemos escribirlo como \( p \wedge q \wedge r \).

Diferencias del conjuntivo “y” en matemática y la teoría lingüística


El la teoría lingüística existen algunas diferencias en cuanto su definición, por ejemplos, cuando tratamos con oraciones subordinadas formadas por nexos que también la incluyen en el dominio de la conjunción, estos nexos son “comocuandoqueporquepara que”.

Tomemos el ejemplo de la wiki, “dijo que vendría”, aquí el nexo es “que” para la lingüística esta es una conjunción, para este caso, una conjunción subordinada, es decir, la palabra “vendría” subordina a la palabra “dijo”, porque si no vendría (sea quien fuese), tal vez no se hubiera dicho (dijo) nada, ¿se entiende este punto?, esto es, una no existe sin la otra.

En cambio, la conjunción en el área de las matemáticas que estamos tratando en la sección actual no tiene ninguna relación semántica entre dos proposiciones unidas por una conjunción lógica del tema que estamos tratando, es decir, no toma en cuenta el significado de los argumentos como en la teoría lingüística, los únicos valores que le importa a la lógica proposicional es el de verdadero o falso.

Tampoco toma en cuenta este tipo de conjunciones subordinantes, para la lógica proposicional, simplemente no es una conjunción.

Pero existen otras variantes mas de la teoría lingüística, por lo general se les llaman a estos enunciados conjunciones, pero muchas de ellas no tiene nada que ver en lógica proposicional.

La conjunción en teoría de conjuntos


Los conectivos lógicos pueden construir los aspectos elementales de la teoría de conjuntos, como es la unión, intersección, etc. en este caso, la conjunción lógica en el ámbito de los conjuntos representa a la intersección.

Por ejemplo, si un elemento \( x \) se encuentra en el conjunto \( \mathrm{A} \)  simbolizado por \( x \in \mathrm{A} \), pero también se encuentra en el conjunto \( \mathrm{B} \) simbolizado por \( x \in \mathrm{B} \), usamos el símbolo de la conjunción lógica “\( \wedge \)” para indicar que se encuentra simultáneamente en a \( \mathrm{A} \) y \( \mathrm{B} \), así:

\[ x \in A \wedge x \in B \]

Pero a nivel de teoría de conjuntos, su símbolo es “\( \cap \)”, y se representa así:

\[ x \in \mathrm{A \cap B } \]

Pero para unificar tanto la conjunción como la intersección en un mismo enunciado, lo escribiremos así:

\[ \mathrm{ A \cap B } = \left \{ x | x \in A \wedge x \in B \right \} \]

Gráficamente se representa así:

conjunción lógica en teoría de conjuntos

Si quieres saber mas sobre este operador, visita mi sección de teoría de conjuntos llamado operaciones entre conjuntos.

De esta manera finalizamos la teoría básica de la conjunción lógica, la próxima sección discutiremos la disyunción lógica y su variante, la disyunción exclusiva.

Y eso es todo amigos, nos vemos en la próxima sesión, bye.

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La conjunción lógica
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