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Equivalencia, implicación e inferencia

10. Equivalencia, implicación e inferencia


Hola gente, ¿como han estado? supongo que todo bien. Hoy vamos a centrarnos en algunos aspectos importantes en el curso de lógica proposicional, en este caso, discutiremos el tema de la inferencia lógica.

Pero iremos por partes, comencemos con dos conceptos importantes, esto es, la equivalencia lógica y la implicación. Esta ultima lo expliqué muy brevemente en la entrada de condicional material, pero esta vez nos extenderemos un poco mas.

Equivalencia lógica


Si dos argumentos diferentes hablan de lo mismo y comparten el mismo concepto o significado, decimos entonces que dichos argumentos son lógicamente equivalentes.

Si dos argumentos son lógicamente equivalentes, entonces también poseen los mismos valores de verdad. Esto es lo que llamamos equivalencia lógica y puede confundirse con la bicondicional, pero fácilmente lo podemos explicar con un sencillo ejemplo como sigue:

  • \( p \) = mi perro es grande y mi gato es pequeño

La proposición anterior puede separarse en otras dos proposiciones porque notamos la existencia del conjuntivo “y“, Se puede escribir así:

  • \( p = r \wedge q \)

Donde “\( r \) = mi perro es grande” y “\( q \) = mi gato es pequeño“. El esquema anterior es una equivalencia lógica, pero la manera correcta de escribirlo es como sigue:


  • \( p \equiv r \wedge q \)

Son equivalentes porque si niego a \( r \wedge q \), entonces también tendré que negar \( p \), en otras palabras, tanto \( p \) como \( r \wedge q \) deben tener los mismos valores de verdad.

Sin embargo este ejemplo es muy básico y el esquema \( p \equiv r \wedge q \) no prueba que sean equivalentes ni en una tabla de verdad porque no hay ninguna condición que conecte las variables \( p \), \( r \) y \( q \) entre sí.

Veamos otro ejemplo mas elaborado:

  1. Si este animal tiene cuatro patas, tiene cola y dice miau, entonces es un gato.
  2. Si este animal no tiene cuatro patas, no tiene cola y no dice miau, entonces no es un gato.

De las dos proposiciones anteriores, podemos extraer 4 proposiciones simples, estos son:

  • \( p \) = este animal tiene cuatro patas.
  • \( q \) = este animal tiene cola.
  • \( r \) = este animal dice miau.
  • \( s \) = este animal es un gato.

Los dos argumentos anteriores se pueden escribir así:

  1. \( ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s \)
  2. \( ( \sim  p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow \sim s \)

Al parecer, la proposición 1 puede inferirse de la proposición 2 y la proposición 2 puede inferirse de la proposición 1, pero supongamos que \( \mathrm{V}(p) = V \), \( \mathrm{V}(q) = V \), \( \mathrm{V}(r) = V \) y \( \mathrm{V}(s) = F \), la validez de las proposiciones 1 y 2 sería:


  • \( \mathrm{V} [ ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s ] = \mathrm{F} \)
  • \( \mathrm{V} [ ( \sim  p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow \sim s ] = \mathrm{V} \)

Por tanto, las proposiciones 1 y 2 no son equivalentes, simbólicamente se escribe así:

\[ \mathrm{V} [ ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s ] \color{red}{ ≢  } \mathrm{V} [ ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow \sim s ] \]

Podemos decir que la bicondicional entre las proposiciones 1 y 2 resulta ser una contingencia, y se escribe así:

\[ [ ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s ] \color{red}{ \leftrightarrow } [ ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow  \sim s ] = \textbf{C} \]

Esto quiere decir que las proposiciones 1 y 2 no solamente siempre pueden ser opuestos sino que no presentan el mismo argumento.

Osea, es verdadero para ciertos valores de verdad de cada variable proposicional, pero no para el resto de las combinaciones. Supongamos el siguiente argumento proposicional:


  • Es falso que este animal no tiene cuatro patas, tenga cola y diga miau, o es un gato

Simbólicamente se puede escribir así:

  • \( \sim ( p \wedge q \wedge r ) \vee s \)

Si desarrollamos la tabla de verdad de este esquema y del esquema 1, nos damos cuenta que tiene el mismo valor de verdad, en este caso se dice que es una tautología:

  • \( [ \sim ( p \wedge q \wedge r ) \vee s ] \leftrightarrow [ ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s ] = \textbf{T} \)

Es decir, los valores de verdad de \( \sim ( p \wedge q \wedge r ) \vee s \) y \( ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s \) son iguales, por tanto, se cumple la equivalencia lógica entre las dos y simbólicamente se escribe así:

\[ \sim ( p \wedge q \wedge r ) \vee s \equiv ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s \]

En base a este punto, presentamos la siguiente definición.

