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Métodos De La Demostración Matemática

12. Métodos De La Demostración Matemática


Hola amigos, cada vez estamos más cerca del final, pensé que este sería la penúltima entrada, me equivoque, la próxima será la penúltima entrada, casi olvido el tema de los circuitos lógicos que sería el fin de la teoría de lógica proposicional, luego finalizaré por fin con la última entrada de ejercicios de problemas resueltos del curso. En esta oportunidad les vengo a traer los Métodos De La Demostración Matemática.

Anteriormente ya había publicado sobre la teoría de las demostraciones matemáticas donde explico el desarrollo y evolución de la formalización correcta de las demostraciones, sin embargo, en el camino se encontraron con serios inconvenientes en buscar una serie de definiciones, axiomas y propiedades innatas que sea capaz desarrollar toda la teoría de matemática de manera coherente y sin ambigüedades.

Hasta que se probó la imposibilidad de lograr una teoría formal que demostrarse de manera formal las demostraciones matemáticas, y esto es gracias a nuestro amigo Gödel.

Pero en esta entrada nos centraremos en todas los métodos de las demostraciones matemáticas y los ejemplos de cada una de ellas, comencemos con el concepto de “demostración”.

¿Que entendemos por demostración?


Esta palabra viene del latín “demonstratio” y significa lo mismo tal cual se entiende, su concepto etimológico es redundante. El concepto de demostración no es mas que la verificación de una prueba anteriormente corroborada, sea verdadero o falso.

Por lo general, la demostración suele usarse para mostrar una prueba a terceras personas para disipar dudas o inducir la costumbre de que toda propiedad o teorema debe ser probada (aunque en la vida cotidiana la gente no acostumbra a comprobar lo que investiga, incluido en en las propias universidades.


Podemos decir que demostrar es volver a mostrar que un resultado sea verdadero o falso con los fundamentos adecuados. Un sinónimo de demostrar es comprobar, este último es lo mismo que decir que volver a probar.

Demostrar es volver a indicar, señalar, probar algo de nuevo, es un proceso que puede repetirse cuantas veces sea necesario según las circunstancias.

Esta palabra también sirve para darle énfasis a un hecho o acción de algo, por ejemplo: “con este comportamiento inusual, demuestras lo poco ético que eres“, este argumento no rompe con el concepto de demostración, ya que primero una persona se dio cuenta de este comportamiento que probó y quiere mostrarle a la otra persona de este tipo de comportamientos para que sea consciente de ella, es decir, repetir la prueba.

Otro ejemplo, “de demuestro mi amor”, tampoco rompe con el concepto de demostración, ya que la persona que dará su amor, sabe que lo tiene y es amoroso, luego quiere reafirmar este sentimiento a la persona que ama, es decir, demuestra lo que tiene.

Los ejemplos anteriores son ejemplos ambiguos, porque lo que intento dar énfasis aquí la repetición de lo que se ha probado, y quiere mostrárselo a otra persona o incluso a sí mismo.

Por tanto, la demostración no es más que reafirmar un tesis de una hipótesis probada, punto. Es por ello que es inadecuado usar la palabra “prueba” en una demostración matemática de un teorema porque demostración y prueba son dos cosas distintas. Probar significa experimentar algo sin importar si la hipótesis es correcta o incorrecta, la demostración es solo verificar la tesis de la hipótesis anteriormente probada como verdadero o falso.


Aunque coloquialmente ya se aceptó como conceptos similares, su uso será a su criterio de cada quien, vayamos con el siguiente apartado.

La demostración matemática


La demostración en matemática es la reafirmación de los teoremas para asegurar la verdad los argumentos matemáticos anteriormente probados como verdaderos. Las premisas de un proceso de demostración de un consecuente que ya anteriormente ha sido probado pueden incluir definiciones, axiomas y/u otros teoremas.

Uno de los puntos fuertes de la demostración matemática es volver a reafirmar un teorema que anteriormente se probó su veracidad bajo una serie de procedimientos matemáticos también aceptados como verdaderas.

Pero tampoco las matemáticas no están exentas de algunas hipótesis aparentemente plausibles consideradas como verdaderas, estos supuestos teoremas resulta de demostraciones muy vagas y poco convenientes y puede resultar en creencias matemáticas que puede traer una serie de inconsistencias en el futuro, este tiene un nombre especial y lo veremos en el siguiente apartado.

Conjetura en las matemática

Tomemos al número 6, sus divisores son el 1, 2 y el 3, pero si sumamos estos divisores, nos da como resultado el número 6, este tipo de números se les llamó números perfectos.

