Proposiciones lógicas

1. Proposiciones Lógicas y su representación matemática

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Hola amigos, este es el primer curso de lógica proposicional, también llamada lógica de enunciados o lógica de orden cero, en esta sección estudiaremos que es la proposición desde un angulo matemático ya que desde otros ángulos este concepto tiene muchos definiciones según el enfoque de estudio que tratemos, hasta incluso para un curso completo de lógica resulta ser un tema muy extenso, sobre todo en el área de la filosofía.

Felizmente para este capitulo de álgebra de proposiciones, el estudio de una proposición es un tema muy sencillo y elemental. Lo que si debemos tener en cuenta es que la lógica proposicional es un tema meramente informal para un curso de matemática pura ya que su estudio formal define sus conceptos junto con la teoría de conjuntos (también formalizada), estas coexisten entre si y es imposible desvincularlos ya que una no existe sin la otra.

Me explico, es como que la luz no existe sin los fotones y viceversa los fotones no existe sin la luz, sin mas preámbulo, comencemos.

¿Que es una proposición lógica?


Tanto matemática como en lógica llamamos proposición o variable proposicional aquel argumento que solo puede ser verdadero o falso, pero en ningún momento pueden ser las dos cosas a la vez.

Cuando se estudia lógica desde un angulo puramente matemático, no se toma en cuenta de manera literal el argumento del enunciado, lo único que le concierne a la lógica proposicional son los valores de verdad de dicho enunciado.

En otras palabras, somos nosotros que tenemos que hallar su significado literal de nuestra visión del mundo e indicar si el argumento realmente es verdadero o falso, dos valores que a la lógica proposicional le importa. Por esta simple y sencilla razón este tipo de enunciados suelen ser simbolizados con letras minúsculas evitando el sentido literal del argumento, es decir, lo que entendemos.

Todo ello lo veremos brevemente mas adelante. Veamos algunos ejemplos prácticos de una proposición.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos en el contexto matemático son proposiciones lógicas.

  1. Todo burro tiene 2 orejas. (Verdadero)
  2. Una hormiga es un burro. (Falso)
  3. La hormiga tiene 2 orejas. (Falso)
  4. Si los burros tiene 2 orejas y una hormiga es un burro, entonces la hormiga 2 orejas. (Verdadero) si te diriges a la cabecera de contexto lógico, allí explico el valor de verdad de este paradójico enunciado.

En otros campos de estudio este concepto cambia completamente su significado, por ejemplo, en gramática, las proposiciones se les denomina oraciones aseverativas, sin embargo, la palabra proposición es diametralmente diferente en lingüística cosa que veremos en breve. También existen distintos enfoques de lo que entendemos por proposición según el tipo de área de estudio, veamos algunas de ellas.

Contexto etimológico


La palabra proposición viene del latín “propositio” y podemos entenderlo como la acción de dar una posible idea con la probabilidad de que este sea aceptada por una segunda persona.

Desde este angulo, se entiende por proposición a la acción de suministrar una idea, proyecto para solucionar generalmente un problema, de aquí se desprende dos posibles casos:

  • Para indicarle una posibilidad o alternativa de aceptación voluntaria a una segunda persona. Por ejemplo, podemos encontrar frases del tipo: “te propongo resolver este ejercicio”, “te propongo este negocio”, “te propongo esta idea”.
  • O una idea o proyecto a notros mismos, es decir, fijarnos un determinado fin, en otras palabras, nos proponemos realizar una determinada acción.

Contexto gramatical


Si nos zambullimos en la teoría lingüística, para ser mas preciso, en el estudio de la gramática, se llama proposición es una oración que tiene sujeto y predicado, con la capacidad de lograr otros significados similares o distintos si le añadimos o quitamos palabras (complementos) a dicha oración sin que pierda su significa particular.

Hasta puede relacionarse con otras proposiciones para formar una oración mas grande, es decir, oraciones compuestas.