Definición

Sea dos proposiciones \( p \) y \( q \), si la proposición \( p \leftrightarrow q \) es una tautología, entonces \( p \) es equivalente a \( q \) y se simboliza como \( p \equiv q \).

Ejemplo

Sean los esquemas moleculares \( p \rightarrow q \) y \( \sim p \vee q \), averiguaremos si estas proposiciones son equivalentes, para ello, debemos probar que \( ( p \rightarrow q ) \leftrightarrow ( \sim p \vee q ) \) es una tautología, veamos la siguiente tabla de valores de verdad:


\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & ( p \rightarrow q ) \leftrightarrow ( \sim p \vee q ) \\ \hline V & V & V \hspace{1cm} \color{red}{V} \hspace{1.3cm} V \\ V & F & F \hspace{1cm} \color{red}{V} \hspace{1.3cm} F \\ F & V & V \hspace{1cm} \color{red}{V} \hspace{1.3cm} V \\ F & F & V \hspace{1cm} \color{red}{V} \hspace{1.3cm} V \\ & & 1 \hspace{1.1cm} \color{red}{2} \hspace{1.4cm} 1 \end{array} \]

El número \( 1 \) significa que son los primeros en calcularse y \( 2 \) que es el segundo en calcularse. Como notamos que los valores de verdad del esquema son todas verdaderas, entonces el esquema dado resulta una tautología, en ese caso se cumple:

\[ ( p \rightarrow q ) \leftrightarrow ( \sim p \vee q ) = \textbf{T} \]

Donde \( \textbf{T} \) significa que el esquema molecular es tautologica. Por tanto, los esquemas \( p \rightarrow q \) y \( \sim p \vee q \) son equivalentes y se escribe así:

\[ ( p \rightarrow q ) \equiv ( \sim p \vee q ) \]

Diferencias entre la bicondicional material y la equivalencia lógica

Si bien es cierto que la bicondicional material y la equivalencia lógica son muy similares, tiene algunas diferencias que las caracteriza, en la siguiente tabla te muestro las diferencia:


Bicondicional material
\( p \leftrightarrow q \)
Equivalencia lógica
\( p \equiv q \)
El conectivo bicondicional entre dos proposiciones es otra proposición. La equivalencia lógica es la igualdad entre dos proposiciones afirmativas.
No siempre una proposición bicondicional es verdadera.La equivalencia lógica entre dos proposiciones siempre es verdadera.
La bicondicional de dos proposiciones \( p \) y \( q \) puede expresarse como una identidad del tipo \( ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \).La equivalencia lógica no solo no puede expresarse como \( ( p \rightarrow q ) \wedge ( q \rightarrow p ) \), tampoco lo permite porque no es una proposición.

La tercera y cuarta fila de esta tabla lo explicaremos en una entrada donde trataremos todas las identidades proposicionales.

Otras diferencias importantes de la equivalencia respecto a la bicondicional, es que esta última solo trabaja con los únicos valores de verdad formales de las proposiciones obviando el argumento, esto es, el de verdadero o falso, pero la equivalencia trabaja con la semántica, es decir, con los argumentos de \( p \) y \( q \).

Por ejemplo, sean las siguientes proposiciones:

  • \( p: x^{3} = y \)
  • \( q: x =\sqrt[3]{y} \)

Los argumentos \( x^{3} = y \) y \( x = \sqrt[3]{y} \) representa la semántica de \( p \) y \( q \) y la equivalencia lógica trabaja con la semántica de \( p \) y \( q \) donde \( x^{3} = y \) se puede deducir de \( x = \sqrt[3]{y} \) y \( x = \sqrt[3]{y} \) se puede deducir de \( x^{3} = y \). Por tanto, si \( p \) es falso, entonces \( q \) también lo será y viceversa. En resumen, la verdad para la equivalencia lógica depende únicamente de los argumentos de \( p \) y \( q \).

Con la bicondicional es completamente distinto, porque trabaja con los valores de verdad de las variables proposicionales, esta son, el de verdadero o falso y no depende de la estructura de los argumentos y se basa en supuestos probabilísticos, digo supuestos por no tiene la certeza de si la bicondicional es verdadera o falsa.