Por definición, los números perfectos resulta ser igual a la suma de todos los divisores propios que esta posea. Euclides estudió estos resultados y encontró los primeros 4 primeros números perfectos que tenían una propiedad inusual. Encontró la siguiente formula por inducción básica que:


\[ \mathrm{NP} = 2^{n-1} ( 2^{n} – 1 ) \]

Donde \( \mathrm{NP} \) significa números perfectos y el valor de  resultó ser números primos. Esta generalidad lo supuso solo porque descubrió los cuatro primeros números perfectos que cumplen esta propiedad, estos son:

  • \( n=2: \ 2^{2-1} ( 2^{2} – 1 ) = 6 \)
  • \( n =3: \ 2^{3-1} ( 2^{3} – 1 ) = 28 \)
  • \( n = 5: \ 2^{5-1} ( 2^{5} – 1 ) = 496  \)
  • \( n = 7: \ 2^{7-1} ( 2^{7} – 1 ) = 8128 \)

Donde \( 2^{n} – 1 \) también eran primos, al descubrir estos 4 resultados con los primeros 4 primos de la serie, supuso que el siguiente primo \( n=11 \) para \( \mathrm{NP} \) también debió ser un número perfecto, sin embargo, el valor \( ( 2^{11} – 1 ) \) no era un número primero y por tanto, para \( \mathrm{NP} \) tampoco era un número perfecto.

Pero los matemáticos de épocas antiguas dejaron por sentado que todos los números primeros para \( \mathrm{NP} \) tenían que ser números perfectos, esta afirmación sin demostración se le llama conjetura.

Existen otra conjeturas como son:

  • La conjetura de Goldbach.
  • La conjetura de los primos gemelos.
  • La conjetura de Collartz
  • Hipótesis de Riemann
  • Conjetura de Beal
  • Conjetura de Mertens

La mayoría de las conjeturas en matemática no han sido demostradas, considerándose como posibles afirmaciones y creencias especulativas hasta que pueda demostrar su veracidad o falsedad, pero también existen otras que lograron ser demostrados como verdaderos, por tanto, pasan a ser reformuladas como teoremas.


La conjetura en matemáticas es una afirmación que se cree como verdadera pero teniendo en cuenta que esta no ha sido ni demostrada ni refutada desde que fue enunciado hasta la fecha. Las conjeturas en matemáticas por lo general se basan en posibles sospechas con fundamentos particulares donde no se ha logrado una generalidad.

En otra oportunidad, en próximas secciones me centraré como de las muchas ciencias tratan las conjeturas de manera equivocada entre otras actitudes pseudocientíficas, esto no quiere decir que en las ciencias actuales sea pseudociencia, sino que muchas veces al poner las emociones, el ego, los distintos rasgos de superioridad y estatus en las ciencias, puede lograr a tener una mala interpretación de las conjeturas y ser consideradas siempre como falsa al no haber prueba de su falsedad, aunque también recae en lo contrario, lo aparentemente verdadero.

El lenguaje de la demostración

No se puede evitar el lenguaje informal en la formalización estrictas de las matemáticas, no existe una formalización completa y pura sin usar palabras cotidianas o por lo menos palabras con propiedad con cierto grado de rigor.

Puede que la programación sea un lenguaje puramente formal, sin embargo, es inevitable colocar consultas en estas lineas de programacion informacion que incluso los software no pueden comprender semánticamente, en programación tan solo se justifica usando consultas diciendo o aclarando que estas palabras son líneas que no es necesario que los ordenadores los procese y que simplemente los muestra sin significado alguno para los ordenadores pero con mucho sentido para los seres humanos.

Existen otros conceptos que no se pueden definir con precisión, por ejemplo, la palabra “conjunto”, este puede significar una colección de objetos (sea objetos virtuales o reales), sin embargo, la palabra “colección” y “conjunto” son sinónimos. También existen en el lenguaje coloquial palabras indefinibles como ¿que es el color azul?, o ¿que es bonito? sin usar dentro de su concepto la palabra “feo” y ninguno de sus contrarios, etc.

De la misma manera ocurre con el lenguaje de las demostraciones matemáticas, por mas formal que sea, siempre requerida de algún lenguaje informal. Este es un tema un poquito extenso para otra entrada en una sección distinta.


En resumen, las demostraciones matemática le concierne la estructura de las lenguajes formales para no caer en ambigüedades, este tipo de lenguajes se les llamada fórmulas bien formadas muy usado y constantemente reformulados hasta lograr una demostración matemática óptima, rigurosa y fuera de toda contradicción.

Finalidad de la demostración

Si bien, una demostración es la verificación de un resultado probado, es decir, probar nuevamente, por lo general, una demostración matemática sirve para convencer con fundamento en todo el proceso de la demostración la veracidad de la teoría o teorema afirmada.

No todas las demostraciones resulta ser rigurosos, por lo general, muchos de ellos caen en lo intuitivo o supuesto, si bien es evidente que muchos cálculos demostrativos encontramos algunos conceptos no definidos, es importante enfatizar la correcta definición de aquello conceptos intuitivos que se pasaban por alto para el uso correcto en el proceso de la demostración.

Por ejemplo, si queremos demostrar \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \), donde los valores de \( m \) y \( n \) son enteros positivos y la base \( a \) es un número real, comúnmente se usa la siguiente definición de exponente:

\[ a^{ \color{red}{n} } = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdots a }_{ \color{red}{ n \ \text{veces} } } \]

Este concepto o definición es intuitivo y no riguroso porque tomas como supuestos a los puntos suspensivos “\( \cdots \)” a todos los términos restantes de la base \( a \) que se multiplican, osea, lo que no se ve pero indican que existen ahí, también hay un paréntesis inferior que te indica cuantas veces debe multiplicarse la base ya que no se puede ver los repetitivos factores de multiplicación.