Ejemplo

Sea la proposición gramatical: “La mayoría de mis amigos se van de paseo al cuzco en un tren que resulta ser super rápido y acampar allí para comer tallarin verde junto con sus madres”. De esta oración, podemos extraer otras proposiciones (desde el punto de vista de la gramática) mas:

  • La mayoría de mis amigos se van del paseo.
  • Mis amigos se van de paseo.
  • Mis amigos se van acampar allí
  • Un tren que resulta ser super rápido.
  • Mis amigos comerán junto con sus madres.
  • Comerán tallarin verde junto con sus madres.

Contexto lógico


Siendo este tipo de proposición el tema central de la sección actual, decimos entonces que una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso.

Por tal razón, una proposición debe tener una estructura bien formalizada que de cuenta de la lógica de la realidad como la lógica de lo abstracto (como las matemáticas) incluso si entre ellas mismas se contradicen.

Ejemplo

Si decimos que todos los números pares son de color verdes, entonces el numero 4 es de color verde, en el contexto de la realidad es ilógico pensar que los números se pueden clasificar por colores, pero en lo abstracto, la lógica de la conclusión es verdadera.

Contexto filosófico


En el contexto filosófico, una proposición es un juicio de valor que expresa algo (predicado) sobre un sujeto de la oración, en otras palabras afirma o niega algo. Ojo que no se ha dicho nada si la negación o afirmación es verdadera o falsa.

En este caso, la proposición no es mas que una emision de información de un juicio por medio de una oración sea verbal o escrita. Por ultimo, es criterio de nosotros indicar si resulta ser verdadera o falsa.

Contexto desde la lógica de predicados


En la lógica de primer orden o lógica de predicados no solo se toma en cuenta el valor de verdad de una proposición, sino también al sujeto y predicado de los argumentos aseverativos, sin embargo, desde este contexto también toma en cuenta los enunciados abiertos, estos son llamados funciones proposicionales y se les asigna un valor especifico para transformarlos en variables proposicionales es decir, proposiciones lógicas.

La lógica de primer orden realiza un estudio mas profundo de la lógica de un argumento, le interesa como esta escrito el argumento y existen una serie de conceptos que incluye de manera obligatoria y necesaria a la teoría de conjuntos.

Valor de verdad de una variable proposicional


En lógica proposicional no se toma en cuenta al sujeto y predicado, por lo menos no de manera simboliza (ya te explicaré mas adelante el porque), aunque para estudiar el valor de verdad de una proposición, es necesario resaltar tanto al sujeto y predicado. Un estudio mas formal del sujeto y predicado se puede estudiar en un curso de lógica de primer orden.

El sujeto es la variable y el predicado es el juicio de la variable, y el valor de verdad de un enunciado depende de lo que dice el predicado de la variable. Si el sujeto es una variable conocida, entonces el enunciado es una proposición, si el sujeto es una variable desconocida, entonces este tipo de enunciados se les llama enunciados abiertos.

La lógica del valor de verdad

El valor de verdad de una proposición no necesariamente “habla” de la realidad en que vivimos y el sentido común y corriente de nuestro entorno palpable, también puede ser abstracto, incluso si dicha abstracción es ilógica para aquellas proposiciones que habla sobre la realidad.

Ejemplo

  1. Si los españoles son europeos y Alejandro Sanz es español, entonces, Alejandro Sanz es europeo.
  2. Si los números pares son de color verde, entonces el numero 4 es de color verde.

La proposición 1 habla sobre una realidad palpable, sin embargo, la lógica proposicional no toma en cuenta el argumento, sino el valor de verdad que nosotros le asignemos, en este caso, la semántica de los argumentos en lógica proposicional queda sobreentendida.

La proposición 2 es incongruente con la realidad, los números no se pueden clasificar en colores, son entes intangibles, sin embargo, al tomar de manera abstracta la lógica de la premisa como verdadera (los números pares son verdes), la conclusión resulta ser correcta y lógica.