¿Cuando dos proposiciones son mutuamente equivalentes?

Esto ya lo explicamos en la definición de equivalencia, esto es, dos proposiciones será equivalentes si unidas por una bicondicional resulta ser una tautología.


Para cumplir este objetivo, debemos de comprobarlo con la bicondicional elaborando una tabla de verdad y resolver todos los valores de verdad de sus variables proposicionales.

Ejemplo

Averiguar si las siguientes proposiciones son equivalentes:

  • \( ( \sim p  \vee q ) \wedge \sim q \)
  • \( \sim p \)

Solución:

Para averiguar que \( ( \sim p  \vee q ) \wedge \sim q \)

y \( \sim p \) sean proposiciones equivalentes, debe cumplirse que \( [ ( \sim p  \vee q ) \wedge \sim q ] \leftrightarrow ( \sim p ) \) sea una tautología, esto lo veremos en la siguiente tabla de verdad:

\[ \begin{array}{ c | c | c } p & q & [ ( \color{blue}{ \sim } p  \color{green}{ \vee } q ) \color{maroon}{ \wedge } \color{blue}{ \sim } q ] \color{red}{ \leftrightarrow } ( \color{blue}{ \sim } p ) \\ \hline V & V & F \hspace{0.5cm} V \hspace{0.6cm} F \hspace{0.2cm} F \hspace{0.8cm} V \hspace{0.4cm} F \ \ \\ V & F & F \hspace{0.5cm} F \hspace{0.6cm} F \hspace{0.2cm} V \hspace{0.8cm} V \hspace{0.4cm} F \ \ \\ F & V & V \hspace{0.5cm} V \hspace{0.6cm} F \hspace{0.2cm} F \hspace{0.8cm} V \hspace{0.4cm} V \ \ \\ F & F & V \hspace{0.5cm} V \hspace{0.6cm} V \hspace{0.2cm} V \hspace{0.8cm} V \hspace{0.4cm} V \ \ \\ & & \color{blue}{1} \hspace{0.7cm} \color{green}{2} \hspace{0.8cm} \color{maroon}{3} \hspace{0.3cm} \color{blue}{1} \hspace{0.9cm} \color{red}{4} \hspace{0.6cm} \color{blue}{1} \ \ \end{array} \]


Esto prueba que \( ( \sim p  \vee q ) \wedge \sim q \) y \( \sim p \) son equivalentes.

La implicación lógica


Muchas veces la implicación lógica se confunde con la condicional material y explicar sus diferencias resulta ser un poco dificultoso. Entendemos su semejanza pero tienen sutiles diferencias que a primera vista no es posible comprender. Haremos el intento, primero simbolizamos la implicación lógica de dos proposiciones \( p \) y \( q \) de la siguiente manera:

\[ p \Rightarrow q \]

Simbólicamente es diferente a la condicional material:

\[ p \rightarrow q \]

Pero para no entrar en tanto detalles, reduciremos la excesiva explicación enunciando lo siguiente:


Definición

Decimos que una proposición \( p \) implica a otra proposición \( q \) simbolizado por \( p \Rightarrow q \) si \( p \rightarrow q \) resulta ser una tautología.

Es decir, si \( p \rightarrow q \) es tautológica, entonces se cumple la expresión \( p \Rightarrow q \). Pero si se afirma la implicación del tipo \( p \Rightarrow q \), no significa que \( p \rightarrow q \) sea siempre tautológica, solo tomará aquellos argumentos de \( p \rightarrow q \) cuando solo es verdadero.

Pero para los valores falsos de \( p \rightarrow q \) no será posible \( p \Rightarrow q \) y simplemente se escribirá como \( p \nRightarrow q \). Por tanto, a nivel sintáctico, los valores de verdad de \( p \rightarrow q \) son:

\[ \mathrm{V} ( p \rightarrow q ) = \left \{ \mathrm{V} ( p \Rightarrow q ), \mathrm{V} ( p \nRightarrow ) \right \} \]

Pero si \( p \rightarrow q = \textbf{T} \), entonces:

\[ \mathrm{V} ( p \rightarrow q ) = \mathrm{V} ( p \Rightarrow q ) \]

Podemos usar el ejemplo del gato donde afirmamos que:


  1. \( ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow \)
  2. \( ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow \sim s \)

y concluimos que:

\[ [ ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s ] \leftrightarrow [ ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow \sim s ] = \textbf{C} \]

Pero si cambiamos la condicional material por la implicación, es decir:

  1. \( p \wedge q \wedge r \Rightarrow s \)
  2. \( \sim p \wedge \sim q \wedge r \Rightarrow \sim s \)

Nuestro argumento debería ser este:

  1. Este animal tiene cuatro patas, tiene cola y dice miau, por tanto, es un gato.
  2. Este animal no tiene cuatro patas, no tiene cola y no dice miau, por tanto no es un gato.