Esta metodología es una falta de rigurosidad y en matemáticas no se permite dejar por hipótesis intuitivas. La manera correcta de describir \( a^{n} \) es usando la siguiente formulación formal.

\[ a^{n} = \overset{n}{ \underset{i=1}{ \prod } } a \]

Aunque esta definición es auxiliar para demostrar el teorema \( a^{ \color{red}{n} } \cdot a^{ \color{red}{m} } = a^{ \color{red}{n+m} } \), la manera correcta de demostrarlo es usando el teorema del principio de inducción matemática, de esta manera se evita los supuestos indefinidos puntos suspensivos “\( \cdots \)”

Si bien, es posible formalizar correctamente la potencia \( a^{ \color{red}{n} } \), pero es inevitable el lenguaje natural informal para explicar cada uno de estos pasos, es decir, para enfatizar el lenguaje formal de la demostración.

Pero los inconvenientes siempre persisten, porque para definir \( a^{ \color{red}{n} } \), antes debemos definir el símbolo de la productoria:

\[ \overset{n}{ \underset{ i = k }{ \prod } } f( x_{i} ) = f( x_{k} ) \cdot f( x_{k+1} ) \cdot f( x_{k+2} ) \cdots f( x_{n} ) \]


Como pueden ver, los puntos suspensivos “\( \cdot \)” indican que existen una serie de factores a multiplicar con un orden adecuado, esto lo debemos aceptar como un supuesto intuitivo, si intentamos definir estos puntos suspensivos, entonces también tendríamos que formalizar aquellos conceptos con lo cual definimos los puntos suspensivos y esto sería un circulo vicioso.

Un detalle que Godel logró darse cuenta y donde era imposible de lograr una demostración rigurosa bajo dos teoremas importantes llamado el teorema incompletitud de Godel, esto lo puedes encontrar en mi entrada de la teoría de las demostraciones matemáticas, allí explicó este problema.

Condición suficiente y necesaria


Causa y efecto, estos dos palabras se relaciona muy fuertemente, una no existe sin la otra, toda causa produce un efecto y el efecto es consecuencia de una causa.

Muchas veces para que una conclusión sea correcta, debe registrar una serie requisitos para que este se cumpla. Si los requisitos son insuficientes, la conclusión no puede cumplirse, aunque probabilísticamente si, eso dependerá del contexto que se estudie.

Si tomamos como ejemplo el siguiente argumento “si llueve, entonces el piso se moja“, naturalmente si llueve, es inevitable que el piso se moja, entonces decimos que “llover” es condición suficiente para que el “piso esté mojado“.

Pero si el piso se ha mojado, ¿”fue culpa” de la lluvia? ¿o pueden existir otras razones?, claro que si, porque pueda que mi perro se halla orinado en el piso, se me resbalo una cacerola con agua o simplemente se me ocurrió mojarlo con ayuda a una manguera por razones particulares, entonces decimos que “el piso mojado” es condición necesaria pero no suficiente para culpar a la “lluvia” del suceso.


Lo que quiero decir con este sencillo ejemplo, es que si un antecedente es condición suficiente para un consecuente, pero no siempre el consecuente es condición suficiente para el antecedente, es decir, el consecuente es condición necesaria para el antecedente.

Veamos esto con un ejemplo super sencillo de matemática, sea las siguientes proposiciones:

  • \( p \): \( a \) y \( b \) son números pares.
  • \( q \): \( a+b \) es par.

De estas proposiciones podemos decir lo siguiente para los siguientes apartados.

Condición suficiente

Sea la siguiente proposición condicional \( p \rightarrow q \): si \( a \) y \( b \) son números pares, entonces \( a = 2r \) y \( b = 2k \), la suma sería \( a+b = 2r + 2k = 2(r+k) \), aquí comprobamos que la suma \( a+b \) es par por tener como factor de multiplicación al \( 2 \), por tanto, la proposición \( p \rightarrow q \) es verdadera y decimos entonces que \( p \) es condición suficiente para \( q \).

Condición necesaria

Ahora verifiquemos si es verdad la proposición condicional \( q \rightarrow p \): si \( a+b \) es par, podemos deducir dos posibilidades, una de ellas es como en el caso anterior, de que \( a = 2r \) y \( b = 2k \) pueden ser pares, sin embargo, también pueden ser impares y pueden tener la forma impar así \( a = 2r + 1 \) y \( b = 2k+1 \), al sumarlos \( a+b = (2r+1) + (2k+1) = 2( r+k+1 ) \), esto significa \( a \) y \( b \) también pueden ser impares y pueden generar una suma de un número par. Para estos casos, decimos que \( a+b \) par no es una condición suficiente, pero si una condición necesaria para que \( a \) y \( b \) sean pares.

En base estos resultados, concluimos que la conclusión es condición necesaria para las premisas y las premisas es condición suficiente para la conclusión.


Combinación de las condiciones suficientes y necesarias

Pero la cosa cambia cuando agregamos un requisito mas para el segundo caso anterior (para el caso de la condición necesaria), donde:

  • \( p \): \( a \) y \( b \) son números pares.
  • \( q \): \( a+b \) es par.
  • \( s \): \( a \cdot b \) es par.