No toda proposición tiene sujeto

Esto solo aplica aquellas proposiciones con escritura gramatical y no desde el lenguaje matemático, un ejemplo de una proposición sin sujeto según sea la circunstancias del caso pueden presentarse según los siguientes ejemplos:

  • Es de día. Puede ser verdadero según la circunstancias, por ejemplo, puedes determinar su valor de verdad en el momento que estas leyendo estos párrafos, dime tu ¿Es de día o es de noche?.
  • Hoy llueve“. puede ser verdadero si resulta ser cierto o falso si no es el caso.

Sin embargo, en matemáticas es muy necesario la existencia de sujetos en las proposiciones ya que estas pueden ser representados por variables o valores numéricos o complejos.

¿Que es un enunciado abierto?


Llamamos enunciado abierto o función proposicional cuando el sujeto es una variable desconocida para el predicado de un enunciado dado, en otras palabras, no sabemos si puede ser verdadera o falsa.

Los enunciados abiertos también llamadas funciones proposicionales representan incertidumbre ya que no tenemos datos del sujeto y simplemente no sabemos si son verdaderos o falsos.

El predicado solo afirma o niega algo del sujeto, un sujeto incógnito o indefinido. Pero cuando el sujeto admite un valor fijo, el enunciado abierto se transforma en una proposición donde este puede ser falso o verdadero.

Sin embargo, no es necesario que los sujetos de los enunciados abiertos les asignemos un valor dado para transformarlo en proposiciones, a este tipo de enunciados se les puede agregar unas frases especiales que tiene un símbolo especial llamadas cuantificadores, esto lo estudiaremos en las ultimas secciones de lógica proposicional.

Ejemplo

Los siguientes ejemplos son enunciados abiertos:

  •  es un enunciado abierto. (La variable \( x \) es una incógnita)
  • Ella es muy bella. (“Ella” es una incógnita)
  • El grupo esta muy contento. (“Grupo” es una incógnita)

En estos ejemplos, la variables “\( x \)”, “Ella” y “Grupo” son incógnitas ya que no se sabe a que o quienes se refiere, por tanto, estamos tratando con enunciados abiertos.

Proposiciones simples y compuestas


Generalmente las proposiciones se pueden catalogar en proposiciones simples y compuestas, una contiene a la otra, aunque también se les llama proposiciones particularesy universales respectivamente, pero en el transcurso del curso de lógica proposicional esta distinción resulta muy poco útil y solo es meramente reverencial, ya se darán cuenta a medida que desarrollemos el curso.

Proposición simple o atómica

Las proposiciones simples o atómicas son aquellas proposiciones que tienen un sujeto y predicado.

Ejemplo

  • Lima es la capital de Perú.
  • La lógica proposicional estudia los valores de verdad de las proposiciones.
  • Los peces viven en el mar.
 

Las palabras en color rojo son los sujetos, y en verde los predicados. Como vemos que estas proposiciones tienen a lo mas un sujeto y predicado, entonces son proposiciones simples o atómicas, también son llamados proposiciones particulares. Ahora ya sabes lo que es una proposición simple.

Nota: Para la lógica formal, el predicado en el primer ejemplo resulta ser “es la capital de” y los sujetos son “Lima” y “Perú”. La razón es muy sencilla, la lógica formal generalmente estudia variables, es decir, enunciados abiertos, ya que el enunciado 1 puede escribirse como “\( x \)es la capital de \( y \)” donde \( x \) e \( y \) son los sujetos del enunciado.

Proposición compuesta o molecular

Las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas proposiciones que tiene por lo menos dos sujetos o dos predicados.

Una propiedad de las proposiciones compuestas, también llamadas proposiciones universales, es que se pueden separar en proposiciones atómicas.

Ejemplo

  • Ana y María son abogadas, son dos proposiciones compuestas y se pueden separar en dos proposiciones atómicas: “Ana es abogada” y “María es abogada“.
  • Mi perro tiene orejas y cola“, se puede separa en “Mi perro tiene orejas” y “Mi perro tiene cola“.
  • Lucho es gracioso o sarcástico“, se puede separar en “Lucho es gracioso” y “Lucho es sarcástico“.
  • Si \( \color{red}{x} \) es un numero parentonces \( \color{red}{x} \) es un numero entero“, se puede separar en “\( \color{red}{x} \) es un numero par” y “\( \color{red}{x} \) es un numero entero“.