Estos argumentos son afirmaciones contundente como ya se había repetido anteriormente y siempre son verdadera y hemos omitido aquellos casos donde donde la condicional es falsa, lo hicimos para hacer cumplir la implicación de la original que habíamos planteado donde habíamos dicho que:

  1. Si este animal tiene cuatro patas, tiene cola y dice miau, entonces es un gato.
  2. Si este animal no tiene cuatro patas, no tiene cola y no dice miau, entonces no es un gato.

Por lo que los valores de verdad de \( ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s \) y \( ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow \sim s \) son:


  • \( \mathrm{V} [ ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s = \left \{ \mathrm{V}( p \wedge q \wedge r \Rightarrow s ), \mathrm{V} ( p \wedge q \wedge r \nRightarrow s ) \right \} ] \)
  • \( \mathrm{V} [ ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r ) \rightarrow \sim s ] = \left \{ \mathrm{V} ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r \Rightarrow \sim s ), \mathrm{V} ( \sim p \wedge \sim q \wedge \sim r \nRightarrow s ) \right \} \)

Con esto, queda explicado de que no necesariamente la implicación como afirmación no resulta que la condicional sea una tautología.

Diferencias entre la condicional material y la implicación lógica

La implicación nos indica que un suceso o conclusión es culpa de una causa lo que indica que \( p \Rightarrow q \) es una afirmación contundente. La implicación relaciona dos afirmación, es decir, el valor de verdad del consecuente depende únicamente del valor de verdad del antecedente.

En definitiva, para la implicación, debe existir una causa para un efecto. porque si aceptamos a ciegas la condicional material como una tautología sin considerar \( \mathrm{V} (p) \equiv \mathrm{V} (q) \), entonces para la implicación indica que cualquier conclusión es causa de una mentira.

O dicho de otro modo, podemos mentir con la verdad, todos nuestras tesis y documentos científicos puede concluir resultados verdaderos con hipótesis falsas o faltas de rigor y esto es imposible, porque si fallo mil veces y en todas las mil veces ¿siempre tendré como resultado una verdad?.

Si fuese así, no existiría los errores, ni siquiera la palabra error existiría en nuestro vocabulario, pero lamentablemente no es así, hay que pisar tierra, muchachos.

Vayamos con algunos ejemplos, las proposiciones:


  • Si mi madre sale de casa, entonces me iré a dormir ( \( p \rightarrow q \) ).
  • Mi madre sale de casa, por tanto, me iré a dormir ( \( p \nRightarrow q \) ).

La expresión “Si mi madre sale de casa” indica una probabilidad, un pronóstico, porque en caso que no saliera, es posible que no me vaya a dormir, como también incumplir lo prometido.

En cambio, la expresión “Mi madre sale de casa”, es una afirmación contundente, afirma un suceso y si ocurre, no lo pensaría dos veces, simplemente me iría a dormir, en caso contrario, no me iría a dormir.

Tenga en cuenta que \( p \rightarrow q \) es otra proposición, en cambio \( p \Rightarrow q \) relaciona dos proposiciones. por esta misma razón tampoco es necesario usar signos de agrupación como en los ejemplos anteriores, como:

  • \( ( p \wedge q \wedge r ) \rightarrow s \) (esta es una proposición)
  • \( p \wedge q \wedge r \Rightarrow s \) (esta es una relación de dos proposiciones, funciona de la misma manera como el signo igual)

La semántica de la implicación:

Vayamos con un ejemplo rápidamente:

  1. Si \( 1 + 1 = 2 \), entonces yo soy Son Goku.
  2. El sistema operativo de mi celular es Android, por tanto, mi celular es un Smartphone.