Para el primer caso \( p \rightarrow ( q \wedge s ) \): si \( a \) y \( b \) son pares, obviamente la suma \( a+b \) y la multiplicación \( a \cdot b \) son pares, aquí decimos que \( p \) es condición suficiente para \( q \wedge s \). El caso inverso \( ( q \wedge s ) \rightarrow p \), si consideramos \( q \rightarrow p \) y \( s \rightarrow p \) por separado, tenemos los siguientes resultados:

Aquí \( a \cdot b \)  por si solo al ser un número par, no significa que \( a \) y \( b \) sean pares, por ejemplo el 1 y 2, igualmente sucede con la suma \( a + b \), al ser este par, tampoco significa que \( a \) y \( b \) sean pares, como puede suceder con \( 3 \) y \( 5 \), resultando \(  3 + 5 = 8 \).

Podemos decir que tanto la suma y la multiplicación por separado son condiciones necesarias pero no suficientes para que \( a \) y \( b \) sean pares.

Pero si lo juntamos en una proposición conjuntiva \( q \wedge s \): \( a + b \) y \( a \cdot b \), resulta:

  • \( a + b = \text{par} \cdots ( \mathrm{I} ) \)
  • \( a \cdot b = \text{par} \cdots ( \mathrm{II} ) \)

De \( ( \mathrm{I} ) \) despejamos \( a \) y reemplazamos en \( ( \mathrm{II} ) \), tenemos:


\[ a ( \text{par} – a ) = \text{par} \cdots ( \mathrm{III} ) \]

Si \( a \) e impar la condición \( ( \mathrm{III} ) \) no se cumple, pero si \( a \) es par, esta misma condición se cumple tranquilamente, como \( a = \text{par} \), lo reemplazamos en \( ( \mathrm{I} ) \), obtenemos:

\[ \text{par} + b = \text{par} \]

Para que esta última fórmula se cumple, es obligando que \( b \) sea también par. Por tanto, concluimos que las proposiciones \( q \) y \( s \) no solo son condiciones necesarias, sino también son condiciones suficientes para que \( p \) se cumpla.

En definitiva se cumple tanto \( p \rightarrow ( q \wedge s ) \) como \( (q \wedge s) \rightarrow p \), por tanto, decimos \( q \wedge s \) es condición suficiente y necesaria para \( p \) si se cumple \( p \leftrightarrow ( q \wedge s ) \), naturalmente también podemos decir que \( p \) es condición suficiente y necesaria para \( q \wedge s \) para el mismo esquema molecular \( p \leftarrow ( q \wedge s ) \).

Espero que con estos ejemplos quede claro cuando debe decirse que un argumento es condición suficiente, condición necesaria y cuando es una condición suficiente y necesaria a la vez. Estas palabras son muy usadas en matemáticas para diferenciar muchos casos demostrativos.


Tengan en cuenta que si una condición de un antecedente es necesaria para un consecuente, se puede escribir como \( p \rightarrow q \) cosa que no lo hemos aclarado antes, pero no se puede escribir \( p \Rightarrow q \), es incorrecto, porque no se puede deducir \( q \) de \( p \), esto ya lo aclaré en la entrada de la condicional material, pero mucho más en la entrada de la equivalencia, implicación e inferencia lógica.

Pero para aclararlo rápidamente aquí mismo, la proposición condicional \( p \rightarrow q \) puede ser verdadera como también falsa, y no se toma en cuenta el argumento de manera estricta de las proposiciones \( p \) y \( q \), en cambio, para la implicación \( p \Rightarrow q \), esto resulta ser siempre una afirmación verdadera.

Por fin, comencemos con los diferentes métodos de demostraciones matemáticas que estábamos ya esperando desde un inicio.

Método de las demostraciones


Los métodos que trataremos a continuación son los mas habituales en el área de matemáticas y las más usadas, naturalmente la que vendrá en breve es la más usada de todas y si se me permite la palabra aquí, también la más confiable porque puedes observar todo el proceso de la demostración si hacer supuestos.

El resto de los métodos son usados cuando no es posible usar métodos directos, esto dependerá de como y que manera se anuncie una proposición matemática, comencemos con el primero método.

Demostración directa

Este método se basa en un argumento condicional del tipo \( p \rightarrow q \), en esta proposición se toma como punto de partida la hipótesis \( p \) que son los requisitos suficientes para \( q \), en este caso, para la tesis; no olvidar que \( q \) es una condición necesaria de \( p \). Luego, si la proposición condicional \( p \rightarrow q \) es verdadera, se afirma que la implicación \( p \Rightarrow q \) (\( p \) implica \( q \)) es verdadera. Si \( q \rightarrow p \) resulta resulta ser falsa pero \( q \) logra ser una condición necesaria para \( p \), la implicación no se cumple y se escribe \( p \nRightarrow q \), una condición necesaria no es una implicación pero si una condicional material donde se puede negar o afirmar una afirmación.


Ya se mostró ejemplos de demostración directa en el apartado anterior de “condición suficiente y necesaria“, pero el punto aquí es que la verdad del antecedente es la causa suficiente para que el consecuente sea verdadero.