Las palabras en color lila son conectores lógicos, importantes para unir proposiciones, pero antes de tratar con ellas, veamos como se representan simbólicamente las proposiciones lógicas. Ahora ya sabes lo que es una proposición compuesta.

Representación matemática de las proposiciones


La lógica de proposiciones a nivel simbólico es pobre porque no hay un análisis matemático de la estructura de los argumentos como lo hace la lógica de primer orden, la lógica proposicional solo se limita a estudiar las propiedades de los conectores lógicos.

Otro punto en contra es que la simbolización de las proposiciones es limitante ya que no realiza ninguna distinción entre una proposición simple y compuesta. Veamos algunos ejemplo de como podemos representar simbólicamente las proposiciones.

Ejemplos

  • \( p \): mi loro es verde.
  • \( q \): mi perro tiene cuatro patas.
  • \( r \): mi loro es verde y mi perro tiene cuatro patas. En este caso podemos escribir como \( r = p \ \text{y} \ q \)

Tipos de proposiciones lógicas

Existen solo 6 tipos de proposiciones lógicas y se clasifican según el conector lógico que estas admitan, veamos 6 ejemplos que diferencian a este tipo de proposiciones.

Ejemplo

  • Aquellas aves tiene alas y los pingüinos no vuelan. (Conjunción)
  • Los perros tienen cuatro patas o el gato tiene cola. (Disyunción lógica)
  • O estoy con frío o estoy con calor. (Disyunción exclusiva)
  • Si los perros tiene cuatro patas, entonce es cuadrupedo. (Condicional)
  • \( x \) es par si y solo si \( x \neq 2n+1 \). (Bicondicional)
  • Los gatos no son peces. (Negación)
 

Solo las proposiciones compuestas admiten los conectivos lógicos, la proposición simple no admite ninguna.

Relación proposición-valor de verdad

Si tenemos 4 proposiciones \( p \), \( q \), \( r \) y \( s \) donde pueden ser verdaderas \( \mathrm{V} \) y falsas \( \mathrm{F} \), podemos encontrar una relación “proposición-valor de verdad”, esto es, una correspondencia entre proposiciones y sus valores de verdad tal como se muestra en el siguiente diagrama.

Esquema de la relación entre las proposiciones y sus valores de verdad en un diagrama de Venn

Si existe un conjunto de proposiciones de proposiciones \( \mathrm{P} = \{ p_{1}, p_{2}, p_{3}, … p_{n} \} \) y un conjunto de valores de verdad \( \mathrm{V} = \{ V, F \} \), la relación entre \( \mathrm{P} \) y \( \mathrm{V} \) es:

\[ f( p_{n} ) = \{ \begin{array}{ c } V, \text{si} \ p_{n} \ \text{ es verdadera}  \\ F, \text{si} \ \ p_{n} \ \text{es falsa} \end{array} \]

Donde \( p_{n} \) puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Esto es lo que llamas correspondencia de \( f \) de \( \mathrm{P} \) a \( \mathrm{V} \).

Conectivas lógicas de las proposiciones


Existen 6 conectivas lógicas y son la conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional, bicondicional y la negación, esta ultima no es exactamente un conectivo lógico, resulta un operador que afecta a una sola proposición. Veamos cada una de ellas.

Negación lógica

La negación lógica a nivel lingüístico cambia el valor de verdad de una proposición, también es capaz de cambiar una afirmación a una negación o viceversa.

El símbolo de la negación lógica es “\( \sim \)” y si tenemos una proposición \( p \), la negación de dicha proposición sería \( \sim p \).

Ejemplo

  • \( p \): Los seres humanos tiene dos pies (Verdadero).
    \( \sim  p \): Los seres humanos no tiene dos pies (Falso).
  • \( q \): el sistema operativo Ubuntu no es de Microsoft (Verdadero).
    \( \sim q \): el sistema operativo Ubuntu es de Microsoft (Falso) .