La primera es una proposición condicional y una condicional le importa poco la relación que existe entre las proposiciones simples  que son “\( 1 + 1 = 2 \)” y “yo soy Son Goku“, lo único que le importa es la verdad o falsedad de cada una de ellas. La condicional material no le importa el sentido lógico de los argumentos más que solamente sus valores de verdad que posea.

La proposición número 2 representa a una afirmación, es decir, a una implicación, le interesa el sentido lógico de cada una de sus proposiciones simples y representa una afirmación verdadera. Pero si lo escribimos así:


  • \( 1+1=2 \), por tanto, yo soy Son Goku.

Obviamente no puedo ser Goku si \( 1+1=2 \), es un hecho imposible, para este tipo de relaciones, se dice que las proposiciones \( 1+1=2 \) no implica a ” yo soy Son Goku” y simplemente se escribe así \( p \nRightarrow q \).

Esto indica que la condicional material no esta interesado en la semántica de los argumentos, pero la implicación lógica si toma muy en cuenta la relación semántica entre los argumentos.

La inferencia lógica


Creo oportuno aclarar algunos puntos importantes en cuanto la inferencia se refiere según el campo de estudio que le demos. La inferencia para un “matemático”, para un “científico o ingeniero” y para “filósofos, historiadores, psicólogos” marcan alguna diferencia en cuanto concepto de inferencia.

Pero vayamos primero al concepto de la inferencia lógica antes de enunciar las diferencias según el campo de estudio, todo ello con una serie de ejemplos de lo que se entiende por inferencia que incluye tanto a la implicación y la equivalencia, pero mas la primera que la segunda.

El concepto de inferencia

Inferir simplemente significa extraer el contexto relacionado a un argumento que se formula. el contexto puede formar una característica, evento u objeto que se relacione al argumento. Diseñemos un ejemplo aclaratorio:

  • Si hoy llueve, ¿qué pasaría?

Este tipo de argumentos se les llama premisa y el contexto que lo relaciona puede ser muchos, téngase en cuenta que el contexto no existe literalmente en nuestro argumento anterior a nivel sintáctico sino a nivel semántico, es decir desde nuestra ideas producto de nuestras percepciones que nosotros justifiquemos según nuestro entorno circundante (el contexto para nuestra premisa).


Podemos sacar una tabla de diferentes contexto de la premisa anterior, aquí algunos de ellos:

Tabla 1:

PremisaContexto
Si hoy llueve, ¿qué pasaría? * El piso se moja
* Las casas se mojan
* El distrito se moja
* Los techos de los edificios se mojan
* Los bosques se mojan
* Las pistas se mojan
* Etc.

El contexto de una premisa son los diferentes sucesos como puede ser tanto abstractos o físicos que la relacionan y es descrito como un nuevo argumento como conclusión de nuestra premisa si se da el caso, pero si digo:

  • Si hoy llueve y los bosques se mojan ¿que pasaría?. (premisas).

Podríamos decir como conclusión que:

  • Los bosques se hidratan. (conclusión).

Cambiemos de nuevo las premisas de la siguiente manera:

  • Si hoy llueve, los bosques se mojan y se hidratan ¿que pasaría?. (premisas).

Podríamos concluir que:


  • Los bosques vivirán mas, de lo contrario, morirían por deshidratación. (conclusión).

Lo que intento decir es que mientras más premisas (datos) existan, la conclusión sera más precisa reduciendo así las suposiciones. De aquí, podemos sacar una segunda tabla de comparación:

Tabla 2:

Premisa Contexto
* Si hoy llueve
* Los bosques se mojan
* Los bosques se hidratan
* ¿Que pasaría?
Los bosques vivirán mas, de lo contrario, morirían por deshidratacion.

En la tabla 1 se podría sacar muchas posibles conclusiones desde una sola premisa, en la tabla 2 se puede sacar una conclusión desde varias premisas, esta última es una deducción, no una inducción. Pero la inducción también un tipo de inferencia lógica que lo trataremos luego.

Sin embargo, pude haber tomado de la tabla 1 del contexto como una inferencia lógica, lo único que hice en la tabla 1 es enumerar las posibles conclusiones que puede ser elegidos según el contexto que esté relacionado con las premisas.

La palabra “contexto” lo uso de la misma manera como la frase “nuestro mundo circundante”, sólo que aplicado para las premisas ya que estas están relacionados con algo, ese algo se supone son las conclusiones que debemos averiguar.