En matemáticas, los requisitos suelen ser axiomas, definiciones y otros teoremas para su demostración, el proceso de la demostración comienza cuando se afirma que \( p \rightarrow q \) es verdadera porque se anunció como un teorema a demostrar, luego, se afirma la verdad de \( p \) para afirmar \( q \), esto se puede representar en una sencilla lógica de la siguiente manera:

\[ \begin{array}{ l l } & p \rightarrow q \\ & p \\ \hline \therefore & q \end{array} \]

Esta es una implicación notable llamado ley de Modus Ponens y su esquema original se escribe así \( ( p \rightarrow q ) \wedge p \Rightarrow q \). Un ejemplo de modo clásico de demostración directa sería este:

\[ \begin{array}{ l } \text{Si hoy llueve, entonces el piso se moja} \\ \text{Hoy llueve} \\ \hline \text{Por tanto, el piso se moja} \end{array} \]

Aquí un ejemplo de derivada muy sencilla, se afirma la siguiente proposición condicional:


\[ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } f(x) = \lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x – \Delta x ) – f(x) }{ \Delta x } \rightarrow \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } x^{2} = 2x \]

La ecuación \( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } f(x) = \lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \frac{ f(x – \Delta x ) – f(x) }{ \Delta x } \) es el antecedente y con ello, debemos probar el consecuente \( \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } x^{2} = 2x \), para ello, tomamos la igualdad \( f(x) = x^{2} \) y lo reemplazamos en el antecedente, tenemos:

\[ \begin{align} \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } x^{2} & = \lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \frac{ ( x – \Delta x )^{2} – x^{2} }{ \Delta x } \\ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } x^{2} & = \lim\limits_{ \Delta x to 0 } ( 2x – \Delta x ) \end{align} \]

como \( \lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \Delta x = 0 \), finalmente resulta:

\[ \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } x^{2} = 2x \]

Esto demuestra que la proposición condicional es verdadera y por tanto, resulta ser una implicación. Este es un típico ejemplo de demostración directa, no hay mas que decir, sigamos con el siguiente método de demostración.


Demostración por contraposición

Esta es una demostración indirecta donde realizaremos algunos ajustes lógicos a la implicación \( p \Rightarrow q \), hemos dicho que \( q \) es condición necesaria de \( p \), de aquí se deduce que \( q \) no es condición suficiente para \( p \) o dicho de otro modo, \( \sim q \) implica \( \sim p \), y se escribe así \( \sim q \Rightarrow \sim p \), esta afirmación sería condición suficiente para afirmar \( p \Rightarrow q \).

Lo único que hemos hecho es cambiar la dirección de la inferencia negando cada término proposicional \( p \) y \( q \). Veamos un ejemplo con el siguiente argumento de forma condicional:

  • Si amanece, entonces habrá luz.

Naturalmente si amanece, implica que haya luz (\( p \Rightarrow q \)), entonces amanecer es condición suficiente para que haya luz, sin embargo, si hay luz, no implica que amanezca, porque existe la posibilidad que la fuente de luz sea una fuente eléctrica artificial, en este caso \( q \) no implica \( p \) y se escribe \( q \nRightarrow p \), pero algo sí es seguro porque podemos de decir que:

  • Si no hay luz, entonces no ha amanecido (\( \sim q \Rightarrow \sim p \))

Si se afirma \( p \Rightarrow q \), también se afirma \( \sim q \Rightarrow \sim p \), es decir:

\[ p \rightarrow q \Rightarrow \sim q \rightarrow \sim p \]

Para el caso de la lluvia y el piso mojado, decimos:

  • Si hoy llueve, entonces el piso se moja (\( p \rightarrow q \)).
  • Si el piso se moja, no significa que llueva (\( q \Rightarrow p \)).
  • El piso no se moja, por tanto, no está lloviendo (\( \sim q \Rightarrow \sim p \)).

¿Para que sirve este método? Supongamos que no podemos probar un teorema con el método directo, entonces usamos este método indirecto negando el consecuente y el antecedente cambiando la dirección de la implicación. Ese sería nuestro nuevo teorema a demostrar.

Demostración por reducción al absurdo

Tenemos una proposición \( p \rightarrow q \), este método consiste considerar \( p \rightarrow \sim q \) como verdadera para luego probarlo, si resulta que \( p \rightarrow \sim q \) es falsa, entonces \( p \rightarrow q \) es verdadera.

En el lenguaje natural, es suponer como falsa la tesis del argumento que se intenta demostrar, luego, bajo una serie de operaciones intentamos buscar que la negación de tesis es deducible de la hipótesis original del argumento resultando por lo general una contradicción, es decir, un absurdo, implicando así la verdad del argumento original.

Esta es una demostración indirecta como en el apartado anterior, porque no parte del argumento o proposición original, este método suele llamarse también demostración por contradicción.

Este tipo de argumentos son muy usados en matemáticas y nos da una certeza de la verdad de los argumentos originales al demostrar la falsedad de su hipotética “falsedad” del argumento original.