Conjunción lógica

La conjunción lógica es una conectiva lógica que une dos proposiciones, si las dos proposiciones son verdaderas, entonces la conjunción es verdadera, si por lo menos una de ellas es falsa, entonces la conjunción es falsa.

La letra “y” es la conjunción lógica con símbolo “\( \wedge \)”, si tenemos dos proposiciones \( p \) y \( q \), la conjunción entre estas proposiciones es \( p \wedge q \).

Ejemplos

  • \( p \): Los perros tiene 2 orejas.
    \( q \): Los perros tiene 4 patas.
    \( p \wedge q \): Los perros tienen 2 orejas y 4 patas.
  • \( r \): Los números pares son números naturales.
    \( s \): Los números primos son números naturales.
    \( r \wedge s \): Los números pares y primos son números naturales.

Disyunción lógica

También se le llama disyunción inclusiva, generalmente se representa por la letra “o” y simbólicamente se escribe “\( \vee \)”. Si tenemos dos proposiciones \( p \) y \( q \), la proposición formada por la disyunción lógica seria \( p \vee q \).

El valor de verdad de la disyunción lógica es falsa si las dos proposiciones que las forman es falsa y la disyunción lógica es verdadera si por lo menos una proposición es verdadera.

Ejemplos

  • \( p \): Los peros tienen 2 patas.
    \( q \): Los perros tienen 4 patas
    \( p \vee q \): Los perros tienen 2 patas o 4 patas.
  • \( r \): Los números pares son números naturales.
    \( s \): Los números primos son números naturales.
    \( r \vee s \): Los números pares o primos son números naturales.

Disyunción exclusiva

La disyunción exclusiva es un conectivo lógico representado por el símbolo \( \bigtriangleup \) que tiene como propiedad incluir solo aquellas proposiciones donde una y sola de las dos proposiciones debe ser verdadera para que la disyunción exclusiva sea verdadera, en caso contrario siempre será falsa.

Si tenemos dos proposiciones \( p \) y \( q \), la proposición formada por la disyunción exclusiva se representa así \( p \bigtriangleup q \). Literalmente se representa por la letra “o” dos veces así “o proposición 1 o proposición 2“, veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo

  • \( p \): Rosa está fuera de casa.
    \( q \): Rosa está dentro de casa.
    \( p \bigtriangleup q \): Rosa o esta fuera de casa o dentro de casa.
  • \( r \): Es de día.
    \( s \): Es de noche.
    \( r \bigtriangleup s \): O es de día o es de noche.

Condicional lógica

También se le llama condicional material y algunas veces se le confunde con la implicación lógica cuando realmente tienen significadores diferentes pero similares.

La condicional lógica trabaja tomando una primera proposición como condición y una segunda proposición como conclusión, pero solo se centra en el valor de verdad mas no en su argumento.

Se simboliza con una flecha hacia la derecha así \( \rightarrow \) tal que para dos proposiciones \( p \) y \( q \) llamadas premisa y conclusión respectivamente, forman una nueva proposición de la forma \( p \rightarrow q \) y se lee “si \( p \) entonces \( q \)”.

Ejemplo

  • \( p \)Hoy llueve.
    \( q \)El piso esta mojado.
    Si hoy llueve, entonces el piso esta mojado.
  • \( r \)Hoy sale el sol.
    Manuel saldrá de casa hoy.
    Si hoy sale el sol, entonces Manuel saldrá de casa.

Bicondicional lógica

La bicondicional lógica es una doble condicional, esto es, la premisa y la conclusión pueden ser también la conclusión y la premisa respectivamente.

Simbólicamente la bicondicional lógica se representa así \( \leftrightarrow \) tal que para dos proposiciones \( p \) y \( q \), la proposición formada por la bicondicional es \( p \leftrightarrow q \), se lee “\( p \) si y solo si \( q \)”.

La proposición \( p \) es premisa de la conclusión \( q \) como también \( q \) puede ser premisa de la conclusión \( p \).