La inferencia en las matemáticas

La matemáticas se centra en lo abstracto y sus premisas principales son tan básicas y finitas que resulta muy sencillo establecer conclusiones muy precisas y definitivas comparado con otras ciencias no abstractas.

En matemáticas, la inferencia trabaja con un lenguaje formalizado llamado fórmulas bien formadas (FBF) y esta formadas por símbolos y caracteres con un orden muy bien definido (Esto se estudia en lógica de primer orden) lo cual podemos deducir otra FBF llamada conclusión.

Por lo general, una FBF como un conjunto de premisas está relacionada con otra FBF como conclusión por medio de una implicación o equivalencia lógica que ya estudiamos en apartados anteriores, aunque por lo general casi siempre se trabaja con la implicación. Pero vamos a considerar dos puntos muy importantes a continuación.

La implicación como inferencia lógica

Seré breve en este apartado, un ejemplo de ello es sacar conclusiones particulares de \( x+y = 35 \), por ejemplo, si \( x = 10 \), entonces \( y = 25 \). Sin embargo, de la conclusión \( y = 25 \) no se puede inferir \( x = 10 \) y \( x + y =35 \) por falta de datos, definamos cada una estas proposiciones de la siguiente manera:

  • \( p: x + y = 35 \)
  • \( q: x = 10 \)
  • \( r: y = 25 \)

Donde \( p \) y \( q \) son las premisas y \( r \) es la conclusión, lo que se infiere de las premisas. La representación simbólica sería una implicación de nuestra inferencia lógica.

  • \( p \wedge q \Rightarrow r \)

Si \( p \wedge q \) es verdadero, entonces \( r \) es verdadero, y se puede representar así:

\[ \begin{array}{ l } p \wedge q \Rightarrow r \\ p \wedge q \\ \hline \therefore r  \end{array} \]

Del esquema finalmente, decimos que:

  • \( x + y =35 \) y \( x = 10 \), por tanto, \( y = 25 \).

No confundir con la condicional material, porque la implicación es una tautología y la condicional material no cumple este requisito como ya se mencionó en apartados anteriores.

La equivalencia como inferencia lógica

Del ejemplo anterior:

  • \( p: x+y = 35 \)

Podemos inferir que:

  • \( s: 2x + 2y = 70 \)

De aquí, podemos volver a inferir que:

  • \( p: x+y = 35 \)

Lo que vemos en este ejemplo es una doble implicación, si aplicamos la condición material en \( p \) y \( s \), vemos que \( p \rightarrow s \) y \( s \rightarrow p \) son verdaderas si omitimos los supuestos falsos y además, son comprobables, porque si se niega \( p \rightarrow s \), también debería negarse \( s \rightarrow p \) porque la bicondicionalidad de dos proposiciones falsas es verdad. Se cumple que:

  • \( p \rightarrow s \equiv s \rightarrow p \)

Pero esto solo es posible si afirmamos que:

  • \( p \Rightarrow s \)
  • \( s \Rightarrow p \)

Del esquema, finalmente decimos que:

  • \( x + y = 35 \), por tanto, \( 2x + 2y = 70 \) y viceversa.

Modelo esquemático de la inferencia lógica

Inferir un resultado es simplemente deducir la conclusión por medio de las premisas causantes, pero a nivel esquemático es extraer o transformar (son completamente diferentes, no confundir) una FBF de otra FBF (formulas bien formadas).

Sea un grupo definido de proposiciones finitas.

\[ \mathrm{P} = \left \{ p_{1}, p_{2}, p_{3}, … p_{n}, p \right \} \]

El modelo esquemático de la inferencia lógica se escribe así:

\[ p_{1} \wedge p_{2} \wedge \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \Rightarrow p \]

Donde la premisa causante es \( p_{1} \wedge p_{2} \wedge \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \) y la conclusión es \( p \). Nótese que se usó la notación simbólica de la implicación “\( \Rightarrow \)” lo que quiere decir que \( ( p_{1} \wedge p_{2} \wedge \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} ) \rightarrow p \) sea probablemente una tautología. No olvidar que:

  • \( p_{1} \wedge p_{2} \wedge \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \Rightarrow p \) es una relación entre dos proposiciones que siempre resulta ser verdadera, es decir. una tautología.
  • \( ( p_{1} \wedge p_{2} \wedge \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} ) \rightarrow p \) es una proposición razón por el cual lleva paréntesis y no necesariamente es verdadera, es decir una contingencia.