Por ejemplo, queremos demostrar que si \( a^{2} \) es par, entonces \( a \) es par, entonces suponemos como verdadera que si \( a^{2} \) es par, entonces \( a \) es impar, en base este argumento, \( a^{2} = 2k \), como estamos tratando con números enteros y divisibilidad, se supone que \( 2 \) divide a \( a^{2} \), hemos supuesto que \( a = 2k+1 \), elevando al cuadrado, resulta \( a^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2( 2k^{2} + 2k ) + 1 =2r+1 \), esto indica que \( a^{2} \) es impar, contradiciendo \( s^{2} = 2 \). Por tanto, se demuestra que cuando \( a \) es par porque \( a^{2} \) es par.

Simbólicamente:

\[ \mathrm{V} ( p \rightarrow \sim q ) = F \Rightarrow \mathrm{V} ( p \rightarrow q ) = V \]

Si \( p \rightarrow \sim q \) es falsa, implica que \( p \rightarrow q \) sea verdadera.

Demostración por el principio de inducción

El principio de inducción matemática es una regla lógica matemática y no una prueba de ensayo y error para tener cierto grado de certeza para que una teoría sea verdadera, es decir, una conjetura. En matemáticas, una prueba repetitiva para diferentes números que sean ordenados o aleatorios de una propiedad no es considerado una como una demostración rigurosa o mas extrictamente hablando, no es una demostración propiamente dicha.

Es por ello que debemos diferenciar entre un razonamiento inductivo y el principio de inducción matemática; el primero como ya mencioné, no es considerado como una demostración matemática, porque podemos caer en conjeturas que ya expliqué en apartados anteriores, en cambio, el principio de inducción o inducción completa, es un teorema donde su demostración esta regido por el razonamiento deductivo.

El teorema del principio de inducción dice así:

Un enunciado \( p_{n} \), donde \( n \) es un entero positivo (es decir, un número contable), es cierta para todos los valores enteros positivos de \( n \) si se satisface los siguientes dos requisitos:

  • \( p_{1} \) es verdadero, esto es, el enunciado se cumple para \( n = 1 \).
  • Si \( i \) es un entero positivo arbitrario para el que \( p_{i} \) es hipotéticamente verdadero, entonces \( p_{i+1} \) también es verdadero, demostrando la verdad de los enunciados \( p_{n} \) y \( p_{1} \).

Por ejemplo, queremos demostrar que \( n^{3} + 2n \) es múltiplo \( 3 \), desde el punto de vista de Euclides, el procedimiento sería el siguiente:

  • Si \( n = 1 \), entonces \( 1^{3} + 2(1) = 3 \) es múltiplo de \( 3 \).
  • Si \( n = 2 \), entonces \( 2^{3} + 2(2) = 12 \) es múltiplo de \( 3 \).
  • Si \( n = 3 \), entonces \( 3^{3} + 2(3) = 33 \) es múltiplo de \( 3 \).
  • Si \( n = 4 \), entonces \( 4^{3} + 2(4) = 72 \) es múltiplo de \( 3 \).

Aparentemente este método indica que para el resto de los enteros positivos para el valor de \( n^{3} + 2n \)  resultará siempre múltiplo de \( 3 \), sin embargo, el razonamiento inductivo que se usa en otras ciencias de la investigacion, para el caso de las matemática no es considerado una demostración. Por esta razón, las matemáticas hacen uso del principio de inducción matemática, es un teorema que se puede demostrar tranquilamente por métodos deductivos, sin recurrir a la inducción de ensayo o prueba y error.

No voy a demostrar el teorema, ya haremos un capitulo de ella en otra oportunidad, solo mostraré su adecuado uso con el siguiente ejemplo:

Para \( n=1 \) naturalmente se prueba que \( 1^{3} + 2(1) = 3 \) es múltiplo de \( 3 \).

Para \( n = k \) supondremos que \( k^{3} + 2k \) es múltiplo de \( 3 \), en base a esto, tenemos que probar que:

Para \( n = k+1 \) donde \( (k+1)^{3} + 2(k+1) \) debe ser múltiplo de \( 3 \). En efecto, si realizamos la operaciones correspondientes, resulta que: \( (k+1)^{3} +2(k+1) = (k^{3}+2k) + 3(k^{2}+k+1) \), como el factor \( k^{3} + 2k \) es múltiplo de \( 3 \) y el factor \( 3( k^{2} + k + 1 ) \) es múltiplo de \( 3 \), por tanto, por el principio de inducción decimos que \( n^{3} + 2n \) es múltiplo de \( 3 \).

Este teorema nos ayuda a evitar el innecesario trabajo de probar con diferentes valores que le asignemos a nuestra proposición-teorema para creer que es cierta porque ciertos valores particulares también sea cierta.

Demostración constructiva

Aquí podemos encontrar 3 casos diferentes de demostración por construcción, se le dice por construcción porque se construye un ejemplo que puede afirmar o contradecir un argumento, este método es un método de probabilidad de existencia, es decir, existe la probabilidad de que si existe un ejemplo particular para una proposición, entonces la proposición indica que existe otros casos que la proposición indica. Veamos dos casos derivadas de estas.

Por existencialidad particular

Este método sirve para demostrar que existe un caso que cumple con los requisitos de una propiedad hipotética general de existencia que no se puede probar directamente desde la misma propiedad o por lo menos, no se tiene los requisitos necesarios para demostrar desde la propiedad.