Ejemplo

  • \( p \): El sol ha salido.
    \( q \): Es de día.
    1. \( p \leftrightarrow q \): El sol ha salido si y solo si es de día.
    2. \( q \leftrightarrow q \): Es de día si y solo si el sol ha salido.
  • \( r \): \( 8 \) es par.
    \( s \): \( 8 \) es múltiplo de \( 2 \).
    \( r \leftrightarrow s \): \( 8 \) es par si y solo si es múltiplo de \( 2 \).
    \( s \leftrightarrow r \): \( 8 \) es múltiplo de \( 2 \) si y solo si es par.

Tabla de verdad de los conectivos lógicos


Aquí te presento un resumen de la tabla de valores de verdad de todos los conectivos lógicos estudiados brevemente hasta el momento. Cada una de estas tablas lógicas nos indica el comportamiento de cada una de las conectivas lógicas que mas adelante trataremos con mas detalle.

Negación Lógica

\[ \begin{array}{ c | c } p & \sim p \\ \hline V & F \\ F & V \end{array} \]

Conjunción Lógica

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \wedge q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \end{array} \]

Disyunción Inclusiva

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \vee q \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \end{array} \]

Disyunción Exclusiva

\[ \begin{array}{ c | c | c} p & q & p \bigtriangleup q \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \end{array} \]

Condicional lógica

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \rightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \end{array} \]

Bicondicional Lógica

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & p \leftrightarrow q \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \end{array} \]

Proposiciones equivalentes


Las proposiciones lógicas se puede escribir de diferentes maneras alterando solo sus conectivos lógicos tal que su valor de verdad quede inalterado.

Por ejemplo, un proposición equivalente a “Los perros tiene cuatro patas” es “No es cierto que los perros no tengan cuatro patas”, la segunda proposición es una doble negación de la primera y dicen exactamente lo mismo. Veamos mas ejemplos.

Ejemplo

  • “El numero 4 es un numero par” es equivalente a “Es falso que el numero 4 no sea par“.
  • “Si hoy llueve, entonces el piso se mojará” es equivalente a “Si el piso no se ha mojado, entonces hoy no ha llovido“.
  • “Si como mucho dulce, entonces me saldrá sarro” es equivalente a “Es falso que coma mucho dulce o me saldrá sarro“.

Con un poco de análisis mental, notarán que estas proposiciones son completamente equivalentes.

Algunas leyes lógicas


Teniendo en cuenta las conectivas lógicas y las proposiciones equivalentes, se puede inferir una serie de leyes proposicionalesleyes lógicas o leyes de simplificación lógica que las proposiciones (como también los enunciados abiertos) pueden cumplir. Aquí te mostraremos algunas leyes lógicas:

Nombre

Esquema Molecular

Ley de involución

\( \sim ( \sim p ) \equiv p \)

Leyes de idempotencia

\( p \wedge p \equiv p \)

\( p \vee p \equiv p \)

Leyes conmutativas

\( p \wedge q \equiv q \wedge p \)

\( p \vee q \equiv q \vee p \)

\( p \bigtriangleup q \equiv q \bigtriangleup p \)

\( p \leftrightarrow q \equiv q \leftrightarrow p \)

Leyes asociativas

\( ( p \wedge q ) \wedge r \equiv p \wedge ( q \wedge r ) \)

\( ( p \vee q ) \vee r \equiv p \vee ( q \vee r ) \)

\( ( p \bigtriangleup q ) \bigtriangleup r \equiv p \bigtriangleup ( q \bigtriangleup r ) \)

\( ( p \leftrightarrow q ) \leftrightarrow r \equiv p \leftrightarrow ( q \leftrightarrow r ) \)

Leyes distributivas

\( p \wedge ( q \vee r ) \equiv ( p \wedge q ) \vee ( p \wedge r ) \)

\( p \vee ( q \wedge r ) \equiv ( p \vee q ) \wedge ( p \vee r ) \)

\( p \rightarrow ( q \wedge r ) \equiv ( p \rightarrow q ) \wedge ( p \rightarrow r ) \)