Podíamos haberlo escrito así \( p_{1} \wedge p_{2} \wedge \wedge p_{3} \wedge \cdots \wedge p_{n} \equiv p \), pero la inferencia trata de explicar la teoría de la deducción, es decir, se centra en el estudio de la causa y el efecto que es el tema central del curso de lógica proposicional; el tema de la equivalencia lógica es sólo una derivación del capitulo que no es el tema central del curso.

La inferencia en otras ciencias

Y es aquí donde quería aclarar algunos puntos importantes; en matemáticas, la inferencia lógica no solo es más estricta, logra ser estricta porque sus teorías axiomáticas son las únicas evidencias “definidas” para demostrar toda la teoría matemática que conocemos (apartando los teoremas de Kurt Gödel por un momento, claro) y fácilmente se puede inferir miles de principios y teoremas con mucha precisión.

El problema surge cuando tratamos con otras ciencias, en este caso, las ciencias no abstractas como son Ciencias Física, Ciencias Biológicas, Química, ingenierías, entre otras, ya que la inferencia para ellos es la inducción.

Por lo general, el tipo de inducción que trata las ciencias no abstractas es el probabilístico. Las ciencias no abstractas necesita no solo de múltiples evidencias diferentes, sino de evidencias repetitivas de un resultado que no cambia o varía de una determinada forma bajo ciertas condiciones específicas pudiendo así predecir su comportamiento.

Por tanto, la inducción en las ciencias no abstractas es una aproximación a una verdad evidencial hipotética tomada como una verdad estándar (por no decir absoluta) hasta que exista otra evidencia que la desmienta.

Pero si existe una mayor probabilidad de aciertos, la pregunta es ¿cuál sería la menor probabilidad de los que no se acertaron?, por lo general, no se conoce hasta no lograr otra evidencia que la desmienta.

La inferencia en otras áreas de estudio

Pero si somos psicólogos, historiadores o filósofos, haremos uso de la inferencia desde otro ámbito, y esto es, desde la suposición. La suposición resulta una conclusión hipotética bajo ciertas premisas necesarias pero no suficientes para su comprobación.

Sin embargo, este tipo de inferencias recae más en en el ámbito de la filosofía, usan la lógica sobre suposiciones no demostradas ni comprobadas, pero que resultan estratégicamente muy bien formuladas para su pronta evaluación.

En el ámbito de la historia, es dificil comprobar los hechos históricos, aunque estadísticamente se puede comprobar los resultados de la investigacion como por ejemplo, el uso de collares hechos con cuencas de almejas de un esqueleto prehispánico, lo dificil es concluir que lo llevaron estas tribu a usar estos ornamentos, porque lo usaron, con qué razón fueron usados, por lo general, se pueden sacar suposiciones producto de las evidencias no relacionados con la historia como sangre en los huesos, mordeduras, fracturas, etc.

En psicología, la inferencia está relacionada con suposiciones que presenta la mente por una serie de evidencias del comportamiento humano, es decir, la actividad corporal de los seres humanos, como por ejemplo, las microexpresiones. La psicología intenta predecir la intención de los seres humanos con las única evidencia de la actividad humana de nuestro cuerpo más conocida como lenguaje no verbal.

Lo que significa que la inferencia puede tener diferentes contextos según el campo de estudio que se trabaje, pero el área que se trabaja con mayor precisión  exactitud son las matemáticas.

Próxima sección

Gracias por llegar hasta aquí, este ha sido una entrada un poquito larga e hice lo mejor posible para explicar cada uno de estos conceptos como es la implicación, la equivalencia y la inferencia lógica.

La siguiente sección se estudiará el método abreviado y las leyes lógicas tanto de la implicación como la equivalencia lógica, eso es todo amigos, bye.

Detalles Del Capitulo
Equivalencia, implicación y la inferencia lógica
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Equivalencia, implicación y la inferencia lógica
Descripción
La equivalencia lógica es la comparación de dos proposiciones de tal manera que resulta ser una tautología, una definición desde el punto de vista de las matemáticas. La implicación lógica es el acto de deducir una conclusión por medio de una premisa causante, tanto la premisa con la conclusión resulta ser una tautología. La inferencia es el acto de sacar una conclusión por una serie de métodos deductivos (como puede ser la implicación o la equivalencia lógica) o inductivos de una serie de premisas causantes, la inferencia puede extraer (implicación) un argumento y transformar (equivalencia) un argumento de otro argumento.
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