Aunque esto no excluye que pueda usarse para aquellos casos donde la demostración es directa, por lo que se tomaría de manera auxiliar o secundaria este tipo de demostraciones

Decimos “existencialidad particular”, porque se prueba con un ejemplo particular un caso general de un argumento que afirma la existencia de un conjunto definido de casos que cumple una propiedad del argumento dado. Exte método no sirve para casos generales, sino para casos de existencia. Vayamos con un ejemplo:

Para todos los valores \( a,b \in \mathbb{I} \), existe un \( k \in \mathbb{Z} \) tal que \( a+b=k \); tenga en cuenta que \( \mathbb{I} \) representa al conjunto de números irracionales y \( \mathbb{Z} \) es el conjunto de los números enteros. Este enunciado nos dice que existe un número entero producto de la suma de dos números irracionales. 

Basta con un simple ejemplo particular indica que el enunciado anterior es verdadero. En efecto, si tomamos los siguientes valores irracionales:

  • \(  a=3+ \sqrt[3]{18}\)
  • \( b=4- \sqrt[3]{18} \)

Al sumarlo, el valor de \( \sqrt[3]{18} \) se cancela quedando:

[( a+b=7 \ \text{entero} \]

De esta manera queda demostrado el enunciado.

Por contraejemplo

Este método consiste en considerar una conclusión contraria de una proposición general (no existencial) como verdadera y encontrar un caso particular que contradiga dicha conclusión contraria, demostrando de esta manera la proposición general con su conclusión original, es decir, la conclusión no contraria.

Por ejemplo, Cantor uso este método para demostrar que los números reales no son numerables, por ejemplo, queremos averiguar si todos los números reales entre \( 0 \) y \( 1 \) son numerables, en este caso, estamos suponiendo que los números reales son numerables. A Continuación veremos un método informal para que vean como funciona este método.

Es decir, se puede colocar los números reales en una sucesión donde sea posible contabilizarlos con los números naturales, tomemos dos valores reales de la sucesión \( a, b \) comprendidas entre \( 0 \) y \( 1 \) tal qué \( 0 < a < b < 1 \) donde \( a \)es el número \( n \) y \( b \) es el número \( n+1 \), es decir, \( b \)es el siguiente número de \( a \)pero el valor medio de \( a \)y \( b \) es:

\[ a < \frac{a+b}{2} < b \]

También es un número real, la pregunta es, ¿cual es la numeración de \( \frac{a+b}{2} \) entre \( n \) y \( n+1 \)?, naturalmente ninguna porque no existe un número natural entre \( n \) y \( n+1 \) para contabilizar \( \frac{a+b}{2} \) en la sucesión. Esto demuestra que los números reales son no numerables.

Demostración por casos

También se le llama demostración por exhaustividad, este método se basa para demostrar una proposición en bajo una serie limitada de únicos casos existentes, por ejemplo, si \( n \in \mathbb{Z} \), entonces \( n^{2} \geqslant 0 \)

Para demostrarlo, debemos suponer dos casos, esto es para \( n \) menor que \( 0 \), que seria el caso 1 y para \( n \)mayor o igual a \( 0 \) como el caso 2, en cualquiera de los dos únicos casos posibles, al ser elevado al cuadrado, siempre se cumple \( n^{2} \geqslant 0 \) quedando demostrado la proposición.

Demostración por el método de la disyunción exclusiva

También se le conoce como demostración no constructiva, este método nos ayuda a crear posibilidades hipotéticas contrarias que si bien no se sabe cuál de las dos es verdadera, indica que siempre una de las dos debe ser verdadera y no ambas demostrando de esta manera la verdad de la proposición.

Este es un ejemplo clásico que lo puedes encontrar hasta en wikipedia, se quiere probar que “un irracional elevado a otro irracional nos da como resultado la posibilidad de la existencia de un racional” o dicho de otro modo, “existen dos números irracionales \( a, b \) que da como resultado un número racional del tipo \( a^{b} \)”.

Tenemos el siguiente número irracional \( \sqrt{2} \), queremos averiguar si \( { \sqrt{2} }^{ \sqrt{2} } \) cumple con nuestro argumento, supongamos dos posibles hipótesis contrarias:

  • Si \( { \sqrt{2} }^{ \sqrt{2} } \) es racional, entonces el asunto se encuentra solucionado, no hay más que demostrar.
  • Si \( { \sqrt{2} }^{ \sqrt{2} } \) es irracional, entonces realizaremos la siguiente estrategia, elevaremos este resultado a otro número irracional, esto es \( \sqrt{2} \). Tenemos:
    \( ( { \sqrt{2} }^{ \sqrt{2} } )^{ \sqrt{2} } \)

como pueden ver, resulta un numero racional.

Por tanto, queda probado que en cualquiera de los dos resultados contrarios resulta posible la existencia de un racional de la forma \( a^{b} \)donde \( a, b \) son irracionales.

Demostración visual

Es un método de demostración clásica que se usa en la enseñanza media como la geometría euclidiana y esta basado basado en la intuición lógica, es decir, no es un método formal de demostración, un método formal de demostración matemática de manera formal y no visual de la geometría euclidiana lo podemos ver en un libro de geometría de Carlos Ivorra en su libro “el álgebra y la geometría elemental”.