\( p \leftrightarrow ( q \wedge r ) \equiv ( q \leftrightarrow q ) \wedge ( p \leftrightarrow r ) \)

Leyes de Morgan

\( \sim ( p \wedge q ) \equiv \sim p \vee \sim q \)

\( \sim ( p \vee q ) \equiv \sim p \wedge \sim q \)

Leyes condicionales

\( p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q \)

\( \sim ( p \rightarrow q ) \equiv p \wedge \sim q \)

Leyes bicondicionales

\( p \leftrightarrow q \equiv ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \)

\( p \leftrightarrow q \equiv ( p \wedge q ) \vee ( \sim p \wedge \sim q ) \)

Leyes de absorción

\( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \)

\( p \leftrightarrow q \equiv \sim q \leftrightarrow \sim p \)

Estos son solo algunas de las leyes lógicas que podemos formar con los conectivos lógicos. Existen otras leyes como la Tautología, contradictoria, y contingencia, pero todo ello lo veremos en otras secciones con sus definiciones y ejemplos respectivos del curso de lógica.

Semántica y sintáctica de una proposición


Los enunciados semánticos tiene un carácter intuitivo, la semántica de los enunciados refiere al significado, a la interpretación que le asignemos a los enunciados formados por símbolos y caracteres bien definidas de un lenguaje lingüístico.

Los enunciados que hemos estudiado en mayor proporción son las proposiciones, estos adquieren una semántica tal que puede ser determinadas por ser verdaderos y falsos.

Podemos estudiar la semántica desde 3 ángulos, estas son, la semántica lingüística, la semántica lógica y la semántica de las ciencias cognitivas (psicología). Naturalmente esta sección se ha centrado en la semántica lógica.

Por ejemplo, supongamos que no supieras leer, por lo que jamás podrías lograr entender estos párrafos, lo único que verás es un conjunto de caracteres extraños sin significado.

Pero si me lees hasta aquí es porque sabes lo que estoy diciendo, porque para que estas líneas sean inteligibles no sólo debemos de proveer de un significado estandarizado sino también deben tener un orden específico y también estandarizado para su comprensión, sin embargo, hay otros estándares que no lograrás comprender como el de un programador, ya que usamos los mismos caracteres para realizar programas y/o crear páginas web por código como esta imagen:

código fuente de la url de proposiciones

Este es un fragmento de código de la publicación del capítulo de proposiciones que estás comenzando a leer ahora mismo. Como puedes ver, usamos los mismos caracteres con algunos símbolos más para estructurar esta entrada. Lo que hace luego tu explorador web como Google Chrome, Mozilla, Opera o cualquier otro navegador web es “renderizarlo” para que lo puedas ver a tu idioma, tal como tu lenguaje lo entiendes.

Podemos decir entonces que la semántica es lo que tu interpretas según el lenguaje con que estás familiarizado, por lo general, para que la comunicación sea fluida y compartida entre todos, debe ser una semántica estandarizada.

En lógica proposicional es igual, tiene un estándar, aunque limitado, pero sirve para entender como se comportan las proposiciones por medio de los conectivos lógicos y los signos de agrupación, por lo general, las proposiciones se simbolizan con letras minúsculas como \( p \), \( q \) y \( r \) tal que pueden ser determinados como verdaderos \( V \) y falsos \( F \), estos valores de verdad son los únicos valores semánticos formalizados en lógica proposicional, en cuanto la semántica del significado de los argumentos de las proposiciones dadas se toman de manera intuitiva pero no son parte del estudio de la lógica proposicional pero si del estudio de la lógica de predicados o lógica de primer orden.

Diferencia entre un enunciado y una proposición


Vamos a aclarar las diferencias entre un enunciado y una proposición. Los enunciados son un acto de habla expresado por medio de una oración y no son oraciones propiamente dicha, los enunciados dependen en qué contexto se hable, porque las oraciones son únicamente “un conjunto de palabras que expresa un juicio (si es que existe) con sentido completo y autonomía sintáctica”, es decir, un conjunto de palabras que dicen algo y nosotros somos lo que le damos una interpretación.