Por ejemplo, queremos demostrar el teorema de pitágoras:

triángulo rectángulo

Teorema de Pitágoras

\[ a^{2} + b^{2} = c^{2} \]

Donde \( a \), \( b \) son los catetos y \( c \) es la hipotenusa.

Para demostrarlo, haremos una construcción geométrica adicional de nuestro triangulo rectángulo, nuestra nueva gráfica sería.

Trapecio rectángulo para demostrar el teorema de pitagoras

En la imagen que ves a lado izquierdo o arriba si estas en un móvil, hemos duplicado el triángulo rectángulo de color naranja, en este caso el color azul, se ha colocado el triángulo azul de tal manera que el lado \( a \), sea perpendicular al lado \( b \) del triángulo naranja y que el lado \( a \) del triángulo naranja forme un solo segmento con el lado \(  b \) del triángulo azul, formando de esta manera un trapecio rectángulo.

Como se habrán dado cuenta, se ha generado un triángulo rectángulo de catetos iguales que olvide enumerar, llamemoslo triángulo 3. Las áreas de cada una de ellas son:

  • Triángulo 1: \( \frac{ab}{2} \).
  • Triángulo 2: \( \frac{ab}{2} \)
  • Triángulo 3: \( \frac{ c^{2} }{2} \)

Tengan en cuenta que el triángulo 1 y 2 son iguales por lo que tienen áreas iguales y el triángulo 3 que olvide enumerar es un triángulo rectángulo de catetos iguales, por ello en su área existe un factor \( c^{2} \) ya que los catetos son iguales a \( c \).

La suma de las áreas de estos triángulos forma el área del trapecio rectángulo y la formula del área de este trapecio es \( \mathrm{A}_{ \text{trapecio} } = \frac{ \text{H( B. mayor + B. menor ) } }{2} \), resulta:

\[ \mathrm{A}_{ \text{trapecio} } = \frac{ (a+b)(a+b) }{2} = \frac{ (a+b)^{2} }{2} \cdots ( \text{I} ) \]

Es decir, la altura del trapecio según el gráfico sería \( \text{H} = a+b \), la base mayor sería \( \text{B. mayor} = b \) (parte inferior del trapecio) y la base menor \( \text{B. menor} = a \) (parte superior del trapecio).

Pero como también \( \mathrm{A}_{ \text{trapecio} } \frac{ \text{H(B. mayor + B. menor) } }{2} = \text{triangulo 1 + triangulo 2 + triangulo 3} \) ya que resultan las mismas áreas del mismo trapecio, entonces:

\[ \mathrm{A}_{ \text{trapecio} } = \frac{ \text{H(B. mayor + B. menor)} }{2} = \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} + \frac{c^{2}}{2} \cdots ( \text{II} ) \]

De \( ( \text{I} ) \) y \( ( \text{II} ) \), resulta:

\[ \frac{ (a+b)^{2} }{2} = \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} + \frac{c^{2}}{2} \]

Como \( (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \), una identidad llamada binomio al cuadrado, resulta:

\[ \require{cancel} \begin{align} \frac{ a^{2} + b^{2} +2ab }{2} & = \overbrace{ \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} }^{ \frac{2ab}{2}  = ab } + \frac{c^{2}}{2} \ \frac{ a^{2} + b^{2} }{2}  + \frac{ 2ab }{2} \\ & = ab + \frac{ c^{2} }{2} \ \frac{ a^{2} + b^{2} }{2} + \cancel{ab} \\ & = \cancel{ab} + \frac{c^{2}}{2} \ \frac{ a^{2} + b^{2} }{2} \\ & = \frac{ c^{2} }{2} \ a^{2} + b^{2} = c^{2} \cdots ( \text{demostrado} ) \end{align} \]

De esta manera demostramos el teorema de pitágoras por el método visual.

Como ya mencione anteriormente, este tipo de demostraciones es método informal, ya que era necesario usar imágenes de apoyo para su demostración, una demostración formal se logra simbolizando formalmente los gráficos geométricos bajo definiciones y realizar todo el desarrollo por medio de argumentos matemáticos.

Fin de la sección

Estos son los métodos mas habituales y los que más usarán en el curso de matemáticas, por lo general en el área de las facultades de matemáticas de las universidades que en otras ciencias.

Esto no es una wikipedia por lo que no pondré información que no usarán habitualmente, estos métodos lo verán comúnmente no solo en cursos avanzados de matemática, sino también aquí, en todos mis cursos de matemática.

Esta página como el resto de las paginas de lógica proposicional, se actualizarán constantemente por cuestiones de SEO, pero sobre todo por información vital de las entradas del capitulo que estoy tratando.

La próxima entrada desarrollaré el capítulo de circuitos lógicos y en la subsiguiente me centraré a desarrollar problemas de lógica proposicional.

Y esto sería todo queridos amigos, nos vemos en la próxima entrada, bye.

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Métodos De La Demostración Matemática
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Métodos De La Demostración Matemática
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En esta entrada describiré los Métodos De La Demostración Matemática, como pueden ser la demostración directa, la demostración por contraposición, etc
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