Una oración puede significar diferentes enunciados según el contexto que esté, por ejemplo:

  • La oración \( x < 7 \)no sabemos si el valor de \( x \) es un número real, un número complejo, incluso un grupo de personas, animales o cualquier otra cosa porque no se especificó el valor de \( x \).

Y al revés, diferentes oraciones pueden significar el mismo enunciado, por ejemplo:

  • ¿Cual es el valor de \( x \)?
  • Hallar el valor de \( x \).
  • Averiguar el valor de \( x \).
  • ¿Cual sería el valor de \( x \)?

Tomemos como ejemplo al siguiente enunciado \( x < 7 \)esta es una oración aseverativa que afirma que \( x \) es menor que \( 7 \). Estas afirmaciones son dudosas porque no hay más datos que reafirman que el valor de \( x \) sea menor que \( 7 \), simplemente no se sabe si es verdadero o falso.

Función proposicional


Algunas veces los enunciados abiertos se le llama también funciones proposicionales cuando se trabaja en otras ramas de la matemática para alejarse del contexto lingüístico gramatical y acercarse mas conceptos puramente matemáticos.

Una función proposicional no necesariamente se le debe asignar un valor especifico para que sea una proposición, es posible lograr tal transformación con los cuantificadores comúnmente conocidos con las palabras “Para todo” y “Existe alguno”, aunque existen otras categorías que transforman las funciones proposicionales en proposiciones que podemos estudiar en un tema mas avanzado de lógica llamado proposiciones categóricas.

Proposiciones en lógica de primer orden


La lógica de primer orden o la lógica de predicados es una extensión de la lógica proposicional, estudia la estructura de los argumentos, generalmente de los enunciados abiertos ya que toma muy en cuenta al sujeto como variable, en esta rama de la lógica matemática, se le suele llamar a estos enunciados como funciones proposicionales y toma en cuenta lo siguiente:

  • Variable: Puede representar un sujeto indeterminado, sin embargo, también puede representar un predicado indeterminado.
  • Constante: Representa un valor definido de la variable de una función proposicional, generalmente un valor especifico del sujeto.
  • Funciones: Son operadores aplicados a las variables sea del sujeto o del predicado.
  • Conectores lógicos: son operadores que vinculan afirmaciones para formar otras afirmaciones.
  • Cuantificadores (muy relacionado con las proposiciones categóricas): Solo existen dos, el cuantificador universal y existencial, son capaces de transformar las variables en constantes sin necesidad de darle un valor especifico a las variables. Un ejemplo es tomar en cuenta todos los números pares sin importar cual sea, este argumento lo estudia el cuantificador universal, en contraste, si una propiedad cumple por lo menos con un numero par sin importar que cumpla para todos (y sin importar quien sea), esto lo estudia el cuantificador existencial.

Uno de los puntos fuertes de la lógica de primer orden es la capacidad de formalizar la teoría de las demostraciones, con ello, podemos desarrollar toda la matemática en la actualidad.

Para lograrlo, la clasificación que acabos de indicar hace un momento se simbolizan matemáticamente para desarrollar un argumento mas solido que la lógica proposicional es incapaz de lograr, pero por su formalidad estricta de esta rama, la lógica de predicados debe tomar muy en cuenta la sombolización de los predicadossignos de puntuación y los signos relacionales (el signo igual).

De esta manera, la lógica de primer orden es capaz de diferenciar una proposición atómica de una molecular a nivel simbólico, algo que no es capaz de hacer lógica de proposicional, esta ultima también llamada lógica de orden cero o lógica de enunciados.

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Proposiciones lógicas: definición y propiedades
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Proposiciones lógicas: definición y propiedades
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En matemáticas llamamos proposición o variable proposicional aquel enunciados que pueden ser verdadero o falso y podemos diferenciarlo entre proposiciones simples y compuestas, donde estas ultimas están formadas por mas de una proposición simple por medio de conectivos lógicos y son la negación, conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional.
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